В решении задач по физике правильный ответ — это лишь вершина айсберга. Гораздо важнее путь, который к нему привел. Многие студенты попадают в ловушку, пытаясь выучить десятки формул, но теряются, когда условие задачи немного отличается от шаблона. Проблема в том, что они пытаются запомнить «что», а не понять «почему». Настоящая цель обучения — и то, что проверяется на экзаменах, — это освоение универсального метода. Он прост: сначала внимательно проанализировать условие и найти в нем ключевые слова-маркеры, затем — выбрать единственный верный физический закон, который описывает данный процесс, и только после этого аккуратно провести математические расчеты. Этот сборник построен именно по такому принципу: мы не просто даем решения, а учим вас думать как физик. Теперь, когда мы договорились о подходе, давайте применим эту логику на практике.
Задача 1. Как постоянная температура влияет на давление газа
Начнем с классического примера, который иллюстрирует базовый принцип анализа условия. Этот шаг — основа основ.
Условие: Идеальный газ, находящийся в сосуде, изотермически сжали, уменьшив его объем в 2 раза. Как при этом изменилось его давление?
Анализ и решение
Ключевое слово в условии — «изотермически». Оно мгновенно указывает нам на то, что процесс происходит при постоянной температуре (T = const). Для таких процессов существует только один закон, связывающий давление и объем — закон Бойля-Мариотта.
Он гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объем есть величина постоянная.
P₁V₁ = P₂V₂
Где:
- P₁ и V₁ — начальное давление и объем.
- P₂ и V₂ — конечное давление и объем.
Из условия мы знаем, что V₂ = V₁ / 2. Наша цель — найти P₂. Выразим его из формулы:
P₂ = (P₁V₁) / V₂
Теперь подставим известное нам соотношение объемов:
P₂ = (P₁V₁) / (V₁ / 2) = 2 * P₁
Ответ: При изотермическом сжатии газа в 2 раза его давление увеличилось в 2 раза.
Мы рассмотрели процесс при постоянной температуре. А что, если постоянным будет давление? Это приводит нас к следующему типу задач.
Задача 2. Сколько работы совершит газ при постоянном давлении
Теперь рассмотрим ситуацию, когда газ может расширяться и совершать работу. Это ключевое понятие для всей термодинамики.
Условие: Газ в цилиндре под поршнем находится под постоянным давлением 200 кПа. В результате нагревания он расширился от объема 0.1 м³ до 0.3 м³.
Анализ и решение
Маркер здесь — фраза «постоянное давление». Такой процесс называется изобарным. Когда газ расширяется, он давит на поршень и перемещает его, то есть совершает механическую работу. Для изобарного процесса работа вычисляется по простой формуле:
W = P * ΔV
Где:
- W — работа, совершаемая газом (в Джоулях).
- P — постоянное давление (в Паскалях).
- ΔV — изменение объема (V₂ — V₁), в м³.
Прежде чем считать, переведем давление в системные единицы (Паскали): 200 кПа = 200 000 Па.
Теперь подставляем значения в формулу:
ΔV = 0.3 м³ — 0.1 м³ = 0.2 м³
W = 200 000 Па * 0.2 м³ = 40 000 Дж или 40 кДж.
Ответ: Газ совершил работу 40 кДж.
Мы научились считать работу. Но что происходит с внутренней энергией газа, если он не расширяется, а просто нагревается в замкнутом сосуде?
Задача 3. Как изменится давление при нагреве газа в закрытом баллоне
Эта задача иллюстрирует прямую зависимость между температурой и давлением, когда объему некуда меняться.
Условие: Газ в герметичном металлическом баллоне при температуре 27°C имел давление 150 кПа. Каким станет давление, если нагреть баллон до 127°C?
Анализ и решение
Ключевые слова — «герметичный баллон». Это означает, что объем газа остается неизменным (V = const). Такой процесс называется изохорным, и для него справедлив закон Шарля.
P₁ / T₁ = P₂ / T₂
Важнейший нюанс: во всех газовых законах температура должна измеряться в Кельвинах (К)! Чтобы перевести градусы Цельсия (°C) в Кельвины, нужно прибавить 273.
- T₁ = 27°C + 273 = 300 K
- T₂ = 127°C + 273 = 400 K
Давление P₁ = 150 кПа. Нам нужно найти P₂. Выразим его из закона Шарля:
P₂ = P₁ * (T₂ / T₁)
Подставляем наши значения:
P₂ = 150 кПа * (400 K / 300 K) = 150 * (4/3) = 200 кПа.
Ответ: Давление в баллоне станет 200 кПа.
Мы рассмотрели три основных изопроцесса. Теперь объединим все параметры (P, V, T) в одном уравнении и решим более комплексную задачу.
Задача 4. Как найти объем газа, зная его массу и температуру
На практике мы редко имеем дело с абстрактным газом. Чаще всего нам известна его масса или количество. Эта задача связывает макропараметры (P, V, T) с количеством вещества.
