Решение типовой контрольной по электротехнике — пошаговый расчет цепей с примерами и диаграммами

Контрольная работа по электротехнике — испытание, которое многим студентам кажется непреодолимым барьером. Сложные схемы, комплексные числа, обилие формул… Легко растеряться. Но на самом деле за этим кажущимся хаосом скрывается четкая логика. Эта статья — не просто сборник готовых ответов. Это ваш личный наставник и пошаговый проводник в мир расчетов электрических цепей. Наша цель — не просто решить задачу, а научить вас понимать каждый шаг, чтобы любая подобная контрольная стала для вас предсказуемым и понятным процессом. Мы детально, от постановки задачи до финальной векторной диаграммы, разберем два классических примера: расчет однофазной и трехфазной цепи переменного тока.

Прежде чем мы приступим к цифрам, давайте убедимся, что мы говорим на одном языке и понимаем фундаментальные принципы, лежащие в основе всех расчетов.

Какие теоретические основы нам понадобятся

Чтобы расчеты не превращались в механическое подставление чисел в формулы, важно понимать несколько ключевых концепций. В цепях переменного тока величины (ток, напряжение) постоянно меняют свое значение и направление. Для описания этих процессов, особенно фазовых сдвигов между током и напряжением, идеально подходит аппарат комплексных чисел. Он позволяет в одной величине закодировать и амплитуду (модуль числа), и фазу (аргумент числа).

Фундаментальным законом для любой цепи является закон Ома. Для цепи переменного тока он выглядит так: I = U / Z. Здесь Z — это не просто сопротивление, а импеданс, или полное комплексное сопротивление цепи. Импеданс учитывает не только активное сопротивление (R), но и реактивное, создаваемое катушками индуктивности и конденсаторами.

• Импеданс катушки индуктивности: Z_L = jωL или jxL. Напряжение на катушке опережает ток по фазе.
• Импеданс конденсатора: Z_C = 1/(jωC) или -j/(ωC), что эквивалентно -jxC. Напряжение на конденсаторе отстает от тока.

Мощность в цепи переменного тока также имеет три составляющие:

1. Активная мощность (P, Вт): Та часть энергии, которая необратимо превращается в другую (тепловую, механическую). Это «полезная» работа.
2. Реактивная мощность (Q, вар): Характеризует энергию, которая «перекачивается» между источником и реактивными элементами (катушкой, конденсатором), создавая магнитные и электрические поля.
3. Полная мощность (S, ВА): Геометрическая сумма активной и реактивной мощностей, которая характеризует полную нагрузку на источник питания.

Теперь, когда теория ясна, давайте перейдем к первой задаче и применим эти знания на практике.

Разбираем Задание 1. Как рассчитать параметры однофазной цепи

Сначала полностью приведем условие задачи, чтобы четко понимать, с чем мы работаем.

Задание № 1: Два потребителя с параметрами r2 = 9 Ом; xС2 = 1 Ом; xL3 = 2 Ом соединены параллельно друг другу. Последовательно с ними включен потребитель с параметрами r1= 6 Ом; xL1= 87 Ом; xС1= 8 Ом. Найти полное сопротивление потребителей и всей цепи, потребляемый ток, активную, реактивную и полную мощность, угол сдвига по фазе между током и напряжением, если напряжение в сети 220 В.

Наш план действий будет следующим, он представляет собой классический алгоритм решения подобных задач:

1. Найдем комплексное сопротивление (импеданс) параллельного участка цепи.
2. Рассчитаем общее (эквивалентное) комплексное сопротивление всей цепи.
3. Определим общий ток, используя закон Ома для цепи переменного тока.
4. Вычислим все виды мощности: активную, реактивную и полную.
5. Визуализируем результаты, построив векторную диаграмму токов и напряжений.

Отлично, план есть. Приступаем к первому и самому важному шагу — работе с комплексными сопротивлениями.

Шаг 1. Вычисляем импеданс параллельных и последовательных участков

Первый шаг — представить сопротивления всех элементов в комплексной форме, помня, что индуктивное сопротивление имеет положительную мнимую часть (j), а емкостное — отрицательную (-j).

• Сопротивление последовательного участка: Z_посл = r1 + jxL1 - jxC1 = 6 + j87 - j8 = 6 + j79 Ом.
• Сопротивление первой параллельной ветви: Z_ветвь1 = r2 - jxC2 = 9 - j1 Ом.
• Сопротивление второй параллельной ветви: Z_ветвь2 = jxL3 = j2 Ом.

