Комплексное руководство по решению задач контрольной работы: Высшая математика, Биометрия и Информатика

В условиях стремительного развития технологий и увеличения объема информации, междисциплинарный подход становится не просто желательным, а жизненно необходимым для современного специалиста. Контрольная работа, охватывающая разделы высшей математики, биометрии и основ информатики, является не просто проверкой знаний, но и уникальной возможностью для студента технического или естественнонаучного вуза объединить, систематизировать и применить полученные знания в различных областях. Это руководство призвано стать надежным навигатором в мире академических вызовов, предоставляя структурированное и пошаговое объяснение фундаментальных концепций и методов решения типовых задач. Мы рассмотрим каждую дисциплину как отдельную, но при этом взаимосвязанную область, демонстрируя, как аналитические инструменты одной науки могут быть эффективно применены для понимания и решения проблем в другой. От основ дифференциального исчисления до нюансов биометрической идентификации — каждая глава этого пособия построена таким образом, чтобы обеспечить глубокое понимание материала и уверенность в успешном выполнении контрольной работы.

Высшая математика: Освоение дифференциального исчисления

В основе многих инженерных, физических и даже экономических моделей лежит математический аппарат, способный описывать динамические процессы и изменения, и именно здесь на первый план выходит дифференциальное исчисление — мощный инструмент для анализа скорости изменений и оптимальных состояний. Понимание его фундаментальных концепций и методов нахождения производных, особенно для сложных функций, критически важно для решения широкого круга прикладных задач. Иными словами, без глубокого осмысления дифференциального исчисления невозможно эффективно работать с динамическими системами и процессами оптимизации в современном мире.

Понятие производной и процесс дифференцирования

Сердцевина дифференциального исчисления — это понятие производной. Представьте себе движущийся объект: его скорость в каждый конкретный момент времени не является постоянной, а постоянно меняется. Производная функции в точке — это именно та самая «мгновенная скорость изменения» этой функции в данной точке. Формально, производная функции f(x) по переменной x обозначается как f'(x) или dy/dx и представляет собой предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот процесс нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

Геометрически производная выражает тангенс угла наклона касательной к графику функции в заданной точке. В физике это скорость, в экономике — предельная полезность или предельные издержки, в инженерии — скорость деформации или изменения температуры. Понимание этого концепта открывает двери к анализу динамических систем и оптимизации процессов, а значит, даёт ключ к созданию более эффективных и предсказуемых моделей.

Основные правила дифференцирования функций

Для эффективного дифференцирования функций не всегда требуется каждый раз вычислять предел отношения приращений. Существует ряд базовых правил, которые значительно упрощают этот процесс. Эти правила основаны на фундаментальных свойствах линейности и взаимодействии функций.

1. Свойство линейности: Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке ‘a‘, то их линейная комбинация αf(x) + βg(x) также дифференцируема в этой точке для любых действительных чисел α и β, и её производная будет равна:
   (αf + βg)'(a) = αf'(a) + βg'(a)
2. Производная суммы (разности) функций: Производная от суммы или разности двух дифференцируемых функций равна сумме или разности их производных:
   (f ± g)' = f' ± g'
3. Вынесение постоянного множителя: Постоянный множитель ‘c’ можно выносить за знак производной:
   (c ⋅ f)' = c ⋅ f'
4. Производная произведения функций: Производная от произведения двух функций f(x) и g(x) вычисляется по формуле:
   (f ⋅ g)' = f' ⋅ g + f ⋅ g'
5. Производная частного (дроби) функций: Производная от частного двух функций f(x)/g(x), при условии, что g(x) ≠ 0, определяется следующим образом:
   (f/g)' = (f' ⋅ g - f ⋅ g') / g2

Эти правила — краеугольный камень для работы с производными, позволяя шаг за шагом «разбирать» сложные функции на более простые составляющие, что критически важно для глубокого анализа любых математических моделей.

Производная сложной функции: Цепное правило

Часто в математических моделях встречаются не простые функции, а так называемые сложные функции — функции от функций. Например, y = sin(2x + 1) или y = ln(x² + 1). Здесь одна функция (внешняя) «оборачивает» другую (внутреннюю).

Если у нас есть функция y = f(u), где u, в свою очередь, является функцией от x, то есть u = φ(x), и область определения функции f содержит область значений функции φ, то такое соответствие называют сложной функцией y = f(φ(x)). Функцию u = φ(x) называют внутренней функцией, а функцию f — внешней функцией.

Для нахождения производной такой функции используется цепное правило (или правило дифференцирования сложной функции). Оно гласит: если функция u = φ(x) дифференцируема в точке x₀, а функция y = f(u) дифференцируема в точке u₀ = φ(x₀), то сложная функция y = f(φ(x)) дифференцируема в точке x₀, при этом:

y'x(x0) = y'u(u0) ⋅ u'x(x0)

Алгоритм вычисления производной сложной функции:

1. Выделить внутреннюю и внешнюю функцию: Определите, какая функция является «внешней оболочкой», а какая «внутренним содержимым».
2. Найти производную внешней функции: Продифференцируйте внешнюю функцию по её аргументу, считая внутреннюю функцию переменной, не меняя её при этом.
3. Найти производную внутренней функции: Продифференцируйте внутреннюю функцию по переменной x.
4. Перемножить производные: Умножьте результат шага 2 на результат шага 3.

Пример: Найдем производную функции y = sin(2x + 1).

1. Внешняя функция: f(u) = sin(u), где u = 2x + 1. Внутренняя функция: φ(x) = 2x + 1.
2. Производная внешней функции по u: f'(u) = (sin(u))’ = cos(u).
3. Производная внутренней функции по x: φ'(x) = (2x + 1)’ = 2.
4. Перемножаем: y’_x = cos(u) ⋅ 2 = 2cos(2x + 1).

Примеры решения задач по дифференцированию

Для закрепления теоретических знаний рассмотрим несколько типовых задач.

Пример 1: Производная суммы и постоянного множителя

Найдите производную функции f(x) = 5x³ — 2x + 7.

• Шаг 1: Применяем правило для суммы/разности функций:
  f'(x) = (5x3)' - (2x)' + (7)'
• Шаг 2: Применяем правило вынесения постоянного множителя и табличные производные ( (xⁿ)’ = nx^n-1, (c)’ = 0, (x)’ = 1 ):
  f'(x) = 5 ⋅ (x3)' - 2 ⋅ (x)' + (7)'
f'(x) = 5 ⋅ 3x2 - 2 ⋅ 1 + 0
• Шаг 3: Упрощаем:
  f'(x) = 15x2 - 2

Пример 2: Производная произведения функций

Найдите производную функции h(x) = x² ⋅ cos(x).

