Бессрочный аннуитет: Комплексный анализ теоретических основ, математического аппарата и практического применения в финансовой оценке

В мире, где время — деньги, а деньги — инструмент для создания будущего, концепция временной стоимости денежных средств становится краеугольным камнем всей финансовой науки. Она позволяет нам не только сравнивать суммы, полученные в разные моменты времени, но и принимать обоснованные инвестиционные решения, оценивать активы и формировать долгосрочные стратегии. В этом контексте, бессрочный аннуитет, или вечная рента, представляет собой одну из наиболее элегантных и в то же время мощных концепций финансовой математики. Это не просто абстрактное математическое построение, но и реальный инструмент, находящий широкое применение в корпоративных финансах, инвестиционном анализе и оценке бизнеса.

Целью данной курсовой работы является всестороннее исследование бессрочного аннуитета: от его теоретических основ и строгого математического аппарата до многогранных практических аспектов применения в современном финансовом мире. Мы систематизируем ключевые определения, выведем формулы для различных сценариев и проанализируем реальные кейсы использования, а также критически оценим ограничения и допущения, присущие этой модели. Структура работы призвана обеспечить академическую глубину и методологическую строгость, необходимые для полноценного понимания этой фундаментальной концепции.

Исторический экскурс: От Леонардо Пизанского до современной финансовой мысли

Мысль о том, что сегодняшние деньги ценнее завтрашних, не нова. Ещё в 1202 году великий итальянский математик Леонардо Пизанский, более известный как Фибоначчи, в своём труде "Liber Abaci" сформулировал принцип, который ныне называют "золотым правилом бизнеса": "сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра". Это не просто экономическое наблюдение, а фундаментальное положение, пронизывающее всю финансовую математику. Различие в ценности обусловлено не только инфляцией, но, прежде всего, возможностью инвестировать денежные средства и получить доход. Неполученный сегодня доход становится альтернативными издержками, упущенной выгодой, что критически важно для любого инвестора.

С течением веков эта интуитивная идея трансформировалась в строгий математический аппарат, легший в основу концепции временной стоимости денег. Она стала базой для таких сложных инструментов, как аннуитеты, дисконтирование и модели оценки. Понимание того, что денежные потоки, возникающие в разные моменты времени, не могут быть просто суммированы без приведения их к единому моменту, открыло путь к разработке современных методов оценки активов и принятия инвестиционных решений. Бессрочный аннуитет, как квинтэссенция этого принципа, позволяет нам оценить ценность бесконечных потоков, которые на первый взгляд кажутся неоценимыми, предоставляя измеримый результат.

Теоретические основы бессрочного аннуитета

Понятие аннуитета и его виды

В мире финансов существует множество форм движения денежных средств, но одним из наиболее упорядоченных и предсказуемых является аннуитет, или финансовая рента. По своей сути, аннуитет представляет собой регулярный поток однонаправленных платежей, которые осуществляются через равные интервалы времени и характеризуются равными поступлениями денежных средств. Эта систематичность делает аннуитет удобным объектом для математического анализа и моделирования, существенно упрощая финансовое планирование.

Аннуитеты могут быть классифицированы по нескольким ключевым признакам:

• По направлению денежного потока:
  • Входящие аннуитеты (или поступления) – это регулярные платежи, которые компания или частное лицо получает (например, арендная плата, дивиденды).
  • Исходящие аннуитеты (или выплаты) – это регулярные суммы, которые необходимо выплачивать (например, погашение кредита, страховые взносы).
• По сроку действия:
  • Срочные аннуитеты – характеризуются строго определённым, конечным количеством платежей или фиксированным сроком действия. Большинство кредитов, пенсионных планов и лизинговых соглашений относятся к этому виду.
  • Бессрочные аннуитеты (вечные ренты, перпетуитеты) – это особый вид аннуитетов, где платежи продолжаются бесконечное или неопределённо долгое время. Именно на них будет сфокусировано наше дальнейшее исследование.

Для любого аннуитета характерны следующие основные компоненты:

• Период ренты: Временной интервал между двумя последовательными платежами (например, месяц, квартал, год).
• Срок ренты: Общее время от начала первого периода до конца последнего периода, если речь идёт о срочном аннуитете. В случае бессрочного аннуитета этот параметр стремится к бесконечности.
• Ставка ренты (процентная ставка): Ставка, по которой начисляются проценты на денежные потоки или ставка дисконтирования, используемая для приведения будущих платежей к текущей стоимости.
• Сумма аннуитета (A): Размер каждого регулярного платежа.

Понимание этих базовых элементов позволяет нам перейти к более детальному изучению специфики бессрочных аннуитетов.

Бессрочный аннуитет (вечная рента): Сущность и ключевые характеристики

Бессрочный аннуитет, известный также как вечная рента или перпетуитет, представляет собой уникальный тип финансового потока, характеризующийся бесконечной последовательностью равных платежей, осуществляемых через равные интервалы времени. Это своего рода идеализированная модель, где денежные поступления продолжаются настолько длительное время, что их число заранее не может быть определено.

Ключевые характеристики бессрочного аннуитета:

1. Бесконечная продолжительность: Главное отличие перпетуитета от срочного аннуитета заключается в теоретически неограниченном сроке выплат. На практике, в западной финансовой традиции, аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет, часто приближаются и рассматриваются как бессрочные, поскольку дисконтированная стоимость платежей, приходящихся на более поздние периоды, становится пренебрежимо малой, что упрощает расчеты.
2. Отсутствие будущей стоимости: Для бессрочного аннуитета концепция будущей стоимости (FV) теряет смысл. Если платежи продолжаются бесконечно, то их наращенная сумма также будет бесконечно большой величиной. Однако это не означает, что бессрочный аннуитет не имеет ценности.
3. Конечная приведенная стоимость: Несмотря на бесконечное число платежей, бессрочный аннуитет обладает конечной приведенной стоимостью (PV). Этот парадокс объясняется фундаментальным принципом временной стоимости денег: чем дальше в будущее отнесён денежный поток, тем меньше его сегодняшняя ценность. Деньги, которые поступят через много лет, при дисконтировании с разумной ставкой, сейчас мало что стоят. В результате, сумма дисконтированных бесконечных платежей сходится к конечному значению.
4. Стабильность платежей: Предполагается, что размер каждого платежа (A) остаётся постоянным на протяжении всего срока.

