Содержание
2.13. Дана функция
При каком значении параметра С эта функция является плотностью распределения некоторой случайной величины? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
3.7. Имеются следующие данные об уровне механизации работ X(%) и производительности труда Y (т/ч) для 14 однотипных предприятий:
xi3230364041475654605561676976
yi2024283031333437384041434548
Необходимо: а) оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции; б) найти уравнение регрессии Y по X.
3.8. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на нефть X и индексом нефтяных компаний Y получены следующие данные:
Необходимо: а) составить уравнение регрессии Y по X; б) используя уравнение регрессии, найти среднее значение индекса при цене на нефть 16,5 ден. ед.
4.5. Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего X1 (т.), браке литья X2 (%) и себестоимости одной т. литья Y (руб.) по 25 литейным цехам заводов:
iX1iX2iYiiX1iX2iYiiX1iX2iYi
114,64,22391025,30,919819179,3282
213,56,725411561,31702033,13,3196
321,55,52621240,21,81732130,13,5186
417,47,72511340,63,31972265,21176
544,81,21581475,83,41722322,65,2238
6111,92,21011527,61,12012433,42,3204
720,18,42591688,40,11302519,72,7205
828,11,41861716,64,1251
922,34,22041833,42,3195
Необходимо: а) найти множественный коэффициент детерминации и пояснить его смысл; б) найти уравнение множественной регрессии Y по X1 и X2, оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне ; в) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности; г) найти 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, а также для среднего и индивидуальных значений себестоимости 1 т. литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т., а брак литья 5%.
4.6. Имеются следующие данные о годовых ставках месячных доходов по трем акциям за шестимесячный период:
Акция Доходы по месяцам, %
А5,45,34,94,95,46
В9,36,26,15,85,75,7
С6,29,29,198,78,6
Есть основания предполагать, что доходы Y по акции C зависят от доходов
X1 и X2 по акциям A и B. Необходимо: а) составить уравнение регрессии Y по X1 и X2; б) найти множественный коэффициент детерминации R2 и пояснить его смысл; в) проверить значимость полученного уравнения регрессии на уровне ; г) оценить средний доход по акции C, если доходы по акциям A и B составили соответственно 5,5 и 6,0%.
5.6. Имеются следующие данные о потреблении некоторого продукта Y (усл. ед.) в зависимости от уровня урбанизации (доли городского населения) X1, относительного образовательного уровня X2 и относительного заработка X3 для девяти географических районов:
i i
(номерXi1Xi2Xi3yi(номерXi1Xi2Xi3yi
района) района)
142,211,231,9167,1644,510,88,5174,6
248,610,613,2174,4739,110,724,3163,7
342,610,628,7160,8840,11018,6174,5
43910,426,1162945,91220,4185,7
534,79,330,1140,8
Средние значения
Стандартные отклонения
Корреляционная матрица:
X1X2X3Y
X110,684-0,6160,802
X20,6841-0,1730,77
X3-0,616-0,1731-0,629
Y0,8020,77-0,6291
Используя пошаговую процедуру отбора наиболее информативных объясняющих переменных, определить подходящую регрессионную модель, исключив при этом мультиколлинеарность. Оценить значимость коэффициентов регрессии полученной модели по t-критерию.
6.6. Имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы yi (цга) за 10 лет:
t12345678910
yi16,320,217,17,715,316,319,914,418,720,7
Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов τ=1,2) временного ряда.
6.9. В таблице представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения yi (ден. ед.) за восьмилетний период:
t12345678
yi11331222135413891342137714911684
Полагая, что тренд линейный и условия классической модели выполнены:
А) найти уравнение тренда и оценить его значимость на уровне ;
Б) дать точечный и с надежностью 0,95 интервальный прогнозы среднего и индивидуального значений доходов на девятый год.
1.2. Ссуда получена 15 марта и должна быть возвращена 5 июля. Размер ссуды 20 млн. руб. Простая ставка 15% годовых. Найти совокупный долг (первоначальная ссуда с процентами) исходя а) из английской, б) из французской и в) из германской практики определения процентов.
(а S=20,921 млн. руб.; б S=20,933 млн. руб.; в S=20,913 млн. руб.)
1.6. Начальная сумма долга 200 млн. руб. В погашение долга должно быть выплачено 250 млн. руб. через 80 дней. Определить доходность данной операции для кредитора (временная база 360 дней).
(112,5%)
2.2. Сколько лет необходимо для увеличения начальной суммы в 3 раза, если применяется сложная ставка 20% годовых?
(6,036 лет).
2.5. За сколько лет первоначальная сумма увеличится в 4 раза, если в расчетах используется сложная ставка 20% годовых?
(7,72 года).
3.1. Можно ли считать равноценным два обязательства: первое уплатить 200 млн. руб. через 2 месяца, второе уплатить 400 млн. руб. через 5 месяцев. Использовать в расчетах простую ставку 15% годовых.
