Полное руководство по решению типовых задач контрольной работы по комплексному анализу: Теория, алгоритмы, примеры

В мире, где технологии и наука развиваются с ошеломляющей скоростью, математика остаётся фундаментом для большинства инженерных, физических и даже экономических дисциплин. Среди её разделов особое место занимает комплексный анализ, или Теория функций комплексного переменного (ТФКП). Это не просто абстрактная ветвь математики; это мощный инструмент, который находит применение в таких разнообразных областях, как гидродинамика, электродинамика, квантовая механика, теория упругости, обработка сигналов и даже картография. Для студента технического или математического вуза освоение ТФКП — это не только академическая необходимость, но и приобретение компетенций, открывающих двери к решению сложных прикладных задач.

Контрольная работа по комплексному анализу часто становится камнем преткновения. Причина кроется не только в кажущейся сложности самого материала, но и в отсутствии систематизированного подхода к решению типовых задач. Именно поэтому это руководство призвано стать вашим надёжным штурманом в бурном море комплексных чисел и функций. Мы не просто дадим ответы, но научим думать, анализировать и применять знания, превращая каждый тезис в чёткий алгоритм действий, что позволит уверенно справляться с задачами любой сложности.

Цели и задачи руководства

Наше руководство преследует амбициозную цель: превратить каждого студента, осваивающего комплексный анализ, в уверенного пользователя его инструментов. После внимательного изучения материала и проработки примеров вы сможете:

• Безошибочно оперировать комплексными числами в различных формах, выполняя все необходимые арифметические операции.
• Точно находить действительные и мнимые части сложных функций, что является краеугольным камнем для дальнейшего анализа.
• Уверенно определять и строить геометрические места точек, интерпретируя сложные уравнения и неравенства на комплексной плоскости.
• Глубоко понимать условия дифференцируемости и аналитичности функций, проверяя их на соответствие условиям Коши-Римана.
• Интерпретировать геометрический смысл производной, оценивая повороты и растяжения при отображениях.
• Эффективно работать с линейными и дробно-линейными отображениями, предсказывая трансформацию геометрических объектов.
• Мастерски строить образы и прообразы линий и областей при различных отображениях, визуализируя сложные математические преобразования.

Каждый раздел — это шаг к этой цели, построенный на строгих математических принципах и дополненный практическими примерами, что позволит вам не только решить конкретную задачу, но и понять её глубинную суть.

Структура контрольной работы по ТФКП (типовые задачи)

Типовая контрольная работа по комплексному анализу, как правило, включает в себя несколько групп задач, каждая из которых проверяет определённый набор компетенций. Наше руководство построено в соответствии с этой логикой, чтобы обеспечить максимально эффективную подготовку:

1. Задачи на комплексные числа и их формы: Преобразование из одной формы в другую, арифметические операции, возведение в степень и извлечение корня.
2. Задачи на вычисление действительной и мнимой частей функций: Определение Re f(z) и Im f(z) для степенных, показательных, тригонометрических и гиперболических функций.
3. Задачи на геометрическое место точек (ГМТ): Описание и построение областей и линий, заданных уравнениями и неравенствами.
4. Задачи на дифференцируемость и аналитичность: Проверка условий Коши-Римана, нахождение производной.
5. Задачи на геометрический смысл производной: Интерпретация модуля и аргумента производной как коэффициентов растяжения и углов поворота.
6. Задачи на линейные и дробно-линейные отображения: Построение образов фигур, нахождение преобразований по заданным точкам.
7. Задачи на построение образов и прообразов линий и областей: Применение общего алгоритма к различным типам функций.

Каждый из этих блоков будет подробно разобран в соответствующих главах, предлагая теоретические основы, пошаговые алгоритмы и детально проработанные примеры, чтобы вы могли уверенно справиться с любым заданием.

Основы комплексных чисел: Геометрия и алгебра для задач

Комплексные числа — это фундамент, на котором зиждется весь комплексный анализ. Прежде чем погружаться в мир функций и отображений, необходимо досконально овладеть их сутью, формами представления и правилами арифметики, поскольку без этого навыка любое дальнейшее изучение будет подобно строительству дома без прочного фундамента.

Определение и формы комплексных чисел

Введение в математику концепции мнимой единицы i, где i² = -1, стало поворотным моментом. Именно это позволяет нам оперировать корнями из отрицательных чисел, открывая дорогу к более полному пониманию многих алгебраических и аналитических проблем. Комплексное число z определяется как выражение вида a + ib, где a и b — любые действительные числа.

• Действительная часть (Re z): Число a, не содержащее мнимую единицу.
• Мнимая часть (Im z): Число b, являющееся коэффициентом при мнимой единице.

Равенство двух комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i достигается тогда и только тогда, когда a₁ = a₂ и b₁ = b₂.

Помимо алгебраической формы, существуют ещё две ключевые формы представления комплексных чисел, которые значительно упрощают многие операции:

1. Тригонометрическая форма: z = ρ(cosφ + i sinφ), где ρ — модуль комплексного числа, а φ — его аргумент.
2. Показательная форма (или форма Эйлера): z = ρe^iφ, основанная на формуле Эйлера: e^iφ = cosφ + i sinφ.

Эти формы тесно связаны между собой и с алгебраической формой, и выбор наиболее подходящей формы часто является ключом к эффективному решению задачи.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Одним из самых мощных аспектов комплексных чисел является их наглядная геометрическая интерпретация. Каждое комплексное число z = x + iy может быть однозначно сопоставлено точке с координатами (x, y) на плоскости, которую называют комплексной плоскостью (или плоскостью Аргана). Ось абсцисс при этом называется действительной осью (Re z), а ось ординат — мнимой осью (Im z).

Такое представление позволяет переводить алгебраические операции в геометрические преобразования:

• Модуль комплексного числа (|z| или ρ): Геометрически представляет собой расстояние от начала координат до точки, соответствующей числу z на комплексной плоскости. Для z = x + iy, модуль вычисляется по формуле: |z| = √x² + y². Расстояние между двумя точками z₁ и z₂ на комплексной плоскости равно |z₁ — z₂|.
• Аргумент комплексного числа (Arg z или φ): Это угол, образованный вектором, идущим от начала координат к точке z, с положительным направлением действительной оси. Угол измеряется против часовой стрелки. Аргумент определяется с точностью до 2πk, где k — целое число. Однако часто используют главное значение аргумента (arg z), которое лежит в интервале [0, 2π) или (-π, π]. Для z = 0 аргумент не определен.

Геометрическая интерпретация критически важна для понимания отображений и геометрического места точек, которые будут рассмотрены далее.

Действия над комплексными числами

Операции с комплексными числами имеют свои особенности, которые зависят от формы представления числа.

1. Сложение и вычитание (в алгебраической форме)

Пусть z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i.

• Сложение: z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂).
• Вычитание: z₁ — z₂ = (a₁ — a₂) + i(b₁ — b₂).

Геометрически это соответствует векторному сложению или вычитанию.

2. Умножение

• В алгебраической форме: z₁z₂ = (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁a₂ + a₁b₂i + b₁a₂i + b₁b₂i² = (a₁a₂ — b₁b₂) + i(a₁b₂ + b₁a₂).
• В тригонометрической/показательной форме: Если z₁ = ρ₁(cosφ₁ + i sinφ₁) и z₂ = ρ₂(cosφ₂ + i sinφ₂), то z₁z₂ = ρ₁ρ₂(cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)). В показательной форме: z₁z₂ = ρ₁ρ₂e^{i(φ₁+φ₂)}.

Геометрический смысл: при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.

