Комплексный анализ эмпирических распределений и выборочного наблюдения: Методическое руководство для курсовой работы

Когда дело доходит до принятия стратегических решений в бизнесе, экономике или социальной сфере, полагаться на интуицию – это путь к ошибкам. Согласно статистике, компании, активно использующие аналитику данных, демонстрируют в среднем на 5-6% более высокую производительность и прибыльность, чем их конкуренты, не уделяющие должного внимания глубокому анализу. Этот факт неопровержимо подчеркивает критическую важность статистического анализа, превращая его из абстрактной академической дисциплины в мощный инструмент для достижения реальных результатов, ведь именно он позволяет выявить скрытые закономерности и оптимизировать процессы, что напрямую влияет на конкурентоспособность.

Статистический анализ выступает фундаментом для любого осмысленного исследования в современном мире, будь то экономика, социология или маркетинг. Именно он позволяет превратить хаотичный поток сырых данных в структурированную, осмысленную информацию, на основе которой можно делать взвешенные выводы и принимать обоснованные решения. В контексте написания курсовой работы глубокое понимание методов анализа эмпирических распределений и выборочного наблюдения становится не просто желательным, а жизненно важным навыком.

Представленный материал призван стать исчерпывающим руководством для студентов, стремящихся не просто «сдать» курсовую, но по-настоящему освоить инструментарий статистического анализа. Мы шаг за шагом пройдем от базовых понятий эмпирических распределений до сложных методов проверки статистических гипотез и тонкостей выборочного наблюдения. Цель этого руководства — не просто перечислить формулы, а дать глубокое понимание «почему» и «как» работает каждый метод, предоставив студентам полный арсенал для проведения качественного и академически строгого статистического исследования. Мы рассмотрим теоретические основы, детализированные расчетные формулы, методы графического представления, а также современные возможности статистического программного обеспечения, чтобы каждый читатель смог не только успешно написать свою курсовую работу, но и заложить прочный фундамент для будущих аналитических проектов.

Основы эмпирических распределений и их визуализация

Начало любого статистического исследования данных – это их упорядочивание и осмысление. Представьте себе сырой, неструктурированный массив информации: тысячи чисел, которые сами по себе не говорят ни о чем. Именно здесь на помощь приходит понятие эмпирического распределения, которое служит первой ступенью на пути от хаоса к пониманию, позволяя придать данным форму и смысл, что является залогом успешного анализа.

Понятие эмпирического распределения и вариационного ряда

Эмпирическое распределение, часто называемое вариационным рядом, представляет собой не что иное, как упорядоченное множество значений изучаемого признака, полученных в результате реальных наблюдений, с обязательным указанием частот или частостей, с которыми эти значения встречаются. Это своего рода «почерк» наших данных, рассказывающий о том, как значения признака распределены в выборке.

Например, если мы изучаем возраст студентов в группе, эмпирическое распределение покажет, сколько студентов имеют возраст 18 лет, сколько 19, 20 и так далее. Первичный анализ этого распределения критически важен, поскольку он позволяет с первого взгляда выявить основные закономерности, выбросы, пики и провалы в данных. Он дает нам возможность задать первые вопросы: «Какие значения встречаются чаще всего?», «Есть ли аномальные наблюдения?», «Насколько сильно варьируются данные?». Без такого первичного «обследования» данных дальнейший, более глубокий статистический анализ может быть ошибочным или неэффективным. И что из этого следует? Такой подход гарантирует, что мы не будем тратить время на анализ «пустых» или сильно искаженных данных, а сосредоточимся на тех аспектах, которые действительно несут информацию.

Табличное представление данных: группировочные таблицы

После того как данные собраны, первым шагом к их осмыслению становится создание группировочных таблиц. Это не просто переписывание чисел, а целое искусство систематизации информации, которое позволяет компактно и наглядно представить эмпирическое распределение.

Группировочная таблица – это структура, которая упорядочивает данные по значениям признака (или интервалам значений) и соответствующим им частотам или частостям.

Давайте рассмотрим пример. Допустим, мы собрали данные о ежемесячных доходах 100 домохозяйств в условном городе N. Если мы просто перечислим все 100 значений, это будет малоинформативно. Вместо этого мы можем сгруппировать доходы по интервалам:

Таблица 1. Группировочная таблица распределения ежемесячных доходов домохозяйств

Интервал дохода (тыс. руб.)	Количество домохозяйств (частота, ni)	Доля домохозяйств (частость, fi)	Накопленная частота (Σni)	Накопленная частость (Σfi)
От 30 до 50	15	0.15	15	0.15
От 50 до 70	35	0.35	50	0.50
От 70 до 90	30	0.30	80	0.80
От 90 до 110	15	0.15	95	0.95
От 110 до 130	5	0.05	100	1.00
Итого	100	1.00

Такая таблица сразу позволяет увидеть, что большинство домохозяйств (35%) имеют доход от 50 до 70 тыс. руб., а наименьшее количество (5%) – от 110 до 130 тыс. руб. Накопленные частоты и частности показывают, например, что 50% домохозяйств имеют доход не выше 70 тыс. руб. Это уже ценная информация для экономистов и социологов.

Графические методы визуализации эмпирических распределений

Там, где числа могут показаться сухими, графика оживляет данные, делая их интуитивно понятными и легко интерпретируемыми. В статистике существует несколько мощных графических инструментов для визуализации эмпирических распределений, каждый из которых служит своей цели.

1. Гистограмма

Гистограмма – это, пожалуй, самый распространенный и информативный график для непрерывных данных. Представьте ее как город с небоскребами разной высоты.

• Как строится: По горизонтальной оси откладываются интервалы значений признака (например, возраст, доход, рост). Эти интервалы должны быть смежными и, по возможности, одинаковыми по ширине. По вертикальной оси откладываются частоты или плотности частот, которые показывают, сколько наблюдений попало в каждый интервал. Каждый интервал соответствует прямоугольнику, высота которого пропорциональна частоте или плотности частоты.
• Что показывает: Гистограмма позволяет наглядно оценить форму распределения (симметричное, асимметричное), выявить моды (вершины распределения), а также обнаружить выбросы или аномалии. Например, если гистограмма имеет один ярко выраженный пик, это говорит об унимодальном распределении. Два пика могут указывать на бимодальность, то есть наличие двух разных групп в данных.

2. Полигон частот

Полигон частот – это более «гладкая» альтернатива гистограмме, особенно полезная для сравнения нескольких распределений на одном графике.