(Нельзя, так как ).
3.7. Объединяются три платежа 3, 5 и 10 млн. руб. со сроками уплаты через 1, 2 и три года в один платеж 16 млн. руб. В расчетах используется сложная ставка 10% годовых. Найти срок консолидированного платежа.
(1,13 года).
4.4. Найти годовую ставку простых процентов, на которую можно заменить номинальную годовую ставку 10%, если начисление по ней производится полугодиями в течение 3 лет.
(11,3%).
4.7. Для первых 3 лет ссуды применяется сложная ставка 10%, для следующих двух лет 16%. Найти среднюю ставку за весь период ссуды.
(12,4%).
5.2. Предположим, что условия задачи 5.1. изменены следующим образом: проценты начисляются ежемесячно. Каков будет фонд?
5.1. С целью финансирования некоторых предприятий в будущем создается фонд. Средства в фонд поступают в течение 6 лет в конце каждого года в размере 15 млн. руб. На указанные платежи начисляют проценты по сложной ставке 12% годовых. Определить фонд по истечении указанного периода.
(123,8 млн. руб.).
5.3. По условиям задачи 5.1. взносы в фонд производятся по полугодиям.
(125,3 млн. руб.).
Выдержка из текста
4.5. Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего X1 (т.), браке литья X2 (%) и себестоимости одной т. литья Y (руб.) по 25 литейным цехам заводов:
iX1iX2iYiiX1iX2iYiiX1iX2iYi
114,64,22391025,30,919819179,3282
213,56,725411561,31702033,13,3196
321,55,52621240,21,81732130,13,5186
417,47,72511340,63,31972265,21176
544,81,21581475,83,41722322,65,2238
6111,92,21011527,61,12012433,42,3204
720,18,42591688,40,11302519,72,7205
828,11,41861716,64,1251
922,34,22041833,42,3195
Необходимо: а) найти множественный коэффициент детерминации и пояснить его смысл; б) найти уравнение множественной регрессии Y по X1 и X2, оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне ; в) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности; г) найти 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, а также для среднего и индивидуальных значений себестоимости 1 т. литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т., а брак литья 5%.
Решение.
1)Найдем уравнение парной регрессии Y на X1. Наиболее распространенной формой связи является линейная парная регрессия вида y=a+bx. Для нахождения коэффициентов применяем метод наименьших квадратов. Получаем систему нормальных уравнений:
Для подсчета коэффициентов используется расчетная таблица, три последних столбца нужны для оценки приближения, заполняются после нахождения коэффициентов.
iX1iX2iYiX1i*Y(X1)²Y²
114,64,22393489,4213,257121
213,56,72543429182,364516
321,55,52625633462,368644
417,47,72514367,4302,863001
544,81,21587078,4200724964
6111,92,210111301,91252210201
720,18,42595205,940467081
828,11,41865226,6789,634596
922,34,22044549,2497,341616
1025,30,91985009,4640,139204
11561,31709520313628900
1240,21,81736954,6161629929
1340,63,31977998,2164838809
1475,83,417213037,6574629584
1527,61,12015547,6761,840401
1688,40,113011492781516900
1716,64,12514166,6275,663001
1833,42,31956513111638025
19179,3282479428979524
2033,13,31966487,6109638416
2130,13,51865598,690634596
2265,2117611475,2425130976
2322,65,22385378,8510,856644
2433,42,32046813,6111641616
2519,72,72054038,5388,142025
∑919,2875088165106486901080290
Получаем следующую систему уравнений:
Решаем систему, получаем уравнение регрессии:
Y=257,7604 1,4752X.
С увеличением выработки литья на 1 тонну себестоимость тонны литья снижается в среднем на 1.48 рубля. Влияние не учтенных в данной модели факторов характеризуется коэффциентом 257.7604.
2. Для нахождения уравнения множественной регрессии используется табличный редактор Microsoft Excel. Уравнение множественной регрессии имеет вид:
Это означает, что если принимать во внимание производственный брак, то с увеличением выработки литья на 1 тонну себестоимость тонны литья снижается в среднем на 0.94 рубля, с увеличением брака на 1% себестоимость тонны литья увеличивается в среднем на 16.94 рубля. Влияние прочих, не учтенных в модели факторов, характеризуется коэффициентом 164.1406.
3. Чтобы оценить значимость уравнения парной регрессии на уровне =0.05, необходимо сравнить фактическое и табличное значение F-критерия Фишера. Для расчета фактического значения нужно найти линейный коэффициент парной корреляции согласно формуле:
Подставляем значения среднеквадратических отклонений, получаем
Связь тесная, обратная.
Вычисляем фактическое значение критерия:
Это значение больше табличного 2.08, следовательно, уравнение является значимым.
Вариация результата на 50,89% объясняется вариацией фактора X1.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации:
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 15.12%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации.
