Сборник решений контрольной работы по электростатике: 10 задач с академическим оформлением и точными расчетами

В мире физики точность не просто желательна, она абсолютно критична. Рассмотрим один из фундаментальных принципов электростатики: сила взаимодействия двух точечных неподвижных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Этот, казалось бы, простой закон Кулона, скрывает в себе потенциал для множества сложных задач, где малейшая неточность в расчетах или небрежность в оформлении может привести к совершенно неверным выводам. Представьте себе инженера, который проектирует микроэлектронную схему, где миллионы зарядов взаимодействуют на ничтожно малых расстояниях — здесь каждый нанометр и каждый пикокулон имеют значение для стабильности и корректной работы всей системы. Именно поэтому глубокое понимание основ и строгий академический подход к решению задач становится фундаментом для любых практических применений.

Введение: Цель, Аудитория и Академический стандарт

Данный сборник является подробным руководством по решению задач в рамках контрольной работы по электростатике. Он ориентирован на студентов гуманитарных и технических вузов, а также учащихся старших классов (10-11 класс), стремящихся не только получить верный ответ, но и освоить эталонный подход к оформлению решений. Наша цель – не просто предоставить готовые «отмычки» к задачам, а выстроить пошаговую, математически выверенную и методологически безупречную систему, которая позволит глубоко понять принципы электростатики и соответствовать самым строгим академическим требованиям. Каждая задача будет представлена с максимальной детализацией, чтобы читатель мог не только проверить свое решение, но и понять логику каждого шага, а также применить этот алгоритм к аналогичным, ранее незнакомым задачам.

Методология: Эталон академического оформления физических задач

Эффективное решение физической задачи — это не только правильный ответ, но и четко структурированное, логичное изложение мысли. Мы придерживаемся строгих академических стандартов, чтобы каждое решение было максимально понятным и легко проверяемым. Единообразный формат — «Дано», «Перевод в СИ», «Формула», «Расчет», «Ответ» — позволяет систематизировать процесс и исключить возможные неточности, демонстрируя при этом ваше мастерство в предметной области.

Правила работы с единицами измерения и точностью

Первостепенное значение в физических расчетах имеет перевод всех величин в Международную систему единиц (СИ). Это устраняет путаницу и обеспечивает корректность конечного результата. Однако, помимо простого перевода, существует не менее важный аспект — точность вычислений и правила округления, которые часто игнорируются, но критически важны для получения научно обоснованных данных.

При округлении результатов следует руководствоваться принципом значащих цифр. Если входные данные задачи имеют разную точность, окончательный ответ должен быть округлен до наименьшего количества значащих цифр, которое присутствует в исходных данных. Например, если одно значение дано с двумя значащими цифрами (2,5 м), а другое с тремя (3,14 А), то окончательный результат должен быть округлен до двух значащих цифр. Для промежуточных вычислений рекомендуется сохранять на одну значащую цифру больше, чтобы минимизировать накопление ошибки округления. Этот подход позволяет обеспечить адекватную точность, не создавая иллюзии большей точности, чем это позволяют исходные данные, что особенно важно в инженерных расчетах, где погрешность может иметь серьезные последствия.

Обязательность чертежей

Визуализация является неотъемлемой частью решения многих физических задач, особенно в электростатике, где речь идет о взаимодействии сил и полей. Для задач, требующих векторного сложения сил или анализа равновесия, выполнение аккуратного и информативного чертежа является не просто желательным, а обязательным условием. На чертеже должны быть четко обозначены:

• Положение всех зарядов.
• Направления всех действующих сил (Кулона, тяжести, натяжения нити и т.д.) с соответствующими векторными стрелками.
• Оси координат (если они используются для разложения векторов на компоненты).
• Углы и расстояния, которые играют роль в геометрии задачи.

Правильно построенный чертеж не только помогает избежать ошибок при векторном сложении, но и демонстрирует глубокое понимание физических процессов, позволяя увидеть скрытые симметрии или неочевидные соотношения между силами.

Теоретический фундамент: Основополагающие законы электростатики

Электростатика — это раздел физики, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов. В основе этого раздела лежат несколько фундаментальных законов и принципов, понимание которых абсолютно необходимо для решения любой задачи, будь то простейшие вычисления или сложные многокомпонентные системы.

Закон Кулона и напряженность электрического поля

В 1785 году Шарль Кулон экспериментально установил закон, описывающий взаимодействие точечных электрических зарядов. Этот закон является краеугольным камнем всей электростатики, и его глубокое осмысление позволяет предсказывать поведение заряженных тел.

Закон Кулона гласит: сила взаимодействия двух точечных неподвижных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Математически это выражается в скалярном виде для модуля силы:

F = k ⋅ |q1 ⋅ q2| / r2

где:

• F — модуль силы взаимодействия (Ньютоны, Н);
• k — коэффициент пропорциональности, называемый электростатической постоянной (Н⋅м²/Кл²);
• q1, q2 — модули точечных зарядов (Кулоны, Кл);
• r — расстояние между зарядами (метры, м).

В фундаментальном виде коэффициент k выражается через электрическую постоянную ε0 (диэлектрическую проницаемость вакуума):

k = 1/(4π ε0)

Тогда формула Закона Кулона принимает вид:

F = 1/(4π ε0) ⋅ |q1q2| / r2

Это позволяет связать электростатику с другими разделами электродинамики, подчеркивая универсальность физических законов. Важно помнить, что разноименные заряды притягиваются, а одноименные — отталкиваются. Это определяет направление силы, что критично для векторного сложения в сложных системах.