Примерами бессрочных аннуитетов из реальной экономической жизни являются:

• Выплаты дивидендов по привилегированным акциям с фиксированной ставкой дивиденда и неопределённым сроком выпуска. Инвестор, приобретая такие акции, рассчитывает на получение постоянного дохода в течение всего срока владения.
• Купоны по облигациям без срока погашения, такие как знаменитые консоли (от англ. "consolidated annuities"), выпущенные, например, Британским казначейством в 1815 году. Эти облигации не имеют даты погашения, и эмитент обязуется выплачивать фиксированный купон держателям вечно.
• В более широком смысле, бессрочные аннуитеты также могут включать в себя "вечные облигации" (perpetual bonds) или бессрочные долговые инструменты, которые, по сути, представляют собой долговые обязательства без определённой даты погашения, по которым выплачиваются проценты на постоянной основе.

Таким образом, бессрочный аннуитет, хоть и является идеализированной моделью, служит мощным аналитическим инструментом для оценки активов, генерирующих предсказуемые и долгосрочные денежные потоки. Его ценность заключается в способности "укротить" бесконечность, превратив её в измеримую величину.

Классификация бессрочных аннуитетов: Постнумерандо и Пренумерандо

Как и срочные аннуитеты, бессрочные аннуитеты подразделяются в зависимости от момента осуществления платежей относительно начала периода. Эта классификация имеет критическое значение для корректного расчёта их приведённой стоимости, так как время получения денег напрямую влияет на их ценность.

1. Бессрочный аннуитет постнумерандо (обычная вечная рента):
   • В этом случае платежи осуществляются в конце каждого временного периода. Это наиболее распространённый тип аннуитета, который подразумевается по умолчанию, если не указано иное.
   • Например, если вы инвестируете в привилегированные акции, дивиденды по которым выплачиваются ежегодно, и первый дивиденд будет получен через год после покупки, это будет аннуитет постнумерандо.
   • При расчёте приведённой стоимости первый платёж дисконтируется за один период, второй — за два и так далее.
2. Бессрочный аннуитет пренумерандо (вечная рента с авансовыми платежами):
   • Здесь платежи происходят в начале каждого временного периода.
   • Например, если вы заключаете договор аренды, по которому плата вносится авансом в начале каждого месяца, и этот договор имеет фактически бессрочный характер, то это будет аннуитет пренумерандо.
   • Ключевое отличие заключается в том, что первый платёж осуществляется немедленно (в начале первого периода) и, соответственно, не подвергается дисконтированию. Все последующие платежи дисконтируются на один период меньше, чем в случае постнумерандо.
   • Это приводит к тому, что приведённая стоимость аннуитета пренумерандо всегда будет выше, чем аннуитета постнумерандо при прочих равных условиях, поскольку деньги поступают раньше и имеют большую текущую ценность.

Понимание этой разницы критически важно для правильного применения математических формул и получения адекватных результатов в финансовой оценке.

Математический аппарат расчета бессрочного аннуитета

Дисконтирование как основной метод оценки

В основе любой финансовой оценки будущих денежных потоков лежит принцип временной стоимости денег, а его практическим воплощением является дисконтирование. Дисконтирование – это процедура определения стоимости денег в более ранний момент времени, обычно на текущий момент (приведенная стоимость, PV). Иными словами, это процесс приведения будущих денежных потоков к их эквивалентной стоимости на сегодняшний день.

Суть дисконтирования заключается в следующем: сумма денег, полученная сегодня, ценнее той же суммы, полученной в будущем. Эта разница в ценности обусловлена несколькими факторами:

• Инфляция: Деньги со временем теряют свою покупательную способность.
• Риск: Существует неопределенность в отношении получения будущих денежных потоков.
• Альтернативные издержки (упущенная выгода): Деньги, полученные сегодня, могут быть инвестированы и принести доход. Невозможность инвестировать будущие деньги означает потерю потенциального дохода.

Ставка дисконтирования (r), используемая в процессе дисконтирования, отражает эти факторы. Она представляет собой требуемую норму доходности, или стоимость капитала, и зависит от уровня процентных ставок на рынке, уровня инфляции и степени риска, связанного с конкретным денежным потоком. Чем выше ставка дисконтирования, тем ниже будет приведенная стоимость будущих денежных потоков, и наоборот.

Приведенная стоимость одиночного будущего платежа (FV) рассчитывается по формуле:

PV = FV / (1 + r)n

где:

• PV — приведенная стоимость;
• FV — будущая стоимость;
• r — ставка дисконтирования за период;
• n — количество периодов.

Для бессрочного аннуитета дисконтирование является единственным осмысленным методом оценки, поскольку будущая стоимость бесконечного потока не может быть определена. Приведение всех бесконечных платежей к их текущей стоимости позволяет получить конечную, измеримую величину, которая отражает их совокупную ценность на сегодняшний день.

Вывод формулы приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо

Рассмотрим классический случай бессрочного аннуитета постнумерандо, где равные платежи A осуществляются в конце каждого периода на протяжении бесконечного числа периодов. Ставка дисконтирования за период составляет r.

Приведенная стоимость (PV) такого аннуитета представляет собой сумму дисконтированных значений всех будущих платежей:

PV = A/(1+r)1 + A/(1+r)2 + A/(1+r)3 + ... + A/(1+r)n + ...

Это является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где:

• Первый член (a₁) = A/(1+r)
• Знаменатель прогрессии (q) = 1/(1+r)

Для сходимости суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии необходимо, чтобы абсолютное значение знаменателя было меньше единицы, то есть |q| < 1. Поскольку процентная ставка r обычно положительна, то 1/(1+r) < 1, и условие сходимости выполняется.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

S = a1 / (1 - q)

Подставляя наши значения, получаем:

PV = [A / (1+r)] / [1 - 1 / (1+r)]

Упрощаем знаменатель:

1 - 1 / (1+r) = (1+r - 1) / (1+r) = r / (1+r)

Теперь подставляем это обратно в формулу для PV:

PV = [A / (1+r)] / [r / (1+r)]

Сокращаем (1+r) в числителе и знаменателе:

PV = A / r

Таким образом, формула приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо крайне проста:

PV = A / r

Альтернативный вывод через предел срочного аннуитета:
Формула приведенной стоимости срочного аннуитета постнумерандо выглядит так:

PVсрочный = A ⋅ [1 - (1 + r)-n] / r

Если мы устремим число периодов n к бесконечности (n → ∞), то (1 + r)^-n будет стремиться к нулю, поскольку r > 0.

lim (1 + r)-n = 0 при n → ∞

Подставляя это в формулу срочного аннуитета:

PVбессрочный = A ⋅ [1 - 0] / r = A / r

Оба метода приводят к одной и той же элегантной и компактной формуле, что подтверждает её математическую корректность.

