Разбор и решение типовых задач для контрольной работы по теории вероятностей

Подготовка к контрольной по теории вероятностей часто превращается в стресс: лекции разрознены, задачи в методичке даны без подробных объяснений, а время поджимает. Знакомая ситуация? Эта статья — ваше решение. Мы собрали все типовые задачи, которые встречаются в большинстве контрольных работ — от базовой комбинаторики до хитрой формулы Байеса — и разобрали их от и до. Наша цель — не просто показать вам готовый ответ, а научить видеть логику за сухими формулами, чтобы вы могли уверенно решить любой вариант. Мы превратим хаос в систему и дадим вам четкий план подготовки.

С чего начинается теория вероятностей, или задачи на комбинаторику

Любой курс по теории вероятностей начинается с фундамента — комбинаторики. Это раздел математики, который отвечает на вопрос «сколькими способами?». Прежде чем считать вероятности, нужно научиться считать количество всех возможных исходов. Здесь правят три ключевых понятия: перестановки (когда важен порядок и используются все элементы), размещения (когда важен порядок, но используются не все элементы) и сочетания (когда порядок не важен). Именно последнее чаще всего встречается в задачах на выборку.

Рассмотрим типичный пример:

На полке стоят 10 книг, из них три по теории вероятностей. Сколько существует способов выбрать три книги так, чтобы среди них оказалась ровно одна по теории вероятностей?

Давайте разберем решение по шагам, акцентируя внимание на логике. Нам нужно выбрать 1 книгу по терверу И 2 другие книги.

1. Выбор книги по теории вероятностей. У нас есть 3 таких книги, а выбрать нужно одну. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу сочетаний C(n, k) = n! / (k!(n-k)!). Число способов выбрать 1 книгу из 3: C(3, 1) = 3! / (1! * 2!) = 3 способа.
2. Выбор остальных книг. Всего на полке 10 книг, из них 7 — не по теории вероятностей. Нам нужно дополнить нашу выборку двумя такими книгами. Число способов выбрать 2 книги из оставшихся 7: C(7, 2) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6) / 2 = 21 способ.
3. Общее число способов. Поскольку мы должны выполнить и первое, и второе действие, мы используем правило умножения в комбинаторике. Итоговое число способов равно произведению результатов: 3 * 21 = 63 способа.

Главный вывод: всегда разбивайте сложную задачу на простые действия и задавайте себе вопрос: «Важен ли мне порядок элементов?». Если нет — ваш инструмент это сочетания.

Как рассчитать шансы на встречу, или задачи на геометрическую вероятность

Что делать, если число исходов бесконечно? Например, когда событие может произойти в любой момент времени в заданном интервале. Здесь на помощь приходит геометрический подход. Его суть проста: вероятность события равна отношению «благоприятной» площади (или длины, или объема) ко всей площади возможных исходов.

Классическая задача, иллюстрирующая этот метод:

Два лица условились встретиться в определенном месте между 18:00 и 19:00 и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение этого часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы.

Решение этой задачи красиво визуализируется на графике.

• Представим весь интервал времени (60 минут) как квадрат на координатной плоскости со стороной 60. Ось X — время прихода первого человека, ось Y — время прихода второго. Площадь этого квадрата S = 60 * 60 = 3600 — это все возможные исходы.
• Условие встречи — разница во времени их прихода не превышает 15 минут, то есть |x — y| ≤ 15. Это двойное неравенство: -15 ≤ x — y ≤ 15, или y ≤ x + 15 и y ≥ x — 15.
• Эти две прямые отсекают от нашего квадрата два маленьких треугольника в углах. Это и есть области неблагоприятных исходов — те случаи, когда люди разминутся.
• Площадь «благоприятных» исходов — это площадь квадрата за вычетом площадей этих двух треугольников. Катет каждого треугольника равен (60 — 15) = 45.
• Площадь неблагоприятных исходов = 2 * (1/2 * 45 * 45) = 2025.
• Площадь благоприятных исходов (встречи) = 3600 — 2025 = 1575.
• Вероятность встречи P = (Благоприятная площадь) / (Общая площадь) = 1575 / 3600 = 7/16 или 0.4375.