• Шаг 1: Определяем f(x) = x² и g(x) = cos(x).
• Шаг 2: Находим производные f'(x) и g'(x):
  f'(x) = (x2)' = 2x
g'(x) = (cos(x))' = -sin(x)
• Шаг 3: Применяем формулу производной произведения (f ⋅ g)’ = f’ ⋅ g + f ⋅ g’:
  h'(x) = (2x) ⋅ cos(x) + x2 ⋅ (-sin(x))
• Шаг 4: Упрощаем:
  h'(x) = 2x cos(x) - x2 sin(x)

Пример 3: Производная частного функций

Найдите производную функции k(x) = (sin(x)) / (x³).

• Шаг 1: Определяем f(x) = sin(x) и g(x) = x³.
• Шаг 2: Находим производные f'(x) и g'(x):
  f'(x) = (sin(x))' = cos(x)
g'(x) = (x3)' = 3x2
• Шаг 3: Применяем формулу производной частного (f/g)’ = (f’ ⋅ g — f ⋅ g’) / g²:
  k'(x) = (cos(x) ⋅ x3 - sin(x) ⋅ 3x2) / (x3)2
• Шаг 4: Упрощаем:
  k'(x) = (x3 cos(x) - 3x2 sin(x)) / x6
k'(x) = (x2 (x cos(x) - 3 sin(x))) / x6
k'(x) = (x cos(x) - 3 sin(x)) / x4

Пример 4: Производная сложной функции с несколькими уровнями вложенности

Найдите производную функции y = e^sin(x²).

• Шаг 1: Выделим функции. Это функция вида e^u, где u = sin(v), а v = x².
  • Внешняя: f(u) = e^u
  • Промежуточная: u(φ) = sin(φ), где φ = x²
  • Внутренняя: φ(x) = x²
• Шаг 2: Находим производные каждой «слоя»:
  • Производная внешней по u: (e^u)’ = e^u
  • Производная промежуточной по φ: (sin(φ))’ = cos(φ)
  • Производная внутренней по x: (x²)’ = 2x
• Шаг 3: Применяем цепное правило, перемножая результаты:
  y'x = (eu) ⋅ (cos(φ)) ⋅ (2x)
• Шаг 4: Подставляем обратно u = sin(x²) и φ = x²:
  y'x = esin(x²) ⋅ cos(x2) ⋅ 2x
y'x = 2x cos(x2) esin(x²)

Эти примеры демонстрируют, как, следуя основным правилам и алгоритму цепного правила, можно последовательно и корректно находить производные даже самых сложных функций, что является фундаментом для дальнейшего изучения математического анализа.

Теория погрешностей: Оценка точности измерений

В мире науки и инженерии невозможно провести абсолютно точное измерение или расчет. Любой результат всегда будет содержать ту или иную степень неопределенности, которую называют погрешностью. Понимание природы этих погрешностей и методов их оценки является ключевым для достоверной интерпретации экспериментальных данных и принятия обоснованных решений. Теория погрешностей систематизирует наши знания о видах ошибок, методах их расчета и принципах определения погрешностей функций нескольких переменных.

Классификация погрешностей: Систематические, случайные, промахи

Для эффективной работы с погрешностями необходимо четко понимать их природу. Погрешности измерений традиционно подразделяются на три основные категории: систематические, случайные и промахи.

1. Систематическая погрешность
Это составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется (например, монотонно растет или уменьшается) при повторных измерениях одной и той же физической величины, выполненных в одинаковых условиях. Систематические погрешности имеют предсказуемый характер и, в идеале, могут быть обнаружены и устранены или учтены.

• Причины возникновения:
  • Несовершенство измерительного инструмента: Смещение нуля шкалы прибора, неправильная калибровка, износ деталей, нелинейность шкалы.
  • Неточность метода измерения: Некорректная установка прибора, несоблюдение условий эксперимента, неучет влияния внешних факторов (температуры, давления, влажности).
  • Ошибки оператора: Неправильное считывание показаний (например, из-за параллакса), неправильная техника измерения.
• Пример: Весы, которые всегда показывают на 50 грамм больше из-за сбившейся калибровки. Или линейка, которая из-за температурного расширения всегда показывает чуть больше истинного значения при повышенной температуре.

2. Случайная погрешность
Эта погрешность, в отличие от систематической, изменяется случайным образом (как по знаку, так и по значению) в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью. Случайные погрешности неизбежны и неустранимы полностью, они всегда присутствуют в результатах измерения. Их влияние можно минимизировать путем увеличения числа измерений и применения статистических методов обработки данных.

• Причины возникновения:
  • Множество неконтролируемых факторов: Незначительные колебания температуры, влажности, атмосферного давления, вибрации, шумы в измерительной аппаратуре.
  • Психофизиологические особенности оператора: Мелкие непроизвольные движения, колебания внимания.
• Пример: При многократном измерении длины одного и того же объекта с помощью рулетки, показания будут немного отличаться каждый раз из-за мелких неточностей установки, небольших колебаний руки и других факторов.

3. Промах (грубая погрешность)
Это грубые ошибки в значениях измеряемой величины, которые существенно превышают ожидаемые значения для данных условий и не могут быть объяснены ни систематическими, ни случайными погрешностями. Промахи обычно легко обнаруживаются, так как они резко выделяются из общего ряда измерений.

• Причины возникновения:
  • Ошибочные действия оператора: Опечатки при записи данных, неправильное включение прибора, смещение объекта измерения.
  • Неисправность прибора: Временный сбой в работе датчика.
  • Резкое изменение условий опыта: Внезапный скачок напряжения, резкий удар по столу с прибором.
• Пример: При записи результатов измерения температуры вместо 25,5°C было случайно записано 52,5°C. Или забыли вычесть вес тары при взвешивании.

Правильная классификация погрешностей позволяет выбрать адекватные методы их обработки и повышения точности измерений, что напрямую влияет на достоверность полученных научных и инженерных результатов.

Абсолютная и относительная погрешность

Для количественной оценки точности измерений используются понятия абсолютной и относительной погрешности.