Вывод формулы приведенной стоимости бессрочного аннуитета пренумерандо

В случае бессрочного аннуитета пренумерандо, платежи осуществляются в начале каждого периода. Это означает, что первый платёж происходит немедленно (в начале первого периода) и не подвергается дисконтированию. Все последующие платежи (начиная со второго) образуют обычный бессрочный аннуитет постнумерандо, но начинающийся на один период раньше.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо (PV_{пренумерандо}) может быть представлена как сумма первого платежа, который не дисконтируется, и приведенной стоимости оставшихся бесконечных платежей, которые начинаются с первого периода и являются обычным постнумерандо:

PVпренумерандо = A + PVпостнумерандо

Мы уже знаем, что PV_{постнумерандо} = A / r.
Следовательно:

PVпренумерандо = A + A / r

Эту формулу можно преобразовать, вынеся A за скобки или приведя к общему знаменателю:

PVпренумерандо = A ⋅ (1 + 1/r) = A ⋅ (r + 1) / r

или

PVпренумерандо = A / r ⋅ (1 + r)

Видно, что приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от постнумерандо на величину первого платежа (A) или, что эквивалентно, умножается на коэффициент (1 + r). Это логично, поскольку получение денег раньше всегда увеличивает их текущую ценность.

Практические примеры расчета приведенной стоимости

Для закрепления теоретических положений рассмотрим конкретные числовые примеры расчёта приведенной стоимости бессрочных аннуитетов.

Пример 1: Бессрочный аннуитет постнумерандо

Предположим, вы рассматриваете инвестицию, которая обещает ежегодное поступление в размере 4 200 рублей, начиная с конца первого года и продолжающееся неограниченное время. Ставка дисконтирования, отражающая вашу требуемую норму доходности или процент по срочным вкладам, составляет 14% годовых.

• Сумма аннуитета (A) = 4 200 руб.
• Процентная ставка (r) = 14% = 0.14

Используем формулу для бессрочного аннуитета постнумерандо:

PV = A / r

PV = 4 200 руб. / 0.14 = 30 000 руб.

Таким образом, приведенная стоимость этого бессрочного потока доходов составляет 30 000 рублей. Это означает, что сегодня вы были бы готовы заплатить не более 30 000 рублей за возможность получать 4 200 рублей ежегодно бесконечно долго, при условии, что ваша альтернативная доходность составляет 14%.

Пример 2: Бессрочный аннуитет пренумерандо

Теперь представим ту же ситуацию, но с платежами, осуществляемыми в начале каждого периода. Ежегодное поступление также составляет 4 200 рублей, но первый платёж вы получаете немедленно, в начале первого года. Ставка дисконтирования остаётся 14% годовых.

• Сумма аннуитета (A) = 4 200 руб.
• Процентная ставка (r) = 14% = 0.14

Используем формулу для бессрочного аннуитета пренумерандо:

PVпренумерандо = A / r ⋅ (1 + r)

PVпренумерандо = (4 200 руб. / 0.14) ⋅ (1 + 0.14)
PVпренумерандо = 30 000 руб. ⋅ 1.14
PVпренумерандо = 34 200 руб.

Альтернативный способ расчета:

PVпренумерандо = A + A / r = 4 200 руб. + 30 000 руб. = 34 200 руб.

Как и ожидалось, приведенная стоимость аннуитета пренумерандо выше, чем постнумерандо, поскольку первый платёж поступает раньше, а все последующие платежи дисконтируются на меньшее количество периодов, отражая более высокую текущую ценность. Эти примеры наглядно демонстрируют простоту и эффективность применения формул бессрочного аннуитета в практических расчетах.

Применение бессрочного аннуитета в финансовой оценке

Концепция бессрочного аннуитета, несмотря на свою идеализированность, находит широкое и весьма прагматичное применение в самых различных областях финансовой деятельности. От оценки ценных бумаг до расчёта стоимости целых предприятий — вечная рента является мощным аналитическим инструментом, позволяющим упростить сложные финансовые потоки и придать им измеримую ценность.

Оценка ценных бумаг

Одним из наиболее классических и интуитивно понятных применений бессрочного аннуитета является оценка определённых типов ценных бумаг, которые по своей природе генерируют постоянный или квазипостоянный доход.

1. Привилегированные акции:
   Дивидендные выплаты по привилегированным акциям с фиксированной ставкой дивиденда и неопределённым сроком выпуска представляют собой идеальный пример перпетуитета. В отличие от обыкновенных акций, дивиденды по привилегированным акциям, как правило, не зависят от прибыли компании и устанавливаются как фиксированный процент от номинальной стоимости акции. Поскольку срок существования компании (а значит, и срок выплаты дивидендов) считается неопределённо долгим, стоимость такой акции может быть оценена как приведенная стоимость бессрочного аннуитета.

Формула оценки:

Pприв.акции = Дивиденд / r

где:

• P_{прив.акции} — текущая стоимость привилегированной акции;
• Дивиденд — фиксированный ежегодный дивиденд;
• r — требуемая норма доходности инвестора.

2. Облигации без срока погашения (консоли):
   Исторически сложилось так, что некоторые государства и крупные корпорации выпускали облигации, не имеющие определённой даты погашения. Такие облигации называются консолями (от англ. "consolidated annuities"). Наиболее известными примерами являются консоли, выпущенные Британским казначейством ещё в 1815 году для финансирования Наполеоновских войн. Эти облигации обязывают эмитента выплачивать фиксированный купон держателям вечно.
   Оценка консолей также прекрасно ложится на модель бессрочного аннуитета.

Пример оценки консолей:
Предположим, что британская консоль обещает ежегодный купон в размере £50. Текущая процентная ставка на рынке для аналогичных безрисковых активов составляет 2%.
Используем формулу:

PV = A / r
PV = £50 / 0.02 = £2 500

Таким образом, текущая рыночная стоимость такой консоли составит £2 500.