3. Деление

• В алгебраической форме: Для z₁/z₂, умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к z₂ число (если z₂ = a₂ + b₂i, то &z;₂ = a₂ — b₂i):
  z₁/z₂ = (a₁ + b₁i)/(a₂ + b₂i) = ((a₁ + b₁i)(a₂ — b₂i))/((a₂ + b₂i)(a₂ — b₂i)) = ((a₁a₂ + b₁b₂) + i(b₁a₂ — a₁b₂))/(a₂² + b₂²).
• В тригонометрической/показательной форме: z₁/z₂ = (ρ₁/ρ₂)(cos(φ₁ — φ₂) + i sin(φ₁ — φ₂)). В показательной форме: z₁/z₂ = (ρ₁/ρ₂)e^{i(φ₁-φ₂)}.

Геометрический смысл: при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

4. Возведение в степень (Формула Муавра)

Для z = ρ(cosφ + i sinφ) и натурального числа n:
zⁿ = ρⁿ(cos(nφ) + i sin(nφ)). В показательной форме: zⁿ = ρⁿe^inφ.
Эта формула особенно эффективна для высоких степеней.

5. Извлечение корня n-й степени

Корень n-й степени из комплексного числа z ≠ 0 имеет n различных значений. Если z = ρ(cosφ + i sinφ), то n-е корни определяются как:

zk = ⁿ√ρ (cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n))

где k = 0, 1, …, n-1.
Геометрически эти n корней расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом ⁿ√ρ.

Примеры решения задач

Разберём типовые задачи, иллюстрирующие применение рассмотренных концепций.

Задача 1: Перевести число z = -1 + i в тригонометрическую и показательную формы.

1. Находим модуль ρ:
   ρ = |z| = √((-1)² + 1²) = √(1 + 1) = √2.
2. Находим аргумент φ:
   Точка (-1, 1) находится во втором квадранте.
   tgφ = y/x = 1/(-1) = -1.
   Главное значение аргумента: φ = arctg(-1) + π = -π/4 + π = 3π/4.
3. Записываем в тригонометрической форме:
   z = √2(cos(3π/4) + i sin(3π/4)).
4. Записываем в показательной форме:
   z = √2e^i3π/4.

Задача 2: Вычислить (-1 + i)¹⁰.

Воспользуемся результатом Задачи 1 и формулой Муавра.
z = √2(cos(3π/4) + i sin(3π/4)).
z¹⁰ = (√2)¹⁰(cos(10 ⋅ 3π/4) + i sin(10 ⋅ 3π/4)).
(√2)¹⁰ = 2⁵ = 32.
10 ⋅ 3π/4 = 30π/4 = 15π/2 = 6π + 3π/2.
cos(15π/2) = cos(6π + 3π/2) = cos(3π/2) = 0.
sin(15π/2) = sin(6π + 3π/2) = sin(3π/2) = -1.
Таким образом, (-1 + i)¹⁰ = 32(0 + i(-1)) = -32i.

Задача 3: Найти все значения кубического корня из z = -8i.

1. Представим z в тригонометрической форме:
   z = -8i. Точка (0, -8) находится на отрицательной мнимой оси.
   ρ = |-8i| = 8.
   φ = 3π/2.
   z = 8(cos(3π/2) + i sin(3π/2)).
2. Применяем формулу для корня n-й степени (n=3):
   zk = ³√8 (cos((3π/2 + 2πk)/3) + i sin((3π/2 + 2πk)/3)), где k = 0, 1, 2.
   ³√8 = 2.
   Для k = 0:
   z₀ = 2(cos( (3π/2)/3 ) + i sin( (3π/2)/3 )) = 2(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2(0 + i ⋅ 1) = 2i.
   Для k = 1:
   z₁ = 2(cos( (3π/2 + 2π)/3 ) + i sin( (3π/2 + 2π)/3 )) = 2(cos( (7π/2)/3 ) + i sin( (7π/2)/3 )) = 2(cos(7π/6) + i sin(7π/6)) = 2(-√3/2 — i ⋅ 1/2) = -√3 — i.
   Для k = 2:
   z₂ = 2(cos( (3π/2 + 4π)/3 ) + i sin( (3π/2 + 4π)/3 )) = 2(cos( (11π/2)/3 ) + i sin( (11π/2)/3 )) = 2(cos(11π/6) + i sin(11π/6)) = 2(√3/2 — i ⋅ 1/2) = √3 — i.

Таким образом, кубические корни из -8i это 2i, -√3 — i, √3 — i. Эти три точки образуют вершины правильного треугольника, вписанного в окружность радиусом 2 с центром в начале координат. Понимание этой геометрической интерпретации позволяет не только найти корни, но и проверить их взаимное расположение, что является важным аспектом самоконтроля.

Вычисление действительной и мнимой частей функций комплексного переменного

Когда речь заходит о функциях комплексного переменного, одной из фундаментальных задач является выделение их действительной и мнимой частей. Это позволяет перевести комплексную функцию w = f(z) в пару действительных функций двух действительных переменных u(x, y) и v(x, y), где f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Такой переход критически важен для дальнейшего анализа, например, при проверке условий Коши-Римана или построении образов.

Алгоритм нахождения Re f(z) и Im f(z)

Процесс нахождения действительной и мнимой частей комплексной функции достаточно прямолинеен, но требует внимательности при алгебраических преобразованиях.

Алгоритм:

1. Замена переменной: Подставить z = x + iy в выражение для функции f(z).
2. Раскрытие скобок и приведение подобных членов: Используя свойства мнимой единицы (i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 и т.д.), выполнить все алгебраические операции (возведение в степень, умножение, деление и т.д.).
3. Группировка слагаемых: Выделить все члены, не содержащие i, — это будет действительная часть u(x, y). Все члены, умноженные на i (без самой i), составят мнимую часть v(x, y).

Пример: Найти Re(z²) и Im(z²).
1. z = x + iy.
2. f(z) = z² = (x + iy)² = x² + 2xyi + (iy)² = x² + 2xyi — y² = (x² — y²) + i(2xy).
3. Re(z²) = x² — y².
Im(z²) = 2xy.

Работа с основными элементарными функциями

Рассмотрим применение алгоритма к некоторым типовым элементарным функциям комплексного переменного.

1. Степенная функция: f(z) = zⁿ

Как показано в примере выше, для n=2: Re(z²) = x² — y², Im(z²) = 2xy.
Для более высоких степеней n, особенно для целых n > 2, удобнее использовать тригонометрическую или показательную форму z = ρe^iφ и формулу Муавра:
zⁿ = (ρe^iφ)ⁿ = ρⁿe^inφ = ρⁿ(cos(nφ) + i sin(nφ)).
Тогда Re(zⁿ) = ρⁿcos(nφ) и Im(zⁿ) = ρⁿsin(nφ).
Для перевода обратно в x, y координаты, необходимо выразить ρ и φ через x и y (ρ = √x² + y², φ = arctg(y/x)), что может быть громоздким. Поэтому, для степеней n > 2, часто требуется раскрытие скобок (x + iy)ⁿ с использованием бинома Ньютона.

Пример: Найти Re(z³) и Im(z³).
z³ = (x + iy)³ = x³ + 3x²(iy) + 3x(iy)² + (iy)³ = x³ + 3ix²y — 3xy² — iy³ = (x³ — 3xy²) + i(3x²y — y³).
Re(z³) = x³ — 3xy².
Im(z³) = 3x²y — y³.

2. Показательная функция: f(z) = e^z

Используем определение z = x + iy:
e^z = e^{x + iy} = e^x ⋅ e^iy.
По формуле Эйлера e^iy = cos y + i sin y.
Следовательно, e^z = e^x(cos y + i sin y) = e^xcos y + i e^xsin y.
Re(e^z) = e^xcos y.
Im(e^z) = e^xsin y.

3. Тригонометрические функции: sin z, cos z

Тригонометрические функции комплексного переменного определяются через показательную функцию:

cos z = ½ (eiz + e-iz)
sin z = 1/(2i) (eiz - e-iz)

Для cos z:
iz = i(x + iy) = ix — y.
-iz = -i(x + iy) = -ix + y.
cos z = ½ (e^-y+ix + e^y-ix) = ½ (e^-y(cos x + i sin x) + e^y(cos(-x) + i sin(-x)))
cos z = ½ (e^-ycos x + i e^-ysin x + e^ycos x — i e^ysin x)
cos z = ½ (cos x(e^-y + e^y) + i sin x(e^-y — e^y))
Вспомним определения гиперболических функций: ch y = ½ (e^y + e^-y) и sh y = ½ (e^y — e^-y).
Тогда cos z = cos x ch y — i sin x sh y.
Re(cos z) = cos x ch y.
Im(cos z) = —sin x sh y.

