Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления у младших школьников: комплексный теоретико-методический подход и эмпирические аспекты

Проблема недостаточного уровня овладения вычислительными навыками остаётся одной из наиболее актуальных и серьёзных в начальной школе. По данным Министерства образования и науки РФ, около 80% детей испытывают трудности в обучении, а доля обучающихся, не владеющих навыком табличного умножения и деления на уровне автоматизма, по оценкам учителей начальных классов, составляет 17%, тогда как в среднем и старшем звене этот показатель возрастает до 31%. Эти цифры не просто статистика, а тревожный сигнал, указывающий на системный вызов, который напрямую влияет на успешность дальнейшего обучения математике и другим дисциплинам. Без прочных, доведенных до автоматизма знаний таблицы умножения и соответствующих случаев деления, младшие школьники сталкиваются со значительными трудностями при освоении письменных приёмов умножения и деления многозначных чисел, а также при решении более сложных математических задач.

Настоящее исследование ставит своей целью комплексное изучение процесса формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления у младших школьников. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Раскрыть теоретико-методологические основы формирования вычислительных навыков, включая ключевые понятия и ведущие психолого-педагогические теории.
2. Проанализировать психолого-педагогические особенности младших школьников, влияющие на процесс обучения табличному умножению и делению, а также предложить пути формирования учебной мотивации.
3. Систематизировать современные методические подходы и дидактические средства, способствующие эффективному формированию данных навыков.
4. Провести сравнительный анализ подходов к изучению табличного умножения и деления в различных учебно-методических комплексах в контексте требований ФГОС.
5. Выявить типичные трудности и ошибки младших школьников при освоении табличного умножения и деления, а также разработать стратегии их преодоления.
6. Представить детализированную методологию организации и проведения эмпирического исследования уровня сформированности вычислительных навыков.

Структура данной работы отражает последовательность решения поставленных задач, переходя от теоретических основ к практическим аспектам и методологии эмпирического исследования, что позволяет получить целостное и глубокое представление о заявленной проблематике.

Теоретико-методологические основы формирования вычислительных навыков

Понятие и сущность вычислительных навыков

В мире, где цифровые технологии всё глубже проникают в повседневную жизнь, может показаться, что механические вычисления утрачивают свою актуальность. Однако это заблуждение. Фундаментальное понимание числовых операций, заложенное в вычислительных навыках, остаётся краеугольным камнем математического образования. На первом этапе освоения арифметических действий ученик формирует вычислительное умение, которое представляет собой развёрнутое, осознанное осуществление действия, где каждая операция понимается и контролируется. Это значит, что ребёнок не просто получает ответ, а понимает логику процесса, знает, почему он выполняет те или иные шаги, и именно на этом этапе закладывается основа для глубокого, а не поверхностного усвоения материала.

Постепенно, с многократным повторением и осмыслением, вычислительное умение переходит в вычислительный навык. Навык – это уже высокая степень овладения вычислительными приёмами, означающая знание операций и порядка их выполнения для нахождения результата арифметического действия с достаточной скоростью, но главное – с высокой степенью автоматизма. Полноценный вычислительный навык характеризуется не только скоростью, но и рядом других важнейших качеств:

• Правильность: Верное нахождение результата и правильный выбор/выполнение операций.
• Осознанность: Понимание учеником выбранных операций, установленного порядка их выполнения и способность объяснить ход решения.
• Рациональность: Способность выбрать наиболее эффективный и быстрый способ вычисления.
• Обобщённость: Применение навыка к широкому кругу однотипных задач, а не только к тем, на которых он был сформирован.
• Автоматизм: Способность выполнять операции быстро и без сознательного контроля каждого шага, но при этом сохраняя возможность вернуться к осознанному объяснению.
• Прочность: Сохранение навыка на протяжении длительного времени без снижения качества.

Особое место в формировании вычислительных навыков занимает табличное умножение и деление. Это не просто набор фактов, которые нужно запомнить, а фундамент для всех последующих операций с многозначными числами. Табличное умножение включает умножение однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, а табличные случаи деления охватывают все соответствующие им случаи деления. Их знание на уровне автоматизма является базовым требованием Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и критически важным для успешного математического развития младшего школьника, ведь без этого невозможно эффективно осваивать более сложные арифметические действия.

Психологические теории формирования навыков: Теория П.Я. Гальперина и деятельностный подход

Основополагающими для понимания того, как формируются вычислительные навыки, являются две ключевые психологические теории: теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина и деятельностный подход.

Теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина является мощным инструментом для управления процессом обучения и формирования осознанных, прочных навыков. В её основе лежит концепция интериоризации – процесса преобразования внешней предметной деятельности во внутреннюю психическую деятельность.

Гальперин предполагал, что мышление ребёнка развивается через непосредственную манипуляцию с предметами, и любое внешнее действие, проходя ряд последовательных этапов, постепенно превращается во внутреннее.

Гальперин выделил шесть ключевых этапов формирования умственных действий:

1. Формирование мотивационной основы действия. На этом этапе ученик осознаёт цель действия, его значимость и проявляет интерес к его выполнению. Без адекватной мотивации процесс обучения будет малоэффективным.
2. Составление схемы ориентировочной основы действия (ООД). Это критически важный этап, на котором учащемуся предоставляется полная и исчерпывающая информация о действии: его предмет, продукт, средства, состав и порядок выполнения операций. ООД позволяет избежать проб и ошибок, направляя ученика к безошибочному выполнению действия с самого начала.
3. Формирование действий в материализованной форме. На этом этапе действие выполняется с реальными предметами или их заместителями (схемы, модели, карточки). Например, при обучении умножению это может быть раскладывание предметов группами или использование счётных палочек для демонстрации смысла умножения.
4. Отражение содержания ориентировочной основы действия в речи. Ученик проговаривает вслух каждый шаг действия, объясняя свои действия. Это помогает закрепить понимание и перевести внешнюю деятельность в речевую форму.
5. Формирование действия во внешней речи «про себя». На этом этапе внешняя речь становится менее развёрнутой, действие проговаривается шёпотом или про себя, но всё ещё контролируется речью.
6. Формирование действия во внутренней речи. Действие полностью интериоризируется, становится умственным, выполняется про себя, быстро и без внешнего проговаривания, приобретая характер навыка.

Применительно к обучению табличному умножению и делению, теория Гальперина предлагает чёткий алгоритм. Например, на этапе формирования ООД учитель может представить детям алгоритм умножения на конкретное число, используя наглядные пособия и примеры. Затем, на материализованном этапе, дети могут работать с карточками или числовыми веерами. Проговаривание правил умножения вслух и затем про себя постепенно приведёт к автоматизации. Экспериментальные исследования подтверждают, что этот поэтапный подход позволяет достигать быстрого и эффективного усвоения знаний без многочисленных проб и ошибок, а также способствует общему развитию интеллектуальных способностей.

Параллельно с теорией Гальперина развивается и активно применяется деятельностный подход, который стал основой Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС). Он предполагает активное участие учащихся в процессе обучения, где новые знания не даются в готовом виде, а «открываются» детьми самостоятельно в процессе исследовательской деятельности. В обучении математике это означает, что ученики не просто заучивают правила, а выполняют различные математические действия, анализируют задачи, рассуждают и применяют логические операции, что существенно повышает глубину их понимания и способность к самостоятельному мышлению.