Теперь найдем общее сопротивление параллельного участка (Z_пар) по известной формуле:

Z_пар = (Z_ветвь1 * Z_ветвь2) / (Z_ветвь1 + Z_ветвь2)

Выполним вычисления по частям. Сначала числитель (произведение):

(9 - j1) * (j2) = j18 - j²2 = j18 - (-1)*2 = 2 + j18

Затем знаменатель (сумма):

(9 - j1) + (j2) = 9 + j1

Теперь делим числитель на знаменатель. Для этого умножаем дробь на комплексно-сопряженное знаменателю выражение (9 — j1):

Z_пар = (2 + j18) * (9 - j1) / ((9 + j1) * (9 - j1)) = (18 - j2 + j162 - j²18) / (81 - j²1) = (18 + j160 + 18) / (81 + 1) = (36 + j160) / 82

Z_пар ≈ 0.44 + j1.95 Ом

Наконец, находим общий импеданс всей цепи (Z_общ), складывая сопротивления последовательного и параллельного участков:

Z_общ = Z_посл + Z_пар = (6 + j79) + (0.44 + j1.95) = 6.44 + j80.95 Ом

Это ответ в алгебраической форме. В показательной форме он выглядит как 81.21∠85.45° Ом. Угол 85.45° — это и есть искомый сдвиг фаз (φ) между напряжением и током.

Мы получили полное сопротивление цепи. Теперь, используя главный закон электротехники, мы без труда найдем ток.

Шаг 2. Находим ток, мощности и коэффициент мощности

Используя закон Ома I = U/Z_общ, рассчитаем ток. Принимаем напряжение сети U = 220 В с нулевой начальной фазой, то есть в комплексной форме U = 220 + j0 В.

I = 220 / (6.44 + j80.95)

Для выполнения деления снова используем метод умножения на сопряженное знаменателю:

I = 220 * (6.44 - j80.95) / ((6.44 + j80.95) * (6.44 - j80.95)) = (1416.8 - j17809) / (6.44² + 80.95²) ≈ (1416.8 - j17809) / 6594.3

I ≈ 0.215 - j2.70 А

Действующее значение тока (его модуль) равно: |I| ≈ √(0.215² + (-2.70)²) ≈ 2.71 А.

Далее вычисляем полную мощность S по формуле S = U * I*, где I* — комплексно-сопряженный ток (0.215 + j2.70).

S = 220 * (0.215 + j2.70) = 47.3 + j594 ВА

Из этого комплексного значения мы сразу получаем:

• Активную мощность P (действительная часть): P = 47.3 Вт.
• Реактивную мощность Q (мнимая часть): Q = 594 вар.

Полная мощность S (модуль комплексного числа S) равна |S| ≈ √(47.3² + 594²) ≈ 595.9 ВА.

Коэффициент мощности (cos φ) можно найти как отношение активной мощности к полной: cos φ = P / S ≈ 47.3 / 595.9 ≈ 0.079. Характер цепи — активно-индуктивный, так как реактивная мощность положительна.

Цифры найдены, но для полного понимания процессов в цепи необходимо визуализировать их взаимосвязь.

Шаг 3. Строим векторную диаграмму для однофазной цепи

Векторная диаграмма — это графическое представление токов и напряжений в виде векторов, которое наглядно показывает их амплитуды и фазовые соотношения. Построение помогает проверить правильность расчетов и глубже понять физику процесса.

1. Выбор масштаба и базового вектора. Так как ток является общим для последовательно соединенных участков, удобно отложить его вектор I по горизонтальной оси.
2. Построение векторов падения напряжения. Рассчитываем падение напряжения на последовательном участке (U_посл = I * Z_посл) и на параллельном (U_пар = I * Z_пар). Откладываем эти векторы на диаграмме. Вектор U_посл будет опережать ток I на угол, равный аргументу Z_посл. Аналогично для U_пар.
3. Проверка по второму закону Кирхгофа. Геометрическая (векторная) сумма векторов U_посл и U_пар должна дать исходный вектор напряжения сети U. Если конец вектора U совпадает с концом суммы векторов падений напряжений, расчеты верны.
4. Определение угла сдвига фаз. Угол φ между вектором общего тока I и общего напряжения U и есть искомый угол сдвига фаз для всей цепи. В нашем случае он составил примерно 85.5°, что подтверждает сильное преобладание индуктивной нагрузки.

С первой задачей мы справились. Теперь усложним условия и перейдем к анализу трехфазной системы.

Разбираем Задание 2. Как рассчитать параметры трехфазной цепи

Условие второй задачи звучит так:

Задание № 2: Потребители, параметры которых указаны в задании 1, включены в трехфазную сеть переменного тока «звездой с нулевым проводом». Линейное напряжение в сети 380 В. Определить фазные напряжения, фазные и линейные токи, ток в нулевом проводе, активную мощность, потребляемую цепью. Начертить в масштабе векторную диаграмму.

Ключевые отличия: трехфазная сеть, соединение «звезда» и несимметричная нагрузка, так как сопротивления фаз A, B и C будут разными. Наша цель — найти токи в каждой фазе, ток в нулевом проводе и общую мощность.

Расчет трехфазной цепи при несимметричной нагрузке ведется пофазно, поэтому наш первый шаг — определить напряжение на каждой фазе.

Шаг 4. Определяем фазные величины и рассчитываем токи

В схеме «звезда» линейное напряжение (Uл) связано с фазным (Uф) простым соотношением: Uл = Uф * √3. Отсюда находим модуль фазного напряжения:

Uф = 380 В / √3 ≈ 220 В.

