Автокорреляционная функция: Глубокое исследование, расчеты и практическое применение в эконометрике для академических работ

При анализе экономических данных, упорядоченных во времени, исследователи часто сталкиваются с невидимым, но мощным феноменом: скрытой связью между событиями прошлого и настоящего. По статистике, подавляющее большинство экономических временных рядов обладают автокорреляцией, что означает, что текущее значение показателя зависит от его предыдущих значений. Это не просто академическая абстракция; это реальность, которая может исказить результаты эконометрических моделей, сделав их ненадежными и приводя к ошибочным выводам в курсовых работах и научных исследованиях. Игнорирование этого факта подобно строительству дома на зыбком фундаменте: внешне все может выглядеть прочно, но внутренние дефекты неизбежно проявятся в самый неподходящий момент, подрывая доверие к аналитическим результатам.

Настоящее исследование представляет собой исчерпывающее руководство по автокорреляционной функции (АКФ) — ключевому инструменту в арсенале любого аналитика временных рядов. Мы углубимся в теоретические основы, освоим методы расчета и научимся не только выявлять, но и эффективно устранять автокорреляцию, чтобы строить по-настоящему надежные эконометрические модели.

Введение в анализ временных рядов и проблему автокорреляции

Мир вокруг нас полон динамичных процессов, и экономика не исключение. Цены на нефть, курсы валют, объемы производства, потребительская инфляция — все эти показатели меняются с течением времени, формируя сложные, но часто предсказуемые паттерны. Анализ этих временных рядов — ключ к пониманию экономических процессов и принятию обоснованных решений, ведь только глубокое понимание динамики позволяет строить адекватные прогнозы. Однако этот анализ сопряжен с серьезными вызовами, одним из которых является автокорреляция.

Что такое временной ряд?

Прежде чем говорить об автокорреляции, важно четко понять, что представляет собой временной ряд. В самом общем виде, временной ряд — это последовательность значений какого-либо показателя, измеренных через равные промежутки времени. Представьте, например, ежемесячные данные о продажах смартфона определенной модели за последние пять лет. Каждая точка в этом ряду — это значение продаж в конкретный месяц, и все эти точки упорядочены хронологически.

Любой временной ряд — это своего рода «история», рассказываемая числами. И как в любой истории, здесь есть свои ключевые сюжетные линии, или компоненты:

• Тенденция (тренд): Это долгосрочное, плавное изменение показателя, которое определяет его общее направление. Например, устойчивый рост ВВП страны на протяжении десятилетий или постепенное снижение интереса к кнопочным телефонам. Тренд может быть линейным (прямолинейный рост) или нелинейным (например, экспоненциальный рост или замедление). Представьте, как спрос на электроавтомобили демонстрирует устойчивый рост год за годом — это яркий пример тренда.
• Сезонные колебания: Эти колебания предсказуемы и повторяются с определенной периодичностью в течение года. Они могут быть вызваны сменой времен года, праздничными днями или другими календарными событиями. Классический пример — рост продаж мороженого летом и спад зимой, или увеличение потребительского спроса перед Новым годом.
• Циклические колебания: В отличие от сезонных, эти колебания имеют бóльшую временную протяженность (обычно от 2 до 5 лет и более) и не всегда обладают строго фиксированным периодом. Они отражают фазы делового цикла — подъемы и спады в экономике. Такие циклы наблюдаются, например, в динамике инвестиций или безработицы.
• Случайные колебания: Это непредсказуемые, иррегулярные изменения, которые невозможно объяснить систематическими факторами. Они могут быть вызваны неожиданными событиями (например, стихийными бедствиями, политическими кризисами) или просто случайными ошибками измерения.

Понимание этих компонентов критически важно, поскольку каждый из них может вносить свой вклад в формирование автокорреляции.

Понятие автокорреляции

Теперь, когда мы определились с временными рядами, перейдем к их «внутренней кухне» — автокорреляции. Автокорреляция, или последовательная корреляция, — это статистическая взаимосвязь между значениями одного и того же временного ряда, но взятыми со сдвигом во времени, то есть с лагом. Проще говоря, если сегодняшнее значение показателя каким-то образом зависит от его вчерашнего, позавчерашнего или более раннего значения, то в ряду присутствует автокорреляция.

Представьте себе температуру воздуха. Если сегодня жарко, то с высокой вероятностью вчера тоже было тепло, и завтра, скорее всего, будет не сильно холоднее. Это пример положительной автокорреляции: большие значения сменяются большими, а малые — малыми. И наоборот, если за жарким днем следует холодный, а за холодным — снова жаркий, мы имеем дело с отрицательной автокорреляцией. Такая «зигзагообразная» динамика в экономических рядах встречается значительно реже, но её наличие также требует внимания.

В эконометрике автокорреляция — это не редкость, а скорее правило для временных рядов. Экономические процессы часто инертны: решения, принятые в прошлом, влияют на настоящее, а события сегодняшнего дня закладывают основу для завтрашних. Например, если в летние месяцы спрос на прохладительные напитки превышает трендовую линию (среднее значение), то и в следующие летние месяцы мы ожидаем аналогичного превышения, что указывает на положительную автокорреляцию. Если же за пиком следует спад, а затем снова пик, это может говорить об отрицательной автокорреляции, хотя в экономических данных она встречается реже.

Ковариация и коэффициент корреляции

Чтобы количественно измерить автокорреляцию, нам понадобится понимание ковариации и коэффициента корреляции.

Ковариация (Cov) — это статистическая мера совместной изменчивости двух случайных величин. Она показывает, насколько две переменные склонны изменяться в одном направлении.

• Если большие значения одной переменной соответствуют большим значениям другой, и малые — малым, то ковариация будет положительной.
• Если большие значения одной переменной соответствуют малым значениям другой, то ковариация будет отрицательной.
• Если переменные изменяются независимо друг от друга, ковариация будет близка к нулю.