В этой задаче события были независимы. Но что, если одно событие влияет на другое? Это приводит нас к одному из самых важных разделов — условной вероятности.

Что делать, если одно событие уже произошло. Разбираем формулу полной вероятности и формулу Байеса

Многие события в жизни взаимосвязаны. Вероятность того, что пойдет дождь, если на небе тучи, выше, чем сама по себе. Это и есть условная вероятность P(A|B) — вероятность события A при условии, что событие B уже произошло. Этот раздел часто вызывает трудности, но задачи на него решаются по четкому алгоритму с помощью двух мощных инструментов: формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Рассмотрим комплексную задачу:

Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами. Первый проверяет 55% изделий, второй — остальные 45%. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0.1, а для второго — 0.2. Взятое наугад изделие, пропущенное контролем (т.е. маркированное как стандартное), оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.

Здесь нам нужно переоценить вероятность гипотезы («изделие проверял второй контролер») после получения нового факта («оно оказалось пропущенным браком»). Это прямая дорога к формуле Байеса, но сначала нужна формула полной вероятности.

1. Определяем гипотезы и события.
   • Гипотеза H1: изделие проверял первый контролер. P(H1) = 0.55.
   • Гипотеза H2: изделие проверял второй контролер. P(H2) = 0.45.
   • Событие A: нестандартное изделие было пропущено.
   • Условные вероятности (даны в условии): P(A|H1) = 0.1; P(A|H2) = 0.2.
2. Находим полную вероятность события A. Какова вообще вероятность, что нестандартное изделие будет пропущено? Используем формулу полной вероятности:
   P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) = (0.55 * 0.1) + (0.45 * 0.2) = 0.055 + 0.09 = 0.145.
3. Применяем формулу Байеса. Теперь мы можем ответить на главный вопрос: какова вероятность, что изделие проверял второй контролер, если мы уже знаем, что оно было пропущено? P(H2|A) = (P(H2) * P(A|H2)) / P(A) = (0.45 * 0.2) / 0.145 = 0.09 / 0.145 ≈ 0.62.

Таким образом, после получения информации о браке наша уверенность в том, что его проверял второй (менее надежный) контролер, возросла с 45% до 62%.

Когда испытания повторяются. Формула Бернулли в действии

Многие процессы состоят из серии одинаковых, независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых есть два исхода: «успех» и «неудача». Например, стрельба по мишени, проверка изделий на брак или, как в нашей задаче, опоздание пассажиров. Для таких сценариев используется схема Бернулли.

Рассмотрим задачу:

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0.01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

Здесь мы имеем дело с серией из n=800 независимых испытаний, где вероятность «успеха» (опоздания) p=0.01 постоянна.

1. Находим наиболее вероятное число успехов. Для этого существует специальное неравенство: np — q ≤ k₀ ≤ np + p, где n=800, p=0.01, q=1-p=0.99.
   • np = 800 * 0.01 = 8.
   • Подставляем значения: 8 — 0.99 ≤ k₀ ≤ 8 + 0.01.
   • 7.01 ≤ k₀ ≤ 8.01.
   • Поскольку k₀ (число людей) должно быть целым, единственное возможное значение — k₀ = 8.
2. Считаем вероятность для этого числа. Теперь используем саму формулу Бернулли: Pₙ(k) = C(n, k) * pᵏ * qⁿ⁻ᵏ. Мы хотим найти P₈₀₀(8) — вероятность того, что из 800 пассажиров опоздают ровно 8.
   • P₈₀₀(8) = C(800, 8) * (0.01)⁸ * (0.99)⁷⁹².
   • Расчет этого значения вручную затруднителен, но в контрольной работе главным является правильная запись формулы и подстановка всех компонентов, что мы и сделали. Это демонстрирует понимание метода.