Для полного понимания взаимодействия, особенно в сложных конфигурациях, необходим векторный вид Закона Кулона. Сила F₁₂, действующая на заряд q1 со стороны q2, определяется как:

F12 = 1/(4π ε0) ⋅ (q1q2 / r2) ⋅ er12

где er12 — единичный вектор, направленный от q2 к q1. Знак произведения зарядов (q1q2) автоматически определяет направление силы: если заряды одноименные (произведение положительное), сила отталкивания направлена вдоль er12; если разноименные (произведение отрицательное), сила притяжения направлена противоположно er12. Это упрощает анализ сложных взаимодействий, позволяя автоматически учитывать их характер.

Напряженность электрического поля (E) — это векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле и численно равная силе (F), действующей на единичный положительный пробный заряд (qпробный), помещенный в данную точку поля:

E = F / qпробный

Единицей измерения напряженности в СИ является Ньютон на Кулон (Н/Кл) или Вольт на метр (В/м). Поле, создаваемое точечным зарядом q, на расстоянии r от него имеет напряженность:

E = k |q| / r2 = 1/(4π ε0) ⋅ |q| / r2

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд, что позволяет визуализировать силовые линии поля и предсказывать движение зарядов.

Принцип суперпозиции и результирующая сила

В реальных ситуациях заряд редко взаимодействует только с одним другим зарядом. Обычно он находится под влиянием поля, создаваемого несколькими заряженными телами. В этом случае вступает в действие Принцип суперпозиции (независимого наложения) электрических полей, который является мощным инструментом для анализа сложных систем.

Этот принцип гласит: если заряженное тело взаимодействует одновременно с несколькими заряженными телами, то результирующая сила (F_рез), действующая на данное тело, равна векторной сумме сил (ΣFi), действующих на это тело со стороны всех других заряженных тел.

Математически это выражается как:

Fрез = ΣFi

Где каждая Fi — это сила Кулона, рассчитанная для взаимодействия данного заряда с i-м зарядом, как если бы других зарядов не существовало. Это позволяет декомпозировать сложную задачу на более простые составляющие.

Аналогично, принцип суперпозиции применим и к напряженности электрического поля: результирующая напряженность поля в данной точке равна векторной сумме напряженностей полей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности:

Eрез = ΣEi

Ключевая сложность в применении принципа суперпозиции заключается в необходимости векторного сложения. Это означает, что силы или напряженности нельзя просто складывать как скаляры. Необходимо учитывать их направления, которые определяются знаками взаимодействующих зарядов. Для этого крайне важно построение чертежа с указанием направлений всех сил, а затем использование методов векторной алгебры: разложение векторов на компоненты по осям координат или применение теоремы косинусов/синусов для треугольников сил. Без этого этапа результаты будут некорректными, что часто является причиной ошибок в задачах.

Условия равновесия зарядов и проводников

Понятие равновесия играет ключевую роль в электростатике, описывая состояния, в которых система зарядов или проводников находится в покое. Понимание этих условий позволяет предсказывать стабильность систем и проектировать устройства, где важна статичность заряженных элементов.

Условие равновесия точечного заряда в поле других зарядов заключается в том, что векторная сумма всех сил, действующих на этот заряд, должна быть равна нулю:

ΣF = 0

Это означает, что заряд не испытывает результирующей силы и, следовательно, не ускоряется. На практике для решения таких задач необходимо разложить все силы по осям координат и приравнять к нулю сумму проекций сил на каждую ось. Только так можно гарантировать отсутствие движения.

Равновесие шариков, подвешенных на нитях: Это классический пример, где на заряженный шарик действуют три силы:

1. Сила Кулона (F_Кл): Электростатическое взаимодействие с другим зарядом.
2. Сила тяжести (F_тяж): Действует вертикально вниз, Fтяж = mg.
3. Сила натяжения нити (T): Направлена вдоль нити.

Условие равновесия для такого шарика выражается как векторная сумма:

FКл + Fтяж + T = 0

Решение задач с шариками на нитях требует тщательного анализа сил, построения чертежа и разложения векторов по осям. Обычно силы тяжести и Кулона компенсируются горизонтальными и вертикальными компонентами силы натяжения нити, что приводит к состоянию покоя.

Равновесие проводников в электрическом поле: Проводники обладают свободными зарядами, которые могут перемещаться под действием электрического поля. Когда проводник достигает состояния электростатического равновесия, происходят следующие ключевые явления, которые определяют его поведение:

1. Напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю (E = 0). Это прямое следствие того, что если бы поле существовало, свободные заряды двигались бы, создавая собственное поле, которое компенсировало бы внешнее. Движение продолжалось бы до тех пор, пока результирующее поле внутри не стало бы нулевым.
2. Избыточный заряд располагается исключительно на внешней поверхности проводника. Внутри проводника в состоянии равновесия нет избыточных зарядов. Этот факт является прямым следствием Теоремы Гаусса в электростатике. Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду, заключенному внутри этой поверхности. Если внутри проводника E = 0, то и заряд внутри любой замкнутой поверхности, находящейся целиком внутри проводника, должен быть равен нулю. Следовательно, избыточный заряд может находиться только на поверхности, что объясняет, почему проводники являются идеальными экранами для статических полей.

Понимание этих условий позволяет анализировать поведение зарядов и полей в сложных системах, а также проектировать экранирующие конструкции.

Детализированный сборник решений задач №1–№10

Ниже представлены подробные решения десяти задач по электростатике, оформленные в строгом соответствии с академическими стандартами, с акцентом на пошаговое объяснение и точность расчетов. Каждое решение служит образцом для самостоятельной работы.