• Как строится: Если у нас есть гистограмма, полигон частот – это ломаная линия, которая соединяет середины верхних сторон прямоугольников гистограммы. Для дискретных данных полигон строится путем соединения точек, где по горизонтальной оси откладываются значения признака, а по вертикальной – их частоты.
• Что показывает: Полигон, как и гистограмма, дает представление о форме распределения. Его плавность может лучше передавать общую тенденцию изменения частот по мере изменения значений признака. Он особенно эффективен для сравнения, например, распределения доходов в двух разных городах или динамики какого-либо показателя за несколько периодов.

3. Кумулята (Кумулятивная кривая или Огива)

Кумулята – это график, который отвечает на вопрос «сколько наблюдений имеют значение меньше или равное определенному уровню?».

• Как строится: По горизонтальной оси откладываются значения признака, а по вертикальной – накопленные частоты или накопленные частости. Каждая точка на кумуляте показывает общее количество или долю наблюдений, значения которых не превышают значения по горизонтальной оси.
• Что показывает: Кумулята особенно полезна для определения медианы (значения, при котором накопленная частость достигает 0.5) и других квартилей. Она также позволяет легко увидеть, какая доля данных лежит ниже определенного порога. Например, на графике кумуляты доходов мы можем увидеть, что 80% домохозяйств имеют доход не выше 90 тыс. руб., что очень важно для социальной политики.

Пример использования:

Представим, что мы анализируем время ожидания клиентов в банке. Гистограмма покажет, что большинство клиентов ждут от 5 до 10 минут, но есть небольшой «хвост» тех, кто ждет 20-25 минут. Полигон частот мог бы сравнить это распределение с распределением в другом отделении банка. А кумулята показала бы, что 75% клиентов обслуживаются в течение 12 минут, что важно для оценки качества сервиса. И что из этого следует? Эти графические методы позволяют не только визуализировать данные, но и эффективно общаться с неспециалистами, делая сложные статистические выводы доступными для понимания и принятия решений.

Использование этих графических инструментов на начальном этапе анализа позволяет не только представить данные в удобном виде, но и сформулировать предварительные гипотезы, которые будут проверены с помощью более сложных числовых методов.

Числовые характеристики эмпирических распределений: Количественная оценка данных

После того как мы визуально оценили наши данные, настало время перейти к их количественной характеристике. Числа, в отличие от графиков, дают точные значения и позволяют проводить более глубокий, объективный анализ. Мы сосредоточимся на трех основных группах показателей: меры центральной тенденции (где «центр» данных?), меры рассеяния (насколько данные «разбросаны» вокруг центра?) и показатели формы распределения (какова «форма» нашей кривой?).

Меры центральной тенденции

Меры центральной тенденции – это «сердце» наших данных, показатели, которые стремятся описать типичное или среднее значение признака. Это те значения, вокруг которых группируется большинство наблюдений.

1. Среднее арифметическое (Выборочная средняя)

• Определение: Самая известная мера центральной тенденции. Это сумма всех значений признака, деленная на их количество. Среднее арифметическое является несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания), что означает, что в среднем выборочные средние из разных выборок будут стремиться к истинному среднему всей генеральной совокупности.
• Формула:
  x̄ = (Σxi) / n
  Где:
  • x̄ — выборочная средняя
  • Σx_i — сумма всех значений наблюдений
  • n — объем выборки (количество наблюдений)
• Пример: Если доходы 5 человек составляют 30, 40, 50, 60, 70 тыс. руб., то x̄ = (30+40+50+60+70) / 5 = 50 тыс. руб.

2. Медиана

• Определение: Медиана – это центральное значение в упорядоченном (от наименьшего к наибольшему) вариационном ряду. Она делит ряд на две равные части: половина наблюдений имеет значения меньше медианы, половина – больше. В отличие от среднего арифметического, медиана менее чувствительна к выбросам.
• Как найти:
  • Упорядочить данные.
  • Если n нечетное, медиана – это центральное значение.
  • Если n четное, медиана – среднее арифметическое двух центральных значений.
• Пример: Для ряда 30, 40, 50, 60, 70 медиана = 50. Для ряда 30, 40, 50, 60 медиана = (40+50) / 2 = 45.

3. Мода

• Определение: Мода – это значение признака, которое встречается в вариационном ряду наиболее часто. Распределение может иметь одну моду (унимодальное), две моды (бимодальное) или не иметь моды вовсе (если все значения встречаются одинаково часто).
• Пример: В ряду 30, 40, 40, 50, 60, 70 мода = 40.

Меры рассеяния (вариации)

Меры рассеяния показывают, насколько сильно данные разбросаны или сконцентрированы вокруг центральной тенденции. Если меры центральной тенденции говорят о «где находится центр», то меры рассеяния – о «насколько далеко от центра разбросаны точки».

1. Дисперсия (Выборочная дисперсия)

• Определение: Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от их среднего арифметического. Она измеряет «среднюю квадратическую разницу» между каждым наблюдением и средним значением.
• Смещенная выборочная дисперсия (s²): Используется, когда мы хотим описать рассеяние только в пределах текущей выборки.
  s² = Σ(xi - x̄)² / n
• Несмещенная выборочная дисперсия (S²), или исправленная выборочная дисперсия: Это ключевой показатель, когда мы хотим оценить дисперсию всей генеральной совокупности на основе выборки. Использование (n — 1) в знаменателе, известное как поправка Бесселя, необходимо для получения несмещенной оценки генеральной дисперсии. Почему? Потому что выборочное среднее (x̄) по своей природе всегда будет немного ближе к значениям в самой выборке, чем истинное, неизвестное генеральное среднее. Это приводит к тому, что сумма квадратов отклонений от выборочного среднего будет немного занижена. Деление на (n — 1) компенсирует это смещение, делая оценку более точной.
  S² = Σ(xi - x̄)² / (n - 1)
• Пример: Для ряда 30, 40, 50, 60, 70 со средним 50:
  • Отклонения: -20, -10, 0, 10, 20
  • Квадраты отклонений: 400, 100, 0, 100, 400
  • Сумма квадратов отклонений = 1000
  • S² = 1000 / (5 — 1) = 1000 / 4 = 250

2. Стандартное (среднее квадратическое) отклонение

• Определение: Стандартное отклонение – это квадратный корень из дисперсии. Оно выражается в тех же единицах измерения, что и исходные данные, что делает его более интерпретируемым, чем дисперсия. Оно показывает среднее отклонение значений признака от среднего.
• Формула (выборочное стандартное отклонение s):
  s = √[Σ(xi - x̄)² / (n - 1)]
• Пример: Из предыдущего примера, s = √250 ≈ 15.81 тыс. руб. Это означает, что в среднем доходы отклоняются от среднего значения на 15.81 тыс. руб.

