Разбор типовых задач контрольной работы по теме «Электромагнитные колебания»

Приближается контрольная работа по физике, а тема «Электромагнитные колебания» кажется непроходимыми дебрями из формул и законов? Знакомое чувство. Страх перед задачами на колебательный контур часто возникает не из-за их реальной сложности, а из-за непонимания нескольких ключевых, но очень логичных принципов. Забудьте о панике. Эта статья — не просто шпаргалка с готовыми ответами, а полноценный тренажер. Наша цель — не дать списать, а научить вас видеть физическую логику за математическими символами, чтобы вы могли уверенно решить любой вариант контрольной. Мы вместе пройдем путь от базовых понятий до решения комплексных задач, шаг за шагом разбирая каждую деталь.

Итак, прежде чем бросаться на амбразуру задач, давайте заложим прочный фундамент и разберемся, как эта система вообще работает.

Что представляет собой колебательный контур и каковы законы его работы

Представьте себе колебательный контур (или LC-контур) как простую систему из двух «резервуаров» для хранения энергии. Первый — это конденсатор, он накапливает энергию в виде электрического поля между своими обкладками. Второй — это катушка индуктивности, она хранит энергию в виде магнитного поля, когда через нее течет ток.

Весь процесс электромагнитных колебаний — это непрерывная «перекачка» энергии между этими двумя элементами. Лучшая аналогия здесь — это детские качели. Чтобы они начали качаться, нужно их один раз толкнуть. В нашем случае «толчок» — это зарядка конденсатора. В этот момент вся энергия системы сосредоточена в нем. Как только мы замыкаем цепь, конденсатор начинает разряжаться, создавая ток в катушке. Энергия электрического поля (потенциальная энергия, как у поднятых качелей) переходит в энергию магнитного поля тока (кинетическая энергия, как у качелей в нижней точке). Когда конденсатор полностью разрядится, ток в катушке будет максимальным. Затем процесс пойдет в обратную сторону: ток начнет уменьшаться, перезаряжая конденсатор, и так до бесконечности (в идеальном контуре без потерь).

Отсюда вытекает главный физический принцип, который лежит в основе решения большинства задач: в идеальном LC-контуре полная энергия никуда не исчезает. Она лишь постоянно меняет свою форму, переходя от электрической к магнитной и обратно. Это и есть закон сохранения энергии для колебательного контура:

W = W_C(t) + W_L(t) = const

где W_C — энергия конденсатора, а W_L — энергия катушки. Максимальная энергия, запасенная в конденсаторе, в точности равна максимальной энергии, которая может быть запасена в катушке.

Ключевые формулы, которые открывают двери к решению задач

Теперь, когда мы понимаем физику процесса, давайте соберем наш математический инструментарий. Все задачи на эту тему решаются с помощью небольшого набора формул, которые удобно сгруппировать по смыслу.

1. «Паспорт» колебаний: Эти формулы описывают внутренние, «врожденные» характеристики контура, которые зависят только от его емкости (C) и индуктивности (L). Главная здесь — формула Томсона для периода колебаний.
   • Период: T = 2π√LC
   • Циклическая частота: ω = 1/√LC
   • Частота: ν = 1/T = 1/(2π√LC)
2. Энергетический баланс: Эти формулы описывают закон сохранения энергии в его крайних точках. Максимальная энергия электрического поля (когда напряжение максимально, а ток равен нулю) равна максимальной энергии магнитного поля (когда ток максимален, а напряжение равно нулю).
   • Максимальная энергия: W_max = CU_m²/2 = LI_m²/2
3. Динамика процесса: Эти уравнения описывают, как заряд и ток меняются во времени, подчиняясь гармоническому закону (синуса или косинуса). Сила тока — это, по определению, скорость изменения заряда, поэтому уравнение для тока является производной от уравнения для заряда.
   • Уравнение колебания заряда: q = q_mcos(ωt + φ₀)
   • Уравнение колебания тока: i = q'(t) = -ωq_msin(ωt + φ₀)

Вооружившись теорией и формулами, перейдем к практике. Начнем с базовой задачи, которая проверяет прямое применение формул.

Разбор Задачи №1, где требуется найти амплитуду тока по известным параметрам контура

Это классическая задача (№5 из типовых), которая проверяет понимание закона сохранения энергии. Вот ее условие: «Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 400 пФ и катушки индуктивностью L = 10 мГн. Найти амплитуду колебаний силы тока Iₘ, если амплитуда колебаний напряжения Uₘ = 500 В.»