Решение Задачи №1: Прямое вычисление силы Кулона

Условие задачи: Два точечных заряда q1 = +2 нКл и q2 = -4 нКл находятся на расстоянии r = 3 см друг от друга в вакууме. Определите модуль силы их взаимодействия.

Дано:

• q1 = +2 нКл
• q2 = -4 нКл
• r = 3 см
• k = 9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2

Перевод в СИ:

• q1 = 2 ⋅ 10-9 Кл
• q2 = -4 ⋅ 10-9 Кл
• r = 3 ⋅ 10-2 м

Формула:
Модуль силы взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется Законом Кулона:

F = k ⋅ |q1 ⋅ q2| / r2

Расчет:
Подставим числовые значения в формулу:

F = (9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ |(2 ⋅ 10-9 Кл) ⋅ (-4 ⋅ 10-9 Кл)| / (3 ⋅ 10-2 м)2

F = (9 ⋅ 109) ⋅ (8 ⋅ 10-18) / (9 ⋅ 10-4) Н

F = (72 ⋅ 10-9) / (9 ⋅ 10-4) Н

F = 8 ⋅ 10-5 Н

Проверка единиц измерения:

[F] = [Н⋅м2/Кл2] ⋅ [Кл2] / [м2] = [Н]

Ответ: Модуль силы взаимодействия F = 8 ⋅ 10-5 Н. Заряды разноименные, поэтому они притягиваются.

Решение Задачи №2: Напряженность поля, созданного одним зарядом

Условие задачи: Определите напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом q = +5 нКл, в точке, находящейся на расстоянии r = 10 см от него.

Дано:

• q = +5 нКл
• r = 10 см
• k = 9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2

Перевод в СИ:

• q = 5 ⋅ 10-9 Кл
• r = 10 ⋅ 10-2 м = 0.1 м

Формула:
Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом, определяется как:

E = k ⋅ |q| / r2

Расчет:
Подставим числовые значения в формулу:

E = (9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ (5 ⋅ 10-9 Кл) / (0.1 м)2

E = (45) / (0.01) Н/Кл

E = 4500 Н/Кл

Проверка единиц измерения:

[E] = [Н⋅м2/Кл2] ⋅ [Кл] / [м2] = [Н/Кл]

Ответ: Модуль напряженности электрического поля E = 4500 Н/Кл. Поскольку заряд положительный, вектор напряженности направлен радиально от заряда.

Решение Задачи №3: Принцип суперпозиции, заряды на одной прямой

Условие задачи: Три точечных заряда q1 = +1 нКл, q2 = -2 нКл и q3 = +3 нКл расположены вдоль одной прямой. Расстояние между q1 и q2 равно r12 = 2 см, а между q2 и q3 равно r23 = 4 см. Определите результирующую силу, действующую на заряд q2.

Дано:

• q1 = +1 нКл
• q2 = -2 нКл
• q3 = +3 нКл
• r12 = 2 см
• r23 = 4 см
• k = 9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2

Перевод в СИ:

• q1 = 1 ⋅ 10-9 Кл
• q2 = -2 ⋅ 10-9 Кл
• q3 = 3 ⋅ 10-9 Кл
• r12 = 2 ⋅ 10-2 м
• r23 = 4 ⋅ 10-2 м

Чертеж:
Представим заряды на оси X:

q1 ------ q2 ------ q3
  <--F21--  --F23-->

Здесь:

• q1 (положительный) и q2 (отрицательный) притягиваются. Сила F₂₁, действующая на q2 со стороны q1, направлена влево.
• q2 (отрицательный) и q3 (положительный) притягиваются. Сила F₂₃, действующая на q2 со стороны q3, направлена вправо.

Формулы:
Сила F₂₁: F21 = k ⋅ |q1 ⋅ q2| / r122
Сила F₂₃: F23 = k ⋅ |q2 ⋅ q3| / r232
Результирующая сила F_рез = F₂₁ + F₂₃. В данном случае, поскольку силы направлены в противоположные стороны, результирующий модуль Fрез = |F23 - F21|.

Расчет:

1. Расчет F21:
   F21 = (9 ⋅ 109) ⋅ |(1 ⋅ 10-9) ⋅ (-2 ⋅ 10-9)| / (2 ⋅ 10-2)2
F21 = (9 ⋅ 109) ⋅ (2 ⋅ 10-18) / (4 ⋅ 10-4)
F21 = (18 ⋅ 10-9) / (4 ⋅ 10-4) = 4.5 ⋅ 10-5 Н (направлена влево)
2. Расчет F23:
   F23 = (9 ⋅ 109) ⋅ |(-2 ⋅ 10-9) ⋅ (3 ⋅ 10-9)| / (4 ⋅ 10-2)2
F23 = (9 ⋅ 109) ⋅ (6 ⋅ 10-18) / (16 ⋅ 10-4)
F23 = (54 ⋅ 10-9) / (16 ⋅ 10-4) = 3.375 ⋅ 10-5 Н (направлена вправо)
3. Расчет результирующей силы:
   Так как F₂₁ и F₂₃ направлены противоположно, выберем ось X, направленную вправо. Тогда F21 имеет проекцию -F21, а F23 — +F23.
   Fрез = F23 - F21 = 3.375 ⋅ 10-5 Н - 4.5 ⋅ 10-5 Н = -1.125 ⋅ 10-5 Н

Проверка единиц измерения:

[F] = [Н]

Ответ: Модуль результирующей силы, действующей на заряд q2, равен 1.125 ⋅ 10-5 Н. Сила направлена влево (в сторону заряда q1), так как F21 > F23.