Абсолютная погрешность (Δ)
Это разница между вычисляемым (или измеренным) значением величины (x₁) и её истинным (или реальным, x₂) значением. Формально:
Δ = x1 - x2
Поскольку истинное значение чаще всего неизвестно, на практике в качестве x₂ принимают либо наиболее точное значение, полученное высокоточным прибором, либо среднее арифметическое значение из большой серии измерений. Абсолютная погрешность измеряется той же единицей измерений, что и сама изучаемая величина (например, метры, килограммы, секунды). Чем меньше абсолютная погрешность, тем ближе измеренное значение к истинному.

Относительная погрешность (δ)
Это более универсальная характеристика точности, так как она показывает, какую долю от измеряемой величины составляет абсолютная погрешность. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к реальному (истинному) измеряемому значению, выраженное в процентах. Формула:
δ = (Δ / x2) ⋅ 100 %
Относительная погрешность не имеет собственной единицы измерения или отражается в процентах. Она характеризует точность измерения: чем меньше относительная погрешность, тем выше точность измерения. Например, абсолютная погрешность в 1 см при измерении длины стола (1 м) значительно менее существенна, чем та же 1 см при измерении длины спички (3 см). В первом случае относительная погрешность составит 1%, во втором – около 33%. Относительная погрешность позволяет сравнивать точность измерений разных по порядку величин, что делает её незаменимым инструментом в метрологии.

Приведенная погрешность и нормирующая шкала

Для удобства оценки точности измерительных приборов, особенно тех, которые имеют разные диапазоны измерений, используется понятие приведенной погрешности (γ). Это позволяет избежать большого разброса значений относительной погрешности на одном приборе, особенно при измерении величин, близких к нижнему пределу диапазона.

Формула приведенной погрешности:
γ = (Δ / x3) ⋅ 100 %
Где:

• Δ — абсолютная погрешность измерения.
• x₃ — нормирующая шкала (нормирующее значение). Это условно принятое значение величины, которое является постоянным для всего диапазона измерений или его части. Оно обычно равно верхнему пределу диапазона измерений прибора, или его длине.

Для чего нужна нормирующая шкала?
Представьте термометр, измеряющий от 0°C до 100°C с абсолютной погрешностью ±1°C.

• Если мы измеряем 10°C, относительная погрешность будет (1/10) ⋅ 100% = 10%.
• Если мы измеряем 90°C, относительная погрешность будет (1/90) ⋅ 100% ≈ 1.11%.

То есть, один и тот же прибор, работающий с одной и той же абсолютной погрешностью, показывает разную относительную точность в зависимости от измеряемой величины. Приведенная погрешность решает эту проблему, используя фиксированное нормирующее значение (например, 100°C для нашего термометра).
В этом случае приведенная погрешность будет (1/100) ⋅ 100% = 1% для любого измерения в диапазоне. Это позволяет легко сравнивать точность разных приборов и стандартизировать их характеристики.

Для приборов с односторонней шкалой (нижний предел измерений больше нуля) x₃ определяется как разность между максимальным и минимальным значениями диапазона. Для приборов с двухсторонней шкалой нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора (например, для -50 до +50 x₃ будет 100).

Определение погрешности функции нескольких переменных

Часто искомая величина Y получается не путем прямого измерения, а косвенно, через функцию от нескольких других величин, которые измеряются напрямую. Например, площадь прямоугольника S = a ⋅ b, где ‘a’ и ‘b’ измеряются. Какова будет погрешность S, если известны погрешности ‘a’ и ‘b’?

Основная задача теории погрешностей в этом контексте заключается в определении погрешности данной функции от нескольких величин, погрешности которых известны.

Для функции нескольких переменных y = f(x₁, x₂, …, x_n), где x_i — измеряемые величины с абсолютными погрешностями Δx_i, абсолютная погрешность Δy может быть оценена с помощью дифференциалов. Если все погрешности Δx_i являются максимальными (предельными) абсолютными погрешностями, то максимальная абсолютная погрешность функции Δy вычисляется как:

Δy ≈ Σ |∂f/∂xi| ⋅ Δxi
(где Σ означает сумму по всем i от 1 до n)

Здесь ∂f/∂x_i — частная производная функции f по переменной x_i, которая показывает, как изменяется функция y при изменении только x_i, при условии, что остальные переменные остаются постоянными. Модуль берется, чтобы гарантировать максимальное возможное увеличение погрешности.

Пример: Определение погрешности площади прямоугольника

Пусть площадь S = a ⋅ b. Известны измеренные значения a и b, а также их абсолютные погрешности Δa и Δb.
Тогда частные производные будут:
∂S/∂a = b
∂S/∂b = a

Максимальная абсолютная погрешность ΔS:
ΔS ≈ |∂S/∂a| ⋅ Δa + |∂S/∂b| ⋅ Δb
ΔS ≈ |b| ⋅ Δa + |a| ⋅ Δb

Для случайных погрешностей ситуация немного отличается. Если погрешности Δx_i являются независимыми случайными погрешностями (например, среднеквадратическими отклонениями), то часто используется формула геометрического суммирования, которая дает более вероятностную оценку:
Δy = √[ Σ (∂f/∂xi ⋅ Δxi)2 ]
Этот подход применяется, когда предполагается, что случайные погрешности могут компенсировать друг друга, и маловероятно, что все они одновременно примут максимальное значение и будут действовать в одном направлении, тем самым обеспечивая более реалистичную оценку общей ошибки.

Выбор формулы зависит от природы погрешностей и требований к точности оценки.

Цена деления прибора как источник погрешности

При выполнении однократных прямых измерений, когда результат считывается непосредственно со шкалы прибора (например, линейки, амперметра, термометра), оценка погрешности часто связана с ценой деления прибора.

Цена деления прибора — это значение физической величины, приходящееся на наименьшее деление шкалы измерительного прибора. Она также определяется как разность двух значений величины, соответствующих двум соседним отметкам на шкале прибора.

Как определить цену деления?

1. Выбрать два ближайших числовых значения на шкале (например, 10 и 20).
2. Найти их разность (20 — 10 = 10).
3. Разделить полученное число на количество делений между этими значениями (например, если между 10 и 20 десять делений, то 10 / 10 = 1).

В этом случае цена деления равна 1 единице (например, 1 ампер, 1 градус Цельсия).

Оценка погрешности на основе цены деления:
При однократных прямых измерениях, если прибор является аналоговым и не имеет явного класса точности, величину абсолютной погрешности часто принимают равной:

• Цене деления прибора: Если нет дополнительной информации, это наиболее консервативная оценка, подразумевающая, что оператор не может точно определить положение стрелки или уровня жидкости между делениями.
• Половине цены деления: Более оптимистичная оценка, если оператор обладает достаточной зоркостью и опытом, чтобы визуально интерполировать значение между делениями шкалы.

