Формирование понятия о смысле арифметических действий у младших школьников посредством задач-ситуаций: теоретические и методические аспекты

В мире, где объем информации удваивается каждые несколько лет, а технологии искусственного интеллекта способны генерировать ответы на самые сложные запросы, способность человека к глубокому пониманию, критическому анализу и применению знаний становится не просто желательной, а жизненно необходимой. В контексте начального образования эта потребность проявляется особенно ярко в освоении фундаментальных математических концепций. Например, не просто умение выполнять сложение или умножение, а понимание смысла этих арифметических действий — это краеугольный камень, на котором строится вся дальнейшая математическая грамотность и способность решать прикладные задачи в реальной жизни. Отсутствие такого понимания ведет к тому, что ученик сможет формально решить пример, но не сможет применить это знание в реальной ситуации.

Именно поэтому проблема формирования глубокого понимания смысла арифметических действий у младших школьников остается одной из наиболее актуальных в современной методике преподавания математики. Традиционное, порой механическое, заучивание алгоритмов без осознания их внутренней логики приводит к формальным знаниям, которые не могут быть применены в новых, нестандартных ситуациях. В ответ на этот вызов педагогическая наука активно ищет и внедряет новые подходы. Одним из наиболее эффективных инструментов в этом процессе выступают задачи-ситуации. Они не только погружают ученика в контекст реальной жизни, но и стимулируют активный поиск решений, развивают логическое мышление и, что самое главное, помогают «прочувствовать» смысл каждого арифметического действия.

Представленная курсовая работа посвящена тщательному исследованию и систематизации информации по методике формирования понятия о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов посредством использования задач-ситуаций. Ее цель — детализировать теоретические и практические аспекты данного процесса, предложив комплексное видение от психолого-педагогических особенностей младших школьников до критериев оценки и перспектив развития методики. В работе последовательно будут рассмотрены теоретические основы, психолого-педагогические особенности целевой аудитории, дидактический потенциал задач-ситуаций, конкретные методические подходы к их разработке и применению, а также критерии оценки сформированности понятия о смысле арифметических действий. Завершит исследование обзор современных достижений и перспектив в данной области.

Теоретические основы формирования понятия о смысле арифметических действий

Понятие «смысл арифметического действия» гораздо шире, чем просто знание, как выполнить вычисление. Оно подразумевает глубокое осознание того, что стоит за математическим знаком, какие реальные процессы и отношения он моделирует. Для младшего школьника это означает умение не только сложить 2 + 3, но и понять, что это действие может описывать объединение двух яблок с тремя, увеличение количества на три единицы или сдвиг на три деления по числовой прямой; ведь без этого понимания математика остаётся сухим набором правил, оторванных от жизни.

Исторический обзор развития методики преподавания арифметики и роли задач

История преподавания арифметики – это история поиска наиболее эффективных путей для развития математического мышления. Изначально, в древних цивилизациях, математические знания передавались преимущественно эмпирически, через решение конкретных практических задач, связанных с землемерием, торговлей, строительством. В этот период задачи были не столько упражнениями, сколько способами передачи готовых рецептов решения.

С появлением и развитием теоретической математики в античности и Средневековье акцент сместился в сторону логических доказательств и абстракций. Однако в школьном образовании долгое время сохранялся формально-операционный подход: ученики заучивали правила и алгоритмы вычислений, часто не понимая их глубинной сути. Задачи использовались преимущественно для отработки этих алгоритмов.

Значительный перелом наступил в XVII-XVIII веках, когда великие педагоги, такие как Ян Амос Коменский и Жан-Жак Руссо, стали призывать к обучению, основанному на наглядности и связи с реальной жизнью. Идея, что ребенок должен «открывать» знания сам, а не получать их в готовом виде, постепенно проникала в методику преподавания. В XIX-XX веках, с развитием педагогической психологии, особенно работ Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, П.Я. Гальперина, стало очевидно, что для формирования полноценных математических понятий необходим глубокий анализ их генезиса и опора на деятельностный подход. Именно тогда роль задачи трансформировалась: из простого упражнения она превратилась в ключевой инструмент для создания проблемных ситуаций, стимулирующих мыслительную деятельность и осознание смысла. Современная методика, опираясь на этот богатый опыт, стремится к тому, чтобы каждая задача не только тренировала вычислительные навыки, но и раскрывала внутреннюю логику и прикладное значение математических операций.

Основные подходы к раскрытию смысла арифметических действий

В современной отечественной методике обучения математике в начальной школе существуют две основные концепции, которые используются для ознакомления учащихся с арифметическими действиями: теоретико-множественная и практическая (или концепция измерения величин). Каждая из них предлагает свой уникальный ракурс для понимания сути математических операций, и их сочетание позволяет сформировать наиболее полное и гибкое представление.

Теоретико-множественный подход

Этот подход исходит из того, что каждое число представляет собой определенное свойство класса равномощных конечных множеств. Иными словами, число 5 — это не просто символ, а характеристика любого множества, состоящего из пяти элементов (пять яблок, пять карандашей, пять точек). Смысл арифметических действий в рамках этой концепции раскрывается через операции над множествами.

• Сложение определяется как операция объединения двух непересекающихся конечных множеств. Если у нас есть множество А из 3 предметов и множество В из 2 предметов, и эти множества не имеют общих элементов, то их объединение образует новое множество из 3 + 2 = 5 предметов.
  • Пример: В коробке лежало 3 красных карандаша и 2 синих карандаша. Сколько всего карандашей в коробке? Здесь множества «красные карандаши» и «синие карандаши» не пересекаются.
• Вычитание основывается на упражнениях по выделению и последующему удалению части множества. Это может быть как удаление подмножества из целого (3 — 2 = 1, где из 3 элементов удалили 2), так и сравнение множеств по количеству элементов (на сколько одно множество больше/меньше другого).
  • Пример: На тарелке было 5 пирожных. 2 пирожных съели. Сколько пирожных осталось? Здесь из общего множества «пирожных» удаляется подмножество «съеденных пирожных».
• Умножение раскрывается на основе объединения равночисленных множеств. Это, по сути, многократное сложение одинаковых слагаемых. Если у нас 3 группы по 2 предмета в каждой, то общее количество предметов — 3 × 2 = 6.
  • Пример: У каждого из 4 мальчиков по 3 машинки. Сколько всего машинок у мальчиков? Здесь объединяются 4 равночисленных множества по 3 машинки.
• Деление основано на разбиении множества на равночисленные непересекающиеся множества. Деление может быть «на равные части» (когда известно общее количество и число частей, нужно найти количество в одной части) или «по содержанию» (когда известно общее количество и количество в одной части, нужно найти число таких частей).
  • Пример: 10 конфет разделили поровну между 5 детьми. Сколько конфет получил каждый ребенок? (Деление на равные части).
  • Пример: В вазе было 12 цветов. Из них составили букеты по 3 цветка. Сколько букетов получилось? (Деление по содержанию).

Практическая концепция (измерение величин)

Эта концепция предполагает, что числа возникают в результате измерений, а арифметические действия — это обобщение реальных действий с величинами. В рамках этого подхода смысл действий связывается с операциями над непрерывными величинами, такими как длина, масса, объем, площадь, время и т.д.

• Сложение связывается с объединением отрезков, площадей, масс. Например, если сложить отрезок длиной 5 см и отрезок длиной 3 см, получится отрезок длиной 8 см.
• Вычитание понимается как нахождение разности между двумя величинами или отделение части величины от целого.
• Умножение — как многократное увеличение величины.
• Деление — как разделение величины на равные части или нахождение, сколько раз одна величина содержится в другой.

Сочетание этих двух подходов позволяет учащимся сформировать гибкое и многогранное представление об арифметических действиях. Усвоение смысла арифметических действий предполагает сформированность умения осуществлять переход от непосредственного предметного действия или его изображения к числовому выражению или равенству и наоборот. Для осознания смысла арифметических действий дети должны уметь моделировать практические ситуации, соответствующие действиям, переводить жизненные ситуации на язык математики и записывать их символически. Математическое действие определяется как процесс, при котором по двум данным числам определяют третье число, удовлетворяющее определенным условиям, и его изучение является неотъемлемой частью формирования понятия числа и вычислительных умений и навыков.

Психолого-педагогические особенности младших школьников как основа для методики

Построение эффективной методики обучения математике в начальной школе невозможно без глубокого понимания того, как развивается ребенок в этот период. Младший школьный возраст — это время колоссальных изменений в познавательной, эмоциональной и волевой сферах, и учет этих особенностей является ключом к успешному формированию понятия о смысле арифметических действий.

Развитие познавательных процессов

Младший школьный возраст (примерно от 6-7 до 9-10 лет) — это период активного формирования и перестройки всех познавательных процессов.