3. Размах вариации

• Определение: Самая простая мера рассеяния – разница между максимальным и минимальным значениями признака в ряду.
• Пример: Для ряда 30, 40, 50, 60, 70 размах = 70 — 30 = 40.

Показатели формы распределения: Асимметрия и эксцесс

Эти коэффициенты позволяют нам глубже понять, насколько форма нашего эмпирического распределения похожа или отличается от идеального симметричного колоколообразного нормального распределения.

1. Коэффициент асимметрии (g₁)

• Определение: Коэффициент асимметрии показывает степень скошенности распределения относительно его среднего значения.
  • Положительная асимметрия (g₁ > 0): Распределение имеет «длинный хвост» справа, а большая часть данных сосредоточена в левой части графика. Например, доходы: большинство людей имеют средний или низкий доход, но есть небольшое количество очень богатых людей.
  • Отрицательная асимметрия (g₁ < 0): Распределение имеет «длинный хвост» слева, а большая часть данных сосредоточена в правой части графика. Например, результаты очень легкого теста: большинство студентов набрали высокие баллы, но есть несколько тех, кто справился плохо.
  • Нулевая асимметрия (g₁ ≈ 0): Распределение симметрично относительно среднего (например, нормальное распределение).
• Формула для несгруппированной совокупности:
  g₁ = [n / ((n - 1)(n - 2))] * Σ((xi - x̄) / s)³
  Где s — выборочное стандартное отклонение.

2. Коэффициент эксцесса (g₂)

• Определение: Коэффициент эксцесса (или эксцесс Пирсона) характеризует степень островершинности или плосковершинности распределения по сравнению с нормальным распределением. Для нормального распределения эксцесс равен 0.
  • Положительный эксцесс (g₂ > 0): Распределение более островершинное и имеет «тяжелые хвосты» (больше наблюдений на краях распределения, чем у нормального). Это говорит о большей концентрации данных вокруг среднего и большем количестве экстремальных значений.
  • Отрицательный эксцесс (g₂ < 0): Распределение более плосковершинное и имеет «легкие хвосты» (меньше наблюдений на краях). Это указывает на более равномерное распределение данных.
• Формула для несгруппированной совокупности:
  g₂ = [n(n + 1) / ((n - 1)(n - 2)(n - 3))] * Σ((xi - x̄) / s)⁴ - [3(n - 1)² / ((n - 2)(n - 3))]

Понимание этих числовых характеристик позволяет нам не только описать, но и количественно измерить основные черты наших данных, что является ключом к глубокому статистическому анализу и обоснованным выводам в курсовой работе. Какой важный нюанс здесь упускается? Точность этих показателей напрямую зависит от качества исходных данных и правильности выбора метода их расчета, что подчеркивает важность предварительной проверки и очистки данных.

Сглаживание эмпирических распределений и проверка статистических гипотез

Представьте, что вы смотрите на фотографию, сделанную в тумане. Контуры нечеткие, детали размыты. В статистике «туман» – это случайные колебания в эмпирических данных. Сглаживание помогает «прояснить» картину, выявить истинные контуры распределения, а проверка статистических гипотез позволяет нам подтвердить или опровергнуть наши предположения о том, что мы видим.

Основы статистических гипотез

В основе любого научного исследования лежит гипотеза – предположение, которое необходимо проверить. В статистике это предположение касается свойств генеральной совокупности, которые мы пытаемся оценить по выборочным данным.

Различают два основных типа гипотез:

1. Нулевая гипотеза (H₀): Это исходное предположение, которое мы хотим проверить. Часто оно формулируется как отсутствие эффекта, различий или связи. Например: «Средний доход мужчин и женщин одинаков» или «Данные подчиняются нормальному распределению».
2. Конкурирующая (альтернативная) гипотеза (H₁): Это гипотеза, которая принимается, если нулевая гипотеза отвергается. Она утверждает обратное нулевой гипотезе. Например: «Средний доход мужчин и женщин различен» или «Данные не подчиняются нормальному распределению».

При проверке гипотез мы всегда рискуем совершить ошибку:

• Ошибка I рода (α): Это ошибка, когда мы отвергаем нулевую гипотезу (H₀), хотя она на самом деле верна. Вероятность совершения такой ошибки называется уровнем значимости (α), и обычно она устанавливается на уровне 0.05 (5%) или 0.01 (1%).
• Ошибка II рода (β): Это ошибка, когда мы принимаем нулевую гипотезу (H₀), хотя она на самом деле неверна.
• Мощность критерия (1 — β): Это вероятность правильно отвергнуть неверную нулевую гипотезу. Чем выше мощность, тем «лучше» критерий.

Выбор между ошибками I и II рода всегда компромисс: уменьшение одной ведет к увеличению другой. Например, очень строгий критерий (маленькое α) снижает риск ложно отвергнуть H₀, но увеличивает риск ложно ее принять.

Критерий согласия Пирсона (χ²)

Одним из наиболее универсальных инструментов для проверки гипотез о виде распределения является критерий согласия Пирсона, или хи-квадрат (χ²). Он позволяет оценить, насколько хорошо наблюдаемые (эмпирические) частоты соответствуют ожидаемым (теоретическим) частотам, предсказанным некоторой гипотетической моделью распределения.

• Применимость: Критерий χ² может использоваться как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
• Принцип работы: Мы сравниваем, насколько сильно фактические частоты попадания данных в определенные интервалы (или категории) отличаются от частот, которые мы ожидали бы, если бы данные действительно следовали предполагаемому распределению.
• Нулевая гипотеза (H₀): Эмпирическое распределение соответствует теоретическому (например, нормальному, равномерному, Пуассона).
• Альтернативная гипотеза (H₁): Эмпирическое распределение не соответствует теоретическому.
• Формула статистики критерия согласия Пирсона:
  χ² = Σ((Oi - Ei)² / Ei)
  Где:
  • O_i — наблюдаемые (эмпирические) частоты для i-го интервала (категории).
  • E_i — ожидаемые (теоретические) частоты для i-го интервала (категории), рассчитанные исходя из предполагаемого теоретического распределения.
  • Суммирование производится по всем интервалам (от i=1 до k).
• Число степеней свободы (df): Это ключевой параметр для определения критического значения χ². Обычно оно рассчитывается как (k — 1 — p), где k — число интервалов (или категорий), а p — число параметров теоретического распределения, которые были оценены по выборке (например, для нормального распределения это среднее и стандартное отклонение, то есть p=2).
• Принятие решения: Если вычисленное значение χ² меньше критического значения из таблицы распределения χ² при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы, то у нас нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Это означает, что расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями можно объяснить случайностью. В противном случае, если χ²_{вычисленное} > χ²_{критическое}, H₀ отвергается.

