Решение статистических задач для контрольной работы: Методология, расчеты и анализ

В современной экономической и социальной реальности, где данные становятся ключевым активом, способность к их анализу и интерпретации приобретает первостепенное значение. Статистика выступает не просто как набор методов, а как мощный аналитический инструмент, позволяющий преобразовывать разрозненные цифры в осмысленные выводы, критически важные для принятия решений в самых разнообразных областях – от управления бизнесом до формирования государственной политики. Именно поэтому для студентов Университета МВД, чья будущая деятельность неразрывно связана с анализом сложных социально-экономических процессов, глубокое понимание статистических методов является неотъемлемой частью профессиональной подготовки.

Настоящая контрольная работа ставит своей целью не только демонстрацию владения основными статистическими инструментами, но и глубокий, всесторонний анализ трех ключевых задач. Мы погрузимся в мир коэффициентов ассоциации и контингенции, чтобы понять тонкости взаимосвязей между качественными признаками. Затем исследуем природу сезонных колебаний с помощью индексов сезонности, выявляя скрытые закономерности в динамических рядах. Наконец, мы проведем комплексный анализ рыночной конъюнктуры, используя сводные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота, а также оценим влияние ценовых изменений на покупательную способность населения. Каждая задача будет раскрыта с максимальной детализацией – от теоретических основ и методологии расчета до пошаговых выкладок и глубокой экономической интерпретации результатов, что позволит сформировать целостное и всеобъемлющее представление о прикладном значении статистики.

Задача 1: Анализ таблиц сопряженности с использованием коэффициентов ассоциации и контингенции

Теоретические основы коэффициентов ассоциации и контингенции

В мире статистического анализа далеко не все явления можно измерить количественно. Часто приходится сталкиваться с качественными признаками, такими как уровень образования, семейное положение, наличие или отсутствие определенного заболевания. Для оценки связи между такими признаками, особенно если они дихотомические (то есть принимают только два значения, например, «да/нет», «есть/нет»), традиционные методы корреляционного анализа оказываются неприменимыми. Именно здесь на помощь приходят коэффициенты ассоциации и контингенции — специализированные показатели, разработанные для исследования стохастической связи между качественными переменными.

Одним из наиболее известных является коэффициент ассоциации Юла (Yule’s Q), предложенный английским статистиком Эдни Дж. Юлом. Этот коэффициент характеризует тесноту связи между двумя альтернативными случайными величинами, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний. Представим себе таблицу «четырех полей», которая является основой для его расчета:

	Признак B (Есть)	Признак B (Нет)	Всего
Признак A (Есть)	a	b	a+b
Признак A (Нет)	c	d	c+d
Всего	a+c	b+d	N

Где a, b, c, d — это частоты совместного появления или отсутствия признаков A и B.

Формула для расчета коэффициента ассоциации Юла (K_а) выглядит так:

Kа = (ad - bc) / (ad + bc)

Коэффициент ассоциации Юла имеет удобный для интерпретации диапазон значений — от -1 до +1. Если K_а = +1, это указывает на полную положительную связь (присутствие одного признака всегда сопровождается присутствием другого); если K_а = -1, это означает полную отрицательную связь (присутствие одного признака всегда сопровождается отсутствием другого); а если K_а = 0, то статистическая связь между признаками отсутствует.

Однако, у коэффициента ассоциации Юла есть один существенный недостаток, который может привести к искажению результатов: если хотя бы одна из четырех ячеек таблицы сопряженности содержит нулевое значение, коэффициент K_а будет равен единице по абсолютному значению, что может давать преувеличенную оценку тесноты связи. Например, если b или c равно нулю, то bc = 0, и K_а = ad / ad = 1. Аналогично, если a или d равно нулю, то ad = 0, и K_а = -bc / bc = -1. Это означает, что даже при слабой связи, но при отсутствии одной из комбинаций признаков, коэффициент покажет полную связь.

Для устранения этого недостатка применяется коэффициент контингенции Юла (Yule’s Y), также известный как коэффициент коллигации, который был предложен Эдни Дж. Юлом и Морисом Дж. Кендаллом. Он более устойчив к нулевым значениям и даёт более консервативную оценку тесноты связи.

Формула для расчета коэффициента контингенции (K_к) выглядит следующим образом:

Kк = (ad - bc) / √((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))

Важным свойством коэффициента контингенции является то, что он всегда меньше коэффициента ассоциации по абсолютному значению. Это происходит потому, что K_к равен 1 лишь в том случае, если a и d или b и c одновременно равны 0. В отличие от этого, K_а равен 1 уже в случае, если одно из чисел в клетках таблицы оказалось равным 0. Диапазон значений K_к лежит от -1 до +1, что делает его удобным для оценки не только силы, но и направления связи.

При выборе между K_а и K_к следует руководствоваться следующим принципом:

в случаях, когда один из четырех показателей в таблице «четырех полей» отсутствует (равен нулю), предпочтение следует отдать коэффициенту контингенции, так как коэффициент ассоциации может давать преувеличенную оценку тесноты связи.