Системно-деятельностный подход, закреплённый в ФГОС, направлен не столько на передачу знаний, сколько на развитие личности учащегося через освоение универсальных способов деятельности. Это обеспечивает лучшее понимание и запоминание материала, так как знания приобретают личностную значимость, что делает их интересными по сути.

Такой подход способствует быстрому усвоению, закреплению и применению на практике знаний, умений и навыков, а также развитию интеллектуальных сил детей. Например, при изучении табличного умножения, вместо пассивного заучивания, ученики могут самостоятельно выводить закономерности, составлять таблицы, используя различные наглядные материалы, а затем обсуждать и объяснять свои открытия.

Таким образом, обе теории, тесно взаимосвязанные и дополняющие друг друга, формируют мощную методологическую базу для построения эффективного процесса обучения, направленного на осознанное и прочное формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления у младших школьников.

Психолого-педагогические особенности младших школьников в контексте обучения умножению и делению

Эффективность обучения табличному умножению и делению напрямую зависит от глубокого понимания психолого-педагогических особенностей младших школьников. Это не просто свод характеристик, а динамическая картина развития, которая диктует выбор методов и форм работы.

Когнитивные и личностные особенности младших школьников

Младший школьный возраст, охватывающий период примерно с 6-7 до 10-11 лет, является переломным в развитии ребёнка. Происходит значительный переход от ведущей игровой деятельности к учебно-исследовательской. Игра, которая ранее была основным способом познания мира, уступает место целенаправленному учебному процессу. При этом элементы игры, как мы увидим далее, остаются важным инструментом мотивации. В этот период активно формируется Я-концепция, когда ребёнок начинает соотносить себя с новой социальной ролью ученика, что накладывает отпечаток на его восприятие учебных задач и успехов.

Ключевые познавательные процессы – восприятие, мышление, внимание и память – переживают интенсивное развитие.

• Восприятие становится более целенаправленным и аналитическим, но всё ещё требует опоры на наглядность.
• Мышление переходит от наглядно-образного к словесно-логическому, хотя конкретно-образные компоненты сохраняют свою значимость. Именно в этот период закладываются основы абстрактного мышления.
• Внимание всё ещё является преимущественно непроизвольным, легко отвлекается на внешние стимулы, но постепенно развивается и произвольное внимание.
• Память в младшем школьном возрасте характеризуется очень хорошей механической памятью. Это является существенным преимуществом для изучения таблицы умножения, поскольку механическое запоминание, хотя и не всегда осознанное, позволяет быстро усваивать большие объёмы информации. Важно отметить, что механическая память имеет тенденцию к ухудшению с возрастом, поэтому младший школьный период является сензитивным для формирования навыков, требующих запоминания.

Учёт этих особенностей позволяет педагогу строить процесс обучения, опираясь на сильные стороны развития ребёнка и компенсируя его слабые стороны. Например, использование наглядных пособий и дидактических игр помогает поддерживать внимание, а осознанное проговаривание и объяснение действий формирует логическое мышление.

Проблемы мотивации и пути её формирования на уроках математики

Одной из центральных и наиболее актуальных проблем современного образования является формирование учебной мотивации. Исследования показывают, что уровень мотивации у учащихся неуклонно снижается, причём этот спад заметен уже в начальных классах – от второго к третьему. По данным некоторых источников, до 80% детей нуждаются в специальных методах и формах обучения из-за проблем с мотивацией. Это особенно остро проявляется у детей с трудностями в обучении, у которых доминируют узколичные мотивы (например, получение хорошей отметки или похвала), тогда как у успешных учеников развиты познавательные и социальные мотивы. Без устойчивого побуждения интереса и внутренней мотивации учебный процесс не будет успешным.

Для эффективного формирования и повышения учебной мотивации на уроках математики, особенно при изучении такой сложной темы, как табличное умножение и деление, можно использовать следующие научно обоснованные стратегии:

1. Демонстрация пробелов в знаниях. Создание ситуаций, в которых ученики сами обнаруживают недостаточность своих текущих знаний для решения новой задачи. Это вызывает «познавательный конфликт» и стремление к его разрешению. Например, предложить задачу, для которой требуется табличное умножение, до его изучения, чтобы дети почувствовали потребность в новых знаниях.
2. Показ взаимосвязи знаний. Объяснение, как новые знания связаны с уже имеющимися и как они будут полезны в будущем. Например, подчеркнуть, что без таблицы умножения невозможно будет решать более сложные задачи или что она встречается в повседневной жизни.
3. Делиться «маленькими хитростями» вычислений. Это вызывает у детей чувство причастности к «секретному знанию», повышает интерес и даёт уверенность в своих силах. Например, показать приёмы умножения на 9 с использованием пальцев.

Важнейшую роль в формировании мотивации играют три взаимосвязанных аспекта:

• Содержание учебного материала. Он должен быть интересным, разнообразным, соответствовать возрасту и уровню развития учащихся, иметь практическую значимость.
• Организация деятельности учащихся. Необходимо создавать условия для активного участия каждого ребёнка, применения знаний на практике, работы в парах и группах, исследовательской деятельности.
• Взаимоотношения между учителем и учениками. Доверительная, поддерживающая атмосфера, уважение к мнению каждого ребёнка, поощрение инициативы и успехов.

Современные инновационные методы и подходы значительно повышают эффективность формирования мотивации. В частности, интерактивные игровые технологии, такие как квесты, симуляции, викторины и задания с элементами анимации, способствуют повышению вовлечённости и эмоциональной отдачи. Эксперименты показывают, что после их применения у 36% обучающихся наблюдается высокий уровень интереса к учебному процессу. Игровые методы не только делают обучение более интересным, но и развивают ключевые навыки, способствуют интеллектуальному, эмоциональному и социальному развитию, а также улучшают успеваемость.

Мобильные приложения и цифровые тренажёры также являются мощным инструментом для стимулирования мотивации. Они вызывают повышенный интерес за счёт интерактивности, яркого визуального оформления, возможности индивидуального обучения и мгновенной обратной связи. Сочетание звука, цвета и мультипликации в таких приложениях значительно расширяет возможности представления учебной информации, делая процесс освоения табличного умножения увлекательным и эффективным.

Таким образом, понимание психолого-педагогических особенностей младших школьников, а также активное применение разнообразных стратегий формирования мотивации, включая инновационные технологии, являются залогом успешного и прочного освоения вычислительных навыков табличного умножения и деления.

Современные методические подходы и дидактические средства для формирования вычислительных навыков

Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления – это сложный и длительный процесс, требующий систематического подхода и использования разнообразных методических приёмов. Современная методика преподавания ставит перед собой задачу не просто научить детей запоминать таблицу, но и развить у них глубокое понимание принципов её построения.