Например, если цена деления линейки 1 мм, то погрешность измерения может быть принята как ±1 мм или ±0,5 мм. Эта оценка отражает предельную точность, которую можно получить от данного измерительного инструмента без применения специальных методов, тем самым ограничивая возможный диапазон ошибок.

Основы информатики: Теория информации и формула Хартли

В век цифровизации и повсеместного распространения данных, понимание того, что такое информация, как её измерять, передавать и хранить, становится ключевым. Теория информации, раздел прикладной математики, дает нам фундаментальные инструменты для этого, а формула Хартли выступает одним из первых и наиболее наглядных способов количественной оценки информации.

Введение в теорию информации: Основные понятия и разделы

Теория информации — это раздел прикладной математики, который зародился в середине XX века и посвящен изучению количественных закономерностей, связанных с получением, передачей, обработкой и хранением информации. Она определяет понятие информации, исследует ее свойства и устанавливает предельные соотношения для систем передачи данных, отвечая на вопросы «сколько информации содержится?» и «как эффективно ее передать?».

В рамках теории информации можно выделить два основных подхода к её изучению:

1. Структурная теория информации: Рассматривает дискретное строение массивов информации и их измерение простым подсчётом информационных элементов или комбинаторным методом. Здесь информация понимается как выбор одного варианта из множества возможных.
2. Статистическая теория информации: Оперирует понятием энтропии как меры неопределённости, учитывающей вероятность появления сообщений. Чем выше неопределенность исхода, тем больше информации несет сообщение, которое этот исход разрешает. Информационная энтропия — это мера неопределенности или непредсказуемости некоторой системы или источника данных. Она количественно определяет среднее количество информации, приходящееся на один символ (сообщение, элемент) источника, где более высокая энтропия соответствует большей неопределенности.

Теория информации традиционно делится на два основных раздела, каждый из которых решает свою специфическую задачу в рамках процесса передачи данных:

• Кодирование источника (сжимающее кодирование): Этот раздел направлен на уменьшение избыточности в сообщениях. Цель — представить информацию в наиболее компактном виде, чтобы увеличить скорость передачи или снизить требования к пропускной способности канала связи. Это достигается за счет присвоения более коротких кодовых комбинаций часто встречающимся символам и более длинных — редким, или за счет поиска и устранения повторяющихся паттернов. Примеры: алгоритмы сжатия данных JPEG, MP3, ZIP.
• Канальное (помехоустойчивое) кодирование: В отличие от сжимающего кодирования, этот раздел занимается добавлением избыточной информации к сигналу. Цель — защитить передаваемые данные от ошибок, которые могут возникнуть из-за шумов и помех в канале связи. Добавленная избыточность позволяет обнаруживать и, в некоторых случаях, исправлять эти ошибки, обеспечивая надежность передачи. Примеры: коды Хэмминга, Рида-Соломона, сверточные коды.

Эти два раздела теории информации играют ключевую роль в проектировании и оптимизации современных систем связи, от мобильных телефонов до космических аппаратов, поскольку они позволяют как минимизировать объём передаваемых данных, так и гарантировать их целостность при любых условиях.

Единицы измерения информации: Бит, байт и производные

Для количественной оценки информации необходимы единицы измерения. Фундаментальной единицей в теории информации является бит.

Бит (от англ. binary digit — двоичная цифра) — это минимальная единица измерения информации. Один бит информации — это количество информации, необходимое для различения двух равновероятных событий. Например, выбор между «да» и «нет», «включено» и «выключено», «0» и «1». Один бит информации уменьшает неопределенность знания в 2 раза. Это эквивалентно ответу на один бинарный вопрос.

Поскольку бит является очень малой единицей, на практике для измерения объемов информации используются более крупные единицы:

• Байт: 1 байт равен 8 битам. Это исторически сложившаяся единица, которая часто используется для хранения одного символа в текстовых кодировках (например, ASCII).
• Килобайт (Кбайт): 1 Кбайт = 1024 байта, что соответствует 2¹⁰ байтам. Важно отметить, что в десятичной системе 1 килобайт = 1000 байт, но в информатике традиционно используется двоичная система (кратная степеням двойки), поэтому 1024.
• Мегабайт (Мбайт): 1 Мбайт = 1024 килобайта, что соответствует 2¹⁰ ⋅ 2¹⁰ = 2²⁰ байтам.
• Гигабайт (Гбайт): 1 Гбайт = 1024 мегабайта, что соответствует 2¹⁰ ⋅ 2¹⁰ ⋅ 2¹⁰ = 2³⁰ байтам.
• Терабайт (Тбайт), Петабайт (Пбайт), Эксабайт (Эбайт) и так далее продолжают этот ряд, каждый раз умножаясь на 1024 (или 2¹⁰).

Эта иерархия позволяет удобно оперировать с различными объемами данных, от небольших файлов до огромных хранилищ информации, обеспечивая стандартизированный подход к измерению данных.

Формула Хартли: Количественная оценка информации

Один из первых и наиболее интуитивно понятных подходов к количественной оценке информации был предложен Ральфом Хартли в 1928 году. Формула Хартли позволяет определить количество информации I, содержащееся в выбранном сообщении, когда все возможные сообщения (исходы события) являются равновероятными.

Формула Хартли:
I = log2N
Где:

• I — количество информации в битах.
• N — количество равновероятных сообщений (исходов события).

Эта формула отражает структурный подход к информации: чем больше вариантов выбора, тем больше информации требуется для однозначного определения одного из них.

Применение формулы Хартли для одного символа алфавита:
Если речь идет о количестве информации i, которое несет один символ в алфавите мощностью N (т.е., состоящем из N различных символов, каждый из которых может быть выбран с равной вероятностью), формула Хартли принимает вид:
i = log2N
Из этой формулы можно выразить мощность алфавита:
N = 2i
Это означает, что i бит информации достаточно для кодирования N различных символов. Например, если i = 1 бит, можно закодировать N = 2¹ = 2 символа (0 или 1). Если i = 8 бит (1 байт), можно закодировать N = 2⁸ = 256 различных символов.

Применение формулы Хартли для сообщений длиной K символов:
Если алфавит состоит из N букв, и из них составляется сообщение длиной K символов, то количество возможных вариантов разных сообщений M равно:
M = NK
Тогда общее количество информации в таком сообщении, согласно формуле Хартли, составит:
Itotal = log2(NK) = K ⋅ log2N = K ⋅ i
Это логично: если каждый символ несет i бит информации, то сообщение из K символов будет нести K ⋅ i бит.

