Задачи по эконометрике и финансовой математике.

Пример готовой контрольной работы по предмету: Эконометрика

Содержание

2.13. Дана функция

При каком значении параметра С эта функция является плотностью распределения некоторой случайной величины? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

3.7. Имеются следующие данные об уровне механизации работ X(%) и производительности труда Y (т/ч) для

1. однотипных предприятий:

• xi 3230364041475654605561676976

yi 2024283031333437384041434548

Необходимо: а) оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции; б) найти уравнение регрессии Y по X.

3.8. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на нефть X и индексом нефтяных компаний Y получены следующие данные:

Необходимо: а) составить уравнение регрессии Y по X; б) используя уравнение регрессии, найти среднее значение индекса при цене на нефть 16,5 ден. ед.

4.5. Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего X1 (т.), браке литья X2 (%) и себестоимости одной т. литья Y (руб.) по

2. литейным цехам заводов:

• iX1iX2iYiiX1iX2iYiiX1iX2iYi

114,64,22391025,30,919819179,3282

213,56,725411561,31702033,13,3196

321,55,52621240,21,81732130,13,5186

417,47,72511340,63,31972265,21176

544,81,21581475,83,41722322,65,2238

6111,92,21011527,61,12012433,42,3204

720,18,42591688,40,11302519,72,7205

828,11,41861716,64,1251

922,34,22041833,42,3195

Необходимо: а) найти множественный коэффициент детерминации и пояснить его смысл; б) найти уравнение множественной регрессии Y по X1 и X2, оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне ; в) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности; г) найти 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, а также для среднего и индивидуальных значений себестоимости 1 т. литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т., а брак литья 5%.

4.6. Имеются следующие данные о годовых ставках месячных доходов по трем акциям за шестимесячный период:

• Акция Доходы по месяцам, %

А 5,45,34,94,95,46

В 9,36,26,15,85,75,7

С 6,29,29,198,78,6

Есть основания предполагать, что доходы Y по акции C зависят от доходов

X1 и X2 по акциям A и B. Необходимо: а) составить уравнение регрессии Y по X1 и X2; б) найти множественный коэффициент детерминации R2 и пояснить его смысл; в) проверить значимость полученного уравнения регрессии на уровне ; г) оценить средний доход по акции C, если доходы по акциям A и B составили соответственно 5,5 и 6,0%.

5.6. Имеются следующие данные о потреблении некоторого продукта Y (усл. ед.) в зависимости от уровня урбанизации (доли городского населения) X1, относительного образовательного уровня X2 и относительного заработка X3 для девяти географических районов:

• i i

(номерXi 1Xi 2Xi 3yi(номерXi 1Xi 2Xi 3yi

района) района)

142,211,231,9167,1644,510,88,5174,6

248,610,613,2174,4739,110,724,3163,7

342,610,628,7160,8840,11018,6174,5

43910,426,1162945,91220,4185,7

534,79,330,1140,8

Средние значения

Стандартные отклонения

Корреляционная матрица:

• X1X2X3Y

X110,684-0,6160,802

X20,6841-0,1730,77

X3-0,616-0,1731-0,629

Y0,8020,77-0,6291

Используя пошаговую процедуру отбора наиболее информативных объясняющих переменных, определить подходящую регрессионную модель, исключив при этом мультиколлинеарность. Оценить значимость коэффициентов регрессии полученной модели по t-критерию.

6.6. Имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы yi (цга) за

1. лет:

• t 12345678910

yi 16,320,217,17,715,316,319,914,418,720,7

Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов τ=1,2) временного ряда.

6.9. В таблице представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения yi (ден. ед.) за восьмилетний период:

• t 12345678

yi 11331222135413891342137714911684

Полагая, что тренд линейный и условия классической модели выполнены:

• А) найти уравнение тренда и оценить его значимость на уровне ;
• Б) дать точечный и с надежностью 0,95 интервальный прогнозы среднего и индивидуального значений доходов на девятый год.

1.2. Ссуда получена

1. марта и должна быть возвращена 5 июля. Размер ссуды

2. млн. руб. Простая ставка

15. годовых. Найти совокупный долг (первоначальная ссуда с процентами) исходя а) из английской, б) из французской и в) из германской практики определения процентов.

(а S=20,921 млн. руб.; б S=20,933 млн. руб.; в S=20,913 млн. руб.)

1.6. Начальная сумма долга

20. млн. руб. В погашение долга должно быть выплачено

25. млн. руб. через

8. дней. Определить доходность данной операции для кредитора (временная база

36. дней).

(112,5%)

2.2. Сколько лет необходимо для увеличения начальной суммы в 3 раза, если применяется сложная ставка

20. годовых?

(6,036 лет).

2.5. За сколько лет первоначальная сумма увеличится в 4 раза, если в расчетах используется сложная ставка

20. годовых?

(7,72 года).