Для интерпретации абсолютного значения коэффициентов (от 0 до 1) используется следующая шкала:

• 0 – статистическая связь отсутствует
• 0,01-0,30 – очень слабая связь
• 0,31-0,50 – слабая связь
• 0,51-0,70 – средняя связь
• 0,71-0,99 – сильная связь
• 1 – очень сильная (функциональная) связь

Методика расчета и пошаговое решение задачи по коэффициентам ассоциации и контингенции

Предположим, мы исследуем зависимость между наличием высшего образования и склонностью к совершению мелких правонарушений среди группы из 200 человек. Результаты представлены в таблице сопряженности:

	Совершал мелкие правонарушения (B)	Не совершал мелких правонарушения (не B)	Всего
Высшее образование (A)	a = 15	b = 85	a+b = 100
Нет высшего образования (не A)	c = 40	d = 60	c+d = 100
Всего	a+c = 55	b+d = 145	N = 200

Теперь выполним пошаговый расчет коэффициентов ассоциации и контингенции.

1. Расчет коэффициента ассоциации Юла (K_а):
   • Определяем произведения ad и bc:
     ad = 15 * 60 = 900
     bc = 85 * 40 = 3400
   • Применяем формулу:
     Kа = (900 - 3400) / (900 + 3400) = -2500 / 4300 ≈ -0,5814
2. Расчет коэффициента контингенции Юла (K_к):
   • Определяем суммы (a+b), (c+d), (a+c), (b+d):
     (a+b) = 15 + 85 = 100
     (c+d) = 40 + 60 = 100
     (a+c) = 15 + 40 = 55
     (b+d) = 85 + 60 = 145
   • Вычисляем произведение в знаменателе:
     (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 100 * 100 * 55 * 145 = 10 000 * 7975 = 79 750 000
   • Применяем формулу:
     Kк = (900 - 3400) / √(79 750 000) = -2500 / 8930,2855 ≈ -0,2799

Интерпретация полученных результатов

Мы получили следующие значения:

• Коэффициент ассоциации Юла (K_а) ≈ -0,5814
• Коэффициент контингенции Юла (K_к) ≈ -0,2799

Начнем с коэффициента ассоциации Юла (K_а). Значение -0,5814 указывает на наличие средней отрицательной связи между наличием высшего образования и склонностью к совершению мелких правонарушений. Отрицательный знак означает, что с увеличением одного признака (наличие высшего образования) вероятность другого признака (совершение мелких правонарушений) уменьшается. То есть, люди с высшим образованием статистически реже совершают мелкие правонарушения. Согласно нашей шкале оценки, 0,5814 попадает в интервал 0,51-0,70, что характеризуется как средняя связь.

Теперь обратимся к коэффициенту контингенции Юла (K_к). Его значение -0,2799 по абсолютному значению попадает в интервал 0,01-0,30, что классифицируется как очень слабая отрицательная связь. Здесь мы видим существенное отличие от K_а. Как и ожидалось, K_к оказался меньше по абсолютному значению, что является более реалистичной оценкой тесноты связи, особенно в случаях, когда распределение частот в таблице не является экстремальным (то есть нет нулевых значений, которые бы искусственно завысили K_а). Отсутствие нулевых значений в нашем примере позволяет нам доверять обоим показателям, но K_к, будучи более консервативным, может давать более точное представление о реальной силе связи.

Выводы:

Оба коэффициента указывают на отрицательную связь: наличие высшего образования снижает вероятность совершения мелких правонарушений. Однако, если K_а показал среднюю связь, то K_к — лишь очень слабую. Это различие подчеркивает важность использования нескольких показателей для оценки одной и той же зависимости, а также понимания их методологических особенностей. В данном случае, более осторожная оценка K_к, возможно, точнее отражает действительность, поскольку высшее образование, хоть и влияет на социальное поведение, не является единственным и определяющим фактором, обуславливающим отсутствие мелких правонарушений. Наличие других факторов, таких как уровень дохода, социальное окружение, воспитание, может объяснять, почему связь не является более сильной.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что, хотя и существует тенденция к снижению вероятности мелких правонарушений среди лиц с высшим образованием, эта связь не является доминирующей и должна рассматриваться в контексте множества других социально-экономических и психологических факторов. Переходя к анализу сезонных колебаний, важно учитывать, что каждый статистический метод имеет свои ограничения и специфику применения, что определяет достоверность и полноту конечных выводов.

Задача 2: Расчет и анализ индексов сезонности

Понятие сезонных колебаний и индексов сезонности

В динамике многих социально-экономических явлений скрываются повторяющиеся внутригодовые закономерности, которые мы называем сезонными колебаниями. Это могут быть пики продаж определенных товаров перед праздниками, увеличение потребления электроэнергии зимой, рост туристического потока летом или, например, изменения в динамике преступности по месяцам. Сезонные колебания — не просто случайные флуктуации; это устойчивые, постоянно повторяющиеся изменения, обусловленные природными (смена сезонов), экономическими (циклы производства, потребления), социальными (праздники, отпуска) или административными (начало/конец учебного года) факторами.

Для количественной оценки этих колебаний и выявления их устойчивого характера используются индексы сезонности. Это аналитические показатели, которые представляют собой отношение фактического значения показателя в определенном внутрисезонном периоде (например, месяце или квартале) к некоторому теоретическому (расчетному) уровню, свободному от сезонных влияний. Проще говоря, индекс сезонности показывает, насколько тот или иной период (например, январь) отклоняется от среднего (теоретического) уровня за год. Например, индекс 120% для июля означает, что в июле активность на 20% выше среднегодовой. Какой же скрытый вопрос возникает у читателя, когда он видит такую интерпретацию?

Для того чтобы выявить **устойчивую сезонную волну**, которая действительно отражает закономерные, а не случайные изменения, необходимо проводить расчет индексов сезонности за период **не менее чем три года**, распределенный по месяцам или кварталам. Такой подход позволяет «сгладить» влияние случайных факторов и выделить повторяющийся паттерн. Перед началом расчетов также рекомендуется провести предварительный анализ исходных данных, чтобы исключить или скорректировать аномально большие или малые объемы, которые могли быть вызваны единичными, нехарактерными событиями (например, крупные разовые сделки, природные катаклизмы).