Этапы формирования навыков табличного умножения и деления

Процесс формирования навыков табличного умножения и деления традиционно делится на несколько ключевых этапов:

1. Подготовка к введению нового приёма. На этом этапе происходит актуализация уже имеющихся знаний и умений, необходимых для освоения умножения и деления. Например, повторяется сложение одинаковых слагаемых, понятия «по столько-то раз» и «поровну». Создаются проблемные ситуации, в которых ученики осознают недостаточность сложения для быстрого решения задач с большим количеством одинаковых слагаемых.
2. Ознакомление с вычислительным приёмом. Это момент, когда вводится само понятие умножения как действия, заменяющего сложение одинаковых слагаемых. Здесь же раскрывается смысл деления как обратного умножению действия. Особое внимание уделяется изучению теоретических вопросов:
   • Смысл умножения: Объясняется как нахождение суммы одинаковых слагаемых (a × b = a + a + … + a (b раз)).
   • Переместительное свойство умножения: Демонстрируется на примерах, что от перестановки множителей произведение не меняется (a × b = b × a). Это значительно сокращает объём запоминаемой таблицы.
   • Взаимосвязь умножения и деления: Показывается, что из каждого случая умножения можно получить два случая деления (например, если 3 × 4 = 12, то 12 : 3 = 4 и 12 : 4 = 3).
3. Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного навыка. Этот этап самый продолжительный и включает в себя:
   • Составление таблиц. Учащиеся не просто получают готовые таблицы, а активно участвуют в их построении, используя наглядные материалы, схемы, модели. Например, с помощью счётных палочек или кружков они могут «открыть» результаты умножения для каждого числа.
   • Запоминание таблиц. На этом этапе происходит переход от осознанного выполнения операций к автоматизированному. Важно отметить, что наизусть усваивается только таблица умножения, а результаты деления учащиеся находят, пользуясь таблицей умножения (например, чтобы разделить 18 на 3, нужно вспомнить, какое число при умножении на 3 даёт 18). Для достижения прочности и автоматизма необходимо выполнить достаточно большое количество упражнений.

Эффективные приемы и дидактические средства

Для успешного формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления ключевое значение имеет систематическая работа по закреплению навыков, которая должна проводиться на протяжении всего первого полугодия и даже далее. Недостаточно просто «пройти» тему; необходимо постоянное повторение и отработка.

1. Разнообразие упражнений и устный счёт. Важно использовать разнообразные упражнения по содержанию и форме, а также подбирать оптимальное их количество. Каждый урок математики целесообразно начинать с устного счёта, который является мощным инструментом для активизации мыслительной деятельности, развития памяти, внимания и автоматизации навыка. Устный счёт рекомендуется проводить в форме игры, соревнования или с использованием элементов занимательности, чтобы поддерживать интерес и мотивацию.
2. Дидактические игры. Это одно из наиболее мощных и эффективных средств активизации учащихся и повышения эффективности запоминания табличных случаев умножения и деления. Эксперименты показывают, что применение интерактивных игровых технологий (квесты, симуляции, задания с анимацией) значительно повышает вовлечённость, и у 36% обучающихся наблюдается высокий уровень интереса. Игры способствуют интеллектуальному, эмоциональному и социальному развитию, а также улучшают успеваемость. Примеры дидактических игр:
   • «Живая математика» (дети изображают множители и произведение).
   • «Кто скорее, кто вернее?» (соревнование на скорость вычислений).
   • «Помоги белочке собрать грибы» (соотнесение числа на грибе с результатом умножения).
   • «Залатай дыры» (вставка пропущенных чисел в таблице).
   • «Делится — не делится» (определение делимости числа).
   • «Отбей мяч», «Да-Нет», «Чей ряд лучше?» и многие другие.
3. «Секреты» и закономерности для облегчения запоминания. Использование мнемонических приёмов и демонстрация закономерностей значительно облегчают процесс запоминания:
   • Умножение на 5: Результаты всегда оканчиваются на 0 или 5, что легко запомнить.
   • Умножение на 9: Количество десятков в произведении на 1 меньше множителя, а сумма цифр произведения всегда равна 9 (например, 9 × 7 = 63; 6 < 7 на 1; 6 + 3 = 9).
   • Умножение на 1: Произведение равно множителю.
   • Умножение на 10: К числу приписывается 0.
4. Средства визуализации и дидактический материал. Наглядность играет ключевую роль в начальной школе:
   • Картинки и дидактические мультфильмы помогают сделать абстрактные математические понятия более конкретными и понятными.
   • Счётный материал (палочки, фишки, счётные доски) используется для материализации действий и демонстрации смысла умножения и деления.
   • Таблицы и плакаты с таблицей умножения, а также специальные тренажёры и карточки для индивидуальной работы.
5. Мобильные приложения и цифровые тренажёры. В условиях цифровизации образования эти средства становятся незаменимыми. Они не только стимулируют разностороннее развитие учащихся, но и эффективно формируют учебную мотивацию. Мобильные приложения вызывают повышенный интерес и мотивацию к обучению за счёт интерактивности, использования звука, цвета, мультипликации и возможности индивидуального обучения, что ведёт к повышению эффективности и качества образования. Примеры таких приложений: «Учим таблицу умножения», «Математика для детей», «Таблица умножения за 3 дня» и т.д.

Таким образом, комплексное применение этих методических подходов и дидактических средств, от традиционных игр до современных цифровых инструментов, позволяет сделать процесс формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления осознанным, прочным и увлекательным для младших школьников.

Анализ учебных программ и требований ФГОС к формированию вычислительных навыков

Глубокое понимание требований Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и сравнительный анализ подходов, представленных в различных учебно-методических комплексах (УМК), являются краеугольным камнем для разработки эффективной методики формирования вычислительных навыков. Это позволяет не только соответствовать государственным образовательным стандартам, но и выбирать оптимальные педагогические стратегии.

Требования Федерального государственного образовательного стандарта

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО) определяет основной вектор и содержание математического образования в начальной школе. Обновлённый ФГОС НОО 2021 года не просто устанавливает общие ориентиры, но и конкретизирует требования к достижению учащимися личностных, метапредметных и предметных результатов.

• Личностные результаты включают формирование мотивации к обучению, готовности к саморазвитию, основ гражданской идентичности, моральных качеств. В контексте математики это проявляется в интересе к изучению предмета, стремлении преодолевать трудности, формировании ответственности.
• Метапредметные результаты охватывают освоение универсальных учебных действий (УУД): познавательных (анализ, синтез, сравнение, обобщение), регулятивных (планирование, контроль, оценка), коммуникативных (умение работать в группе, высказывать своё мнение). Изучение математики способствует овладению основами логического мышления, пространственного воображения, математической речи.
• Предметные результаты непосредственно касаются освоения содержания предмета «Математика». В части формирования вычислительных навыков обновлённый ФГОС НОО подчёркивает сформированность вычислительных навыков, умений выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и решать текстовые задачи. Ключевым требованием является знание таблицы умножения однозначных чисел и соответствующих случаев деления на уровне автоматизированного навыка. Это означает, что ученик должен не только воспроизводить результат, но и делать это быстро, без дополнительных мыслительных операций, как это происходит, например, при чтении знакомых слов.