3.1. Можно ли считать равноценным два обязательства: первое уплатить

20. млн. руб. через 2 месяца, второе уплатить

40. млн. руб. через 5 месяцев. Использовать в расчетах простую ставку

15. годовых.

(Нельзя, так как ).

3.7. Объединяются три платежа 3, 5 и

1. млн. руб. со сроками уплаты через 1, 2 и три года в один платеж

1. млн. руб. В расчетах используется сложная ставка

10. годовых. Найти срок консолидированного платежа.

(1,13 года).

4.4. Найти годовую ставку простых процентов, на которую можно заменить номинальную годовую ставку 10%, если начисление по ней производится полугодиями в течение 3 лет.

(11,3%).

4.7. Для первых 3 лет ссуды применяется сложная ставка 10%, для следующих двух лет 16%. Найти среднюю ставку за весь период ссуды.

(12,4%).

5.2. Предположим, что условия задачи 5.1. изменены следующим образом: проценты начисляются ежемесячно. Каков будет фонд?

5.1. С целью финансирования некоторых предприятий в будущем создается фонд. Средства в фонд поступают в течение 6 лет в конце каждого года в размере

1. млн. руб. На указанные платежи начисляют проценты по сложной ставке

12. годовых. Определить фонд по истечении указанного периода.

(123,8 млн. руб.).

5.3. По условиям задачи 5.1. взносы в фонд производятся по полугодиям.

(125,3 млн. руб.).

Выдержка из текста

4.5. Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего X1 (т.), браке литья X2 (%) и себестоимости одной т. литья Y (руб.) по

2. литейным цехам заводов:

• iX1iX2iYiiX1iX2iYiiX1iX2iYi

114,64,22391025,30,919819179,3282

213,56,725411561,31702033,13,3196

321,55,52621240,21,81732130,13,5186

417,47,72511340,63,31972265,21176

544,81,21581475,83,41722322,65,2238

6111,92,21011527,61,12012433,42,3204

720,18,42591688,40,11302519,72,7205

828,11,41861716,64,1251

922,34,22041833,42,3195

Необходимо: а) найти множественный коэффициент детерминации и пояснить его смысл; б) найти уравнение множественной регрессии Y по X1 и X2, оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне ; в) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности; г) найти 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, а также для среднего и индивидуальных значений себестоимости 1 т. литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т., а брак литья 5%.

Решение.

1)Найдем уравнение парной регрессии Y на X1. Наиболее распространенной формой связи является линейная парная регрессия вида y=a+bx. Для нахождения коэффициентов применяем метод наименьших квадратов. Получаем систему нормальных уравнений:

Для подсчета коэффициентов используется расчетная таблица, три последних столбца нужны для оценки приближения, заполняются после нахождения коэффициентов.

iX1iX2iYiX1i*Y(X1)²Y²

114,64,22393489,4213,257121

213,56,72543429182,364516

321,55,52625633462,368644

417,47,72514367,4302,863001

544,81,21587078,4200724964

6111,92,210111301,91252210201

720,18,42595205,940467081

828,11,41865226,6789,634596

922,34,22044549,2497,341616

1025,30,91985009,4640,139204

11561,31709520313628900

1240,21,81736954,6161629929

1340,63,31977998,2164838809

1475,83,417213037,6574629584

1527,61,12015547,6761,840401

1688,40,113011492781516900

1716,64,12514166,6275,663001

1833,42,31956513111638025

19179,3282479428979524

2033,13,31966487,6109638416

2130,13,51865598,690634596

2265,2117611475,2425130976

2322,65,22385378,8510,856644

2433,42,32046813,6111641616

2519,72,72054038,5388,142025

∑ 919,2875088165106486901080290

Получаем следующую систему уравнений:

Решаем систему, получаем уравнение регрессии:

• Y=257,7604 1,4752X.

С увеличением выработки литья на 1 тонну себестоимость тонны литья снижается в среднем на 1.48 рубля. Влияние не учтенных в данной модели факторов характеризуется коэффциентом 257.7604.

2. Для нахождения уравнения множественной регрессии используется табличный редактор Microsoft Excel. Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Это означает, что если принимать во внимание производственный брак, то с увеличением выработки литья на 1 тонну себестоимость тонны литья снижается в среднем на 0.94 рубля, с увеличением брака на 1% себестоимость тонны литья увеличивается в среднем на 16.94 рубля. Влияние прочих, не учтенных в модели факторов, характеризуется коэффициентом 164.1406.

3. Чтобы оценить значимость уравнения парной регрессии на уровне =0.05, необходимо сравнить фактическое и табличное значение F-критерия Фишера. Для расчета фактического значения нужно найти линейный коэффициент парной корреляции согласно формуле:

Подставляем значения среднеквадратических отклонений, получаем

Связь тесная, обратная.

Вычисляем фактическое значение критерия:

Это значение больше табличного 2.08, следовательно, уравнение является значимым.

Вариация результата на 50,89% объясняется вариацией фактора X1.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 15.12%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации.