Оценка недвижимости

Концепция бессрочного аннуитета также оказывается весьма полезной при оценке стоимости недвижимости, особенно той, которая приносит стабильный и долгосрочный доход.

1. Доходная недвижимость:
   Метод вечной ренты может быть использован для оценки стоимости объектов недвижимости, генерирующих постоянный поток арендных платежей. Это могут быть:
   • Многоквартирные дома: Приносящие стабильный доход от аренды квартир.
   • Коммерческая недвижимость: Офисы, торговые площади, складские помещения, машиноместа, которые сдаются в аренду по долгосрочным договорам.
   • Земельные участки: Если они используются для сельскохозяйственных целей или сдаются в долгосрочную аренду с фиксированной платой.
   • Садовые домики, гаражи: В случае стабильного спроса на аренду.

В данном контексте, годовой доход от аренды (C) рассматривается как сумма аннуитета (A), а требуемая ставка прибыли (R) – как ставка дисконтирования (r).
Формула для текущей стоимости вечного потока дохода в недвижимости:

PV = C / R

где:

• PV — текущая (рыночная) стоимость объекта недвижимости;
• C — годовой доход от аренды;
• R — требуемая ставка прибыли (капитализации), отражающая риски и альтернативную доходность на рынке недвижимости.

Этот подход особенно актуален, когда рыночная стоимость аналогичных объектов сложно определить из-за отсутствия достаточного количества сделок.

Оценка бизнеса: Расчет остаточной стоимости

В корпоративных финансах и оценке бизнеса бессрочный аннуитет играет ключевую роль в рамках доходного подхода, в частности, при использовании метода дисконтированных денежных потоков (DCF). Одним из наиболее сложных аспектов DCF-модели является оценка стоимости компании за пределами детального прогнозного периода, которая называется терминальной стоимостью (Terminal Value, TV) или остаточной стоимостью бизнеса.

Прогнозный период обычно охватывает 5-10 лет, но компания предполагается действующей бессрочно. Именно для расчёта этой "вечной" стоимости после прогнозного периода и применяется принцип бессрочного аннуитета, часто в модифицированном виде через модель Гордона (Gordon Growth Model).

• Значение терминальной стоимости: Терминальная стоимость может составлять от 50% до 70% (а иногда и более) от общей оценки бизнеса, что подчёркивает её критическую важность. Ошибка в её расчёте может существенно исказить всю оценку.
• Использование модели Гордона для TV: Модель Гордона предполагает, что после прогнозного периода денежные потоки компании будут расти с постоянным, относительно невысоким темпом роста (g) в течение неограниченного времени.

Формула для определения терминальной стоимости бизнеса с использованием модели Гордона:

Vterm = CFn+1 / (r - g)

где:

• V_term — остаточная (терминальная) стоимость бизнеса на конец прогнозного периода;
• CF_n+1 — ожидаемый денежный поток за первый год после прогнозного периода (то есть, на (n+1)-й год, где n — последний год детального прогноза). Этот денежный поток рассчитывается как CF_n ⋅ (1 + g), где CF_n — денежный поток последнего года прогнозного периода;
• r — ставка дисконтирования ( Weighted Average Cost of Capital, WACC) компании;
• g — долгосрочные, устойчивые темпы прироста денежных потоков компании (как правило, не превышающие темпы роста ВВП или инфляции).

Этот подход позволяет учесть вклад всех будущих денежных потоков компании, даже тех, которые находятся за пределами детального прогноза, и является незаменимым инструментом в руках оценщика.

Применение в пенсионных фондах и страховании

Бессрочные аннуитеты, или их близкие аналоги, также находят применение в сфере пенсионного обеспечения и страхования, предлагая гражданам своего рода финансовую стабильность на протяжении всей жизни.

1. Пенсионные схемы:
   Некоторые пенсионные схемы или продукты предлагают выплаты в виде пожизненного, или вечного, аннуитета. Это означает, что после выхода на пенсию гражданин начинает получать регулярные фиксированные выплаты, которые продолжаются до конца его жизни.
   • Пример: Пенсионный аннуитет в Казахстане. В Казахстане, например, пенсионный аннуитет позволяет гражданам перевести свои пенсионные накопления в страховую компанию и получать пожизненные пенсионные выплаты. Это даёт возможность выйти на пенсию раньше установленного государством возраста: мужчины могут начать получать аннуитет с 55 лет, женщины — с 53 лет (с постепенным повышением до 55 лет к 2031 году). Сумма аннуитета зависит от накопленной суммы и возраста. Хотя эти выплаты не являются строго "вечными" в математическом смысле (они прекращаются со смертью получателя), их неопределённый, пожизненный характер делает их концептуально близкими к бессрочным аннуитетам при оценке.
2. Страховые продукты:
   В страховании жизни могут существовать продукты, гарантирующие пожизненные выплаты бенефициару после наступления определённого события (например, смерти застрахованного лица). Оценка таких обязательств для страховых компаний также основывается на принципах, близких к бессрочным аннуитетам.

Сравнение инвестиционных проектов с использованием эквивалентного годового аннуитета (EAA)

В инвестиционном анализе часто возникает задача выбора между взаимоисключающими проектами, которые имеют разную продолжительность жизни. Прямое сравнение их чистой приведенной стоимости (NPV) может быть некорректным, так как проект с более длительным сроком службы может иметь более высокое NPV просто за счёт большего числа денежных потоков, но быть менее эффективным на ежегодной основе. В таких случаях на помощь приходит метод эквивалентного годового аннуитета (Equivalent Annual Annuity, EAA).

Сущность метода EAA:
EAA — это финансовый показатель, который преобразует чистую приведенную стоимость (NPV) проекта в эквивалентную годовую сумму. По сути, EAA отвечает на вопрос: "Какой ежегодный платеж (аннуитет) эквивалентен NPV данного проекта на протяжении всего срока его службы?". Это позволяет стандартизированно оценивать прибыльность и жизнеспособность инвестиционных вариантов, приводя их к "общему знаменателю" — годовому эквиваленту.

Расчёт EAA:

1. Рассчитать чистую приведенную стоимость (NPV) каждого проекта.
2. Преобразовать NPV в эквивалентный годовой аннуитет с использованием коэффициента аннуитета.