Решение Задачи №4: Равновесие точечного заряда

Условие задачи: Два точечных заряда q1 = +4 нКл и q2 = +9 нКл закреплены на расстоянии L = 30 см друг от друга. Определите положение третьего точечного заряда q3 (произвольного знака), при котором он будет находиться в равновесии.

Дано:

• q1 = +4 нКл
• q2 = +9 нКл
• L = 30 см
• k = 9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2

Перевод в СИ:

• q1 = 4 ⋅ 10-9 Кл
• q2 = 9 ⋅ 10-9 Кл
• L = 0.3 м

Чертеж и анализ:
Поскольку заряды q1 и q2 одноименные (положительные), для того чтобы третий заряд q3 находился в равновесии, он должен быть помещен между ними. Если q3 будет вне отрезка, силы отталкивания от q1 и q2 будут действовать в одном направлении, и равновесия не наступит. Это важный нюанс, определяющий область поиска решения.
Пусть заряд q3 находится на расстоянии x от заряда q1. Тогда расстояние от q3 до q2 будет (L - x).
На заряд q3 действуют две силы:

• F₃₁ — со стороны q1.
• F₃₂ — со стороны q2.

Если q3 положительный, обе силы будут отталкивания, и они будут направлены навстречу друг другу.
Если q3 отрицательный, обе силы будут притяжения, и они также будут направлены навстречу друг другу.
Таким образом, знак q3 не влияет на положение равновесия, только на направление сил, но не на их взаимную компенсацию. Это означает, что для нахождения положения равновесия достаточно приравнять модули сил.

q1 -------- q3 -------- q2
  <----x----> <---L-x--->

Условие равновесия: F31 + F32 = 0, что означает, что модули сил должны быть равны: F31 = F32.

Формулы:

F31 = k ⋅ |q1 ⋅ q3| / x2

F32 = k ⋅ |q2 ⋅ q3| / (L - x)2

Расчет:
Приравниваем модули сил:

k ⋅ |q1 ⋅ q3| / x2 = k ⋅ |q2 ⋅ q3| / (L - x)2

Сокращаем k и |q3|:

|q1| / x2 = |q2| / (L - x)2

Извлекаем квадратный корень из обеих частей (учитывая, что x и L-x положительны):

√|q1| / x = √|q2| / (L - x)

Подставляем значения:

√ (4 ⋅ 10-9) / x = √ (9 ⋅ 10-9) / (0.3 - x)

(2 ⋅ 10-4.5) / x = (3 ⋅ 10-4.5) / (0.3 - x)

Сокращаем 10-4.5:

2 / x = 3 / (0.3 - x)

Решаем уравнение относительно x:

2(0.3 - x) = 3x

0.6 - 2x = 3x

0.6 = 5x

x = 0.6 / 5

x = 0.12 м

Проверка единиц измерения:

[x] = [м]

Ответ: Заряд q3 будет находиться в равновесии на расстоянии 0.12 м (или 12 см) от заряда q1, между q1 и q2.

Решение Задачи №5: Суперпозиция сил с геометрией (например, в вершине квадрата)

Условие задачи: Три точечных заряда q1 = +1 мкКл, q2 = +1 мкКл и q3 = +1 мкКл расположены в вершинах квадрата со стороной a = 10 см. Заряды q1 и q2 находятся в смежных вершинах, а q3 — в противоположной вершине относительно q1. Определите результирующую силу, действующую на заряд q3.

Дано:

• q1 = +1 мкКл
• q2 = +1 мкКл
• q3 = +1 мкКл
• a = 10 см
• k = 9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2

Перевод в СИ:

• q1 = 1 ⋅ 10-6 Кл
• q2 = 1 ⋅ 10-6 Кл
• q3 = 1 ⋅ 10-6 Кл
• a = 0.1 м

Чертеж и анализ:
Пусть вершины квадрата обозначены A, B, C, D по часовой стрелке.
Поместим заряды следующим образом:

• q1 в вершине A.
• q2 в вершине B (смежная с A).
• q3 в вершине C (противоположная A).
• Вершина D остается пустой (или там находится заряд, который нас не интересует).

   D-------C (q3)
   |       |
   |       |
   A (q1)--B (q2)

На заряд q3 (в точке C) действуют силы от q1 (в A) и q2 (в B). Все заряды одноименные (положительные), поэтому силы будут отталкивания. Это означает, что векторы сил будут направлены от источника к заряду q3.

1. Сила F31: Действует на q3 со стороны q1. Расстояние между q1 и q3 — это диагональ квадрата.
   r31 = a√2. Сила F₃₁ направлена вдоль диагонали от A к C.
2. Сила F32: Действует на q3 со стороны q2. Расстояние между q2 и q3 — это сторона квадрата.
   r32 = a. Сила F₃₂ направлена вдоль стороны от B к C.

Начертим силы, действующие на q3. Ось X направим вправо (параллельно BC), ось Y — вверх (параллельно DC).
Вектор F₃₂ направлен по оси X.
Вектор F₃₁ направлен под углом 45° к оси X.

Формулы:

F31 = k ⋅ |q1 ⋅ q3| / r312 = k q2 / (a√2)2 = k q2 / (2a2)

F32 = k ⋅ |q2 ⋅ q3| / r322 = k q2 / a2

Результирующая сила Fрез = F31 + F32.
Мы найдем проекции сил на оси X и Y, а затем модуль результирующей силы Fрез = √ (Fрез,x2 + F_рез,y2).

