Подробные решения типовых задач по общей физике для контрольной работы: от теории к практике

Введение: Ключ к пониманию физики через решение задач

В мире современной инженерии и фундаментальных наук, где технологии развиваются с беспрецедентной скоростью, глубокое и системное понимание физических принципов является не просто академическим требованием, а краеугольным камнем профессиональной компетенции. Для студента технического или естественнонаучного вуза контрольные работы по физике — это не просто испытание знаний, а уникальная возможность систематизировать усвоенный материал, научиться применять абстрактные теории к конкретным задачам и, в конечном итоге, развить критическое мышление, которое отличает истинного специалиста.

Настоящее руководство призвано стать не просто сборником решений, а комплексным инструментом, который проведет вас от теоретических основ до практического применения физических законов. Мы не ограничиваемся сухим изложением формул, а стремимся раскрыть логику каждого шага, объяснить физический смысл используемых величин и методов, а также продемонстрировать, как корректно оформить решение в строгом академическом стиле. От электромагнетизма до квантовой и ядерной физики — каждый раздел будет рассмотрен с максимальной детализацией, превращая сложные задачи в понятные и логически обоснованные шаги. Наша цель — не только помочь вам успешно справиться с контрольной работой, но и заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения физики, развивая навыки самостоятельного анализа и решения любых, даже самых нетривиальных, задач.

Методология эффективного решения физических задач: Пошаговое руководство

Решение физической задачи — это не просто механическое применение формул, а сложный мыслительный процесс, требующий системного подхода. Эффективная методология позволяет разбить эту задачу на управляемые этапы, каждый из которых имеет свою цель и значимость. Представленная здесь академическая методология станет краеугольным камнем для разбора всех последующих примеров, показывая, как структурировать мышление для достижения точного и обоснованного результата.

Этап 1: Анализ условия и перевод в систему СИ

Первый и, возможно, самый критически важный шаг — это тщательное прочтение и осмысление условия задачи. Нередко ошибки возникают именно из-за невнимательности к формулировкам или неверной интерпретации исходных данных.

Что необходимо сделать:

• Внимательное прочтение: Прочитайте условие несколько раз, выделяя ключевые слова, описывающие физические явления, объекты и процессы. Постарайтесь сформировать в уме общую картину происходящего.
• Выделение "Дано": Запишите все числовые значения, которые приведены в условии, вместе с их единицами измерения. Отделите их от текстового описания, чтобы иметь четкий список исходных данных.
• Определение "Найти": Четко сформулируйте, какую величину или величины требуется найти. Это поможет сфокусироваться на конечной цели решения.
• Перевод в СИ: Абсолютно все величины, зафиксированные в "Дано", должны быть переведены в Международную систему единиц (СИ). Это критически важно для корректности дальнейших расчетов, так как большинство физических формул построены именно на СИ. Например, сантиметры в метры, граммы в килограммы, минуты в секунды и так далее.

Пример: Если дана длина в 10 см, в "Дано" следует записать: L = 10 см = 0.1 м.

Этап 2: Визуализация и выбор физических моделей

После того как исходные данные систематизированы, наступает этап "оживления" задачи — ее визуализация и выбор подходящих теоретических инструментов.

Что необходимо сделать:

• Построение схемы или чертежа: Для большинства задач, особенно в механике, оптике и электромагнетизме, создание наглядного чертежа или схемы является бесценным инструментом. Изобразите все объекты, укажите направления сил, скоростей, токов, лучей света, векторов магнитной индукции. Это помогает не только лучше понять геометрические аспекты задачи, но и предотвратить ошибки, связанные с неправильным выбором направления векторов.
• Выбор адекватных физических законов и моделей: На основе анализа условия и чертежа определите, какие фундаментальные физические законы или принципы описывают данное явление. Например, если речь идет о движении заряженных частиц в магнитном поле, это может быть закон Лоренца; если о преломлении света — закон Снеллиуса; о радиоактивном распаде — закон радиоактивного распада. Важно не просто вспомнить формулу, а осознать, почему именно этот закон является применимым в данной ситуации. Учитывайте ограничения применимости каждой модели (например, классическая механика для малых скоростей, нерелятивистский подход и т.д.).

Этап 3: Составление и решение уравнений в общем виде

Этот этап является "сердцем" решения, где абстрактные законы превращаются в конкретные математические соотношения.

Что необходимо сделать:

• Построение системы уравнений: Запишите выбранные физические законы в виде математических уравнений, используя буквенные обозначения для всех величин (как известных, так и искомых). Если задача многоступенчатая, это может быть система из нескольких уравнений.
• Алгебраическое решение в общем виде: Выразите искомую величину (или величины) через заданные величины и фундаментальные физические постоянные (например, постоянную Планка h, скорость света c, элементарный заряд e) в буквенном выражении. Это позволяет избежать преждевременных численных ошибок и сохранить прозрачность логики решения. Решение "в общем виде" также демонстрирует ваше понимание взаимосвязей между физическими величинами.

Пример: Если F = ma и a = v/t, то v = Ft/m.

Этап 4: Проверка размерности и численный расчет

После получения формулы в общем виде необходимо убедиться в ее физической корректности, а затем выполнить вычисления.

Что необходимо сделать:

• Проверка размерности: Подставьте в полученную формулу размерности каждой величины (например, [м] для длины, [кг] для массы, [с] для времени) и проверьте, совпадает ли размерность итоговой формулы с размерностью искомой величины. Это мощный инструмент для выявления алгебраических ошибок.

Пример: Если ищем скорость (м/с), а получили [м/с²], значит, в решении есть ошибка.

• Численный расчет: Только после успешной проверки размерности подставьте числовые значения всех величин, выраженных в СИ, в итоговую формулу. Выполните расчеты, используя калькулятор, и соблюдайте правила округления, чтобы результат соответствовал точности исходных данных. Не забывайте указывать единицы измерения при каждом численном значении.

Этап 5: Анализ и интерпретация результата

Последний, но не менее важный этап, часто игнорируемый студентами, — это осмысление полученного результата.

Что необходимо сделать:

• Соотнесение с физической реальностью: Оцените, насколько полученное численное значение логично и реалистично с точки зрения физики. Например, если скорость света в среде получилась больше, чем в вакууме, или масса объекта отрицательной, это явный сигнал о допущенной ошибке.
• Рассмотрение частных случаев и ограничений: Подумайте, как изменится результат при изменении граничных условий или при рассмотрении предельных случаев. Это помогает глубже понять физический процесс и пределы применимости использованной модели.
• Формулировка ответа: Четко и лаконично сформулируйте окончательный ответ на вопрос задачи, указав численное значение и единицы измерения.

Следуя этой методологии, вы не только успешно справитесь с задачами контрольной работы, но и разовьете фундаментальные навыки аналитического мышления, необходимые каждому инженеру и ученому.

Электромагнетизм: Магнитное поле и взаимодействие токов (Задачи 11.4, 12.4)

Электромагнетизм, одна из четырех фундаментальных сил природы, описывает взаимодействие заряженных частиц и полей. В этом разделе мы сосредоточимся на законах, описывающих создание магнитного поля электрическими токами и их взаимодействие, что является ключевым для понимания многих явлений в электротехнике и физике плазмы. Как эти, казалось бы, абстрактные законы, формируют основу для работы любого электромотора или трансформатора?

Фундаментальные законы: Закон Био-Савара-Лапласа и сила Ампера

В основе классической магнитостатики лежит закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет рассчитать вектор индукции магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами.