Важно отметить, что ковариация не нормирована, то есть ее значение зависит от единиц измерения переменных. Например, ковариация между ростом и весом человека будет отличаться, если мы измеряем рост в сантиметрах или метрах. Ковариация случайной величины с самой собой равна её дисперсии (мера разброса значений вокруг среднего).

Коэффициент корреляции (ρ), в отличие от ковариации, является нормированной мерой линейной связи. Он всегда принимает значения в диапазоне от -1 до +1:

• +1: Идеальная положительная линейная связь.
• -1: Идеальная отрицательная линейная связь.
• 0: Отсутствие линейной связи.

Коэффициент корреляции удобен тем, что позволяет сравнивать силу связи между разными парами переменных, независимо от их единиц измерения. Именно на основе концепции корреляции строится автокорреляционная функция, о которой пойдет речь в следующем разделе.

Математические основы автокорреляционной функции

Автокорреляционная функция (АКФ) — это сердце анализа временных рядов. Она позволяет количественно оценить степень и характер зависимости между текущими и прошлыми значениями ряда.

Автокорреляционная функция (АКФ): Определение и свойства

Автокорреляционная функция (АКФ) — это мощный аналитический инструмент, который измеряет тесноту и направление линейной стохастической зависимости между значением временного ряда в текущий момент времени (Y_t) и его значениями, наблюдавшимися на k моментов времени назад (Y_t-k), где k — это лаг (сдвиг). Представьте, что вы пытаетесь понять, насколько погода сегодня зависит от погоды неделю назад, месяц назад или год назад. АКФ дает вам такую меру.

Основные свойства АКФ:

• Чётность: АКФ(k) = АКФ(−k). Это означает, что корреляция между Y_t и Y_t-k такая же, как между Y_t и Y_t+k. В анализе временных рядов обычно рассматриваются только положительные лаги.
• Нормированность: Абсолютное значение АКФ при любых лагах не может превышать значения при лаге 0.
• Значение при нулевом лаге: АКФ(0) всегда равно 1. Это логично, поскольку это корреляция временного ряда с самим собой, то есть идеальная связь.

Математическое выражение ковариации и АКФ

Для более глубокого понимания АКФ, обратимся к ее математическому представлению.

Пусть X и Y — две случайные величины, а E[X] и E[Y] — их математические ожидания.
Ковариация Cov(X, Y) определяется как:

Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]

Для временного ряда Y_t, математическое ожидание которого мы будем обозначать как E[Y_t] (или ȳ для выборочного среднего), автокорреляция k-го порядка (ρ_k) вычисляется как отношение ковариации между Y_t и Y_t-k к дисперсии Y_t:

ρk = Cov(Yt, Yt-k) / Var(Yt)

Где Var(Y_t) = E[(Y_t — E[Y_t])²] — дисперсия временного ряда.

На практике, когда мы работаем с реальными данными, мы используем выборочный коэффициент автокорреляции для лага k (r_k), который рассчитывается по формуле:

rk = Σnt=k+1 (yt - ȳ)(yt-k - ȳ) / Σnt=1 (yt - ȳ)2

Где:

• n — общее число наблюдений во временном ряду.
• yt — значение временного ряда в момент времени t.
• yt-k — значение временного ряда в момент времени t-k (с лагом k).
• ȳ — выборочное среднее значение временного ряда, рассчитанное как (Σnt=1 yt) / n.
• Суммирование в числителе начинается с t=k+1, потому что для первых k наблюдений нет yt-k (например, для k=1, y0 не существует, поэтому начинаем с y2). Знаменатель же включает все n наблюдений для расчета общей дисперсии.

Частная автокорреляционная функция (ЧАКФ)

Помимо обычной АКФ, существует еще один важный инструмент — Частная автокорреляционная функция (ЧАКФ), PACF_k. Если АКФ показывает общую корреляцию между Y_t и Y_t-k, то ЧАКФ измеряет прямую корреляцию между этими значениями, исключая при этом влияние всех промежуточных наблюдений (Y_t-1, Y_t-2, …, Y_t-k+1).

Представьте, что вы хотите узнать, насколько Y_t напрямую зависит от Y_t-2. АКФ покажет общую корреляцию, которая включает в себя и «передаточную» корреляцию через Y_t-1 (то есть Y_t-2 влияет на Y_t-1, а Y_t-1 влияет на Y_t). ЧАКФ же «отфильтровывает» это косвенное влияние Y_t-1, показывая только чистую, прямую связь между Y_t и Y_t-2. Это критически важно, поскольку позволяет изолировать истинные прямые связи от опосредованных.

ЧАКФ особенно важна для идентификации порядка авторегрессионной (AR) модели, поскольку она помогает определить, сколько прошлых значений ряда напрямую влияют на текущее значение.

Практический пример расчета АКФ (пошагово)

Давайте проиллюстрируем расчет АКФ на конкретном числовом примере.
Рассмотрим простой временной ряд Y = {10, 12, 13, 15, 14, 16}. Наша цель — рассчитать коэффициент автокорреляции для лага 1 (r₁).

1. Вычислим среднее значение ряда (ȳ):
   ȳ = (10 + 12 + 13 + 15 + 14 + 16) / 6 = 80 / 6 ≈ 13.3333
2. Вычислим отклонения каждого значения от среднего (y_t — ȳ):
   • 10 — 13.3333 = -3.3333
   • 12 — 13.3333 = -1.3333
   • 13 — 13.3333 = -0.3333
   • 15 — 13.3333 = 1.6667
   • 14 — 13.3333 = 0.6667
   • 16 — 13.3333 = 2.6667
3. Вычислим сумму квадратов отклонений (знаменатель формулы r_k):
   Σ6t=1 (yt - ȳ)2 = (-3.3333)2 + (-1.3333)2 + (-0.3333)2 + (1.6667)2 + (0.6667)2 + (2.6667)2
= 11.1109 + 1.7777 + 0.1109 + 2.7779 + 0.4445 + 7.1109 ≈ 23.3338
4. Вычислим сумму произведений отклонений для лага k=1 (числитель формулы r_k):
   Здесь нам нужны пары (y_t — ȳ)(y_t-1 — ȳ). Поскольку k=1, t начинается с 2.
   • t=2: (y₂ — ȳ)(y₁ — ȳ) = (-1.3333)(-3.3333) ≈ 4.4442
   • t=3: (y₃ — ȳ)(y₂ — ȳ) = (-0.3333)(-1.3333) ≈ 0.4444
   • t=4: (y₄ — ȳ)(y₃ — ȳ) = (1.6667)(-0.3333) ≈ -0.5556
   • t=5: (y₅ — ȳ)(y₄ — ȳ) = (0.6667)(1.6667) ≈ 1.1112
   • t=6: (y₆ — ȳ)(y₅ — ȳ) = (2.6667)(0.6667) ≈ 1.7778