• Особенности памяти: В начале младшего школьного возраста у детей преимущественно преобладает наглядно-образная память. Это означает, что им легче запоминать информацию, представленную в виде образов, картинок, конкретных предметов или действий. Они лучше запоминают интересные, конкретные и яркие сведения, события, лица, предметы, факты, чем абстрактные определения и объяснения. Однако с началом обучения происходит интенсивное развитие произвольной и словесно-логической памяти. К 9-10 годам дети начинают приобретать способность запоминать на основе логики, осмысливая материал. Задача учителя — не просто использовать наглядно-образную память, но и стимулировать развитие смысловой памяти, обучая приемам логического запоминания и осмысления. Например, при изучении сложения, вместо заучивания «3 + 2 = 5», важно показать, что это объединение, а затем помочь ребенку осознать логику действия, чтобы он мог перенести это понимание на другие числа.
• Формирование логических умозаключений, причинно-следственных связей: Этот период является сензитивным для развития логического мышления. У младших школьников формируется способность строить простые логические умозаключения, видеть причинно-следственные связи между явлениями. Если в дошкольном возрасте мышление было преимущественно наглядно-действенным, то теперь активно развивается наглядно-образное и словесно-логическое мышление. Это позволяет детям не только манипулировать предметами, но и оперировать образами и, что особенно важно, абстрактными понятиями. Развитие математического мышления способствует их личностному и интеллектуальному развитию, тренирует умение обобщать, интерпретировать, устанавливать связи, выделять главное, а также способствует развитию анализа и синтеза. Решение математических задач приучает к логическому мышлению, точности мысли, формируя особый стиль мышления. Важно развивать логическое мышление с первых классов, обучая корректному употреблению понятий, суждений и умозаключений.
• Развитие познавательного интереса в математике: Познавательный интерес является одним из важнейших мотивов учения и включает эмоциональный, интеллектуальный и регулятивный компоненты. В младшем школьном возрасте формируется новый, устойчивый познавательный интерес к действительности. В математике он проявляется в стремлении получать новые знания, задавать вопросы, искать информацию для объяснения явлений. Систематическое включение разнообразных дидактических игр и заданий, а также задач-ситуаций, способствует значительному повышению познавательного интереса к урокам математики, делая обучение не рутиной, а увлекательным исследованием.

Формирование произвольной саморегуляции и волевых качеств

Один из ключевых аспектов развития младшего школьника — это формирование произвольной саморегуляции поведения и деятельности.

• Развитие произвольности поведения и деятельности (6-10 лет): Младший школьный возраст (от 6-7 до 9-10 лет) является сензитивным периодом для развития саморегуляции поведения ребенка. В этот период происходят существенные изменения в развитии избирательной регуляции и контроля произвольных действий, особенно в возрасте от 6 до 8 лет, а функции планирования демонстрируют прогресс при переходе от 7-8 к 9-10 годам. О.В. Голубь определяет психическую саморегуляцию поведения в младшем школьном возрасте как систему сознательных актов, действий, направленных на поддержание, достижение необходимого психического состояния и управление своей психикой. Эта способность к сознательному управлению своим поведением и познавательными процессами критически важна для успешного обучения, поскольку она позволяет ребенку сосредоточиться на задаче, преодолеть трудности и довести начатое до конца.
• Формирование волевых качеств (самостоятельность, настойчивость, уверенность): В связи с развитием произвольной саморегуляции у большинства младших школьников формируются такие волевые качества, как самостоятельность, уверенность в своих силах, настойчивость и выдержка. Они приобретают способность совершать волевые действия в соответствии с собственными мотивами и проявлять упорство в учебной деятельности. Например, настойчивость позволяет ученику не сдаваться при первой же трудности в решении задачи, а самостоятельность — искать пути решения без постоянной подсказки учителя.

Эмоциональная сфера и ее влияние на обучение

Эмоции младших школьников оказывают значительное влияние на их учебную деятельность.

• Анализ эмоциональной неустойчивости и непосредственности в выражении чувств: Для младших школьников характерна значительная эмоциональная неустойчивость, частая смена настроения, склонность к кратковременным и бурным аффектам, а также непосредственность и откровенность в выражении переживаний. Они не всегда умеют сдерживать свои чувства. Типичные проявления эмоциональных трудностей включают агрессию, чрезмерную эмоциональную расторможенность и повышенную тревожность. Эти особенности могут как стимулировать (например, радость от успеха), так и препятствовать обучению (например, расстройство от неудачи).
• Рекомендации по созданию позитивного эмоционального фона: Учителю важно учитывать эту эмоциональную чувствительность. Рекомендуется учить детей адекватным формам выражения эмоций, а не их подавлению, а также создавать позитивный эмоциональный фон на уроках. Использование игровых элементов, поощрение за усилия, а не только за результат, создание ситуации успеха, а также применение задач-ситуаций, вызывающих интерес и удивление, помогают снизить тревожность и повысить мотивацию к обучению. Позитивные эмоции способствуют лучшему запоминанию и более глубокому усвоению материала.

Теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина в контексте понимания смысла арифметических действий

Одним из фундаментальных теоретических обоснований для формирования прочных вычислительных навыков и глубокого понимания смысла арифметических действий является теория поэтапного формирования умственных действий, разработанная выдающимся советским психологом П.Я. Гальпериным в 1950-х годах.

Суть теории и концепция ориентировочной основы действия (ООД): Теория Гальперина представляет собой систему положений о механизмах и условиях многоплановых изменений, связанных с образованием у человека новых образов, действий и понятий. Центральное место в этой теории занимает концепция ориентировочной основы действия (ООД). ООД — это не просто инструкция, а система ориентиров и указаний, сведений обо всех компонентах действия: его предмете, продукте, средствах, составе и порядке выполнения операций. Она играет роль «управляющей инстанции» и «штурманской карты», позволяющей субъекту адекватно ориентироваться в условиях выполнения действия. Чем полнее и обобщеннее ООД, тем эффект��внее и осознаннее будет выполняемое действие.

Этапы формирования умственного действия по Гальперину:

1. Этап мотивации: Создание у ученика побуждения к выполнению действия, осознание его значимости.
2. Этап составления ООД: Знакомство с правилами выполнения действия, его структурой, условиями. На этом этапе учитель может предложить различные типы ООД.
3. Этап материальной (материализованной) формы действия: Практическое выполнение действия с реальными предметами или их заместителями (счетные палочки, фишки, рисунки). Это позволяет увидеть действие «вживую», прочувствовать его смысл.
4. Этап громкой речи: Действие выполняется «про себя», но при этом проговаривается каждый шаг, описывается логика выполнения. Это способствует интериоризации действия.
5. Этап внешней речи «про себя»: Произнесение действия происходит во внутренней речи, шепотом или немым проговариванием.
6. Этап умственного действия: Действие полностью интериоризируется, выполняется автоматически, быстро и без внешнего проговаривания.

Типы ООД и их применение для формирования прочных вычислительных навыков и понимания смысла:

Гальперин выделял три типа ООД, различающиеся по полноте и обобщенности:

• ООД 1-го типа: Неполный состав ориентиров, конкретный вид. Ученик ориентируется на конкретные условия задачи, без понимания общих принципов. Это приводит к механическому заучиванию и невозможности переносить знания на новые задачи.
• ООД 2-го типа: Полный состав ориентиров, но конкретный вид. Ученик знает все шаги, но применение ограничено знакомыми ситуациями.
• ООД 3-го типа: Полный состав и обобщенный вид ориентиров. Ученик понимает не только «как», но и «почему» выполняется действие, способен выделить общие принципы и перенести их на самые разнообразные ситуации. Именно этот тип ООД обеспечивает не только безошибочность и быстроту, но и широту переноса действия, что критически важно для формирования глубокого понимания смысла арифметических действий.

В математике ориентировочной основой действия может служить ранее изученная тема, опорная схема, таблица, карта или межпредметные связи. Например, при формировании понятия сложения, ООД 3-го типа будет включать не просто правило «складываем числа», а осознание того, что сложение — это объединение множеств или увеличение величины. Это позволит ученику применять сложение в задачах с разными контекстами (яблоки, отрезки, деньги) и самостоятельно формулировать обратные операции.

Применение теории Гальперина в начальной школе при формировании понятия о смысле арифметических действий означает:

• Начинать с предметных действий (работа с реальными объектами, счетными материалами).
• Последовательно переходить от внешних действий к внутренним, умственным.
• Предоставлять учащимся полные и обобщенные ориентиры для каждого действия, объясняя его смысл, а не только алгоритм.
• Стимулировать проговаривание и рефлексию каждого шага.