Схема Бернулли — мощный инструмент для анализа серийных событий с постоянной вероятностью успеха.

Что такое случайная величина и как составить ее закон распределения

До сих пор мы говорили о вероятности конкретных событий. Но часто результат эксперимента — это число, которое может принимать разные значения со своей вероятностью. Такое число называется случайной величиной. Полное описание дискретной случайной величины дает ее закон распределения — таблица, где каждому возможному значению сопоставлена его вероятность.

Разберем на примере:

Из 10 поступающих в ремонт часов 7 нуждаются в чистке механизма. Мастер, желая найти такие часы, проверяет их поочередно и, найдя первые нуждающиеся в чистке, прекращает просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов (X) и найти его числовые характеристики.

Сначала определим, какие значения может принимать наша случайная величина X.

• X=1: Мастер сразу взял часы, требующие чистки (Ч). Вероятность: P(X=1) = 7/10.
• X=2: Первые часы были исправны (И), вторые — требующие чистки (Ч). Вероятность: P(X=2) = (3/10) * (7/9) = 21/90 = 7/30.
• X=3: Первые двое часов — И, третьи — Ч. Вероятность: P(X=3) = (3/10) * (2/9) * (7/8) = 42/720 = 7/120.
• X=4: Первые трое — И, четвертые — Ч. Вероятность: P(X=4) = (3/10) * (2/9) * (1/8) * (7/7) = 6/720 = 1/120.

Теперь мы можем составить закон распределения в виде таблицы:

X	1	2	3	4
P	7/10	7/30	7/120	1/120

Далее найдем числовые характеристики:

1. Математическое ожидание (E(X)) — среднее ожидаемое значение: E(X) = Σxᵢpᵢ = 1*(7/10) + 2*(7/30) + 3*(7/120) + 4*(1/120) = (84 + 56 + 21 + 4)/120 = 165/120 = 1.375. В среднем мастер будет просматривать 1-2 часов.
2. Дисперсия (D(X)) — мера разброса значений вокруг среднего: D(X) = E(X²) — [E(X)]². Сначала найдем E(X²) = 1²*(7/10) + 2²*(7/30) + 3²*(7/120) + 4²*(1/120) = 275/120. Тогда D(X) = 275/120 — (1.375)² ≈ 2.29 — 1.89 ≈ 0.4.
3. Среднеквадратическое отклонение (σ(X)) — корень из дисперсии, показывает тот же разброс, но в исходных единицах: σ(X) = √D(X) ≈ √0.4 ≈ 0.63.

Когда случайная величина непрерывна. Изучаем равномерный закон распределения

А что если случайная величина может принимать любое значение из некоторого интервала? Например, время ожидания автобуса или, как в нашей задаче, ошибка измерения. Такие величины называют непрерывными. Простейший закон их распределения — равномерный. Он описывает ситуацию, когда все значения в интервале от a до b равновероятны.

Рассмотрим пример:

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0.2. Показания округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что ошибка округления X распределена по равномерному закону, нужно: 1) найти ее математическое ожидание и дисперсию; 2) найти вероятность, что ошибка будет меньше 0.04; 3) найти вероятность, что ошибка будет больше 0.05.

Максимальная ошибка при округлении до деления 0.2 составляет половину цены деления в каждую сторону. Следовательно, наша случайная величина X равномерно распределена на интервале от a = -0.1 до b = 0.1.

1. Находим числовые характеристики. Для равномерного распределения есть простые формулы:
   • Математическое ожидание: E(X) = (a + b) / 2 = (-0.1 + 0.1) / 2 = 0. Логично, что в среднем ошибки в большую и меньшую сторону компенсируют друг друга.
   • Дисперсия: D(X) = (b — a)² / 12 = (0.1 — (-0.1))² / 12 = (0.2)² / 12 = 0.04 / 12 ≈ 0.0033.
2. Рассчитываем вероятности. Для непрерывной величины вероятность попадания в подинтервал (α, β) равна отношению длины этого подинтервала к длине всего интервала. Длина нашего основного интервала (b — a) = 0.2.
   • Вероятность, что ошибка меньше 0.04 (то есть |X| < 0.04, или -0.04 < X < 0.04):
     P = (0.04 — (-0.04)) / 0.2 = 0.08 / 0.2 = 0.4.
   • Вероятность, что ошибка больше 0.05 (то есть |X| > 0.05):
     Это сумма вероятностей для двух интервалов: (-0.1, -0.05) и (0.05, 0.1). Длина каждого 0.05. Общая длина = 0.1.
     P = 0.1 / 0.2 = 0.5.