   Сумма = 4.4442 + 0.4444 - 0.5556 + 1.1112 + 1.7778 ≈ 7.2220

5. Рассчитаем коэффициент автокорреляции для лага 1 (r₁):
   r1 = 7.2220 / 23.3338 ≈ 0.3095

Таким образом, для данного ряда Y, коэффициент автокорреляции первого порядка составляет примерно 0.3095. Это указывает на умеренную положительную линейную зависимость между соседними значениями ряда.

Коррелограмма: Построение и глубокая интерпретация

После того как мы рассчитали коэффициенты АКФ и ЧАКФ для различных лагов, возникает вопрос: как наглядно представить эти данные и извлечь из них максимум информации? Для этого служит коррелограмма — графическое представление значений АКФ (или ЧАКФ) в зависимости от величины лага. Это своего рода «рентген» временного ряда, позволяющий увидеть его внутреннюю структуру.

Коррелограмма обычно представляет собой столбчатую диаграмму, где по горизонтальной оси отложены лаги (k=1, 2, 3, …), а по вертикальной — значения коэффициентов автокорреляции r_k. Часто на коррелограмме также отображаются доверительные интервалы (обычно на уровне 95%), которые позволяют определить, какие коэффициенты статистически значимы (выходят за пределы интервала), а какие нет.

Интерпретация коррелограммы:

• Наличие тренда (тенденции): Если временной ряд содержит тренд, то коэффициенты АКФ на коррелограмме будут медленно, линейно убывать (или возрастать, если тренд отрицательный) с увеличением лага. Это указывает на «долговременную память» в ряду: текущие значения коррелируют со значениями, отстоящими далеко в прошлом, поскольку все они находятся под влиянием общей тенденции.
• Наличие сезонности или цикличности: Если на коррелограмме АКФ наблюдаются выраженные пики (локальные максимумы) на определенных лагах, это указывает на наличие циклических или сезонных колебаний.
  • Например, для месячных данных пик при лаге 12 часто свидетельствует о годичной сезонности (например, продажи в январе этого года коррелируют с продажами в январе прошлого года).
  • Пик при лаге 4 для квартальных данных может указывать на квартальную сезонность.
  • Если максимальным оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, это говорит о преобладании тенденции в ряду.
• «Белый шум» (отсутствие автокорреляции): Если временной ряд не имеет автокорреляции, то все коэффициенты АКФ (кроме r₀=1) должны быть статистически незначимы и находиться внутри доверительного интервала, случайным образом колеблясь около нуля.
• Идентификация порядка AR/MA моделей:
  • Для AR-моделей (авторегрессионных): Коррелограмма ЧАКФ очень полезна. Для AR(p) модели (авторегрессии порядка p) ЧАКФ обычно имеет значимые пики на первых p лагах, а затем резко обрывается до статистически незначимых значений. АКФ при этом медленно убывает.
  • Для MA-моделей (скользящего среднего): Коррелограмма АКФ будет иметь значимые пики на первых q лагах, а затем резко обрываться до статистически незначимых значений. ЧАКФ при этом медленно убывает.

Рекомендации по выбору максимального порядка лага (L_max):
Для расчета коэффициентов автокорреляции и построения коррелограммы обычно рекомендуется не превышать 1/4 от общего числа наблюдений n (L_max ≤ n/4). Это позволяет получить достаточное количество точек для анализа, избегая при этом чрезмерно больших лагов, для которых число пар наблюдений становится слишком малым и оценки r_k становятся ненадежными.

В целом, коррелограмма — это первый и один из самых информативных шагов при анализе временного ряда, позволяющий быстро определить его основные характеристики и наметить пути для дальнейшего моделирования.

Причины возникновения и последствия автокорреляции в эконометрических моделях

Автокорреляция, столь характерная для временных рядов, становится особенно проблематичной, когда мы пытаемся построить эконометрические модели, например, линейную регрессию. Понимание причин ее возникновения и влияния на оценки модели — критически важный этап в любом серьезном аналитическом исследовании.

Основные причины возникновения автокорреляции

Почему же автокорреляция так часто встречается в экономических данных? Существует несколько ключевых факторов:

• Инертность экономических показателей: Экономика — это огромная и сложная система, которая обладает значительной инерцией. Многие экономические процессы развиваются не скачкообразно, а постепенно. Например, уровень безработицы или инфляции не может резко измениться за один день; его текущее значение во многом зависит от того, что происходило в прошлом. Если сегодня инфляция высока, она, вероятно, была высокой и вчера, и, скорее всего, останется высокой завтра, если не произойдет серьезных шоков или изменений в политике. Эта естественная «память» экономических процессов приводит к тому, что ошибки регрессионной модели (то есть та часть зависимой переменной, которую модель не смогла объяснить) также будут коррелировать во времени.
• Ошибки спецификации модели:
  • Невключение в модель существенных переменных: Это, пожалуй, одна из самых распространенных причин автокорреляции. Если в модель не включен важный фактор, который влияет на зависимую переменную и сам обладает временной зависимостью, то его влияние «переходит» в случайные ошибки модели, делая их автокоррелированными. Например, если мы моделируем спрос на товар, но не учитываем сезонность, то в летние месяцы остатки будут систематически положительными, а в зимние — отрицательными, что приведет к автокорреляции.
  • Неправильный выбор формы связи: Предположим, истинная зависимость между переменными является нелинейной (например, квадратичной), а мы строим линейную модель. Тогда разница между истинной нелинейной зависимостью и нашей линейной аппроксимацией также проявится в остатках, вызывая их систематическое изменение и, как следствие, автокорреляцию.
• Цикличность экономических процессов: Наличие в данных выраженных циклов (деловых циклов, сезонных колебаний), которые не были адекватно учтены в модели (например, через включение фиктивных переменных для сезонов или лаговых значений), может привести к систематическим ошибкам, которые проявляются как автокорреляция. Если модель не «видит» сезонность, она будет пытаться объяснить ее через остатки.
• «Манипулирование данными» или сглаживание данных: Иногда исследователи или статистические службы применяют методы сглаживания данных (например, скользящие средние) для удаления шумов или выявления трендов. Эти методы могут искусственно вносить или усиливать автокорреляционные зависимости в ряду, которые затем переносятся в остатки регрессионной модели.