Закон Био-Савара-Лапласа:

Этот закон является аналогом закона Кулона для электрических полей, но применим к магнитным полям, порождаемым токами. Он утверждает, что элементарный ток Idl (где I — сила тока, dl — вектор элемента длины проводника, направленный вдоль тока) создает в некоторой точке пространства магнитную индукцию dB, определяемую формулой:

d B = ( μ 0 μ / 4 π ) ⋅ I ⋅ [d l × r 0 ] / r 2

Здесь:

• μ₀ — магнитная постоянная, равная 4π ⋅ 10^-7 Гн/м (или Н/А²). Это фундаментальная константа, характеризующая магнитные свойства вакуума.
• μ — магнитная проницаемость среды, безразмерная величина, показывающая, во сколько раз магнитная индукция в данной среде больше (или меньше), чем в вакууме. Для вакуума и большинства немагнитных материалов μ ≈ 1.
• r — радиус-вектор, проведенный от элемента d l к точке наблюдения.
• r₀ — единичный вектор в направлении r.
• [d l × r₀] — векторное произведение, указывающее на то, что вектор d B перпендикулярен как элементу тока d l, так и радиус-вектору r.

Модуль вектора магнитной индукции выражается как:

d B = ( μ 0 μ / 4 π ) ⋅ ( I ⋅ d l ⋅ sin α ) / r 2

где α — угол между d l и r. Направление d B определяется правилом правого винта.

Для сложных конфигураций токов результирующая магнитная индукция находится путем интегрирования d B по всему контуру с током. Для магнитного поля также справедлив принцип суперпозиции: результирующая магнитная индукция, создаваемая несколькими токами, равна векторной сумме магнитных индукций, создаваемых каждым током в отдельности.

Примеры применения закона Био-Савара-Лапласа:

• Магнитная индукция поля бесконечного прямого проводника с током I на расстоянии R от него:

  B = ( μ 0 μ / 4 π ) ⋅ ( 2 I / R )

  Это одна из наиболее часто используемых формул, выводящаяся интегрированием.

• Магнитная индукция в центре кругового проводника с током I радиусом R:

  B = ( μ 0 μ I ) / ( 2 R )

  Здесь все элементы d l перпендикулярны r, и sin α = 1.

Сила Ампера:

Если закон Био-Савара-Лапласа описывает создание магнитного поля, то сила Ампера описывает его действие на другие токи. Сила Ампера — это сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током.

Сила d F, действующая на элемент проводника длиной d l с током I в магнитном поле с индукцией B, определяется векторной формулой:

d F = I ⋅ [d l × B]

Модуль силы Ампера равен:

F = I ⋅ L ⋅ B ⋅ sin α

где L — длина проводника, α — угол между направлением тока и вектором магнитной индукции B. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а вытянутые четыре пальца указывали направление тока, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Ампера.

Единицей магнитной индукции в СИ является тесла (Тл).

Взаимодействие параллельных токов

Одним из ярких проявлений силы Ампера является взаимодействие параллельных проводников с током. Опыты показывают, что параллельные проводники с постоянными токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположном — отталкиваются.

Физический механизм:

Взаимодействие токов вызывается их магнитными полями. Каждый проводник создает вокруг себя магнитное поле. Это поле затем действует силой Ампера на другой проводник с током.

Рассмотрим два бесконечно длинных параллельных проводника с токами I₁ и I₂, расположенных на расстоянии r друг от друга.

1. Проводник 1 с током I₁ создает вокруг себя магнитное поле. В точке, где находится проводник 2, магнитная индукция этого поля будет:

   B 1 = ( μ 0 μ / 4 π ) ⋅ ( 2 I 1 / r )

   Направление B₁ определяется правилом правого винта (перпендикулярно плоскости, образованной проводниками).

2. Это поле B₁ действует на проводник 2 с током I₂ силой Ампера F₁₂. Поскольку ток I₂ и вектор B₁ перпендикулярны (sin α = 1), сила, действующая на элемент длины L проводника 2, будет:

   F 12 = I 2 ⋅ L ⋅ B 1

3. Подставляя B₁, получаем силу взаимодействия на единицу длины:

   F / L = ( μ 0 μ / 4 π ) ⋅ ( 2 I 1 I 2 / r )

Направление взаимодействия:

• Если токи текут в одном направлении, по правилу левой руки, сила, действующая на каждый проводник, будет направлена внутрь, то есть проводники притягиваются.
• Если токи текут в противоположных направлениях, сила будет направлена наружу, и проводники отталкиваются.

Эта формула является основой для определения единицы силы тока — ампера. Если взять два бесконечно длинных проводника, по которым течет ток в 1 А, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, то сила взаимодействия на каждый метр их длины составит 2 ⋅ 10^-7 Н.

Решение типовых задач 11.4 и 12.4 с детальным обоснованием

Приступая к решению задач, мы будем строго следовать описанной методологии, обеспечивая полное понимание каждого шага.

Задача 11.4 (гипотетическая):
Бесконечно длинный прямой проводник с током I₁ = 5 А расположен параллельно круговому витку радиусом R = 10 см, по которому течет ток I₂ = 2 А. Центр витка находится на расстоянии d = 20 см от прямого проводника. Определить магнитную индукцию в центре кругового витка, если плоскость витка содержит прямой проводник, а токи текут в одном направлении. Среда — вакуум (μ=1).

Дано:

• I₁ = 5 А
• I₂ = 2 А
• R = 10 см = 0.1 м
• d = 20 см = 0.2 м
• μ = 1 (вакуум)
• μ₀ = 4π ⋅ 10^-7 Гн/м

Найти: B_общ — магнитная индукция в центре кругового витка.

Решение:

1. Визуализация и выбор физических моделей:
   Представим прямой проводник и круговой виток. Прямой проводник создает магнитное поле, вектор индукции которого направлен по касательной к концентрическим окружностям вокруг проводника. В плоскости витка, проходящей через прямой проводник, магнитное поле прямого проводника будет направлено перпендикулярно этой плоскости. Круговой виток также создает магнитное поле, и в его центре вектор индукции направлен перпендикулярно плоскости витка.
   Применяем принцип суперпозиции для магнитных полей: общая индукция в центре витка будет векторной суммой индукций, созданных каждым источником тока по отдельности.
   B_общ = B_пр + B_кр

Поскольку плоскость витка содержит прямой проводник, и токи текут в одном направлении (например, по прямому проводнику ток идет вправо, а по ближайшей к нему части витка — тоже вправо), то по правилу правого винта (или правилу буравчика):

• Магнитное поле прямого проводника в центре витка будет направлено "внутрь" плоскости витка (от нас).
• Магнитное поле кругового витка в его центре также направлено "внутрь" плоскости витка (от нас).

Таким образом, векторы B_пр и B_кр будут сонаправлены.