Как выбрать правильную формулу. Ключевые маркеры в условиях задач

Самое сложное в контрольной — не посчитать, а понять, что именно считать. Каждая задача содержит слова-маркеры, которые намекают на правильный метод. Вот краткий чек-лист по разобранным нами темам:

• Задача на комбинаторику:
  • Ключевые слова: «сколькими способами», «выбрать N из K», «составить комиссию/букет/набор», «без возвращения».
  • Что делать: Определить, важен ли порядок. Если нет — сочетания C(n,k). Если да — размещения A(n,k).
• Задача на геометрическую вероятность:
  • Ключевые слова: «встретиться в интервале времени», «точка наудачу брошена в фигуру», «на отрезок».
  • Что делать: Найти площадь/длину всех возможных исходов и площадь/длину благоприятных исходов. Разделить второе на первое.
• Задача на формулу Байеса / полную вероятность:
  • Ключевые слова: «событие уже произошло», «получена новая информация», «вероятность гипотезы», «изделие с первого/второго станка», «оказалось, что».
  • Что делать: Выделить гипотезы (H1, H2…). Найти их априорные вероятности. Найти условные вероятности события A для каждой гипотезы. Применить формулу полной вероятности, а затем — формулу Байеса.
• Задача на формулу Бернулли:
  • Ключевые слова: «проведено N независимых испытаний», «вероятность успеха постоянна», «найти вероятность K успехов», «наиболее вероятное число».
  • Что делать: Определить n, p, q, k. Подставить в формулу Бернулли Pₙ(k) или в неравенство для k₀.
• Задача на закон распределения:
  • Ключевые слова: «составить закон распределения случайной величины», «найти математическое ожидание, дисперсию».
  • Что делать: Определить все возможные значения случайной величины X. Посчитать вероятность для каждого значения. Занести в таблицу. Использовать стандартные формулы для E(X) и D(X).

Ваша стратегия успеха на контрольной. Подводим итоги

Мы прошли с вами весь путь — от подсчета вариантов до анализа случайных величин. Вы увидели, что за каждой задачей стоит определенная логика и структура. Теперь главное — правильно применить эти знания на практике.

Ваша стратегия на контрольной должна быть простой и эффективной. Не бросайтесь сразу к формулам. Сначала внимательно прочитайте условие и, используя наш чек-лист с маркерами, определите тип задачи. Как только вы поняли, с чем имеете дело — с Бернулли, Байесом или геометрической вероятностью — путь к решению становится ясным и очевидным. Такой осознанный подход не только убережет от ошибок, но и придаст уверенности в своих силах.

Помните, что ключ к высокой оценке — это не зубрежка, а понимание. Удачи!

Список использованной литературы

1. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие для вузов.—М.: Аудит, ЮНИТИ, 1998.—247 с.
2. Елисеева И. И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. чл.-корр. РАН И. И. Елисеевой. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 480 с.
3. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник/Под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина.—М.: Финансы и статистика, 2000.—440 с.
4. Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. чл. — корр. РАН И.И. Елисеевой.—М.: Финансы и статистика, 1999.—480 с.
5. Статистика: Курс лекций /Под ред. В.Г. Ионина. — Новосибирск: НГАЭУ, 1999.
6. Шмойлова Р. А. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Р. А. Шмойлова, В. Г. Минашкин, Н. А. Садовникова; Под. ред. Р. А. Шмойловой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 416 с.