Это позволяет ученикам не просто научиться считать, а по-настоящему понять математику, осмыслить ее как инструмент для описания и познания мира.

Дидактический потенциал задач-ситуаций в формировании понимания смысла арифметических действий

В современном образовании, ориентированном на развитие компетенций, традиционные текстовые задачи, зачастую сводящиеся к механическому применению алгоритма, уже не отвечают всем требованиям. На смену им приходят задачи-ситуации, или проблемные ситуации, которые представляют собой разновидность учебных заданий, глубоко погружающих учащихся в реальный или максимально приближенный к реальности контекст, где для решения необходимо не только применить математические знания, но и проанализировать, осмыслить, выбрать наиболее подходящие действия.

Определение понятия «задача-ситуация» и ее отличие от традиционной текстовой задачи

Традиционная текстовая задача обычно имеет четко заданные данные, однозначный вопрос и требует применения одного или нескольких заранее известных арифметических действий по определенному алгоритму. Часто ее решение сводится к поиску ключевых слов («было», «прибавили», «отняли»), которые напрямую указывают на нужное действие.

Задача-ситуация (проблемная ситуация), напротив, характеризуется:

• Реалистичностью контекста: Она описывает жизненную ситуацию, с которой ученик может столкнуться или уже сталкивался.
• Неоднозначностью или неполнотой данных: Могут быть избыточные или недостаточные данные, а иногда даже противоречивые, что требует критического анализа информации.
• Отсутствием прямого указания на действие: Ученику необходимо самостоятельно выбрать арифметическое действие, осмыслив связи и отношения между величинами в ситуации.
• Постановкой проблемы, а не вопроса: Вместо прямого вопроса, задача-ситуация ставит перед учеником проблему, которую нужно решить.
• Возможностью нескольких решений или путей решения: Нередко задачи-ситуации допускают вариативность, стимулируя творческое мышление.

Таким образом, задача-ситуация — это не просто «математический» вопрос, а мини-исследование, требующее от ребенка активации всего спектра познавательных и регулятивных способностей.

Развитие ключевых и метапредметных компетенций

Применение ситуационных задач в начальной школе способствует формированию широкого спектра ключевых и метапредметных компетенций, что полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО).

• Формирование ключевых компетенций:
  • Ценностно-смысловая компетенция: Ученики учатся видеть смысл математики в повседневной жизни, осознавать ее практическую значимость.
  • Общекультурная компетенция: Задачи-ситуации могут включать элементы истории, географии, быта, расширяя кругозор.
  • Учебно-познавательная компетенция: Дети учатся самостоятельно получать новые знания, анализировать информацию, выдвигать гипотезы.
  • Информационная компетенция: Развивается умение отбирать, сортировать и критически оценивать необходимую для решения задачи информацию.
  • Коммуникативная компетенция: Часто решение задач-ситуаций предполагает групповую работу, обсуждение, обмен мнениями, что развивает умение слушать, аргументировать, договариваться.
  • Социально-трудовая компетенция: Задачи могут моделировать ситуации, связанные с планированием бюджета, покупками, распределением ресурсов, что формирует основы финансовой и бытовой грамотности.
• Развитие регулятивных, коммуникативных и познавательных универсальных учебных действий (УУД):
  • Регулятивные УУД: При решении задач-ситуаций учащиеся учатся самостоятельно ставить учебные цели (например, «Что мне нужно узнать, чтобы решить эту проблему?»), планировать свои действия (какие шаги предпринять, какие данные нужны), контролировать процесс (правильно ли я иду?) и оценивать результат (логичен ли мой ответ? можно ли его проверить?). Это формирует ответственность и самоорганизацию.
  • Коммуникативные УУД: Работа в группах над задачами-ситуациями способствует развитию умения высказывать свою точку зрения, слушать собеседника, вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем и выработке совместных решений, что критически важно для развития социальных навыков.
  • Познавательные УУД: Задачи-ситуации напрямую стимулируют анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификацию, установление причинно-следственных связей. Ученики учатся формулировать проблему, выдвигать гипотезы, искать доказательства, что является основой для развития теоретического мышления.

Механизмы формирования понимания через задачи-ситуации

Задачи-ситуации обладают мощным дидактическим потенциалом, поскольку они активируют несколько ключевых механизмов формирования глубокого понимания смысла арифметических действий:

• Переход от действий с предметами к абстрактным числам: Одним из наиболее важных механизмов является помощь учащимся в переходе от манипуляций с конкретными предметами (счетные палочки, игрушки) к абстрактным действиям над числами. Задачи-ситуации, описывающие реальные объекты и их взаимодействие, служат своеобразным мостиком. Например, задача о покупке нескольких товаров позволяет связать сложение с реальным процессом объединения стоимости, делая его ощутимым, прежде чем перейти к чисто числовому выражению.
• Роль проблемных ситуаций в самостоятельном открытии новых знаний и разрешении когнитивных противоречий: Задачи-ситуации по своей сути являются проблемными. Они создают когнитивное противоречие между имеющимися у ученика знаниями и необходимостью решить новую, нестандартную проблему. Это противоречие стимулирует поиск, самостоятельное «открытие» нового знания или способа действия. Когда ребенок сам «докапывается» до сути, почему в данной ситуации нужно умножать, а не складывать, это знание усваивается гораздо глубже и прочнее, чем простое объяснение учителя. Проблемные ситуации побуждают к самостоятельному поиску решений, развивая самобытность мышления и творческие способности.
• Углубление понимания смысла арифметических действий через связь с жизненными обстоятельствами: Главная ценность задач-ситуаций заключается в их способности связывать абстрактные математические операции с конкретными жизненными обстоятельствами. Если ученик понимает, что деление — это не просто операция над числами, а способ справедливо распределить конфеты между друзьями или определить, сколько раз нужно повторить действие, чтобы достичь цели, тогда смысл действия становится для него очевидным и функциональным. Задачи с недостаточными или избыточными данными особенно полезны для формирования умения внимательно изучать текст задачи и анализировать его на предмет необходимости и достаточности информации. Решение сюжетных задач обучает переводу отношений между предметами и величинами на «язык математики». Применение задач-ситуаций делает учебную деятельность более привлекательной и способствует формированию познавательной мотивации.

Таким образом, задачи-ситуации не просто учат решать задачи, они учат мыслить математически, видеть математику в окружающем мире и использовать ее как мощный инструмент для решения реальных проблем. Проблемность при обучении математике возникает естественно, без искусственного подбора ситуаций, поскольку многие упражнения в учебниках уже являются своего рода проблемами.

Методические подходы к разработке и эффективному использованию задач-ситуаций на уроках математики

Эффективное применение задач-ситуаций требует не только понимания их дидактического потенциала, но и владения конкретными методическими подходами к их конструированию и организации работы с ними. Цель включения ситуационных задач в образовательный процесс — научить учащихся отбирать и сортировать информацию, выявлять ключевые проблемы, искать альтернативные пути решения, оценивать их, выбирать оптимальное решение и формировать программы действий.

Классификация и примеры задач-ситуаций

При конструировании задач-ситуаций важно учитывать их разнообразие и специфику, чтобы обеспечить всестороннее формирование понятия о смысле арифметических действий.

Примеры задач-ситуаций для различных арифметических действий:

• Сложение:
  • Ситуация: Мама купила 3 яблока и 2 апельсина. Она хочет узнать, сколько всего фруктов она принесла домой. Какое действие ей нужно выполнить? Почему?
  • Смысл: Объединение двух непересекающихся множеств.
• Вычитание:
  • Ситуация: У Пети было 7 конфет. Он съел 3 конфеты. Сколько конфет осталось у Пети? Какое действие поможет ему это узнать? Почему?
  • Смысл: Удаление части множества, нахождение остатка.
  • Ситуация: У Маши 8 карандашей, а у Коли — 5. На сколько карандашей у Маши больше, чем у Коли? Какое действие поможет ответить на этот вопрос?
  • Смысл: Сравнение множеств, нахождение разности.
• Умножение:
  • Ситуация: В одном ряду стоят 4 стула. Сколько стульев будет в 3 таких рядах? Почему здесь удобно использовать умножение?
  • Смысл: Объединение равночисленных множеств (многократное сложение).
• Деление:
  • Ситуация: 12 воздушных шаров нужно раздать поровну 4 друзьям. Сколько шаров получит каждый друг? Какое действие подойдет для решения?
  • Смысл: Разбиение множества на равные части (деление на равные части).
  • Ситуация: Для изготовления одного букета требуется 3 цветка. Сколько букетов можно составить из 15 цветков? Какое действие поможет это выяснить?
  • Смысл: Разбиение множества по содержанию (сколько раз по 3 содержится в 15).

