Содержание
Содержание
Введение – 3
Понятие алгебраических чисел – 4
Рациональные приближения алгебраических чисел – 8
Понятие трансцендентных чисел – 15
Трансцендентность числа e– 18
Применение теоремы Лиувилля для нахождения трансцендентных
чисел – 22
Заключение – 23
Литература – 24
Выдержка из текста
Пусть даны два поля P и F, такие, что P – подполе поля F.
Определение 1. Число называется алгебраическим над полем P, ес-ли является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из P.
Определение 2. Комплексные числа, являющиеся алгебраическими над по-лем рациональных чисел, называются алгебраическими числами.
Пример. – корень многочлена с коэффициентами из поля дей-ствительных чисел:
– алгебраическое над полем действительных чисел.
Легко заметить, что является алгебраическим и над полем рациональ-ных чисел.
Из определения легко заметить, что если – корень многочлена , то – корень , где g – многочлен над полем P.
Определение 3. Пусть P – подполе F, – алгебраический над полем P элемент. Тогда нормированный многочлен наименьшей степени, для которого является корнем, называется минимальным многочленом элемен-та .
Символом будем обозначать степень многочлена h.
Теорема 1. Пусть – алгебраический над полем P элемент, h – мини-мальный для многочлен. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)h неприводим над P;
2)если h1 тоже является минимальным многочленом элемента , то ;
3)если , для которого является корнем ( ), то h|g;
4)если , для которого является корнем, k – нормированный мно-гочлен, неприводимый над P, то h=k.
Доказательство:
1)Предположим, что h – приводим над P. Тогда , f и g – много-члены над полем P, , , . Так как многочлен h нормированный, то многочлены f и g тоже можно сделать нормиро-ванными. – по условию корень многочлена h, то есть . Зна-чит, . Очевидно, что одно из этих чисел или равно нулю. Пусть для определенности . Это утверждение противоречит тому, что h минимальный многочлен для элемента . Поэтому h неприводим над полем P.
Список использованной литературы
1.Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960.
2.Ожигова Е. П. Шарль Эрмит, 1822–1901. Л.: Наука, 1982.
3.Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа. М., 1952.