Геометрия прямых в трехмерном евклидовом пространстве: от аналитического задания до конгруэнций и приложений

В необъятном мире математики геометрия занимает одно из центральных мест, служа фундаментом для понимания пространственных отношений и форм. В самом сердце этой дисциплины лежит изучение простейших, но в то же время фундаментальных объектов — прямых линий. Они не только являются краеугольным камнем евклидовой геометрии, но и пронизывают собой ткань более сложных математических теорий, таких как аналитическая и дифференциальная геометрия, а также находят отклик в многочисленных прикладных областях.

Настоящее исследование ставит своей целью всестороннее изучение геометрии прямых в трехмерном евклидовом пространстве (E³), начиная от базовых аналитических способов их задания и заканчивая сложными концепциями конгруэнций и линейчатых поверхностей. Мы рассмотрим, как математически описываются взаимные положения прямых и плоскостей, какие метрические характеристики используются для измерения расстояний и углов, и как эти теоретические конструкции находят свое воплощение в реальном мире – от компьютерной графики до архитектуры и инженерии. Особое внимание будет уделено дифференциально-геометрическому подходу к изучению конгруэнций прямых и уникальным свойствам линейчатых поверхностей.

Цель данной курсовой работы — не только систематизировать и углубить знания по указанным темам, но и продемонстрировать их актуальность и прикладную значимость в контексте современного научно-технического прогресса. Мы проследим исторический путь развития этих идей, от древнегреческих аксиом до современных математических аппаратов, чтобы лучше понять эволюцию человеческой мысли в осмыслении пространства.

Структура работы организована таким образом, чтобы последовательно раскрыть заявленные темы, переходя от общих определений к специфическим деталям и практическим приложениям. Каждый раздел будет сопровождаться строгими математическими формулами, определениями и, где это возможно, примерами, что позволит студентам и аспирантам математических и инженерных специальностей получить исчерпывающий и глубокий материал для понимания геометрии прямых в E³.

Аналитические способы задания прямой в трехмерном евклидовом пространстве

В трехмерном евклидовом пространстве E³, где каждая точка может быть однозначно определена тремя координатами, прямая линия представляет собой один из самых фундаментальных геометрических объектов. Ее аналитическое описание играет ключевую роль во множестве математических и прикладных задач. Существуют различные равнозначные способы задания прямой, каждый из которых обладает своими преимуществами и областями применения. Для математиков и инженеров это означает выбор наиболее эффективного инструмента в зависимости от конкретной задачи, будь то построение, расчет или моделирование.

Векторное уравнение прямой

Один из наиболее интуитивно понятных и универсальных способов задания прямой — это ее векторное уравнение. Представьте себе прямую как траекторию движения точки в пространстве, которая начинается из фиксированной позиции и движется в определенном направлении.

Пусть в пространстве задана некоторая фиксированная точка M₀ с радиус-вектором r₀ = {x₀, y₀, z₀}. Также задан ненулевой вектор a = {a_x, a_y, a_z}, который определяет направление прямой. Этот вектор называется направляющим вектором прямой. Тогда любая произвольная точка M(x, y, z) на этой прямой будет иметь радиус-вектор r, который можно представить как сумму радиус-вектора начальной точки M₀ и некоторого вектора, коллинеарного направляющему вектору a.

Таким образом, векторное уравнение прямой имеет вид:

r = r0 + t · a

Здесь t — скалярный параметр, который может принимать любые действительные значения. При изменении t точка M перемещается вдоль прямой. Если t = 0, то r = r₀, что соответствует точке M₀. Если t > 0, точка M удаляется от M₀ в направлении вектора a. Если t < 0, точка M удаляется от M₀ в противоположном направлении.

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой являются прямым следствием векторного уравнения и представляют собой разложение его по координатам. Если радиус-вектор произвольной точки M имеет координаты {x, y, z}, радиус-вектор фиксированной точки M₀ — {x₀, y₀, z₀}, а направляющий вектор a — {a_x, a_y, a_z}, то векторное уравнение можно записать в координатной форме:

{x, y, z} = {x₀, y₀, z₀} + t · {a_x, a_y, a_z}

Что приводит к системе из трех скалярных уравнений, известных как параметрические уравнения прямой:

x = x0 + ax · t
y = y0 + ay · t
z = z0 + az · t

Параметр t здесь, как и в векторном уравнении, принимает любые действительные значения. Его можно интерпретировать не только как координату точки на прямой, но и как время, если прямая описывает прямолинейное равномерное движение материальной точки. Тогда (x₀, y₀, z₀) будут начальными координатами, а (a_x, a_y, a_z) — составляющими вектора скорости.

Канонические уравнения прямой

Канонические уравнения прямой являются еще одной координатной формой представления прямой, особенно удобной для аналитических преобразований и для определения ее положения относительно других объектов. Эти уравнения получаются из параметрических путем исключения параметра t.

Если ни одна из компонент направляющего вектора a (a_x, a_y, a_z) не равна нулю, мы можем выразить t из каждого параметрического уравнения:

t = (x - x0) / ax
t = (y - y0) / ay
t = (z - z0) / az

Приравнивая эти выражения, получаем канонические уравнения прямой:

(x - x0) / ax = (y - y0) / ay = (z - z0) / az

Этот вид уравнений наглядно показывает пропорциональность отклонений текущих координат от координат опорной точки к компонентам направляющего вектора.
Особый случай возникает, когда одна или несколько компонент направляющего вектора равны нулю. Например, если a_x = 0, это означает, что прямая параллельна плоскости YZ. В этом случае соответствующий знаменатель в каноническом уравнении становится нулем, что формально недопустимо. Однако, это условие интерпретируется как:

(x — x₀) = 0 (или x = x₀), а другие части уравнения остаются без изменения:
(y — y₀) / a_y = (z — z₀) / a_z

Таким образом, если a_x = 0, прямая лежит в плоскости x = x₀ и параллельна координатной плоскости YZ. Аналогичные модификации применяются, если a_y = 0 или a_z = 0, или если две компоненты равны нулю (в этом случае прямая параллельна одной из осей координат).

Общие уравнения прямой

В трехмерном пространстве прямая может быть также задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей. Каждая плоскость в пространстве описывается линейным уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0.