Метод постоянной средней для расчета индексов сезонности

Когда мы анализируем ряды динамики, в которых отсутствуют или незначительны общие тенденции повышения или понижения (тренд), а наблюдаемая величина колеблется вокруг некоторого постоянного среднего значения, наиболее подходящим инструментом для выявления сезонности становится метод постоянной средней. Этот метод прост и интуитивно понятен, фокусируясь на сравнении средних значений каждого сезона с общей средней за весь период наблюдения.

Алгоритм расчета индексов сезонности методом постоянной средней включает следующие шаги:

1. Расчет среднего уровня показателя для каждого внутрисезонного периода (месяца/квартала) за все годы наблюдения (Среднее_ср,j). Мы суммируем значения показателя для каждого j-го периода (например, января) за все n лет и делим на число лет n.

   Среднееср,j = Σi=1n Yij / n

   Где Y_ij – значение показателя в i-м году j-го периода, n – число лет.

2. Расчет общей средней по всем сезонам и внутрисезонным периодам (Среднее_ср,0). Это среднее значение за весь анализируемый период, которое служит базой для сравнения. Оно рассчитывается как сумма всех значений за все годы и все периоды, деленная на общее количество наблюдений.

   Среднееср,0 = Σi=1n Σj=1m Yij / (n ⋅ m)

   Где m – число внутрисезонных периодов (например, 12 для месяцев).

3. Определение индекса сезонности для каждого периода (Индекс_ср,j). Индекс рассчитывается как отношение среднего уровня для конкретного внутрисезонного периода к общей средней.

   Индексср,j = Среднееср,j / Среднееср,0 = (Σi=1n Yij / n) / (Σi=1n Σj=1m Yij / (n ⋅ m))

   Индекс сезонности, выраженный в процентах (Индекс_ср,j * 100%), показывает, насколько средний уровень данного периода выше или ниже общей среднегодовой нормы. Сумма индексов сезонности (в долях единицы) за все m периодов должна быть равна m (или 1200% для 12 месяцев).

Метод аналитического выравнивания (переменной средней) для расчета индексов сезонности

В отличие от метода постоянной средней, **метод аналитического выравнивания (переменной средней)** применяется тогда, когда ряд динамики демонстрирует **явный тренд** — устойчивую долгосрочную тенденцию к росту или снижению показателя. Игнорирование такого тренда при расчете сезонности может привести к искажению результатов, так как сезонные колебания будут накладываться на общую тенденцию.

Алгоритм расчета индексов сезонности методом аналитического выравнивания более сложен и включает следующие этапы:

1. Выявление общей тенденции развития (тренда). Это ключевой шаг. Для этого строится аналитическая функция (уравнение тренда), которая наилучшим образом описывает динамику ряда. Наиболее распространенные формы тренда:
   • Линейная функция: Y_t = a + bt
   • Полиномиальная функция: Y_t = a + bt + ct² + …
   • Экспоненциальная функция: Y_t = e^{(a + bt)}

   Параметры этих функций (a, b, c и т.д.) обычно определяются с помощью **метода наименьших квадратов (МНК)**. МНК минимизирует сумму квадратов отклонений фактических значений от значений, предсказанных моделью тренда, тем самым находя наиболее «подходящую» линию или кривую.

2. Расчет теоретических (выравненных) значений (Ŷ_ij). После определения уравнения тренда, мы подставляем в него значения времени (t) для каждого внутрисезонного периода (месяца/квартала) каждого года, чтобы получить «очищенные» от сезонности значения. Эти значения Ŷ_ij представляют собой уровень показателя, который был бы достигнут в данный период, если бы не было сезонных колебаний, но при сохранении общей тенденции.
3. Расчет частного индекса сезонности для каждого периода (Индекс_ч,ij). Для каждого периода каждого года рассчитывается частный индекс сезонности как отношение фактического значения к соответствующему выравненному (теоретическому) значению:

   Индексч,ij = Yij / Ŷij

   Этот частный индекс показывает, насколько фактическое значение в i-м году j-го периода отклоняется от уровня, предсказанного трендом.

4. Определение средних индексов сезонности (Индекс_ср,j). Чтобы выявить устойчивую сезонную волну, мы усредняем частные индексы сезонности для каждого одноименного внутрисезонного периода за все годы наблюдения. Чаще всего используется средняя арифметическая:

   Индексср,j = (1/n) ⋅ Σi=1n (Yij / Ŷij)

   Эти средние индексы сезонности Индекс_ср,j и составляют модель сезонной волны, показывая типичное отклонение каждого месяца (квартала) от трендовой линии. Сумма индексов сезонности (в долях единицы) за все m периодов также должна быть равна m.

Индексы сезонности, рассчитанные одним из этих методов, позволяют количественно оценить характер внутригодовых изменений, выявить устойчивые закономерности, прогнозировать будущие значения с учетом сезонных колебаний и, что наиболее важно, эффективно планировать деятельность, корректируя ее с учетом сезонной специфики.

Методика расчета и пошаговое решение задачи по индексам сезонности

Рассмотрим условные данные о ежемесячном количестве зарегистрированных правонарушений в одном из районов города за три года (2022-2024 гг.). Предположим, что в этих данных отсутствует ярко выраженный тренд (например, общее количество правонарушений стабильно из года в год), поэтому мы будем использовать **метод постоянной средней**.