Последствия автокорреляции для оценок регрессионных моделей

Наличие автокорреляции случайных ошибок в регрессионной модели, построенной с использованием обычного метода наименьших квадратов (МНК), имеет серьезные негативные последствия:

• Оценки остаются несмещенными, но теряют эффективность.
  • Несмещенность означает, что в среднем (при многократном повторении выборки) оценки коэффициентов регрессии будут совпадать с истинными значениями параметров генеральной совокупности. Оценки МНК сохраняют это свойство, если в модели отсутствуют лаговые значения зависимой переменной в качестве объясняющих.
  • Неэффективность — это более серьезная проблема. В условиях автокорреляции оценки МНК перестают быть наилучшими линейными несмещенными оценками (BLUE – Best Linear Unbiased Estimators). Это означает, что существуют другие несмещенные методы оценки, которые дадут параметры с меньшей дисперсией (то есть более точные и надежные). Таким образом, оценки МНК при автокорреляции обладают большей неопределенностью.
  • Критический нюанс: Если в модели присутствуют лаговые зависимые переменные в качестве регрессоров (например, Y_t-1 объясняет Y_t), то автокорреляция ошибок делает оценки МНК смещенными и несостоятельными. Несостоятельность означает, что даже с увеличением объема выборки оценки не будут сходиться к истинным значениям параметров, что полностью обесценивает их использование.
• Смещенные оценки стандартных ошибок. Это, пожалуй, самое опасное последствие. При автокорреляции стандартные ошибки коэффициентов регрессии, которые являются основой для проверки статистических гипотез, оцениваются неправильно. В большинстве случаев они занижаются.
  • Заниженные стандартные ошибки приводят к тому, что доверительные интервалы для параметров становятся необоснованно узкими. Это создает иллюзию высокой точности оценок, которой на самом деле нет.
• Некорректные статистические тесты. Поскольку стандартные ошибки занижены, t-статистики (используемые для проверки значимости отдельных коэффициентов) и F-статистики (для проверки значимости модели в целом) оказываются завышенными.
  • Это приводит к тому, что мы чаще ошибочно отвергаем нулевые гипотезы (например, о равенстве коэффициента нулю), приходя к выводу, что переменные статистически значимы, хотя на самом деле это не так. Модель может казаться гораздо более качественной и надежной, чем она есть на самом деле, что ведет к принятию ошибочных экономических решений или неверным академическим выводам.
• Ухудшение прогнозных качеств модели. Модель, построенная на основе оценок, искаженных автокорреляцией, будет давать менее точные и надежные прогнозы. Если ошибки систематически следуют определенной закономерности, модель, которая не учитывает эту закономерность, не сможет ее предсказать, что приведет к увеличению ошибок прогноза.

Таким образом, игнорирование автокорреляции в эконометрических моделях временных рядов может привести к серьезным искажениям результатов, необоснованным выводам и неверным решениям. Поэтому ее обнаружение и устранение являются обязательными этапами любого регрессионного анализа.

Методы обнаружения автокорреляции

После того как мы поняли причины и последствия автокорреляции, следующим логичным шагом становится ее обнаружение. Существуют различные инструменты для этого — от интуитивных графических методов до строгих статистических тестов.

Графические методы обнаружения

Графический анализ остатков регрессионной модели является первым и часто очень информативным шагом в выявлении автокорреляции. Он дает визуальное представление о наличии систематических паттернов, которые могут указывать на проблему.

• График остатков от времени:
  Постройте график, где по горизонтальной оси отложено время (t), а по вертикальной — остатки регрессии (e_t).
  • Положительная автокорреляция: Остатки будут иметь тенденцию долго сохранять один и тот же знак. Например, несколько последовательных положительных остатков, за которыми следуют несколько последовательных отрицательных, и так далее. График будет напоминать плавную волну или «змею», проходящую через нулевую линию.
  • Отрицательная автокорреляция: Остатки будут часто чередоваться по знаку: положительный, отрицательный, положительный, отрицательный… График будет выглядеть как «пила» или очень извилистая линия.
  • Отсутствие автокорреляции: Остатки должны быть распределены случайным образом вокруг нулевой линии, без каких-либо выраженных закономерностей, трендов или циклов. Облако точек должно быть хаотичным.
• График остатков в текущий момент от предыдущих остатков (e_t против e_t-1):
  Постройте диаграмму рассеяния, где по оси абсцисс отложены остатки с лагом 1 (e_t-1), а по оси ординат — текущие остатки (e_t).
  • Положительная автокорреляция: Точки будут преимущественно сосредоточены в первой (e_t-1 > 0, e_t > 0) и третьей (e_t-1 < 0, e_t < 0) четвертях. Это означает, что за большим положительным остатком следует большой положительный, а за большим отрицательным — большой отрицательный. Облако точек будет иметь восходящий наклон.
  • Отрицательная автокорреляция: Точки будут преимущественно сосредоточены во второй (e_t-1 < 0, e_t > 0) и четвертой (e_t-1 > 0, e_t < 0) четвертях. Это означает, что за положительным остатком чаще следует отрицательный, и наоборот. Облако точек будет иметь нисходящий наклон.
  • Отсутствие автокорреляции: Точки будут рассеяны по всем четырем четвертям равномерно, образуя бесформенное облако без выраженного направления.

