Полное решение контрольной работы по теории статистики: методы, расчеты, выводы и углубленный анализ

В современном мире, где объем информации растет экспоненциально, способность эффективно анализировать и интерпретировать данные становится не просто желаемым навыком, но и критической необходимостью. Статистические методы, являясь фундаментом научного познания и принятия обоснованных решений, пронизывают практически все сферы человеческой деятельности – от экономики и социологии до медицины и инженерии. Для студента экономического или статистического факультета глубокое понимание и уверенное применение этих методов – это ключ к успешной академической и профессиональной траектории.

Целью настоящей контрольной работы является не только демонстрация понимания теоретических основ статистики, но и закрепление практических навыков применения статистического инструментария для решения реальных аналитических задач. Мы погрузимся в мир данных, чтобы раскрыть их скрытые закономерности, оценить взаимосвязи и спрогнозировать будущие тенденции.

Работа структурирована пошагово, охватывая шесть ключевых областей теории статистики: анализ рядов распределения, выборочное наблюдение, корреляционно-регрессионный анализ, изучение динамических рядов, индексный метод и применение средних величин. Каждая задача будет рассмотрена с максимальной детализацией: от теоретических обоснований и формул до пошаговых алгоритмов расчетов и глубокой интерпретации полученных результатов. Особое внимание будет уделено тем аспектам, которые часто остаются на периферии внимания, но имеют важное значение для полноты и корректности статистического анализа. Такой академический подход, основанный на проверенных методологиях и авторитетных источниках, позволит создать всестороннее и ценное пособие для освоения статистических дисциплин.

Задача 1: Анализ рядов распределения и графическое представление

В основе любого глубокого статистического анализа лежит понимание структуры данных. Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака, известных как вариационные ряды, служат фундаментом для такого понимания. Они позволяют нам увидеть, как распределяются значения признака в изучаемой совокупности, выявить основные тенденции и особенности, что критически важно для дальнейшего формулирования гипотез и выбора адекватных методов исследования.

Построение вариационных рядов

Вариационные ряды представляют собой упорядоченное распределение единиц статистической совокупности по значениям какого-либо признака. Они делятся на два основных типа:

• Дискретные вариационные ряды — это ряды, в которых значения признака (варианты) представлены отдельными, прерывистыми числами (например, количество детей в семье, число рабочих, имеющих определенный разряд). Для каждого варианта указывается его частота (количество единиц с данным значением) или частость (доля от общего числа).
• Интервальные вариационные ряды — используются, когда значения признака непрерывны или имеют очень большой диапазон, что делает нецелесообразным перечисление каждого отдельного значения (например, возраст, доход, рост). В этом случае значения признака группируются в интервалы, и для каждого интервала указывается его частота или частость.

Алгоритм построения интервального вариационного ряда:

1. Определение диапазона варьирования: Находится минимальное (X_min) и максимальное (X_max) значения признака.
2. Определение количества интервалов (k): Часто используется формула Стерджесса:
   k = 1 + 3,322 ⋅ lg n, где n — объем совокупности. Полученное значение округляется до целого числа.
3. Определение ширины интервала (h): h = (Xmax - Xmin) / k. Ширина интервала должна быть одинаковой для всех интервалов.
4. Формирование интервалов: Первый интервал начинается с X_min, последний заканчивается X_max. Верхняя граница предыдущего интервала становится нижней границей следующего. Важно следить за тем, чтобы интервалы были взаимоисключающими и исчерпывающими (например, [10; 20), [20; 30)).
5. Подсчет частот (f_i): Для каждого интервала подсчитывается количество единиц совокупности, значения признака которых попадают в данный интервал.
6. Расчет частостей (w_i): wi = fi / n, где n — общая численность совокупности. Сумма частостей должна быть равна 1 (или 100%).

Графическое изображение рядов распределения

Графическое изображение рядов распределения значительно облегчает их анализ, позволяя наглядно оценить форму распределения, симметрию, наличие модальных значений и другие важные характеристики. Для этого используются четыре основных вида графиков.

Полигон распределения

Полигон распределения используется для изображения дискретных рядов распределения. Он представляет собой замкнутый многоугольник, где по оси абсцисс откладываются значения варьирующего признака (варианты X_i), а по оси ординат — соответствующие им частоты (f_i) или частости (w_i). Точки, соответствующие парам (X_i; f_i), соединяются отрезками прямых. Замкнутость многоугольника достигается путем добавления нулевых частот для значений признака, предшествующих первому и следующих за последним наблюдаемым значением.

Гистограмма распределения

Гистограмма распределения применяется для визуализации интервальных вариационных рядов. В прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываются отрезки, соответствующие интервалам вариационного ряда. Эти отрезки служат нижним основанием, а соответствующая частота (или частость) — высотой образуемых прямоугольников. Если интервалы имеют одинаковую ширину, то высота прямоугольника прямо пропорциональна частоте. Если же интервалы различаются по ширине, то высота прямоугольника должна быть пропорциональна плотности распределения (частоте, деленной на ширину интервала), чтобы площадь прямоугольника соответствовала частоте.

Кумулята

Кумулятивная кривая, или кумулята, используется для графического изображения вариационных рядов, представляя собой ряд накопленных частот (или частостей). Накопленные частоты вычисляются последовательным суммированием частот по изучаемым группам и показывают количество единиц совокупности, имеющих значения признака не больше, чем указанное. На графике по оси абсцисс откладываются значения признака (или верхние границы интервалов), а по оси ординат — накопленные частоты (или частости). Кумулята всегда имеет неубывающий характер, поднимаясь от 0 до общей численности совокупности (или до 100%).

Огива (график Гальтона)

Огива, которую иногда называют «графиком Гальтона» в честь сэра Френсиса Гальтона, строится аналогично кумуляте, но с одним принципиальным различием: на ось абсцисс наносятся накопленные частоты (или частости), а на ось ординат — значения признака. Это позволяет графически оценить величину медианы. Для определения медианы по огиве достаточно найти на оси абсцисс значение, соответствующее 50% накопленных частостей (или половине общей численности), и от этой точки провести перпендикуляр до пересечения с огивой, а затем от точки пересечения — горизонталь до оси ординат. Полученное на оси ординат значение и будет медианой. Именно этот метод визуализации подчеркивает важность медианы как показателя центральной тенденции, менее чувствительного к выбросам.

Расчет статистических характеристик ряда

После построения и графического представления вариационных рядов необходимо перейти к расчету их числовых характеристик, которые позволяют количественно описать распределение.