ФГОС НОО также ориентирует на формирование приёмов умственной деятельности, таких как анализ, синтез, сравнение, классификация и аналогия, что соответствует развитию базовых логических действий. Это требование пронизывает всё содержание математического образования, начиная с начальной школы.

Сравнительный анализ учебно-методических комплексов (УМК)

В современной начальной школе используются различные образовательные модели и учебно-методические комплексы (УМК), каждый из которых имеет свои особенности в подходах к преподаванию математики, в том числе и к изучению табличного умножения и деления. Среди наиболее распространённых УМК можно выделить «Школу России», «Школу 2100», систему Занкова, «Начальную школу 21 век», «Гармонию», «Перспективную начальную школу», систему Эльконина-Давыдова и «Планету знаний».

Таблица 1. Сравнительный анализ подходов к изучению умножения и деления в различных УМК

УМК	Класс начала изучения умножения/деления	Основные акценты методики	Соответствие ФГОС (УУД, предметные результаты)
«Школа России» (М.И. Моро)	2 класс	Традиционный подход, акцент на выработке навыков устных и письменных вычислений. Последовательное изучение: сначала умножение, затем деление. Широкое использование задач на смекалку и логику.	Высокий уровень формирования вычислительных навыков, логического мышления (анализ, синтез), предметных результатов по ФГОС.
«Школа 2100» (Л.Г. Петерсон)	2 класс (тема «Умножение и деление» в течение одного года)	Деятельностный подход, проблемно-диалогическое обучение. Ученики самостоятельно «открывают» правила и закономерности. Акцент на развитии мыслительных операций, творческого мышления.	Высокий уровень формирования УУД (познавательные, регулятивные), развитие логического мышления, предметные результаты.
Система Л.В. Занкова	2-3 класс	Высокий темп обучения, изучение материала на высоком уровне трудности. Цель — общее развитие ребёнка. Акцент на причинно-следственных связях, множественности вариантов решения.	Развитие метапредметных компетенций, глубокое понимание математических концепций, высокий уровень логического мышления.
«Начальная школа XXI века» (Н.Ф. Виноградова)	1 класс (введение в умножение), 2-3 класс (основное изучение)	Развитие познавательной активности, формирование универсальных учебных действий. Введение умножения может начинаться раньше, через практические действия. Акцент на практико-ориентированных задачах.	Развитие УУД, применение знаний в практических ситуациях, формирование вычислительных навыков.
«Перспективная начальная школа» (Р.Г. Чуракова)	3 класс	Интегративный подход, взаимосвязь математики с другими предметами. Акцент на формирование целостной картины мира, развитие коммуникативных навыков. Изучение умножения и деления с опорой на наглядность и практические задачи.	Формирование УУД, развитие коммуникативных навыков, понимание практического значения математики.
Программа Н.Б. Истоминой	2 класс (смысл умножения, табличные случаи), 3 класс (деление)	Ориентация на формирование приёмов умственной деятельности. Ученики сначала осваивают смысл умножения и его табличные случаи, а затем переходят к изучению деления.	Развитие логического мышления (анализ, синтез, классификация), предметные результаты по ФГОС.

Традиционный учебник, разработанный под руководством М.И. Бантовой и М.И. Моро («Школа России»), исторически был основным и акцентировал внимание на выработке навыков устных и письменных вычислений. Этот УМК предусматривает начало изучения умножения и деления во 2 классе. В то же время, такие программы, как «Перспективная начальная школа», начинают эту тему с 3 класса, а в «Начальной школе XXI века» умножение может рассматриваться уже в 1 классе через практические действия и знакомство с его смыслом. Программа Л.Г. Петерсон отличается тем, что тема «Умножение и деление» изучается в течение одного года, что требует интенсивной и системной работы.

Многие учебники и программы, особенно те, что соответствуют обновлённому ФГОС НОО, делают акцент на формирование приёмов умственной деятельности, таких как анализ, синтез, сравнение, классификация и аналогия. Например, в УМК «Школа России» (авторы М.И. Моро, С.В. Степанова, С.И. Волкова) содержатся занимательные задания (ребусы, задачи на поиск лишнего выражения, продолжение узоров), которые целенаправленно развивают логическое мышление. Это напрямую отвечает требованиям ФГОС к формированию базовых логических действий, поскольку позволяет ученикам не просто воспроизводить знания, но и применять их в новых условиях, развивая абстрактное, логическое и алгоритмическое мышление.

Таким образом, анализ УМК показывает разнообразие подходов к изучению табличного умножения и деления. Выбор УМК и методических приёмов должен быть основан на глубоком понимании требований ФГОС, возрастных особенностей учащихся и индивидуальных потребностей класса, чтобы обеспечить полноценное формирование вычислительных навыков на уровне автоматизма и развитие логического мышления.

Типичные трудности младших школьников и стратегии их преодоления

Процесс освоения табличного умножения и деления не всегда проходит гладко. Несмотря на кажущуюся простоту, многие младшие школьники сталкиваются с серьёзными трудностями, которые, если их не преодолеть своевременно, могут иметь долгосрочные негативные последствия для их дальнейшего математического образования.

Причины возникновения трудностей и их последствия

Недостаточный уровень овладения вычислительными навыками является актуальной и серьёзной проблемой в начальной школе. Практика работы учителей и анализ результатов Всероссийских проверочных работ по математике (ВПР) показывают, что у многих учащихся отсутствуют прочные, доведённые до автоматизма знания таблицы умножения и соответствующих случаев деления. Так, учителя начальных классов оценивают долю обучающихся, не владеющих этим навыком, в 17%, в то время как учителя математики среднего и старшего звена отмечают значительно большее число таких учеников — до 31%. Это свидетельствует о том, что проблема не исчезает с переходом в среднюю школу, а лишь усугубляется.

Распространённые трудности включают:

• Механическое заучивание без понимания смысла. Дети могут воспроизводить ответы, но не понимать, что такое умножение и деление, и где их применять.
• Необходимость заучивания не только таблицы умножения, но и таблицы деления. Хотя соответствующие случаи деления могут быть легко найдены через знание умножения, некоторым детям это даётся с трудом, и они пытаются заучить деление отдельно, что удваивает объём информации.
• Смешение табличных случаев. Например, путаница между 6 × 7 и 8 × 9.
• Проблемы с кратковременной и долговременной памятью. Некоторые дети просто испытывают трудности с запоминанием больших объёмов информации.
• Отсутствие систематической тренировки. Если навык не повторять и не использовать регулярно, он быстро утрачивается.

Последствия этих трудностей весьма значительны: если младший школьник не усвоил прочно таблицу умножения во 2 и 3 классе, то в дальнейшем он столкнётся со значительными проблемами при освоении письменных приёмов умножения и деления многозначных чисел, а также при решении текстовых задач, где требуется применение этих навыков. Это создаёт «снежный ком» проблем, снижает успеваемость по математике и может привести к потере интереса к предмету в целом.