Графические методы — это отличный способ получить первое представление о проблеме, но для окончательных выводов необходимо использовать формальные статистические тесты.

Тест Дарбина-Уотсона

Тест Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson test) — это один из наиболее известных и часто используемых критериев для обнаружения автокорреляции первого порядка в остатках регрессионной модели.

• Нулевая гипотеза (H₀): Отсутствие автокорреляции (коэффициент автокорреляции первого порядка ρ = 0).
• Альтернативные гипотезы (H₁):
  • Положительная автокорреляция (ρ > 0).
  • Отрицательная автокорреляция (ρ < 0).
  • Двусторонняя автокорреляция (ρ ≠ 0).

• Статистика Дарбина-Уотсона (DW) рассчитывается по формуле:

DW = Σnt=2 (et - et-1)2 / Σnt=1 et2

Где et — остатки регрессии.

• Интерпретация: Значения статистики DW изменяются в диапазоне от 0 до 4.
  • Значение, близкое к 2 (как правило, в диапазоне от 1.5 до 2.5), указывает на отсутствие автокорреляции. В идеале, если нет автокорреляции, DW = 2.
  • Значения, близкие к 0 (ниже нижнего критического значения d_L), указывают на наличие положительной автокорреляции.
  • Значения, близкие к 4 (выше значения (4 — d_L)), указывают на наличие отрицательной автокорреляции.

  Для принятия решения эмпирическое значение DW сравнивается с табличными критическими значениями d_L (нижняя граница) и d_U (верхняя граница) для заданного уровня значимости, числа наблюдений и количества объясняющих переменных. Интервал [0; 4] делится на пять зон:

  Диапазон DW	Вывод
  0 ≤ DW < dL	Положительная автокорреляция
  dL ≤ DW ≤ dU	Зона неопределенности (нельзя сделать однозначный вывод)
  dU < DW < 4 — dU	Отсутствие автокорреляции
  4 — dU ≤ DW ≤ 4 — dL	Зона неопределенности (нельзя сделать однозначный вывод)
  4 — dL < DW ≤ 4	Отрицательная автокорреляция

• Ограничения теста Дарбина-Уотсона:
  • Только первый порядок: Тест Дарбина-Уотсона предназначен исключительно для обнаружения автокорреляции первого порядка. Он неэффективен для выявления автокорреляции более высоких порядков.
  • Неприменим с лаговыми зависимыми переменными: Это ключевое ограничение. Если в регрессионной модели в качестве объясняющих переменных присутствуют лаговые значения зависимой переменной (например, Y_t-1 в уравнении для Y_t), то статистика DW будет смещена в сторону 2, что может привести к ложному выводу об отсутствии автокорреляции, даже если она есть. В таких случаях необходимо использовать другие тесты.
  • Предполагается отсутствие пропусков в данных и наличие свободного члена в уравнении регрессии.

Несмотря на свои ограничения, тест Дарбина-Уотсона остается ценным инструментом для быстрой проверки автокорреляции первого порядка в «классических» регрессионных моделях.

Тест Бройша-Годфри (LM-тест)

Тест Бройша-Годфри (Breusch-Godfrey LM-test) — это более универсальный и мощный критерий для проверки автокорреляции произвольного порядка p в случайных ошибках регрессионных моделей.

• Преимущества:
  • Способен проверять автокорреляцию любого заданного порядка p.
  • Применим в моделях, которые содержат лаговые значения зависимой переменной в качестве объясняющих (где тест Дарбина-Уотсона неприменим).

• Процедура проведения теста:
  1. Оценка исходной модели: Сначала оценивается исходная регрессионная модель методом МНК, и рассчитываются её остатки et.
  2. Построение вспомогательной регрессии: Далее строится вспомогательная регрессия, в которой зависимой переменной являются остатки исходной модели (et), а объясняющими переменными — исходные регрессоры (все те же переменные, что были в изначальной модели) и лаговые значения остатков (et-1, et-2, ..., et-p), где p — это максимальный порядок автокорреляции, который мы хотим проверить.
  3. Проверка гипотезы: Проверяется нулевая гипотеза (H₀) о том, что все коэффициенты при лаговых остатках (et-1, ..., et-p) во вспомогательной регрессии одновременно равны нулю. Это означает отсутствие автокорреляции до порядка p. Альтернативная гипотеза (H₁) заключается в том, что хотя бы один из этих коэффициентов статистически значим.

• LM-статистика: Для проверки нулевой гипотезы используется LM-статистика (Lagrange Multiplier), которая рассчитывается как:

LM = n · R2

Где n — объём выборки (количество наблюдений), а R2 — коэффициент детерминации вспомогательной регрессионной модели.
Эта статистика имеет χ²-распределение (хи-квадрат) с p степенями свободы. Если рассчитанное значение LM-статистики превышает критическое значение χ²-распределения, нулевая гипотеза отвергается, и делается вывод о наличии автокорреляции.

• F-статистика: Существует также вариант теста Бройша-Годфри с использованием F-статистики, который обычно дает более точные результаты для небольших выборок. Он также основан на вспомогательной регрессии, но проверяет совместную значимость лаговых остатков с помощью F-критерия.
  Порядок p для проверки автокорреляции в тесте Бройша-Годфри выбирается исследователем. Например, для квартальных данных можно установить p=4, для месячных — p=12, чтобы проверить наличие сезонной автокорреляции.

Q-статистика Льюнга-Бокса

Q-статистика Льюнга-Бокса (Ljung-Box Q-statistic) используется для тестирования совместной гипотезы о равенстве нулю всех коэффициентов автокорреляции до некоторого заданного порядка m. Это особенно полезно, когда нужно оценить общую «случайность» остатков, а не только автокорреляцию одного порядка.