Оценим уравнение множественной регрессии. Критическое значение критерия Фишера найдено с помощью табличного редактора Microsoft Excel, F=66.69367. Табличное значение для уровня значимости =0.05 равно 2.08, оно меньше критического, следовательно, уравнение множественной регрессии является значимым.

Коэффициент множественной корреляции равен 0.941785, связь весьма тесная, прямая.

Значения скорректированного и некорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации равны соответственно 0.87366 и 0.886959. Некорректированный коэффициент множественной детерминации характеризует долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата, эта доля равна 88.7%, что указывает на тесную связь факторов с результатом. Скорректированный коэффициент множественной детерминации не зависит от числа факторов в модели, определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Сравнивая модели, построенные с учетом брака и без учета брака, получаем, что модель, построенная с учетом брака, точнее описывает производственный процесс, чем модель, построенная без учета брака. Коэффициент указывает на высокую детерминированность результата y (более 80%) факторами X1, X2.

4. Чтобы установить значимость коэффициента регрессии при X2, нужно рассматривать значение частного F-критерия, это значение оценивает статистическую значимость присутствия фактора в уравнении. Частное значение критерия, согласно приложению табличного редактора F=7.5399, это означает, что коэффициент регрессии при X2 является значимым, поскольку частное значение критерия больше табличного 2.08 на уровне значимости =0.05. Проверим результат, используя критерий Стьюдента. При этом выдвигается гипотеза о случайной природе показателей H0, то есть о незначительном отличии показателей от нуля. Затем проводится оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции путем сопоставления значений с помощью t-критерия Стьюдента.

Расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффициента при X2 найдем как квадратный корень из соответствующего частного F-критерия Фишера:

Это значение больше табличного 2.10, следовательно, коэффициент регрессии при X2 является статистически значимым, гипотеза H0 отвергается.

5. Найдем 95%-ный доверительный интервал для среднего значения себестоимости 1 тонны литья в цехах, в которых выработка литья на 1 работающего составляет 40 тонн, используя уравнение парной регрессии пункта 1.

Оценки уравнения регрессии, как выяснилось в предыдущих пунктах, позволяют использовать его для прогноза. Прогнозное значение выработки литья на 1 работающего, по условию, равно 40 тонн.

Рассчитаем среднюю стандартную ошибку прогноза по формуле:

• Найдем

Используем дополнительную расчетную таблицу для определения стандартной ошибки.

IX1iYYxY-Yx(Y-Yx)²X1i-

(X1i- )²

158170.4185.17-14.77218.15298.8377.9689

264171.6173.58-1.983.920414.83219.9289

339.5233.3220.912.4153.76-9.6793.5089

443.8157.8212.59-54.793001.944-5.3728.8369

529.3291.7240.5951.112612.232-19.87394.817

643.8191.8212.59-20.79432.2241-5.3728.8369

736.5301.7226.6975.015626.5-12.67160.5289

874.6201.3153.1248.182321.31225.43646.6849

938.1219223.6-4.621.16-11.07122.5449

1018.6225.3261.26-35.961293.122-30.57934.5249

1122.2217.4254.3-36.91361.61-26.97727.3809

1276.6182.8149.2533.551125.60227.43752.4049

1337.9245.5223.9921.51462.6801-11.27127.0129

1451.8204.3197.147.1651.26562.636.9169

1575.4164151.5712.43154.504926.23688.0129

1628.4268242.3325.67658.9489-20.77431.3929

1748.2199.6204.1-4.520.25-0.970.9409

1871.6114.1158.91-44.812007.93622.43503.1049

1975.4113.3151.57-38.271464.59326.23688.0129

2049.7171.6201.2-29.6876.160.530.2809

 983.44044.523867.887057.296

Таким образом, стандартная ошибка прогноза будет вычислена с помощью расчетных значений:

Построим доверительный интервал прогноза. Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% случаев, составит

Обратимся к найденному в пункте 1 уравнению линейной регрессии:

Для построения доверительного интервала вычислим прогнозное значение y с помощью уравнения линейной регрессии:

Далее строим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала прогноза по формулам:

Таким образом, доверительный интервал для среднего значения себестоимости 1 тонны литья построен.

1.2. Ссуда получена

1. марта и должна быть возвращена 5 июля. Размер ссуды

2. млн. руб. Простая ставка

15. годовых. Найти совокупный долг (первоначальная ссуда с процентами) исходя а) из английской, б) из французской и в) из германской практики определения процентов.

(а S=20,921 млн. руб.; б S=20,933 млн. руб.; в S=20,913 млн. руб.)

Решение.

Предварительно определим число дней ссуды: точное 112, приближенное 110.

А) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

• млн. руб.

б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):

• млн. руб.

в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):

• млн. руб.

Список использованной литературы

1. Эконометрика. Под ред. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2004. — 344с.

2. Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. Начальный курс.

3. Четыркин. Финансовая математика.