Если у нас есть две непараллельные плоскости с уравнениями:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Тогда прямая, являющаяся их пересечением, описывается системой этих двух уравнений:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Важно, что нормальные векторы этих двух плоскостей (N₁ = {A₁, B₁, C₁} и N₂ = {A₂, B₂, C₂}) не должны быть коллинеарными, иначе плоскости будут параллельны или совпадать, и не образуют однозначно определенную прямую. Направляющий вектор прямой, заданной общими уравнениями, может быть найден как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей: a = [N₁, N₂].

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Еще один практический способ задания прямой — это определение ее двумя различными точками, через которые она проходит. Пусть прямая проходит через точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂).

В этом случае в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор, соединяющий эти две точки: a = M₁M₂ = {x₂ — x₁, y₂ — y₁, z₂ — z₁}. В качестве фиксированной точки M₀ можно выбрать любую из двух заданных точек, например, M₁.

Тогда, подставив эти значения в канонические уравнения прямой, получим:

(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)

Эти уравнения действительны при условии, что x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂, z₁ ≠ z₂. Если какая-либо из разностей координат равна нулю, это означает, что прямая параллельна соответствующей координатной плоскости, и уравнения модифицируются аналогично случаям с нулевыми компонентами направляющего вектора в канонических уравнениях. Например, если x₁ = x₂, то прямая параллельна плоскости YZ, и одно из условий будет x = x₁.

Каждый из этих способов задания прямой в E³ имеет свои аналитические и вычислительные особенности, что делает их незаменимыми инструментами в арсенале математиков, инженеров и ученых.

Взаимное расположение прямых и плоскостей, метрические характеристики

Освоив аналитические способы задания прямых, следующим шагом в понимании их геометрии является изучение взаимного расположения прямых между собой, а также прямых относительно плоскостей, что не только позволяет классифицировать их взаимодействия, но и открывает путь к решению метрических задач — вычислению расстояний и углов, являющихся краеугольным камнем практических приложений геометрии. Разве не удивительно, как несколько векторов могут описать целую панораму пространственных отношений?

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

В трехмерном евклидовом пространстве две прямые могут располагаться друг относительно друга четырьмя основными способами: пересекаться, быть параллельными, совпадать или скрещиваться. Рассмотрим каждый из них более детально.

Для анализа взаимного расположения двух прямых L₁ и L₂ нам потребуются их направляющие векторы s₁ = {l₁, m₁, n₁} и s₂ = {l₂, m₂, n₂}, а также координаты точек M₁(x₁, y₁, z₁) на L₁ и M₂(x₂, y₂, z₂) на L₂. Вектор, соединяющий эти точки, обозначим M₁M₂ = {x₂ — x₁, y₂ — y₁, z₂ — z₁}.

1. Пересекающиеся прямые:

   Эти прямые имеют ровно одну общую точку. Они лежат в одной плоскости.

   • Условие: Их направляющие векторы s₁ и s₂ не коллинеарны (то есть [s₁, s₂] ≠ 0), и смешанное произведение векторов s₁, s₂ и M₁M₂ равно нулю. Геометрически это означает, что все три вектора компланарны:

   (M1M2 ⋅ [s1, s2]) = 0

2. Параллельные прямые (не совпадающие):

   Эти прямые не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.

   • Условие: Их направляющие векторы s₁ и s₂ коллинеарны (то есть [s₁, s₂] = 0), но вектор M₁M₂ не коллинеарен s₁ (или s₂).
   • Важное свойство: Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной. Также, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу (свойство транзитивности).
3. Совпадающие прямые:

   Это частный случай параллельных прямых, когда они имеют бесконечно много общих точек, поскольку являются одной и той же прямой.

   • Условие: Направляющие векторы s₁ и s₂ коллинеарны ([s₁, s₂] = 0), и вектор M₁M₂ также коллинеарен s₁ (то есть [M₁M₂, s₁] = 0).
4. Скрещивающиеся прямые:

   Эти прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Это уникальное явление для трехмерного пространства.

   • Условие: Их направляющие векторы s₁ и s₂ не коллинеарны ([s₁, s₂] ≠ 0), и смешанное произведение векторов s₁, s₂ и M₁M₂ не равно нулю:

   (M1M2 ⋅ [s1, s2]) ≠ 0

   • Через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей, каждая из которых содержит одну из прямых.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая в пространстве может быть расположена относительно плоскости тремя способами: пересекать ее, быть параллельной или лежать в ней.

Пусть прямая L задана точкой M₀(x₀, y₀, z₀) и направляющим вектором s = {l, m, n}. Плоскость P задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 с нормальным вектором N = {A, B, C}.

1. Прямая пересекает плоскость:

   Прямая имеет ровно одну общую точку с плоскостью.

   • Условие: Направляющий вектор прямой s не перпендикулярен нормальному вектору плоскости N. Это означает, что их скалярное произведение не равно нулю:

   s ⋅ N = Al + Bm + Cn ≠ 0

2. Прямая параллельна плоскости:

   Прямая не имеет общих точек с плоскостью.

   • Условие: Направляющий вектор прямой s перпендикулярен нормальному вектору плоскости N (их скалярное произведение равно нулю: s ⋅ N = 0), но при этом точка M₀ на прямой не удовлетворяет уравнению плоскости:

   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0

3. Прямая лежит в плоскости:

   Все точки прямой принадлежат плоскости.

   • Условие: Направляющий вектор прямой s перпендикулярен нормальному вектору плоскости N (s ⋅ N = 0), и любая точка M₀ на прямой удовлетворяет уравнению плоскости:

   Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

Метрические характеристики

Метрические характеристики позволяют количественно оценить взаимное расположение геометрических объектов, вычисляя расстояния и углы.

1. Угол между двумя прямыми (φ):

   Определяется как наименьший угол между их направляющими векторами s₁ = {l₁, m₁, n₁} и s₂ = {l₂, m₂, n₂}. Для скрещивающихся прямых этот угол понимается как угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся.

   cos φ = |s1 ⋅ s2| / (|s1| ⋅ |s2|) = |l1l2 + m1m2 + n1n2| / (√(l12 + m12 + n12) ⋅ √(l22 + m22 + n22))

   Модуль в числителе гарантирует, что угол будет острым (от 0 до π/2).

2. Угол между прямой и плоскостью (φ):

   Определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если s = {l, m, n} — направляющий вектор прямой, а N = {A, B, C} — нормальный вектор плоскости, то синус угла вычисляется по формуле:

   sin φ = |s ⋅ N| / (|s| ⋅ |N|) = |Al + Bm + Cn| / (√(A2 + B2 + C2) ⋅ √(l2 + m2 + n2))

   Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен 90°, и sin φ = 1. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол равен 0°, и sin φ = 0.