• Нулевая гипотеза (H₀): Все коэффициенты автокорреляции для лагов от 1 до m равны нулю, то есть остатки являются «белым шумом».
• Альтернативная гипотеза (H₁): Хотя бы один из коэффициентов автокорреляции для лагов от 1 до m отличен от нуля.

• Q-статистика Льюнга-Бокса рассчитывается по формуле:

Q = n(n+2) Σmk=1 rk2 / (n-k)

Где n — число наблюдений, rk — выборочный коэффициент автокорреляции для лага k, а m — максимальный порядок лага, который проверяется.
Эта статистика имеет χ²-распределение (хи-квадрат) с m степенями свободы. Если рассчитанное значение Q-статистики превышает критическое значение χ²-распределения, нулевая гипотеза отвергается, что указывает на наличие значимой автокорреляции в остатках.

• Практические рекомендации по выбору порядка m:
  Обычно m выбирается как 1/4 от общего числа наблюдений n (m ≤ n/4). Это обеспечивает достаточную мощность теста для обнаружения автокорреляции без чрезмерного усложнения. Например, для 100 наблюдений m может быть равно 25.

Q-статистика Льюнга-Бокса является важным инструментом для комплексной проверки адекватности модели и подтверждения того, что остатки действительно являются случайными, без какой-либо внутренней структуры.

Методы устранения и учета автокорреляции

После того как автокорреляция обнаружена, встает вопрос, что с ней делать. Простое игнорирование проблемы приведет к неверным выводам, поэтому необходимо предпринять шаги по ее устранению или, по крайней мере, учету в модели.

Респецификация модели

Первый и часто самый эффективный подход к борьбе с автокорреляцией — это пересмотр (респецификация) самой модели. Ведь, как мы уже говорили, автокорреляция часто является симптомом, а не первопричиной проблемы.

• Включение пропущенных переменных: Если автокорреляция вызвана тем, что в модель не были включены важные объясняющие переменные, которые систематически влияют на зависимую переменную и сами обладают временной структурой, то эти переменные следует добавить в уравнение регрессии. Например, если при моделировании спроса на энергоносители не учтена температура воздуха, то в летние месяцы модель будет систематически занижать прогноз (положительные остатки), а в зимние — завышать (отрицательные остатки), что приведет к автокорреляции. Добавление температуры воздуха в модель может устранить эту проблему.
• Изменение функциональной формы связи: Если истинная зависимость между переменными является нелинейной, а мы п��таемся аппроксимировать ее линейной моделью, это также может привести к автокорреляции остатков. В таких случаях следует рассмотреть возможность использования логарифмических, квадратичных или других нелинейных преобразований переменных для лучшего соответствия модели фактическим данным.

Респецификация модели всегда является предпочтительным вариантом, поскольку она направлена на устранение первопричины автокорреляции, а не просто на маскировку её последствий.

Авторегрессионное преобразование (AR(1) схема)

Если респецификация не помогает или невозможна, можно использовать авторегрессионные преобразования данных. Наиболее распространенной является авторегрессионная схема первого порядка (AR(1)), которая предполагает, что случайный член в текущий момент времени (u_t) зависит от своего значения в предыдущий момент (u_t-1) и новой, «чистой» случайной ошибки (ε_t), которая уже удовлетворяет всем классическим предпосылкам МНК:

ut = ρut-1 + εt

Где ρ — это коэффициент автокорреляции первого порядка. Наша задача — оценить ρ и использовать его для преобразования исходных данных таким образом, чтобы в преобразованной модели ошибки εt не были автокоррелированы.

Метод Кокрейна-Оркатта

Метод Кокрейна-Оркатта (Cochrane-Orcutt method) — это итерационный подход для оценки регрессионных моделей с автокоррелированными остатками при AR(1) схеме.

Пошаговое описание процесса:

1. Начальная оценка МНК: Оцените исходную регрессионную модель методом обычного МНК и рассчитайте её остатки (e_t).
2. Оценка ρ: Используя полученные остатки, оцените коэффициент автокорреляции первого порядка (ρ) по вспомогательной регрессии et = ρet-1 + vt, где vt — случайный член.
3. Преобразование переменных: Преобразуйте все переменные исходной модели (зависимую переменную Y, объясняющие переменные X_i) с использованием оцененного ρ:
   • Yt* = Yt - ρYt-1
   • Xit* = Xit - ρXi,t-1

   (Для свободного члена X₀ = 1, преобразование будет X0t* = 1 - ρ).

4. Повторная оценка МНК: Оцените регрессионную модель с использованием преобразованных переменных (Yt* и Xit*).
5. Новые остатки и новое ρ: Рассчитайте новые остатки из преобразованной модели и заново оцените ρ.
6. Итерации: Повторяйте шаги 3-5 до тех пор, пока значение ρ не стабилизируется (то есть изменение ρ между итерациями станет меньше заданного малого значения) или пока коэффициенты регрессии не начнут мало меняться.

Недостаток метода Кокрейна-Оркатта:
При преобразовании Yt* = Yt - ρYt-1 мы теряем первое наблюдение, поскольку для Y1 нет Y0. Это может быть серьезной проблемой, особенно при работе с короткими временными рядами, когда каждое наблюдение ценно.

Метод Прайса-Уинстена

Метод Прайса-Уинстена (Prais-Winsten method) — это модификация метода Кокрейна-Оркатта, которая направлена на устранение его основного недостатка: потерю первого наблюдения. Этот метод также основан на авторегрессионном преобразовании AR(1), но он включает в себя специальное преобразование для первой точки данных.

Отличие и преимущество:
В дополнение к обычному преобразованию для t=2, ..., n, метод Прайса-Уинстена преобразует первое наблюдение следующим образом:

• Y1* = Y1 √(1 - ρ2)
• Xi1* = Xi1 √(1 - ρ2)

Таким образом, первое наблюдение не теряется, что позволяет использовать весь объем выборки и получить более эффективные оценки, особенно для небольших временных рядов. Итерационный процесс аналогичен методу Кокрейна-Оркатта, но с использованием этого специального преобразования для первого наблюдения.