Специфика задач с недостаточными, избыточными или противоречивыми данными, а также с заведомо допущенными ошибками:

Эти типы задач-ситуаций особенно ценны для развития критического мышления, аналитических способностей и умения работать с информацией.

• Задачи с недостаточными данными: Ученику предлагается ситуация, для решения которой не хватает какой-либо информации.
  • Пример: У Коли было 5 яблок. Сколько яблок он отдал другу, если у него осталось 2 яблока? (Недостаточно данных, чтобы узнать, сколько яблок было у Коли до того, как он съел свои или если он просто отдал часть от 5.) Более корректный пример: «В магазине продавались булочки по 20 рублей. Аня купила несколько булочек и заплатила 100 рублей. Сколько булочек купила Аня?» (Недостаточно данных, если не указано, что она купила только булочки и не было сдачи. Если она просто отдала 100 рублей, то сколько было булочек?) Лучше: «У Пети было 10 конфет. Он съел несколько конфет, и у него осталось 3 конфеты. Сколько конфет он съел?» (Здесь данных достаточно).
  • Ценность: Учит внимательно читать условие, выявлять пробелы в информации и формулировать запрос на недостающие данные.
• Задачи с избыточными данными: В условии задачи содержится информация, которая не нужна для ее решения.
  • Пример: На клумбе распустились 5 красных, 7 белых и 3 желтых тюльпана. Сколько всего тюльпанов распустилось на клумбе? (Избыточные данные: цвета тюльпанов. Для ответа на вопрос «сколько всего» достаточно сложить числа 5, 7 и 3, а информация о цветах не влияет на конечную сумму, если не спрашивается о количестве тюльпанов определенного цвета).
  • Ценность: Развивает умение отсеивать лишнюю информацию, выделять главное, что необходимо для принятия решения.
• Задачи с противоречивыми данными: Условия задачи содержат взаимоисключающие утверждения.
  • Пример: У Кати было 5 кукол. Она купила еще 3 куклы, а потом продала 2 куклы. В итоге у нее стало 10 кукол. Сколько кукол у Кати? (Противоречие: 5 + 3 — 2 = 6, а не 10).
  • Ценность: Учит критически относиться к информации, выявлять логические несоответствия и обосновывать невозможность решения при заданных условиях.
• Задачи с заведомо допущенными ошибками: В задаче, ее условии или предложенном решении содержится ошибка.
  • Пример: Учительница дала задачу: «На столе лежало 4 книги. Принесли еще 2 книги, а потом 1 книгу убрали. Сколько книг стало на столе? Решение: 4 + 2 + 1 = 7. Правильно ли решил Вася?»
  • Ценность: Развивает внимательность, умение проверять информацию, обосновывать свою точку зрения и исправлять чужие ошибки, что является важным элементом критического мышления.

Этапы работы над задачей-ситуацией

Работа над текстовой задачей, и особенно над задачей-ситуацией, — это сложный многоступенчатый процесс, который не сводится к механическому выполнению вычислений. Он включает следующие классические этапы, подробно описанные в работах таких методистов, как М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.Б. Бельтюкова:

1. Анализ задачи: Этот этап является наиболее важным для понимания смысла и выбора правильного арифметического действия.
   • Специальные вопросы: Учитель или сами ученики задают вопросы к задаче: «О чем эта задача?», «Что известно?», «Что нужно узнать?», «Какие слова помогают понять, что нужно сделать?» (но без «натаскивания» на ключевые слова, а с осмыслением их значения).
   • Перефразирование текста: Пересказ задачи своими словами, изменение формулировок, что помогает глубже вникнуть в суть ситуации и выделить главное.
   • Построение таблиц или схем: Визуализация условия задачи с помощью краткой записи, таблиц, графических схем, чертежей (например, отрезков для величин) позволяет наглядно представить отношения между данными и искомыми величинами. Для задач-сиситуаций это особенно важно, так как помогает структурировать, возможно, избыточную или неполную информацию.
2. Поиск и составление плана решения: На этом этапе ученики определяют последовательность действий для достижения цели.
   • Выделение этапов решения (для составных задач).
   • Выбор арифметических действий, обоснование выбора (почему именно сложение/вычитание/умножение/деление, какой смысл действия лежит в основе).
   • Для задач-ситуаций это может включать выработку нескольких альтернативных планов и их обсуждение.
3. Осуществление плана решения: Выполнение выбранных арифметических действий, запись решения. На этом этапе важно не только получить правильный ответ, но и к��рректно оформить запись, пояснить каждое действие.
4. Проверка решения:
   • Соотнесение ответа с вопросом задачи: Логичен ли полученный ответ? Соответствует ли он условию?
   • Обратные действия: Проверка путем выполнения обратных арифметических действий.
   • Оценка реалистичности: Может ли такой ответ быть в реальной жизни? Например, если задача о количестве учеников, а ответ получился 5,5, это повод задуматься.
   • Альтернативные способы решения: Сравнение с другим способом решения, если он был найден.

Особое внимание следует уделить сознательному подходу к выбору действий и гибкости в решении, а не простому «натаскиванию» на определенные виды задач. Учитель должен стимулировать учеников к осмыслению, почему то или иное действие подходит для данной ситуации, а не просто к поиску «ключевых слов». Важно не просто заучивать алгоритмы, а развивать гибкость в выборе способов решения, что делает обучение более привлекательной и основанным на преодолении трудностях.

Роль учителя и организация учебной деятельности

Внедрение задач-ситуаций кардинально меняет роль учителя и подход к организации учебной деятельности.

• Роль учителя как руководителя и партнера в рамках деятельностного подхода: В рамках деятельностного подхода, принятого в отечественной педагогике (А.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин), учитель выступает не как транслятор готовых знаний, а как организатор учебной деятельности. Его задача — создавать условия для самостоятельного «открытия» знаний учащимися и развития их саморегуляции. В работе с задачами-ситуациями учитель становится модератором, наставником, который направляет мыслительный процесс, задает наводящие вопросы, помогает преодолевать трудности, но не дает готовых ответов. Он выступает в роли руководителя и партнера, а не только источника готовых знаний.
• Включение игровой деятельности и создание проблемных ситуаций: В начальной школе полноценное обучение всегда включает игровую деятельность. Поэтому игры и основанные на них учебные ситуации занимают важное место. Задачи-ситуации могут быть представлены в форме ролевых игр, мини-проектов, квестов, что повышает мотивацию и вовлеченность. Для создания проблемной ситуации необходимо поставить такое задание, при выполнении которого учащийся должен открыть новые знания или действия, и оно должно соответствовать его интеллектуальным возможностям. Проблемное задание должно предшествовать объяснению учебного материала учителем. Типы проблемных ситуаций, которые могут быть успешно реализованы через задачи-ситуации, включают задачи с недостающими, избыточными или противоречивыми данными, а также с заведомо допущенными ошибками. Проблемные ситуации также могут возникать при несоответствии имеющихся знаний новым требованиям или при необходимости выбора из нескольких систем знаний. Это стимулирует ученика к активному поиску, анализу и синтезу информации, а не к пассивному потреблению готовых решений.

Таким образом, методически грамотная работа с задачами-ситуациями превращает урок математики в увлекательное исследование, где каждый ребенок имеет возможность проявить себя, развить критическое мышление и по-настоящему осмыслить мир чисел.

Критерии и показатели оценки сформированности понятия о смысле арифметических действий

Оценка уровня сформированности понятия о смысле арифметических действий у младших школьников является сложным, но крайне важным аспектом педагогической деятельности. Она позволяет не только зафиксировать текущий уровень знаний и умений, но и выявить типичные трудности, скорректировать методику обучения и обеспечить индивидуальный подход к каждому ученику. Для осознания смысла арифметических действий дети должны уметь моделировать практические ситуации, соответствующие действиям сложения и вычитания, а также переводить жизненные ситуации на язык математики и записывать их в виде символической записи.

Диагностические инструменты и методы

Для получения полной картины о сформированности понятия о смысле арифметических действий и связанных с ними умений, целесообразно использовать комплекс диагностических инструментов и методов:

• Наблюдение: Систематическое наблюдение за работой учащихся на уроках, их реакцией на проблемные ситуации, способностью объяснять свой выбор действия, участием в обсуждениях. Наблюдение может проводиться как за индивидуальной, так и за групповой работой.
• Анализ продуктов деятельности: Изучение тетрадей, контрольных работ, самостоятельных заданий. Важно не только правильность ответа, но и ход решения, наличие пояснений, схем, рассуждений. Для диагностики уровня сформированности математических понятий и универсальных учебных действий у младших школьников используются методы наблюдения, анализа продуктов деятельности (тетрадей, контрольных работ).
• Беседы: Индивидуальные и групповые беседы с учащимися, в ходе которых можно задавать вопросы о смысле действий, о том, почему было выбрано то или иное действие в задаче, как они проверяли свой ответ. Это позволяет выявить не только умение действовать, но и осознанность понимания.
• Стандартизированные методики и диагностические работы: Разработанные в рамках ФГОС НОО диагностические методики, тесты и проверочные работы, включающие задачи-ситуации, задания на соотнесение жизненных ситуаций с арифметическими действиями, на выбор правильного действия из нескольких предложенных.
• Метод «толстых» и «тонких» вопросов: «Тонкие» вопросы требуют простого воспроизведения информации («Что получилось?»). «Толстые» вопросы требуют размышлений, анализа, объяснения («Почему ты выбрал это действие?», «Как ты думаешь, что произойдет, если изменить условие?»).