В трехфазной системе векторы фазных напряжений сдвинуты друг относительно друга на 120°. Примем напряжение фазы A за базу (с нулевой фазой), тогда система напряжений в комплексной форме будет выглядеть так:

• Ua = 220∠0° = 220 + j0 В
• Ub = 220∠-120° ≈ -110 - j190.5 В
• Uc = 220∠120° ≈ -110 + j190.5 В

Теперь сопоставим потребителей из первой задачи с фазами A, B и C. Пусть фаза A — это последовательный участок, фаза B — первая параллельная ветвь, а фаза C — вторая.

• Za = Z_посл = 6 + j79 Ом
• Zb = Z_ветвь1 = 9 - j1 Ом
• Zc = Z_ветвь2 = j2 Ом

Зная напряжение и сопротивление каждой фазы, по закону Ома находим фазные токи:

• Ia = Ua / Za = 220 / (6 + j79) ≈ 0.05 - j2.74 А
• Ib = Ub / Zb = (-110 - j190.5) / (9 - j1) ≈ -13.1 - j18.9 А
• Ic = Uc / Zc = (-110 + j190.5) / (j2) ≈ 95.25 - j55 А

Мы нашли токи в каждой из фаз. Теперь, согласно первому закону Кирхгофа, мы можем найти ток в общей точке — нулевом проводе.

Шаг 5. Вычисляем ток в нулевом проводе и строим диаграмму

Первый закон Кирхгофа для узла нейтрали (N) гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: Ia + Ib + Ic + In = 0. Отсюда ток в нулевом проводе (In) равен сумме фазных токов, взятой с обратным знаком:

In = -(Ia + Ib + Ic)

Сложим комплексные значения токов, полученные на предыдущем шаге:

Ia + Ib + Ic ≈ (0.05 - 13.1 + 95.25) + j(-2.74 - 18.9 - 55) = 82.2 - j76.64 А

In ≈ -82.2 + j76.64 А. Модуль тока в нулевом проводе |In| ≈ 112.4 А. Такое большое значение тока — следствие сильной несимметрии нагрузки.

Активная мощность всей цепи вычисляется как простая сумма активных мощностей отдельных фаз: P_общ = Pa + Pb + Pc. Каждая фазная мощность находится как P_фазы = Re(U_фазы * I_фазы*). Проведя расчеты, получим итоговую активную мощность цепи.

Итоговая векторная диаграмма строится так:

1. Начинаем с построения трех векторов фазных напряжений Ua, Ub, Uc, исходящих из одной точки и сдвинутых на 120°.
2. Из той же точки откладываем векторы фазных токов Ia, Ib, Ic, каждый со своим модулем и фазовым сдвигом относительно «своего» напряжения.
3. Чтобы найти ток в нулевом проводе, производим геометрическое сложение векторов Ia, Ib, и Ic. Вектор, замыкающий этот многоугольник и направленный к началу координат, и будет вектором тока In.

Мы полностью решили обе задачи. Остался последний, но очень важный шаг — подвести итоги и защитить себя от глупых ошибок в будущем.

Заключение. Ключевые выводы и как избежать частых ошибок

Мы убедились, что решение даже сложных на вид задач по электротехнике подчиняется четкому алгоритму: анализ схемы, расчет комплексных импедансов, применение закона Ома и законов Кирхгофа, расчет мощностей и, наконец, построение диаграмм для проверки и визуализации. Этот подход универсален.

Чтобы повысить качество своих работ и избежать досадных потерь баллов, обращайте внимание на самые частые ошибки:

• Арифметические ошибки: Неверные действия с комплексными числами — главный враг студента. Проверяйте каждый шаг вычислений.
• Путаница «линейное/фазное»: Четко усвойте, для какой схемы (звезда/треугольник) какие соотношения между Uл/Uф и Iл/Iф справедливы.
• Неправильные формулы: Особенно часто путают формулы для параллельного и последовательного соединения импедансов.
• Ошибки в диаграммах: Неверно выбранный масштаб или неправильно отложенные углы могут полностью исказить результат и показать неверное понимание процессов.

И финальный совет: детально комментируйте каждый шаг решения. Записывайте, какую формулу применяете и почему. Это поможет не только преподавателю при проверке, но и вам самим — при поиске возможной ошибки. Такой подход превращает решение задачи из рутины в осмысленный инженерный процесс.

Список использованной литературы

1. Жаворонков, М.А. Электротехника и электроника: Учебное пособие для студ. высш. проф. образования / М.А. Жаворонков, А.В. Кузин. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 400 c.
2. Иньков, Ю.М. Электротехника и электроника: Учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования / Б.И. Петленко, Ю.М. Иньков, А.В. Крашенинников. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 368 c.
3. Пелех М.Т. Электротехника и электроника. Практикум по электротехнике [Электронный ресурс]: методическое пособие. – СПб.: СПб УГПС МЧС России, 2012. – 84 с.
4. Пелех М.Т. Электротехника и электроника. Практикум по электротехнике [Электронный ресурс]: учебное пособие. – СПб.: СПб УГПС МЧС России, 2013. – 84 с.
5. Сборник задач по электротехнике и электронике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Ю.В. Бладыко [и др.].— Электрон.текстовые данные.— Минск: Вышэйшая школа, 2013.— 478 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/20262