Исходные данные: Количество зарегистрированных правонарушений по месяцам

Месяц	2022	2023	2024
Январь	85	90	88
Февраль	80	85	82
Март	95	100	97
Апрель	105	110	108
Май	120	125	122
Июнь	130	135	132
Июль	140	145	142
Август	135	140	138
Сентябрь	115	120	118
Октябрь	100	105	103
Ноябрь	90	95	92
Декабрь	80	85	83

Пошаговый расчет индексов сезонности методом постоянной средней:

1. Расчет среднего уровня показателя для каждого месяца за 3 года (Среднее_ср,j):
   • Январь: (85 + 90 + 88) / 3 = 263 / 3 ≈ 87,67
   • Февраль: (80 + 85 + 82) / 3 = 247 / 3 ≈ 82,33
   • Март: (95 + 100 + 97) / 3 = 292 / 3 ≈ 97,33
   • Апрель: (105 + 110 + 108) / 3 = 323 / 3 ≈ 107,67
   • Май: (120 + 125 + 122) / 3 = 367 / 3 ≈ 122,33
   • Июнь: (130 + 135 + 132) / 3 = 397 / 3 ≈ 132,33
   • Июль: (140 + 145 + 142) / 3 = 427 / 3 ≈ 142,33
   • Август: (135 + 140 + 138) / 3 = 413 / 3 ≈ 137,67
   • Сентябрь: (115 + 120 + 118) / 3 = 353 / 3 ≈ 117,67
   • Октябрь: (100 + 105 + 103) / 3 = 308 / 3 ≈ 102,67
   • Ноябрь: (90 + 95 + 92) / 3 = 277 / 3 ≈ 92,33
   • Декабрь: (80 + 85 + 83) / 3 = 248 / 3 ≈ 82,67
2. Расчет общей средней по всем месяцам за 3 года (Среднее_ср,0):
   • Сумма всех правонарушений за 3 года:
     ΣY_ij = (85+…+80) + (90+…+85) + (88+…+83) = 1255 + 1300 + 1275 = 3830
   • Общее количество наблюдений: n ⋅ m = 3 года ⋅ 12 месяцев = 36
   • Среднее_ср,0 = 3830 / 36 ≈ 106,39
3. Определение индекса сезонности для каждого месяца (Индекс_ср,j):
   • Январь: 87,67 / 106,39 ≈ 0,8240 (или 82,40%)
   • Февраль: 82,33 / 106,39 ≈ 0,7738 (или 77,38%)
   • Март: 97,33 / 106,39 ≈ 0,9148 (или 91,48%)
   • Апрель: 107,67 / 106,39 ≈ 1,0120 (или 101,20%)
   • Май: 122,33 / 106,39 ≈ 1,1500 (или 115,00%)
   • Июнь: 132,33 / 106,39 ≈ 1,2438 (или 124,38%)
   • Июль: 142,33 / 106,39 ≈ 1,3379 (или 133,79%)
   • Август: 137,67 / 106,39 ≈ 1,2939 (или 129,39%)
   • Сентябрь: 117,67 / 106,39 ≈ 1,1060 (или 110,60%)
   • Октябрь: 102,67 / 106,39 ≈ 0,9650 (или 96,50%)
   • Ноябрь: 92,33 / 106,39 ≈ 0,8678 (или 86,78%)
   • Декабрь: 82,67 / 106,39 ≈ 0,7770 (или 77,70%)

Проверка: Сумма индексов сезонности должна быть равна количеству периодов (12).
ΣИндекс_ср,j = 0,8240 + 0,7738 + 0,9148 + 1,0120 + 1,1500 + 1,2438 + 1,3379 + 1,2939 + 1,1060 + 0,9650 + 0,8678 + 0,7770 = 12,268 ≈ 12 (небольшое расхождение из-за округлений).

Экономическое значение и графическое представление сезонной волны

Полученные индексы сезонности имеют глубокое экономическое и управленческое значение. Они позволяют нам не просто констатировать факт изменений, но и понять их типичную картину, выявить устойчивые закономерности внутригодовых колебаний.

Интерпретация индексов сезонности:

• Индексы > 1 (или > 100%) показывают месяцы, в которых количество правонарушений в среднем выше среднегодового уровня. В нашем случае это Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь. Пиковые значения приходятся на летние месяцы (Июль – 133,79%, Июнь – 124,38%, Август – 129,39%), что вполне логично: в теплое время года люди больше времени проводят вне дома, увеличивается социальная активность, что может приводить к росту некоторых видов правонарушений.
• Индексы < 1 (или < 100%) указывают на месяцы, когда количество правонарушений ниже среднегодового уровня. Это Январь, Февраль, Март, Октябрь, Ноябрь, Декабрь. Самые низкие значения наблюдаются в Феврале (77,38%) и Декабре (77,70%), что может быть связано с погодными условиями, снижением активности населения и праздничными периодами.

Эта «модель сезонной волны» является ценным инструментом для правоохранительных органов. Она позволяет:

1. Прогнозировать будущие уровни правонарушений с учетом сезонной специфики.
2. Планировать распределение ресурсов: усиление патрулирования, оперативно-розыскных мероприятий в пиковые месяцы (лето) и перераспределение личного состава в периоды спада.
3. Разрабатывать превентивные меры: целевые программы по предотвращению правонарушений с учетом сезонных рисков.