Аналогично для sin z:
sin z = 1/(2i) (e^-y+ix — e^y-ix) = 1/(2i) (e^-y(cos x + i sin x) — e^y(cos x — i sin x))
sin z = 1/(2i) (e^-ycos x + i e^-ysin x — e^ycos x + i e^ysin x)
sin z = 1/(2i) (cos x(e^-y — e^y) + i sin x(e^-y + e^y))
sin z = 1/(2i) (-2 sh y cos x + i ⋅ 2 ch y sin x) (умножаем числитель и знаменатель на —i)
sin z = (-i)/2i (-2 sh y cos x + i ⋅ 2 ch y sin x) = (-1/2) (-2 sh y cos x + i ⋅ 2 ch y sin x)
sin z = sh y cos x — i ch y sin x.
Re(sin z) = sh y cos x.
Im(sin z) = —ch y sin x.

4. Гиперболические функции: sh z, ch z

Гиперболические функции определяются схожим образом:

ch z = ½ (ez + e-z)
sh z = ½ (ez - e-z)

Для ch z:
ch z = ½ (e^x+iy + e^-(x+iy)) = ½ (e^x(cos y + i sin y) + e^-x(cos(-y) + i sin(-y)))
ch z = ½ (e^xcos y + i e^xsin y + e^-xcos y — i e^-xsin y)
ch z = ½ (cos y(e^x + e^-x) + i sin y(e^x — e^-x))
ch z = ch x cos y + i sh x sin y.
Re(ch z) = ch x cos y.
Im(ch z) = sh x sin y.

Для sh z:
sh z = ½ (e^x+iy — e^-(x+iy)) = ½ (e^x(cos y + i sin y) — e^-x(cos y — i sin y))
sh z = ½ (e^xcos y + i e^xsin y — e^-xcos y + i e^-xsin y)
sh z = ½ (cos y(e^x — e^-x) + i sin y(e^x + e^-x))
sh z = sh x cos y + i ch x sin y.
Re(sh z) = sh x cos y.
Im(sh z) = ch x sin y.
Понимание этих преобразований и умение их выполнять являются базовыми навыками для решения большинства задач по ТФКП, поскольку они позволяют перейти от комплексной записи к удобным для анализа действительным функциям.

Геометрическое место точек на комплексной плоскости: Построение и анализ

Геометрическое место точек (ГМТ) на комплексной плоскости — это визуальное представление множества комплексных чисел, удовлетворяющих определенному уравнению или неравенству. Эти задачи требуют перевода алгебраических выражений в комплексной форме в привычные декартовы координаты (x, y), что позволяет идентифицировать хорошо известные геометрические фигуры: прямые, окружности, эллипсы, гиперболы и их комбинации.

Основные типы уравнений и неравенств

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся формы уравнений и неравенств, описывающих ГМТ:

1. |z — z₀| = R: Это уравнение описывает окружность с центром в точке z₀ (которая имеет координаты (x₀, y₀), если z₀ = x₀ + iy₀) и радиусом R. Все точки z, удовлетворяющие этому условию, равноудалены от z₀ на расстояние R.
   

   Пример: |z — (1 + 2i)| = 3 описывает окружность с центром (1, 2) и радиусом 3.

2. |z — z₀| < R: Это неравенство описывает открытый круг (внутренность окружности) с центром в z₀ и радиусом R. Точки на самой окружности в это множество не входят.
3. |z — z₀| ≤ R: Это неравенство описывает замкнутый круг с центром в z₀ и радиусом R. Точки на самой окружности входят в это множество.
4. |z — z₁| = |z — z₂|: Это уравнение описывает серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки z₁ и z₂. Все точки z, удовлетворяющие этому условию, равноудалены от z₁ и z₂.
   

   Пример: |z — 1| = |z — i| описывает прямую, проходящую через начало координат с углом наклона 3π/4 (или -π/4).

5. Re z = C: Описывает вертикальную прямую x = C.
6. Im z = C: Описывает горизонтальную прямую y = C.
7. arg(z — z₀) = α: Описывает луч, исходящий из точки z₀ под углом α к положительному направлению действительной оси.
8. α < arg(z — z₀) < β: Описывает сектор (угол) с вершиной в z₀.

Алгоритм определения ГМТ

Для определения ГМТ, заданного сложным уравнением или неравенством, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Замена переменной: Подставить z = x + iy в исходное выражение.
2. Выделение действительной и мнимой частей: Если в выражении есть функции от z (например, z², 1/z, e^z), сначала необходимо найти их действительные и мнимые части, как было описано в предыдущей главе.
3. Перевод в декартовы координаты: Используя |z| = √x² + y² и другие алгебраические преобразования, упростить выражение, избавившись от комплексной формы и приведя его к уравнению или неравенству относительно x и y.
4. Идентификация геометрической фигуры: По полученному уравнению или неравенству определить тип геометрической фигуры (прямая, окружность, эллипс, гипербола, парабола, область и т.д.) и её параметры (центр, радиус, полуоси, асимптоты).
5. Графическая интерпретация: Построить полученную фигуру на комплексной плоскости.

Пример 1: Определить ГМТ, заданное условием Re z² = -1.

1. Подставим z = x + iy:
   z² = (x + iy)² = x² + 2ixy — y² = (x² — y²) + i(2xy).
2. Выделяем действительную часть:
   Re z² = x² — y².
3. Приравниваем к -1:
   x² — y² = -1.
4. Идентификация фигуры: Это уравнение равнобочной гиперболы с действительной осью, расположенной вдоль мнимой оси (оси y). Её вершины находятся в точках (0, 1) и (0, -1).

Пример 2: Определить ГМТ, заданное условием |z — 1| + |z + 1| = 4.

1. Это выражение уже находится в удобной форме. Помним, что |z — z₁| — это расстояние от z до z₁. Таким образом, сумма расстояний от точки z до двух фиксированных точек z₁ = 1 и z₂ = -1 равна 4.
2. Это классическое определение эллипса, где z₁ и z₂ являются фокусами, а сумма расстояний до них равна 2a (большая ось).
3. Здесь 2a = 4, следовательно, a = 2. Расстояние между фокусами 2c = |1 — (-1)| = |2| = 2, следовательно, c = 1.
4. Для эллипса a² = b² + c². Значит, 2² = b² + 1² ⇒ 4 = b² + 1 ⇒ b² = 3 ⇒ b = √3.
5. Уравнение эллипса с фокусами на действительной оси, симметричного относительно начала координат, имеет вид x²/a² + y²/b² = 1.
   Подставляя a=2, b=√3, получаем: x²/4 + y²/3 = 1.
6. Графическая интерпретация: Эллипс с центром в начале координат, пересекающий действительную ось в точках (-2, 0) и (2, 0), и мнимую ось в точках (0, -√3) и (0, √3).

Умение быстро и точно определять ГМТ на комплексной плоскости является ключевым для понимания многих процессов отображений и областей определения/аналитичности функций, ведь оно даёт наглядное представление о поведении комплексных чисел.

Дифференцируемость функций комплексного переменного и условия Коши-Римана

В действительной математике понятие производной является краеугольным камнем дифференциального исчисления. В комплексном анализе это понятие приобретает особую глубину и приводит к строгим условиям, которые определяют уникальный класс функций — аналитические функции. Понимание этих условий критически важно для дальнейшего изучения ТФКП.