Логика решения: Задача решается в одно действие с помощью формулы энергетического баланса. Мы знаем, что максимальная энергия электрического поля (когда напряжение достигает амплитуды Uₘ) должна быть равна максимальной энергии магнитного поля (когда ток достигает амплитуды Iₘ).

• Дано:
  • C = 400 пФ
  • L = 10 мГн
  • Uₘ = 500 В
• Перевод в СИ: Это критически важный первый шаг. Ошибки здесь — самые частые.
  • C = 400 * 10⁻¹² Ф = 4 * 10⁻¹⁰ Ф
  • L = 10 * 10⁻³ Гн = 10⁻² Гн

Расчет:

Приравниваем максимальные энергии:

(L * I_m²) / 2 = (C * U_m²) / 2

Умножаем обе части на 2 и выражаем амплитуду тока I_m:

L * I_m² = C * U_m²
I_m² = (C * U_m²) / L
I_m = U_m * √(C / L)

Теперь подставляем наши значения из системы СИ:

I_m = 500 * √( (4 * 10⁻¹⁰) / 10⁻² ) = 500 * √(4 * 10⁻⁸) = 500 * (2 * 10⁻⁴) = 1000 * 10⁻⁴ = 0.1 А

Ответ: Амплитуда колебаний силы тока в контуре составляет 0.1 Ампера.

Это была разминка. Теперь усложним задачу и рассмотрим случай, когда энергия распределена между катушкой и конденсатором одновременно.

Разбор Задачи №2, посвященной закону сохранения энергии

Рассмотрим задачу №4 из списка, которая глубже проверяет понимание закона сохранения энергии. «В колебательном контуре индуктивность катушки равна 0,2 Гн, а амплитуда колебаний силы тока 40 мА. Найти энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в тот момент, когда мгновенное значение силы тока в 2 раза меньше амплитудного значения.»

Логика решения: Здесь ключ — осознание того, что полная энергия контура постоянна. Сначала мы найдем эту полную энергию, вычислив ее в тот момент, когда она максимальна и полностью сосредоточена в катушке (при амплитудном токе). Затем, зная мгновенное значение тока, мы найдем, какая часть энергии «сидит» в катушке в этот момент. А оставшаяся часть полной энергии, по закону сохранения, и будет энергией в конденсаторе.

• Дано:
  • L = 0.2 Гн
  • I_m = 40 мА
  • i = I_m / 2
• Перевод в СИ:
  • I_m = 40 * 10⁻³ А = 0.04 А
  • i = 0.04 / 2 = 0.02 А

Расчет:

1. Находим полную энергию контура (W). Она равна максимальной энергии магнитного поля:
   

   W = W_{m_max} = (L * I_m²) / 2 = (0.2 * (0.04)²) / 2 = 0.1 * 0.0016 = 0.00016 Дж = 1.6 * 10⁻⁴ Дж

2. Находим мгновенную энергию магнитного поля (W_m). Она зависит от мгновенного значения тока i:
   

   W_m = (L * i²) / 2 = (0.2 * (0.02)²) / 2 = 0.1 * 0.0004 = 0.00004 Дж = 0.4 * 10⁻⁴ Дж

3. Находим энергию электрического поля (W_e). По закону сохранения энергии, это разница между полной и текущей магнитной энергией:
   

   W_e = W — W_m = (1.6 * 10⁻⁴) — (0.4 * 10⁻⁴) = 1.2 * 10⁻⁴ Дж

Ответ: В заданный момент времени энергия магнитного поля катушки равна 0.4 * 10⁻⁴ Дж, а энергия электрического поля конденсатора — 1.2 * 10⁻⁴ Дж.

Мы научились работать с энергией. Теперь перейдем к задачам, которые описывают колебания как процесс во времени с помощью уравнений.

Разбор Задачи №3, которая учит работать с уравнениями колебаний

Эта задача (№9) проверяет умение «читать» уравнение колебаний и извлекать из него всю информацию о системе. «Заряд q на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени t в соответствии с уравнением q = 10⁻⁶ cos(10⁴πt). Записать уравнение зависимости силы тока от времени i = i(t). Найти период и частоту колебаний, амплитуду заряда и амплитуду силы тока.»

Логика решения: Заданное уравнение — это настоящий «генетический код» процесса. Сравнивая его с эталонным видом q = qₘcos(ωt), мы можем мгновенно «расшифровать» ключевые параметры: амплитуду заряда qₘ и циклическую частоту ω. Зная их, все остальное находится элементарно. Сила тока — это производная от заряда по времени, а период и частота напрямую связаны с ω.