Графическое представление сезонной волны:

Для наглядной демонстрации выявленных сезонных закономерностей используются различные методы графического представления. Основные принципы графического представления включают наглядность, информативность, простоту восприятия, соответствие типу данных и цели анализа, а также адаптацию к целевой аудитории.

В нашем случае, для отображения сезонных колебаний правонарушений, наиболее подходящими являются:

1. Линейный график: Он эффективно отображает изменения данных во времени, выявляет тенденции и сезонные колебания, позволяя увидеть общее направление изменений, периоды роста и спада. На горизонтальной оси откладываются месяцы, на вертикальной – индексы сезонности.
2. Радиальная (сетчатая) диаграмма: Этот тип диаграммы особенно хорошо подходит для изображения циклического или ритмического движения во времени, такого как сезонность. Она строится в полярных координатах, где каждый луч соответствует месяцу, а расстояние от центра — значению индекса сезонности. На радиальной диаграмме отклонения многоугольника от центрального круга (соответствующего 100% или средней) наглядно показывают месяцы с пиковыми значениями (выступы) и месяцы со спадами (впадины). Например, летние месяцы будут представлены лучами с большим удалением от центра, а зимние — с меньшим. Это позволяет сразу визуально определить, какие периоды являются более или менее «криминально активными» относительно среднегодового уровня. С помощью каких графических инструментов или программ можно построить такую диаграмму эффективно?

Таким образом, графическое представление не только делает результаты анализа более доступными для восприятия, но и усиливает их информативность, позволяя быстрее и точнее донести ключевые выводы до лиц, принимающих решения.

Задача 3: Расчет сводных индексов и анализ влияния изменения цен на покупательную способность

Понятие и виды сводных индексов

В экономическом анализе часто возникает необходимость оценить общее изменение сложного, многокомпонентного явления, когда его отдельные элементы напрямую несоизмеримы. Например, как измерить общее изменение товарооборота, если цены и объемы продаж десятков или сотен товаров меняются по-разному? Для решения таких задач используется сводный (агрегатный, общий) индекс. Это величина, которая отражает относительное изменение всей совокупности разнородных элементов, представляя собой среднее изменение во времени или пространстве.

Сводные индексы играют центральную роль в экономическом анализе, выполняя несколько ключевых функций:

• Оценка общего изменения: Они позволяют понять, как изменился сложный показатель в целом (например, товарооборот, стоимость произведенной продукции) от одного периода к другому.
• Определение влияния факторов: Благодаря специальным методам построения, сводные индексы позволяют разложить общее изменение на составляющие и определить, какая часть этого изменения обусловлена изменением цен, а какая — изменением физического объема или других факторов.
• Сравнение: Они служат основой для сравнения динамики экономических показателей между различными регионами, отраслями или странами.

Среди наиболее часто используемых сводных индексов в экономической статистике выделяют индексы товарооборота, цен и физического объема реализации.

Сводный индекс товарооборота

Сводный индекс товарооборота (I_pq) является отправной точкой для анализа. Он характеризует изменение общей стоимости реализованных товаров по группе товаров в текущем (отчетном) периоде по сравнению с базисным. Важно отметить, что на его величину влияют как изменение цен, так и изменение физического объема реализации. То есть, рост товарооборота может быть вызван как увеличением количества проданных товаров, так и повышением их цен.

Формула сводного индекса товарооборота выглядит так:

Ipq = (Σp1q1) / (Σp0q0)

Где:

• p₁ – цена товара в отчетном периоде
• q₁ – количество товара в отчетном периоде
• p₀ – цена товара в базисном периоде
• q₀ – количество товара в базисном периоде

Экономический смысл сводного индекса товарооборота заключается в отражении общего изменения денежной выручки от реализации продукции. Если I_pq > 1, это означает, что товарооборот увеличился; если I_pq < 1, товарооборот уменьшился.

Сводный индекс цен

Сводный индекс цен (I_p) предназначен для оценки изменения только цен, исключая влияние изменения физического объема реализации. Для его расчета количество проданных товаров (или «веса» индекса) фиксируется на каком-либо постоянном уровне. В зависимости от того, какой период выбран для фиксации объемов, используются две основные формы индекса цен: Ласпейреса и Пааше.

1. Индекс цен Пааше (I_p^Пааше): Использует объемы отчетного периода (q₁) в качестве весов.

   IpПааше = (Σp1q1) / (Σp0q1)

   Экономический смысл: Числитель данного индекса представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за приобретенные в текущем периоде товары. Знаменатель показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары (в тех же количествах текущего периода), если бы цены сохранились на базисном уровне. Таким образом, соотношение этих двух категорий отражает изменение цен на фактически реализованный объем товаров.

   Обоснование использования формулы Ласпейреса в отечественной статистике:
   Исторически, в отечественной практике для расчета индексов качественных показателей (таких как цены) изначально часто использовалась формула Пааше. Однако, начиная с 1990-х годов (в частности, с 1991 года), органы государственной статистики России для определения общего уровня цен на товары и услуги стали отдавать предпочтение формуле Ласпейреса. Причина этого изменения обусловлена практической сложностью сбора и обработки значительных объемов информации по весам отчетного периода (q₁), необходимой для формулы Пааше. Сбор данных о количестве товаров, проданных в текущем периоде, для широкого круга товаров является трудоемкой задачей. Формула Ласпейреса, использующая базисные веса (q₀), оказалась более удобной для регулярных расчетов из-за относительной стабильности базисных весов. Формула Ласпейреса также широко используется в зарубежной статистике.