Расчет:

1. Расчет F31:
   F31 = (9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ (1 ⋅ 10-6 Кл)2 / (2 ⋅ (0.1 м)2)
F31 = (9 ⋅ 109) ⋅ (1 ⋅ 10-12) / (2 ⋅ 0.01)
F31 = (9 ⋅ 10-3) / (0.02) = 0.45 Н
2. Расчет F32:
   F32 = (9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ (1 ⋅ 10-6 Кл)2 / (0.1 м)2
F32 = (9 ⋅ 109) ⋅ (1 ⋅ 10-12) / (0.01)
F32 = (9 ⋅ 10-3) / (0.01) = 0.9 Н
3. Проекции сил на оси:
   • F32,x = F32 = 0.9 Н
   • F32,y = 0
   • F31,x = F31 ⋅ cos(45°) = 0.45 ⋅ (√2 / 2) ≈ 0.45 ⋅ 0.707 = 0.318 Н
   • F31,y = F31 ⋅ sin(45°) = 0.45 ⋅ (√2 / 2) ≈ 0.45 ⋅ 0.707 = 0.318 Н
4. Суммарные проекции:
   Fрез,x = F32,x + F31,x = 0.9 Н + 0.318 Н = 1.218 Н
Fрез,y = F32,y + F31,y = 0 Н + 0.318 Н = 0.318 Н
5. Модуль результирующей силы:
   Fрез = √ (Fрез,x2 + Fрез,y2)
Fрез = √ ((1.218 Н)2 + (0.318 Н)2)
Fрез = √ (1.483524 + 0.101124) = √ (1.584648)
Fрез ≈ 1.259 Н

Проверка единиц измерения:

[F] = [Н]

Ответ: Модуль результирующей силы, действующей на заряд q3, составляет приблизительно 1.26 Н.

Решение Задачи №6: Равновесие шариков на нитях — вертикальное расположение

Условие задачи: Два одинаковых по массе m = 1 г и заряду q = +10 нКл шарика подвешены на невесомых нерастяжимых нитях длиной L = 50 см так, что нижний шарик висит под верхним. Верхний шарик закреплен, а нижний висит на нити, прикрепленной к верхнему шарику. Найдите силу натяжения нижней нити в состоянии равновесия.

Дано:

• m = 1 г
• q = +10 нКл
• L = 50 см
• k = 9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2
• g = 9.8 м/с2

Перевод в СИ:

• m = 1 ⋅ 10-3 кг
• q = 10 ⋅ 10-9 Кл = 1 ⋅ 10-8 Кл
• L = 0.5 м

Чертеж и анализ:
Рассмотрим силы, действующие на нижний шарик в состоянии равновесия. Это ключевой шаг, позволяющий правильно составить уравнения динамики.

1. Сила тяжести Fтяж: Действует вертикально вниз, Fтяж = mg.
2. Сила Кулона FКл: Поскольку оба заряда положительные, верхний шарик отталкивает нижний. Сила F_Кл направлена вертикально вниз. Расстояние между зарядами равно длине нити L.
3. Сила натяжения нижней нити T: Направлена вертикально вверх.

Условие равновесия для нижнего шарика: T + Fтяж + FКл = 0.
Поскольку силы лежат на одной вертикальной линии, выберем положительное направление оси Y вверх.
T - Fтяж - FКл = 0
T = Fтяж + FКл

Формулы:

Fтяж = mg

FКл = k q2 / L2

Расчет:

1. Расчет Fтяж:
   Fтяж = (1 ⋅ 10-3 кг) ⋅ (9.8 м/с2) = 9.8 ⋅ 10-3 Н
2. Расчет FКл:
   FКл = (9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ (1 ⋅ 10-8 Кл)2 / (0.5 м)2
FКл = (9 ⋅ 109) ⋅ (1 ⋅ 10-16) / (0.25)
FКл = (9 ⋅ 10-7) / (0.25) = 36 ⋅ 10-7 Н = 3.6 ⋅ 10-6 Н
3. Расчет силы натяжения T:
   T = Fтяж + FКл = 9.8 ⋅ 10-3 Н + 3.6 ⋅ 10-6 Н
   Поскольку Fтяж значительно больше FКл, можно увидеть, что FКл в данном случае вносит очень малый вклад, что указывает на преобладание гравитационного взаимодействия над электростатическим в этой конфигурации.
   T = 0.0098 Н + 0.0000036 Н = 0.0098036 Н

Округляем до двух значащих цифр, как и g:

T ≈ 9.8 ⋅ 10-3 Н

Проверка единиц измерения:

[T] = [Н]

Ответ: Сила натяжения нижней нити в состоянии равновесия приблизительно равна 9.8 ⋅ 10-3 Н.

Решение Задачи №7: Равновесие шариков на нитях, угол отклонения

Условие задачи: Два одинаковых маленьких шарика массой m = 0.1 г каждый, подвешены на нитях длиной L = 20 см каждая, прикрепленных в одной точке. После того как шарикам сообщили одинаковые заряды q, нити разошлись на угол α = 30° относительно вертикали. Найдите величину заряда q.

Дано:

• m = 0.1 г
• L = 20 см
• α = 30°
• k = 9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2
• g = 9.8 м/с2

Перевод в СИ:

• m = 0.1 ⋅ 10-3 кг = 1 ⋅ 10-4 кг
• L = 0.2 м

Чертеж и анализ:
Рассмотрим один из шариков. На него действуют три силы:

1. Сила тяжести Fтяж: m g, направлена вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити T: Направлена вдоль нити под углом α к вертикали.
3. Сила Кулона FКл: Поскольку заряды одинаковы, они отталкиваются. F_Кл направлена горизонтально от другого шарика.