2. Составление и решение уравнений в общем виде:
   • Магнитная индукция прямого проводника (B_пр) в центре витка:
     Центр витка находится на расстоянии d от прямого проводника. Используем формулу для поля бесконечного прямого проводника:

     B пр = ( μ 0 μ / 4 π ) ⋅ ( 2 I 1 / d )

   • Магнитная индукция кругового витка (B_кр) в его центре:
     Используем формулу для поля в центре кругового витка:

     B кр = ( μ 0 μ I 2 ) / ( 2 R )

   • Общая магнитная ��ндукция:
     Поскольку векторы сонаправлены, их модули складываются:

     B общ = B пр + B кр = ( μ 0 μ / 4 π ) ⋅ ( 2 I 1 / d ) + ( μ 0 μ I 2 ) / ( 2 R )

     Вынесем общие множители:

     B общ = μ 0 μ ⋅ [ ( 2 I 1 / ( 4 π d ) ) + ( I 2 / ( 2 R ) ) ]

3. Проверка размерности:
   Размерность μ₀ — Н/А².
   Размерность (2 I₁ / (4π d)): А/м.
   Размерность (I₂ / (2 R)): А/м.
   Сумма [А/м].
   Размерность B_общ = [Н/А²] ⋅ [А/м] = [Н/(А⋅м)].
   В СИ магнитная индукция измеряется в теслах (Тл), где 1 Тл = 1 Н/(А⋅м). Размерность сходится.
4. Численный расчет:
   Подставляем значения:
   B_пр = (4π ⋅ 10^-7 ⋅ 1 / (4π)) ⋅ (2 ⋅ 5 / 0.2) = 10^-7 ⋅ (10 / 0.2) = 10^-7 ⋅ 50 = 5 ⋅ 10^-6 Тл
   B_кр = (4π ⋅ 10^-7 ⋅ 1 ⋅ 2) / (2 ⋅ 0.1) = (4π ⋅ 10^-7) ⋅ (2 / 0.2) = (4π ⋅ 10^-7) ⋅ 10 = 4π ⋅ 10^-6 Тл ≈ 12.57 ⋅ 10^-6 Тл

B_общ = 5 ⋅ 10^-6 Тл + 12.57 ⋅ 10^-6 Тл = 17.57 ⋅ 10^-6 Тл = 17.57 мкТл

5. Анализ и интерпретация результата:
   Полученное значение 17.57 мкТл является разумным для магнитных полей, создаваемых токами в проводниках. Например, магнитное поле Земли на поверхности составляет примерно от 25 до 65 мкТл. Это подтверждает корректность расчетов.

Ответ: Магнитная индукция в центре кругового витка составляет приблизительно 17.57 мкТл.

---

Задача 12.4 (гипотетическая):
Два бесконечно длинных параллельных проводника расположены на расстоянии r = 5 см друг от друга. По проводникам текут токи I₁ = 10 А и I₂ = 15 А в противоположных направлениях. Определить силу, действующую на участок длиной L = 2 м одного из проводников. Среда — воздух (μ ≈ 1).

Дано:

• r = 5 см = 0.05 м
• I₁ = 10 А
• I₂ = 15 А
• L = 2 м
• μ ≈ 1
• μ₀ = 4π ⋅ 10^-7 Гн/м

Найти: F — сила взаимодействия.

Решение:

1. Визуализация и выбор физических моделей:
   Имеются два параллельных проводника. Токи текут в противоположных направлениях. Согласно теории, проводники будут отталкиваться.
   Применяем формулу для силы взаимодействия между двумя бесконечно длинными параллельными проводниками с током.
2. Составление и решение уравнений в общем виде:
   Формула для силы взаимодействия на единицу длины:

   F / L = ( μ 0 μ / 4 π ) ⋅ ( 2 I 1 I 2 / r )

   Чтобы найти общую силу F на участок длиной L, нужно умножить обе части на L:

   F = ( μ 0 μ / 4 π ) ⋅ ( 2 I 1 I 2 / r ) ⋅ L

3. Проверка размерности:
   Размерность (μ₀μ/4π): [Н/А²].
   Размерность (2 I₁ I₂ / r): [А²/м].
   Размерность L: [м].
   Размерность F = [Н/А²] ⋅ [А²/м] ⋅ [м] = [Н].
   Размерность силы в СИ — ньютон (Н). Размерность сходится.
4. Численный расчет:
   Подставляем значения:
   F = (4π ⋅ 10^-7 ⋅ 1 / (4π)) ⋅ (2 ⋅ 10 ⋅ 15 / 0.05) ⋅ 2
   F = 10^-7 ⋅ (300 / 0.05) ⋅ 2
   F = 10^-7 ⋅ 6000 ⋅ 2
   F = 12000 ⋅ 10^-7 Н = 1.2 ⋅ 10^-3 Н = 1.2 мН
5. Анализ и интерпретация результата:
   Сила в 1.2 мН является небольшой, но вполне ощутимой для технических устройств, где используются сильные токи. То, что она не является огромной, подтверждает, что расчеты проведены корректно. Поскольку токи текут в противоположных направлениях, проводники будут отталкиваться.

Ответ: Сила, действующая на участок длиной 2 м одного из проводников, составляет 1.2 мН. Проводники будут отталкиваться.

Оптика: Преломление, отражение, интерференция и поляризация света (Задачи 13.5, 14.5, 15.5)

Мир оптики, изучение света и его взаимодействия с веществом, предоставляет нам удивительные явления — от преломления и отражения до сложного танца интерференции и упорядоченности поляризации. Эти феномены не только лежат в основе нашего визуального восприятия, но и находят широчайшее применение в технологиях, от оптоволоконной связи до лазерных систем. Возможно ли было бы представить современный мир без этих фундаментальных оптических принципов?

Закон преломления света (Закон Снеллиуса) и полное внутреннее отражение

Когда свет переходит из одной прозрачной среды в другую, его скорость и направление распространения изменяются. Это явление называется преломлением света.

Закон Снеллиуса (закон преломления света):
Этот закон, сформулированный Виллебрордом Снеллиусом, описывает количественные характеристики преломления.

1. Геометрический аспект: Падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости.
2. Количественный аспект: Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления γ является постоянной величиной для двух данных сред:

   sin α / sin γ = n 2 / n 1 = v 1 / v 2

   Здесь:

   • α — угол падения (угол между падающим лучом и нормалью к поверхности).
   • γ — угол преломления (угол между преломленным лучом и нормалью).
   • n₁ и n₂ — абсолютные показатели преломления первой и второй сред соответственно.
   • v₁ и v₂ — скорости света в первой и второй средах.

Абсолютный показатель преломления (n):
Это безразмерная величина, показывающая, во сколько раз скорость света c в вакууме больше скорости распространения света v в данной среде:

n = c / v

Для вакуума n = 1. Для воздуха n ≈ 1.0003. Типичные значения: для воды n ≈ 1.333; для стекла n может варьироваться от 1.45 до 1.9, в зависимости от его состава и длины волны света.

Полное внутреннее отражение:
Это удивительное явление происходит, когда свет падает из оптически более плотной среды (с бóльшим показателем преломления, n₁) в оптически менее плотную среду (с меньшим показателем преломления, n₂), а угол падения превышает так называемый критический угол.

Когда угол падения α увеличивается, угол преломления γ также увеличивается. В определенный момент угол преломления достигает 90°, и преломленный луч скользит вдоль границы раздела сред. Этот угол падения называется критическим углом θ_c (или α_пр).

Критический угол θ_c определяется из закона Снеллиуса, полагая γ = 90° и sin γ = 1:

sin θ c = n 2 / n 1
Следовательно, θ_c = arcsin(n₂ / n₁)

Если угол падения α > θ_c, то преломление не происходит вообще, и весь свет полностью отражается обратно в более плотную среду. Это явление используется, например, в оптоволокне для передачи информации без потерь.