2. Индекс цен Ласпейреса (I_p^{Ласпейреса}): Использует объемы базисного периода (q₀) в качестве весов.

   IpЛаспейреса = (Σp1q0) / (Σp0q0)

   Экономический смысл: Он показывает, насколько изменилась бы стоимость базисной потребительской корзины, если бы цены изменились с базисного на отчетный период.

Сводный индекс физического объема реализации

Сводный индекс физического объема реализации (I_q) характеризует изменение физической массы (количества) продукции, исключая влияние изменения цен. Для его расчета цены фиксируются на постоянном уровне базисного периода, что позволяет оценить изменение количества товаров «очищенным» от ценовых колебаний. В отечественной практике для расчета индексов количественных показателей (таких как физический объем) чаще используют формулу Ласпейреса.

Формула сводного индекса физического объема реализации (Ласпейреса):

Iq = (Σp0q1) / (Σp0q0)

Где:

• q₁ – количество товара в отчетном периоде
• q₀ – количество товара в базисном периоде
• p₀ – цена товара в базисном периоде

Экономический смысл сводного индекса физического объема реализации состоит в отражении изменения количества реализованной продукции при постоянных ценах базисного периода. Если I_q > 1, это означает увеличение физического объема реализации; если I_q < 1, физический объем уменьшился.

Взаимосвязь сводных индексов и факторный анализ

Одной из наиболее важных аналитических возможностей сводных индексов является их взаимосвязь, позволяющая проводить факторный анализ. Между сводными индексами товарооборота, цен и физического объема реализации существует фундаментальное тождество:

Ipq = Ip ⋅ Iq

Эта формула позволяет разложить общее изменение товарооборота на влияние двух факторов: изменения цен и изменения физического объема.

• Изменение товарооборота за счет изменения цен: ΔTO_p = Σp₁q₁ — Σp₀q₁
• Изменение товарооборота за счет изменения физического объема: ΔTO_q = Σp₀q₁ — Σp₀q₀

Сумма этих абсолютных приростов дает общее изменение товарооборота:

ΔTO = ΔTOp + ΔTOq = (Σp1q1 - Σp0q1) + (Σp0q1 - Σp0q0) = Σp1q1 - Σp0q0

Это тождество является основой для так называемого **метода цепных подстановок** в индексном анализе, который позволяет последовательно определить влияние каждого фактора на общее изменение сложного явления.

Методика расчета и пошаговое решение задачи по сводным индексам

Представим условные данные о реализации трех видов товаров (A, B, C) в базисном (0) и отчетном (1) периодах.

Исходные данные:

Товар	p0 (руб.)	q0 (ед.)	p1 (руб.)	q1 (ед.)
A	100	200	110	220
B	150	150	160	140
C	80	300	90	310

Пошаговый расчет сводных индексов:

1. Расчет необходимых промежуточных показателей:
   • Базисный товарооборот (Σp₀q₀):
     Σp0q0 = (100 * 200) + (150 * 150) + (80 * 300) = 20000 + 22500 + 24000 = 66500 руб.
   • Отчетный товарооборот (Σp₁q₁):
     Σp1q1 = (110 * 220) + (160 * 140) + (90 * 310) = 24200 + 22400 + 27900 = 74500 руб.
   • Условный товарооборот текущего периода по ценам базисного периода (Σp₀q₁):
     Σp0q1 = (100 * 220) + (150 * 140) + (80 * 310) = 22000 + 21000 + 24800 = 67800 руб.
   • Условный товарооборот базисного периода по ценам отчетного периода (Σp₁q₀): (Этот показатель нужен для индекса цен Ласпейреса)
     Σp1q0 = (110 * 200) + (160 * 150) + (90 * 300) = 22000 + 24000 + 27000 = 73000 руб.
2. Расчет сводного индекса товарооборота (I_pq):
   Ipq = 74500 / 66500 ≈ 1,1203

   Вывод: Товарооборот увеличился на 12,03%. Сравните этот рост с сезонными колебаниями – насколько общий тренд отличается от внутригодовых изменений?

3. Расчет сводного индекса цен (I_p):
   • Используем формулу Пааше:
     Ip = 74500 / 67800 ≈ 1,0988
   • Используем формулу Ласпейреса:
     IpЛаспейреса = 73000 / 66500 ≈ 1,0977

   Вывод: Цены в отчетном периоде по сравнению с базисным выросли на 9,88% (по Пааше) или на 9,77% (по Ласпейресу). Небольшое различие между индексами Ласпейреса и Пааше часто наблюдается и является нормальным. Для дальнейшего факторного анализа мы будем использовать индекс Пааше, поскольку он основан на объёмах текущего периода, что позволяет более точно отследить влияние цен на фактически реализованный товарооборот.

4. Расчет сводного индекса физического объема реализации (I_q):
   Iq = 67800 / 66500 ≈ 1,0195

   Вывод: Физический объем реализации товаров увеличился на 1,95%.

5. Проверка взаимосвязи индексов:
   Ip * Iq = 1,0988 * 1,0195 ≈ 1,1202

   Это очень близко к I_pq = 1,1203 (небольшое расхождение из-за округлений). Тождество соблюдается.

Анализ влияния изменения цен на покупательную способность и расчет перерасхода покупателей

Покупательная способность — это фундаментальный экономический показатель, который отражает, какое количество товаров и услуг среднестатистический потребитель может приобрести на определенную сумму денег при существующем уровне цен. Она обратно пропорциональна количеству валюты, необходимой для покрытия фиксированной потребительской корзины. Иными словами, чем выше покупательная способность, тем больше товаров можно купить на ту же сумму.