Формула Хартли является фундаментальной для понимания принципов кодирования и оценки информационного объема в системах, где исходы можно считать равновероятными, и служит базой для более сложных теорий.

Примеры решения задач по расчету информации

Рассмотрим, как формула Хартли применяется на практике.

Пример 1: Количество информации при угадывании числа

Пусть требуется угадать одно число из 100 возможных чисел (от 1 до 100), при этом известно, что каждое число имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Сколько информации необходимо для угадывания этого числа?

• Шаг 1: Определяем количество равновероятных исходов N. В данном случае N = 100.
• Шаг 2: Применяем формулу Хартли: I = log₂N.
  I = log2100
• Шаг 3: Вычисляем значение логарифма. Поскольку 2⁶ = 64 и 2⁷ = 128, то log₂100 находится между 6 и 7.
  I ≈ 6.644 бита.

Это означает, что для однозначного определения одного числа из 100 возможных потребуется примерно 6.644 бита информации. На практике, конечно, мы будем использовать целое число бит, например, 7 бит, что позволит закодировать до 2⁷ = 128 различных исходов.

Пример 2: Количество информации в одном символе алфавита

Русский алфавит содержит 33 буквы (без учета регистра). Сколько информации несет один символ русского алфавита, если все буквы считаются равновероятными?

• Шаг 1: Определяем мощность алфавита N = 33.
• Шаг 2: Применяем формулу Хартли для одного символа: i = log₂N.
  i = log233
• Шаг 3: Вычисляем значение:
  Поскольку 2⁵ = 32, то i будет немного больше 5.
  i ≈ 5.044 бита.

Таким образом, один символ русского алфавита несет примерно 5.044 бита информации.

Пример 3: Определение количества возможных сообщений

Сколько различных сообщений длиной 5 символов можно составить из двоичного алфавита (N=2), и сколько информации несет каждое такое сообщение?

• Шаг 1: Определяем мощность алфавита N = 2 (0 и 1) и длину сообщения K = 5.
• Шаг 2: Вычисляем количество возможных сообщений M = N^K.
  M = 25 = 32.
  Можно составить 32 различных двоичных сообщения длиной 5 символов.
• Шаг 3: Вычисляем количество информации в одном таком сообщении I_total = K ⋅ log₂N.
  Itotal = 5 ⋅ log22 = 5 ⋅ 1 = 5 бит.

Это подтверждает, что для кодирования 32 различных состояний требуется 5 бит информации.

Эти примеры иллюстрируют, как формула Хартли позволяет количественно оценивать информацию, что является основой для проектирования систем хранения и передачи данных и понимания их эффективности.

Биометрия: Принципы идентификации и аутентификации

В современном мире, где цифровая безопасность и контроль доступа играют критическую роль, традиционные методы идентификации (пароли, карты) все чаще уступают место более надежным и удобным решениям. Здесь на арену выходит биометрия — наука и технология, использующая уникальные характеристики человека для распознавания его личности.

Сущность биометрии: Определение и применение

Биометрия — это междисциплинарная область науки и технологий, которая занимается распознаванием людей по одной или нескольким уникальным физиологическим или поведенческим чертам. В своей основе, биометрия — это наука, изучающая физические и поведенческие характеристики человека, которые позволяют однозначно идентифицировать личность.

Биометрические данные являются неотъемлемой частью самого человека, что делает их чрезвычайно надежными для установления и подтверждения личности. Они используются для двух ключевых задач в системах контроля доступа и безопасности:

1. Идентификация личности: Процесс определения, кто есть человек.
2. Аутентификация (или верификация) личности: Процесс подтверждения того, что человек является тем, за кого себя выдает.

Широкое применение биометрия находит в:

• Системах контроля и управления доступом (СКУД): На входах в здания, помещения, зоны ограниченного доступа.
• Информационной безопасности: Доступ к компьютерам, мобильным устройствам, банковским счетам, онлайн-сервисам.
• Правоохранительных органах и криминалистике: Идентификация преступников по отпечаткам пальцев, ДНК, чертам лица.
• Государственных сервисах: Выдача паспортов, виз, голосование.

Главное преимущество биометрии заключается в том, что биометрические данные нельзя забыть, потерять, украсть или передать другому человеку в том же виде, как это возможно с паролями или ключами, что делает их незаменимыми в условиях растущих требований к безопасности.

Виды биометрических характеристик

Человеческие характеристики, используемые в биометрии, подразделяются на три основные категории: физиологические (морфологические), поведенческие и биологические (химические).

1. Физиологическая (морфологическая) биометрия: Анализирует уникальные, относительно стабильные физические черты человека. Эти характеристики присутствуют на протяжении всей жизни человека и мало меняются со временем.

• Черты лица: Уникальные расстояния и пропорции между глазами, носом, ртом, а также контуры лица.
• Структура глаза:
  • Радужная оболочка: Уникальный, сложный рисунок радужки, формирующийся еще до рождения.
  • Сетчатка: Узор кровеносных сосудов на задней стенке глаза.
• Параметры пальцев:
  • Папиллярные линии: Уникальный узор отпечатков пальцев.
  • Рельеф и длина суставов: Геометрические особенности пальцев.
• Ладони: Рисунок линий и общая геометрия ладони.
• Форма руки: Геометрические параметры кисти.
• Рисунок вен на запястьях/ладонях: Уникальная и скрытая под кожей венозная сетка, которая не видна невооруженным глазом и сложна для подделки.
• Термограмма: Распределение температуры по лицу или другим частям тела.

2. Поведенческая биометрия: Изучает динамические характеристики, которые формируются в процессе жизнедеятельности и зависят от привычек человека. Они могут меняться со временем или под влиянием внешних факторов (усталость, стресс).

• Голос (манера говорить): Уникальные голосовые характеристики, включая тембр, частоту, интонацию.
• Походка: Индивидуальный ритм, длина шага, движения рук и тела.
• Почерк/подпись: Динамические параметры написания, такие как скорость, нажим, угол наклона.
• Особенности работы с клавиатурой: Скорость набора, ритм нажатия клавиш, частота ошибок.

3. Биологическая (химическая) биометрия: Наиболее точные, но часто самые сложные и дорогостоящие методы, основанные на анализе биологических материалов.