Включение лаговых переменных

Иногда автокорреляция может быть эффективно учтена путем включения лаговых значений зависимой переменной (или даже лаговых значений объясняющих переменных) в регрессионную модель. Это приводит к построению так называемых динамических регрессионных моделей.

Например, вместо простой модели Yt = β0 + β1Xt + ut, мы можем построить:

Yt = β0 + β1Xt + β2Yt-1 + εt

Здесь Yt-1 — это лаговое значение зависимой переменной. Если Yt-1 статистически значимо, это означает, что предыдущее значение зависимой переменной оказывает прямое влияние на текущее. Включение этого лага в модель может «поглотить» автокорреляцию, которая ранее проявлялась в остатках ut, превратив их в «белый шум» εt.

Это особенно актуально для экономических данных, где инертность процессов часто означает, что сегодняшние значения определяются не только текущими факторами, но и инерцией прошлых состояний. Такие модели (например, авторегрессионные AR-модели) явно учитывают эту инертность, интегрируя автокорреляционную структуру непосредственно в уравнение. Однако важно помнить, что в моделях с лаговой зависимой переменной тест Дарбина-Уотсона становится неприменим, и для проверки остаточной автокорреляции необходимо использовать тест Бройша-Годфри.

Выбор метода устранения автокорреляции зависит от конкретной ситуации, природы данных и результатов диагностики. Главное — не игнорировать эту проблему, а подходить к ней системно, чтобы обеспечить надежность и точность эконометрических моделей.

Заключение

Мы прошли долгий путь, исследуя сложный, но неотъемлемый аспект анализа временных рядов — автокорреляционную функцию. От фундаментальных определений временного ряда и ковариации до тонкостей математических формул АКФ и ЧАКФ, от подробного пошагового расчета до глубокой интерпретации коррелограмм — каждый шаг был направлен на формирование всестороннего понимания этого явления.

Мы выяснили, что автокорреляция не просто статистическая аномалия, а закономерное следствие инертности экономических процессов, ошибок спецификации модели или цикличности данных. Её последствия для эконометрических моделей, построенных методом наименьших квадратов, могут быть весьма серьезными: от потери эффективности оценок до их полной несостоятельности, если в модели присутствуют лаговые зависимые переменные. Некорректные стандартные ошибки, завышенные t- и F-статистики и, как следствие, ошибочные выводы о значимости параметров — все это ставит под сомнение надежность и прогностическую ценность таких моделей.

Понимание и умение применять методы обнаружения автокорреляции — будь то интуитивные графические методы или строгие статистические тесты, такие как критерий Дарбина-Уотсона (с его специфическими ограничениями), универсальный тест Бройша-Годфри или мощная Q-статистика Льюнга-Бокса — является фундаментальным навыком для любого исследователя.

Наконец, мы рассмотрели различные подходы к устранению или учету автокорреляции: от первичной респецификации модели до продвинутых авторегрессионных преобразований, таких как методы Кокрейна-Оркатта и Прайса-Уинстена, а также включение лаговых переменных в динамические модели. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и нюансы, и выбор оптимального решения требует глубокого анализа и понимания природы данных. Насколько критично не просто выявить автокорреляцию, но и умело выбрать подходящий метод её нейтрализации для обеспечения достоверности анализа? Это вопрос, который определяет качество и применимость любого эконометрического исследования.

В конечном итоге, автокорреляционная функция — это не просто набор формул и тестов; это мощный диагностический и аналитический инструмент, который позволяет заглянуть внутрь временного ряда, понять его скрытые закономерности и построить более точные, надежные и информативные эконометрические модели. Для студента, работающего над курсовой работой, или исследователя, стремящегося к глубокому пониманию экономических процессов, мастерство работы с АКФ является залогом успеха и качества аналитических выводов. Комплексный подход к анализу временных рядов, основанный на тщательном выявлении и эффективном устранении автокорреляции, — это путь к созданию по-настоящему ценных и применимых в практике исследований.