• Дано:
  • q(t) = 10⁻⁶ cos(10⁴πt)

Расчет:

1. Находим амплитуду заряда (qₘ) и циклическую частоту (ω). Просто смотрим на уравнение:
   • Множитель перед косинусом — это амплитуда: qₘ = 10⁻⁶ Кл (или 1 мкКл).
   • Множитель перед временем t внутри косинуса — это циклическая частота: ω = 10⁴π рад/с.
2. Находим период (T) и частоту (ν). Используем связь с ω:
   • T = 2π / ω = 2π / (10⁴π) = 2 * 10⁻⁴ с.
   • ν = 1 / T = 1 / (2 * 10⁻⁴) = 0.5 * 10⁴ = 5000 Гц.
3. Находим уравнение для тока i(t). Берем производную от q(t):
   

   i(t) = q'(t) = (10⁻⁶ cos(10⁴πt))’ = 10⁻⁶ * (-sin(10⁴πt)) * (10⁴π) = -10⁻⁶ * 10⁴π * sin(10⁴πt) = -π * 10⁻² sin(10⁴πt)

4. Находим амплитуду тока (Iₘ). Это множитель перед синусом в уравнении для тока (без знака «минус», так как амплитуда — величина положительная):
   

   Iₘ = qₘ * ω = 10⁻⁶ * 10⁴π = π * 10⁻² А (приблизительно 0.0314 А).

Теперь, когда мы освоили разные типы задач по отдельности, давайте решим комплексную задачу, где нужно применить все полученные навыки.

Разбор Задачи №4, объединяющей все ключевые концепции

Рассмотрим задачу №8 — она многосоставная и требует применения всех знаний, которые мы получили. «Емкость конденсатора С = 1 мкФ, индуктивность катушки L = 0,04 Гн, амплитуда колебаний напряжения Uₘ = 100 В. В данный момент времени напряжение на конденсаторе u = 80 В. Найти амплитуду тока Iₘ, полную энергию W, энергию электрического поля Wₑₗ, энергию магнитного поля Wₘ и мгновенное значение силы тока i.»

Логика решения: Не пугаемся большого количества вопросов. Мы просто разобьем одну большую задачу на последовательность маленьких, которые мы уже умеем решать.

• Дано:
  • C = 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф
  • L = 0.04 Гн
  • U_m = 100 В
  • u = 80 В

Расчет по шагам:

1. Найти полную энергию W и амплитуду тока Iₘ. Полная энергия проще всего находится через максимальное напряжение. Зная полную энергию, легко найти и максимальный ток.
   

   W = (C * U_m²) / 2 = (10⁻⁶ * 100²) / 2 = (10⁻⁶ * 10000) / 2 = 0.005 Дж.
   Из W = (L * I_m²) / 2 => I_m = √(2W / L) = √(2 * 0.005 / 0.04) = √(0.01 / 0.04) = √(1/4) = 0.5 А.

2. Найти мгновенную энергию электрического поля Wₑₗ. Она зависит от текущего напряжения u.
   

   Wₑₗ = (C * u²) / 2 = (10⁻⁶ * 80²) / 2 = (10⁻⁶ * 6400) / 2 = 0.0032 Дж.

3. Найти мгновенную энергию магнитного поля Wₘ. Это то, что осталось от полной энергии.
   

   Wₘ = W — Wₑₗ = 0.005 — 0.0032 = 0.0018 Дж.

4. Найти мгновенное значение тока i. Зная Wₘ, легко выразить из него i.
   

   Из Wₘ = (L * i²) / 2 => i = √(2Wₘ / L) = √(2 * 0.0018 / 0.04) = √(0.0036 / 0.04) = √(36/400) = 6/20 = 0.3 А.

Как видите, даже самая сложная на вид задача распадается на простые и понятные шаги. Теперь давайте подведем итог и сформулируем универсальный алгоритм для контрольной.

Главный вывод, который стоит сделать: в задачах на колебательный контур важно не заучить формулы, а понять физическую логику, стоящую за ними. Прежде всего — закон сохранения энергии. Он является ключом к большинству решений. Чтобы уверенно справиться с любой задачей на контрольной, придерживайтесь простого алгоритма:

1. Внимательно прочитайте условие и выпишите все известные величины в колонку «Дано».
2. Сразу переведите все величины в систему СИ. Этот шаг спасет вас от множества обидных ошибок.
3. Определите ключевой физический закон. В 90% случаев это будет закон сохранения энергии (полная энергия постоянна и равна сумме текущих или максимальной электрической/магнитной).
4. Выберите из своего «инструментария» нужные формулы и аккуратно, шаг за шагом, выполните расчеты.

Теперь у вас есть не только решения, но и понимание. Осталось немного попрактиковаться, и никакая контрольная вам не будет страшна. Удачи!