       /|\
      / | \
     / T|  \
    /  |   \
   /   |    \
  /____|_____\
  F_Кл F_тяж  F_Кл

Нам необходимо найти расстояние r между шариками. Из геометрии:

r = 2 ⋅ L ⋅ sin(α)

Условие равновесия: T + Fтяж + FКл = 0.
Разложим силы по осям X и Y. Ось Y направим вертикально вверх, ось X — горизонтально вправо.

• По оси X: Tx - FКл = 0 => T ⋅ sin(α) = FКл
• По оси Y: Ty - Fтяж = 0 => T ⋅ cos(α) = Fтяж

Из этих уравнений можно исключить T, разделив первое на второе:

(T ⋅ sin(α)) / (T ⋅ cos(α)) = FКл / Fтяж

tg(α) = FКл / Fтяж

FКл = Fтяж ⋅ tg(α)

Формулы:

Fтяж = mg

FКл = k q2 / r2

r = 2L sin(α)

Расчет:

1. Расчет r:
   r = 2 ⋅ (0.2 м) ⋅ sin(30°) = 2 ⋅ 0.2 ⋅ 0.5 = 0.2 м
2. Расчет Fтяж:
   Fтяж = (1 ⋅ 10-4 кг) ⋅ (9.8 м/с2) = 9.8 ⋅ 10-4 Н
3. Расчет FКл:
   FКл = Fтяж ⋅ tg(30°) = 9.8 ⋅ 10-4 Н ⋅ (1/√3) ≈ 9.8 ⋅ 10-4 ⋅ 0.577
FКл ≈ 5.6546 ⋅ 10-4 Н
4. Нахождение заряда q:
   FКл = k q2 / r2
q2 = FКл ⋅ r2 / k
q2 = (5.6546 ⋅ 10-4 Н) ⋅ (0.2 м)2 / (9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2)
q2 = (5.6546 ⋅ 10-4) ⋅ (0.04) / (9 ⋅ 109)
q2 = (0.226184 ⋅ 10-4) / (9 ⋅ 109)
q2 = 0.02513155 ⋅ 10-13 = 2.513155 ⋅ 10-15 Кл2
q = √ (2.513155 ⋅ 10-15)
q ≈ 5.013 ⋅ 10-8 Кл

Проверка единиц измерения:

[q] = √ ([Н] ⋅ [м2] / [Н⋅м2/Кл2]) = √ ([Кл2]) = [Кл]

Ответ: Величина заряда каждого шарика q ≈ 5.0 ⋅ 10-8 Кл (или 50 нКл).

Решение Задачи №8: Работа электрического поля или потенциал

Условие задачи: Точечный заряд q = +2 нКл перемещается из точки А, находящейся на расстоянии rA = 5 см от другого точечного заряда Q = +10 нКл, в точку В, находящуюся на расстоянии rB = 15 см от того же заряда Q. Определите работу, совершаемую электрическим полем заряда Q при этом перемещении.

Дано:

• q = +2 нКл
• Q = +10 нКл
• rA = 5 см
• rB = 15 см
• k = 9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2

Перевод в СИ:

• q = 2 ⋅ 10-9 Кл
• Q = 10 ⋅ 10-9 Кл = 1 ⋅ 10-8 Кл
• rA = 0.05 м
• rB = 0.15 м

Формулы:
Работа электрического поля по перемещению заряда из одной точки в другую равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому со знаком минус, или произведению заряда на разность потенциалов между начальной и конечной точками. Это фундаментальное свойство потенциального поля.
A = q ⋅ (φA - φB)
Потенциал точечного заряда φ = k Q / r

Следовательно, A = q ⋅ (k Q / rA - k Q / rB) = k Q q ⋅ (1/rA - 1/rB)

Расчет:
Подставим числовые значения в формулу:

A = (9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ (1 ⋅ 10-8 Кл) ⋅ (2 ⋅ 10-9 Кл) ⋅ (1/(0.05 м) - 1/(0.15 м))

A = (18 ⋅ 10-8) ⋅ (20 - 6.666...) Дж

A = (18 ⋅ 10-8) ⋅ (13.333...) Дж

A ≈ 240 ⋅ 10-8 Дж = 2.4 ⋅ 10-6 Дж

Проверка единиц измерения:

[A] = [Н⋅м2/Кл2] ⋅ [Кл] ⋅ [Кл] ⋅ [1/м] = [Н⋅м] = [Дж]

Ответ: Работа электрического поля при перемещении заряда составляет приблизительно 2.4 ⋅ 10-6 Дж.

Решение Задачи №9: Движение заряда в электрическом поле

Условие задачи: Электрон влетает в однородное электрическое поле напряженностью E = 100 Н/Кл со скоростью v0 = 106 м/с перпендикулярно линиям напряженности. Определите, на какое расстояние он отклонится от первоначальной траектории, пролетев расстояние x = 5 см вдоль поля.

Дано:

• E = 100 Н/Кл
• v0 = 106 м/с
• x = 5 см
• e = 1.6 ⋅ 10-19 Кл (заряд электрона)
• me = 9.1 ⋅ 10-31 кг (масса электрона)

Перевод в СИ:

• x = 0.05 м

Чертеж и анализ:
Электрон (отрицательный заряд) влетает в однородное электрическое поле. Поскольку электрон заряжен отрицательно, сила, действующая на него со стороны поля, будет направлена против вектора напряженности E. Это критический момент для определения траектории.
Пусть поле E направлено вдоль оси Y. Электрон влетает вдоль оси X. Сила F будет направлена против оси Y (вниз).
Движение электрона можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений:

1. Равномерное движение вдоль оси X со скоростью v0.
2. Равноускоренное движение вдоль оси Y под действием постоянной электрической силы F = |e|E.