Показатели центральной тенденции

Эти показатели характеризуют «типичное» или «среднее» значение признака в совокупности:

• Мода (Mo): Это такое значение из множества измерений, которое встречается наиболее часто. В дискретном ряду мода — это вариант с наибольшей частотой. В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал (интервал с наибольшей частотой), а затем мода рассчитывается по формуле:
  Mo = XMo + h ⋅ (fMo - fMo-1) / ((fMo - fMo-1) + (fMo - fMo+1))
  где X_Mo — нижняя граница модального интервала; h — ширина модального интервала; f_Mo — частота модального интервала; f_Mo-1 — частота интервала, предшествующего модальному; f_Mo+1 — частота интервала, следующего за модальным. В одном наборе данных может быть несколько мод (бимодальное, мультимодальное распределение) или ни одной.
• Медиана (Me): Это такое значение признака, которое делит упорядоченное (ранжированное) множество данных пополам так, что одна половина всех значений меньше медианы, а другая — больше.
  • Если данные содержат нечетное число значений, то медиана — это центральное значение.
  • Если данные содержат четное число значений, то медиана — это точка, посредине между двумя центральными значениями.

  В интервальном ряду медиана рассчитывается по формуле:
  Me = XMe + h ⋅ ( (Σfi / 2) - ΣfMe-1 ) / fMe
  где X_Me — нижняя граница медианного интервала; h — ширина медианного интервала; Σf_i — сумма всех частот (объем совокупности); Σf_Me-1 — накопленная частота интервала, предшествующего медианному; f_Me — частота медианного интервала.

• Средняя арифметическая (X̅): Одна из самых популярных величин, позволяющих находить типичность. Вычисляется как сумма всех переменных, деленная на их количество.
  • Простая средняя арифметическая: для негруппированных данных
    X̅ = (ΣXi) / n
  • Взвешенная средняя арифметическая: для сгруппированных данных (дискретных или интервальных)
    X̅ = (Σ(Xi ⋅ fi)) / Σfi
    где X_i — индивидуальные значения признака или середины интервалов; f_i — соответствующие им частоты.

Показатели вариации

Эти показатели характеризуют степень разброса (вариации) значений признака вокруг центральной тенденции:

• Дисперсия (σ²): Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической.
  • Для негруппированных данных:
    σ2 = (Σ(Xi - X̅)2) / n
  • Для сгруппированных данных:
    σ2 = (Σ((Xi - X̅)2 ⋅ fi)) / Σfi
    Существует также упрощенная формула для расчета дисперсии: σ2 = (ΣXi2 / n) - (X̅)2
• Среднеквадратическое отклонение (σ): Корень квадратный из дисперсии. Оно измеряет средний разброс значений в тех же единицах, что и сам признак.
  σ = √σ2
• Коэффициент вариации (V): Относительный показатель вариации, выраженный в процентах, который позволяет сравнивать степень разброса признаков с разными единицами измерения или средними значениями.
  V = (σ / X̅) ⋅ 100%
  Если коэффициент вариации превышает 33%, это свидетельствует о значительной неоднородности совокупности, что может указывать на необходимость дополнительной группировки или пересмотра методов анализа. Почему это так важно? Высокий коэффициент вариации говорит о том, что среднее значение может быть нерепрезентативным для всей совокупности, требуя более глубокого сегментирования данных.

Задача 2: Выборочное наблюдение и оценка параметров генеральной совокупности

В статистике нередко сталкиваются с ситуацией, когда изучение всей совокупности единиц (так называемой генеральной совокупности) является либо невозможным, либо экономически нецелесообразным. В таких случаях на помощь приходит выборочное наблюдение — метод, при котором обобщающие показатели совокупности устанавливаются лишь по ее части, отобранной по принципу случайности. Достоверная оценка характеристик генеральной совокупности на основе этого фрагмента требует точного расчета ошибок выборки и построения доверительных интервалов.

Теоретические основы выборочного наблюдения

Выборочное наблюдение — это мощный статистический инструмент, позволяющий делать выводы о большой генеральной совокупности, изучая лишь небольшую ее часть.

• Генеральная совокупность (N) — это весь массив статистических единиц, обладающих общими признаками, которые являются объектом исследования. Например, все студенты вуза.
• Выборочная совокупность (n), или выборка — это часть единиц генеральной совокупности, отобранных для наблюдения. Например, 100 случайно выбранных студентов из этого вуза.

Основная задача выборочного метода — получить на основе характеристик выборочной совокупности (выборочная средняя X̅_выб, выборочная доля w) достоверные характеристики генеральной совокупности (генеральная средняя X̅_ген, генеральная доля p).

Принципы формирования выборки включают в себя случайный отбор, который гарантирует репрезентативность выборки, то есть ее способность адекватно представлять генеральную совокупность. Выборка может быть повторной (когда отобранная единица возвращается в генеральную совокупность и может быть выбрана повторно) или бесповторной (когда отобранная единица не возвращается).

Расчет средней ошибки выборки

Любое выборочное наблюдение сопряжено с риском ошибки, поскольку выборка никогда не может абсолютно точно воспроизвести генеральную совокупность. Эта ошибка называется ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности). Она представляет собой разность между выборочной и генеральной характеристиками:

• Для средней количественного признака: X̅выб - X̅ген
• Для доли (альтернативного признака): w - p

Средняя ошибка выборки (σ) показывает, как генеральная средняя (или доля) отклоняется в среднем от выборочной средней (или доли) в ту или другую сторону. Формулы для ее расчета зависят от типа отбора и размера выборки.

Средняя ошибка выборки для среднего количественного признака:

1. При случайном повторном отборе:
   σX̅ = √[σ2выб / n]
   где σ²_выб — дисперсия признака X в выборочной совокупности; n — численность выборочной совокупности.
2. При случайном бесповторном отборе:
   σX̅ = √[(σ2выб / n) ⋅ (1 - (n / N))]
   где N — число единиц в генеральной совокупности.