Важным показателем является умение читать математические записи разными способами и находить значение математических выражений.

Свойства умений и действий

Уровень сформированности понятия арифметического действия включает понимание его конкретного смысла, свойств, связей и зависимостей между компонентами и результатами. Для оценки глубины усвоения понятия и качества сформированных умений, необходимо учитывать следующие свойства, тесно связанные с концепцией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина и теорией развивающего обучения Д.Б. Эльконина — В.В. Давыдова:

• Полнота: Ученик выполняет действие без пропусков, упрощений или игнорирования части условия задачи. Он учитывает все необходимые компоненты и шаги.
• Разумность (Осознанность): Ученик понимает логику и обоснование каждого шага действия, не просто механически выполняет, а может объяснить, почему он выбрал то или иное действие, почему оно подходит для данной ситуации. Сознательность предполагает понимание не только «как», но и «почему» выполняется действие.
• Обобщенность: Способность применять действие в различных, даже незнакомых ситуациях, а не только в тех, которые были рассмотрены на уроках. Это означает, что ученик понимает общий принцип, лежащий в основе действия, и может перенести его на новый контекст.
• Критичность: Умение самостоятельно оценивать правильность и эффективность своих действий, находить и исправлять ошибки, сомневаться в полученном результате, если он кажется нелогичным.
• Освоенность: Легкость, быстрота и автоматизированность выполнения действия при его осознанности. Это не означает механическое выполнение, а скорее то, что действие становится привычным и не требует чрезмерных умственных усилий, освобождая ресурсы для более сложных мыслительных операций.

Типичные ошибки и их анализ

Анализ типичных ошибок позволяет не только оценить уровень сформированности понятия, но и понять причины трудностей.

Критерии оценки решения математических задач, согласно ФГОС НОО, включают:

• Правильность выполнения арифметических действий.
• Безошибочность вычислений.
• Верный ход решения задачи.
• Полнота и правильность ответа.

Например, отметка «5» (отлично) ставится за полное и правильное выполнение всех заданий, верный ход решения и безошибочность вычислений. Отметка «4» (хорошо) — за верный ход решения, но с 1-2 негрубыми ошибками в вычислениях или незначительными неточностями в формулировке ответа.

Типичные ошибки, указывающие на несформированность понятия о смысле арифметических действий:

• Ошибки в вычислениях: Наиболее частые ошибки, которые могут быть вызваны невнимательностью или недостаточным освоением состава чисел и таблиц сложения/умножения, особенно заметны в 1-2 классах. Они не всегда напрямую свидетельствуют о непонимании смысла действия, но затрудняют его применение.
• Неправильный выбор арифметических действий: Это один из самых показательных индикаторов несформированности понятия. Ученик не может соотнести ситуацию задачи с нужным математическим действием. Например, в задаче на сравнение вместо вычитания использует сложение. Часто наблюдается при решении составных задач, требующих анализа отношений между величинами, и может свидетельствовать о несформированности умения моделировать ситуацию задачи.
• Пропуск или лишнее выполнение действий при решении задач: Свидетельствует о недостаточном анализе условия задачи, неспособности выделить все этапы решения или, наоборот, добавить ненужные.
• Незавершенные задачи: Ученик не доводит решение до конца, останавливается на полпути, не формулирует ответ.
• Нерациональный приём вычислений: Использование более сложного или долгого способа, когда есть более простой (например, многократное сложение вместо умножения).
• Неправильная постановка вопроса к действию: Ученик может выполнить правильное действие, но неверно сформулировать, что он этим действием нашел.
• Неверно сформулированный ответ задачи: Ответ не соответствует вопросу или не полон.

Оценка метапредметных умений также включает способность к:

• Наблюдению: Умение внимательно изучать ситуацию задачи.
• Сравнению: Умение сопоставлять данные, видеть сходства и различия.
• Выбору способа решения: Самостоятельное определение наиболее эффективного пути.
• Контролю и коррекции: Способность отслеживать ход своего решения и вносить изменения.
• Оценке: Умение давать характеристику результату своей деятельности.
• Распознаванию объектов и выводам на основе анализа ситуации: Способность выделять ключевые элементы задачи и делать логические заключения.

Комплексная оценка, учитывающая все эти аспекты, позволяет не только выставить отметку, но и предоставить учителю ценную информацию для дальнейшей работы с учащимися.

Современные исследования и передовой педагогический опыт по применению задач-ситуаций

Методика преподавания математики постоянно развивается, адаптируясь к новым образовательным вызовам и достижениям психолого-педагогической науки. Современные исследования и передовой педагогический опыт подтверждают высокую эффективность применения задач-ситуаций для формирования глубокого понимания смысла арифметических действий.

Соответствие ФГОС НОО и развитие функциональной грамотности

Современные образовательные стандарты, в частности Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО), утвержденный Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 6 октября 2009 г. № 373 (с последующими изменениями), акцентируют внимание не просто на освоении предметных знаний, но и на формировании у учащихся общих способов работы с учебным заданием, включая использование знаково-символических моделей и схем. Задачи-ситуации идеально вписываются в эту парадигму.

• Соответствие ФГОС НОО по формированию УУД и использованию знаково-символических моделей: Задачи-ситуации по своей природе стимулируют формирование всех групп универсальных учебных действий (УУД):
  • Познавательные УУД: Развитие логического мышления, анализа, синтеза, умения ставить проблему и искать пути ее решения. Учащиеся активно используют знаково-символические средства (схемы, таблицы, краткие записи) для моделирования ситуации, что прямо соответствует требованиям стандарта.
  • Регулятивные УУД: Самостоятельная постановка целей, планирование своих действий, контроль и оценка процесса и результата, умение принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, поиск средств её осуществления; освоение способов решения проблем творческого и поискового характера; формирование умения планировать, контролировать и оценивать учебные действия.
  • Коммуникативные УУД: Эффективное взаимодействие в группе, умение слушать и слышать других, аргументировать свою позицию.
• Вклад задач-ситуаций в формирование функциональной грамотности: Решение ситуационных задач является действенным средством формирования функциональной грамотности, так как учит применять математические знания в реальных жизненных ситуациях. В контексте российского образования, функциональная грамотность определяется как способность человека использовать приобретаемые в течение жизни знания для решения широкого круга жизненных задач в различных сферах человеческой деятельности, общения и социальных отношений. Когда ребенок сталкивается с задачей, где нужно рассчитать стоимость покупки, спланировать время поездки или распределить ресурсы, он учится видеть практическую ценность математики. Это формирует умение не просто решать «школьные» задачи, а применять математический аппарат для анализа и решения проблем в повседневной жизни, что является ключевым элементом функциональной грамотности.

Инновационные подходы и перспективы

Передовой педагогический опыт постоянно обогащает методику преподавания математики, предлагая новые формы и приемы работы с задачами-ситуациями.