Время полета вдоль оси X: t = x / v0
Ускорение вдоль оси Y: a = F / me = |e|E / me
Отклонение (смещение) вдоль оси Y: y = a t2 / 2 (начальная скорость по Y равна 0).

Формулы:

t = x / v0

a = |e|E / me

y = (|e|E / me) ⋅ (x / v0)2 / 2 = (|e|E x2) / (2 me v02)

Расчет:

1. Расчет времени t:
   t = (0.05 м) / (106 м/с) = 5 ⋅ 10-8 с
2. Расчет ускорения a:
   a = (1.6 ⋅ 10-19 Кл) ⋅ (100 Н/Кл) / (9.1 ⋅ 10-31 кг)
a = (1.6 ⋅ 10-17) / (9.1 ⋅ 10-31) м/с2
a ≈ 0.1758 ⋅ 1014 м/с2 = 1.758 ⋅ 1013 м/с2
3. Расчет отклонения y:
   y = (1.758 ⋅ 1013 м/с2) ⋅ (5 ⋅ 10-8 с)2 / 2
y = (1.758 ⋅ 1013) ⋅ (25 ⋅ 10-16) / 2
y = (43.95 ⋅ 10-3) / 2
y = 21.975 ⋅ 10-3 м = 0.021975 м

Округляем до двух значащих цифр, как и исходные данные:

y ≈ 0.022 м = 2.2 см

Проверка единиц измерения:

[y] = [Кл] ⋅ [Н/Кл] ⋅ [м2] / ([кг] ⋅ [м/с]2) = [Н⋅м2] / ([кг⋅м2/с2]) = [Н⋅м2] / [Дж] = [Н⋅м2] / [Н⋅м] = [м]

Ответ: Электрон отклонится от первоначальной траектории на расстояние приблизительно 0.022 м (или 2.2 см).

Решение Задачи №10: Более комплексная задача на суперпозицию/равновесие

Условие задачи: В вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 10 см расположены три заряда: q1 = +1 нКл, q2 = +1 нКл и q3 = -2 нКл. Найдите результирующую силу, действующую на заряд q3.

Дано:

• a = 10 см
• q1 = +1 нКл
• q2 = +1 нКл
• q3 = -2 нКл
• k = 9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2

Перевод в СИ:

• a = 0.1 м
• q1 = 1 ⋅ 10-9 Кл
• q2 = 1 ⋅ 10-9 Кл
• q3 = -2 ⋅ 10-9 Кл

Чертеж и анализ:
Пусть вершины треугольника обозначены A (q1), B (q2) и C (q3).
На заряд q3 (в точке C) действуют две силы:

1. Сила F31: Действует на q3 со стороны q1. q1 положительный, q3 отрицательный, поэтому заряды притягиваются. Сила F₃₁ направлена от C к A.
2. Сила F32: Действует на q3 со стороны q2. q2 положительный, q3 отрицательный, поэтому заряды притягиваются. Сила F₃₂ направлена от C к B.

Расстояние между всеми зарядами равно a.
Модули сил F31 и F32 будут равны, так как |q1| = |q2| и расстояния одинаковы.

F31 = F32 = k ⋅ |q1 ⋅ q3| / a2

Угол между сторонами равностороннего треугольника равен 60°.
Силы F₃₁ и F₃₂ направлены под углом 60° друг к другу, но внутрь треугольника.
Чтобы найти результирующую силу Fрез = F31 + F32, используем метод проекций или правило параллелограмма. Угол между векторами F₃₁ и F₃₂, если их начала совместить в точке C, составляет 60°.

       C (q3)
      / \
     /   \
  F31 \ / F32
       \ /
        X
       / \
      /   \
     A (q1)--B (q2)

Ориентация сил: F₃₁ направлена по линии CA, F₃₂ по линии CB. Вектора сил в точке C образуют угол 60°.
Удобно выбрать ось X вдоль линии, проходящей через q3 и середину отрезка AB. Тогда ось X будет перпендикулярна отрезку AB. Ось Y будет параллельна AB.
Или проще, использовать теорему косинусов для сложения векторов:

Fрез2 = F312 + F322 + 2 F31 F32 cos(φ), где φ — угол между векторами сил.
Угол φ между векторами F₃₁ (вдоль CA) и F₃₂ (вдоль CB) в точке C равен 60°.
Поскольку F31 = F32 = F, то

Fрез2 = F2 + F2 + 2F2cos(60°) = 2F2 + 2F2(0.5) = 2F2 + F2 = 3F2

Fрез = F√3

Формула:

F = k ⋅ |q1 ⋅ q3| / a2

Fрез = F√3

Расчет:

1. Расчет F (модуля одной силы Кулона):
   F = (9 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ |(1 ⋅ 10-9 Кл) ⋅ (-2 ⋅ 10-9 Кл)| / (0.1 м)2
F = (9 ⋅ 109) ⋅ (2 ⋅ 10-18) / (0.01)
F = (18 ⋅ 10-9) / (0.01) = 18 ⋅ 10-7 Н = 1.8 ⋅ 10-6 Н
2. Расчет результирующей силы Fрез:
   Fрез = (1.8 ⋅ 10-6 Н) ⋅ √3
Fрез ≈ (1.8 ⋅ 10-6) ⋅ 1.732
Fрез ≈ 3.1176 ⋅ 10-6 Н

Проверка единиц измерения:

[F] = [Н]

Ответ: Модуль результирующей силы, действующей на заряд q3, составляет приблизительно 3.12 ⋅ 10-6 Н. Направление результирующей силы будет по биссектрисе угла, образованного векторами F₃₁ и F₃₂, то есть вертикально вниз, если q3 находится в верхней вершине.