Критерии согласия Колмогорова и Колмогорова-Смирнова

В отличие от критерия Пирсона, критерии Колмогорова и Колмогорова-Смирнова ориентированы преимущественно на проверку гипотез о принадлежности выборки непрерывным функциям распределения и отличаются своей чувствительностью к отклонениям в форме распределения.

• Критерий Колмогорова: Этот критерий сравнивает эмпирическую функцию распределения F_n(x) (построенную по наблюдаемым данным) с предполагаемой теоретической функцией распределения F(x).
  • Нулевая гипотеза (H₀): Эмпирическое распределение соответствует теоретическому.
  • Статистика критерия Колмогорова (D_n):
    Dn = supx |Fn(x) - F(x)|
    Где:
    • F_n(x) — эмпирическая функция распределения.
    • F(x) — предполагаемая теоретическая функция распределения.
    • sup_x означает «супремум» или наибольшее значение абсолютной разницы между двумя функциями на всем диапазоне x.
  • Принимая решение, мы сравниваем D_n с критическим значением, которое зависит от объема выборки и уровня значимости.
• Критерий Смирнова: Является расширением критерия Колмогорова и используется для проверки однородности двух выборок, то есть для проверки гипотезы о том, что две независимые выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности или из совокупностей с одинаковым распределением.
  • Статистика критерия Смирнова (D_m,n):
    Dm,n = supy |Fm*(y) - Gn*(y)|
    Где F_m^*(y) и G_n^*(y) — эмпирические функции распределения для двух выборок объемов m и n соответственно.
• Критерий Лиллиефорса: Это модификация критерия Колмогорова-Смирнова, специально разработанная для проверки гипотезы о нормальности распределения, когда параметры нормального распределения (среднее и стандартное отклонение) оцениваются по самой выборке. Если p-значение, полученное при применении критерия Лиллиефорса, меньше выбранного уровня значимости (например, 0.05), то гипотеза о нормальном распределении должна быть отвергнута.

Методы сглаживания эмпирических распределений

Сглаживание – это процесс, который позволяет нам «очистить» эмпирическое распределение от случайных колебаний, вызванных особенностями конкретной выборки, и выявить его истинную, underlying тенденцию. Это похоже на удаление шумов с аудиозаписи, чтобы лучше слышать мелодию.

• Цель: Заменить «неровные» эмпирические частоты более «гладкими» теоретическими частотами, которые соответствуют некоторому предположительному закону распределения (например, нормальному). Это помогает выявить основную форму распределения и упростить его интерпретацию.
• Процедура:
  1. Выбор теоретического распределения: На основе предварительного анализа (гистограмм, коэффициентов асимметрии и эксцесса) выдвигается гипотеза о виде теоретического распределения (например, нормальное, экспоненциальное, Пуассона).
  2. Оценка параметров: По данным эмпирического распределения оцениваются параметры выбранного теоретического распределения (например, среднее и стандартное отклонение для нормального распределения).
  3. Расчет теоретических частот: Используя функцию плотности вероятности (или функцию вероятности) выбранного теоретического распределения и оцененные параметры, рассчитываются ожидаемые (теоретические) частоты для каждого интервала или значения признака.
  4. Сравнение и корректировка: Полученные теоретические частоты сравниваются с эмпирическими. Если расхождения невелики (что можно проверить с помощью критериев согласия), то считается, что сглаживание прошло успешно.
• Методы сглаживания: Помимо применения параметрических моделей распределения, могут использоваться непараметрические методы, такие как:
  • Скользящие средние: Каждая точка заменяется средним значением из окна соседних точек.
  • Локальная регрессия (например, LOESS): Подгонка локальных полиномов к небольшим участкам данных.
• Пример: Мы можем сгладить эмпирическое распределение роста студентов, если оно кажется близким к нормальному. Мы рассчитаем средний рост и стандартное отклонение, а затем используем эти параметры для построения теоретического нормального распределения, которое будет «гладкой кривой», аппроксимирующей нашу гистограмму.

Сглаживание и проверка гипотез о распределении – это мощные инструменты, позволяющие переходить от описательного анализа к статистическому выводу, делая наши заключения более обоснованными и научно значимыми.

Теория и методы выборочного наблюдения: Отбор и оценка

В мире, где ресурсы ограничены, а генеральные совокупности могут быть неисчерпаемы, полное (сплошное) наблюдение часто оказывается невозможным или нецелесообразным. Именно здесь на сцену выходит выборочное наблюдение – искусство и наука получения достоверных выводов о целом, изучая лишь его часть.

Понятие выборочного наблюдения, генеральной и выборочной совокупности

Чтобы понять выборочное наблюдение, необходимо четко разграничить два ключевых понятия:

1. Генеральная совокупность: Это вся совокупность единиц, которая является объектом нашего изучения. Это «все» элементы, о которых мы хотим сделать выводы. Например, все жители города, все предприятия отрасли, все товары определенного типа. Объем генеральной совокупности обозначается как N.
2. Выборочная совокупность (выборка): Это часть единиц генеральной совокупности, специально отобранная для непосредственного наблюдения, измерения и анализа. Это «некоторые» элементы, которые мы фактически изучаем. Объем выборки обозначается как n.

Выборочное наблюдение – это вид статистического наблюдения, при котором обследованию подвергается не вся генеральная совокупность, а лишь ее часть, отобранная по определенным правилам. Главная цель – получить достоверные данные о характеристиках всей генеральной совокупности, основываясь на данных выборки.

Ключевым свойством хорошей выборки является ее репрезентативность. Репрезентативность выборки (от англ. represent – представлять) – это свойство выборки достоверно отражать, представлять характеристики генеральной совокупности. Проще говоря, если выборка репрезентативна, то выводы, сделанные на ее основе, можно без значительных искажений распространять на всю генеральную совокупность. Нарушение репрезентативности ведет к систематическим ошибкам выборки, которые могут полностью исказить результаты исследования.