Условие: Какой объем занимают 88 грамм углекислого газа (CO₂) при температуре 27°C и давлении 100 кПа?
Анализ и решение
Когда в задаче фигурирует масса газа или нужно связать все три параметра (P, V, T) одновременно, нам на помощь приходит универсальный инструмент — уравнение состояния идеального газа, также известное как уравнение Менделеева-Клапейрона.
PV = nRT
Где:
- n — количество вещества (в молях).
- R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8.314 Дж/(моль·К).
Сначала найдем количество вещества (n). Оно равно отношению массы газа (m) к его молярной массе (M): n = m / M.
Молярная масса CO₂: M(C) + 2 * M(O) ≈ 12 г/моль + 2 * 16 г/моль = 44 г/моль.
n = 88 г / 44 г/моль = 2 моль.
Переведем температуру и давление в систему СИ:
T = 27°C + 273 = 300 K.
P = 100 кПа = 100 000 Па.
Теперь из уравнения состояния выразим искомый объем V:
V = nRT / P
Подставляем все значения:
V = (2 моль * 8.314 Дж/(моль·К) * 300 K) / 100 000 Па ≈ 0.049884 м³.
Ответ: Объем углекислого газа составит примерно 0.05 м³ (или 50 литров).
Мы научились описывать состояние газа. Следующий шаг — понять, как изменяется его энергия при получении тепла и совершении работы.
Задача 5. Куда уходит энергия. Практическое применение первого закона термодинамики
Это фундаментальный закон, который по сути является законом сохранения энергии для тепловых процессов. Он связывает три ключевые величины: теплоту, работу и внутреннюю энергию.
Условие: Одноатомному идеальному газу передали количество теплоты Q = 200 Дж. При этом газ расширился и совершил работу W = 50 Дж. На сколько изменилась его внутренняя энергия?
Анализ и решение
Эта задача — на прямое применение первого закона термодинамики. Его формула проста, но важно понимать физический смысл каждого компонента.
ΔU = Q — W
Смысл закона таков: изменение внутренней энергии газа (ΔU) равно разности между количеством теплоты, которое ему сообщили (Q), и работой, которую он совершил (W).
Важно следить за знаками:
- Q > 0: газу передают тепло.
- Q < 0: газ отдает тепло.
- W > 0: газ сам совершает работу (расширяется).
- W < 0: над газом совершают работу (сжимают).
В нашем случае газу передали тепло (Q = +200 Дж), и он сам совершил работу (W = +50 Дж). Подставляем значения в формулу:
ΔU = 200 Дж — 50 Дж = 150 Дж.
Ответ: Внутренняя энергия газа увеличилась на 150 Дж.
Кстати, для одноатомного газа изменение внутренней энергии напрямую связано с изменением температуры: ΔU = (3/2)nRΔT. Зная ΔU, мы могли бы найти и то, на сколько градусов он нагрелся.
Разобравшись с энергией одного газа, рассмотрим более хитрую ситуацию — что происходит при смешивании двух разных газов.
Задача 6. Что покажет манометр, если соединить два сосуда с газом
Эта задача учит работать со смесями газов и применять уже известные законы в более сложной конфигурации.
Условие: Сосуд объемом V₁ = 2 л, в котором газ находится под давлением P₁ = 100 кПа, соединяют с сосудом объемом V₂ = 3 л, где тот же газ находится под давлением P₂ = 200 кПа. Температура постоянна. Какое давление установится в сосудах после их соединения?
Анализ и решение
Когда мы соединяем сосуды, газы из обоих начинают перемешиваться и занимают весь доступный объем. Этот общий объем V_общ = V₁ + V₂. Процесс происходит при постоянной температуре, значит, мы снова можем использовать закон Бойля-Мариотта. Но как?
Ключевая идея здесь — закон Дальтона: общее давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого из газов. Парциальное давление — это давление, которое создавал бы газ, если бы он один занимал весь объем.
Найдем парциальное давление для газа из первого сосуда (P’₁) и для газа из второго сосуда (P’₂) после того, как они расширятся до общего объема.
- Для первого газа: Он занимал объем V₁ при давлении P₁. Теперь он займет объем V_общ. По закону Бойля-Мариотта:
P₁V₁ = P’₁ * V_общ => P’₁ = P₁ * (V₁ / V_общ) - Для второго газа: Аналогично:
P₂V₂ = P’₂ * V_общ => P’₂ = P₂ * (V₂ / V_общ)
Итоговое давление P_общ будет равно сумме этих парциальных давлений: P_общ = P’₁ + P’₂.
Проведем расчет:
V_общ = 2 л + 3 л = 5 л.
P’₁ = 100 кПа * (2 л / 5 л) = 40 кПа.
P’₂ = 200 кПа * (3 л / 5 л) = 120 кПа.
P_общ = 40 кПа + 120 кПа = 160 кПа.