Интерференция света: Условия максимумов и минимумов

Интерференция света — это сложение двух или более когерентных световых волн, в результате которого наблюдается устойчивое перераспределение интенсивности света в пространстве: в одних точках происходит усиление света (максимумы), а в других — ослабление (минимумы).

Когерентность:
Ключевым условием для возникновения устойчивой интерференционной картины является когерентность источников света. Когерентные источники дают волны одинаковой частоты (монохроматические), с постоянной разностью фаз и одинаковым направлением поляризации. На практике когерентные источники обычно получают путем деления света от одного источника (например, лазера) на два луча, как в опыте Юнга.

Условия для максимумов и минимумов (для синфазных источников):

• Условие максимума интенсивности: Усиление света происходит в тех точках, где разность хода волн ΔL равна целому числу длин волн. Это означает, что волны приходят в фазе:

  Δ L = m λ , где m = 0, ±1, ±2,...

  Здесь m — порядок интерференционного максимума, λ — длина волны света.

• Условие минимума интенсивности: Ослабление света (вплоть до полного гашения) происходит в тех точках, где разность хода волн ΔL равна нечетному числу полуволн. Это означает, что волны приходят в противофазе:

  Δ L = ( 2 m + 1 ) λ / 2 , где m = 0, ±1, ±2,...

Интерференция лежит в основе работы многих оптических устройств, таких как интерферометры, и объясняет радужные разводы на мыльных пузырях или масляных пленках.

Поляризация света и закон Малюса

Поляризация света — это явление, при котором колебания вектора напряженности электрического поля световой волны (и связанного с ним вектора магнитной индукции) становятся упорядоченными в определенной плоскости. Естественный свет, излучаемый обычными источниками, обычно неполяризован, то есть колебания вектора E совершаются во всех возможных плоскостях, перпендикулярных направлению распространения.

Поляризаторы и анализаторы:

• Поляризатор — это оптическое устройство, которое пропускает только те световые волны, колебания вектора E которых лежат в определенной плоскости (плоскости поляризатора). В результате из естественного (неполяризованного) света получается плоскополяризованный свет.
• Анализатор — по сути, такой же поляризатор, но используемый для изучения поляризованного света, то есть для определения плоскости поляризации и интенсивности.

Закон Малюса:
Если на поляризатор падает естественный (неполяризованный) свет интенсивностью I_ест, то после прохождения через него интенсивность света уменьшается вдвое: I₀ = I_ест/2.
Закон Малюса описывает зависимость интенсивности линейно-поляризованного света I, прошедшего через анализатор, от угла φ между плоскостями поляризации падающего света (направлением колебаний вектора E) и анализатора:

I = I 0 ⋅ cos 2 φ

где I₀ — интенсивность линейно-поляризованного света, падающего на анализатор.

Это фундаментальный закон, используемый в поляриметрии, оптических фильтрах, жидкокристаллических дисплеях и многих других приложениях, где требуется управлять поляризационным состоянием света.

Решение типовых задач 13.5, 14.5, 15.5

Приступим к практическому применению этих законов.

Задача 13.5 (гипотетическая):
Световой луч падает из воздуха на поверхность воды под углом 30°. Определить угол преломления луча в воде и критический угол для границы раздела вода-воздух. Показатель преломления воды n_воды ≈ 1.333, воздуха n_{воздуха} ≈ 1.

Дано:

• α = 30°
• n_воды = 1.333
• n_{воздуха} = 1

Найти: γ — угол преломления; θ_c — критический угол.

Решение:

1. Визуализация и выбор физических моделей:
   Луч света переходит из менее плотной среды (воздух) в более плотную (вода). Ожидаем, что угол преломления будет меньше угла падения. Для нахождения угла преломления используем закон Снеллиуса. Для нахождения критического угла применим условие полного внутреннего отражения.
2. Составление и решение уравнений в общем виде:
   • Для угла преломления:
     Согласно закону Снеллиуса: n_{воздуха} ⋅ sin α = n_воды ⋅ sin γ
     Отсюда: sin γ = (n_{воздуха} ⋅ sin α) / n_воды
     γ = arcsin((n_{воздуха} ⋅ sin α) / n_воды)
   • Для критического угла (свет идет из воды в воздух):
     Полное внутреннее отражение возможно, когда свет идет из более плотной среды (вода) в менее плотную (воздух).

     sin θ c = n воздуха / n воды
     θ_c = arcsin(n_{воздуха} / n_воды)

3. Проверка размерности:
   Углы являются безразмерными величинами. Показатели преломления также безразмерны. Функции sin и arcsin возвращают безразмерные значения или углы, что корректно.
4. Численный расчет:
   • Угол преломления:
     sin 30° = 0.5
     sin γ = (1 ⋅ 0.5) / 1.333 = 0.5 / 1.333 ≈ 0.3751
     γ = arcsin(0.3751) ≈ 22.04°
   • Критический угол:
     sin θ_c = 1 / 1.333 ≈ 0.7502
     θ_c = arcsin(0.7502) ≈ 48.6°
5. Анализ и интерпретация результата:
   Угол преломления (22.04°) меньше угла падения (30°), что соответствует физическим представлениям при переходе света из оптически менее плотной среды в более плотную. Критический угол для воды составляет около 48.6°, что означает, что если свет будет падать из воды на границу с воздухом под углом, превышающим это значение, произойдет полное внутреннее отражение. Это используется, например, при наблюдении подводного мира, когда поверхность воды кажется зеркальной под определенными углами.

Ответ: Угол преломления света в воде составляет приблизительно 22.04°. Критический угол для границы раздела вода-воздух составляет приблизительно 48.6°.

---

Задача 14.5 (гипотетическая):
В опыте Юнга на экране, расположенном на расстоянии L = 2 м от двух щелей, наблюдается интерференционная картина. Расстояние между щелями d = 0.2 мм. Определить длину волны света, если расстояние между центральным максимумом и третьим максимумом составляет Δy = 3 см.

Дано:

• L = 2 м
• d = 0.2 мм = 0.2 ⋅ 10^-3 м
• Δy = 3 см = 0.03 м
• m = 3 (для третьего максимума)

Найти: λ — длина волны света.

Решение:

1. Визуализация и выбор физических моделей:
   Опыт Юнга — классический пример интерференции света. Схема: две когерентные щели, расположенные на расстоянии d, создают интерференционную картину на экране, находящемся на расстоянии L. Расстояние Δy между центральным и m-м максимумом связано с длиной волны, расстоянием до экрана и расстоянием между щелями.
2. Составление и решение уравнений в общем виде:
   Для интерференционных максимумов (ярких полос) в опыте Юнга справедливо соотношение:
   y_m = (m ⋅ λ ⋅ L) / d
   где y_m — расстояние от центрального максимума (m = 0) до m-го максимума.
   В нашем случае Δy — это и есть y₃ при m = 3.
   Δy = (3 ⋅ λ ⋅ L) / d

Выразим длину волны λ:

λ = ( Δ y ⋅ d ) / ( 3 ⋅ L )

3. Проверка размерности:
   Размерность Δy: [м].
   Размерность d: [м].
   Размерность L: [м].
   Размерность λ = ([м] ⋅ [м]) / [м] = [м].
   Длина волны измеряется в метрах. Размерность сходится.
4. Численный расчет:
   Подставляем значения:
   λ = (0.03 м ⋅ 0.2 ⋅ 10^-3 м) / (3 ⋅ 2 м)
   λ = (0.006 ⋅ 10^-3) / 6
   λ = 0.001 ⋅ 10^-3 м = 1 ⋅ 10^-6 м = 1000 нм
5. Анализ и интерпретация результата:
   Полученная длина волны 1000 нм находится в инфракрасной части спектра. Это вполне возможное значение, хотя для видимого света оно было бы в диапазоне 400-700 нм. Задача не уточняет тип света, поэтому результат корректен. Если бы мы получили, например, 10 м, это бы указало на ошибку, так как это не является длиной волны света.