3. Расстояние от точки M₁(x₁, y₁, z₁) до прямой L:

   Прямая L проходит через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеет направляющий вектор s = {l, m, n}. Расстояние d равно длине перпендикуляра, опущенного из M₁ на L.

   d = |[M0M1, s]| / |s|

   Где M₀M₁ — вектор, соединяющий M₀ и M₁. Это выражение является отношением площади параллелограмма, построенного на векторах M₀M₁ и s, к длине основания |s|.

4. Расстояние от точки M(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0:

   d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A2 + B2 + C2)

   Это расстояние всегда неотрицательно, что обеспечивается модулем в числителе.

5. Расстояние между параллельными прямыми:

   Определяется как расстояние от произвольной точки одной прямой до другой прямой. Это сводится к задаче о расстоянии от точки до прямой, описанной выше.

6. Расстояние между скрещивающимися прямыми:

   Это расстояние является длиной их общего перпендикуляра. Оно также равно расстоянию от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

   Пусть прямые заданы векторными уравнениями:

   r = r1 + t ⋅ s1
r = r2 + τ ⋅ s2

   Где r₁ и r₂ — радиус-векторы точек на прямых, s₁ и s₂ — их направляющие векторы.

   Расстояние d вычисляется с использованием смешанного произведения векторов:

   d = |(r2 - r1) ⋅ [s1, s2]| / |[s1, s2]|

   Здесь (r₂ — r₁) ⋅ [s₁, s₂] представляет собой смешанное произведение векторов (r₂ — r₁), s₁ и s₂, которое по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Деление на |[s₁, s₂]| (площадь основания параллелепипеда) дает высоту этого параллелепипеда, то есть искомое расстояние.

Понимание этих метрических характеристик и условий взаимного расположения является фундаментом для решения широкого круга задач в геометрии, физике, инженерии и компьютерной графике.

Линейчатые поверхности: определение, свойства и классификация

В мире трехмерной геометрии помимо простейших форм, таких как плоскости и прямые, существуют поверхности, обладающие удивительными и полезными свойствами. К таким относятся линейчатые поверхности — класс поверхностей, полностью состоящих из прямых линий. Их изучение открывает мост между аналитической и дифференциальной геометрией, предлагая уникальные возможности для моделирования в архитектуре, инженерии и компьютерной графике.

Определение и основные свойства линейчатых поверхностей

Линейчатая поверхность (от англ. «ruled surface») — это поверхность, которая может быть образована непрерывным движением прямой линии, называемой образующей, в пространстве по определенному закону. Каждая такая прямая целиком лежит на поверхности. Через любую точку линейчатой поверхности можно провести по крайней мере одну прямую, которая также целиком принадлежит этой поверхности.

Радиус-вектор линейчатой поверхности r(u, v) может быть задан в параметрической форме как:

r(u, v) = p(u) + v ⋅ m(u)

Где p(u) — радиус-вектор некоторой кривой, называемой направляющей кривой, по которой скользит точка, из которой исходит образующая. Вектор m(u) — это единичный направляющий вектор образующей, проходящей через точку p(u). Параметр u изменяется вдоль направляющей, а параметр v — вдоль образующей, отмеряя расстояние от точки p(u) до текущей точки на образующей.

Основные свойства линейчатых поверхностей:

1. Прямолинейные образующие: Главная характеристика — через каждую точку линейчатой поверхности проходит хотя бы одна прямая, целиком лежащая на этой поверхности. Эти прямые образуют непрерывный каркас поверхности.
2. Гауссова кривизна: Одной из ключевых дифференциально-геометрических характеристик поверхности является ее Гауссова кривизна K. Гауссова кривизна K определяется как произведение главных кривизн κ₁ и κ₂ поверхности в данной точке (K = κ₁ ⋅ κ₂). Для всех линейчатых поверхностей справедливо неравенство K ≤ 0. Это означает, что не существует линейчатой поверхности с положительной Гауссовой кривизной (например, сферы или эллипсоида).
   • Детализация:
     • Для развертывающихся линейчатых поверхностей (о которых будет сказано ниже), по крайней мере одна из главных кривизн в любой точке равна нулю (κ₁ = 0 или κ₂ = 0). Это приводит к тому, что их Гауссова кривизна всегда равна нулю (K = 0). Такие поверхности локально изометричны плоскости, то есть могут быть развернуты на плоскость без деформаций.
     • Для неразвертывающихся (косых) линейчатых поверхностей обе главные кривизны отличны от нуля, и имеют разные знаки, что приводит к отрицательной Гауссовой кривизне (K < 0). Такие поверхности обладают седловидной формой в окрестности каждой точки.
3. Определение направляющими: Линейчатая поверхность может быть однозначно определена различными способами. Классически, она может быть задана тремя ее направляющими линиями, которые не лежат в одной плоскости. Однако, это не единственные условия: поверхность также может быть однозначно определена двумя направляющими кривыми и плоскостью параллелизма (для некоторых типов, например, цилиндроидов). Для поверхностей с одной направляющей (например, конических, цилиндрических) требуются два дополнительных условия, такие как направление образующей или ее прохождение через фиксированную точку.
4. Аналитическое задание: Как и любые другие поверхности, линейчатые поверхности могут быть заданы общим уравнением F(x, y, z) = 0, устанавливающим зависимость между координатами точек, принадлежащих этой поверхности.

Классификация линейчатых поверхностей

Линейчатые поверхности традиционно разделяются на два обширных класса в зависимости от их способности «разворачиваться» на плоскость без искажений.

Развертывающиеся линейчатые поверхности (торсы)

Эти поверхности характеризуются тем, что они могут быть развернуты на плоскость без складок и разрывов (то есть, без изменения своей внутренней геометрии). Их Гауссова кривизна во всех точках равна нулю (K = 0). Две бесконечно близкие образующие на такой поверхности либо пересекаются, либо параллельны.