• Обзор передового опыта учителей, включая использование старинных и исследовательских задач:
  • Старинные задачи: Использование старинных задач и исторических сведений в обучении математике позволяет разнообразить процесс, сделать его более интересным и содержательным. Например, задачи из древних русских рукописей, или задачи, известные как «задача про волков, козла и капусту», привлекают внимание учащихся, развивают их смекалку, логическое мышление и исторический интерес. Они часто представляют собой яркие ситуации, которые легко превращаются в задачи-ситуации, требующие нестандартного подхода.
  • Технология проблемного обучения: Эта технология, основанная на задачах-ситуациях, способствует формированию познавательной мотивации и универсальных учебных действий. Проблемное обучение развивает самостоятельное мышление, творческие способности и умение применять теоретические знания на практике. Эффективность педагогического опыта подтверждается повышением учебной мотивации (по исследованиям, на 15-20%), снижением тревожности и способностью к переносу знаний в новые условия.
  • Исследовательские задачи: Современные исследования подчеркивают необходимость обучения основам научно-исследовательской деятельности на уроках математики через исследовательские задачи. Российские педагоги-исследователи, такие как А.В. Хуторской, Н.Г. Салмина, активно развивают идеи включения элементов исследовательской деятельности в начальную школу, предлагая использовать исследовательские задачи, которые побуждают учащихся к выдвижению гипотез, поиску информации и самостоятельному формулированию выводов. Такие задачи не имеют готового алгоритма решения, они побуждают к выдвижению гипотез, постановке вспомогательных задач и освоению нового математического мира. Важно использовать разнообразные типы задач, избегая однотипных упражнений, чтобы стимулировать собственную мысль учащихся.
• Анализ влияния развития искусственного интеллекта на образовательный процесс и необходимость формирования глубокого понимания смысла математических концепций: В условиях активного развития технологий искусственного интеллекта в образовании (например, ИИ для генерации учебных материалов, систем проверки решений), педагогическое сообщество России обсуждает необходимость переориентации обучения. Если раньше значительная часть учебного процесса была направлена на запоминание фактов и воспроизведение алгоритмов, то теперь эти функции во многом могут быть автоматизированы. Это подталкивает к усилению внимания к пониманию смысла, а не простому воспроизведению информации. Учащиеся должны уметь не только получить ответ от ИИ, но и критически его оценить, проверить, понять логику, которая к нему привела, а также эффективно взаимодействовать с генерируемыми ИИ материалами и использовать их для решения комплексных задач. Глубокое понимание смысла арифметических действий, формируемое через задачи-ситуации, становится еще более ценным, так как оно позволяет ученику быть не просто потребителем, а активным и осмысленным пользователем современных технологий.

Таким образом, современные исследования и передовой опыт учителей единодушно подтверждают, что задачи-ситуации являются не просто модным трендом, а научно обоснованным и практически эффективным инструментом для формирования глубокого и осознанного понимания смысла арифметических действий, развития ключ��вых компетенций и подготовки учащихся к вызовам XXI века.

Заключение

Исследование методики формирования понятия о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов посредством использования задач-ситуаций позволило комплексно рассмотреть как теоретические, так и практические аспекты этой важнейшей педагогической проблемы.

Мы установили, что смысл арифметического действия выходит за рамки простого выполнения вычислений, требуя от ребенка осознанного понимания связей между числами и реальными процессами, которые эти действия моделируют. Исторический обзор показал эволюцию роли задач от простых упражнений до ключевых инструментов для формирования глубоких математических понятий. Подробно были рассмотрены теоретико-множественный и практический подходы к раскрытию смысла арифметических действий, подчеркивая их взаимодополняемость.

Глубокий анализ психолого-педагогических особенностей младших школьников выявил сензитивность этого возраста для развития познавательных процессов, формирования произвольной саморегуляции и волевых качеств. Особое внимание было уделено влиянию эмоциональной сферы на обучение и необходимости создания позитивного фона. Теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина, с ее акцентом на ориентировочную основу действия, была представлена как мощная методологическая база для построения осознанного и прочного понимания смысла математических операций.

Дидактический потенциал задач-ситуаций был раскрыт как в контексте развития ключевых и метапредметных компетенций, так и через механизмы перехода от предметных действий к абстрактным числам, а также самостоятельного открытия знаний через разрешение когнитивных противоречий. Было показано, что именно задачи-ситуации углубляют понимание смысла арифметических действий, связывая их с жизненными обстоятельствами.

В методическом разделе мы рассмотрели принципы конструирования задач-ситуаций, их классификацию (включая задачи с недостаточными, избыточными или противоречивыми данными), а также подробно описали этапы работы над ними, акцентируя внимание на сознательном подходе к выбору действий. Была подчеркнута ключевая роль учителя как руководителя и партнера в организации учебной деятельности, стимулирующего игровую активность и проблемные ситуации.

Разработанные критерии и показатели оценки сформированности понятия о смысле арифметических действий, включающие свойства умений (полнота, разумность, обобщенность, критичность, освоенность) и анализ типичных ошибок, предоставляют учителю надежный инструментарий для диагностики и коррекции образовательного процесса.

Наконец, обзор современных исследований и передового педагогического опыта подтвердил соответствие методики использования задач-ситуаций требованиям ФГОС НОО по формированию УУД и функциональной грамотности. Была также проанализирована возрастающая значимость формирования глубокого понимания смысла математических концепций в условиях стремительного развития искусственного интеллекта, который меняет акценты с простого воспроизведения информации на ее осмысление и применение.

Таким образом, целенаправленное формирование понятия о смысле арифметических действий посредством задач-ситуаций является не просто эффективным методическим приемом, но и стратегически важным направлением в начальном математическом образовании. Оно позволяет не только обеспечить прочное усвоение базовых математических знаний, но и заложить фундамент для развития критического мышления, творческих способностей и функциональной грамотности, что является залогом успешной адаптации учащихся к вызовам современного мира.

Перспективы дальнейших исследований в данной области могут включать разработку детализированных диагностических методик для оценки каждого из свойств умений (разумность, обобщенность, критичность), изучение долгосрочного влияния применения задач-ситуаций на академическую успеваемость и личностное развитие, а также исследование интеграции цифровых образовательных ресурсов и инструментов искусственного интеллекта в процесс создания и использования задач-ситуаций для еще более персонализированного и эффективного обучения.