Ответ: Длина волны света составляет 1000 нм.

---

Задача 15.5 (гипотетическая):
Линейно-поляризованный свет интенсивностью I₀ = 100 Вт/м² падает на анализатор. Определить интенсивность света, прошедшего через анализатор, если угол между плоскостью поляризации падающего света и плоскостью поляризатора составляет φ = 60°.

Дано:

• I₀ = 100 Вт/м²
• φ = 60°

Найти: I — интенсивность прошедшего света.

Решение:

1. Визуализация и выбор физических моделей:
   Имеется линейно-поляризованный свет, который проходит через анализатор. Его ось пропускания повернута относительно плоскости поляризации падающего света. Для расчета интенсивности прошедшего света используем закон Малюса.
2. Составление и решение уравнений в общем виде:
   Согласно закону Малюса:

   I = I 0 ⋅ cos 2 φ

3. Проверка размерности:
   Интенсивность измеряется в Вт/м². cos² φ является безразмерной величиной. Значит, размерность I совпадает с I₀, что корректно.
4. Численный расчет:
   cos 60° = 0.5
   cos² 60° = (0.5)² = 0.25
   I = 100 Вт/м² ⋅ 0.25 = 25 Вт/м²
5. Анализ и интерпретация результата:
   Интенсивность света уменьшилась в 4 раза, что логично, так как анализатор пропускает только ту компоненту электрического поля, которая параллельна его оси пропускания. Результат физически обоснован.

Ответ: Интенсивность света, прошедшего через анализатор, составляет 25 Вт/м².

Квантовая физика: Фотоэффект и эффект Комптона (Задачи 16.6, 17.6)

Начало XX века ознаменовалось революцией в физике, когда классические представления о свете и материи перестали объяснять некоторые экспериментальные факты. Именно тогда зародилась квантовая физика, которая показала, что энергия и импульс могут быть дискретными, квантованными. Фотоэффект и эффект Комптона — два ярких примера таких квантовых явлений, демонстрирующих корпускулярно-волновую двойственность света.

Фотоэффект: Уравнение Эйнштейна, работа выхода и красная граница

Фотоэффект — это явление испускания электронов веществом под действием света. Открытие фотоэффекта и его объяснение Альбертом Эйнштейном в 1905 году стали одним из ключевых доказательств квантовой природы света.

Суть явления:
Когда свет падает на поверхность металла, он может выбивать из нее электроны (фотоэлектроны). Классическая волновая теория света не могла объяснить ряд наблюдений, таких как наличие "красной границы" фотоэффекта, мгновенность его возникновения и независимость максимальной кинетической энергии электронов от интенсивности света.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
Эйнштейн предложил рассматривать свет как поток дискретных порций энергии — фотонов (квантов света), энергия каждого из которых прямо пропорциональна его частоте: E_фотон = hν.
Закон сохранения энергии для фотоэффекта выражается уравнением Эйнштейна:

h ν = A вых + E к.макс

Здесь:

• hν — энергия падающего фотона.
• A_вых — работа выхода электрона из металла. Это минимальная энергия, которую необходимо сообщить электрону, чтобы он покинул поверхность металла. Работа выхода является характеристикой материала катода и не зависит от частоты или интенсивности света.
• E_к.макс — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. Часть энергии фотона расходуется на "вырывание" электрона из металла (работа выхода), а оставшаяся часть переходит в кинетическую энергию электрона.

Красная граница фотоэффекта:
Если энергия фотона hν меньше работы выхода A_вых, то фотоэффект не наблюдается, так как энергии фотона недостаточно, чтобы выбить электрон. Существует минимальная частота света ν_кр (или максимальная длина волны λ_кр), при которой фотоэффект еще возможен. Это и есть красная граница фотоэффекта.

При этой граничной частоте E_к.макс = 0, поэтому:

A вых = h ν кр

Поскольку частота ν = c/λ, то:

A вых = h c / λ кр

Если частота падающего излучения ν < ν_кр (или λ > λ_кр), фотоэффект не наблюдается.
Постоянная Планка (h) — это фундаментальная физическая константа, связывающая энергию кванта с его частотой. Ее принятое в 2018 году значение составляет 6.62607015 ⋅ 10^-34 Дж⋅с.

Эффект Комптона: Изменение длины волны и комптоновская длина волны

Эффект Комптона — это явление упругого рассеяния фотонов (обычно рентгеновского или гамма-излучения) на свободных или слабосвязанных электронах, сопровождающееся увеличением длины волны рассеянного излучения. Открытие этого эффекта Артуром Комптоном в 1923 году окончательно подтвердило корпускулярные свойства света.

Суть явления:
Эффект Комптона можно объяснить только с позиций квантовой теории, рассматривая фотон как частицу, которая сталкивается с электроном. При таком столкновении фотон передает часть своей энергии и импульса электрону, который приходит в движение (испытывает отдачу). Из-за потери энергии у фотона уменьшается частота и, следовательно, увеличивается длина волны.

Формула для изменения длины волны (комптоновского сдвига):
Изменение длины волны Δλ = λ’ — λ (где λ — длина волны до рассеяния, λ’ — после рассеяния) определяется формулой:

Δ λ = ( h / ( m e c ) ) ⋅ ( 1 - cos θ )

Здесь:

• h — постоянная Планка.
• m_e — масса покоя электрона (приблизительно 9.109 ⋅ 10^-31 кг).
• c — скорость света в вакууме (приблизительно 3 ⋅ 10⁸ м/с).
• θ — угол рассеяния фотона (угол между направлением падающего и рассеянного фотона).

Комптонская длина волны электрона (λ_C):
Величина λ_C = h / (m_ec) называется комптоновской длиной волны электрона. Это фундаментальная постоянная, характеризующая рассеяние фотонов на электронах. Для электрона λ_C ≈ 2.43 ⋅ 10^-12 м.
Максимальный комптоновский сдвиг наблюдается при рассеянии фотона назад (θ = 180°), когда cos θ = -1, и Δλ_макс = 2λ_C.

Решение типовых задач 16.6, 17.6

Используем наши знания для решения задач.

Задача 16.6 (гипотетическая):
Определить максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, вылетающих из металла с работой выхода A_вых = 2.3 эВ, при облучении его светом с длиной волны λ = 350 нм.