Методы и приемы преодоления трудностей

Для эффективного преодоления возникающих трудностей необходимо использовать комплексный подход, сочетающий предвосхищение проблем, активное вовлечение учащихся и систематическую тренировку:

1. Заблаговременная систематическая подготовка. Начинать работу над смыслом умножения и деления нужно ещё до формального изучения таблиц. Это может быть работа со сложением одинаковых слагаемых, решение практических задач, где требуется распределение предметов поровну.
2. Создание специальной установки на запоминание. Важно объяснить детям, почему так важно знать таблицу умножения, какую роль она играет в математике и повседневной жизни. Можно использовать элементы игры, соревнования, чтобы мотивировать их к запоминанию.
3. Разноо��разные приёмы, облегчающие нахождение результата, если он был забыт. Помимо «секретов» умножения на 5 и 9, о которых говорилось ранее (окончание на 0 или 5 для × 5, сумма цифр = 9 и количество десятков на 1 меньше множителя для × 9), можно использовать:
   • Мнемонические правила и рифмовки: Короткие стишки или ассоциации, помогающие запомнить сложные случаи (например, «Шесть на восемь – сорок восемь, хлеба в доме мы попросим»).
   • Визуальные подсказки: Схемы, таблицы, картинки, которые ассоциируются с конкретным результатом.
   • Приём «соседних» таблиц: Если забыл 7 × 8, можно вспомнить 7 × 7 = 49 и добавить ещё 7, или 7 × 10 = 70 и вычесть 7 × 2 = 14.
   • Пальцевый счёт: Особенно эффективен для таблицы умножения на 9.
4. Повседневная и рационально организованная тренировка. Тренировка должна проводиться не только в ходе изучения соответствующих тем, но и на протяжении всех остальных уроков математики (в рамках устного счёта, физкультминуток). Она должна быть регулярной, но не утомительной.
5. Максимальное разнообразие тренировочных упражнений. Монотонность убивает интерес. Использование различных средств обучения (таблицы, счётные приборы, дидактические карточки, магнитные доски) и форм организации занятий (дидактические игры, парная работа, взаимоконтроль, самостоятельная работа, работа с цифровыми тренажёрами) поможет избежать рутины.
6. Индивидуальный и дифференцированный подходы. Учёт индивидуальных особенностей каждого ученика – темпа работы, типа памяти, уровня подготовки. Для одних детей эффективнее визуальные методы, для других – аудиальные, для третьих – кинестетические.
7. Создание проблемных ситуаций. Задачи, которые требуют от учащихся не просто воспроизведения фактов, а ориентации на содержательно общий способ решения. Например, предложить задачу, где дети должны вывести новое для себя правило умножения, используя уже известные принципы. Это способствует осознанному формированию навыков и развитию логического мышления.

Применяя эти стратегии, педагоги могут существенно повысить эффективность формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления, помогая младшим школьникам преодолеть типичные трудности и заложить прочный фундамент для дальнейшего успешного изучения математики.

Организация и проведение эмпирического исследования уровня сформированности навыков

Эмпирическое исследование является неотъемлемой частью научно-методической работы, позволяющей не только подтвердить или опровергнуть теоретические гипотезы, но и получить объективные данные о реальном уровне сформированности вычислительных навыков у младших школьников. Разработка детализированной методологии — ключ к достоверности и ценности полученных результатов.

Цели, задачи и гипотезы эмпирического исследования

Общая цель эмпирического исследования может быть сформулирована как: выявление и анализ уровней сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления у младших школьников на различных этапах его формирования (например, в начале, середине и конце учебного года).

Для достижения этой цели необходимо поставить ряд конкретных задач:

1. Разработать комплекс диагностических методик, позволяющих оценить различные критерии сформированности вычислительных навыков.
2. Выявить исходный уровень сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления у младших школьников.
3. Оценить динамику изменения уровня сформированности навыков после применения формирующего эксперимента (например, использования инновационных дидактических средств).
4. Проанализировать типичные ошибки и трудности, возникающие у учащихся при выполнении заданий на табличное умножение и деление.
5. Сформулировать практические рекомендации на основе полученных данных для оптимизации процесса обучения.

В качестве рабочих гипотез можно выдвинуть следующие:

• Гипотеза 1: Применение комплексной методики, включающей интерактивные дидактические игры и цифровые тренажёры, способствует более высокому уровню сформированности автоматизма вычислительных навыков табличного умножения и деления по сравнению с традиционными методами обучения.
• Гипотеза 2: Существует прямая зависимость между уровнем учебной мотивации и скоростью (автоматизмом) усвоения табличных случаев умножения и деления.

Методики диагностики и критерии оценки

Для всесторонней оценки уровня сформированности вычислительных навыков необходимо использовать комплекс диагностических методик:

1. Тестовые задания с выбором одного верного ответа. Такие тесты должны быть составлены с учётом типичных ошибок учащихся (например, 7 × 8 = 54 вместо 56). Они позволяют быстро получить количественную информацию о правильности выполнения.
2. Контрольные срезы и самостоятельные работы. Проводятся на разных этапах обучения (стартовая, промежуточная, итоговая диагностика) для определения качественных сдвигов и оценки степени овладения навыком к концу учебного года. Особое значение имеет проведение контрольных срезов после двухнедельного перерыва в тренировочных упражнениях для проверки прочности сформированного навыка.
3. Диагностические работы на определение уровня усвоения темы «Умножение и деление». Включают задания различного типа: решение примеров, задач, сравнение выражений, восстановление равенств.
4. Анкетирование и интервьюирование. Позволяют оценить осознанность навыка (понимание учеником выбранных операций, способность объяснить ход решения), а также уровень мотивации к изучению предмета.

Критериями оценки сформированности вычислительных навыков служат:

• Автоматизм: Ключевой критерий. Он подразумевает, что ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но при этом всегда способен вернуться к объяснению выбранной системы операций. Для табличных случаев умножения и деления должна быть достигнута высокая степень автоматизации, когда ученик сразу соотносит два числа с третьим, являющимся результатом арифметического действия, без выполнения отдельных операций.
• Правильность: Верное нахождение результата и безошибочное выполнение операций.
• Осознанность: Понимание смысла выполняемых действий, способность объяснить логику решения, а не просто воспроизводить заученный ответ.
• Гибкость: Способность применять навык в различных ситуациях, использовать разные приёмы вычисления (например, приём «соседних» таблиц).
• Обобщённость: Применение навыка к широкому кругу однотипных задач, понимание общих закономерностей.
• Прочность: Сохранение навыка на протяжении длительного времени, устойчивость к интерференции (забыванию).

Примеры заданий для оценки критериев:

Критерий	Пример задания
Автоматизм	Тест на скорость: «Реши за 1 минуту как можно больше примеров: 7 × 6, 9 × 8, 4 × 5, 3 × 7, 8 × 6…» (оценивается количество правильных ответов за определённое время).
Правильность	«Вычисли: 6 × 9 = ?, 45 : 5 = ?, 8 × 7 = ?» (оценивается только верность результата).
Осознанность	«Объясни, почему 6 × 7 = 42. Покажи это на рисунке или с помощью предметов.» или «Как, зная 7 × 8 = 56, быстро найти 56 : 7?» (оценивается способность к объяснению и аргументации).
Гибкость	«Вычисли 7 × 9, используя другой известный тебе пример из таблицы умножения.» (например, 7 × 10 — 7 или 7 × 8 + 7).
Обобщённость	«Какое число можно вставить вместо звездочки, чтобы равенство было верным: * × 4 = 24. Есть ли другие варианты?» (оценивается способность к анализу и поиску всех возможных решений).
Прочность	Контрольный срез через 2 недели после изучения темы без предварительной тренировки.