Справочные данные и точность расчетов

Для обеспечения максимальной точности в физических расчетах важно использовать не только корректные формулы, но и наиболее точные значения физических констант. В академических задачах часто используются приближенные значения, однако для глубокого понимания и соблюдения строгих требований важно знать их современные фиксированные значения.

Современные фиксированные значения физических констант

Ниже представлена таблица с наиболее часто используемыми физическими константами, их стандартными значениями для школьных и университетских задач, а также их более точными (фиксированными) значениями согласно последним научным определениям.

Константа	Обозначение	Стандартное значение (для задач)	Точное (фиксированное) значение (СИ, 2019 г.)	Единицы измерения
Коэффициент Кулона	k	9 ⋅ 109	≈ 8.987 551 7923 ⋅ 109	Н⋅м2/Кл2
Электрическая постоянная	ε0	8.85 ⋅ 10-12	8.854 187 812 8(13) ⋅ 10-12	Ф/м
Элементарный заряд	e	1.6 ⋅ 10-19	1.602 176 634 ⋅ 10-19	Кл
Масса электрона	me	9.1 ⋅ 10-31	9.109 383 7015(28) ⋅ 10-31	кг
Ускорение свободного падения	g	9.8	≈ 9.80665 (стандартное)	м/с2

Примечание: Фиксированные значения элементарного заряда (e) и других фундаментальных констант (например, постоянной Планка, скорости света) были переопределены в 2019 году как точно заданные, что обеспечивает большую стабильность международной системы единиц. Для большинства учебных задач достаточно использовать стандартные значения, если иное не указано в условии.

Заключение и дальнейшие рекомендации

Мы проделали путь от фундаментальных законов электростатики до детальных пошаговых решений десяти разнообразных задач, строго следуя принципам академического оформления. Каждая глава этого сборника была призвана не только дать верный ответ, но и продемонстрировать глубокий аналитический подход, включающий в себя:

• Тщательный перевод всех величин в систему СИ.
• Построение информативных чертежей для визуализации векторных взаимодействий.
• Четкое выделение применяемых физических формул.
• Детальные математические расчеты с проверкой единиц измерения.
• Корректное округление результатов с учетом значащих цифр.

Использование современных значений физических констант и подробное изложение теоретического материала, включая принцип суперпозиции и условия равновесия, позволяет не только успешно справиться с контрольной работой, но и заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения физики, открывая путь к пониманию более сложных явлений.

Для самостоятельной проверки и закрепления материала рекомендуется:

1. Повторное решение: Попробуйте решить каждую задачу самостоятельно, не заглядывая в решение, а затем сравните свои результаты и оформление. Это лучший способ выявить пробелы в понимании.
2. Изменение параметров: Варьируйте исходные данные (знаки зарядов, расстояния, массы) и предскажите, как это повлияет на конечный результат и направление сил. Этот прием развивает интуицию.
3. Анализ единиц измерения: Всегда производите проверку единиц измерения в конце каждого расчета — это мощный инструмент для обнаружения ошибок, своего рода «быстрая проверка» на логичность.
4. Визуализация: Для задач с векторным сложением всегда начинайте с чертежа. Это поможет избежать ошибок в направлениях сил и их проекциях, значительно упрощая процесс решения.

Надеемся, что данный сборник станет незаменимым инструментом в освоении электростатики и поможет вам не только получить высокие баллы, но и глубоко полюбить эту увлекательную область физики, которая лежит в основе многих современных технологий.

Список использованной литературы

1. Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 1011 кл.: пособие для общеобразоват. Учреждений / А. П. Рымкевич. 10-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2006. 188, [4] с.: ил.
2. Электростатика — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи — Обучение Физике. URL: https://educon.by/teorija/elektrostatika (дата обращения: 05.10.2025).
3. ФИЗИКА (Основные законы и формулы). URL: https://kgau.ru/distance/32/osnovy-fiziki-2.html (дата обращения: 05.10.2025).
4. Взаимодействие точечных зарядов. Закон Кулона. URL: https://adu.by/ru/homepage/obrazovatelnyj-protsess-2023-2024-uchebnyj-god/obshchee-srednee-obrazovanie/uchebnye-predmety/fizika/uchebnye-materialy/10-klass/glava-3.html (дата обращения: 05.10.2025).
5. ГЛАВА 23. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ. URL: https://mephi.ru/ (дата обращения: 05.10.2025).
6. 1.3. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей. URL: https://studfile.net/preview/4462615/page:4/ (дата обращения: 05.10.2025).
7. Закон Кулона — урок. Физика, 10 класс. URL: https://yaklass.ru/p/fizika/10-klass/elektrodinamika-elektrostatika-10515/elektrostaticheskoe-pole-10516/zakon-kulona-7711 (дата обращения: 05.10.2025).
8. Электростатика — формулы, закон Кулона. URL: https://napishem.ru/blog/elektrostatika-formuly-zakon-kulona (дата обращения: 05.10.2025).
9. Пример оформления задач по физике. URL: https://disshelp.ru/blog/primer-oformleniya-zadach-po-fizike/ (дата обращения: 05.10.2025).
10. Правила оформления задач по физике и примеры решения задач. URL: https://fizika-oge-ege.blogspot.com/2020/04/blog-post_29.html (дата обращения: 05.10.2025).
11. Методика решения задач по физике. URL: https://infourok.ru/metodika-resheniya-zadach-po-fizike-2374661.html (дата обращения: 05.10.2025).