Понятие производной и дифференцируемости

Пусть функция w = f(z) определена в некоторой области D комплексной плоскости. Производная функции f(z) в точке z₀ ∈ D определяется аналогично производной функции действительного переменного:

f'(z₀) = limΔz→0 (f(z₀ + Δz) - f(z₀))/Δz

при условии, что этот предел существует и не зависит от способа, которым Δz стремится к нулю. Это ключевое отличие от функций двух действительных переменных, где частные производные могут существовать, но функция не будет дифференцируемой.

Функция f(z) называется дифференцируемой в точке z₀, если существует её производная f'(z₀).
Из дифференцируемости функции в точке всегда следует её непрерывность в этой точке. Однако, как и для действительных функций, обратное утверждение неверно: функция может быть непрерывной, но недифференцируемой.

Условия Коши-Римана

Несмотря на аналогичное определение, требование независимости предела от пути, по которому Δz → 0, накладывает очень строгие ограничения на комплексные функции. Эти ограничения выражаются в условиях Коши-Римана.

Пусть f(z) = u(x, y) + iv(x, y), где u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z).
Для того чтобы функция f(z) была дифференцируемой в точке z₀ = x₀ + iy₀, необходимо и достаточно, чтобы:

1. Действительная и мнимая части u(x, y) и v(x, y) были дифференцируемы как функции двух действительных переменных x и y в точке (x₀, y₀).
2. В этой точке выполнялись условия Коши-Римана:
   ∂u/∂x = ∂v/∂y
   ∂u/∂y = -∂v/∂x

Если эти условия выполняются, то производная f'(z) может быть вычислена по одной из следующих формул:

f'(z) = ∂u/∂x + i∂v/∂x
f'(z) = ∂v/∂y - i∂u/∂y
f'(z) = ∂u/∂x - i∂u/∂y (Эта формула получается из первой, если учесть второе условие Коши-Римана: ∂v/∂x = -∂u/∂y)

Алгоритм проверки условий Коши-Римана и нахождения производной:

1. Выделить Re f(z) и Im f(z): Определить u(x, y) и v(x, y) для данной функции f(z).
2. Найти частные производные первого порядка: Вычислить ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y.
3. Проверить условия Коши-Римана: Подставить найденные частные производные в уравнения ∂u/∂x = ∂v/∂y и ∂u/∂y = -∂v/∂x.
4. Сделать вывод о дифференцируемости/аналитичности:
   • Если условия Коши-Римана не выполняются хотя бы в одной точке области, функция не является аналитической в этой области.
   • Если условия Коши-Римана выполняются во всех точках области D, и частные производные непрерывны, то функция аналитична в D.
5. Вычислить производную (если условия выполняются): Использовать одну из формул для f'(z).

Аналитические функции

Функция f(z) называется аналитической (или регулярной, моногенной, голоморфной) в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области.
Если функция аналитична в области D, то она обладает рядом замечательных свойств:

• Она бесконечно дифференцируема в D.
• Её действительная и мнимая части (u и v) являются гармоническими функциями, то есть они удовлетворяют уравнению Лапласа: Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 и Δv = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = 0.
• Гармонические функции u и v, связанные условиями Коши-Римана, называются сопряженными гармоническими функциями.

Пример 1: Проверить на аналитичность функцию f(z) = z² и найти её производную.

1. u(x, y) = x² — y², v(x, y) = 2xy (из предыдущей главы).
2. Частные производные:
   ∂u/∂x = 2x
   ∂u/∂y = -2y
   ∂v/∂x = 2y
   ∂v/∂y = 2x
3. Проверка условий Коши-Римана:
   ∂u/∂x = 2x и ∂v/∂y = 2x. Условие ∂u/∂x = ∂v/∂y выполняется.
   ∂u/∂y = -2y и ∂v/∂x = 2y. Условие ∂u/∂y = -∂v/∂x (т.е. -2y = — (2y)) выполняется.
   Условия Коши-Римана выполняются для всех x, y. Частные производные непрерывны.
4. Вывод: Функция f(z) = z² является аналитической во всей комплексной плоскости.
5. Находим производную:
   f'(z) = ∂u/∂x + i∂v/∂x = 2x + i(2y) = 2(x + iy) = 2z.
   (Это согласуется с правилом дифференцирования степенной функции: (zⁿ)’ = nz^n-1).

Пример 2: Проверить на аналитичность функцию f(z) = &z; (комплексно-сопряженное число).

1. &z; = x — iy.
   u(x, y) = x, v(x, y) = -y.
2. Частные производные:
   ∂u/∂x = 1
   ∂u/∂y = 0
   ∂v/∂x = 0
   ∂v/∂y = -1
3. Проверка условий Коши-Римана:
   ∂u/∂x = 1, ∂v/∂y = -1. Условие ∂u/∂x = ∂v/∂y (т.е. 1 = -1) не выполняется.
   ∂u/∂y = 0, ∂v/∂x = 0. Условие ∂u/∂y = -∂v/∂x (т.е. 0 = -0) выполняется.
4. Вывод: Поскольку первое условие Коши-Римана не выполняется ни в одной точке, функция f(z) = &z; не является аналитической нигде на комплексной плоскости, хотя она непрерывна.

Этот пример демонстрирует строгость условий Коши-Римана и важность их проверки: недостаточно просто существующих частных производных, их взаимосвязь определяет уникальные свойства аналитических функций.

Геометрический смысл производной: Поворот, растяжение и конформные отображения

Производная функции комплексного переменного — это не только алгебраический объект, но и мощный инструмент для понимания геометрических трансформаций, которые происходят при отображении одной комплексной плоскости на другую. В отличие от действительного анализа, где производная характеризует наклон касательной, в комплексном анализе она описывает сразу два важных геометрических свойства: поворот и растяжение/сжатие. Эти свойства лежат в основе концепции конформных отображений, которые сохраняют углы между кривыми.

Аргумент производной: Угол поворота

Представьте себе, что на z-плоскости есть точка z₀ и через неё проходят две гладкие кривые. При отображении w = f(z) эти кривые переходят в новые кривые на w-плоскости, проходящие через точку w₀ = f(z₀).
Если функция f(z) аналитична в точке z₀ и f'(z₀) ≠ 0, то аргумент производной arg f'(z₀) имеет чёткий геометрический смысл: он равен углу, на который поворачивается касательная в точке z₀ к любой гладкой кривой, проходящей через эту точку, при отображении w = f(z). Этот угол поворота одинаков для всех кривых, проходящих через z₀, что является ключевым свойством конформных отображений.

Пример расчета углов поворота:
Рассмотрим отображение w = f(z) = z².
Мы знаем, что f'(z) = 2z.
Пусть z₀ = 1 + i.
Тогда f'(z₀) = 2(1 + i) = 2 + 2i.
Найдём аргумент f'(z₀):
|f'(z₀)| = √(2² + 2²) = √8 = 2√2.
arg f'(z₀) = arctg(2/2) = arctg(1) = π/4.
Это означает, что любая кривая, проходящая через точку z₀ = 1 + i, после отображения w = z² повернётся на угол π/4 (45 градусов) против часовой стрелки.

Модуль производной: Коэффициент растяжения

Помимо поворота, производная также описывает изменение масштаба. Модуль производной |f'(z₀)| равен коэффициенту растяжения (или сжатия) бесконечно малого вектора, исходящего из точки z₀, при отображении w = f(z).

• Если |f'(z₀)| > 1, происходит растяжение (увеличение длины).
• Если |f'(z₀)| < 1, происходит сжатие (уменьшение длины).
• Если |f'(z₀)| = 1, длина сохраняется.

Этот коэффициент растяжения также одинаков для всех направлений, исходящих из z₀, что является вторым аспектом конформности.

Пример расчета коэффициентов растяжения:
Продолжим с функцией w = f(z) = z² и точкой z₀ = 1 + i.
Мы нашли f'(z₀) = 2 + 2i, и его модуль |f'(z₀)| = 2√2.
Так как 2√2 ≈ 2.828 > 1, это означает, что в окрестности точки z₀ = 1 + i бесконечно малые длины векторов растягиваются примерно в 2.828 раза.