Формула EAA:

EAA = NPV / AIFr,n

где:

• NPV — чистая приведенная стоимость проекта;
• AIF_r,n — коэффициент приведения аннуитета (Annuity Interest Factor), который рассчитывается как:

AIFr,n = [1 - (1 + r)-n] / r

• r — ставка дисконтирования;
• n — срок жизни проекта.

Фактически, EAA — это годовой платёж, который имеет NPV, равное NPV проекта, при той же ставке дисконтирования и сроке службы.

Правило принятия решения:
При сравнении взаимоисключающих проектов выбирается тот, у которого значение EAA будет наибольшим. Это означает, что данный проект является наиболее эффективным с точки зрения ежегодной прибыльности на протяжении своего срока службы.

Пример:
Предположим, у нас есть два проекта:

• Проект А: NPV = 100 000 руб., Срок = 3 года, Ставка дисконтирования = 10%
• Проект Б: NPV = 120 000 руб., Срок = 4 года, Ставка дисконтирования = 10%

1. Рассчитаем AIF для Проекта А (n=3, r=0.10):

AIF0.10,3 = [1 - (1 + 0.10)-3] / 0.10 = [1 - 0.7513] / 0.10 = 0.2487 / 0.10 = 2.487
EAAА = 100 000 руб. / 2.487 ≈ 40 209.08 руб.

2. Рассчитаем AIF для Проекта Б (n=4, r=0.10):

AIF0.10,4 = [1 - (1 + 0.10)-4] / 0.10 = [1 - 0.6830] / 0.10 = 0.3170 / 0.10 = 3.170
EAAБ = 120 000 руб. / 3.170 ≈ 37 854.90 руб.

Сравнивая EAA_А (40 209.08 руб.) и EAA_Б (37 854.90 руб.), мы видим, что Проект А является более эффективным на ежегодной основе, несмотря на более низкое общее NPV. Метод EAA позволяет принимать более обоснованные решения в таких ситуациях.

Модель Гордона (Модель вечного роста) как инструмент оценки активов

Модель Гордона, также известная как Модель вечного роста (Gordon Growth Model), является одним из наиболее фундаментальных и широко используемых методов оценки акций и бизнеса. По сути, она представляет собой вариацию модели дисконтирования дивидендов (Dividend Discount Model, DDM), которая использует принцип бессрочного аннуитета, но с важным допущением о постоянном темпе роста денежных потоков.

Сущность и предпосылки модели Гордона

Модель Гордона была разработана Мироном Гордоном в 1959 году и основывается на предположении, что стоимость акции или бизнеса определяется приведенной стоимостью всех её будущих дивидендов (или денежных потоков для бизнеса). Ключевые предпосылки модели Гордона включают:

1. Бессрочный характер: Акция (или бизнес) будет существовать теоретически неограниченный срок, и дивиденды (или денежные потоки) будут выплачиваться вечно. Это напрямую отсылает к концепции бессрочного аннуитета.
2. Постоянный темп роста: Будущие денежные потоки (дивиденды) будут расти ежегодно с одинаковым (постоянным) и предсказуемым темпом роста ‘g‘. Этот темп роста должен быть стабильным и устойчивым в долгосрочной перспективе.
3. Стабильная требуемая ставка доходности: Требуемая инвестором норма доходности (ставка дисконтирования ‘k‘) не будет меняться на протяжении всего периода оценки.
4. Превосходство ставки дисконтирования над темпом роста: Темп роста ‘g‘ должен быть строго меньше требуемой ставки доходности ‘k‘ (g < k). В противном случае, если g ≥ k, модель Гордона становится бессмысленной, поскольку стоимость акции будет стремиться к бесконечности или будет отрицательной, что не имеет экономического смысла.

Модель Гордона особенно хорошо подходит для оценки акций крупных, зрелых компаний, которые имеют стабильные и предсказуемые темпы роста денежных потоков и дивидендных выплат. Она также часто используется для оценки внебиржевых компаний или частей бизнеса, для которых сложно применить другие, более сложные методы оценки.

Формула модели Гордона и ее элементы

Базовая формула модели Гордона для оценки стоимости акции выглядит следующим образом:

P = D1 / (k - g)

Где каждый элемент имеет строго определённое значение:

• P (от англ. Price) — текущая (справедливая) стоимость акции или бизнеса на сегодняшний день. Это та цена, которую инвестор теоретически готов заплатить за актив, исходя из ожидаемых будущих денежных потоков.
• D₁ — ожидаемый денежный поток (дивиденд) в следующем году. Это критически важный момент: используется не текущий дивиденд (D₀), а прогнозируемый дивиденд на один период вперёд. Он рассчитывается как:

D1 = D0 ⋅ (1 + g)

где D₀ — текущий (последний выплаченный) дивиденд.

• k — требуемая процентная ставка (ставка дисконтирования, норма доходности), которая отражает риск инвестиции и альтернативную стоимость капитала. Для акций это часто стоимость собственного капитала, рассчитанная, например, по модели CAPM (Capital Asset Pricing Model).
• g — темп прироста будущих денежных потоков (дивидендов). Этот темп должен быть постоянным и устойчивым в долгосрочной перспективе.

Примеры расчета стоимости активов по модели Гордона

Рассмотрим практический пример применения модели Гордона для оценки стоимости акции или бизнеса.

Пример 1: Оценка стоимости акции

Предположим, у нас есть следующая информация по компании:

• Последний выплаченный дивиденд (D₀) = 450 руб. на акцию.
• Ожидаемый постоянный темп роста дивидендов (g) = 5% в год (0.05).
• Требуемая норма доходности инвестора (k) = 12% годовых (0.12).

Шаг 1: Рассчитаем ожидаемый дивиденд в следующем году (D₁):

D1 = D0 ⋅ (1 + g) = 450 руб. ⋅ (1 + 0.05) = 450 руб. ⋅ 1.05 = 472.50 руб.

Шаг 2: Применим формулу модели Гордона:

P = D1 / (k - g)
P = 472.50 руб. / (0.12 - 0.05)
P = 472.50 руб. / 0.07
P ≈ 6 750 руб.

Таким образом, согласно модели Гордона, справедливая стоимость одной акции этой компании составляет примерно 6 750 рублей.