Этапы проведения исследования и анализ результатов

Проведение эмпирического исследования обычно включает три этапа:

1. Констатирующий этап: Цель — выявление исходного уровня сформированности навыков. Проводится стартовая диагностика по всем критериям у всех участников исследования. Результаты оформляются в виде таблиц, графиков, с указанием распределения учащихся по уровням (высокий, средний, низкий). Например, в одном из исследований в 4Ж классе десять обучающихся показали высокий уровень, шестеро — средний, и трое — низкий уровень сформированности вычислительных навыков.
2. Формирующий этап: Цель — апробация новой методики или дидактических средств. Участники делятся на экспериментальную и контрольную группы. В экспериментальной группе обучение проводится с применением исследуемых инновационных подходов (например, интерактивных игр, мобильных приложений), а в контрольной — по традиционной методике. Продолжительность этого этапа зависит от целей исследования и изучаемой темы.
3. Контрольный этап: Цель — оценка эффективности внедрённой методики и сравнение результатов в экспериментальной и контрольной группах. Проводится повторная (итоговая) диагностика с использованием тех же методик, что и на констатирующем этапе.

Методы сбора данных включают наблюдение за деятельностью учащихся на уроках, анализ продуктов их деятельности (тетради, контрольные работы), тестирование, анкетирование и индивидуальные беседы.

Анализ результатов проводится как качественный, так и количественный:

• Количественный анализ: Статистическая обработка данных (средние баллы, процент выполнения заданий, динамика изменения показателей). Для сравнения групп могут использоваться статистические тесты (например, t-критерий Стьюдента, критерий хи-квадрат).
• Качественный анализ: Изучение характера ошибок, причин их возникновения, выявление наиболее сложных для учащихся моментов, анализ объяснений учащихся своих действий.

Интерпретация полученных результатов должна включать не только констатацию фактов, но и глубокое объяснение выявленных закономерностей. Например, если экспериментальная группа показала значительно более высокие результаты по автоматизму, необходимо объяснить, какие именно элементы формирующей методики способствовали этому, опираясь на теоретические основы (например, теорию Гальперина или деятельностный подход). Результаты оформляются в виде диаграмм, таблиц, выводов и практических рекомендаций.

Таким образом, чётко спланированное и методически грамотно проведённое эмпирическое исследование позволяет получить ценные, научно обоснованные данные, которые могут быть использованы для совершенствования методики преподавания математики в начальной школе.

Заключение

Исследование формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления у младших школьников выявило многогранный характер этой фундаментальной педагогической задачи. Мы пришли к выводу, что успешное освоение этих навыков требует не просто механического заучивания, а комплексного, научно-обоснованного подхода, который учитывает как глубокие теоретические основы, так и динамичные психолого-педагогические особенности детей, а также современные методические инновации.

В ходе работы были раскрыты теоретико-методологические основы, где вычислительное умение понимается как осознанное действие, а вычислительный навык – как его автоматизированная и прочная форма, характеризующаяся правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщённостью и прочностью. Особое внимание было уделено теории поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина, которая, через свои шесть этапов, предоставляет чёткую дорожную карту для осознанного усвоения математических операций. Наряду с ней, деятельностный и системно-деятельностный подходы, являющиеся основой ФГОС, подчёркивают важность активного участия учащихся в «открытии» знаний, что способствует не только запоминанию, но и глубокому пониманию материала.

Анализ психолого-педагогических особенностей младших школьников показал, что возрастные характеристики познавательных процессов, особенно хорошая механическая память, являются преимуществом для изучения таблицы умножения. Однако, проблема снижения учебной мотивации требует пристального внимания. Для её преодоления были предложены стратегии, включающие демонстрацию пробелов в знаниях, показ взаимосвязи учебного материала и использование «маленьких хитростей» вычислений. Особая роль в стимулировании интереса отведена инновационным методам и подходам, таким как мобильные приложения, цифровые тренажёры и интерактивные игровые технологии, которые значительно повышают вовлечённость и эффективность обучения.

Рассмотрение современных методических подходов выявило поэтапный характер формирования навыков, от подготовки и ознакомления с приёмом до закрепления и автоматизации. Подчёркнута значимость систематического устного счёта, разнообразия упражнений и активного применения дидактических игр для облегчения запоминания и поддержания интереса. Были предложены конкретные «секреты» умножения на 5 и 9, а также другие мнемонические приёмы, облегчающие процесс усвоения.

Сравнительный анализ учебно-методических комплексов (УМК) в контексте требований обновлённого ФГОС НОО 2021 года продемонстрировал различия в сроках введения темы и методических акцентах. Все УМК, однако, стремятся к формированию вычислительных навыков на уровне автоматизма и развитию приёмов умственной деятельности, что полностью соответствует государственным стандартам.

Наконец, были выявлены типичные трудности и ошибки, с которыми сталкиваются младшие школьники (недостаточный автоматизм, механическое заучивание, путаница в табличных случаях), и предложены стратегии их преодоления. Среди них – заблаговременная подготовка, создание установки на запоминание, использование разнообразных приёмов и средств обучения, а также индивидуальный и дифференцированный подходы.

Для студентов, будущих педагогов и действующих учителей начальной школы, наше исследование предлагает не только теоретические основы, но и детализированную методологию организации и проведения эмпирического исследования. Это включает чёткое определение целей, задач и гипотез, описание различных диагностических методик (тесты, срезы, анкетирование) и подробное раскрытие критериев оценки сформированности навыков (автоматизм, правильность, осознанность, гибкость, обобщённость, прочность).

Практические рекомендации:

• Используйте теорию Гальперина: Разрабатывайте уроки, учитывая шесть этапов формирования умственных действий, акцентируя внимание на Ориентировочной основе действия (ООД) для безошибочного усвоения.
• Мотивируйте через игру и технологии: Включайте в учебный процесс интерактивные дидактические игры, мобильные приложения и цифровые тренажёры для повышения интереса и вовлечённости учащихся.
• Индивидуализируйте обучение: Учитывайте индивидуальные особенности каждого ребёнка, предлагая разнообразные приёмы запоминания и закрепления материала.
• Систематизируйте тренировку: Обеспечьте регулярную, но разнообразную отработку вычислительных навыков на каждом уроке математики.
• Развивайте осознанность: Не ограничивайтесь механическим заучиванием, помогайте детям понимать смысл умножения и деления, их взаимосвязь и практическое применение.
• Применяйте «секреты» и мнемонику: Облегчайте запоминание сложных табличных случаев с помощью специальных приёмов и закономерностей.
• Опирайтесь на ФГОС и анализируйте УМК: Выбирайте методические подходы, соответствующие государственным стандартам и учитывающие особенности используемого учебно-методического комплекса.