Сводная таблица геометрического смысла производной:

Параметр	Значение	Геометрический смысл при отображении w = f(z) в точке z₀
arg f'(z₀)	Угол α	Угол поворота касательной к любой кривой, проходящей через z₀.
|f'(z₀)|	Коэффициент k	Коэффициент растяжения (или сжатия) бесконечно малого вектора, исходящего из z₀.

Конформные отображения

Сочетание сохранения углов и одинакового растяжения во всех направлениях приводит нас к понятию конформного отображения.
Отображение w = f(z) называется конформным в точке z₀, если оно сохраняет углы между любыми двумя гладкими кривыми, проходящими через z₀, и их направление (ориентацию).
Условия конформности:
Отображение w = f(z) будет конформным в области D, если функция f(z):

1. Является аналитической в этой области D.
2. Её производная f'(z) не равна нулю в каждой точке z ∈ D.

Если f'(z₀) = 0, отображение в этой точке не будет конформным, поскольку модуль и аргумент производной не определены или не дают однозначного смысла. Например, для w = z² в точке z = 0, f'(0) = 0. В начале координат углы удваиваются, то есть углы не сохраняются, и отображение неконформно. Угол между лучами в начале координат при отображении w = z² увеличивается вдвое.

Пример конформного отображения:
Функция f(z) = e^z является аналитической во всей комплексной плоскости.
f'(z) = e^z. Поскольку e^z ≠ 0 для любого конечного z, отображение w = e^z является конформным во всей комплексной плоскости.
Это означает, что оно сохраняет углы и их ориентацию. Модуль |e^z| = e^x показывает растяжение, а arg(e^z) = y показывает поворот.

Контрпример:
Отображение w = &z; (комплексное сопряжение).
Мы уже знаем, что f(z) = &z; не является аналитической функцией. Хотя оно сохраняет величину углов, оно меняет их ориентацию на противоположную (зеркальное отражение). Поэтому оно не является конформным в строгом смысле сохранения направления углов.
Глубокое понимание геометрического смысла производной позволяет не только решать задачи, но и интуитивно представлять, как комплексные функции «деформируют» и «переворачивают» плоскость, что является одним из самых красивых аспектов комплексного анализа.

Линейные и дробно-линейные отображения: Свойства и применение

Среди всего многообразия функций комплексного переменного особое место занимают линейные и дробно-линейные отображения. Эти функции обладают удивительно простыми и в то же время мощными геометрическими свойствами, что делает их незаменимыми инструментами в самых разных областях, от картографии до теоретической физики.

Линейные отображения (w = az + b)

Линейное отображение имеет вид w = az + b, где a ≠ 0 и b — комплексные постоянные. Это одно из простейших, но при этом фундаментальных преобразований комплексной плоскости. Его геометрический смысл можно разложить на композицию двух более простых преобразований:

1. Поворотная гомотетия (растяжение/сжатие с поворотом): w₁ = az.
   • Модуль |a| определяет коэффициент растяжения (или сжатия) относительно начала координат.
   • Аргумент arg(a) определяет угол поворота вокруг начала координат.
2. Параллельный перенос: w = w₁ + b.
   • Комплексное число b определяет вектор, на который смещаются все точки плоскости.

Таким образом, любое линейное отображение — это комбинация растяжения/сжатия, поворота и сдвига.
Ключевое свойство: Линейное отображение является всюду конформным, поскольку его производная f'(z) = a (константа) и, по условию, a ≠ 0. Это означает, что оно сохраняет углы между кривыми и их ориентацию по всей комплексной плоскости.

Пример отображения простых фигур:
Пусть w = (1 + i)z + 2.
Здесь a = 1 + i, b = 2.
|a| = |1 + i| = √2.
arg(a) = π/4.
Это отображение растягивает плоскость в √2 раз, поворачивает на π/4 (45°) и затем сдвигает на 2 единицы вправо по действительной оси.
* Образ прямой Re z = 0 (мнимой оси):
Пусть z = iy. Тогда w = (1 + i)(iy) + 2 = iy + i²y + 2 = iy — y + 2 = (2 — y) + iy.
Обозначим w = u + iv. Тогда u = 2 — y и v = y.
Из v = y подставляем y в u: u = 2 — v.
Это уравнение прямой u + v = 2 на w-плоскости.

Дробно-линейные преобразования (преобразования Мёбиуса)

Дробно-линейное преобразование (ДЛП), или преобразование Мёбиуса, — это отображение комплексной плоскости на себя вида w = (az + b) / (cz + d), где a, b, c, d — комплексные постоянные, и выполняется условие невырожденности: ad — bc ≠ 0. Если ad — bc = 0, то числитель и знаменатель пропорциональны, и функция w будет константой.

ДЛП образуют некоммутативную группу, и каждое ДЛП осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости (обычная комплексная плоскость плюс бесконечно удаленная точка) на себя.
Например, если c ≠ 0, то z = -d/c отображается в w = ∞, а z = ∞ отображается в w = a/c.

Представление в виде суперпозиции простейших отображений:
Любое ДЛП можно представить как композицию следующих элементарных преобразований:

1. Целое линейное отображение: w = Az + B.
2. Инверсия: w = 1/z.
3. Сдвиг: w = z + C.

Это показывает, что ДЛП, несмотря на кажущуюся сложность, базируются на простых геометрических трансформациях.

Круговое свойство:
Одно из самых замечательных свойств ДЛП — это так называемое круговое свойство: при дробно-линейном отображении образом любой окружности (или прямой) является также окружность или прямая.

• Прямая может перейти как в прямую, так и в окружность.
• Окружность также может перейти как в прямую, так и в окружность.
  (Прямая рассматривается как «окружность бесконечного радиуса»).

Примеры:
* Инверсия w = 1/z является частным случаем ДЛП (a=0, b=1, c=1, d=0, ad-bc = -1 ≠ 0). Она переводит:

• Окружности, проходящие через начало координат, в прямые, не проходящие через начало координат.
• Прямые, не проходящие через начало координат, в окружности, проходящие через начало координат.
• Окружности, не проходящие через начало координат, в окружности, не проходящие через начало координат.
• Прямые, проходящие через начало координат, в прямые, проходящие через начало координат.

Сохранение углов:
Дробно-линейные преобразования являются конформными в любой точке, где cz + d ≠ 0. Производная f'(z) = (ad — bc) / (cz + d)², и так как ad — bc ≠ 0, а знаменатель не равен нулю, то f'(z) ≠ 0. Это означает, что ДЛП сохраняют углы между кривыми и их ориентацию.

Построение отображения по трем точкам

Круговое свойство и конформность ДЛП обуславливают их уникальную способность: дробно-линейное отображение однозначно определяется, если заданы образы трех различных точек.
Если мы хотим найти ДЛП, которое переводит точки z₁, z₂, z₃ в точки w₁, w₂, w₃ соответственно, мы можем использовать следующую формулу:

(w - w₁) (w₃ - w₂) / ((w - w₂) (w₃ - w₁)) = (z - z₁) (z₃ - z₂) / ((z - z₂) (z₃ - z₁))

Эта формула называется двойным отношением и позволяет найти искомое отображение. Если одна из точек бесконечно удалена, соответствующие члены в формуле исключаются. Например, если z₁ = ∞, то (z — z₁) и (z₃ — z₁) заменяются на 1.

Пример: Найти ДЛП, которое отображает точки z₁ = 0, z₂ = 1, z₃ = ∞ в точки w₁ = 1, w₂ = i, w₃ = -1.