Оценим уравнение множественной регрессии. Критическое значение критерия Фишера найдено с помощью табличного редактора Microsoft Excel, F=66.69367. Табличное значение для уровня значимости =0.05 равно 2.08, оно меньше критического, следовательно, уравнение множественной регрессии является значимым.
Коэффициент множественной корреляции равен 0.941785, связь весьма тесная, прямая.
Значения скорректированного и некорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации равны соответственно 0.87366 и 0.886959. Некорректированный коэффициент множественной детерминации характеризует долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата, эта доля равна 88.7%, что указывает на тесную связь факторов с результатом. Скорректированный коэффициент множественной детерминации не зависит от числа факторов в модели, определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Сравнивая модели, построенные с учетом брака и без учета брака, получаем, что модель, построенная с учетом брака, точнее описывает производственный процесс, чем модель, построенная без учета брака. Коэффициент указывает на высокую детерминированность результата y (более 80%) факторами X1, X2.
4. Чтобы установить значимость коэффициента регрессии при X2, нужно рассматривать значение частного F-критерия, это значение оценивает статистическую значимость присутствия фактора в уравнении. Частное значение критерия, согласно приложению табличного редактора F=7.5399, это означает, что коэффициент регрессии при X2 является значимым, поскольку частное значение критерия больше табличного 2.08 на уровне значимости =0.05. Проверим результат, используя критерий Стьюдента. При этом выдвигается гипотеза о случайной природе показателей H0, то есть о незначительном отличии показателей от нуля. Затем проводится оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции путем сопоставления значений с помощью t-критерия Стьюдента.
Расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффициента при X2 найдем как квадратный корень из соответствующего частного F-критерия Фишера:
Это значение больше табличного 2.10, следовательно, коэффициент регрессии при X2 является статистически значимым, гипотеза H0 отвергается.
5. Найдем 95%-ный доверительный интервал для среднего значения себестоимости 1 тонны литья в цехах, в которых выработка литья на 1 работающего составляет 40 тонн, используя уравнение парной регрессии пункта 1.
Оценки уравнения регрессии, как выяснилось в предыдущих пунктах, позволяют использовать его для прогноза. Прогнозное значение выработки литья на 1 работающего, по условию, равно 40 тонн.
Рассчитаем среднюю стандартную ошибку прогноза по формуле:
Найдем
Используем дополнительную расчетную таблицу для определения стандартной ошибки.
IX1iYYxY-Yx(Y-Yx)²X1i-
(X1i- )²
158170.4185.17-14.77218.15298.8377.9689
264171.6173.58-1.983.920414.83219.9289
339.5233.3220.912.4153.76-9.6793.5089
443.8157.8212.59-54.793001.944-5.3728.8369
529.3291.7240.5951.112612.232-19.87394.817
643.8191.8212.59-20.79432.2241-5.3728.8369
736.5301.7226.6975.015626.5-12.67160.5289
874.6201.3153.1248.182321.31225.43646.6849
938.1219223.6-4.621.16-11.07122.5449
1018.6225.3261.26-35.961293.122-30.57934.5249
1122.2217.4254.3-36.91361.61-26.97727.3809
1276.6182.8149.2533.551125.60227.43752.4049
1337.9245.5223.9921.51462.6801-11.27127.0129
1451.8204.3197.147.1651.26562.636.9169
1575.4164151.5712.43154.504926.23688.0129
1628.4268242.3325.67658.9489-20.77431.3929
1748.2199.6204.1-4.520.25-0.970.9409
1871.6114.1158.91-44.812007.93622.43503.1049
1975.4113.3151.57-38.271464.59326.23688.0129
2049.7171.6201.2-29.6876.160.530.2809
983.44044.523867.887057.296
Таким образом, стандартная ошибка прогноза будет вычислена с помощью расчетных значений:
Построим доверительный интервал прогноза. Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% случаев, составит
Обратимся к найденному в пункте 1 уравнению линейной регрессии:
Для построения доверительного интервала вычислим прогнозное значение y с помощью уравнения линейной регрессии:
Далее строим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала прогноза по формулам:
Таким образом, доверительный интервал для среднего значения себестоимости 1 тонны литья построен.
1.2. Ссуда получена 15 марта и должна быть возвращена 5 июля. Размер ссуды 20 млн. руб. Простая ставка 15% годовых. Найти совокупный долг (первоначальная ссуда с процентами) исходя а) из английской, б) из французской и в) из германской практики определения процентов.
(а S=20,921 млн. руб.; б S=20,933 млн. руб.; в S=20,913 млн. руб.)
Решение.
Предварительно определим число дней ссуды: точное 112, приближенное 110.
А) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
млн. руб.
б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):
млн. руб.
в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):
млн. руб.
Список использованной литературы
1. Эконометрика. Под ред. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2004. — 344с.
2. Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. Начальный курс.
3. Четыркин. Финансовая математика.