Средняя ошибка выборки для доли (альтернативного признака):

1. При случайном повторном отборе:
   σw = √[w(1 - w) / n]
   где w — выборочная доля изучаемого признака; w(1 — w) — дисперсия доли в выборочной совокупности.
2. При случайном бесповторном отборе:
   σw = √[(w(1 - w) / n) ⋅ (1 - (n / N))]

Важный нюанс для малых выборок (n < 30):
При работе с малыми выборками для получения несмещенной оценки дисперсии генеральной совокупности на основе выборочной дисперсии в знаменателе вместо n используется (n-1). Это означает, что если σ²_выб в формулах средней ошибки выборки представляет собой выборочную дисперсию, рассчитанную с делением на n, то для малых выборок следует использовать несмещенную дисперсию S2 = Σ(Xi - X̅)2 / (n-1) вместо σ²_выб, или применять поправочный коэффициент n/(n-1) к выборочной дисперсии, рассчитанной с делением на n. Например, в случае повторного отбора для среднего количественного признака, формула может быть скорректирована так:
σX̅ = √[S2 / n] = √[ (Σ(Xi - X̅)2 / (n-1)) / n ]

Определение предельной ошибки и доверительных интервалов

Предельная ошибка выборки (Δ) — это наибольшее отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли), которое возможно с заданной доверительной вероятностью γ. Она вычисляется по формуле:
Δ = t ⋅ σ
где t — коэффициент доверия, зависящий от вероятности γ, а σ — средняя ошибка выборки.

Выбор коэффициента доверия (t-значение):

• Для больших выборок (n ≥ 30): t-распределение приближается к стандартному нормальному (Z) распределению. Типичные значения Z для наиболее распространенных доверительных вероятностей:
  • γ = 0,95 (95% доверительная вероятность): Z ≈ 1,96
  • γ = 0,99 (99% доверительная вероятность): Z ≈ 2,58
• Для малых выборок (n < 30): используется t-распределение Стьюдента. Значение коэффициента t зависит как от доверительной вероятности γ, так и от числа степеней свободы (df = n-1). Значение t находится по таблицам t-распределения.

Построение доверительных интервалов:

Зная выборочную среднюю величину признака (X̅_выб) и предельную ошибку выборки (Δ), можно определить границы (пределы), в которых с заданной доверительной вероятностью заключена генеральная средняя (a):
X̅выб - Δ ≤ a ≤ X̅выб + Δ

Аналогично для генеральной доли (p):
w - Δ ≤ p ≤ w + Δ

Интерпретация доверительных интервалов: Если, например, мы построили 95%-ный доверительный интервал для средней зарплаты в отрасли и получили [50 000 руб.; 60 000 руб.], это означает, что с 95%-ной вероятностью истинная средняя зарплата в генеральной совокупности находится в этом диапазоне. Важно понимать, что это не означает 95%-ной вероятности того, что данный конкретный интервал содержит истинное значение, а скорее, что если бы мы повторили процесс выборки и построения интервалов многократно, 95% из таких интервалов содержали бы истинное значение па��аметра генеральной совокупности.

Задача 3: Корреляционно-регрессионный анализ

В мире данных, где каждое явление редко существует изолированно, способность выявлять и измерять взаимосвязи между переменными является краеугольным камнем глубокого анализа. Корреляционно-регрессионный анализ — это мощный статистический инструментарий, который позволяет не только установить факт зависимости изменений одного признака от изменения другого, но и определить форму этой связи, а также построить математическую модель для прогнозирования.

Понятие корреляции и регрессии

На первый взгляд, термины «корреляция» и «регрессия» кажутся синонимами, однако они описывают разные, хоть и тесно связанные, аспекты анализа взаимосвязей:

• Корреляционный анализ — это набор методов, направленных на измерение силы и направления связи между двумя или более переменными. Он отвечает на вопрос: «Насколько сильно связаны две переменные?». Коэффициенты корреляции показывают тесноту (силу) и направленность (положительная или отрицательная) взаимосвязи, но не устанавливают причинно-следственную связь.
• Регрессионный анализ — это набор методов, которые позволяют выразить связь между переменными с помощью математического уравнения (модели), чтобы предсказать значения одной переменной (зависимой, или отклика) на основе значений других переменных (независимых, или предикторов). Он отвечает на вопрос: «Как изменение одной переменной влияет на другую, и можно ли предсказать значение одной переменной на основе другой?». Регрессионный анализ, в отличие от корреляции, предполагает наличие причинно-следственной связи или по крайней мере асимметричной зависимости, где одна переменная считается «объясняющей», а другая «объясняемой».

Расчет и интерпретация коэффициента корреляции Пирсона

Коэффициент корреляции Пирсона, также известный как коэффициент линейной корреляции Пирсона, является наиболее распространенным показателем для характеристики существования линейной зависимости между двумя количественными величинами.

Формула для расчета коэффициента корреляции Пирсона:

rXY = Σ[(Xi - X̅)(Yi - Y̅)] / √[Σ(Xi - X̅)2 ⋅ Σ(Yi - Y̅)2]

Где:

• X_i, Y_i — индивидуальные значения признаков X и Y.
• X̅, Y̅ — средние арифметические значения признаков X и Y соответственно.

Пошаговый алгоритм расчета:

1. Рассчитать средние значения для признаков X (X̅) и Y (Y̅).
2. Для каждого наблюдения (X_i, Y_i) вычислить отклонения от средних: (X_i — X̅) и (Y_i — Y̅).
3. Вычислить произведение этих отклонений для каждого наблюдения: (X_i — X̅)(Y_i — Y̅), а затем просуммировать их (числитель формулы).
4. Вычислить квадраты отклонений для каждого признака: (X_i — X̅)² и (Y_i — Y̅)².
5. Просуммировать квадраты отклонений для каждого признака отдельно: Σ(X_i — X̅)² и Σ(Y_i — Y̅)².
6. Перемножить эти суммы квадратов и извлечь квадратный корень (знаменатель формулы).
7. Разделить сумму произведений отклонений на полученный корень.

Интерпретация коэффициента корреляции Пирсона:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1:

• Знак коэффициента указывает на направление связи:
  • Положительная связь (r > 0): С увеличением значений одного признака значения другого признака имеют тенденцию к увеличению.
  • Отрицательная связь (r < 0): С увеличением значений одного признака значения другого признака имеют тенденцию к уменьшению.
• Числовое значение (абсолютная величина |r|) показывает тесноту (силу) связи:
  • r = 0: Линейная связь между изучаемыми признаками отсутствует. Однако это не исключает возможности наличия нелинейной связи.
  • |r| = 1: Связь между признаками функциональная (совершенная линейная зависимость), все точки данных точно лежат на линии регрессии.