Основные способы формирования выборочной совокупности

Способ формирования выборочной совокупности – это не просто технический вопрос, а методологический выбор, который напрямую влияет на репрезентативность и достоверность результатов. Различают несколько основных методов:

1. Собственно-случайный отбор:

• Принцип: Каждая единица генеральной совокупности имеет равные шансы попасть в выборку, а отбор одной единицы не влияет на шансы отбора других. Это «золотой стандарт» для обеспечения репрезентативности.
• Повторный отбор: После того как единица отобрана и ее параметры измерены, она «возвращается» в генеральную совокупность, и может быть отобрана повторно. На практике встречается редко, чаще используется в теоретических моделях.
• Бесповторный отбор: Отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность и не может быть отобрана повторно. Это наиболее распространенный вид случайного отбора на практике.
• Пример: Выбор номеров лотерейных билетов из барабана или случайная генерация чисел с помощью компьютера.

2. Механический (систематический) отбор:

• Принцип: Разновидность случайной выборки, которая применяется, когда элементы генеральной совокупности упорядочены по какому-либо признаку (например, список студентов по алфавиту, реестр клиентов). Отбор производится путем выбора каждого k-го элемента после случайного выбора первого.
• Как это работает: Определяется шаг отбора k = N/n (объем генеральной совокупности делим на желаемый объем выборки). Случайным образом выбирается стартовый элемент в пределах от 1 до k. Затем каждый k-й элемент попадает в выборку.
• Преимущество: Простота реализации, особенно для больших упорядоченных списков.
• Риск: Если в списке есть скрытая периодичность, совпадающая с шагом отбора, выборка может оказаться нерепрезентативной (например, если каждый 10-й элемент в списке – руководитель, а мы выбираем каждого 10-го).

3. Типический (стратифицированный, районированный, расслоенный) отбор:

• Принцип: Генеральная совокупность сначала делится на несколько качественно однородных групп (слоев или страт) по какому-либо важному признаку (например, по регионам, по полу, по уровню дохода). Затем из каждой страты осуществляется случайный или механический отбор единиц.
• Преимущество: Значительно уменьшает погрешность выборки, если между группами существуют ощутимые различия. Гарантирует, что каждая важная подгруппа будет представлена в выборке.
• Пример: При изучении мнения студентов университета, мы можем разделить их на страты по факультетам и курсам, а затем случайно отобрать студентов из каждой страты пропорционально их доле в общей численности.

4. Серийный (гнездовой, кластерный) отбор:

• Принцип: Единицами отбора выступают не отдельные объекты, а группы (кластеры или серии), которые отбираются случайным образом. Затем все объекты внутри выбранных кластеров обследуются сплошняком.
• Преимущество: Экономичность, особенно когда единицы распределены географически или физически объединены в группы (например, студенты в классах, семьи в домах).
• Риск: Если кластеры внутренне неоднородны или похожи друг на друга, эффективность выборки может быть ниже.
• Пример: Для изучения успеваемости школьников в городе можно случайно выбрать несколько школ (кластеров), а затем опросить всех учеников в этих школах.

Выбор конкретного метода зависит от целей исследования, имеющихся ресурсов, а также от структуры и характеристик генеральной совокупности.

Определение оптимального объема выборки

После выбора метода формирования выборки перед исследователем встает следующая критически важная задача: определить оптимальный объем выборки (n). Это не просто вопрос «чем больше, тем лучше», а поиск такого n, при котором с заданной вероятностью средняя ошибка выборки не превосходит некоторой заранее заданной величины – предельной ошибки выборки (Δ).

Что такое предельная ошибка выборки (Δ)? Это максимально допустимое отклонение выборочной характеристики (например, выборочной средней) от истинного значения параметра в генеральной совокупности, которое мы готовы допустить с определенной степенью надежности.

Что такое коэффициент доверия (t)? Это значение из таблиц стандартного нормального распределения (для больших выборок) или распределения Стьюдента (для малых выборок), которое соответствует выбранной доверительной вероятности (1 — α).

• Доверительная вероятность (1 — α): Это вероятность того, что истинное значение параметра генеральной совокупности попадет в построенный доверительный интервал. Чаще всего используются значения 0.95 (соответствует t ≈ 1.96) или 0.99 (соответствует t ≈ 2.58).
• Чем выше доверительная вероятность, тем больше будет t, и тем больше потребуется объем выборки.
• Чем меньше предельная ошибка Δ (то есть чем выше требуемая точность), тем значительно больше потребуется объем выборки, поскольку Δ находится в знаменателе формул в квадрате.

Формулы для определения необходимого объема выборки:

1. Для количественного признака (средней величины):

• Для повторной выборки:
  n = (t² * σ²) / Δ²
  Где:
  • t — коэффициент доверия, соответствующий заданной доверительной вероятности.
  • σ² — генеральная дисперсия признака (или ее оценка на основе предыдущих исследований/пробной выборки). Это один из самых сложных моментов: если σ² неизвестна, ее можно оценить по пилотному исследованию или использовать верхнюю границу для максимального объема выборки.
  • Δ — предельная ошибка выборки, заданная исследователем.
• Для бесповторной выборки:
  n = (t² * σ² * N) / (Δ² * N + t² * σ²)
  Где N — объем генеральной совокупности. Эта формула учитывает «поправку на конечность генеральной совокупности».

2. Для альтернативного признака (доли): Часто в исследованиях нас интересует доля объектов, обладающих каким-либо признаком (например, доля избирателей, поддерживающих кандидата).

• Для повторной выборки:
  n = (t² * p * (1 - p)) / Δ²
  Где:
  • p — доля признака в генеральной совокупности. Если p неизвестно, для получения максимального объема выборки (наихудший случай) обычно принимают p = 0.5, так как произведение p*(1-p) максимально при p=0.5.
• Для бесповторной выборки:
  n = (t² * p * (1 - p) * N) / (Δ² * N + t² * p * (1 - p))

Важность оценки σ или p: Расчет показателя вариации изучаемого признака (σ для количественного признака или p для доли) является одним из наиболее важных и сложных вопросов при определении необходимого объема выборки. Если эти параметры неизвестны, можно использовать:

• Данные предыдущих аналогичных обследований.
• Результаты небольшого пробного (пилотного) обследования.
• Для доли (p) – значение 0.5, чтобы получить максимальный требуемый объем выборки.