Используем формулу двойного отношения. Поскольку z₃ = ∞, члены (z₃ — z₂) и (z₃ — z₁) в правой части заменяются на 1.
(w - 1)(-1 - i) / ((w - i)(-1 - 1)) = (z - 0) / (z - 1)
(w - 1)(-1 - i) / (-2(w - i)) = z / (z - 1)
(w - 1)(1 + i) / (2(w - i)) = z / (z - 1)
(w - 1)(1 + i)(z - 1) = 2z(w - i)
(1 + i)(zw - w - z + 1) = 2zw - 2iz
(1 + i)zw - (1 + i)w - (1 + i)z + (1 + i) = 2zw - 2iz
Теперь соберём члены с w в левой части, остальные — в правой:
(1 + i)zw - 2zw - (1 + i)w = (1 + i)z - (1 + i) - 2iz
w[(1 + i)z - 2z - (1 + i)] = z + iz - 1 - i - 2iz
w[z + iz - 2z - 1 - i] = z - iz - 1 - i
w[-z + iz - 1 - i] = z - iz - 1 - i
w = (z - iz - 1 - i) / (-z + iz - 1 - i)
w = (z(1 - i) - (1 + i)) / (z(-1 + i) - (1 + i))
Умножим числитель и знаменатель на -1:
w = (-z(1 - i) + (1 + i)) / (z(1 - i) + (1 + i))
Это и есть искомое дробно-линейное преобразование. Проверка условия ad — bc ≠ 0 для этого преобразования подтвердит его невырожденность. Умение работать с линейными и дробно-линейными отображениями является важным навыком, так как они часто встречаются в практических задачах ТФКП, позволяя моделировать сложные физические процессы.

Методы построения образов и прообразов линий и областей при отображениях

Построение образов и прообразов линий и областей — это центральная задача в комплексном анализе, которая позволяет визуализировать действие комплексных функций. Она требует системного подхода, сочетающего алгебраические преобразования и геометрическую интуицию. Эта глава призвана заполнить пробелы, которые часто встречаются в других источниках, предоставляя чёткие алгоритмы и детальные примеры.

Общий алгоритм построения образов

Для того чтобы найти образ линии или области L из z-плоскости при отображении w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выделить действительную и мнимую части функции: Представить f(z) в виде u(x, y) + iv(x, y). Таким образом, мы получаем систему уравнений:
   u = u(x, y)
   v = v(x, y)
2. Параметризация или явное выражение:
   • Если линия L задана уравнением F(x, y) = 0, то необходимо выразить x и y через u и v из системы, а затем подставить их в F(x, y) = 0. Или, если это возможно, выразить x и y из уравнения линии через параметр, а затем подставить эти выражения в u и v.
   • Если линия L задана параметрически (x(t), y(t)), то подставить x(t) и y(t) в u(x, y) и v(x, y), чтобы получить параметрическое представление образа u(t), v(t).
3. Исключение переменных/параметров: Исключить x и y (или параметр t) из полученных уравнений, чтобы получить явное уравнение образа в w-плоскости (зависимость между u и v).
4. Идентификация фигуры: Определить, какая геометрическая фигура описывается полученным уравнением в w-плоскости.
5. Построение: Визуализировать образ на w-плоскости.

Пример: Построить образ прямой y = C (где C — константа) при отображении w = z².

1. w = z² = (x² — y²) + i(2xy).
   u = x² — y²
   v = 2xy
2. Подставляем y = C:
   u = x² — C² (1)
   v = 2xC (2)
3. Из (2) выражаем x = v/(2C) (если C ≠ 0). Подставляем в (1):
   u = (v/(2C))² — C² = v²/(4C²) — C².
4. Это уравнение параболы u = v²/(4C²) — C² на w-плоскости, открывающейся вправо (положительное направление оси u).
   Если C = 0 (т.е. прямая y = 0, действительная ось), то u = x², v = 0. Образом является луч u ≥ 0 на действительной оси w-плоскости.

Построение образов для базовых функций

Рассмотрим несколько ключевых функций, отображения которых имеют характерные особенности.

1. Отображение w = z²

Как показано выше, прямые y = C переходят в параболы.

• Прямые x = C также переходят в параболы.
• Лучи, исходящие из начала координат, arg z = φ₀ переходят в лучи arg w = 2φ₀. Угол между лучами в начале координат удваивается.
• Окружности |z| = R переходят в окружности |w| = R².

2. Отображение w = 1/z (инверсия)

Это дробно-линейное преобразование (a=0, b=1, c=1, d=0) обладает уникальными свойствами:

• Лучи, исходящие из начала координат (z = r ⋅ e^iφ₀ при r > 0 и фиксированном φ₀), переходят в лучи w = (1/r) ⋅ e^iφ₀. То есть, они остаются лучами, исходящими из начала координат, в том же направлении.
• Окружности, не проходящие через начало координат, переходят в окружности, также не проходящие через начало координат.
• Окружности, проходящие через начало координат, переходят в прямые, не проходящие через начало координат.
• Прямые, не проходящие через начало координат, переходят в окружности, проходящие через начало координат.
• Прямые, проходящие через начало координат, переходят в прямые, проходящие через начало координат.

Пример: Найти образ прямой x = 1 при отображении w = 1/z.

1. w = 1/(x + iy) = (x — iy)/(x² + y²).
   u = x/(x² + y²)
   v = -y/(x² + y²)
2. Подставляем x = 1:
   u = 1/(1 + y²) (1)
   v = -y/(1 + y²) (2)
3. Из (1) видно, что u > 0. Также 1 + y² = 1/u.
   Подставим это в (2): v = -y/(1/u) = -yu. Значит, y = -v/u.
   Подставим y в 1 + y² = 1/u:
   1 + (-v/u)² = 1/u
   1 + v²/u² = 1/u
   Умножим на u²:
   u² + v² = u
   u² — u + v² = 0
   Дополним до полного квадрата для u: (u — 1/2)² — 1/4 + v² = 0
   (u — 1/2)² + v² = (1/2)².
4. Это уравнение окружности с центром в (1/2, 0) и радиусом 1/2. Отметим, что прямая x=1 не проходит через начало координат, и её образ — окружность, проходящая через начало координат (0,0).

3. Отображение w = e^z

w = e^x(cos y + i sin y).
|w| = e^x
arg w = y (с точностью до 2πk)

• Прямые x = C (вертикальные) переходят в окружности |w| = e^C с центром в начале координат.
• Прямые y = C (горизонтальные) переходят в лучи arg w = C, исходящие из начала координат.
• Прямоугольник x₁ ≤ x ≤ x₂, y₁ ≤ y ≤ y₂ переходит в кольцевой сектор.

4. Отображение w = sin z

w = sin x ch y + i cos x sh y.

• Прямые y = C (горизонтальные) переходят в эллипсы.
• Прямые x = C (вертикальные) переходят в гиперболы.

Построение прообразов

Построение прообразов — это обратная задача: дано уравнение образа в w-плоскости и функция w = f(z), нужно найти соответствующую линию или область в z-плоскости.

Алгоритм нахождения прообразов:

1. Выразить z через w: Если это возможно, найти обратную функцию z = f^-1(w).
2. Заменить w = u + iv: Подставить w = u + iv в уравнение образа.
3. Выразить x и y через u и v: Если z = x + iy, выразить x = Re(f^-1(u + iv)) и y = Im(f^-1(u + iv)).
4. Подставить в уравнение образа: Подставить u и v в уравнение образа и получить уравнение для x и y.

Чаще всего проще действовать методом подстановки, аналогичным поиску образа, но в обратном направлении.
Пример: Найти прообраз окружности |w| = 1 при отображении w = z².

1. Уравнение образа: |w| = 1.
2. Подставляем w = z²: |z²| = 1.
3. Используем свойство |zⁿ| = |z|ⁿ: |z|² = 1.
4. Извлекаем корень: |z| = 1.
5. Прообраз — это окружность единичного радиуса |z| = 1 в z-плоскости.