• Анализ ДНК: Абсолютно уникален для каждого человека (за исключением однояйцевых близнецов). Используется преимущественно в криминалистике из-за сложности и длительности процесса.
• Запах тела/дыхания: Каждый человек имеет уникальный химический состав выдыхаемого воздуха и пота. Разрабатываются «искусственные носы», способные идентифицировать людей по запаху с точностью до 85-97%. Этот метод находится на стадии активных исследований и имеет потенциал для применения в безопасности и здравоохранении.

Каждый вид биометрии имеет свои преимущества и недостатки с точки зрения точности, стоимости, скорости обработки и устойчивости к подделке, что определяет его применимость в различных сценариях безопасности.

Основные методы биометрической идентификации

Современные биометрические системы используют разнообразные методы для идентификации и аутентификации. Вот обзор наиболее распространенных:

1. Распознавание по отпечатку пальца: Один из самых старых и распространенных методов. Анализирует уникальные узоры папиллярных линий (гребней и впадин) на кончиках пальцев, а также характерные точки (минуции) — разветвления и окончания гребней.
2. Распознавание по лицу:
   • Двумерное (2D) распознавание: Использует плоские изображения лица, анализируя параметры, такие как расстояния между глазами, носом, ртом, а также формы ключевых черт. Плюсы: относительно невысокая стоимость оборудования (обычная камера). Минусы: высокая чувствительность к изменениям освещения, углу поворота головы, выражению лица. Уязвимо для спуфинга (подделки) с помощью фотографий или видео.
   • Трехмерное (3D) распознавание: Создает объемную модель лица, захватывая информацию о глубине с использованием инфракрасных или глубинных датчиков (например, структурированный свет, времяпролетные камеры). Плюсы: значительно более высокая точность, так как учитываются абсолютные расстояния между биометрическими точками, что делает систему менее уязвимой для подделок (фотографией 3D-модель не обмануть). Минусы: требует более сложного и дорогостоящего оборудования.
3. Снимки радужной оболочки и сетчатки глаза: Считаются одними из самых надежных методов. Рисунок радужной оболочки уникален, стабилен и практически не меняется на протяжении жизни. Рисунок кровеносных сосудов сетчатки также уникален, но для его сканирования требуется специальное оборудование и прямой взгляд в устройство, что может быть менее удобно.
4. Рисунок вен на ладони/пальце: Сканеры используют инфракрасное излучение, чтобы получить изображение уникального узора венозной сетки под кожей. Высокая точность, сложность подделки, поскольку для сканирования необходима живая ткань.
5. Распознавание по голосу: Анализирует уникальные характеристики голоса человека (высота, тембр, интонации, скорость речи). Удобно, так как не требует физического контакта, но может быть подвержено влиянию простуды, шума окружающей среды, а также может быть подделано с помощью записей или синтеза речи.
6. Походка: Анализ динамических параметров движения тела при ходьбе. Может быть использован для неинвазивной идентификации на расстоянии.
7. Почерк/подпись: Оценка не только статического изображения подписи, но и динамических характеристик процесса письма (скорость, нажим, последовательность штрихов).
8. ДНК: Наиболее точный метод, применяемый в основном в криминалистике из-за его сложности и времени, требуемого для анализа.

Выбор метода зависит от требований к безопасности, удобству, стоимости и условий эксплуатации, а также от необходимого уровня компромисса между этими параметрами.

Идентификация vs. Верификация: Ключевые различия

В биометрии крайне важно различать два основных процесса: идентификацию и верификацию (или аутентификацию). Хотя оба направлены на установление личности, они существенно отличаются по своей логике и механизму.

Биометрическая идентификация (1:N — «один ко многим»)

• Задача: Ответить на вопрос «Кто этот человек?».
• Процесс: Система сравнивает полученные биометрические данные (например, отпечаток пальца) со всеми записями в базе данных (N) для определения личности. Цель — найти совпадение и установить, кто именно из зарегистрированных пользователей перед нами.
• Пример: Человек прикладывает палец к сканеру, и система ищет совпадение его отпечатка со всеми отпечатками, хранящимися в базе данных компании, чтобы определить его имя и фамилию.
• Требования: Быстрый поиск по большой базе данных, высокая точность для минимизации ложных совпадений (False Acceptance Rate, FAR) и ложных отказов (False Rejection Rate, FRR).

Биометрическая верификация (1:1 — «один к одному»)

• Задача: Ответить на вопрос «Является ли этот человек тем, за кого он себя выдает?».
• Процесс: Человек заявляет о своей личности (например, вводит логин, никнейм, предъявляет ID-карту). Затем система сравнивает измеренные биометрические параметры только с одной записью, которая соответствует заявленной личности, чтобы подтвердить ее подлинность.
• Пример: Человек вводит логин «Иванов» и прикладывает палец к сканеру. Система ищет в базе данных только запись, связанную с «Ивановым», и сравнивает отпечаток пальца с хранящимся там образцом.
• Требования: Высокая точность для подтверждения или отклонения заявленной личности, поскольку риск ложного принятия или отказа может быть критичен.

Таблица сравнения идентификации и верификации

Характеристика	Биометрическая идентификация (1:N)	Биометрическая верификация (1:1)
Основной вопрос	Кто этот человек?	Является ли этот человек тем, за кого он себя выдаёт?
Процесс сравнения	Сопоставление со всеми записями в базе данных (N)	Сопоставление с одной конкретной записью, заявленной пользователем
Входные данные	Только биометрические данные	Биометрические данные + внешний идентификатор (логин, ID)
Типичное применение	Поиск в БД, криминалистика, поиск по видео	Контроль доступа, вход в систему, платежи
Сложность	Более сложная, требует быстрых алгоритмов поиска по большой базе	Менее сложная, прямое сравнение

Понимание этих различий критически важно для правильного проектирования и использования биометрических систем, поскольку каждая задача требует своего подхода и алгоритмов.

Процесс биометрической идентификации и его преимущества

Процесс биометрической идентификации (и верификации) представляет собой последовательность этапов, обеспечивающих надежное распознавание личности.

Этапы процесса биометрической идентификации:

1. Сканирование (сбор данных): На этом этапе биометрическое устройство (сканер отпечатка пальца, камера для лица, микрофон для голоса) собирает физиологические или поведенческие характеристики человека. Данные преобразуются в цифровой формат.
2. Анализ (формирование шаблона): Собранные цифровые данные обрабатываются алгоритмами для извлечения уникальных характеристик и создания математического представления — биометрического шаблона. Этот шаблон представляет собой набор числовых данных, описывающих уникальные черты человека, но не является самим изображением или записью (что важно для конфиденциальности).
3. Сопоставление (сравнение с базой): Сформированный шаблон сравнивается с шаблонами, хранящимися в базе данных. В случае идентификации (1:N) шаблон сравнивается со всеми записями. В случае верификации (1:1) — только с заявленной записью. Алгоритмы оценки сходства вычисляют степень совпадения между шаблонами.
4. Решение (предоставление/отклонение доступа): На основе результатов сопоставления система принимает решение. Если степень совпадения превышает установленный порог, личность считается подтвержденной (доступ предоставлен). В противном случае — отклонена.