Ответ: Установившееся давление будет равно 160 кПа.
Мы рассмотрели процессы с теплообменом. А что, если процесс происходит так быстро, что газ не успевает обменяться теплом с окружающей средой?
Задача 7. Почему при резком расширении газ охлаждается
Есть процессы, которые происходят настолько стремительно, что теплообмен с окружающей средой просто не успевает произойти. Такие процессы называются адиабатическими.
Условие: Идеальный газ адиабатически расширился. Что произошло с его температурой?
Анализ и решение
Ключевое слово — «адиабатически». Оно означает, что система теплоизолирована, то есть Q = 0. Обратимся снова к первому закону термодинамики:
ΔU = Q — W
Раз Q = 0, то формула приобретает вид:
ΔU = -W или W = -ΔU
Это и есть ключ к ответу. Формула W = -ΔU означает, что при адиабатическом расширении газ совершает работу (W > 0) исключительно за счет своей внутренней энергии. Поскольку внутренняя энергия (U) напрямую связана с температурой, ее уменьшение (ΔU < 0) неизбежно ведет к охлаждению газа.
Для расчетов в таких процессах используют уравнение Пуассона: P*V^γ = const, где γ — показатель адиабаты, зависящий от строения молекул газа.
Ответ: При адиабатическом расширении газ всегда охлаждается, так как работа по расширению совершается за счет его собственной внутренней энергии.
Мы освоили все основные процессы. Теперь решим задачу, которая требует комбинированного применения изученных законов.
Задача 8. Как найти равновесие газа под подвижным поршнем
Эта задача объединяет механику и термодинамику. Здесь важно правильно определить силы, действующие на систему, чтобы понять, какой из газовых законов применять.
Условие: В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем массой m=10 кг и площадью S=100 см² находится газ. Сверху на поршень действует атмосферное давление P_атм = 100 кПа. Газ медленно нагревают. Как изменится его объем, если температура увеличится с 27°C до 77°C?
Анализ и решение
Сначала нужно понять, под каким давлением находится газ. Поршень находится в равновесии, значит, давление газа изнутри (P_газа) уравновешивает две силы, действующие снаружи: силу атмосферного давления и силу тяжести поршня.
Давление, создаваемое поршнем: P_поршня = F_тяж / S = mg / S.
Таким образом, P_газа = P_атм + P_поршня.
Переведем площадь в м²: S = 100 см² = 0.01 м².
P_поршня = (10 кг * 9.8 м/с²) / 0.01 м² = 9800 Па = 9.8 кПа.
P_газа = 100 кПа + 9.8 кПа = 109.8 кПа.
Ключевой вывод: поскольку поршень «тяжелый» и атмосфера давит постоянно, суммарное давление на газ в ходе всего процесса нагрева остается постоянным. Следовательно, мы имеем дело с изобарным процессом! Для него справедлив закон Гей-Люссака:
V₁ / T₁ = V₂ / T₂
Переведем температуры в Кельвины:
T₁ = 27°C + 273 = 300 K.
T₂ = 77°C + 273 = 350 K.
Нас спрашивают, «как изменится объем», то есть просят найти отношение V₂ / V₁:
V₂ / V₁ = T₂ / T₁ = 350 K / 300 K ≈ 1.167
Ответ: Объем газа увеличится примерно в 1.17 раза.
Вы успешно прошли весь путь от базовых законов до решения сложных задач. Теперь попробуйте применить полученные знания самостоятельно.
Задачи 9 и 10. Проверьте себя. Два финальных упражнения с подсказками
Лучший способ закрепить знания — это практика. Попробуйте решить следующие две задачи самостоятельно. Мы не даем готового ответа, но даем наводящие подсказки, которые помогут вам выстроить логику решения.
Задача №9. Расчет эффективности
Условие: Тепловая машина за один цикл совершает работу 1000 Дж и отдает холодильнику 4000 Дж теплоты. Найдите КПД (коэффициент полезного действия) этой машины.
Подсказки для решения:
- Вспомните, как связаны работа (W), теплота от нагревателя (Q_н) и теплота, отданная холодильнику (Q_х) в тепловом цикле.
- Какая из этих величин является «полезной», а какая — «затраченной»?
- Формула КПД: η = (Полезная работа / Затраченная энергия) * 100%.
Задача №10. Энергия двухатомного газа
Условие: 2 моля азота (N₂), который можно считать идеальным двухатомным газом, нагрели на 50 К в условиях постоянного объема. Какое количество теплоты было передано газу?
Подсказки для решения:
- Обратите внимание, что газ — двухатомный. Это меняет формулу для внутренней энергии. Для двухатомного газа U = (5/2)nRT.
- Процесс происходит при постоянном объеме (V = const). Какую работу совершает газ в таком процессе?
- Примените первый закон термодинамики (ΔU = Q — W), чтобы найти Q.
Успехов в решении!