Правильно определенный объем выборки – это гарантия того, что исследование будет не только экономически оправданным, но и достаточно точным для получения надежных выводов о генеральной совокупности. Что из этого следует? Инвестиции в точное определение объёма выборки на этапе планирования значительно снижают риски получения недостоверных результатов и последующих финансовых потерь.

Оценка параметров генеральной совокупности по выборочным данным

Представим, что у нас есть лишь несколько фрагментов древней мозаики, и наша задача – воссоздать картину целиком. В статистике выборочные данные – это наши «фрагменты», а генеральная совокупность – это «мозаика». Цель статистического оценивания – используя эти фрагменты, сделать наиболее обоснованные суждения о свойствах всей мозаики.

Числовые значения, которые характеризуют генеральную совокупность (например, средний доход всех граждан, дисперсия их доходов), называются параметрами генеральной совокупности. Они, как правило, неизвестны. Наша задача – оценить их по выборочным данным. Существуют два основных подхода: точечная и интервальная оценка.

Точечные оценки: Свойства и применение

Точечная оценка – это оценка, которая выражается одним единственным числом, полученным на основе выборочных данных. Например, выборочное среднее (x̄) является точечной оценкой генеральной средней (μ). Выборочная дисперсия (S²) – точечная оценка генеральной дисперсии (σ²).

Но как понять, насколько хороша эта «одна точка»? Для этого существуют три ключевых свойства, определяющие качество точечной оценки:

1. Состоятельность: Оценка считается состоятельной, если при увеличении объема выборки (n → ∞) выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности. Проще говоря, чем больше данных мы соберем, тем ближе наша оценка будет к истинному значению. Например, выборочное среднее является состоятельной оценкой генеральной средней.
2. Эффективность: Оценка эффективна, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех других возможных несмещенных оценок одного и того же параметра. Это означает, что при многократном повторении выборок, значения эффективной оценки будут «менее разбросаны» вокруг истинного параметра, чем значения других оценок.
3. Несмещенность: Оценка несмещенна, если ее математическое ожидание равно истинному (оцениваемому) параметру генеральной совокупности при любом объеме выборки.
   • Выборочная средняя (x̄) является несмещенной оценкой генеральной средней (μ). Это очень важное свойство, которое делает выборочное среднее надежным индикатором.
   • Смещенная выборочная дисперсия (s² = Σ(x_i — x̄)² / n) является смещенной оценкой генеральной дисперсии (σ²). Как уже упоминалось, она систематически занижает истинное значение σ².
   • Для получения несмещенной оценки генеральной дисперсии используется исправленная (несмещенная) выборочная дисперсия (S² = Σ(x_i — x̄)² / (n — 1)). Поправка Бесселя (деление на (n — 1) вместо n) компенсирует тот факт, что выборочное среднее всегда ближе к значениям своей выборки, чем истинное генеральное среднее, которое обычно неизвестно.

Интервальные оценки: Построение доверительных интервалов

Точечные оценки, будучи одним числом, не дают информации о точности. Мы не знаем, насколько близко эта «точка» к истинному значению параметра. Здесь на помощь приходят интервальные оценки.

Интервальная оценка – это оценка, которая определяет интервал (называемый доверительным интервалом), в пределах которого с заданной вероятностью лежит истинное значение параметра генеральной совокупности.

• Доверительная вероятность (1 — α): Это ключевой показатель интервальной оценки. Он выражает вероятность того, что построенный доверительный интервал фактически будет содержать истинное (неизвестное) значение оцениваемого параметра. Чаще всего используются высокие значения: 0.95 (95%), 0.99 (99%) или 0.999 (99.9%).
• Конечные значения доверительного интервала называются нижним и верхним доверительными пределами.
• Чем выше доверительная вероятность, тем шире будет доверительный интервал (что логично: чтобы быть более уверенным, что мы «поймали» параметр, мы расширяем «сеть»).

Формулы для построения доверительных интервалов:

1. Для генеральной средней (μ):

• При известной генеральной дисперсии (σ²) и большом объеме выборки (n ≥ 30): Используется Z-распределение.
  x̄ ± Zα/2 * (σ / √n)
  Где Zα/2 — критическое значение стандартного нормального распределения, соответствующее заданному уровню доверия (например, для 95% доверия Zα/2 ≈ 1.96).
• При неизвестной генеральной дисперсии (σ²) и малом или умеренном объеме выборки (n < 30): Используется t-распределение Стьюдента.
  x̄ ± tα/2, n-1 * (s / √n)
  Где tα/2, n-1 — критическое значение распределения Стьюдента с (n — 1) степенями свободы, а s — выборочное стандартное отклонение (на основе несмещенной дисперсии).

2. Для генеральной доли (p): Применимо при условиях, что n·p̂ > 5 и n·(1 - p̂) > 5 (для аппроксимации биномиального распределения нормальным).
p̂ ± Zα/2 * √(p̂(1 - p̂) / n)
Где p̂ — выборочная доля.

Центральная предельная теорема и ее значение

Центральная предельная теорема (ЦПТ) – это один из краеугольных камней всей математической статистики. Ее значение трудно переоценить, поскольку она позволяет применять мощные методы, основанные на нормальном распределении, даже когда исходные данные не подчиняются ему.

• Суть теоремы: ЦПТ утверждает, что распределение выборочных средних, полученных из достаточно большого количества выборок одинакового объема, взятых из любой генеральной совокупности (независимо от ее формы распределения), будет стремиться к нормальному распределению. При этом среднее этого распределения выборочных средних будет равно генеральной средней (μ), а его дисперсия будет равна генеральной дисперсии, деленной на объем выборки (σ²/n).
• Практическое значение:
  1. Обоснование нормальности: ЦПТ объясняет, почему многие случайные величины, являющиеся суммой (или средним) множества случайных факторов (например, рост человека, ошибки измерений), имеют распределение, близкое к нормальному.
  2. Применение параметрических тестов: Благодаря ЦПТ мы можем использовать статистические методы, основанные на нормальном распределении (такие как построение доверительных интервалов для средних или t-тесты), даже если исходные данные не являются нормально распределенными, при условии, что объем выборки достаточно велик (обычно n ≥ 30 считается достаточным). Это существенно расширяет область применения этих методов.
  3. Оценка точности: ЦПТ дает нам формулу для оценки стандартной ошибки выборочного среднего (σ/√n), которая лежит в основе построения доверительных интервалов.

Таким образом, ЦПТ служит мощным теоретическим обоснованием для большинства статистических выводов, позволяя нам переходить от изучения ограниченной выборки к надежным суждениям о всей генеральной совокупности. Разве не удивительно, как эта теорема преобразует кажущуюся сложность в ясность и предсказуемость?