Пример 2: Оценка стоимости бизнеса (как совокупности будущих денежных потоков)

Предположим, мы оцениваем стоимость небольшого бизнеса, который, как ожидается, будет генерировать стабильно растущие свободные денежные потоки.

• Ожидаемый свободный денежный поток на следующий год (CF₁) = 500 000 руб.
• Долгосрочный темп прироста денежных потоков (g) = 5% в год (0.05).
• Ставка дисконтирования (WACC) = 12% годовых (0.12).

Здесь CF₁ аналогичен D₁ в формуле для акций.

Применим формулу модели Гордона:

V0 = CF1 / (r - g)
V0 = 500 000 руб. / (0.12 - 0.05)
V0 = 500 000 руб. / 0.07
V0 ≈ 7 142 857.14 руб.

Следовательно, текущая стоимость этого бизнеса, согласно модели Гордона, составляет приблизительно 7 142 857.14 рублей. Эти примеры демонстрируют гибкость модели и её применимость как для отдельных ценных бумаг, так и для целых предприятий.

Модель Гордона для расчета терминальной стоимости бизнеса

Как было упомянуто ранее, модель Гордона является краеугольным камнем в расчёте терминальной стоимости (Terminal Value, TV) бизнеса в рамках метода дисконтированных денежных потоков (DCF). Терминальная стоимость представляет собой приведенную стоимость всех денежных потоков, которые компания будет генерировать после окончания детального прогнозного периода (обычно 5-10 лет) и до бесконечности.

Формула для определения терминальной стоимости бизнеса с использованием модели Гордона выглядит так:

Vterm = CFn+1 / (r - g)

Где:

• V_term — остаточная (терминальная) стоимость бизнеса на конец прогнозного периода (то есть, на момент времени ‘n‘). Эта сумма затем дисконтируется к текущему моменту вместе с денежными потоками прогнозного периода.
• CF_n+1 — ожидаемый денежный поток за первый год после окончания прогнозного периода. То есть, это денежный поток на (n+1)-й год, где ‘n‘ – это последний год детального прогноза. Он рассчитывается, исходя из денежного потока последнего года прогнозного периода (CF_n) и долгосрочного темпа роста (g):

CFn+1 = CFn ⋅ (1 + g)

Важно: в качестве CF часто используют свободный денежный поток для фирмы (FCFF) или свободный денежный поток для собственного капитала (FCFE), в зависимости от того, что дисконтируется.

• r — ставка дисконтирования. В контексте оценки бизнеса, если дисконтируются FCFF, это обычно средневзвешенная стоимость капитала (Weighted Average Cost of Capital, WACC). Если дисконтируются FCFE, это стоимость собственного капитала.
• g — долгосрочные, устойчивые темпы прироста денежных потоков компании за пределами прогнозного периода. Этот темп должен быть реалистичным и не превышать темпов роста экономики (например, ВВП страны) или инфляции в долгосрочной перспективе, чтобы не нарушать допущение о стабильном росте.

Значимость: Терминальная стоимость зачастую составляет очень существенную часть (до 70% и более) от общей оценки стоимости бизнеса. Это подчёркивает, насколько важно правильно определить параметры ‘g‘ и ‘r‘, так как малейшие изменения в этих переменных могут привести к значительным отклонениям в итоговой оценке. Модель Гордона позволяет "свернуть" бесконечность будущих денежных потоков в одну измеримую величину, делая оценку бизнеса более полной и реалистичной.

Ограничения, допущения и сравнительный анализ

При всей своей элегантности и полезности, модели, основанные на концепции бессрочного аннуитета, не являются универсальными и имеют ряд существенных ограничений и допущений. Понимание этих нюансов критически важно для корректного применения этих инструментов в финансовом анализе и избежания ошибочных выводов.

Основные допущения моделей бессрочного аннуитета и их критика

Фундаментом для всех расчётов, связанных с бессрочным аннуитетом, являются следующие допущения:

1. Равные платежи через равные промежутки времени: Это краеугольное допущение. На практике, денежные потоки редко бывают абсолютно равными и идеально синхронизированными. Выплаты дивидендов могут меняться, арендные платежи могут индексироваться, а бизнес-потоки всегда подвержены волатильности.
2. Постоянная процентная ставка (ставка дисконтирования): Модели предполагают, что ставка дисконтирования ‘r‘ остаётся неизменной на протяжении всего бесконечного периода. В реальной экономике процентные ставки постоянно колеблются под воздействием макроэкономических факторов (инфляция, политика центральных банков, экономический рост) и изменений в рисковом профиле актива или компании.
3. Бесконечная продолжительность потока платежей: Это самое сильное и наименее реалистичное допущение. Хотя некоторые финансовые инструменты (консоли, привилегированные акции) имитируют бесконечность, ничто в реальном мире не длится вечно. Компании могут быть ликвидированы, проекты завершены, а обязательства прекращены. Тем не менее, для очень долгосрочных потоков (50+ лет) приближение к бесконечности часто является оправданным, так как дисконтирующая сила времени нивелирует разницу между 50 годами и бесконечностью.

Критика допущений:
Нереалистичность этих допущений означает, что результаты, полученные с использованием моделей бессрочного аннуитета, должны интерпретироваться с осторожностью. Они представляют собой идеализированную оценку и требуют корректировки на реальные условия. Аналитик должен понимать, насколько сильно реальная ситуация отклоняется от этих идеальных условий и как это может повлиять на итоговую стоимость.