Список использованной литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. М.И.Моро, А.М. Пышкало. — М.: Педагогика, 1977. — 248 с.
2. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. — 1993. — № 11. — С. 38-43.
3. Гельфан Е.М. Арифметические игры и упражнения. — М.: Просвещение, 1968. — 112с.
4. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Приемы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. — 2002. — №2. — С. 94-103.
5. Зимовец Н.А., Пащенко В.П. Интересные приемы устных вычислений // Начальная школа. — 1990. — №6. — С. 44-46.
6. Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. 1–2 классы. М: Линка-Пресс, 2002 – 400 с.
7. Клецкина А.А. Организация вычислительной деятельности младших школьников в системе развивающего обучения : Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. пед. наук. — М., 2001. — 20 с.
8. Фаддейчева Т.И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. — 2003. — №10. — С. 66-69.
9. Чекмарев Я.Ф. Методика устных вычислений. — М.: Просвещение, 1970. — 238с.
10. Экономика для всех: популярный словарь / Под ред. О.В. Амуржуева. — М.: ОАО «Изд-во «Экономика», 1997. — 389 с.
11. Методика изучения конкретного смысла арифметических действий (сложение и вычитание) // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodika-izucheniya-konkretnogo-smysla-arifmeticheskih-deystviy-slozhenie-i-vychitanie (дата обращения: 15.10.2025).
12. Формирование понятия об арифметических действиях и их свойствах // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/formirovanie-ponyatiya-ob-arifmeticheskih-deystviyah-i-ih-svoytvah-311210.html (дата обращения: 15.10.2025).
13. Изучение арифметических действий в начальной школе // studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/4351368/page:14/ (дата обращения: 15.10.2025).
14. Методика изучения арифметических действий в начальном курсе математики // multiurok.ru. URL: https://multiurok.ru/files/metodika-izucheniia-arifmeticheskikh-dieistvii-v-nachalnom-kursie-matematiki.html (дата обращения: 15.10.2025).
15. Дидактические принципы, задачи и содержание начального обучения математике // multiurok.ru. URL: https://multiurok.ru/files/didakticheskie-printsipy-zadachi-i-soderzhanie-nachalnogo-obucheniya-matematike.html (дата обращения: 15.10.2025).
16. Методика обучения арифметическим действиям // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/metodika-obucheniya-arifmeticheskim-deystviyam-464811.html (дата обращения: 15.10.2025).
17. Особенности изучения арифметических действий в начальной школе // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2020/12/30/osobennosti-izucheniya-arifmeticheskih-deystviy-v-nachalnoy (дата обращения: 15.10.2025).
18. Формирование арифметических понятий у детей младшего школьного возраста (на примере 4 класса) // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/formirovanie-arifmeticheskih-ponyatiy-u-detey-mladshego-shkolnogo-vozrasta-na-primere-klassa-4509503.html (дата обращения: 15.10.2025).
19. Б1.О.05.04 Методика обучения математике в начальной школе — Смоленский государственный университет // www.smolgu.ru. URL: https://www.smolgu.ru/files/pages/10543/b1.o.05.04-metodika-obucheniya-matematike-v-nachalnoy-shkole-2.pdf (дата обращения: 15.10.2025).
20. Современные подходы к формированию вычислительных умений у младших школьников // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sovremennye-podhody-k-formirovaniyu-vychislitelnyh-umeniy-u-mladshih-shkolnikov (дата обращения: 15.10.2025).
21. Психолого-педагогические приемы работы над ошибками младших школьников при освоении математических понятий // Вестник практической психологии образования. — 2023. — Том 20. — № 1. URL: https://psyjournals.ru/vestnik_psyobr/2023/n1/Sokolov.shtml (дата обращения: 15.10.2025).
22. Психолого-педагогические условия формирования вычислительного навыка // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2015/05/13/psihologo-pedagogicheskie-usloviya-formirovaniya (дата обращения: 15.10.2025).
23. Психолого-педагогическая характеристика детей младшего школьного возраста // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/pedagogika/2023/04/04/psihologo-pedagogicheskaya-harakteristika-detey-mladshego (дата обращения: 15.10.2025).
24. Схема психолого-педагогической характеристики младшего школьника // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/shema-psihologo-pedagogicheskoy-harakteristiki-mladshego-shkolnika-5666014.html (дата обращения: 15.10.2025).
25. Психолого-педагогические особенности детей младшего школьного возраста // moluch.ru. URL: https://moluch.ru/conf/ped/archive/58/2267/ (дата обращения: 15.10.2025).
26. Условия развития математического мышления младших школьников // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/usloviya-razvitiya-matematicheskogo-myshleniya-mladshih-shkolnikov (дата обращения: 15.10.2025).
27. Формирование у младших школьников математических понятий // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2020/11/07/formirovanie-u-mladshih-shkolnikov-matematicheskih-ponyatiy (дата обращения: 15.10.2025).
28. Давыдов В.В. Психологические возможности младших школьников в усвоении математики. — 1969.
29. Психолого-педагогические аспекты обучения математике младших школьников // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/psihologo-pedagogicheskie-aspekti-obucheniya-matematike-mladshih-shkolnikov-4140510.html (дата обращения: 15.10.2025).
30. Психологические аспекты обучения математике младших школьников: теоретический анализ проблемы // applied-research.ru. URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=11307 (дата обращения: 15.10.2025).
31. Формирование теоретического мышления младших школьников на уроках математики // science-pedagogy.ru. URL: https://science-pedagogy.ru/ru/article/view?id=1708 (дата обращения: 15.10.2025).
32. Методика формирования логического мышления младших школьников при обучении математике // pedlib.ru. URL: https://pedlib.ru/Books/1/0073/1_0073-1.shtml (дата обращения: 15.10.2025).
33. Психологическая характеристика младших школьников при обучении математике // applied-research.ru. URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=6966 (дата обращения: 15.10.2025).
34. Развитие математического мышления в процессе изучения задач младших школьников // rae.ru. URL: https://www.rae.ru/fs/?section=content&op=show_article&id=10006362 (дата обращения: 15.10.2025).
35. Психологические основы обучения младших школьников // applied-research.ru. URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=7843 (дата обращения: 15.10.2025).
36. Возрастные особенности математического мышления младших школьников // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/vozrastnye-osobennosti-matematicheskogo-myshleniya-mladshih-shkolnikov (дата обращения: 15.10.2025).
37. Методика изучения конкретного смысла арифметических действий (сложение и вычитание) — Пензенский государственный университет // dep_pimno.pnzgu.ru. URL: https://dep_pimno.pnzgu.ru/files/dep_pimno.pnzgu.ru/uch_posob/miash.pdf (дата обращения: 15.10.2025).
38. Структура математических способностей учащихся начальной школы // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/struktura-matematicheskih-sposobnostey-uchaschihsya-nachalnoy-shkoly (дата обращения: 15.10.2025).
39. Методические рекомендации «Особенности методики изучения арифметический действий в концентре «Десяток» // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2019/01/20/metodicheskie-rekomendatsii-osobennosti-metodiki-izucheniya (дата обращения: 15.10.2025).
40. Особенности формирования математических представлений у детей 4–5 лет // www.maam.ru. URL: https://www.maam.ru/detskijsad/osobennosti-formirovanija-matematicheskih-predstavlenii-u-detei-4-5-let.html (дата обращения: 15.10.2025).
41. Развитие математических представлений у детей дошкольного возраста в свете современных требований // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/detskiy-sad/matematika/2020/07/31/razvitie-matematicheskih-predstavleniy-u-detey-doshkolnogo-vozrasta-v (дата обращения: 15.10.2025).
42. Формирование у младших школьников умения выполнять арифметические действия // portal.unn.ru. URL: https://portal.unn.ru/portal/site/main/pedfakult/metodika_obuchenija_matematike/vkr/2020/Melnikova.pdf (дата обращения: 15.10.2025).
43. Формирование у младших школьников умения применять письменные приемы сложения и вычитания // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/formirovanie-u-mladshih-shkolnikov-umeniya-primenyat-pismennye-priemy-slozheniya-i-vychitaniya (дата обращения: 15.10.2025).
44. Особенности изучения арифметических действий в начальной школе // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/osobennosti-izucheniya-arifmeticheskih-deystviy-v-nachalnoy-shkole-2598384.html (дата обращения: 15.10.2025).
45. Особенности формирования математических представлений у старших дошкольников // www.maam.ru. URL: https://www.maam.ru/detskijsad/osobennosti-formirovanija-matematicheskih-predstavlenii-u-starshih-doshkolnikov.html (дата обращения: 15.10.2025).
46. Ситуационные задания как средство развития математического мышления учащихся // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/situatsionnye-zadaniya-kak-sredstvo-razvitiya-matematicheskogo-myshleniya-uchaschihsya (дата обращения: 15.10.2025).
47. Опыт применения технологии проблемного обучения на уроках математики // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/opyt-primeneniya-tehnologii-problemnogo-obucheniya-na-urokah-matematiki-7450125.html (дата обращения: 15.10.2025).
48. Проблемная учебная ситуация на уроках в начальной школе // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/problemnaya-uchebnaya-situaciya-na-urokah-v-nachalnoy-shkole-2083626.html (дата обращения: 15.10.2025).
49. Организация проблемных ситуаций на уроках в начальной школе // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2021/11/21/organizatsiya-problemnyh-situatsiy-na-urokah-v-nachalnoy-shkole (дата обращения: 15.10.2025).
50. Роль арифметической задачи в понимании сущности арифметического действия // pandia.ru. URL: https://pandia.ru/text/78/330/50877.php (дата обращения: 15.10.2025).
51. Роль арифметических задач в начальном курсе математики // uchitelya.com. URL: https://uchitelya.com/matematika/9963-rol-arifmeticheskih-zadach-v-nachalnom-kurse-matematiki.html (дата обращения: 15.10.2025).
52. Логические задачи 1–4 классы // new.legionr.ru. URL: https://new.legionr.ru/upload/iblock/c38/k3b09k7y84i350o4e8w16v78t8c740o9.pdf (дата обращения: 15.10.2025).