Применение статистического программного обеспечения и эффективность выборочного наблюдения

В эпоху цифровизации ручной расчет сложных статистических показателей и построение графиков стали скорее исключением, чем правилом. Современное статистическое программное обеспечение превратило трудоемкий анализ в эффективный и доступный процесс. Параллельно с этим, критически важно понимать, когда выборочное наблюдение является наиболее подходящим инструментом, а когда его ограничения могут стать препятствием.

Использование статистического программного обеспечения

Статистическое программное обеспечение – это не просто калькулятор, это мощный аналитический комбайн, способный автоматизировать рутинные задачи и визуализировать сложные закономерности в данных. Такие программы, как STATISTICA, R, Python (с библиотеками Pandas, NumPy, SciPy, Matplotlib, Seaborn), SPSS, SAS, Stata, стали неотъемлемой частью арсенала любого аналитика.

Что они позволяют делать:

1. Автоматизированный расчет характеристик: Программы мгновенно вычисляют все числовые характеристики эмпирических распределений: средние, медианы, моды, дисперсии, стандартные отклонения, коэффициенты асимметрии и эксцесса, избавляя от рутинных и подверженных ошибкам расчетов.
2. Продвинутая визуализация:
   • Гистограммы, полигоны, кумуляты: Программы строят эти графики в несколько кликов, с возможностью настройки внешнего вида и добавления теоретических кривых распределения для сравнения.
   • P-P (Probability-Probability) и Q-Q (Quantile-Quantile) графики: Эти мощные инструменты позволяют визуально сравнивать наблюдаемый закон распределения с различными теоретическими.
     • P-P график сравнивает кумулятивные вероятности двух распределений. Если точки ложатся на прямую линию, распределения схожи.
     • Q-Q график сравнивает квантили двух распределений. Отклонения от прямой линии указывают на различия в форме или хвостах распределений. Они особенно полезны для быстрой оценки нормальности или соответствия другим известным распределениям.
3. Проверка статистических гипотез: Встроенные функции позволяют проводить проверку гипотез о законах распределения (например, критерии согласия Пирсона, Колмогорова-Смирнова, Лиллиефорса, Шапиро-Уилка для нормальности), а также другие параметрические и непараметрические тесты. Например, в SPSS, помимо нормального распределения, можно протестировать данные на соответствие Лапласа, хи-квадрат, Стьюдента и множеству других.
4. Сглаживание распределений: Программы предлагают различные методы сглаживания, от простых скользящих средних до более сложных непараметрических подходов, помогая выявить скрытые тенденции.
5. Работа с выборочными данными: ПО обеспечивает удобные инструменты для формирования выборок, расчета оптимального объема выборки (часто через специальные модули или плагины), построения доверительных интервалов для средних и долей.

Пример использования:
Представьте, что вы анализируете данные о продолжительности жизни смартфонов. С помощью Python и библиотеки matplotlib вы можете построить гистограмму, а затем, используя scipy.stats, наложить на нее кривую предполагаемого экспоненциального распределения. Затем, с помощью statsmodels.api.qqplot, можно построить Q-Q график, чтобы визуально оценить соответствие данных этому распределению, прежде чем переходить к формальным тестам.

Преимущества и ограничения выборочного наблюдения

Выборочное наблюдение, будучи эффективным инструментом, имеет как неоспоримые преимущества, так и определенные ограничения, которые необходимо учитывать при планировании исследования.

Преимущества выборочного наблюдения:

1. Экономия ресурсов: Главное преимущество – значительная экономия затрат труда, материальных и финансовых ресурсов, поскольку обследуется лишь часть совокупности. Это особенно актуально для больших генеральных совокупностей.
2. Расширенная программа исследования: Благодаря экономии ресурсов, можно проводить обследование по более широкой программе, собирая больше информации по каждой единице выборки, что ведет к более углубленному анализу.
3. Оперативность: Получение результатов статистического исследования значительно раньше, чем при сплошном наблюдении. Это критично в быстро меняющихся условиях рынка или социальной среды.
4. Единственно возможный способ: В некоторых случаях выборочное наблюдение является единственным возможным способом исследования, например, если обследование сопровождается разрушением или уничтожением единиц совокупности (контроль качества продукции, испытания на прочность ламп, автомобилей, лекарств).
5. Сокращение ошибок регистрации: Меньший объем данных позволяет более тщательно контролировать процесс сбора информации, что потенциально снижает количество ошибок, связанных с человеческим фактором.

Ограничения выборочного наблюдения:

1. Ошибка выборки: Полученные данные всегда содержат ошибку выборки. В отличие от сплошного наблюдения, результаты выборочного исследования всегда являются оценками, и о них можно судить лишь с определенной степенью достоверности (вероятности).
2. Требования к квалификации: Для проведения выборочного наблюдения требуются квалифицированные кадры, способные правильно спланировать выборку, отобрать единицы и обработать данные, чтобы обеспечить репрезентативность и минимизировать ошибки.
3. Ошибки репрезентативности: Неизбежны определенные отклонения выборочных значений параметров от значений для генеральной совокупности, называемые ошибками репрезентативности. Они могут быть двух типов:
   • Систематические ошибки: Возникают вследствие нарушения принципов случайного отбора или наличия предвзятости в процессе формирования выборки. Эти ошибки искажают информацию в определенном, предсказуемом направлении и, что критически важно, не уменьшаются с увеличением объема выборки. Примеры:
     • Неправильно составленная основа выборки (например, опрос проводится только среди владельцев смартфонов, тогда как генеральная совокупность включает всех жителей).
     • Отказ респондентов от участия (non-response bias), если отказавшиеся имеют иные характеристики, чем согласившиеся.
     • Предвзятость интервьюера или неправильная замена единиц наблюдения.
   • Случайные ошибки: Обусловлены естественными, случайными различиями между единицами, попавшими в выборку, и единицами генеральной совокупности. Эти ошибки являются объективными, могут быть измерены методами математической статистики (при соблюдении принципа случайности) и, что важно, уменьшаются по мере увеличения объема выборки. Именно их мы пытаемся контролировать, определяя оптимальный объем выборки и строя доверительные интервалы.

Области эффективного применения

Выборочное наблюдение находит наиболее эффективное применение в социологии (опросы общественного мнения), маркетинге (исследования потребительских предпочтений, тестирование продуктов), экономике (анализ цен, безработицы, доходов), медицине (клинические испытания, эпидемиологические исследования) и других областях, где полное обследование либо невозможно (например, бесконечная генеральная совокупность), либо экономически нецелесообразно, либо требует разрушающего контроля.