• Торсы (поверхности с ребром возврата): Это наиболее общий вид развертывающихся поверхностей. Они обладают так называемым «ребром возврата» — пространственной кривой, к которой все образующие поверхности касаются. Представьте себе ленту, свернутую таким образом, что ее край образует кривую, и все линии на ленте касаются этой кривой.
• Цилиндрические поверхности: Это частный случай торсов, где ребро возврата удалено в бесконечность. Они образуются движением прямой (образующей), сохраняющей постоянное направление, вдоль некоторой направляющей кривой. Все образующие цилиндра параллельны друг другу. Примеры: круговой цилиндр, эллиптический цилиндр.
• Конические поверхности: Еще один частный случай торсов, где ребро возврата выродилось в одну точку, называемую вершиной конуса. Они образуются перемещением прямой, проходящей через фиксированную точку (вершину), вдоль некоторой направляющей кривой. Примеры: круговой конус, эллиптический конус.

Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности

Эти поверхности не могут быть развернуты на плоскость без деформаций (растяжений или сжатий). Их Гауссова кривизна строго отрицательна (K < 0). Две бесконечно близкие образующие на косой поверхности всегда скрещиваются.

• Цилиндроиды: Поверхности, образуемые движением прямой по двум направляющим кривым, при этом образующая остается параллельной некоторой фиксированной плоскости, называемой плоскостью параллелизма.
• Коноиды: Образуются перемещением прямолинейной образующей по двум направляющим (одна из которых кривая, другая — прямая), при этом образующая также остается параллельной некоторой плоскости параллелизма.
  • Прямой коноид: Если образующая перпендикулярна плоскости параллелизма.
  • Винтовой геликоид (или обычный геликоид): Если криволинейная направляющая является цилиндрической винтовой линией, а образующая перпендикулярна оси винтовой линии.
• Гиперболический параболоид (гипар): Это одна из наиболее известных и широко применяемых неразвертывающихся линейчатых поверхностей.
  • Детализация: Гиперболический параболоид представляет собой незамкнутую нецентральную поверхность второго порядка. Его уникальность заключается в том, что через каждую его точку проходят две и только две прямолинейные образующие, которые целиком лежат на поверхности. Это свойство делает его исключительно привлекательным для строительства, так как позволяет создавать криволинейные формы из прямолинейных элементов. Он может быть образован движением параболы с ветвями вниз, вершина которой скользит по другой, неподвижной параболе с ветвями вверх, при этом плоскости парабол в каждый момент времени перпендикулярны. Его называют «седловидной» поверхностью из-за характерной формы.
• Косая плоскость: Это обобщенное название для поверхностей, образованных движением прямолинейной образующей по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма. (Частный случай цилиндроида, где направляющие — прямые).
• Линейчатый геликоид: Это примечательная поверхность в дифференциальной геометрии, поскольку она является единственной линейчатой минимальной поверхностью.
  • Детализация: Минимальная поверхность — это поверхность, средняя кривизна которой равна нулю во всех точках. Средняя кривизна H определяется как полусумма главных кривизн H = (κ₁ + κ₂) / 2. Теорема Каталана доказывает, что винтовой геликоид является единственной линейчатой поверхностью, обладающей этим свойством. Это придает ему особую значимость в физике (например, для описания поверхностей пленки мыльного пузыря, которые стремятся к минимизации площади при заданных границах) и в математическом анализе.

Понимание этих определений и классификаций имеет фундаментальное значение не только для теоретической геометрии, но и для широкого спектра инженерных и дизайнерских приложений.

Конгруэнции прямых в E³: дифференциально-геометрический подход

Расширяя наше понимание геометрии прямых, мы переходим от изучения отдельных прямых и поверхностей, составленных из прямых, к рассмотрению целых семейств прямых. Конгруэнции прямых представляют собой один из наиболее элегантных и сложных объектов исследования в дифференциальной геометрии, предлагая глубокое понимание структуры пространства и его метрических свойств.

Определение и задание конгруэнций прямых

В трехмерном евклидовом пространстве (E³) конгруэнция прямых (или семейство прямых, или двухпараметрическое семейство прямых) — это множество прямых, которое может быть определено двумя независимыми параметрами. Если прямые зависят только от одного параметра, мы имеем дело с линейчатой поверхностью. Конгруэнция же охватывает более широкое понятие, где каждая прямая в пространстве может быть однозначно идентифицирована парой чисел, подобно координатам на плоскости.

Каждую прямую в конгруэнции можно задать, например, с помощью двух параметров (u, v). Эти параметры можно рассматривать как криволинейные координаты для луча в конгруэнции. Например, прямая может быть задана радиус-вектором некоторой точки на ней r(u, v) и ее направляющим вектором a(u, v). Таким образом, каждая прямая L(u, v) будет определяться как:

L(u, v): R(t) = r(u, v) + t ⋅ a(u, v)

где t — параметр вдоль самой прямой.

Дифференциальная окрестность и метрическая теория конгруэнций

Изучение конгруэнций прямых в E³, как и других сложных геометрических объектов, требует применения мощного аппарата дифференциальной геометрии. Основной подход заключается в исследовании свойств конгруэнции в дифференциальной окрестности ее произвольного луча (прямой), находящегося в общем положении.

Дифференциальная окрестность первого порядка луча конгруэнции включает в себя:

1. Совокупность точек, лежащих на самом рассматриваемом луче.
2. Совокупность прямых, чьи координаты отличаются от координат данного луча на бесконечно малые величины первого порядка (дифференциалы).

Это позволяет анализировать локальные свойства конгруэнции, такие как искривление, сходимость или расходимость прямых в окрестности данного луча.
Метрическая теория конгруэнций прямых в E³ имеет глубокие связи с метрической теорией линейчатых гиперповерхностей V³ в четырехмерном римановом пространстве R⁴. Это свидетельствует о тесной взаимосвязи между геометрией различных размерностей и сложностью математических конструкций, необходимых для их описания.

Одним из фундаментальных инструментов в этой теории является метод подвижного репера, разработанный выдающимся геометром С.П. Финиковым. Этот метод позволяет выбрать систему координат (репер), которая движется вдоль объекта исследования (в данном случае, вдоль луча конгруэнции), что значительно упрощает описание локальных свойств. Для голономного репера (то есть, репера, который можно получить путем непрерывного преобразования из фиксированного репера) метод подвижного репера сводится к обычному тензорному методу.

В рамках этой теории вводятся специальные тензоры, которые играют ключевую роль в описании метрических свойств конгруэнций. Эти тензоры аналогичны, например, тензору Санниа в теории конгруэнций и позволяют определить семейство прямых при заданной угловой метрике (то есть, как меняются углы между соседними прямыми). Изучение тензорных инвариантов позволяет характеризовать конгруэнции независимо от выбора системы координат.