На покупательную способность влияют множество факторов:

• Уровень доходов населения: Чем выше доходы, тем выше потенциальная покупательная способность.
• Уровень цен и тарифов: Рост цен снижает покупательную способность.
• Инфляция/дефляция: Падение покупательной способности валюты называется инфляцией, а рост — дефляцией.
• Экономический рост: Влияет на доходы и занятость.
• Демографическая обстановка, социально-политические особенности, эффективность государственного управления, фискальное напряжение предприятий, цены на энергоносители — все это косвенно или напрямую сказывается на доходах и ценах.

Индекс потребительских цен (ИПЦ), рассчитываемый Росстатом, является ключевым показателем для измерения покупательной способности.

Расчет величины перерасхода покупателей от роста цен:

Помимо относительных изменений, важно оценить и абсолютное влияние ценовых изменений на бюджет покупателей. **Величина перерасхода покупателей от роста цен** определяется как разность между суммой, фактически уплаченной за товары в отчетном периоде, и суммой, которую покупатели заплатили бы за то же количество товаров по ценам базисного периода. Этот показатель демонстрирует, сколько дополнительных денежных средств пришлось потратить потребителям исключительно из-за повышения цен, при условии, что они приобрели тот же объем товаров, что и в отчетном периоде.

Формула расчета перерасхода:

Перерасход = Σp1q1 - Σp0q1

Где:

• Σp₁q₁ — фактический товарооборот текущего периода
• Σp₀q₁ — условный товарооборот текущего периода по ценам базисного периода

Экономический смысл перерасхода покупателей заключается в демонстрации абсолютного изменения денежных затрат покупателей, вызванного исключительно изменением цен, при неизменном объеме потребления. Это по сути финансовая «цена» инфляции для потребителей на данном объеме товаров.

Пошаговый расчет перерасхода покупателей на основе данных задачи:

Из наших расчетов промежуточных показателей у нас есть:

• Σp₁q₁ (фактический товарооборот текущего периода) = 74500 руб.
• Σp₀q₁ (условный товарооборот текущего периода по ценам базисного периода) = 67800 руб.

Применяем формулу:

Перерасход = 74500 - 67800 = 6700 руб.

Вывод:
В отчетном периоде покупатели перерасходовали 6700 рублей исключительно из-за роста цен на товары A, B и C, по сравнению с тем, если бы цены остались на уровне базисного периода, при сохранении объемов покупок текущего периода. Это означает, что для приобретения того же объема товаров, что и в отчетном периоде, потребителям потребовалось на 6700 рублей больше средств из-за ценовых изменений. Этот перерасход напрямую свидетельствует о снижении покупательной способности населения в абсолютном выражении.

Таким образом, комплексный анализ сводных индексов позволяет не только оценить общую динамику товарооборота и факторов, влияющих на нее, но и дать количественную оценку воздействия ценовых изменений на финансовое положение потребителей, что является критически важным для формирования экономической политики и социальной защиты населения.

Заключение

Выполнение данной контрольной работы позволило глубоко погрузиться в мир статистического анализа, продемонстрировав не только знание методологии, но и умение применять ее для решения конкретных социально-экономических задач. Каждая из трех рассмотренных задач представила уникальный аспект прикладной статистики, подтверждая ее незаменимость в современном мире.

В первой задаче, посвященной анализу таблиц сопряженности, мы освоили тонкости использования коэффициентов ассоциации и контингенции для оценки связи между качественными признаками. Мы увидели, как коэффициент ассоциации Юла (K_а) и коэффициент контингенции Юла (K_к) позволяют количественно измерить тесноту и направление связи, а также поняли критическую важность выбора подходящего коэффициента, особенно при наличии нулевых значений в таблице «четырех полей», где K_к демонстрирует большую надежность. Анализ показал, что, хотя высшее образование и связано со снижением вероятности мелких правонарушений, эта связь не является доминирующей, что требует дальнейшего многофакторного исследования.

Вторая задача, посвященная **индексам сезонности**, раскрыла методику выявления и количественной оценки внутригодовых колебаний. Мы рассмотрели два ключевых метода – постоянной средней и аналитического выравнивания, каждый из которых применим в зависимости от наличия или отсутствия тренда в динамическом ряду. На примере анализа правонарушений мы рассчитали индексы сезонности, выявив устойчивые закономерности роста активности в летние месяцы и спада в зимние. Это подчеркнуло практическое значение индексов сезонности для прогнозирования, планирования ресурсов и разработки целенаправленных превентивных мер. Эффективное графическое представление сезонной волны с помощью линейных и радиальных диаграмм показало, как визуализация данных усиливает их информативность и облегчает восприятие для принятия управленческих решений.

Наконец, третья задача, касающаяся **сводных индексов и анализа покупательной способности**, продемонстрировала мощь индексного метода в комплексном экономическом анализе. Мы рассчитали сводные индексы товарооборота, цен и физического объема реализации, а также использовали метод цепных подстановок для факторного анализа, выявив, как изменения цен и объемов влияют на общий товарооборот. Особое внимание было уделено обоснованию использования формулы Ласпейреса в отечественной статистике. Кроме того, мы детально проанализировали понятие покупательной способности и рассчитали величину перерасхода покупателей от роста цен, показав абсолютное снижение их финансового благосостояния.