Для более детальной интерпретации силы линейной связи часто используется следующая шкала:

• |r| < 0.3: Слабая связь. Изменение одного признака оказывает незначительное линейное влияние на другой.
• 0.3 ≤ |r| < 0.5: Умеренная связь. Наблюдается некоторая линейная зависимость, но с заметным разбросом данных.
• 0.5 ≤ |r| < 0.7: Заметная (средняя) связь. Линейная зависимость становится более выраженной.
• 0.7 ≤ |r| < 0.9: Высокая связь. Сильная линейная зависимость, данные достаточно плотно группируются вокруг линии регрессии.
• |r| ≥ 0.9: Очень высокая связь. Практически функциональная линейная зависимость.

Важно отметить, что интерпретация силы связи может зависеть от конкретной области исследования. Например, в социальных науках даже умеренные значения могут считаться значимыми из-за влияния множества факторов, тогда как в физических науках ожидается более высокая корреляция.

Условия применения коэффициента корреляции Пирсона:

1. Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.
2. Распределения переменных X и Y должны быть близки к нормальному.
3. Число варьирующих признаков (количество наблюдений) должно быть одинаковым для обеих переменных.
4. Наличие линейной формы связи (для нелинейных связей коэффициент Пирсона будет некорректно отражать тесноту).

Построение и интерпретация модели линейной регрессии

Регрессионный анализ чаще всего используется для прогноза, то есть предсказания значений зависимой переменной по известным значениям независимых переменных. В линейной регрессии коэффициенты модели обычно подбирают с помощью метода наименьших квадратов (МНК). МНК минимизирует сумму квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от теоретических (предсказанных) значений, тем самым находя «наилучшую» прямую, проходящую через точки данных.

Пример простой линейной регрессии:

Для простой линейной регрессии, где одна зависимая переменная Y объясняется одной независимой переменной X, уравнение линии регрессии имеет вид:
y0 = a + byx ⋅ x
Или, в форме, проходящей через средние значения:
y0 = Y̅ + byx ⋅ (x - X̅)

Где:

• y₀ — теоретическое (предсказанное) значение признака Y.
• Y̅ — среднее значение зависимого признака Y.
• X̅ — среднее значение независимого признака X.
• b_yx — коэффициент регрессии.

Коэффициент регрессии (b_yx):

byx = Σ[(Xi - X̅)(Yi - Y̅)] / Σ(Xi - X̅)2

Или, используя ковариацию и дисперсию:
byx = Cov(X, Y) / Var(X)

Интерпретация коэффициента регрессии b_yx:
Коэффициент b_yx показывает, на сколько единиц в среднем изменится зависимая переменная Y при изменении независимой переменной X на одну единицу. Его знак совпадает со знаком коэффициента корреляции Пирсона, указывая на направление связи.

Построение уравнения регрессии:

1. Рассчитать X̅ и Y̅ (средние значения признаков).
2. Рассчитать числитель и знаменатель для b_yx, используя шаги 2, 3 и 5 из алгоритма расчета коэффициента корреляции Пирсона (для числителя и знаменателя соответственно).
3. Вычислить b_yx.
4. Используя b_yx, X̅ и Y̅, записать уравнение регрессии.

Проверка адекватности модели:

После построения регрессионной модели важно оценить ее адекватность, то есть, насколько хорошо она описывает имеющиеся данные. Для этого используются различные статистические критерии, включая:

• Коэффициент детерминации (R²): Показывает долю вариации зависимой переменной, объясняемой регрессионной моделью (см. Задачу 4).
• F-критерий Фишера: Оценивает общую статистическую значимость уравнения регрессии (см. Задачу 4).
• t-критерий Стьюдента: Проверяет статистическую значимость каждого из коэффициентов регрессии (a и b_yx), показывая, насколько они отличаются от нуля.

Адекватная модель позволяет не только объяснить текущие взаимосвязи, но и с определенной степенью уверенности прогнозировать будущие значения зависимой переменной при известных значениях независимой. Но разве это не главное при принятии стратегических решений в условиях неопределенности?

Задача 4: Анализ динамических рядов и выявление тенденций

Мир не стоит на месте, и все экономические, социальные и природные явления находятся в постоянном движении и изменении. Для того чтобы понять эти процессы, оценить их масштабы и, что особенно важно, предвидеть будущее, статистика использует мощный инструментарий — анализ динамических рядов. Изучение изменений явлений во времени и выявление их общей тенденции является ключевым для прогнозирования и принятия обоснованных решений.

Основные понятия и показатели динамических рядов

Динамические ряды — это совокупность однородных статистических величин (уровней ряда), показывающих изменения какого-либо явления на протяжении определенного промежутка времени. Эти ряды дают возможность отслеживать эволюцию явления и выявлять его закономерности.

Динамические ряды могут быть двух основных видов:

1. Моментные ряды — отражают значения показателя на определенные моменты времени (даты). Например, численность населения на 1 января каждого года, остатки товаров на складе на первое число каждого месяца. Суммирование уровней моментного ряда не имеет смысла.
2. Интервальные ряды — фиксируют значения показателя за определенные периоды времени (интервалы). Например, объем производства за квартал, среднемесячная зарплата, число родившихся за год. Уровни интервального ряда можно суммировать.

Анализ рядов динамики начинается с определения того, как именно изменяются уровни ряда (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) в абсолютном и относительном выражении.

Основные показатели изменения уровней ряда динамики:

Пусть y_i — уровень ряда в текущем (i-м) периоде, y_i-1 — уровень ряда в предыдущем периоде, y₀ — уровень ряда в базисном периоде.

• Абсолютное изменение (абсолютный прирост, Δy): Разница между значением данного года и предыдущим.
  Δy = yi - yi-1 (цепной абсолютный прирост)
  Δyбаз = yi - y0 (базисный абсолютный прирост)
  Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц изменился показатель.
• Коэффициент роста (k): Отношение данного уровня к базисному (или предыдущему).
  k = yi / y0 (базисный коэффициент роста)
  k = yi / yi-1 (цепной коэффициент роста)
  Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился показатель.
• Темп роста (Т_р): Коэффициент роста, выраженный в процентах.
  Тр = (yi / y0) ⋅ 100% (базисный темп роста)
  Тр = (yi / yi-1) ⋅ 100% (цепной темп роста)
  Темп роста показывает, сколько процентов составляет текущий уровень от базисного (или предыдущего).
• Темп прироста (Т_пр): Величина, показывающая, на сколько процентов данный уровень больше или меньше базисного.
  Тпр = ((yi - y0) / y0) ⋅ 100% = (Тр - 100)% (базисный темп прироста)
  Тпр = ((yi - yi-1) / yi-1) ⋅ 100% = (Тр - 100)% (цепной темп прироста)
  Темп прироста показывает, на сколько процентов текущий уровень превысил или не достиг базисного (или предыдущего).