Специальные конгруэнции

Среди бесконечного множества конгруэнций прямых выделяют особые классы, обладающие уникальными геометрическими свойствами.

1. Нормальные конгруэнции:

   Это конгруэнции, в которых каждая прямая является ортогональной к некоторой поверхности (или к целому семейству поверхностей). Иными словами, прямые нормальной конгруэнции представляют собой нормали к некоторой поверхности. Например, пучок прямых, исходящих из одной точки, является нормальной конгруэнцией, так как все эти прямые перпендикулярны к любой сфере, центрированной в этой точке. Нормальные конгруэнции играют важную роль в оптике, механике сплошных сред и теории поля.

2. Изотропные конгруэнции:

   Этот класс конгруэнций связан с более абстрактными концепциями дифференциальной геометрии, часто возникающими в неевклидовых или псевдоевклидовых пространствах.

   • Детализация: В классической евклидовой геометрии понятие изотропного вектора обычно не применимо, поскольку все ненулевые векторы имеют положительную длину. Однако, в псевдоевклидовых пространствах (например, пространстве Минковского в теории относительности) изотропный вектор — это ненулевой вектор, имеющий нулевую «длину» относительно введенной метрики. Изотропные конгруэнции в этом контексте могут быть образованы изотропными прямыми, которые сами по себе представляют особый интерес. Например, в биаксиально-флаговом пространстве гиперболического типа изотропные прямые пересекают особую прямую абсолюта, формируя особый линейный специальный комплекс. Изучение таких конгруэнций требует глубокого погружения в тензорный анализ и геометрию неевклидовых пространств. Эти концепции имеют значение в теоретической физике, особенно в общей теории относительности, где изотропные направления соответствуют направлениям распространения света.

Изучение конгруэнций прямых, их дифференциальной окрестности и специальных классов представляет собой сложную, но чрезвычайно плодотворную область математики, имеющую далеко идущие последствия для понимания структуры пространства и различных физических явлений.

Прикладное значение геометрии прямых и линейчатых поверхностей

Геометрия прямых и линейчатых поверхностей, казалось бы, чисто академическая дисциплина, находит удивительно широкое и разнообразное применение в самых различных областях современной науки и техники. Ее фундаментальные принципы и элегантные конструкции лежат в основе многих технологий, от цифрового моделирования до возведения монументальных архитектурных сооружений. Понимаем ли мы в полной мере, насколько глубоко эти математические концепции пронизывают наш мир?

В компьютерной графике и 3D-моделировании

В эпоху цифровых технологий, где виртуальные миры и 3D-моделирование стали неотъемлемой частью нашей жизни, геометрия прямых играет первостепенную роль.

• Основа моделирования: Прямые линии и отрезки являются базовыми элементами для построения практически любых геометрических объектов. Из них формируются полигоны, полиэдры, каркасы зданий и скелеты персонажей в 3D-моделях. Понимание геометрии прямых необходимо для точного определения формы, положения и ориентации этих элементов в пространстве.
• Проективная геометрия и однородные координаты: В компьютерной графике часто используется проективная геометрия и система о��нородных координат. Это позволяет унифицировать операции, такие как аффинные преобразования (перенос, вращение, масштабирование) и перспективные проекции, превращая их в линейные преобразования матриц. Благодаря этому, исключаются особые случаи (например, параллельные прямые, которые в проективной геометрии пересекаются в «бесконечно удаленной» точке), упрощаются алгоритмы и избегаются операции деления в формулах, что критически важно для производительности и целочисленной арифметики.
• Алгоритмы пересечения: Одним из наиболее частых применений является вычисление пересечений прямых с другими геометрическими объектами (прямыми, плоскостями, кривыми поверхностями). Эти алгоритмы используются для:
  • Определения видимости: В процессе рендеринга (отрисовки изображения) необходимо определить, какие части объектов видны из заданной точки наблюдателя, а какие скрыты другими объектами. Это решается путем проверки пересечений лучей зрения (прямых) с поверхностями моделей.
  • Обнаружения столкновений: В симуляциях, видеоиграх и робототехнике алгоритмы пересечения прямых и объектов критически важны для определения, когда два объекта сталкиваются.
  • Построения сложных форм: Пересечения прямых и поверхностей используются для создания новых, более сложных геометрических форм, например, при вырезании отверстий или создании фасок.
• Линейчатые поверхности в 3D-моделировании: Линейчатые поверхности, такие как гиперболические параболоиды и геликоиды, активно применяются для создания сложных, но при этом «гладких» и «естественных» форм. Они позволяют моделировать переходы между разными частями объекта, создавать архитектурные элементы (например, винтовые лестницы), а также используются в промышленном дизайне.
• Визуализация данных: Компьютерная графика позволяет наглядно представлять сложные математические концепции и научные данные, делая их более доступными для изучения и анализа.

В архитектуре и дизайне

Архитектура, по своей сути, является воплощением геометрии в материале. Линейчатые поверхности предоставляют архитекторам уникальные возможности для создания эстетически выразительных и структурно эффективных форм.