Дано:

• A_вых = 2.3 эВ
• λ = 350 нм = 350 ⋅ 10^-9 м
• h = 6.626 ⋅ 10^-34 Дж⋅с
• c = 3 ⋅ 10⁸ м/с
• 1 эВ = 1.602 ⋅ 10^-19 Дж (коэффициент перевода)

Найти: E_к.макс — максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Решение:

1. Визуализация и выбор физических моделей:
   Задача на фотоэффект. Используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Сначала нужно найти энергию падающего фотона и перевести работу выхода в СИ.
2. Составление и решение уравнений в общем виде:
   Уравнение Эйнштейна: hν = A_вых + E_к.макс
   Энергия фотона: E_фотон = hν = hc / λ
   Отсюда, максимальная кинетическая энергия: E_к.макс = (hc / λ) — A_вых
3. Проверка размерности:
   (hc / λ): [Дж⋅с ⋅ м/с] / [м] = [Дж].
   Работа выхода A_вых также должна быть в джоулях. Разность энергий даст энергию в джоулях. Размерность сходится.
4. Численный расчет:
   • Переведем работу выхода в джоули:
     A_вых = 2.3 эВ ⋅ 1.602 ⋅ 10^-19 Дж/эВ ≈ 3.6846 ⋅ 10^-19 Дж
   • Рассчитаем энергию падающего фотона:

     E фотон = ( 6.626 ⋅ 10 -34 Дж ⋅ с ⋅ 3 ⋅ 10 8 м / с ) / ( 350 ⋅ 10 -9 м )
     E_фотон = (19.878 ⋅ 10^-26) / (350 ⋅ 10^-9) Дж
     E_фотон ≈ 0.05679 ⋅ 10^-17 Дж ≈ 5.679 ⋅ 10^-19 Дж

   • Рассчитаем максимальную кинетическую энергию:
     E_к.макс = 5.679 ⋅ 10^-19 Дж — 3.6846 ⋅ 10^-19 Дж
     E_к.макс = 1.9944 ⋅ 10^-19 Дж
   • Для удобства можно перевести обратно в эВ:
     E_к.макс = (1.9944 ⋅ 10^-19 Дж) / (1.602 ⋅ 10^-19 Дж/эВ) ≈ 1.245 эВ
5. Анализ и интерпретация результата:
   Энергия падающего фотона (≈ 3.55 эВ) оказалась больше работы выхода (2.3 эВ), что означает, что фотоэффект возможен. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов (≈ 1.25 эВ) положительна, что подтверждает корректность решения.

Ответ: Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов составляет приблизительно 1.99 ⋅ 10^-19 Дж (или 1.25 эВ).

---

Задача 17.6 (гипотетическая):
При комптоновском рассеянии рентгеновского фотона на свободном электроне угол рассеяния составляет θ = 90°. На сколько изменится длина волны фотона?

Дано:

• θ = 90°
• h = 6.626 ⋅ 10^-34 Дж⋅с
• m_e = 9.109 ⋅ 10^-31 кг
• c = 3 ⋅ 10⁸ м/с

Найти: Δλ — изменение длины волны.

Решение:

1. Визуализация и выбор физических моделей:
   Задача на эффект Комптона. Используем формулу для комптоновского сдвига длины волны.
2. Составление и решение уравнений в общем виде:
   Формула комптоновского сдвига: Δλ = (h / (m_ec)) ⋅ (1 — cos θ)
   При θ = 90°, cos 90° = 0.
   Значит, Δλ = (h / (m_ec)) ⋅ (1 — 0) = h / (m_ec)
   Это выражение равно комптоновской длине волны электрона λ_C.
3. Проверка размерности:
   h: [Дж⋅с] = [кг⋅м²/с].
   m_ec: [кг⋅м/с].
   Δλ = [кг⋅м²/с] / [кг⋅м/с] = [м].
   Длина волны измеряется в метрах. Размерность сходится.
4. Численный расчет:

   Δ λ = ( 6.626 ⋅ 10 -34 Дж ⋅ с ) / ( 9.109 ⋅ 10 -31 кг ⋅ 3 ⋅ 10 8 м / с )
   Δλ = (6.626 ⋅ 10^-34) / (27.327 ⋅ 10^-23) м
   Δλ ≈ 0.2425 ⋅ 10^-11 м = 2.425 ⋅ 10^-12 м

5. Анализ и интерпретация результата:
   Полученное значение 2.425 ⋅ 10^-12 м очень мало, оно сравнимо с размерами атомного ядра. Это соответствует комптоновской длине волны электрона, что подтверждает корректность расчетов. Угол рассеяния 90° является частным случаем, когда изменение длины волны равно комптоновской длине волны.

Ответ: Длина волны фотона увеличится на 2.425 ⋅ 10^-12 м.

Атомная физика: Теория Бора для атома водорода (Задача 18.6)

В начале XX века классическая физика столкнулась с серьезными трудностями при объяснении стабильности атомов и дискретного характера их спектров. Именно тогда Нильс Бор, предложив свою полуклассическую теорию для атома водорода в 1913 году, совершил прорыв, заложив основы квантовой теории строения атома. Его модель, хотя и имела ограничения, стала мостом между классической и полноценной квантовой механикой. Каким образом постулаты, противоречащие классической физике, смогли столь точно описать наблюдаемые явления?

Постулаты Бора и их физический смысл

Теория Бора основывается на трех революционных постулатах, которые противоречили классической электродинамике, но успешно объясняли наблюдаемые явления:

1. Первый постулат (постулат стационарных состояний):
   Физический смысл: Электроны в атоме могут находиться только в особых, так называемых стационарных состояниях, соответствующих определенным дискретным орбитам. Находясь на этих орбитах, электроны, несмотря на ускоренное движение (поскольку они движутся по криволинейным траекториям), не излучают электромагнитную энергию. Это прямо противоречило классической электродинамике, которая предсказывала, что ускоренно движущийся заряд должен непрерывно излучать энергию и падать на ядро. Бор постулировал стабильность этих орбит.
2. Второй постулат (правило частот):
   Физический смысл: Атом излучает или поглощает энергию только при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия излучаемого или поглощаемого фотона равна разности энергий этих стационарных состояний:

   H ν = E i - E f

   где E_i и E_f — энергии начального и конечного стационарных состояний соответственно, а Hν — энергия фотона. Если E_i > E_f, происходит излучение (фотон вылетает); если E_i < E_f, происходит поглощение (фотон поглощается). Этот постулат объясняет дискретный характер атомных спектров.

3. Третий постулат (правило квантования орбит):
   Физический смысл: Из всех классически возможных круговых орбит электрона разрешенными (стационарными) являются только те, для которых момент импульса электрона L кратен приведенной постоянной Планка ħ (читается "аш с чертой"):

   L = m e υ r = n ħ

   где n = 1, 2, 3,… — главное квантовое число, определяющее номер орбиты и энергетический уровень; m_e — масса электрона; υ — его скорость на орбите; r — радиус орбиты; а ħ = h / (2π) — приведенная постоянная Планка. Этот постулат вводит идею квантования динамических величин и является ключом к определению конкретных параметров орбит.

Расчет параметров атома водорода: Радиусы орбит, энергии электрона и скорости

На основе постулатов Бора и законов классической механики и электростатики (для равновесия на орбите) можно вывести формулы для основных параметров атома водорода (Z=1).

• Радиусы стационарных орбит (r_n):
  Для атома водорода радиусы стационарных орбит квантуются и определяются формулой:

  r n = n 2 a 0

  где n — главное квантовое число, а a₀ — боровский радиус (радиус первой орбиты при n=1).
  Боровский радиус a₀ является фундаментальной атомной константой и равен:

  a 0 = ( 4 π ε 0 ħ 2 ) / ( m e e 2 ) = ħ 2 / ( m e e 2 k )

  где ε₀ — электрическая постоянная, e — элементарный заряд электрона, k = 1/(4πε₀).
  Численное значение a₀ ≈ 5.29177 ⋅ 10^-11 м.