Иллюстрации отображений

Для полного понимания отображений критически важна визуализация. Создание графиков, показывающих, как сетка или простые фигуры деформируются при различных функциях, значительно углубляет интуитивное понимание.
Например, для w = z²: радиальные линии переходят в радиальные линии, но с удвоенным углом; окружности переходят в окружности, но с квадратом радиуса. Для w = 1/z: прямые и окружности переходят друг в друга, при этом начало координат является точкой инверсии.
К сожалению, в рамках текстового формата невозможно представить динамические иллюстрации. Однако, при решении задач рекомендуется всегда делать эскизы z-плоскости и w-плоскости, чтобы наглядно представлять процесс трансформации.

Практикум: Разбор типовых задач контрольной работы

Эта секция представляет собой «полигон» для отработки полученных знаний. Здесь собраны комплексные задачи, имитирующие реальную контрольную работу, с подробными пошаговыми решениями. Цель — не просто дать ответы, а продемонстрировать логику применения теоретических знаний и алгоритмов, что является ключом к успешной сдаче.

Задачи на комплексные числа и их формы

Задача 1: Вычислить (√3/2 + ½i)¹² и представить результат в алгебраической форме.

Решение:

1. Представим основание степени в тригонометрической форме:
   Пусть z = √3/2 + ½i.
   • Модуль: |z| = √((√3/2)² + (½)²) = √(3/4 + 1/4) = √1 = 1.
   • Аргумент: Re z = √3/2, Im z = ½. Точка находится в первом квадранте.
     tgφ = (½)/(√3/2) = 1/√3.
     φ = π/6.

   Таким образом, z = 1 ⋅ (cos(π/6) + i sin(π/6)).

2. Применим формулу Муавра:
   z¹² = 1¹² ⋅ (cos(12 ⋅ π/6) + i sin(12 ⋅ π/6))
   z¹² = 1 ⋅ (cos(2π) + i sin(2π))
   z¹² = 1 ⋅ (1 + i ⋅ 0) = 1.
3. Результат в алгебраической форме: 1.

Задачи на вычисление Re/Im функций

Задача 2: Найти действительную u(x, y) и мнимую v(x, y) части функции f(z) = z ⋅ e^z.

Решение:

1. Заменим z = x + iy:
   f(z) = (x + iy) ⋅ e^x+iy.
2. Используем формулу Эйлера для e^x+iy = e^x(cos y + i sin y):
   f(z) = (x + iy) ⋅ e^x(cos y + i sin y)
   f(z) = e^x ⋅ (x + iy)(cos y + i sin y)
   f(z) = e^x ⋅ (x cos y + ix sin y + iy cos y + i²y sin y)
   f(z) = e^x ⋅ (x cos y + ix sin y + iy cos y — y sin y)
3. Сгруппируем действительную и мнимую части:
   f(z) = e^x ⋅ [(x cos y — y sin y) + i(x sin y + y cos y)].
4. Выделим u(x, y) и v(x, y):
   u(x, y) = Re f(z) = e^x(x cos y — y sin y).
   v(x, y) = Im f(z) = e^x(x sin y + y cos y).

Задачи на ГМТ

Задача 3: Определить и построить геометрическое место точек, заданное неравенством 1 < |z - i| < 2.

Решение:

1. Разделим неравенство на две части:
   • |z — i| > 1
   • |z — i| < 2
2. Анализируем первое неравенство |z — i| > 1:
   • Уравнение |z — i| = 1 описывает окружность с центром в точке z₀ = i (то есть (0, 1) на комплексной плоскости) и радиусом R = 1.
   • Неравенство |z — i| > 1 описывает внешность этой окружности.
3. Анализируем второе неравенство |z — i| < 2:
   • Уравнение |z — i| = 2 описывает окружность с центром в той же точке z₀ = i (0, 1) и радиусом R = 2.
   • Неравенство |z — i| < 2 описывает внутренность этой окружности.
4. Комбинируем результаты:
   Геометрическое место точек, удовлетворяющее обоим неравенствам, — это кольцо с центром в точке (0, 1), внутренним радиусом R₁ = 1 и внешним радиусом R₂ = 2. Границы кольца (окружности) в это множество не входят, так как неравенства строгие.
5. Построение (визуализация):
   • На комплексной плоскости отмечаем центр (0, 1).
   • Рисуем пунктирную окружность с центром (0, 1) и радиусом 1.
   • Рисуем пунктирную окружность с центром (0, 1) и радиусом 2.
   • Заштриховываем область между этими двумя окружностями.

Задачи на условия Коши-Римана и аналитичность

Задача 4: Проверить, является ли функция f(z) = z ⋅ Re z аналитической. Если да, найти производную.

Решение:

1. Выделим действительную и мнимую части f(z):
   z = x + iy, Re z = x.
   f(z) = (x + iy)x = x² + ixy.
   Значит, u(x, y) = x² и v(x, y) = xy.
2. Найдем частные производные первого порядка:
   ∂u/∂x = 2x
   ∂u/∂y = 0
   ∂v/∂x = y
   ∂v/∂y = x
3. Проверим условия Коши-Римана:
   • Первое условие: ∂u/∂x = ∂v/∂y ⇒ 2x = x.
     Это равенство выполняется только при x = 0.
   • Второе условие: ∂u/∂y = -∂v/∂x ⇒ 0 = —y.
     Это равенство выполняется только при y = 0.
4. Вывод: Условия Коши-Римана выполняются только в одной точке z = 0 (где x = 0 и y = 0). Поскольку условия не выполняются ни в какой области, функция f(z) = z ⋅ Re z не является аналитической нигде, кроме, возможно, в изолированной точке z = 0 (но для аналитичности нужна область).

Задачи на геометрический смысл производной

Задача 5: Для функции f(z) = z³, определить угол поворота и коэффициент растяжения в точке z₀ = 1 + i√3.

Решение:

1. Находим производную f'(z):
   f'(z) = 3z².
2. Вычислим производную в точке z₀ = 1 + i√3:
   Сначала переведём z₀ в тригонометрическую форму, это упростит возведение в квадрат:
   |z₀| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.
   arg z₀ = arctg(√3/1) = π/3.
   Значит, z₀ = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)).
   Тогда z₀² = 2²(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = 4(-½ + i√3/2) = -2 + i2√3.
   f'(z₀) = 3z₀² = 3(-2 + i2√3) = -6 + i6√3.
3. Определяем угол поворота (аргумент производной):
   arg f'(z₀) = arg(-6 + i6√3).
   Точка (-6, 6√3) находится во втором квадранте.
   tgα = (6√3)/(-6) = -√3.
   α = arctg(-√3) + π = -π/3 + π = 2π/3.
   Угол поворота: 2π/3 радиан (или 120 градусов).
4. Определяем коэффициент растяжения (модуль производной):
   |f'(z₀)| = |-6 + i6√3| = √((-6)² + (6√3)²) = √(36 + 36 ⋅ 3) = √(36 + 108) = √144 = 12.
   Коэффициент растяжения: 12.
   Это означает, что в окрестности точки z₀ = 1 + i√3, при отображении w = z³, бесконечно малые векторы поворачиваются на 2π/3 и растягиваются в 12 раз.

Задачи на линейные и дробно-линейные отображения

Задача 6: Найти дробно-линейное преобразование w = f(z), которое отображает точки z₁ = 1, z₂ = i, z₃ = -1 в точки w₁ = 0, w₂ = 1, w₃ = ∞.