• Конструктивная эстетика: Линейчатые поверхности, особенно гиперболические параболоиды и геликоиды, позволяют создавать криволинейные оболочки, используя при этом только прямолинейные элементы. Это придает сооружениям особую легкость, изящество и образную выразительность.
• Известные примеры гиперболоидных конструкций:
  • Шуховская башня на Шаболовке (Москва, 1922 год): Иконический пример использования гиперболоидной сетчатой конструкции, разработанной инженером Владимиром Шуховым. Эта радиобашня демонстрирует, как линейчатые поверхности могут обеспечить высокую прочность и устойчивость при минимальном расходе материала.
  • Водонапорная башня в Полибино (Липецкая область, 1896 год): Первая в мире гиперболоидная водонапорная башня, также построенная Шуховым, является свидетельством новаторства в использовании этих форм.
  • Международные примеры: Портовая башня Кобе в Японии и Кантонская телебашня в Гуанчжоу, Китай, также являются впечатляющими примерами применения гиперболоидных конструкций в современной архитектуре.
• Эффективность тонкостенных оболочек: Составные линейчатые оболочки, такие как гиперболические параболоиды, обладают не только архитектурно-художественными достоинствами, но и высокой технической эффективностью. Благодаря своей форме, они способны выдерживать значительные нагрузки при относительно малой толщине и весе.
  • Детализация: Тонкостенные оболочки отличаются тем, что практически весь материал покрытия задействован в работе конструкции, обеспечивая высокую несущую способность и жесткость. Это делает их экономичными и позволяет перекрывать значительные пролеты без промежуточных опор, что важно для больших общественных зданий, выставочных комплексов и стадионов.
• Применение в элементах зданий: Линейчатые поверхности могут формировать крыши (например, в приходской школе Саграда Фамилиа Антонио Гауди, где использовались гиперболические параболоиды), стены, перекрытия и другие конструктивные элементы.
• Паркетирование: Гиперболические параболоиды легко паркетируются (разбиваются на плоские фрагменты), что упрощает их изготовление из пластмасс, стекла или металла, что находит применение в каркасных оболочках зданий с большими пролетами.
• Аналитическая геометрия в проектировании: Аналитическая геометрия является математической основой для всех расчетов в архитектуре: от создания чертежей и планов до расчета объемов, площадей и оптимизации использования материалов.
• Современный дизайн: Теория поверхностей позволяет дизайнерам учитывать не только конструктивные, но и эстетические свойства материалов, такие как цветовые, пластические, рельефные и фактурные характеристики, создавая уникальные и функциональные объекты.

В механике, инженерии и геодезии

Аналитическая геометрия и геометрия прямых являются фундаментальными инструментами для решения задач в различных инженерных дисциплинах.

• Геодезия и картография: В геодезии пересечение прямых (например, визирных линий) используется для триангуляции — определения точных координат точек на местности, построения карт и планов.
• Машиностроение: Линейчатые поверхности применяются для изготовления разнообразных деталей:
  • Диффузоры: Вентиляционные системы и турбины используют поверхности, оптимизированные для потоков воздуха или жидкости.
  • Литые корпусные детали: Сложные формы корпусов, например, для двигателей или насосов.
  • Мостовые опоры: В гидротехнических сооружениях требуются формы, устойчивые к воздействию воды.
  • Шнеки, винтовые детали: В сельскохозяйственном машиностроении и в конвейерных системах используются винтовые поверхности (геликоиды).
• Кораблестроение и авиастроение: Оптимизация формы корпусов судов (носы ледоколов, корпуса глиссирующих лодок) и поверхностей летательных аппаратов (крылья, фюзеляжи) часто включает в себя использование линейчатых поверхностей для достижения лучших аэро- и гидродинамических характеристик.
• Геликоиды в инженерии: Как единственные минимальные линейчатые поверхности, геликоиды обладают особыми свойствами, которые делают их ценными в приложениях, где требуется минимизация площади поверхности при определенных граничных условиях (например, в проектировании лопастей, пружин, винтов).

В физике

Дифференциальная геометрия, которая изучает гладкие многообразия и их структуры, имеет глубокие и фундаментальные приложения в физике.

• Общая теория относительности: В общей теории относительности Эйнштейна пространство-время описывается как четырехмерное псевдориманово многообразие, где гравитация проявляется как искривление этого многообразия. Здесь дифференциальная геометрия является основным математическим языком для описания искривления пространства-времени, траекторий частиц (геодезических линий, которые являются «прямыми» в искривленном пространстве) и распространения света.
• Моделирование полей: Пересечение прямых линий может возникать при моделировании движения тел в пространстве под действием сил или при изучении взаимодействия линий электрического и магнитного полей.
• Изотропные конгруэнции: В рамках некоторых физических теорий, особенно связанных с релятивистской механикой, концепции изотропных конгруэнций и изотропных векторов (векторов с нулевой длиной в псевдоевклидовых пространствах) играют важную роль, например, при описании распространения света и гравитационных волн.

Таким образом, геометрия прямых и линейчатых поверхностей — это не просто абстрактная математика, а мощный инструментарий, который способствует развитию технологий и углублению нашего понимания мира вокруг нас.

Исторический очерк развития представлений о геометрии прямых в пространстве

Путь от эмпирических наблюдений до строгих аналитических и дифференциально-геометрических теорий, описывающих прямые в пространстве, охватывает тысячелетия человеческой мысли. Этот путь отмечен величайшими умами в истории науки, чьи открытия сформировали современное понимание геометрии.

Евклидова геометрия: истоки и аксиоматика

Геометрия как систематизированная наука зародилась из сугубо практических потребностей. В Древнем Египте, приблизительно в 2900 году до нашей эры, наводнения Нила вынуждали землемеров (гарпедонаптов) ежегодно восстанавливать границы полей, что требовало точных измерений и понимания форм. Из этих практических задач, таких как измерение земли и объемов, выросли первые геометрические представления.

Однако по-настоящему научные основы геометрии были заложены древними греками в период с 600 по 400 годы до нашей эры. Среди пионеров были такие мыслители, как Фалес Милетский, который, по преданию, первым доказал несколько геометрических теорем, и Пифагор, чья школа сделала значительный вклад в развитие теории чисел и геометрии.
Кульминацией античной геометрии стал монументальный труд Евклида «Начала» (III век до нашей эры). В этой работе Евклид систематизировал все накопленные к тому времени геометрические знания, построив их на строгой аксиоматической основе. Он сформулировал пять постулатов и пять общих понятий (аксиом), из которых логически вывел все теоремы. «Начала» стали первым капитальным трудом по математике и на протяжении двух тысячелетий служили единственным учебником геометрии.

Особое место в истории геометрии занимает «пятый постулат» Евклида, который в одной из формулировок гласит: «Если прямая, пересекающая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые, будучи продолжены неограниченно, встретятся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых.» Простота первых четырех постулатов и кажущаяся сложность пятого породили многовековые попытки доказать его как теорему из остальных аксиом. Эти попытки, в конечном итоге, привели к появлению неевклидовых геометрий в XIX веке (Лобачевского, Римана), что кардинально изменило представления о пространстве.
Евклидова геометрия описывает наш «обычный» трехмерный мир, где прямые линии являются кратчайшим расстоянием между двумя точками и обладают хорошо известными свойствами.

Возникновение аналитической геометрии

Несмотря на блестящие достижения древних греков в области синтетической геометрии, им не хватало мощного инструмента для связи геометрии с алгеброй. Идеи координатного метода и описания кривых с помощью уравнений были известны некоторым античным ученым, например Архимеду (описание спирали) и Аполлонию Пергскому (описание конических сечений), но их алгебраический аппарат был недостаточно развит.