Преимущества биометрических технологий:

1. Высокий уровень безопасности: Биометрические данные уникальны и трудно подделываемы. Они не могут быть легко угаданы, потеряны или украдены в привычном смысле, как пароли.
2. Удобство: Пользователям не нужно запоминать сложные пароли, носить с собой ключи или карты. Доступ осуществляется простым прикосновением, взглядом или голосом. Это значительно упрощает пользовательский опыт.
3. Уникальность: Практически невозможно найти двух людей с абсолютно идентичными биометрическими характеристиками (за исключением некоторых случаев с однояйцевыми близнецами, но даже там различия в микроузорах отпечатков или радужки могут быть обнаружены). Это минимизирует риск подделки и несанкционированного доступа.

Риски и защита биометрических данных

Несмотря на многочисленные преимущества, биометрические данные несут в себе уникальные риски, требующие особого внимания к их защите. Главный и наиболее критичный аспект: биометрические данные нельзя «перегенерировать» в случае утечки. Если ваш пароль или номер карты скомпрометирован, вы можете его изменить. Но изменить отпечаток пальца, рисунок радужной оболочки или структуру лица невозможно. Эта фундаментальная необратимость делает утечку биометрических данных гораздо более серьезной угрозой. Компрометация биометрического шаблона может привести к долгосрочным рискам, поскольку злоумышленники потенциально могут использовать его для имитации личности в других системах.

Поэтому крайне важна усиленная защита биометрических данных. Она включает:

• Шифрование: Все биометрические шаблоны должны храниться в зашифрованном виде.
• Токенизация: Вместо хранения самих шаблонов можно хранить токены, которые являются производными от шаблонов и не позволяют восстановить исходные биометрические данные.
• Биометрическая криптография: Методы, позволяющие генерировать криптографические ключи непосредственно из биометрических данных, при этом сам ключ не хранится.
• Многофакторная аутентификация: Использование биометрии в сочетании с другими факторами (например, пароль + отпечаток пальца) для повышения безопасности.
• Децентрализованное хранение: Распределение хранения шаблонов или их частей, чтобы предотвратить единую точку отказа.
• Законодательное регулирование: Строгие законы о защите персональных данных, которые устанавливают правила сбора, хранения и использования биометрической информации.

Осознание этих рисков и применение комплексных мер защиты является обязательным условием для безопасного и этичного использования биометрических технологий, ведь без этого их широкое распространение может стать источником новых угроз.

Заключение: Интеграция знаний для успешной контрольной работы

Мы завершаем наше комплексное путешествие по фундаментальным концепциям высшей математики, теории погрешностей, основам информатики и биометрии. Эти дисциплины, на первый взгляд, кажущиеся разрозненными, на самом деле тесно переплетаются в современном научно-техническом ландшафте, формируя основу для решения сложнейших задач.

Дифференциальное исчисление, краеугольный камень высшей математики, предоставляет нам инструментарий для анализа изменений и динамики, позволяя моделировать процессы от физических явлений до финансовых рынков. Понимание производных и цепного правила открывает путь к глубокому осмыслению функций и их поведения.

Теория погрешностей учит нас критически оценивать результаты любых измерений, признавая неизбежность неопределенности. Различение систематических, случайных ошибок и промахов, а также умение рассчитывать абсолютные, относительные и приведенные погрешности — это фундаментальные навыки для любого инженера или ученого, позволяющие гарантировать достоверность данных.

Основы информатики и теория информации, в частности формула Хартли, дают количественное понимание сущности данных, их хранения и передачи. В мире, где информация является ключевым ресурсом, способность измерять и оценивать её объем становится незаменимой.

Наконец, биометрия демонстрирует, как уникальные характеристики человека могут быть преобразованы в надежные инструменты для идентификации и аутентификации, формируя основу для систем безопасности нового поколения. Различение физиологических, поведенческих и биологических методов, а также понимание процессов верификации и идентификации, являются ключевыми для работы с современными системами контроля доступа.

Успешное выполнение контрольной работы требует не только знания отдельных формул и определений, но и способности видеть взаимосвязи между этими областями. Например, при разработке биометрической системы необходимо не только понимать принципы распознавания (биометрия), но и уметь оценить точность датчиков и алгоритмов (теория погрешностей), эффективно хранить и передавать биометрические шаблоны (информатика), а также оптимизировать алгоритмы обработки данных, возможно, используя методы математического анализа.

Рекомендации для дальнейшего изучения:

• Для высшей математики: Углубитесь в интегральное исчисление, ряды Тейлора и Лорана, а также многомерный анализ. Это расширит ваш аналитический инструментарий.
• Для теории погрешностей: Изучите статистические методы обработки данных и методы наименьших квадратов, что позволит более глубоко работать со случайными погрешностями и строить регрессионные модели.
• Для теории информации: Ознакомьтесь с теорией Шеннона, которая рассматривает информацию с учетом вероятностей и избыточности, что является следующим шагом после Хартли.
• Для биометрии: Исследуйте применение машинного обучения и нейронных сетей в биометрических системах, а также этические и правовые аспекты использования биометрических данных.

Пусть это руководство станет вашим надежным спутником на пути к академическому успеху и глубокому пониманию взаимосвязанного мира науки и технологий.