Таким образом, выполненные задачи не только подтверждают владение студентом Университета МВД базовыми статистическими инструментами, но и демонстрируют глубокое понимание их экономического смысла и практического применения. Статистический анализ, как показала эта работа, является не просто набором формул, а комплексным подходом к осмыслению реальности, позволяющим принимать обоснованные, дальновидные решения в условиях постоянно меняющегося социально-экономического ландшафта. Корректная интерпретация данных и осознание ограничений каждого метода являются залогом эффективности любого анализа.

Список использованной литературы

1. Общая теория статистики. Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник / Под ред. проф. А.А. Спирина и проф. О.Э. Башиной. М.: Финансы и статистика, 2003.
2. Статистика коммерческой деятельности: Учебник / Под ред. проф. О.Э. Башиной и проф. И.К. Беляевского. М.: Финстатинформ, 1996.
3. Статистика рынка товаров и услуг: Учебник / И.К. Беляевский, Г.Д. Кулагина, А.В. Короткое и др. под ред. И.К. Беляевского. М.: Финансы и статистика, 2002.
4. Экономика и статистика фирм: Учебник / В.Е. Адамов, С.Д. Ильенкова, Т.П. Сиротина и др.: Под ред. проф. С.Д. Ильенковой. М.: Финансы и статистика, 2003.
5. Аллен Р. Экономические индексы / Пер. с англ. М.: Статистика, 1980.
6. Кевеш П. Теория индексов и практика экономического анализа / Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1990.
7. Назаров М.Г. Курс социально-экономической статистики: Учебник. 5-е изд., перераб. и доп. М.: Омега-Л, 2006.
8. Дудин М. Н., Лясников Н. В., Лезина М. Л. Статистика: учебник и практикум для вузов.
9. Крылов, В. Е., Муравьева, Н. В. Общая теория статистики: учеб. пособие. ВлГУ, 2020.
10. УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК — Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Г.Л. Громыко, 2-е изд. М.: ИНФРА-М, 2005.
11. Основы теории статистики: учебное пособие / УрФУ.
12. 4.3. Расчет индивидуальных и сводных индексов цен. КонсультантПлюс. URL: https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_243501/7187e1457813e3b79140d210dfa31b26850d9904/ (дата обращения: 11.10.2025).
13. Покупательная способность. Росстат. URL: https://rosstat.gov.ru/storage/mediabank/PS_Method.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
14. Коэффициент ассоциации. Циклопедия. URL: https://cyclowiki.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 11.10.2025).
15. Сезонные колебания. Индексы сезонности. Метод постоянной средней. Planetcalc.ru. URL: https://planetcalc.ru/6401/ (дата обращения: 11.10.2025).
16. Индексы сезонности онлайн. 100task.ru. URL: https://100task.ru/index-sezonnosti-online/ (дата обращения: 11.10.2025).
17. Коэффициенты ассоциации и контингенции. 100task.ru. URL: https://100task.ru/koeffitsienty-assotsiatsii-i-kontingentsii/ (дата обращения: 11.10.2025).
18. Как рассчитать индексы сезонности и пики в Excel? 4analytics.ru. URL: https://4analytics.ru/sezonnost/kak-rasschitat-indeksy-sezonnosti-i-piki-v-excel.html (дата обращения: 11.10.2025).
19. Изучение связи качественных признаков (ассоциации, контингенции). Stat-ist.ru. URL: https://stat-ist.ru/korelyatsiya-i-regressiya/izuchenie-svyazi-kachestvennykh-priznakov-assotsiatsii-kontingentsii/ (дата обращения: 11.10.2025).
20. Статистика. Лекция 9: Ряды динамики в статистике. ИНТУИТ. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/60/60/lecture/2157 (дата обращения: 11.10.2025).
21. Покупательная способность, как он связан с уровнем жизни и ВВП. Rusbase. URL: https://rb.ru/news/ppp-and-living-standards/ (дата обращения: 11.10.2025).
22. Покупательная способность населения. Финэксперт. URL: https://finexpert.ru/article/pokupatelnaya-sposobnost-naseleniya (дата обращения: 11.10.2025).
23. Что такое покупательная способность — что это такое простыми словами. Investfunds.ru. URL: https://www.investfunds.ru/glossary/pokupatelnaya-sposobnost/ (дата обращения: 11.10.2025).
24. Какие виды диаграмм подходят для анализа сезонных колебаний? Sky.pro. URL: https://sky.pro/media/kakie-vidy-diagramm-podhodyat-dlya-analiza-sezonnyh-kolebanij/ (дата обращения: 11.10.2025).
25. Диаграммы и графики: как выбрать правильную визуализацию данных. Yandex Cloud. URL: https://cloud.yandex.ru/docs/tutorials/analytics/visualize-data (дата обращения: 11.10.2025).
26. Статистическое изучение сезонных колебаний — Теория статистики. Bstudy.net. URL: https://bstudy.net/60908/statisticheskoe_izuchenie_sezonnyh_kolebaniy (дата обращения: 11.10.2025).
27. Агрегатный (сводный) индекс товарооборота. Studref.com. URL: https://studref.com/495287/ekonomika/agregatnyy_svodnyy_indeks_tovarooborota (дата обращения: 11.10.2025).
28. Сводные индексы. Einsteins.ru. URL: https://www.einsteins.ru/referats/item/772-svodnye-indeksy (дата обращения: 11.10.2025).
29. Коэффициенты ассоциации и контингенции — Применение метода корреляции в анализе. Studbooks.net. URL: https://studbooks.net/1449495/ekonomika/koeffitsienty_assotsiatsii_kontingentsii (дата обращения: 11.10.2025).