Правильное применение выборочного наблюдения, подкрепленное знанием его сильных и слабых сторон, а также использованием современного программного обеспечения, позволяет получить высококачественные и надежные результаты исследования.

Заключение

Путешествие по миру анализа эмпирических распределений и выборочного наблюдения – это погружение в фундамент статистической науки, который служит опорой для принятия обоснованных решений во всех сферах человеческой деятельности. От первых шагов в визуализации данных до сложнейших методов оценки параметров генеральной совокупности и проверки гипотез, каждый этап этого пути критически важен для формирования целостной и достоверной картины исследуемого явления.

Мы начали с того, как «оживить» сырые данные, превратив их в осмысленные эмпирические распределения, и научились представлять их наглядно с помощью таблиц и графиков, таких как гистограммы, полигоны и кумуляты. Затем мы перешли к количественной оценке, детально разобрав меры центральной тенденции, рассеяния и формы распределения, такие как среднее арифметическое, медиана, мода, дисперсия (с учетом нюансов несмещенной оценки), стандартное отклонение, асимметрия и эксцесс. Понимание этих числовых характеристик позволяет нам не просто описать, но и измерить ключевые черты наших данных.

Далее мы освоили тонкости сглаживания эмпирических распределений для выявления истинных тенденций и углубились в методологию проверки статистических гипотез. Изучение критериев согласия Пирсона (χ²) и Колмогорова-Смирнова (D_n) дало нам инструменты для формальной оценки того, насколько наши данные соответствуют той или иной теоретической модели распределения, а знание об ошибках I и II рода подготовило к взвешенному принятию решений.

Особое внимание было уделено выборочному наблюдению – неотъемл��мому элементу современного статистического анализа. Мы разграничили понятия генеральной и выборочной совокупностей, изучили различные методы формирования выборки (от собственно-случайного до серийного) и, что наиболее важно, научились определять оптимальный объем выборки для достижения заданной точности. Глубокое понимание точечных и интервальных оценок, а также их свойств (состоятельность, эффективность, несмещенность), позволяет нам делать надежные выводы о генеральной совокупности, а Центральная Предельная Теорема выступает мощным теоретическим обоснованием для этих выводов.

Наконец, мы рассмотрели роль современного статистического программного обеспечения (STATISTICA, R, Python, SPSS) как незаменимого помощника в автоматизации расчетов, визуализации и проверке гипотез. Также был проведен анализ преимуществ и ограничений выборочного наблюдения, включая детальное разграничение систематических и случайных ошибок репрезентативности, что критически важно для корректной интерпретации результатов.

В заключение подчеркнем: глубокое понимание методов анализа эмпирических распределений и выборочного наблюдения – это не просто академическая необходимость, а фундаментальный навык для любого студента, стремящегося к успеху в экономических, статистических или прикладных исследованиях. Это умение позволяет переходить от интуитивных догадок к строго обоснованным заключениям, что является залогом качественной курсовой работы и прочной основой для дальнейшего профессионального роста. Рекомендуется не останавливаться на теоретическом изучении, а активно применять полученные знания на практике, используя доступное статистическое программное обеспечение для решения реальных задач. Только через практику эти знания превратятся в по-настоящему ценные и применимые навыки.

Список использованной литературы

1. Общая теория статистики / под ред. А.Я. Боярского, Г.А. Громыко. — 2-е изд. — Москва: Изд-во Московского ун-та, 1985.
2. Балинова, В.С. Статистика в вопросах и ответах. Москва: ТК Велби, Изд. Проспект, 2004. 344 с.
3. Ефимова, М.Р. Общая теория статистики / М.Р. Ефимова, Е.В. Петрова. Москва: ИНФРА-М, 2002. 416 с.
4. Куприенко, Н.В. Методы анализа распределений. Выборочное наблюдение. Санкт-Петербург: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. 398 с.
5. Практикум по теории статистики / под ред. Р.А. Шмойловой. Москва: Финансы и статистика, 2003. 416 с.
6. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке // Новосибирский Государственный Аграрный Университет.
7. Выборочное наблюдение, преимущества и недостатки // Учебные материалы.
8. ТеорВер-Онлайн: 9.4 О критериях согласия Колмогорова и Смирнова // Учебные материалы.
9. 32.4. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова // Учебные материалы.
10. Лекция № 8 Выборочный метод в статистике // Набережночелнинский институт КФУ.
11. Определение оптимального объема выборки // Учебные материалы.
12. 3. Проверка статистических гипотез // Учебные материалы.
13. Критерии проверки отклонения от нормального закона. Руководство по применению // Факультет прикладной математики и информатики НГТУ.
14. Лекция 3.2. Статистическое наблюдение (Выборка) // Учебные материалы.
15. Статистические оценки параметров генеральной совокупности Точечная // Учебные материалы.
16. 2. Способы формирования выборочной совокупности // Учебные материалы.
17. Лекция 5. Доверительные интервалы // Учебные материалы.
18. Тема: Проверка статистических гипотез // Учебные материалы.
19. Лабораторная работа. Определение оптимального объема выборочной совокупности // Учебные материалы.
20. 8.3. Виды выборок // Набережночелнинский институт КФУ.
21. Лекция 8 Проверка гипотез о законах распределения // Учебные материалы.
22. Выборочный метод статистического анализа // Учебные материалы.
23. Методы выборочных обследований Практикум // Самарский государственный экономический университет.
24. Центральная предельная теорема // Московский государственный университет технологий и управления им. К.Г. Разумовского.
25. Оценка генеральных параметров // law@bsu.
26. Центральная предельная теорема: — общее название ряда предельных теорем теории вероятностей // Российская социологическая энциклопедия.
27. Глава 4. Построение доверительных интервалов для параметров распределения генеральной совокупности // Учебные материалы.
28. Лекция 6. Статистическая гипотеза. Проверка гипотез // Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ).
29. Проверка статистических гипотез // Электронный каталог DSpace ВлГУ.
30. 34. Выборка. Типы выбора. Виды выбора. Свойства выбора // Учебные материалы.
31. Доверительные интервалы для частот и долей // Экология человека.
32. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие // Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого.
33. Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский — Университет Лобачевского // Учебно-методическое пособие.
34. Учебно-методическое пособие по математической статистике // Московская Школа Экономики МГУ.