Содержание
Глава 1. Эйлеровы интегралы
1.1. Интегралы Эйлера первого рода (Бета-функция)
Определение: Бета — функцией или интегралом Эйлера первого рода называется интеграл:
(1.1)
Определение: Если одновременно выполняются условия: a ≥ 1 ,
b ≥ 1 , то этот интеграл (1) собственный. Если же одно из этих двух неравенств нарушается, то интеграл (1) – несобственный. Покажем что интеграл (1) сходиться, если одновременно выполняется a>0, b>0 . Видим, что подынтегральная функция в (1) имеет две особые точки: x=0 и x=1.
Доказательство: Поэтому представляем (1) в виде:
Рассмотрим интеграл Он – несобственный при a < 1. Особая точка x=0. Запишем подынтегральную функцию в виде
и введем функцию
Так как при любом b (конечный, не равен 0), то интегралы и сходятся, или расходятся одновременно. Но сходится лишь тогда, когда 1 – а < 1, то есть когда a > 0. Следовательно, сходится при любом b и лишь при а > 0.
Рассмотрим Он несобственный при b < 1.
Особая точка x = 1. Подынтегральная функция
Положим, Имеем при любом а (конечный, не равный 0). Значит, и сходятся лишь тогда, когда 1 – b < 1, то есть когда b > 0. Следовательно, схо-дится при любом а и лишь при b > 0.
Выдержка из текста
Во многих случаях первообразная от заданной элементарной функции не выражается никакими конечными комбинациями основных элементарных функций. Об этих функциях говорят, что они не интегри-руемы в конечном виде. В ряде случаев, для вычисления используют так называемые эйлеровы интегралы, являющие собой особый класс функ-ций, которые представляются в виде собственного либо несобственного интеграла, зависящего не только от формальной переменной, а и от па-раметра. К эйлеровым интегралам относятся так называемые бета- и гамма- функции Эйлера.
Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых спе-циальных функций, применение ее свойств поможет при изучении мно-гих других специальных функций, например, цилиндрических, гипер-геометрических и других. Благодаря её введению значительно расши-ряются возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, ее получение всё же часто облегчает использование гамма — функции, хотя бы при промежуточных преобразованиях. Эйлеровы интегралы пред-ставляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых ин-тегралов.
Цель данной работы – изучить бета- и гамма- функции, их свой-ства, установить связь между ними и научиться применять их для вы-числения интегралов.
Задачи, способствующие достижению цели:
1) Проанализировать литературу по теме “Бета- и гамма- функ-ции”
2) Определить свойства бета- и гамма- функций.
3) Установить связь между бета- и гамма- функциями.
4) Рассмотреть приложения бета- и гамма- функций для вычисле-ния интегралов.
Список использованной литературы
1. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике: для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — 15-е изд. — М.: Наука: Физматлит, 1998. — 608 с.
2. Гусак, А.А. Высшая математика. Учебник для студентов вузов. В 2 т. Т. 1 / 6-е изд. — Минск: ТетраСистемс, 2010. — 544 с.
3. Зайцев, В.П. Математика: Часть 2. Учебное пособие./ В.П. Зайцев, А.С. Киркинский. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2014. – 234 с.
4. Зон, Б.А. Лекции по интегральным уравнениям: учебное пособие для студентов вузов / Б. А. Зон. — М.: Высшая школа, 2004. — 92 с.
5. Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ. В 3-х т. Т. 2: Учебное по-собие. – М.: Высш. шк., 2005. – 720 с.
6. Кузнецова, Т. А. Высшая математика: Учебное пособие / Кузнецова Т. А. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 168 с.
7. Трофимов, В. К. Интегральное исчисление: Учебное пособие / Тро-фимов В. К. — Новосибирск: Сибирский государственный универ-ситет телекоммуникаций и информатики, 2013. — 249 с.
8. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: учебник для студентов 1-2 курсов математических отделений вузов: в 2 т. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — Санкт-Петербург: Лань, 2004. — 440 с.
9. Холодов, Ю. В. Учебно-методическое пособие по «Высшей матема-тике» [Электронный ресурс] / Холодов Ю. В. — Астрахань: Астра-ханский инженерно-строительный институт, ЭБС АСВ, 2012. — 127 с.
10. Шипачев, В.С. Основы высшей математики: учебное пособие для студентов вузов / В. С. Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова. — Изд. 3-е, стер. — Москва: Высшая школа, 1998. — 479 с.
11. http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/5250/Эйлера
12. http://edu.alnam.ru/book_man_c.php?id=98
13. http://modality.ru/gos4/node14.php
14. http://natalibrilenova.ru/blog/1313-gamma-funkciey-nazyvaetsya-integral-beta-funkciya-i-ee-svoystva.html
15. https://ru.wikipedia.org/wiki/Бета-функция