Аналитическое выравнивание временных рядов

Несмотря на очевидную информативность, «сырые» динамические ряды могут содержать случайные колебания, сезонные флуктуации и другие шумы, которые затрудняют выявление тенденции развития, или тренда. Тренд — это сформировавшееся направление развития явления во времени под воздействием постоянно действующих факторов.

Аналитическое выравнивание временных рядов — это процесс определения зависимости уровней временного ряда как функции от времени. Суть метода заключается в нахождении математической функции (трендовой модели), которая наилучшим образом описывает основную тенденцию изменения уровня ряда.

Обычно такую зависимость определяют, используя метод наименьших квадратов (МНК), в котором в качестве независимой переменной выступает фактор времени (t), а в качестве зависимой переменной — уровни временного ряда (y_t). Выравнивание позволяет характеризовать особенность изменения во времени данного динамического ряда в наиболее общем виде как функцию времени, предполагая, что через время можно выразить влияние всех основных факторов.

Для аналитического выравнивания применяются различного рода функции:

• Линейная функция: yt = a0 + a1t (для рядов с равномерным абсолютным приростом)
• Параболическая функция второго порядка: yt = a0 + a1t + a2t2 (для рядов с ускоряющимся или замедляющимся развитием)
• Степенная функция: yt = a0 ⋅ ta1
• Экспоненциальная функция: yt = a0 ⋅ a1t

Параметры тренда (a₀, a₁, a₂ и т.д.) определяются методом наименьших квадратов. Для линейного тренда система нормальных уравнений выглядит так:

Σy = n ⋅ a0 + a1 ⋅ Σt
Σyt = a0 ⋅ Σt + a1 ⋅ Σt2

Решая эту систему, можно найти значения a₀ и a₁.

Критерии выбора наилучшей формы тренда:

Выбор функции для аппроксимации тренда — критически важный шаг. Критерием отбора наилучшей формы тренда служит:

1. Наибольшее значение коэффициента детерминации (R-квадрат, R²).
   R² — это статистический показатель, который отражает долю вариации (дисперсии) зависимой переменной, объясняемую регрессионной моделью (в данном случае, моделью тренда). Он изменяется в диапазоне от 0 до 1:
   • Значения, близкие к 1, указывают на очень хорошую адекватность модели и высокую объясняющую способность. Это означает, что большая часть изменчивости уровней ряда объясняется фактором времени.
   • Для приемлемых моделей R² должен быть не меньше 0,5 (50%), а значения выше 0,8 (80%) считаются очень хорошими.
   • Формула R2 = 1 - (Σ(yt - y₀t)2) / (Σ(yt - Y̅)2) , где y_t — фактические уровни, y₀_t — выравненные уровни, Y̅ — средний уровень ряда.
2. F-критерий Фишера.
   Используется для проверки общей статистической значимости (адекватности) уравнения тренда. Он проверяет гипотезу о том, что выбранная математическая модель адекватно отражает тенденцию развития. Если расчетное значение F-критерия (F_эмп) превышает табличное (критическое) значение (F_Т) при заданном уровне значимости (например, 0,05 или 0,01) и соответствующих степенях свободы, то модель считается адекватной, и гипотеза о ее значимости принимается.
3. t-критерий Стьюдента.
   Применяется для оценки статистической значимости отдельных коэффициентов (параметров) уравнения тренда (например, a₀, a₁ в линейной модели). Он позволяет определить, насколько значимо каждый из коэффициентов отличается от нуля, то есть вносит ли соответствующий фактор (например, фактор времени) статистически значимый вклад в объяснение изменений зависимой переменной. Если расчетное значение |t| для коэффициента превышает табличное значение t-критерия при заданном уровне значимости и степенях свободы, то коэффициент считается статистически значимым.

Графическое представление динамических рядов

График динамического ряда является важнейшим инструментом визуализации тенденций. Схема построения:

• По оси абсцисс откладываются временные периоды (даты, годы, кварталы).
• По оси ординат — значения уровней динамического ряда.

Точки, соответствующие парам (время; уровень), соединяются отрезками прямых. На этот же график можно нанести линию тренда, полученную в результате аналитического выравнивания, что наглядно покажет общую тенденцию развития явления, сглаживая случайные колебания. Что может быть более убедительным для демонстрации закономерностей, чем их визуальное представление?

Задача 5: Индексный метод анализа экономических показателей

В экономике, где постоянно происходят изменения цен, объемов производства, стоимости товаров и других агрегированных показателей, возникает необходимость в комплексной оценке этих изменений. Индексный метод — это мощный аналитический инструмент, позволяющий не только измерить общие изменения сложных явлений, состоящих из несоизмеримых элементов, но и выявить влияние отдельных факторов на эти изменения.

Виды и свойства статистических индексов

Индекс — это обобщающий относительный показатель, характеризующий изменение уровня общественного явления во времени, по сравнению с программой развития, планом, прогнозом или его соотношение в пространстве.

Экономические индексы находят широкое применение:

• Для сопоставления экономических показателей между странами (например, паритет покупательной способности).
• Для мониторинга деловой активности и инфляции (индексы потребительских цен).
• При оценке финансовых инструментов и доходности инвестиций (фондовые индексы).
• В анализе эффективности производства и реализации продукции.

Индексы подразделяются на:

1. Индивидуальные (элементарные) индексы — характеризуют изменения отдельных единиц статистической совокупности. Например, изменение цены на конкретный вид товара, объема выпуска определенной марки продукции.
2. Общие (групповые) индексы — выражают сводные (обобщающие) результаты совместного изменения всех единиц, образующих статистическую совокупность. Они позволяют оценить изменение всего комплекса явлений.

Аналитические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя. Это достигается за счет фиксации одного из факторов на базисном или отчетном уровне.

При изучении динамики социально-экономических явлений сравниваемая величина (числитель индексного отношения) принимается за текущий (или отчетный) период, а величина, с которой производится сравнение — за базисный период.

Индексируемая величина — это значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения (например, цена единицы товара p, количество товаров q, стоимость продукции s).