Факторы, ограничивающие точность и применимость моделей

Помимо общих допущений, существуют конкретные экономические факторы, которые могут существенно ограничивать точность и практическую применимость моделей бессрочного аннуитета:

1. Инфляция: Со временем инфляция неизбежно уменьшает реальную покупательную способность регулярных платежей. Если номинальная сумма аннуитета остаётся постоянной, то его реальная стоимость постоянно снижается. Модели бессрочного аннуитета, использующие номинальную ставку дисконтирования и номинальные платежи, не всегда адекватно отражают потерю реальной стоимости без явного учёта инфляции. Для более точной оценки можно использовать реальные ставки дисконтирования и реальные денежные потоки, но это усложняет расчёты.
2. Изменение процентных ставок: Колебания процентных ставок на рынке напрямую влияют на ставку дисконтирования (r). Чем выше ставка дисконтирования, тем ниже текущее значение вечности, и наоборот. В условиях экономической нестабильности или значительных изменений в монетарной политике, когда процентные ставки сильно колеблются, предположение о постоянной ‘r‘ становится особенно проблематичным. Неожиданный рост ставок может резко снизить оцененную стоимость бессрочного аннуитета.
3. Риски:
   • Риск неплатежеспособности: Всегда существует риск того, что сторона, обязанная производить выплаты (эмитент облигаций, страховая компания, компания, выплачивающая дивиденды), может столкнуться с финансовыми трудностями и оказаться не в состоянии выполнить свои обязательства. Это может привести к невыплате гарантированного дохода или прекращению платежей.
   • Риск неполучения ожидаемой суммы: Даже при отсутствии неплатежеспособности, реальные денежные потоки могут отклоняться от ожидаемых (например, компания может снизить дивиденды из-за плохих результатов).
   • Ликвидность: Некоторые активы, приносящие бессрочный доход (например, консоли), могут быть низколиквидными, что затрудняет их продажу по справедливой цене в случае необходимости.

Эти факторы требуют от аналитика не только механического применения формул, но и глубокого понимания контекста, в котором функционирует оцениваемый актив, а также способности оценивать и включать риски в ставку дисконтирования.

Критический анализ модели Гордона: Ограничения и условия применимости

Модель Гордона, как специфическая форма бессрочного аннуитета, наследует его общие ограничения и имеет свои собственные, уникальные особенности, которые требуют тщательного рассмотрения:

1. Допущение о постоянном росте (g): Это одно из самых критичных допущений. Очень немногие компании могут поддерживать абсолютно постоянный темп роста дивидендов или денежных потоков на протяжении бесконечно долгого времени.
   • g не может превышать k: Если темп роста ‘g‘ равен или превышает требуемую норму доходности ‘k‘ (g ≥ k), модель Гордона становится математически бессмысленной.
     • Если g = k, то знаменатель (k — g) равен нулю, и стоимость акции ‘P‘ стремится к бесконечности. Это означает, что актив, растущий темпом, равным или превышающим стоимость капитала, имеет бесконечную ценность, что не соответствует реальности.
     • Если g > k, то знаменатель становится отрицательным, что приводит к отрицательной стоимости акции ‘P‘. Это также абсурдно с экономической точки зрения, поскольку акция не может иметь отрицательную стоимость.
   • Реалистичность g: Темп роста ‘g‘ должен быть устойчивым и реалистичным в долгосрочной перспективе. Обычно он не должен превышать долгосрочные темпы роста экономики (ВВП) или инфляции страны, в которой оперирует компания. Необоснованно завышенный ‘g‘ приведёт к завышенной оценке.
2. Нестабильность денежных потоков: Модель Гордона лучше всего подходит для оценки зрелых компаний с предсказуемыми и стабильными денежными потоками и дивидендными выплатами. Она менее применимы для:
   • Молодых, быстрорастущих компаний: У них темпы роста часто высоки и нестабильны, что нарушает допущение о постоянном ‘g‘.
   • Компаний с циклическими бизнесами: Их денежные потоки сильно зависят от экономических циклов.
   • Компаний с высокими операционными расходами или значительными капитальными вложениями: Их способность генерировать стабильные дивиденды или свободные денежные потоки может быть ограниченной.
3. Зависимость от дивидендной политики: Модель Гордона оценивает дивиденды. Для компаний, которые не платят дивиденды или имеют нестабильную дивидендную политику, эта модель неприменима напрямую. В таких случаях её можно модифицировать, используя свободные денежные потоки (FCFF или FCFE), но это требует дополнительных допущений.

Таким образом, модель Гордона является мощным инструментом, но требует критического подхода и глубокого понимания её ограничений и условий применимости. Её использование должно быть оправдано характером оцениваемого актива и стабильностью его будущих денежных потоков.

Отличия и взаимосвязь бессрочного аннуитета со срочными аннуитетами

Для полного понимания концепции бессрочного аннуитета необходимо провести его систематическое сравнение со срочным аннуитетом, выделив как ключевые отличия, так и моменты взаимосвязи.

Параметр сравнения	Бессрочный аннуитет (Вечная рента)	Срочный аннуитет
Срок выплат	Неограниченный, бесконечный.	Ограниченный, строго определённый срок (n периодов).
Количество платежей	Теоретически бесконечное.	Конечное, заранее известное число платежей.
Определение будущей стоимости	Не имеет смысла, так как наращенная сумма равна бесконечности.	Имеет смысл, наращенная сумма является конечной величиной.
Схемы расчета	Оценивается только по схеме дисконтирования.	Может рассчитываться как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.
Формула приведенной стоимости (постнумерандо)	PV = A / r	PV = A ⋅ [1 - (1 + r)-n] / r
Применимость	Оценка активов с бесконечным или очень длительным сроком жизни (привилегированные акции, консоли, остаточная стоимость бизнеса).	Оценка кредитов, пенсионных накоплений, лизинговых платежей, где срок определён.
Чувствительность к r	Очень высокая. Малейшее изменение ‘r‘ существенно влияет на PV.	Высокая, но влияние ‘n‘ также значительно.

Взаимосвязь и приближение:

Несмотря на принципиальные различия, существует важная взаимосвязь между срочными и бессрочными аннуитетами:

• Предельный случай: Формула бессрочного аннуитета может быть получена как предельный случай формулы срочного аннуитета, когда количество периодов (n) стремится к бесконечности. Как было показано ранее, член (1 + r)^-n стремится к нулю при n → ∞, что упрощает формулу срочного аннуитета до формулы бессрочного.
• Практическое приближение: При больших сроках аннуитета (например, более 50 лет) и относительно высоком уровне процентной ставки (r), приведенная стоимость срочного аннуитета становится очень близка к приведенной стоимости бессрочного аннуитета. Разница в результатах становится незначительной. Это объясняется тем, что дисконтированная стоимость платежей, которые должны поступить через 50, 60, 70 и более лет, уже крайне мала, и добавление "бесконечного хвоста" мало влияет на общую приведенную стоимость. В таких случаях, для упрощения расчётов, срочный аннуитет может быть аппроксимирован бессрочным.