В заключение, формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления – это сложный, но крайне важный процесс, который требует от педагога глубоких знаний, творческого подхода и постоянного стремления к совершенствованию. Только комплексный, научно-обоснованный подход, учитывающий все аспекты развития младшего школьника и современные дидактические возможности, позволит заложить прочный фундамент для его успешного математического будущего.

Список использованной литературы

1. Бантова, М. А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. 1993. №11.
2. Баряева, Л. В. Математическое развитие. СПб, 2003. 284 с.
3. Белошистая, А. В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений. М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 2005. 455 с.
4. Гребцова, Н. И. Развитие мышления учащихся // Начальная школа. 1994. №11.
5. Данелич, М. Е. Вычислительная техника как средство обучения приёмам вычислений // Начальная школа. 1992. №1.
6. Ивашова, О. А., Останина, Е. Е. Учусь вычислять. Табличное умножение и деление. Деление с остатком: рабочая тетрадь по математике. М.: ООО «Кирилл и Мефодий», 2007.
7. Истомина, Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах: пособие для учителя. М.: Просвещение, 1985. 64 с.
8. Истомина, Н. Б., Латохина, Л. Г., Шмырёва, Г. Г. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах: учебное пособие для студентов педагогических институтов по специальности «Педагогика и методика начального обучения». М.: Просвещение, 1986. 176 с.
9. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах. М.: Линка-пресс, 1997.
10. Клецкина, А. А. Организация вычислительной деятельности младших школьников в системе развивающего обучения: автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. пед. наук. М., 2001.
11. Коннова, В. А. Задания творческого характера на уроках математики // Начальная школа. 1995. №12.
12. Математика. Учеб. для 3 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч.2. (Второе полугодие) / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. 3-е изд. М.: Просвещение, 2004. 96 с.
13. Младший школьник / под ред. А. Г. Хрипковой. М.: Педагогика, 1989.
14. Немов, Р. С. Психология: В 3 кн. М.: ВЛАДОС, 2005. Т.2.
15. Петерс, В. А. Психология и педагогика. М.: Проспект, 2005.
16. Петерсон, Л. Г. Математика. 3 класс: методические рекомендации для учителей. Изд. 2-е, перераб. и доп. М: Издательство «Ювента», 2005. 336 с.
17. Психическое развитие младших школьников / под ред. В. В. Давыдова. М.: Психология, 1990.
18. 8 способов мотивировать школьников на уроках математики // Педсовет. URL: https://pedsovet.org/article/8-sposobov-motivirovat-shkolnikov-na-urokah-matematiki (дата обращения: 16.10.2025).
19. Деятельностный подход в обучении математике, как средство развития логического мышления учащихся // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/deyatelnostniy-podhod-v-obuchenii-matematike-kak-sredstvo-razvitiya-logicheskogo-mishleniya-uchaschihsya-6395570.html (дата обращения: 16.10.2025).
20. Формирование вычислительных навыков младших школьников на уроках математики // Урок.1sept.ru. URL: https://urok.1sept.ru/articles/674488 (дата обращения: 16.10.2025).
21. Методы деятельностного подхода в обучении математике // Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metody-deyatelnostnogo-podhoda-v-obuchenii-matematike (дата обращения: 16.10.2025).
22. Системно-деятельностный подход на уроках математики в начальной школе // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/sistemnodeyatelnostniy-podhod-na-urokah-matematiki-v-nachalnoy-shkole-6047708.html (дата обращения: 16.10.2025).
23. Повышение мотивации младших школьников на уроках математики // Начальная школа. 2020. 6 октября. URL: https://nachalnayashkola.ru/articles/2020/10/06/povyshenie-motivatsii-mladshikh-shkolnikov-na-urokakh-matematiki (дата обращения: 16.10.2025).
24. Типовая задача «Поэтапное формирование умственных действий» на уроках математики в старших классах // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/tipovaya-zadacha-poetapnoe-formirovanie-umstvennih-deystviy-na-urokah-matematiki-v-starshih-klassah-4899564.html (дата обращения: 16.10.2025).
25. Приемы реализации деятельностного подхода при обучении математике // Nsportal.ru. 2021. 23 апреля. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2021/04/23/priemy-realizatsii-deyatelnostnogo-podhoda-pri-obuchenii (дата обращения: 16.10.2025).
26. Применение методики изучения табличного умножения и деления в начальных классах // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/primenenie-metodiki-izucheniya-tablichnogo-umnozheniya-i-deleniya-v-nachalnih-klassah-5527196.html (дата обращения: 16.10.2025).
27. Повышение учебной мотивации у младших школьников на уроках математики // Nsportal.ru. 2024. 13 апреля. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2024/04/13/povyshenie-uchebnoy-motivatsii-u-mladshih-shkolnikov-na-urokah (дата обращения: 16.10.2025).
28. Формирование вычислительных навыков при изучении математики в курсе основной школы // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/formirovanie-vichislitelnih-navikov-pri-izuchenii-matematiki-v-kurse-osnovnoy-shkoli-4972684.html (дата обращения: 16.10.2025).
29. Теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина // Sites.google.com. URL: https://www.sites.google.com/site/griskevichirina/teoria-poetapnogo-formirovania-umstvennyh-dejstvij-p-a-galperina (дата обращения: 16.10.2025).
30. Деятельностный подход в формировании универсальных учебных действий на уроках математики в 1 классе // Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/deyatelnostnyy-podhod-v-formirovanii-universalnyh-uchebnyh-deystviy-na-urokah-matematiki-v-1-klasse (дата обращения: 16.10.2025).
31. Сборник дидактических игр для запоминания таблицы умножения // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/sbornik-didakticheskih-igr-dlya-zapominaniya-tablici-umnozheniya-1845184.html (дата обращения: 16.10.2025).
32. Поэтапное формирование умственных действий и понятий // Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/poetapnoe-formirovanie-umstvennyh-deystviy-i-ponyatiy (дата обращения: 16.10.2025).
33. Основные аспекты формирования мотивации к учебной деятельности на уроках математики в начальных классах // Академия народной педагогики. URL: https://akademiya-np.ru/publikatsii/osnovnye-aspekty-formirovaniya-motivatsii-k-uchebnoy-deyatelnosti-na-urokakh-matematiki-v-nachalnykh-klassakh/ (дата обращения: 16.10.2025).
34. Формирование учебной мотивации младших школьников на уроках математики // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/formirovanie-uchebnoy-motivacii-mladshih-shkolnikov-na-urokah-matematiki-5781488.html (дата обращения: 16.10.2025).
35. Формирование вычислительных навыков младших школьников на уроках математике в начальной школе // E-koncept.ru. 2016. URL: https://e-koncept.ru/2016/46315.htm (дата обращения: 16.10.2025).