Примеры индивидуальных индексов:

• Индивидуальный индекс физического объема продукции (i_q): Отношение количества продукции в отчетном периоде к базисному.
  iq = q1 / q0
• Индивидуальный индекс цен (i_p): Характеризует изменение цены одного товара.
  ip = p1 / p0
• Индивидуальный индекс товарооборота (i_s): Отражает изменение стоимости товара.
  is = s1 / s0

Эти индексы взаимосвязаны соотношением: is = ip ⋅ iq.

Расчет агрегатных индексов

Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы. Они строятся путем взвешивания индексируемого показателя с помощью неизменной величины другого, взаимосвязанного с ним показателя. Это позволяет исключить влияние изменения одного из факторов и сосредоточиться на изменении другого.

Рассмотрим наиболее распространенные агрегатные индексы, разработанные Ласпейресом, которые используют базисные веса:

• Агрегатный индекс цен Ласпейреса (I_p):
  Ip = (Σ(p1q0)) / (Σ(p0q0))
  Где:
  • p₁ и q₁ — цена и количество товара в отчетном периоде.
  • p₀ и q₀ — цена и количество товара в базисном периоде.

  Интерпретация: Этот индекс показывает, как изменились цены в отчетном периоде по сравнению с базисным, при условии, что физический объем продукции остался на уровне базисного периода (q₀). То есть, он отвечает на вопрос: «На сколько изменилась бы стоимость всей продукции, если бы изменились только цены, а объемы остались прежними?»

• Агрегатный индекс физического объема продукции Ласпейреса (I_q):
  Iq = (Σ(q1p0)) / (Σ(q0p0))
  Где:
  • q₁ и p₁ — количество и цена товара в отчетном периоде.
  • q₀ и p₀ — количество и цена товара в базисном периоде.

  Интерпретация: Этот индекс показывает, как изменился физический объем продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным, при условии, что цены остались на уровне базисного периода (p₀). То есть, он отвечает на вопрос: «На сколько изменилась бы стоимость всей продукции, если бы изменились только объемы, а цены остались прежними?»

• Агрегатный индекс товарооборота (I_s):
  Is = (Σ(p1q1)) / (Σ(p0q0))
  Интерпретация: Этот индекс показывает общее изменение стоимости товарооборота (или любого другого стоимостного показателя) в отчетном периоде по сравнению с базисным, обусловленное изменением как цен, так и физического объема.
  Взаимосвязь между этими индексами: Is = Ip ⋅ Iq.

Факторный анализ с использованием метода цепных подстановок

Аналитические свойства индексов проявляются наиболее ярко в факторном анализе, который позволяет определить влияние каждого из факторов на общее изменение результирующего показателя. Для детерминированного факторного анализа (когда результирующий показатель является произведением или суммой факторов) наиболее распространенным и легко проверяемым является метод цепных подстановок.

Сущность метода цепных подстановок:
Метод заключается в последовательной замене базисных значений факторов на отчетные. При каждой подстановке меняется только один фактор, остальные фиксируются на определенном уровне (либо базисном, либо уже замененном на отчетный). Это позволяет изолировать влияние каждого фактора.

Пошаговый алгоритм для результирующего показателя, зависящего от двух факторов (например, Стоимость = Цена × Количество, или S = p × q):

Пусть S₀ = p₀q₀ (стоимость в базисном периоде), S₁ = p₁q₁ (стоимость в отчетном периоде).
Общее изменение стоимости: ΔS = S1 - S0.

1. Начальная величина (базисная): S0 = Σ(p0q0)
2. Определение влияния изменения цены (ΔS_p):
   Для этого фиксируем количество на базисном уровне (q₀), а цену меняем с базисной (p₀) на отчетную (p₁).
   Условная величина: Sусл(p) = Σ(p1q0)
   Влияние изменения цен: ΔSp = Sусл(p) - S0 = Σ(p1q0) - Σ(p0q0)
3. Определение влияния изменения количества (ΔS_q):
   Теперь, когда влияние цены уже учтено (т.е. цена уже «отчетная» p₁), фиксируем цену на отчетном уровне (p₁), а количество меняем с базисного (q₀) на отчетное (q₁).
   Условная величина: Sусл(q) = Σ(p1q1) (это и есть S₁)
   Влияние изменения количества: ΔSq = Sусл(q) - Sусл(p) = Σ(p1q1) - Σ(p1q0)

Проверка: Сумма влияний отдельных факторов должна быть равна общему изменению результирующего показателя:
ΔSp + ΔSq = (Σ(p1q0) - Σ(p0q0)) + (Σ(p1q1) - Σ(p1q0)) = Σ(p1q1) - Σ(p0q0) = S1 - S0 = ΔS

Пример для функциональной зависимости Y = A ⋅ B ⋅ C:

1. Базисное значение: Y0 = A0 ⋅ B0 ⋅ C0
2. Влияние изменения фактора A:
   ΔYA = (A1 - A0) ⋅ B0 ⋅ C0
3. Влияние изменения фактора B: (A уже отчетное, B меняем)
   ΔYB = A1 ⋅ (B1 - B0) ⋅ C0
4. Влияние изменения фактора C: (A и B уже отчетные, C меняем)
   ΔYC = A1 ⋅ B1 ⋅ (C1 - C0)

Недостаток метода: Важным недостатком метода цепных подстановок является то, что результаты факторного анализа могут зависеть от выбранной последовательности подстановок. В зависимости от порядка замены факторов на отчетные, величина влияния каждого фактора может немного меняться. Тем не менее, это наиболее простой и интуитивно понятный метод, широко используемый на практике.

Задача 6: Средние величины в статистике и их корректное применение

В океане разнообразных данных, где каждое отдельное наблюдение уникально, средняя величина выступает в роли маяка, указывающего на типичный уровень признака. Это обобщающий показатель, который позволяет нам получить количественную характеристику признака во всей статистической совокупности, абстрагируясь от случайных отклонений и фокусируясь на центральной тенденции, формирующейся под воздействием основных доминирующих неслучайных факторов. Однако выбор правильной средней — это не тривиальная задача; он определяет корректность всей последующей интерпретации.

Классификация средних величин

В статистике применяется множество видов средних величин, которые можно разделить на два больших класса:

1. Степенные средние: Основаны на математическом преобразовании значений признака. К ним относятся:
   • Средняя арифметическая
   • Средняя гармоническая
   • Средняя геометрическая
   • Средняя квадратическая
   • Средняя кубическая
2. Структурные средние: Определяются положением в упорядоченном ряду распределения и не зависят от всех значений признака. К ним относятся:
   • Мода
   • Медиана

Структурные средние: мода и медиана

Структурные средние особенно полезны для описания распределений, которые могут быть асимметричными или содержать выбросы, поскольку они менее чувствительны к экстремальным значениям, чем степенные средние.