Прорыв произошел гораздо позже. В XIV веке французский философ и математик Николай Орезмский был одним из первых в Европе, кто использовал координатное изображение для функций, предвосхищая идеи Декарта. В XVI веке Франсуа Виет разработал символический язык для записи уравнений, что положило начало системной алгебре и сделало возможным ее применение в геометрии.

Однако истинными основоположниками аналитической геометрии, которая навсегда связала геометрию с алгеброй и математическим анализом, считаются два великих французских математика XVII века:

• Рене Декарт (1596-1650): В своем знаменитом труде «Геометрия», опубликованном в 1637 году как приложение к «Рассуждению о методе», Декарт представил координатный метод (декартовы координаты). Этот метод позволил переводить геометрические задачи на алгебраический язык, решая их алгебраическими методами, а затем интерпретируя результат обратно в геометрическом смысле. Декарт также ввел современную алгебраическую символику (использование x, y, z для переменных, a, b, c для коэффициентов, современное обозначение степеней), что значительно упростило математические записи. Первоначально его работы по аналитической геометрии в основном касались плоскости, но его революционный метод оказал огромное влияние на все дальнейшее развитие математики.
• Пьер де Ферма (1607-1665): Независимо от Декарта, Ферма также внес значительный вклад в создание аналитической геометрии. В своей работе «Введение в изучение плоских и телесных мест» (около 1637 года), опубликованной посмертно, он описал уравнения различных кривых второго порядка. Вклад Ферма также распространяется на теорию чисел, математический анализ и теорию вероятностей, демонстрируя его универсальный гений.

Аналитическая геометрия позволила описывать прямые и плоскости в пространстве с помощью уравнений, открыв путь к систематическому изучению их свойств и взаимного расположения.

Возникновение и развитие дифференциальной геометрии

Если аналитическая геометрия рассматривает фигуры «в целом», то дифференциальная геометрия сосредоточена на локальных свойствах кривых, поверхностей и их семейств, используя методы математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления). Она исследует свойства, присущие сколь угодно малой части геометрического образа.

Дифференциальная геометрия начала формироваться в XVIII веке в тесной связи с развитием математического анализа:

• Леонард Эйлер (1707-1783): Один из величайших математиков всех времен, Эйлер внес значительный вклад в изучение кривизны поверхностей. Он ввел понятие изометричных поверхностей (которые могут быть согнуты без растяжения или сжатия) и рассмотрел внутреннюю геометрию поверхности, заложив основы для дальнейших исследований.
• Гаспар Монж (1746-1818): Известный французский математик, основатель начертательной геометрии, также исследовал асимптотические кривые и линии кривизны на поверхностях, что стало важным шагом в понимании их локальной структуры.
• Карл Фридрих Гаусс (1777-1855): Часто называемый «королем математиков», Гаусс внес решающий вклад в теорию поверхностей. В своих работах 1825 и 1827 годов он:
  • Ввел понятия первой и второй квадратичных форм поверхности, которые описывают ее внутреннюю (метрическую) и внешнюю (кривизну) геометрию.
  • Доказал знаменитую Theorema Egregium («Замечательная теорема»), которая утверждала, что Гауссова кривизна поверхности является внутренним инвариантом, то есть зависит только от метрики поверхности и не изменяется при изгибаниях, не деформирующих ее внутренней геометрии. Это открытие стало одним из ключевых моментов, выделивших дифференциальную геометрию в самостоятельную область математики.
• Карл Михайлович Петерсон (1813-1890): Русский математик, который также внес значительный вклад в теорию поверхностей, выведя полную систему уравнений для квадратичных форм поверхности.

Впоследствии дифференциальная геометрия значительно расширилась, включив в себя изучение многомерных и неевклидовых пространств, а также свойств геометрических объектов, инвариантных относительно различных преобразований (аффинных, проективных). Она стала незаменимым инструментом в теоретической физике (например, в общей теории относительности для описания искривленного пространства-времени), а также в других областях науки и техники, где требуется глубокое понимание локальных свойств и структуры сложных геометрических объектов.

Заключение

Изучение геометрии прямых в трехмерном евклидовом пространстве, начатое с простейших аналитических методов их задания, позволило нам пройти путь к сложным концепциям линейчатых поверхностей и конгруэнций прямых, а также осознать их многогранное прикладное значение. Этот путь от абстракции к практическим решениям является ярким примером универсальности математики.

В ходе данного исследования были достигнуты следующие цели:

1. Систематизированы и раскрыты основные аналитические способы задания прямой в E³: векторное, параметрическое, каноническое, общее уравнения, а также уравнение прямой, проходящей через две точки. Каждый метод был детально описан с выводом формул и указанием на его интерпретацию.
2. Классифицировано взаимное расположение двух прямых и прямой с плоскостью, а также представлены строгие математические условия для каждого случая, опирающиеся на векторную алгебру и смешанное произведение.
3. Детально рассмотрены метрические характеристики, включая формулы для вычисления углов между прямыми, между прямой и плоскостью, и различных расстояний (от точки до прямой/плоскости, между параллельными и скрещивающимися прямыми), с особым акцентом на смешанное произведение для скрещивающихся прямых.
4. Дано исчерпывающее определение линейчатых поверхностей, подробно объяснены их ключевые свойства, в частности, Гауссова кривизна K≤0, а также проведена глубокая классификация на развертывающиеся (торсы, цилиндрические, конические) и неразвертывающиеся (цилиндроиды, коноиды, гиперболический параболоид, линейчатый геликоид как единственная минимальная линейчатая поверхность) с приведением их уникальных характеристик.
5. Введены концепции конгруэнций прямых в E³ как ��вухпараметрических семейств, детально описан дифференциально-геометрический подход к их изучению (метод подвижного репера Финикова, тензорный аппарат) и охарактеризованы специальные конгруэнции, такие как нормальные и изотропные.
6. Проанализировано широкое прикладное значение геометрии прямых и линейчатых поверхностей в компьютерной графике (моделирование, алгоритмы пересечения, обнаружение столкновений), архитектуре (конструктивно-эстетические решения, Шуховская башня, экономичность гиперболических параболоидов), механике, инженерии и физике.
7. Представлен исторический очерк, прослеживающий эволюцию представлений о геометрии прямых от древних египтян и Евклида, через революцию аналитической геометрии Декарта и Ферма, до формирования дифференциальной геометрии благодаря вкладу Эйлера, Монжа и Гаусса.