36. Формирование вычислительных навыков у детей младшего школьного возраста при помощи дидактических игр // Sci.house. URL: https://sci.house/pedagogika-nauki/formirovanie-vyichislitelnyih-navyikov-u-detey-56906.html (дата обращения: 16.10.2025).
37. Дидактические игры при изучении таблицы умножения // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/didakticheskie-igri-pri-izuchenii-tablici-umnozheniya-1365115.html (дата обращения: 16.10.2025).
38. Федеральная рабочая программа | Математика. 1–4 классы // Единое содержание общего образования. URL: https://edsoo.ru/rabochie-programmy/matematika-1-4-klassy/ (дата обращения: 16.10.2025).
39. Различные подходы к изучению таблицы умножения в начальных классах // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/razlichnie-podhodi-k-izucheniyu-tablici-umnozheniya-v-nachalnih-klassah-4470200.html (дата обращения: 16.10.2025).
40. Сборник «Дидактические игры на уроках математике» // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/sbornik-didakticheskie-igri-na-urokah-matematike-nachalnie-klassi-prochee-4903577.html (дата обращения: 16.10.2025).
41. Статья: «Дидактические игры на уроках математики в начальной школе» // Znanio.ru. URL: https://znanio.ru/media/statya-didakticheskie-igry-na-urokah-matematiki-v-nachalnoj-shkole-4197415 (дата обращения: 16.10.2025).
42. 1.6. Теория поэтапного формирования умственных и практических действий П.Я. Гальперина — Педагогическая психология // Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/716183/page:7/ (дата обращения: 16.10.2025).
43. Формирование вычислительных навыков на уроках математики в начальной школе // Sarschool6.ru. 2021. Март. URL: https://sarschool6.ru/wp-content/uploads/2021/03/%D0%A4%D0%9E%D0%A0%D0%9C%D0%98%D0%A0%D0%9E%D0%92%D0%90%D0%9D%D0%98%D0%95-%D0%92%D0%AB%D0%A7%D0%98%D0%A1%D0%9B%D0%98%D0%A2%D0%95%D0%9B%D0%AC%D0%9D%D0%AB%D0%A5-%D0%9D%D0%90%D0%92%D0%AB%D0%9A%D0%9E%D0%92-%D0%9D%D0%90-%D0%A3%D0%A0%D0%9E%D0%9A%D0%90%D0%A5-%D0%9C%D0%90%D0%A2%D0%95%D0%9C%D0%90%D0%A2%D0%98%D0%9A%D0%98-%D0%92-%D0%9D%D0%90%D0%A7%D0%90%D0%9B%D0%AC%D0%9D%D0%9E.pdf (дата обращения: 16.10.2025).
44. Методика изучения таблицы умножения и соответствующих случаев деления в курсе математики начальных классов. Анализ учебников по программам Моро М. И и Чекина А. Л. // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/metodika-izucheniya-tablici-umnozheniya-i-sootvetstvuyuschih-sluchaev-deleniya-v-kurse-matematiki-nachalnih-klassov-analiz-uchebnik-4903333.html (дата обращения: 16.10.2025).
45. Методические основы изучения табличного умножения и деления в разных программах обучения математики в начальной школе // 1urok.ru. URL: https://1urok.ru/articles/1233 (дата обращения: 16.10.2025).
46. Дидактические игры по математике для младших школьников // Mudryg Rik.ru. URL: https://mudryg Rik.ru/didakticheskie-igry-po-matematike-dlya-mladshikh-shkolnikov (дата обращения: 16.10.2025).
47. Методика изучения табличного умножения и деления // Uchportal.ru. URL: https://www.uchportal.ru/load/206-1-0-28045 (дата обращения: 16.10.2025).
48. Методика изучения умножения и деления в разных учебно-методических комплексах // Sgu.ru. URL: https://www.sgu.ru/sites/default/files/textdocs/2020/07/06/uchebno-metodicheskoe_posobie.pdf (дата обращения: 16.10.2025).
49. Теоретические основы обучения табличным случаям умножения и деления младших школьником с проблемами в интеллектуальном развитии // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/teoreticheskie-osnovi-obucheniya-tablichnim-sluchayam-umnozheniya-i-deleniya-mladshih-shkolnikom-s-problemami-v-intellektua-4849615.html (дата обращения: 16.10.2025).
50. Методическая разработка раздела образовательной программы «Таблица умножения и деления» // Xn—j1ahfl.xn--p1ai. URL: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/metodicheskaya_razrabotka_razdela_obrazovatelno_184852.html (дата обращения: 16.10.2025).
51. Методические приемы изучения письменного умножения и деления в начальной школе с учетом индивидуальных особенностей школьников // Sci-leader.ru. 2021. 27 апреля. URL: https://sci-leader.ru/article/2021/4/27/metodicheskie-priemy-izucheniya-pismennogo-umnozheniya-i-deleniya-v-nachalnoy-shkole-s-ucheto (дата обращения: 16.10.2025).
52. Формирование навыков табличного умножения и деления однозначных чисел у младших школьников на уроках математики // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/formirovanie-navikov-tablichnogo-umnozheniya-i-deleniya-odnoznachnih-chisel-u-mladshih-shkolnikov-na-urokah-matematiki-4993683.html (дата обращения: 16.10.2025).
53. Математика. Реализация требований ФГОС начального общего образования // ИСРО. URL: https://www.instrao.ru/images/labs/l_nachal_obr/Metod_posobie_matematika_FGOS_NOO.pdf (дата обращения: 16.10.2025).
54. Изменения в содержании рабочей программы по математике во ФГОС НОО, методические инструменты и требования к учебному предмету // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/izmeneniya-v-soderzhanii-rabochey-programmi-po-matematike-vo-fgos-noo-metodicheskie-instrumenti-i-trebovaniya-k-uchebnomu-predm-6756269.html (дата обращения: 16.10.2025).
55. Анализ альтернативных программ и учебников по математике для начальной школы // Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/7339162/page:3/ (дата обращения: 16.10.2025).
56. Формирование навыков умножения и деления у младших школьников // Методичка.com. URL: https://metodichka.com/ue/pedagogika/formirovanie_navikov_umnozheniya_i_deleniya_u_mladshih_shkolnikov.html (дата обращения: 16.10.2025).
57. Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления «Таблица умножения» // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/formirovanie-vichislitelnih-navikov-tablichnogo-umnozheniya-i-deleniya-tablica-umnozheniya-3837936.html (дата обращения: 16.10.2025).
58. Психолого-педагогические особенности младших школьников и их учет при организации учебно-исследовательской деятельности с целью формирования метапредметных компетенций // Мир науки. URL: https://mir-nauki.com/PDF/38PDMN516.pdf (дата обращения: 16.10.2025).
59. Формирование вычислительных навыков у младших школьников // ИМЦ. URL: http://imc.edu.ru/metodicheskoe-prostranstvo/nachalnaya-shkola/metodicheskie-rekomendatsii/formirovanie-vychislitelnyh-navykov-u-mladshih-shkolnikov (дата обращения: 16.10.2025).
60. Особенности изучения табличного умножения и деления в разных программах обучения математике // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/osobennosti-izucheniya-tablichnogo-umnozheniya-i-deleniya-v-raznih-programmah-obucheniya-matematike-4856001.html (дата обращения: 16.10.2025).
61. Рабочая программа (ФГОС НОО) по математике // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/rabochaya-programma-fgos-noo-po-matematike-4606622.html (дата обращения: 16.10.2025).