Список использованной литературы

1. Эконометрика / под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2004. С. 225–289.
2. Федеральная служба государственной статистики : официальный сайт. URL: http://www.gks.ru/ (дата обращения: 16.10.2025).
3. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: учебное пособие. Мн.: БГУ, 2000. С. 227–240.
4. Буре В.М., Евсеев Е.А. Основы эконометрики: учебное пособие. Санкт-Петербургский государственный университет, 2004.
5. Статистика: учебник / под ред. В.С. Мхитаряна. М.: Экономист, 2006. С. 256–261.
6. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие / Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. М.: Финансы и статистика, 2000.
7. Ковариация (Covariation) // Loginom Wiki. URL: https://loginom.ru/wiki/kovariaciya (дата обращения: 16.10.2025).
8. Автокорреляционная функция (АКФ) и ее свойства. Частная автокорреляционная функция (ЧАКФ) и ее свойства // Студопедия. URL: https://studopedia.ru/9_189602_avtokorrelyatsionnaya-funktsiya-akf-i-ee-svoystva-chastnaya-avtokorrelyatsionnaya-funktsiya-chakf-i-ee-svoystva.html (дата обращения: 16.10.2025).
9. Обнаружение автокорреляции. Тест Дарбина — Уотсона // Эконометрика. Теория и практика. Bstudy. URL: https://bstudy.net/602737/ekonomika/obnaruzhenie_avtokorrelyatsii_test_durbina_uotsona (дата обращения: 16.10.2025).
10. Динамические регрессионные модели и автокорреляция // Эконометрика (продвинутый курс). Применение пакета Stata. Studme.org. URL: https://studme.org/157774/ekonomika/dinamicheskie_regressionnye_modeli_avtokorrelyatsiya (дата обращения: 16.10.2025).
11. Коррелограмма // MachineLearning.ru. URL: https://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0 (дата обращения: 16.10.2025).
12. Тест Дарбина—Уотсона // Форсайт. URL: https://docs.fstec.ru/api/latest/ru/foresight.web.api/html/P_Foresight_Web_Modeling_Statistics_Regression_DurbinWatsonTest_DWStatistic.htm (дата обращения: 16.10.2025).
13. Функции автокорреляции и частной автокорреляции // IBM. URL: https://www.ibm.com/docs/ru/spss-modeler/18.2.0?topic=nodes-autocorrelation-partial-autocorrelation-functions (дата обращения: 16.10.2025).
14. Методы устранения автокорреляции. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/187/?*=v1M8jU1fA8R6bE09P88f4k7yM1R7bGg9d4bJ7J7B4D4f30dF86d7c7160350410d5403061599307c08d&page=16&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
15. Частичная автокорреляция // MachineLearning.ru. URL: https://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F (дата обращения: 16.10.2025).
16. Временные ряды, Циклические колебания // univer-nn.ru. URL: https://univer-nn.ru/ekonometrika/vremennye-ryady-tsiklicheskie-kolebaniya/ (дата обращения: 16.10.2025).
17. Коэффициент ковариации // Циклопедия. URL: https://cyclowiki.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 16.10.2025).
18. Коррелограмма // Толковый словарь Дениса Хворостина. Записки лингвиста. URL: https://denis-khvorostin.com/korrelogramma/ (дата обращения: 16.10.2025).
19. Тема 11. Временные ряды в эконометрических исследованиях в.1. Выявление структуры временного ряда. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/917/?*=oG60q5g2x2G37Sg362T0X7c77f0a7D8229c915f013d8d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=12&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
20. Коррелограмма. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/16/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=5&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
21. Устранение автокорреляции остатков модели регрессии. Авторегрессионная схема первого порядка, Метод Кохрана-Оркутта // Курс по эконометрике. Bstudy. URL: https://bstudy.net/602737/ekonomika/ustranenie_avtokorrelyatsii_ostatkov_modeli_regressii_avtoregressivnaya_shema_pervogo_poryadka_metod_kohrana_orkutta (дата обращения: 16.10.2025).
22. Что такое КОРРЕЛОГРАММА? // Словари и энциклопедии на Академике. URL: https://dic.academic.ru/dic.nsf/econ_dict/11311 (дата обращения: 16.10.2025).
23. Автокорреляция, ее выявление в уровнях временного ряда. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/19/?*=M7v6sJ3fB1R6bE09P88f4k7yM1R7bGg9d4bJ7J7B4D4f30dF86d7c7160350410d5403061599307c08d&page=14&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
24. Что такое автокорреляция в эконометрике и как её можно обнаружить? // Вопросы к Поиску с Алисой (Яндекс Нейро). URL: https://yandex.ru/turbo/yandex.ru/q/question/chto_takoe_avtokorreliatsiia_v_ekonometrik_i_d227f2f1/ (дата обращения: 16.10.2025).
25. Лекция по эконометрике №4, 4 модуль Автокорреляция случайной составляющей. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/22/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=3&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
26. Взаимосвязанные временные ряды. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/23/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=1&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
27. Последствия автокорреляции. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/24/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=1&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
28. Проблема автокорреляции. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/26/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=20&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
29. Лабораторная работа № 7 Анализ остатков. Автокорреляция // Эконометрическое моделирование. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/27/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=1&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
30. Тест Бройша — Годфри // ЭКОНОМЕТРИКА. Studme.org. URL: https://studme.org/157774/ekonomika/test_broysha_godfri (дата обращения: 16.10.2025).
31. Эконометрия — I: Анализ временных рядов. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/29/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=1&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
32. Методы устранения автокорреляции. Авторегрессионное преобразование. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/30/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=1&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
33. Временные ряды в эконометрических исследованиях // Онлайн-калькулятор. URL: https://www.calc.ru/vremennye-ryady-v-ekonometricheskikh-issledovaniyakh.html (дата обращения: 16.10.2025).
34. Критерий Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson statistic) // Loginom Wiki. URL: https://loginom.ru/wiki/kriteriy-durbina-uotsona (дата обращения: 16.10.2025).
35. Автокорреляционный анализ // Форсайт. URL: https://docs.fstec.ru/api/latest/ru/foresight.web.api/html/P_Foresight_Web_Modeling_Statistics_Regression_AutoCorrelationAnalysis.htm (дата обращения: 16.10.2025).
36. Модели связных временных рядов // Ozlib.com. URL: https://ozlib.com/83210 (дата обращения: 16.10.2025).
37. Исследование новых критериев для обнаружения автокорреляции остатков первого порядка в регрессионных моделях // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-novyh-kriteriev-dlya-obnaruzheniya-avtokorrelyatsii-ostatkov-pervogo-poryadka-v-regressionnyh-modelyah (дата обращения: 16.10.2025).
38. эконометрика и экономико-математические методы и модели // Белорусская государственная сельскохозяйственная академия. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/36/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=31&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
39. Тест Дарбина-Уотсона. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/39/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=28&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
40. Тест Бреуша-Годфри (LM-тест) // Форсайт. URL: https://docs.fstec.ru/api/latest/ru/foresight.web.api/html/P_Foresight_Web_Modeling_Statistics_Regression_BreuschGodfreyTest_LMStatistic.htm (дата обращения: 16.10.2025).
41. Тест Дарбина-Уотсона для серийной корреляции. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/41/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=2&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
42. Презентация PowerPoint. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/42/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=1&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
43. Лз 14. Динамический ряд. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/43/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=1&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
44. Тест автокорреляции Бройша-Годфри // univer-nn.ru. URL: https://univer-nn.ru/ekonometrika/test-avtokorrelyatsii-broysha-godfri/ (дата обращения: 16.10.2025).
45. Автокорреляция: Устранение. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/45/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=1&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
46. § 4. Методы устранения автокорреляции: Основной причиной наличия случайного члена в модели являются. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/46/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=4&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).
47. Ковариация случайных величин // Викиконспекты. URL: https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD (дата обращения: 16.10.2025).
48. Автокорреляция. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/49/?*=E6sD2L%2BAm2e2hH2e02f37a502c369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96d67a149f1f0082f7c006509a250328c31e2f7b102b369c6f2e022f3e8f96&page=1&lang=ru (дата обращения: 16.10.2025).