• Мода (Mo): Это такое значение из множества измерений, которое встречается наиболее часто. Мода соответствует наибольшему подъему (вершине) графика распределения частот (например, гистограммы или полигона).
  • Метод нахождения: Для дискретного ряда мода — это вариант с наибольшей частотой. Для интервального ряда мода рассчитывается по формуле (как уже упоминалось в Задаче 1):
    Mo = XMo + h ⋅ (fMo - fMo-1) / ((fMo - fMo-1) + (fMo - fMo+1))
  • Интерпретация: Мода указывает на наиболее типичное, наиболее часто встречающееся значение признака. В одном наборе данных может быть несколько мод (бимодальное, мультимодальное распределение), что свидетельствует о наличии нескольких «пиков» в распределении, или ни одной (если все значения встречаются с одинаковой частотой).
• Медиана (Me): Это такое значение признака, которое делит упорядоченное (ранжированное) множество данных пополам так, что одна половина всех значений меньше медианы, а другая — больше.
  • Метод нахождения:
    • Если данные содержат нечетное число значений, то медиана — это центральное значение в ранжированном ряду.
    • Если данные содержат четное число значений, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений.
    • Для интервального ряда медиана рассчитывается по формуле (как уже упоминалось в Задаче 1):
      Me = XMe + h ⋅ ( (Σfi / 2) - ΣfMe-1 ) / fMe
  • Интерпретация: Медиана является «центральной» точкой распределения, разделяющей совокупность на две равные части. Она нечувствительна к экстремальным значениям, что делает ее предпочтительной для асимметричных распределений (например, распределения доходов). Огива (график Гальтона) позволяет графически оценить величину медианы.

Степенные средние: виды, формулы и области применения

Степенные средние различаются степенью возведения усредняемых величин. Выбор конкретного вида степенной средней определяется целями и задачами исследования, а также экономической сущностью исходных данных.

• Средняя арифметическая (X̅):
  • Определение: Самая распространенная средняя. Вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество.
  • Формулы:
    • Простая: X̅ = ΣXi / n (для негруппированных данных)
    • Взвешенная: X̅ = Σ(Xi ⋅ fi) / Σfi (для сгруппированных данных, где X_i — варианты/середины интервалов, f_i — частоты)
  • Область применения: Используется, когда каждое значение признака вносит пропорциональный вклад в общую сумму. Типична для усреднения зарплат, цен, объемов производства, если известны значения признака для каждой единицы совокупности.
• Средняя гармоническая (X̅_гарм):
  • Определение: Применяется, когда известны численные значения числителя логической формулы (например, общая сумма затрат, общий объем производства), а значения знаменателя (например, время или объем на единицу) неизвестны, но могут быть найдены как обратные величины от усредняемого признака.
  • Формулы:
    • Простая: X̅гарм = n / Σ(1 / Xi)
    • Взвешенная: X̅гарм = Σfi / Σ(fi / Xi)
  • Область применения: Используется для усреднения показателей, выраженных в форме относительных величин (скорость, производительность труда, удельные затраты времени), при условии равенства числителей этих относительных величин.
    • Пример: Расчет средней скорости автомобиля, который проехал одинаковое расстояние на разных скоростях (например, 100 км со скоростью 80 км/ч, а затем 100 км со скоростью 90 км/ч). Общий путь (числитель) одинаков для каждого отрезка.
• Средняя геометрическая (X̅_геом):
  • Определение: Применяется в случаях определения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо по относительным показателям, которые по своей природе являются произведениями.
  • Формулы:
    • Простая: X̅геом = n√[ΠXi] (корень n-й степени из произведения всех значений X_i)
    • Взвешенная: X̅геом = Σfi√[ΠXifi]
  • Область применения: Идеальна для определения средних темпов роста или средних коэффициентов роста в динамических рядах (например, средний ежегодный темп прироста ВВП), а также для усреднения относительных показателей (например, среднего процента инфляции за несколько периодов), когда значения перемножаются. Также используется в интегральных показателях, как, например, Индекс развития человеческого потенциала.
• Средняя квадратическая (X̅_квадр):
  • Определение: Применяется, когда необходимо усреднить показатели, влияющие на общий результат в квадратической зависимости, или когда исходные значения могут быть как положительными, так и отрицательными.
  • Формулы:
    • Простая: X̅квадр = √[ΣXi2 / n]
    • Взвешенная: X̅квадр = √[Σ(Xi2 ⋅ fi) / Σfi]
  • Область применения: Используется при расчете среднего квадратического отклонения (корень из дисперсии), а также для определения средних размеров признаков, выраженных в квадратных единицах (например, средняя величина стороны n квадратных участков, средние диаметры труб или стволов деревьев, где площадь или объем зависят от квадрата радиуса/диаметра).
• Средняя кубическая (X̅_куб):
  • Определение: Применяется, когда возникает потребность в расчете среднего размера признака, выраженного в кубических единицах измерения.
  • Формулы:
    • Простая: X̅куб = 3√[ΣXi3 / n]
    • Взвешенная: X̅куб = 3√[Σ(Xi3 ⋅ fi) / Σfi]
  • Область применения: Применяется для определения средней длины стороны кубов или других объектов, объем которых зависит от кубической степени линейного размера.

Выбор того или иного вида средней всегда определяется целями и задачами исследования и имеющейся информацией. Некорректный выбор может привести к искажению результатов и ошибочным выводам, нивелируя всю проделанную работу.

Выводы и рекомендации

Настоящая контрольная работа по теории статистики предоставила углубленное погружение в фундаментальные методы анализа данных, демонстрируя не только их теоретическую основу, но и практическое применение. Мы пошагово рассмотрели шесть ключевых статистических задач, охватывающих широкий спектр аналитических подходов.