Решение:
Используем формулу двойного отношения. Поскольку w₃ = ∞, члены (w₃ — w₂) и (w₃ — w₁) в левой части заменяются на 1.
(w - w₁) / (w - w₂) = (z - z₁) (z₃ - z₂) / ((z - z₂) (z₃ - z₁))
(w - 0) / (w - 1) = (z - 1) (-1 - i) / ((z - i) (-1 - 1))
w / (w - 1) = (z - 1) (-1 - i) / (-2(z - i))
w / (w - 1) = (z - 1) (1 + i) / (2(z - i))
Теперь выразим w:
2w(z - i) = (w - 1)(z - 1)(1 + i)
2zw - 2iw = (w - 1)(z + iz - 1 - i)
2zw - 2iw = wz + wiz - w - wi - z - iz + 1 + i
Сгруппируем члены с w в левой части:
2zw - 2iw - wz - wiz + w + wi = -z - iz + 1 + i
w[2z - 2i - z - iz + 1 + i] = -z - iz + 1 + i
w[z - i - iz + 1] = -z - iz + 1 + i
w[z(1 - i) + (1 - i)] = z(-1 - i) + (1 + i)
w[(z + 1)(1 - i)] = (1 + i) - z(1 + i) (вынесем (1+i) в правой части, и (1-i) в левой)
w = ((1 + i) - z(1 + i)) / ((z + 1)(1 - i))
w = (1 + i)(1 - z) / ((z + 1)(1 - i))
Умножим числитель и знаменатель на (1 + i):
w = (1 + i)(1 - z)(1 + i) / ((z + 1)(1 - i)(1 + i))
w = (1 + 2i - 1)(1 - z) / ((z + 1)(1 - i2))
w = 2i(1 - z) / ((z + 1)(2))
w = i(1 - z) / (z + 1)
Это и есть искомое дробно-линейное преобразование.

Задачи на построение образов и прообразов

Задача 7: Найти образ области D = {z : 1 < Re z < 2, 0 < Im z < π/2} при отображении w = e^z.

Решение:

1. Выделим действительную и мнимую части w = e^z:
   w = e^x+iy = e^x(cos y + i sin y).
   |w| = e^x
   arg w = y
2. Преобразуем условия для z в условия для w:
   • 1 < Re z < 2 означает 1 < x < 2.
     Поскольку |w| = e^x и e^x — монотонно возрастающая функция, то:
     e¹ < |w| < e².
     Это кольцо с центром в начале координат, внутренним радиусом e и внешним радиусом e².
   • 0 < Im z < π/2 означает 0 < y < π/2.
     Поскольку arg w = y, то:
     0 < arg w < π/2.
     Это сектор между положительной действительной и положительной мнимой осями в w-плоскости (первый квадрант).
3. Комбинируем результаты:
   Образом области D является кольцевой сектор в w-плоскости, ограниченный окружностями |w| = e и |w| = e², и лежащий в первом квадранте (между лучами arg w = 0 и arg w = π/2).
4. Построение (визуализация):
   • На z-плоскости рисуем прямоугольник с вершинами (1, 0), (2, 0), (2, π/2), (1, π/2).
   • На w-плоскости рисуем две концентрические окружности с центрами в начале координат и радиусами e ≈ 2.718 и e² ≈ 7.389.
   • Рисуем лучи arg w = 0 (положительная действительная ось) и arg w = π/2 (положительная мнимая ось).
   • Заштриховываем часть кольца, находящуюся между этими лучами.

Заключение

Мы прошли долгий, но увлекательный путь по лабиринтам комплексного анализа, превращая абстрактные формулы в понятные геометрические образы и чёткие алгоритмы решения задач. От фундаментальных свойств комплексных чисел и их алгебраических операций до тонкостей дифференцируемости, геометрического смысла производной и хитросплетений линейных и дробно-линейных отображений — каждая глава была призвана максимально полно раскрыть соответствующую тему.

Главный вывод, который должен быть сделан из этого руководства, заключается в следующем: успех в комплексном анализе, как и в любой другой математической дисциплине, лежит в систематическом подходе. Нет «волшебной таблетки» или «секретной формулы», которая мгновенно решит все задачи. Вместо этого, необходим глубокий теоретический фундамент, умение шаг за шагом применять алгоритмы и, что особенно важно в ТФКП, развитая геометрическая интуиция.

Надеемся, что представленные здесь теоретические обоснования, пошаговые алгоритмы и детально разобранные примеры послужат вам надёжным компасом на пути к успешному выполнению контрольной работы. Помните, что математика — это не только о поиске правильного ответа, но и о понимании «почему» этот ответ правильный. Практикуйтесь, не бойтесь ошибок, ищите визуальные интерпретации, и тогда комплексный анализ откроет вам свою истинную красоту и мощь. Желаем вам удачи в освоении этой захватывающей области математики и успешной сдачи контрольной работы!

Список использованной литературы

1. Геометрия: листок 3. Дробно-линейные преобразования комплексной плоскости (22 сентября 2014) // Московский центр непрерывного математического образования. URL: https://www.mccme.ru/circles/oim/tfkp/dlp.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
2. Теория функций комплексного переменного. Ч. IV: Конформные отображения. 2-е изд. // Российский государственный профессионально-педагогический университет. 2020. URL: https://elar.rsvpu.ru/bitstream/123456789/40889/1/978-5-8050-0692-2_2020.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
3. Теория функций комплексного переменного: учебное пособие // Уральский федеральный университет. 2022. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/103130/1/978-5-7996-3240-6_2022.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
4. Понятие комплексного числа, основные определения // Webmath.ru. URL: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules/kompleksnie-chisla.php (дата обращения: 03.11.2025).
5. Дифференцирование функций комплексного // Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина. URL: https://www.mgau.ru/upload/iblock/c32/c3258c73440b8a25c68e99e03d328325.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
6. Комплексные числа и действия над ними // Белорусский государственный университет. URL: https://bsu.by/content/users/282/TFKP.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
7. Дробно-линейная функция // Санкт-Петербургский государственный университет. URL: http://www.math.spbu.ru/user/lebedev/tfkv/tfkv_2.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
8. Геометрический смысл модуля и аргумента производной // Национальный исследовательский университет «МЭИ». URL: https://e.mpei.ru/course/view.php?id=8302 (дата обращения: 03.11.2025).
9. Электронный учебник по теории функций комплексного переменного // Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины. URL: https://www.gsu.by/sites/default/files/pdf/tfkp_uchebnik.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
10. Лекция № 4. Геометрия некоторых комплексных отображений // Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарёва. URL: http://math.mrsu.ru/sites/default/files/tfkp/L4_TFKP.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
11. Практикум по ТФКП // Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского. URL: https://www.sgu.ru/sites/default/files/textdocs/2020-03-24/tfkp_praktikum.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
12. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО // Томский политехнический университет. URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/s/SVS/TFKP/Tab3/TFKP_L2.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
13. 1. Геометрия комплексных чисел // Санкт-Петербургский государственный университет. URL: https://www.math.spbu.ru/user/lebedev/tfkv/tfkv_1.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
14. Лекция № 13 Свойства дробно-линейной функции Групповое свойство дробно-линейной функции // Воронежский государственный университет инженерных технологий. URL: https://stud.vsuet.ru/uploads/document/000/000/225/original.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
15. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения // Магнитогорский государственный технический университет имени Г.И. Носова. URL: https://www.magtu.ru/images/stories/tfkp.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
16. Федоровский К.Ю. — ТФКП. Лекции — 4. Дробно-линейные функции. Функция Жуковского // YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=R9K1Wp-lHkY (дата обращения: 03.11.2025).
17. Задачник-практикум по теории аналитических функций // Twirpx. URL: https://www.twirpx.com/file/529712/ (дата обращения: 03.11.2025).
18. Курс по ТФКП: Геометрическая интерпретация комплексных чисел | Занятие 1 // YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=Fj-yL9aF-34 (дата обращения: 03.11.2025).
19. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ // Белорусский государственный университет. URL: https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/101344/1/%D0%A2%D0%A4%D0%9A%D0%9F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D0%B5.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
20. Классификация дробно-линейных преобразований комплексной плоскости // Российский государственный педагогический университет имени А.И. Герцена. URL: https://conferences.herzen.spb.ru/conf2021/pdf/14-Konkina.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
21. Как отобразить линию и область с помощью комплексной функции? // МатБюро. URL: https://www.matburo.ru/tv_sub.php?p=tfkp_funkciya_otobrazhenie (дата обращения: 03.11.2025).
22. Геометрическое место точек на комплексной плоскости Задание. Из // МатБюро. URL: https://www.matburo.ru/tv_see.php?p=tfkp_gmt_resh (дата обращения: 03.11.2025).