Содержание
Equation Chapter 1 Section 1Содержание
Введение 3
1 Понятие псевдорешения системы линейных уравнений и псевдообратной матрицы 6
1.1 Минимизация невязки 6
1.2 Псевдообратная матрица 10
1.3 Вычисление псевдообратной матрицы 15
1.3.1 Общие данные 15
1.3.2 Прямое получение скелетного разложения матрицы 16
1.3.2 Вторая форма сингулярного разложения 17
1.3.3 Метод Гревиля 21
2 Основные свойства и применение псевдообратной матрицы 25
Список источников 33
Выдержка из текста
ВВЕДЕНИЕ
В практических задачах часто бывает нужно найти решение, удовлетворяющее большому числу возможно противоречивых требований. Если такая задача сводится к системе линейных уравнений, то система оказывается, вообще говоря, несовместной.
В этом случае задача может быть решена только путем выбора некоторого компромисса – все требования могут быть удовлетворены не полностью, а лишь до некоторой степени. Поясним это следующим примером.
Пусть из физических соображений можно считать, что в некоторой области их изменения величины у и х связаны линейной зависимостью вида у kxb, а коэффициенты должны быть установлены экспериментально [3].
Экспериментальные данные представляют собой т точек на координатной плоскости (х1, у1), …, (хт, ут).
Если эти пары значений действительно связаны искомой зави-симостью, то подстановка их в уравнение приводит нас к системе из т линейных уравнений для двух неизвестных kи b:
При любых различных xiп xjпара точек (xiуi) и (xj, уj) определяет прямую. Но другая пара точек определяет другую прямую, и у нас нет оснований выбрать какую-нибудь одну из всех прямых.
Если экспериментальные данные в достаточной степени заслуживают доверия, то несовместность системы служит основанием для того, чтобы отвергнуть гипотезу о линейной зависимости. Вопрос о совместимости экспериментальных данных с гипотезой линейной зависимости решается статистическим анализом.
Пусть точность исходной информации допускает существование линейной зависимости. В этом случае то, что в действительности нужно, – это найти такую прямую на координатной плоскости, которая, может быть, не проходит ни через одну пару экспериментальных точек, или даже ни через одну из точек, но в каком-то смысле возможно более близко расположена ко всем точкам (Рис. 1).
Рис. 1.
Обычно в этой задаче удаленность точки от прямой измеряют не расстоянием, а разностью ординат yi-kxi-b,и выбирают прямую так, чтобы сумма квадратов всех таких разностей была минимальна.
Коэффициенты k0и b0 уравнения этой прямой дают некоторое решение стоящей перед нами задачи, которое отнюдь не является решением системы линейных уравнений (вообще не имеющей решений). Можно считать числа k0и b0обобщенным решением системы или, как говорят, псевдорешением [6]. Точное определение этого понятия будет дано ниже.
В первом и второмразделе данной работы была поставлена цель описать такие элементарные свойства псевдорешений и связанных с ними псевдообратных матриц, которые можно без труда вывести, не используя ничего, кроме известных из общего курса теорем о системах линейных уравнений и об ортогональных дополнениях подпространств в евклидовом пространстве
Мы будем рассматривать систему линейных уравнений:
(1)
с матрицей А размеров тxп. Буква r будет обозначать ранг этой матрицы.
Никаких условий на т, п и r, вообще говоря, не накладывается.
Поскольку х– столбец высоты п, а b– столбец высоты т, для геометрической иллюстрации естественно будет исполь зовать арифметические пространства и . Под нормой столбца хс элементами х1,…,хп мы будем понимать его евклидову норму т. е. число
Третийраздел посвящен практическим приемам и способам вычисления псевдообратной матрицы.
Вовторой главе даются примеры практического применения псевдообратных матриц.
Список использованной литературы
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1968. – 576 с.
2. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры М.: Наука, 1983
3. Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. М.П – центр, 2003
4. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980.
5. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. – М.: Наука, 1970.
6. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963.
7. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. – М.: Наука, 1977.
8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969.
9. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.
10. Булавецкий В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные методы линейного программирования. – М.: Наука, 1977.
11. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977.
12. Воеводин В. В. Линейная алгебра, – М.: Наука, 1980.
13. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. – М.: Наука, 1966.