Подводя итоги, можно выделить следующие ключевые аспекты:

• Анализ рядов распределения показал, как структурировать и визуализировать данные, а также как извлекать из них базовые числовые характеристики, такие как мода, медиана и средняя, и оценить степень их вариации. Детальный разбор кумуляты и огивы, в том числе «графика Гальтона», подчеркнул их роль в глубоком понимании распределений и оценке медианы.
• Выборочное наблюдение раскрыло принципы экстраполяции выводов с части на целое, акцентируя внимание на критически важных нюансах расчета ошибок выборки, особенно для малых совокупностей с использованием поправочных коэффициентов, и построении доверительных интервалов.
• Корреляционно-регрессионный анализ позволил нам не только измерить тесноту и направление линейной связи между признаками с помощью коэффициента Пирсона, но и построить прогностическую модель, детально интерпретируя коэффициенты и оценивая адекватность модели.
• Анализ динамических рядов продемонстрировал методы изучения изменений явлений во времени, выявления общих тенденций (тренда) и оценки адекватности моделей аналитического выравнивания с помощью коэффициента детерминации, F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
• Индексный метод оказался незаменимым инструментом для комплексного анализа экономических показателей, позволяя не только оценить общие изменения, но и провести факторный анализ с помощью метода цепных подстановок, выделив влияние каждого фактора.
• Средние величины были рассмотрены с точки зрения их классификации, принципов расчета и, что особенно важно, специфических областей применения для каждого вида степенных средних (арифметической, гармонической, геометрической, квадратической и кубической), подчеркивая необходимость осознанного выбора для корректной характеристики типичного уровня признака.

Полученные результаты подтверждают, что глубокое понимание и методически верное применение статистических инструментов позволяют трансформировать необработанные данные в ценную информацию, необходимую для принятия эффективных управленческих, экономических и научных решений.

В качестве рекомендаций для дальнейшего изучения и практического применения теории статистики можно предложить следующее:

1. Углубленное изучение программного обеспечения: Освоение статистических пакетов (например, R, Python с библиотеками SciPy/Pandas/NumPy, SPSS, Statistica) значительно упростит и ускорит процесс расчетов, позволяя сосредоточиться на интерпретации и выводах.
2. Критический подход к выбору методов: Всегда следует учитывать природу данных, цели исследования и ограничения каждого статистического метода, чтобы избежать ошиб��чных выводов.
3. Непрерывное развитие аналитических навыков: Статистика — это постоянно развивающаяся область. Регулярное изучение новых методов, участие в практических проектах и анализ реальных кейсов будут способствовать профессиональному росту.

Ценность детального подхода к решению статистических задач неоспорима. Только тщательный анализ каждого этапа, от сбора данных до интерпретации результатов, гарантирует достоверность и практическую значимость полученных выводов.

Список использованной литературы

1. Власов М.П., Шимко П.Д. Общая теория статистики. Инструментарий менеджера международной фирмы: учеб. пособие. – СПб.: СПбГИЭУ, 2002. – 452 с.
2. Григорьева Р.П., Басова И.И. Статистика труда: конспект лекций. – СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2000. – 64 с.
3. Добрынина Н.В., Нименья И.Н. Статистика. Учеб.-метод. пособие. – СПб.: СПбГИЭУ, 2002. – 103 с.
4. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: учебник /Под ред. И.И. Елисеевой. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 656 с.
5. Микроэкономическая статистика: Учебник/ Под ред. С.Д. Ильенковой. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 544 с.
6. Практикум по теории статистики/ Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 416 с.
7. Теория статистики/ Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 576 с.
8. Корреляция. Википедия.
9. Графическое представление рядов распределения. ПРАВОВАЯ СТАТИСТИКА.
10. Коэффициент корреляции Пирсона. cito.
11. Графическое изображение рядов распределения. Общая теория статистики.
12. Ряды распределения. Гистограмма, полигон, кумулята и огива. Grandars.ru.
13. Ошибки выборочного наблюдения. Формулы, примеры. Primer.by.
14. Аналитическое выравнивание временных рядов.
15. Выборочное наблюдение — лекция по статистике для заочного отделения.
16. Индивидуальные и общие индексы.
17. Меры центральной тенденции. Википедия.
18. Графическое изображение рядов распределения. Статистика. Studref.com.
19. Тема 2.4. Корреляционно-регрессионный анализ. Основы научных исследований в агрономии.
20. Графическое изображение рядов распределения. СТАТИСТИКА. Studme.org.
21. Основные понятия и классификация индексов. Ниворожкина Л.И., Чернова Т.В. Теория статистики.
22. Коэффициент корреляции Пирсона. MachineLearning.ru.
23. Что такое ряды динамики и для чего они нужны. Work5.
24. Понятие индексов и сферы их применения. Важнейший метод статистики.
25. ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ. openU.kz.
26. Центральная Тенденция в Статистике: Ключевые Меры и Использование. LeadStartup.
27. Статистика. Лекция 11: Выборочное наблюдение в статистике. Интуит.
28. Критерий корреляции Пирсона. Методы статистики.
29. Центральная тенденция в статистике: что это и как применяется. Skypro.
30. Виды средних величин и способы их вычисления. Studbooks.net.
31. Виды средних величин.
32. Индивидуальные и общие индексы. Статистика. Bstudy.
33. Выборочный метод статистического наблюдения. ПРАВОВАЯ СТАТИСТИКА.
34. ЛЕКЦИЯ № 9. Выборочное наблюдение / Теория статистики. Xliby.ru.
35. Выборочное наблюдение.
36. Индексы и индексный метод. Общие и индивидуальные индексы. Grandars.ru.
37. Виды средних и способы их вычисления. Форумы BizLog.ru.
38. Лекция Виды средних величин Средняя арифметическая величина.
39. Понятие средних величин, их виды и область применения.
40. Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой. Точечный и интервальный прогноз. 100task.
41. Статистика. Лекция 9: Ряды динамики в статистике. Интуит.
42. Ряды динамики Динамический ряд – это совокупность однородных статис.
43. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ОБРАБОТКА ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ И ПРОГНОЗ ДИНАМИКИ В MS Excel. Медицинская статистика.
44. КОРРЕЛЯЦИОННО — РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ.
45. Метод аналитического выравнивания. Онлайн-калькулятор.
46. Средние ошибки повторной и бесповторной выборки. univer-nn.ru.
47. Средняя и предельная ошибка выборки. Методика их расчёта для средней и доли. Оценка существенности расхождения выборочных средних.
48. Формулы расчета средней ошибки выборки для различных способов формирования выборочной совокупности.
49. Ступин А.А.: 4.1. Общее понятие корреляционно-регрессионного анализа.
50. Лекции 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 1. Понятие о корреляции.
51. Регрессионный анализ: основы, задачи и применение в Data Science.