Таким образом, бессрочный аннуитет — это не просто теоретическая конструкция, но и мощный практический инструмент, который, при правильном понимании его допущений и ограничений, становится незаменимым элементом арсенала финансового аналитика и оценщика.

Заключение

Исследование бессрочного аннуитета, или вечной ренты, демонстрирует его фундаментальное значение в финансовой математике и корпоративных финансах. Мы увидели, как эта концепция, уходящая корнями в "золотое правило бизнеса" Леонардо Пизанского, позволяет придать измеримую ценность бесконечным потокам денежных средств. От строгого математического вывода формул для аннуитетов постнумерандо и пренумерандо до их многогранного практического применения — вечная рента является элегантным решением для оценки долгосрочных финансовых обязательств и активов.

Ключевые теоретические положения, такие как отсутствие будущей стоимости при наличии конечной приведенной стоимости, подчеркивают уникальность бессрочного аннуитета. Его практическая значимость проявляется в широком спектре задач: от оценки привилегированных акций и облигаций без срока погашения (консолей) до определения остаточной стоимости бизнеса в методе дисконтированных денежных потоков и сравнения инвестиционных проектов с использованием эквивалентного годового аннуитета. Модель Гордона, являясь вариацией бессрочного аннуитета с допущением о постоянном росте, выступает мощным инструментом для оценки активов, генерирующих стабильно растущие денежные потоки.

Вместе с тем, критически важно помнить о допущениях и ограничениях, присущих этим моделям. Идеализированные условия (равные платежи, постоянная ставка дисконтирования, бесконечная продолжительность) редко встречаются в чистом виде в реальном мире. Влияние инфляции, изменение процентных ставок и риски неплатежеспособности или нестабильности денежных потоков могут существенно исказить результаты. Особое внимание следует уделять условиям применимости модели Гордона, особенно требованию, чтобы темп роста денежных потоков не превышал ставку дисконтирования.

Глубокое понимание этих допущений и ограничений, а также умение адаптировать модели к реальным экономическим условиям, являются залогом корректного применения бессрочного аннуитета в финансовом анализе и оценке. Освоение этой концепции позволяет не только производить точные расчеты, но и развивает критическое мышление, необходимое для принятия взвешенных и обоснованных финансовых решений в условиях неопределенности, ведь истинная ценность знаний проявляется в их применимости к реальным вызовам.

Список использованной литературы

1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 2007. 327 с.
2. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов: Пер. с англ. М.: ЗАО «Олимп — Бизнес», 2006. 254 с.
3. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс: В 2-х т. / Пер. с англ. под. ред. В.В. Ковалева. СПб.: Экономическая школа, 2004. 365 с.
4. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов: Учебное пособие. М.: Федеративная Книготорговая Компания, 2006. 235 с.
5. Бухвалов А.В., Идельсон А.В. Самоучитель по финансовым расчетам. М.: Мир, Пресс-Сервис, 2007. 326 с.
6. Ващенко Т.В. Математика финансового менеджмента. М.: Перспектива, 2006. 326 с.
7. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 2007. 427 с.
8. Ковалева. М.: Финансы и статистика, 2006. 276 с.
9. Уланов В.А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений / Под ред. проф. В.В., 2005. 263 с.
10. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. 4-е изд. М.: Дело, 2004. 400 с.
11. Четыркин Е.М. Финансовая математика. Учебник / Е.М. Четыркин. М.: Изд-во «Дело АНХ», 2010.
12. Яцко В. А. Финансовая математика: учеб. пособие / В. А. Яцко. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2021. 120 с.
13. Оценка бессрочного аннуитета. Финансовый менеджмент: теория и практика. Ковалев. URL: https://www.elitarium.ru/finansovyj-menedzhment-teorija-i-praktika-kovalev/ocenka-bessrochnogo-annuiteta.html (дата обращения: 16.10.2025).
14. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ — Всероссийская олимпиада по финансовой грамотности. URL: https://fincult.info/upload/medialibrary/2d9/Metodicheskoe_posobie_olimpiada_FINANS.MATEMATIKA_01.07.2024.pdf (дата обращения: 16.10.2025).
15. Асаул А. Н. и др. Основы бизнеса на рынке ценных бумаг: Модели оценки акций. URL: http://econ.asau.ru/files/metody_ocenki_aktsiy.pdf (дата обращения: 16.10.2025).
16. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА (пособие). URL: https://dvgups.ru/sites/default/files/u132/fin_mat.pdf (дата обращения: 16.10.2025).
17. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ — тусур. URL: https://stud.tusur.ru/files/849/fintma_uchebnoe_posobie_2_1.pdf (дата обращения: 16.10.2025).
18. Аннуитет — Финансовый анализ. URL: https://fin-analiz.ru/annuitet (дата обращения: 16.10.2025).
19. Модель Гордона — Финансовый анализ. URL: https://fin-analiz.ru/model-gordona (дата обращения: 16.10.2025).
20. Модель Гордона для оценки акций — Активный инвестор. URL: https://activeinvestor.ru/model-gordona-dlya-ocenki-akcij (дата обращения: 16.10.2025).
21. Модель роста Гордона | программа CFA — fin-accounting.ru. URL: https://fin-accounting.ru/gordon-growth-model/ (дата обращения: 16.10.2025).
22. Как рассчитывать приведенную стоимость (PV) серии денежных потоков (аннуитета и перпетуитета)? | программа CFA — fin-accounting.ru. URL: https://fin-accounting.ru/current-value-of-annuity-and-perpetuity/ (дата обращения: 16.10.2025).
23. Как рассчитывать будущую стоимость (FV) последовательности денежных потоков (аннуитета)? | программа CFA — fin-accounting.ru. URL: https://fin-accounting.ru/future-value-of-annuity/ (дата обращения: 16.10.2025).
24. Вечная рента. Формула аннуитета. — МСФО, Дипифр. URL: https://msfo-dipifr.ru/vechnaya-renta-formula-annuiteta/ (дата обращения: 16.10.2025).
25. Особый аннуитет — UTmagazine.ru. URL: https://utmagazine.ru/posts/8706-osobyj-annuitet (дата обращения: 16.10.2025).
26. Бесконечные аннуитеты: понимание механики вечности — FasterCapital. URL: https://fastercapital.com/ru/content/%D0%91%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%83%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82%D1%8B—%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8-%D0%B2%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8.html (дата обращения: 16.10.2025).