Список использованной литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1,2. Москва: Мир и Образование, 2005.
2. Лакин Г.Ф. Биометрия. Москва: Высшая школа, 1990.
3. Каймин В.А. и др. Основы информатики и вычислительной техники. Москва: Просвещение, 1989.
4. Шафрин Ю.А. Основы компьютерной технологии. Москва: ABF, 1996.
5. Два основных типа биометрии: физическая биометрия и поведенческая биометрия. РекФэйсис. URL: https://rekfasis.ru/blog/types-of-biometrics (дата обращения: 03.11.2025).
6. Объекты и субъекты: биометрические данные (Biometric Data). Orion Solutions. URL: https://orion-solutions.ru/poleznye-materialy/biometricheskie-dannye-biometric-data/ (дата обращения: 03.11.2025).
7. Понятие информации. Количество информации. Единицы измерения информации. ЗФТШ. URL: https://zftsh.fizteh.ru/informatics/1-1-ponyatie-informacii-kolichestvo-informacii-edinicy-izmereniya-informacii/ (дата обращения: 03.11.2025).
8. Единицы измерения объема информации в компьютере. Интернет-лицей ТПУ. URL: https://internet.tpu.ru/uchebnye-materialy/informatika/1-kurs/osnovy-informatiki/edinicy-izmereniya-obema-informatsii-v-kompyutere (дата обращения: 03.11.2025).
9. Учебник по информатике. 2.1. Формулы Хартли и Шеннона. НГТУ. URL: https://www.nstu.ru/study/e_learning/e_books/informatika/2_1.html (дата обращения: 03.11.2025).
10. Основные понятия и принцип работы биометрии: что, где и почему? Secure-Key. URL: https://secure-key.ru/articles/biometriya/ (дата обращения: 03.11.2025).
11. Погрешность измерения: абсолютная и относительная, что это такое, формула погрешности в 2024 году. ROMI center. URL: https://romi.center/blog/absolute-and-relative-error/ (дата обращения: 03.11.2025).
12. Что такое биометрия? Как ее используют в кибербезопасности? Kaspersky. URL: https://www.kaspersky.ru/resource-center/definitions/what-is-biometrics (дата обращения: 03.11.2025).
13. Правила дифференцирования. Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/pravila-differentsirovaniya (дата обращения: 03.11.2025).
14. Единицы измерения количества информации: виды и стандарты. GeekBrains. URL: https://gb.ru/blog/ediniczy-izmereniya-kolichestva-informacii/ (дата обращения: 03.11.2025).
15. Общая формула теории погрешностей (погрешность вычисления значения функции). МЭСИ. URL: https://eup.ru/docs/teoria-pogreshnostey-i-chislennye-metody.doc (дата обращения: 03.11.2025).
16. Основные положения Теории информации. Учёба.SU. URL: https://ucheba.su/glossary/informacionnaya-teoriya.html (дата обращения: 03.11.2025).
17. Погрешность: что это такое, как измеряется. Calltouch.Блог. URL: https://calltouch.ru/blog/chto-takoe-pogreshnost/ (дата обращения: 03.11.2025).
18. Правила дифференцирования и таблица производных. Mathprofi.ru. URL: http://mathprofi.ru/pravila_differencirovanija_i_tablica_proizvodnyh.html (дата обращения: 03.11.2025).
19. Что такое биометрия: принципы, виды и применение в современном мире. iot.ru. URL: https://iot.ru/internet-veshchey/chto-takoe-biometriya-principy-vidy-i-primenenie-v-sovremennom-mire (дата обращения: 03.11.2025).
20. Современные методы биометрической идентификации. Azone IT. URL: https://azone-it.ru/sovremennye-metody-biometricheskoj-identifikacii/ (дата обращения: 03.11.2025).
21. Современные методы биометрической идентификации при обеспечении безопасности. Полезные статьи Biosmart. URL: https://biosmart.ru/blog/sovremennye-metody-biometricheskoj-identifikatsii/ (дата обращения: 03.11.2025).
22. Абсолютная и относительная погрешность: что это, как найти погрешности измерений по формуле. Яндекс. URL: https://www.yandex.ru/q/question/absoliutnaia_i_otnositelnaia_pogreshnost_chto_eto_kak_naiti_pogreshnosti_izmerenii_po_formule_545cf5f5/ (дата обращения: 03.11.2025).
23. Производная сложной функции. Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/proizvodnaya-slozhnoy-funktsii (дата обращения: 03.11.2025).
24. Абсолютная и относительная погрешность. Образовака. URL: https://obrazovaka.ru/matematika/absolyutnaya-i-otnositelnaya-pogreshnost-formula.html (дата обращения: 03.11.2025).
25. Производная сложной функции: теория, практика и значение для подготовки к ЕГЭ по алгебре. 1C: Репетитор. URL: https://repetitor.1c.ru/articles/proizvodnaya-slozhnoj-funkcii/ (дата обращения: 03.11.2025).
26. Шаг 1 – Формула Хартли измерения количества информации. Stepik. URL: https://stepik.org/lesson/112678/step/1?unit=88318 (дата обращения: 03.11.2025).
27. Глава 6. Теория информации. МИИТ. URL: http://miit-ief.ru/site_files/Uchebnie_posob_i_metod_ukaz_dlia_prakt_zanyatiy_po_disciplinam/Informatika/Teoriya_informacii.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
28. Физика 10: Приложение. Вычисление погрешностей измерений. Fizika.eup.ru. URL: https://fizika.eup.ru/uchebniki/f10/f10-10.htm (дата обращения: 03.11.2025).
29. Биометрическая идентификация и аутентификация. Методы и технологии. Hi-Tech Security. URL: https://hi-tech-security.ru/articles/biometricheskaya-identifikatsiya-i-autentifikatsiya-metody-i-tekhnologii/ (дата обращения: 03.11.2025).
30. Конев В.В. Дифференцирование функций. НГУ. URL: https://www.nsu.ru/education/teach/differentiation/ (дата обращения: 03.11.2025).
31. Какая биометрия лучше: сравнительный обзор биометрических методов на базе Big Data и Machine Learning. Школа Больших Данных. URL: https://bigdatateam.org/articles/biometricheskaya-identifikatsiya/ (дата обращения: 03.11.2025).
32. Правила дифференцирования функций. Резольвента. URL: https://resolventa.ru/spr/diff/pravila.htm (дата обращения: 03.11.2025).
33. Производная сложной функции. Примеры решений. Математика для заочников (Mathprofi.ru). URL: http://mathprofi.ru/proizvodnaya_slozhnoi_funkcii.html (дата обращения: 03.11.2025).
34. Лекция 14. Правила дифференцирования и свойства дифференцируемых функций. Math-CS.ru. URL: https://math-cs.ru/ru/articles/math/diff-rules/ (дата обращения: 03.11.2025).
35. Основные понятия теории информации. СибГУТИ. URL: https://sibsutis.ru/upload/sveden/education/acad_works/Teoriya_informacii.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
36. Краткая теория погрешностей. Fizika.eup.ru. URL: https://fizika.eup.ru/docs/teoriya_pogreshnostey.doc (дата обращения: 03.11.2025).
37. Элементы теории погрешностей. МГПУ. URL: https://mgupu.ru/uploads/files/students/elementy_teorii_pogreshnostej.pdf (дата обращения: 03.11.2025).