• Энергия электрона на n-й стационарной орбите (E_n):
  Энергия электрона в атоме водорода квантуется и отрицательна, что указывает на связанное состояние. Ее формула:

  E n = - ( m e e 4 ) / ( 8 ε 0 2 h 2 n 2 )

  Эта формула также может быть записана как:

  E n = - ( 13.6 эВ ) / n 2

  Для основного состояния атома водорода (n=1) энергия E₁ ≈ -13.6 эВ. Модуль этой энергии представляет собой энергию ионизации, то есть минимальную энергию, необходимую для удаления электрона из атома.

• Скорость электрона на n-й стационарной орбите (υ_n):
  Скорость электрона также квантуется:

  υ n = ( e 2 ) / ( 2 ε 0 h n )

  Для первой орбиты (n=1) υ₁ ≈ 2.18 ⋅ 10⁶ м/с, что составляет приблизительно 1/137 скорости света в вакууме (отношение, известное как постоянная тонкой структуры).

Спектральные серии атома водорода и формула Ридберга

Переходы электронов между стационарными орбитами приводят к излучению или поглощению света с определенными длинами волн, формируя линейчатые спектры. Эти линии группируются в серии.

Формула Ридберга:
Длины волн спектральных линий атома водорода описываются формулой Ридберга:

1 / λ = R Z 2 ( 1 / n 1 2 - 1 / n 2 2 )

где λ — длина волны света, R — постоянная Ридберга, Z — атомный номер (для водорода Z=1), n₁ и n₂ — целые числа, такие что n₁ < n₂.
Постоянная Ридберга для водорода (R_H) численно равна приблизительно 1.09677 ⋅ 10⁷ м^-1.

Различные спектральные серии соответствуют разным значениям n₁:

• Серия Лаймана: n₁ = 1, n₂ = 2, 3, 4, … (переходы на основное состояние). Линии этой серии расположены в ультрафиолетовой части спектра.
• Серия Бальмера: n₁ = 2, n₂ = 3, 4, 5, … (переходы на первый возбужденный уровень). Часть этих линий находится в видимой части спектра (например, красная линия H_α).
• Серия Пашена: n₁ = 3, n₂ = 4, 5, 6, … (переходы на второй возбужденный уровень). Линии этой серии расположены в инфракрасной части спектра.

Решение типовой задачи 18.6

Задача 18.6 (гипотетическая):
Используя теорию Бора, вычислить радиус третьей стационарной орбиты и энергию электрона на этой орбите в атоме водорода.

Дано:

• n = 3 (третья орбита)
• a₀ ≈ 5.29177 ⋅ 10^-11 м (боровский радиус)
• E₁ ≈ -13.6 эВ (энергия основного состояния)
• e = 1.602 ⋅ 10^-19 Кл (элементарный заряд)
• m_e = 9.109 ⋅ 10^-31 кг (масса электрона)
• h = 6.626 ⋅ 10^-34 Дж⋅с (постоянная Планка)

Найти: r₃ — радиус третьей орбиты; E₃ — энергия электрона на третьей орбите.

Решение:

1. Визуализация и выбор физических моделей:
   Задача непосредственно связана с постулатами Бора для атома водорода. Используем формулы для радиусов стационарных орбит и энергий электрона.
2. Составление и решение уравнений в общем виде:
   • Радиус n-й орбиты:
     r_n = n²a₀
     Для n = 3: r₃ = 3² ⋅ a₀ = 9 ⋅ a₀
   • Энергия электрона на n-й орбите:
     E_n = — (13.6 эВ) / n²
     Для n = 3: E₃ = — (13.6 эВ) / 3² = — (13.6 эВ) / 9
3. Проверка размерности:
   • Радиус: n — безразмерное число, a₀ — в метрах. Результат будет в метрах, что корректно для длины.
   • Энергия: -13.6 эВ — энергия. n — безразмерное число. Результат будет в электронвольтах, что корректно для энергии.
4. Численный расчет:
   • Радиус третьей орбиты:
     r₃ = 9 ⋅ 5.29177 ⋅ 10^-11 м
     r₃ = 47.62593 ⋅ 10^-11 м ≈ 4.76 ⋅ 10^-10 м
   • Энергия электрона на третьей орбите:
     E₃ = -13.6 эВ / 9
     E₃ ≈ -1.511 эВ
5. Анализ и интерпретация результата:
   Радиус третьей орбиты (4.76 ⋅ 10^-10 м) значительно больше боровского радиуса, что ожидаемо, поскольку радиус растет пропорционально n². Энергия электрона на третьей орбите (-1.511 эВ) отрицательна (связанное состояние) и меньше по модулю, чем энергия на первой орбите (-13.6 эВ). Это означает, что электрон на более высоких орбитах находится дальше от ядра и менее крепко связан с ним, то есть обладает более высокой энергией (менее отрицательной), что соответствует физическому смыслу.

Ответ: Радиус третьей стационарной орбиты в атоме водорода составляет приблизительно 4.76 ⋅ 10^-10 м. Энергия электрона на этой орбите составляет приблизительно -1.511 эВ.

Ядерная физика: Радиоактивный распад (Задача 19.6)

В сердце материи, в атомных ядрах, таятся силы, ответственные за фундаментальные процессы в природе, от свечения звезд до получения энергии в ядерных реакторах. Ядерная физика изучает структуру и превращения атомных ядер, и одним из наиболее удивительных и важных явлений в этой области является радиоактивность — самопроизвольное превращение ядер.

Закон радиоактивного распада и активность источника

Радиоактивность — это уникальная способность нестабильных атомных ядер самопроизвольно превращаться в другие ядра, испуская при этом различные частицы (альфа-, бета-частицы) и/или гамма-кванты. Этот процесс является стохастическим, то есть невозможно предсказать, когда распадется конкретное ядро, но можно описать поведение большой совокупности ядер.

Закон радиоактивного распада:
Этот закон описывает, как уменьшается число нераспавшихся ядер со временем. Он формулируется следующим образом: число радиоактивных ядер, распадающихся в единицу времени, прямо пропорционально числу имеющихся ядер. Математически это выражается дифференциальным уравнением, интегрирование которого приводит к экспоненциальному закону:

N ( t ) = N 0 ⋅ e - λ t

Здесь:

• N(t) — число нераспавшихся ядер в момент времени t.
• N₀ — начальное число радиоактивных ядер в момент времени t=0.
• e — основание натурального логарифма (число Эйлера, ≈ 2.718).
• λ — постоянная радиоактивного распада. Это фундаментальная характеристика конкретного радиоактивного изотопа, представляющая собой вероятность распада одного ядра в единицу времени. Измеряется в с^-1.

Активность радиоактивного источника (A):
Активность — это мера интенсивности радиоактивного распада, определяемая как число элементарных радиоактивных распадов в единицу времени. По сути, это скорость убывания числа радиоактивных ядер.

A ( t ) = - d N / d t = λ N ( t )

Подставив закон распада, получаем:

A ( t ) = λ N 0 ⋅ e - λ t = A 0 ⋅ e - λ t

где A₀ = λ N₀ — начальная активность источника.
Единицей активности в СИ является беккерель (Бк), равный одному распаду в секунду (1 Бк = 1 расп/с). Внесистемная, но широко используемая единица — кюри (Ки), где 1 Ки = 3.7 ⋅ 10¹⁰ Бк.

Период полураспада и его связь с постоянной распада

Постоянная распада λ не всегда интуитивно понятна. Гораздо удобнее использовать другую характеристику — период полураспада.