53. Содержание проблемных ситуаций на уроках математики в основной школе // gimnaziya73.ru. URL: https://gimnaziya73.ru/wp-content/uploads/2023/06/%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%81%D0%B8%D1%82%D1%83%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9-%D0%BD%D0%B0-%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D1%85-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8-%D0%B2-%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5.pdf (дата обращения: 15.10.2025).
54. Использование элементов проблемного обучения на уроках математики // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/ispolzovanie-elementov-problemnogo-obucheniya-na-urokah-matematiki-2933618.html (дата обращения: 15.10.2025).
55. Использование проблемных технологий на уроках математики в начальной школе // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/ispolzovanie-problemnyh-tehnologiy-na-urokah-matematiki-v-nachalnoy-shkole-3965611.html (дата обращения: 15.10.2025).
56. Методические рекомендации «Использование учебных ситуационных задач на уроках математики в начальной школе .» // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/metodicheskie-rekomendacii-ispolzovanie-uchebnih-situacionnih-zadach-na-urokah-matematiki-v-nachalnoy-shkole-2111815.html (дата обращения: 15.10.2025).
57. Использование учебных ситуаций на уроках в начальных классах // www.maam.ru. URL: https://www.maam.ru/detskijsad/ispolzovanie-uchebnyh-situacii-na-urokah-v-nachalnyh-klasah.html (дата обращения: 15.10.2025).
58. Роль арифметической задачи в понимании сущности арифметического действия // www.prodlenka.org. URL: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/366311-rol-arifmeticheskoj-zadachi-v-ponimanii-suschnost.html (дата обращения: 15.10.2025).
59. Математические задачи как эффективное средство формирования критического мышления школьников // science-education.ru. URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=29381 (дата обращения: 15.10.2025).
60. Развитие математического мышления: методы // skillbox.ru. URL: https://skillbox.ru/media/education/matematicheskoe-myshlenie-chto-eto-i-kak-ego-razvivat/ (дата обращения: 15.10.2025).
61. Изучение смысла арифметических действий на уроках открытия нового знания в начальной школе // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/iuchenie-smisla-arifmeticheskih-deystviy-na-urokah-otkritiya-novogo-znaniya-v-nachalnoy-shkole-804135.html (дата обращения: 15.10.2025).
62. Роль задач в процессе обучения математике // multiurok.ru. URL: https://multiurok.ru/files/rol-zadach-v-protcesse-obucheniia-matematikie.html (дата обращения: 15.10.2025).
63. Занимательные задания на уроках математики как средство развития мышления младших школьников // uchmet.ru. URL: https://uchmet.ru/library/material/203487/ (дата обращения: 15.10.2025).
64. Использование проблемных ситуаций в методике преподавания математики в начальной школе // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/ispolzovaniya-problemnyh-situaciy-v-metodike-prepodavaniya-matematiki-v-nachalnoy-shkole-3413926.html (дата обращения: 15.10.2025).
65. Создание проблемных ситуаций на уроках математики в начальной школе // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2023/10/14/sozdanie-problemnyh-situatsiy-na-urokah-matematiki-v-nachalnoy (дата обращения: 15.10.2025).
66. Диагностика. Изучение уровня элементарных математических понятий // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2022/06/16/diagnostika-izuchenie-urovnya-elementarnyh-matematicheskih (дата обращения: 15.10.2025).
67. Критерии и нормы оценок по предметам в начальной школе в соответствии с ФГОС // oscecenter.ru. URL: https://oscecenter.ru/kriterii-i-normy-ocenok-po-predmetam-v-nachalnoy-shkole-v-sootvetstvii-s-fgos/ (дата обращения: 15.10.2025).
68. Диагностическая программа для определения уровня сформированности элементарных математических представлений у детей от 2 до 7 лет // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/detskiy-sad/matematika/2019/07/15/diagnosticheskaya-programma-dlya-opredeleniya-urovnya (дата обращения: 15.10.2025).
69. Диагностика уровня сформированности универсальных учебных действий у младших школьников при обучении математике // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/diagnostika-urovnya-sformirovannosti-universalnyh-uchebnyh-deystviy-u-mladshih-shkolnikov-pri-obuchenii-matematike (дата обращения: 15.10.2025).
70. Педагогическая диагностика и формирование математической грамотности школьников // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/pedagogicheskaya-diagnostika-i-formirovanie-matematicheskoy-gramotnosti-shkolnikov (дата обращения: 15.10.2025).
71. Диагностика интеллектуальных (математических) способностей младших школьников // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/diagnostika-intellektualnyh-matematicheskih-sposobnostey-mladshih-shkolnikov-2598376.html (дата обращения: 15.10.2025).
72. Критерии оценивания в начальной школе (математика и окружающий мир) // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/kriterii-ocenivaniya-v-nachalnoy-shkole-matematika-i-okruzhayuschiy-mir-311211.html (дата обращения: 15.10.2025).
73. Критерии оценивания предметных результатов ФГОС НОО (2-4 классы). Русский язык, математика, окружающий мир // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/kriterii-ocenivaniya-predmetnyh-rezultatov-fgos-noo-klassy-russkiy-yazyk-matematika-okruzhayuschiy-mir-5095368.html (дата обращения: 15.10.2025).
74. Методические рекомендации оценивания предметных результатов обучающихся по математике в начальной школе // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/metodicheskie-rekomendacii-ocenivaniya-predmetnyh-rezultatov-obuchayuschihsya-po-matematike-v-nachalnoy-shkole-5757960.html (дата обращения: 15.10.2025).
75. Критерии оценивания предметных результатов по математике // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2023/12/03/kriterii-otsenivaniya-predmetnyh-rezultatov-po-matematike (дата обращения: 15.10.2025).
76. Оценивание и оценки успеваемости в современной начальной школе // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/ocenivanie-i-ocenki-uspevaemosti-v-sovremennoy-nachalnoy-shkole-7450128.html (дата обращения: 15.10.2025).
77. Б1.О.07.02 Методика обучения математике в начальных классах — Министерство образования Московской области // mo.mosreg.ru. URL: https://mo.mosreg.ru/upload/iblock/d76/d76d63d6b840003023e3f43477119299.pdf (дата обращения: 15.10.2025).
78. Методика обучения младших школьников решению простых задач // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/metodika-obucheniya-mladshih-shkolnikov-resheniyu-prostyh-zadach-2947475.html (дата обращения: 15.10.2025).
79. Формирование у младших школьников умения решать арифметические задачи на движение // dep_pimno.pnzgu.ru. URL: https://dep_pimno.pnzgu.ru/files/dep_pimno.pnzgu.ru/uch_posob/formirovanie_umeniia_reshat_zadachi_na_dvizhenie.pdf (дата обращения: 15.10.2025).
80. Из опыта использования старинных задач на уроках математики в начальной школе // science-pedagogy.ru. URL: https://science-pedagogy.ru/ru/article/view?id=1746 (дата обращения: 15.10.2025).
81. Практикум по решению задач в начальном курсе математики — Тверской государственный университет // elibrary.tversu.ru. URL: https://elibrary.tversu.ru/images/documents/2023/04/10/PRAKTIKUM_PO_RESHENIYU_ZADACH.pdf (дата обращения: 15.10.2025).
82. Описание передового педагогического опыта работы // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/opisanie-peredovogo-pedagogicheskogo-opyta-raboti-3733352.html (дата обращения: 15.10.2025).
83. Использование учебных ситуаций на уроках математики в начальной школе // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/ispolzovanie-uchebnih-situaciy-na-urokah-matematiki-v-nachalnoy-shkole-1786968.html (дата обращения: 15.10.2025).
84. Научная работа «Использование технологии проблемного обучения на уроках математики в начальных классах.» // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/nauchnaya-rabota-ispolzovanie-tehnologii-problemnogo-obucheniya-na-urokah-matematiki-v-nachalnih-klassah-4330686.html (дата обращения: 15.10.2025).
85. Решение учебно-практических задач в начальной школе // YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=M99W7B7mXvY (дата обращения: 15.10.2025).
86. Педагогический опыт учителя начальных классов // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2022/08/27/pedagogicheskiy-opyt-uchitelya-nachalnyh-klassov (дата обращения: 15.10.2025).
87. Педагогические ситуации // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2019/12/09/pedagogicheskie-situatsii (дата обращения: 15.10.2025).
88. Исследования на уроках математики // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2024/12/13/issledovaniya-na-urokah-matematiki (дата обращения: 15.10.2025).
89. Педагогический опыт работы учителя начальных классов МБОУ «СОШ № 40» г. Махачкалы Ахмедовой Ларины Магомедовны // pandia.ru. URL: https://www.pandia.ru/440590/ (дата обращения: 15.10.2025).
90. Представление педагогического опыта учителя начальных классов // infourok.ru. URL: https://infourok.ru/predstavlenie-pedagogicheskogo-opyta-uchitelya-nachalnih-klassov-6490333.html (дата обращения: 15.10.2025).
91. Доклад по теме: Современные методы и приемы решения текстовых задач на уроках математики в соответствии с обновленным ФГОС // nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2024/01/13/doklad-po-teme-sovremennye-metody-i-priemy-resheniya (дата обращения: 15.10.2025).
92. Диссертация на тему «Повышение эффективности обучения решению арифметических задач в младших классах вспомогательной школы // dissercat.com. URL: https://www.dissercat.com/content/povyshenie-effektivnosti-obucheniya-resheniyu-arifmeticheskikh-zadach-v-mladshikh-klassakh-vs (дата обращения: 15.10.2025).
93. Исследовательские задачи как средство мировоззренческого обучения математическим дисциплинам будущих учителей математики // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/issledovatelskie-zadachi-kak-sredstvo-mirovozzrencheskogo-obucheniya-matematicheskim-distsiplinam-buduschih-uchiteley-matematiki (дата обращения: 15.10.2025).
94. Методы и приёмы, реализуемые в процессе воспитания и обучения детей с тяжёлыми множественными нарушениями развития // www.maam.ru. URL: https://www.maam.ru/detskijsad/metody-i-priemy-realizuemye-v-procese-vospitanija-obuchenija-detei-s-tjazhelymi-mnozhestvenymi-narushenijami-razvitija.html (дата обращения: 15.10.2025).
95. «Наука – это тренажёр для развития»: Вадим Мацкевич // www.bsu.by. URL: https://www.bsu.by/news/nauka-eto-trenazher-dlya-razvitiya-vadim-matskevich/ (дата обращения: 15.10.2025).
96. Как генерировать учебные материалы с помощью ИИ: пошаговая инструкция // skillbox.ru. URL: https://skillbox.ru/media/education/kak_generirovat_uchebnye_materialy_s_pomoshchyu_ii_poshagovaya_instruktsiya/ (дата обращения: 15.10.2025).