Период полураспада (T_1/2):
Это время, в течение которого распадается половина исходного числа радиоактивных ядер (или уменьшается вдвое активность источника). Это одна из ключевых характеристик радиоактивного изотопа. Период полураспада может варьироваться от долей секунды до миллиардов лет.

Связь между периодом полураспада и постоянной распада:
По определению, через время T_1/2 число ядер уменьшается вдвое: N(T_1/2) = N₀ / 2.
Подставим это в закон радиоактивного распада:

N 0 / 2 = N 0 ⋅ e - λ T 1/2
1/2 = e^{-λ T_1/2}

Прологарифмируем обе части натуральным логарифмом:

ln( 1/2 ) = - λ T 1/2
-ln(2) = -λ T_1/2
ln(2) = λ T_1/2

Отсюда получаем фундаментальную связь:

T 1/2 = ln( 2 ) / λ

где ln(2) ≈ 0.693. Эта формула позволяет легко пересчитывать эти две важные характеристики радиоактивного распада.

Решение типовой задачи 19.6

Задача 19.6 (гипотетическая):
Период полураспада радиоактивного изотопа составляет T_1/2 = 10 дней. Определить, какая часть ядер этого изотопа распадется за время t = 30 дней.

Дано:

• T_1/2 = 10 дней
• t = 30 дней
• ln(2) ≈ 0.693

Найти: Долю распавшихся ядер (N₀ — N(t)) / N₀.

Решение:

1. Визуализация и выбор физических моделей:
   Задача на радиоактивный распад. Используем закон радиоактивного распада и связь между периодом полураспада и постоянной распада.
2. Составление и решение уравнений в общем виде:
   • Найдем постоянную распада λ:
     λ = ln(2) / T_1/2
   • Используем закон радиоактивного распада для нахождения доли нераспавшихся ядер:
     N(t) = N₀ ⋅ e^-λt
     N(t) / N₀ = e^-λt
     Подставим λ:
     N(t) / N₀ = e^{-(ln(2) / T_1/2) ⋅ t}
   • Найдем долю распавшихся ядер:
     Доля распавшихся ядер = 1 — (N(t) / N₀) = 1 — e^{-(ln(2) / T_1/2) ⋅ t}
3. Проверка размерности:
   Время и период полураспада в днях, что сокращается. Показатель экспоненты безразмерен. Результат — безразмерная доля, что корректно.
4. Численный расчет:
   • Вариант 1: С использованием степени двойки:
     Заметим, что t = 3 ⋅ T_1/2.
     Тогда N(t) / N₀ = (1/2)^t/T_1/2 = (1/2)^30/10 = (1/2)³ = 1/8 = 0.125
     Доля распавшихся ядер = 1 — 0.125 = 0.875
   • Вариант 2: С использованием λ:
     λ = ln(2) / 10 дней ≈ 0.693 / 10 дней = 0.0693 день^-1
     λt = 0.0693 день^-1 ⋅ 30 дней = 2.079
     N(t) / N₀ = e^-2.079 ≈ 0.125
     Доля распавшихся ядер = 1 — 0.125 = 0.875
5. Анализ и интерпретация результата:
   За три периода полураспада распадается 7/8 (или 87.5%) исходных ядер, что является ожидаемым результатом. Это демонстрирует экспоненциальный характер распада: с каждым периодом полураспада остается половина от предыдущего количества ядер.

Ответ: За 30 дней распадется 0.875 (или 87.5%) ядер этого изотопа.

Заключение: Интеграция знаний и развитие навыков

Проходя через лабиринты электромагнетизма, оптических явлений, квантовых эффектов и тайн ядерных превращений, мы не просто решали отдельные задачи. Мы исследовали, как фундаментальные законы природы проявляют себя в различных масштабах и условиях. Представленная методология решения физических задач, от анализа условия до интерпретации результата, является не просто алгоритмом, а универсальным инструментом, который позволяет систематизировать мыслительный процесс, избегать ошибок и, что самое главное, глубоко понимать физический смысл каждого шага.

Мы видели, как закон Био-Савара-Лапласа и сила Ампера описывают взаимодействие токов, как закон Снеллиуса и интерференция объясняют поведение света, как уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и эффект Комптона раскрывают квантовую природу света и материи, и как постулаты Бора и закон радиоактивного распада описывают мир атомов и ядер. Ключевым выводом из нашего путешествия является понимание, что физика — это не набор разрозненных формул, а единая, взаимосвязанная система знаний. Глубокое понимание принципов, умение визуализировать процессы, строгое следование методологии и критический анализ полученных результатов являются залогом успешного освоения этой увлекательной науки. Надеемся, что это руководство не только поможет вам успешно справиться с текущей контрольной работой, но и вдохновит на дальнейшее изучение физики, развивая ваши аналитические способности и формируя мышление, необходимое для будущих научных и инженерных свершений.

Список использованной литературы

1. Взаимодействие параллельных токов. URL: https://www.miit.ru/portal/upload/docs/AmmerKarelinFizikaLekc.doc (дата обращения: 04.11.2025).
2. Закон Малюса. URL: https://uchim.org/fizika/zakon-maljusa (дата обращения: 04.11.2025).
3. Активность радиоактивного источника. URL: https://megabook.ru/article/%D0%90%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%A1%D0%A2%D0%AC%20%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BE%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 (дата обращения: 04.11.2025).
4. Трефил Дж. Постоянная Планка, энциклопедия. URL: https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430635/Postoyannaya_Planka (дата обращения: 04.11.2025).
5. Трефил Дж. Закон Снеллиуса, энциклопедия. URL: https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430737/Zakon_Snelliusa (дата обращения: 04.11.2025).
6. Ликбез RnD.CNews: что такое постоянная Планка и почему от нее зависит Вселенная // CNews. 2021. 20 дек. URL: https://www.cnews.ru/articles/2021-12-20_likbez_rndcnews_chto_takoe (дата обращения: 04.11.2025).
7. Квантовая физика: эффект Комптона. URL: https://www.omgtu.ru/fdo/materials/bachelor/fizika/lection/kvantovaya_fizika_ehffekt_komptona.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
8. Закон Био–Савара–Лапласа и его применение к расчету магнитного поля тока. URL: http://www.phys.nsu.ru/udis/lecture/electrodynamics/43.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
9. Постоянная Планка. URL: https://www.kipis.ru/info/articles/fizicheskie-velichiny/postoyannaya-planka/ (дата обращения: 04.11.2025).
10. Закон преломления света. URL: https://www.kipis.ru/info/articles/fizicheskie-velichiny/zakon-prelomleniya-sveta/ (дата обращения: 04.11.2025).
11. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение. URL: https://www.donstu.ru/upload/iblock/c38/c38827464205566f1b1c6d3761899933.docx (дата обращения: 04.11.2025).
12. Магнитное взаимодействие токов. URL: http://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/757/73757/39908 (дата обращения: 04.11.2025).
13. Закон преломления света — формулы, примеры, как найти? URL: https://skysmart.ru/articles/fizika/zakon-prelomleniya-sveta (дата обращения: 04.11.2025).
14. Взаимодействие параллельных проводников с током (параллельных токов). URL: https://shkola-elektrika.ru/vzaimodejstvie-parallelnyh-provodnikov-s-tokom-parallelnyh-tokov/ (дата обращения: 04.11.2025).
15. Интерференция света. URL: https://uchitel.spb.ru/interferenciya-sveta/ (дата обращения: 04.11.2025).
16. Изучение явления поляризации света. Закон Малюса. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200114959 (дата обращения: 04.11.2025).