Данная курсовая работа подтверждает фундаментальное значение геометрии прямых в математике и демонстрирует, как абстрактные математические конструкции находят свое воплощение в реальных инженерных решениях и технологиях. От простого отрезка на экране до величественных гиперболоидных башен, геометрия прямых продолжает быть источником вдохновения и мощным инструментом для понимания и преобразования окружающего мира.

Перспективы дальнейших исследований в этой области включают углубленное изучение конгруэнций прямых в неевклидовых пространствах, применение их теории в современных задачах компьютерного зрения и робототехники, а также разработку новых алгоритмов для моделирования и оптимизации линейчатых поверхностей в аддитивных технологиях и архитектурном проектировании с учетом постоянно растущих требований к энергоэффективности и устойчивости конструкций.

Список использованной литературы

1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М., 1968.
2. Атанасян Л. С. Аналитическая геометрия. Ч. 2. М., 1970.
3. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Ч. 1. М.: Просвещение, 1987.
4. Лопшиц А. М. Аналитическая геометрия. М.: Учпедгиз, 1948.
5. Мальцев А. М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
6. Математическая энциклопедия: В 5 т. М.: Советская энциклопедия, 1979. Т. 2.
7. Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1968.
8. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Госгехиздат, 1956.
9. Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехнздат, 1952.
10. Фиников С. П. Теория конгруэнций. М.: Госгехнздат, 1950.
11. Гейдельман Р. М. К проективной теории пар конгруэнции прямых // Изв. вузов. Матем., 1971. № 2. С. 42–52.
12. Дынников И. А. Классическая дифференциальная геометрия. 15. Угловой дефект. Теорема Гаусса-Бонне. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
13. Пенской А. В. Аналитическая геометрия. 28. Элементы проективной геометрии. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
14. Пенской А. В. Дифференциальная геометрия и топология. Лекция 1. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
15. Савватеев А. Геометрия и группы. Лекция 1.5. Проективная геометрия. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
16. Тюрин Н. А. Проективная геометрия для школьников. Семинар 1. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
17. From Archimedes to the Present Day: An Educational Film on the History of Geometry. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
18. Декарт Рене (Descartes René, Cartesius Renatus) (31.03.1596 — 11.02.1650) // Math.ru. URL: https://math.ru/history/people/Descartes (дата обращения: 28.10.2025).
19. Синтез алгебры и геометрии — Рене Декарт. URL: https://e-cis.info/news/566/102559/ (дата обращения: 28.10.2025).
20. Вклад Декарта в развитие математики как науки. URL: https://studfile.net/preview/17215167/page:10/ (дата обращения: 28.10.2025).
21. Декарт и его вклад в развитие геометрии. URL: https://www.work5.ru/news/dekart-i-ego-vklad-v-razvitie-geometrii (дата обращения: 28.10.2025).
22. Развитие аналитической геометрии: Реферат. Математика. 2009-01-12. URL: https://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=484210 (дата обращения: 28.10.2025).
23. История развития геометрии. URL: https://urok.1sept.ru/articles/581177 (дата обращения: 28.10.2025).
24. Пешевич Н. История развития дифференциальной геометрии // УДК 514.7(091). URL: https://www.twirpx.com/file/3268804/ (дата обращения: 28.10.2025).
25. Становление дифференциальной геометрии как учебного предмета в Московском университете во второй половине XVIII-XIX вв. // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/stanovlenie-differentsialnoy-geometrii-kak-uchebnogo-predmeta-v-moskovskom-universitete-vo-vtoroy-polovine-xviii-xix-vv (дата обращения: 28.10.2025).
26. Пьер де Ферма — великий ученый с Великой теоремой // Калькулятор онлайн. URL: https://calcs.ru/pyer-de-ferma-velikiy-uchenyy-s-velikoy-teoremoy (дата обращения: 28.10.2025).
27. Пространство. От геометрической теории Евклида к геометрии Лобачевского. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
28. Геометрия 10 класс. URL: https://interneturok.ru/lesson/10-klass/geometriya/glava-1-pryamye-i-ploskosti-v-prostranstve-parallelnoct-pryamoy-i-ploskosti-parallelnoct-plockoctey (дата обращения: 28.10.2025).
29. Параллельность прямых, прямой и плоскости // ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/geometriya/10-klass/pryamye-i-ploskosti-v-prostranstve-15334/parallel-nost-pryamykh-priamoi-i-ploskosti-15335 (дата обращения: 28.10.2025).
30. Параллельные прямые в пространстве. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
31. Взаимное расположение прямых в пространстве // MathUs.ru. URL: https://mathus.ru/math/vzaim_pryamye_prostranstvo.php (дата обращения: 28.10.2025).
32. Как найти угол между прямыми? // mathprofi.ru. URL: https://mathprofi.ru/ugol_mezhdu_pryamymi.html (дата обращения: 28.10.2025).
33. Угол между прямыми // Изучение математики онлайн. URL: https://math-prosto.ru/?page=pages/angle_between_lines.php (дата обращения: 28.10.2025).
34. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми в ЕГЭ по математике // ШКОЛКОВО. URL: https://shkolkovo.net/theory/1131 (дата обращения: 28.10.2025).
35. Расстояние от точки до прямой на плоскости // Изучение математики онлайн. URL: https://math-prosto.ru/?page=pages/dist_point_line.php (дата обращения: 28.10.2025).
36. Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения. URL: https://obrazovaka.ru/matematika/ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu-opredelenie.html (дата обращения: 28.10.2025).
37. Как найти угол между прямой и плоскостью, если известно уравнение прямой и уравнение плоскости? // ru.onlinemschool.com. URL: https://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/angle_line_plane/ (дата обращения: 28.10.2025).
38. Как найти угол между прямой и плоскостью: формула, пример задачи // MicroExcel.ru. URL: https://microexcel.ru/kak-najti-ugol-mezhdu-pryamoj-i-ploskostyu-formula-primer-zadachi (дата обращения: 28.10.2025).
39. Расстояние от точки до плоскости // Изучение математики онлайн. URL: https://math-prosto.ru/?page=pages/dist_point_plane.php (дата обращения: 28.10.2025).
40. Линейчатые поверхности // Челябинская государственная агроинженерная академия. URL: https://www.chelgaa.ru/education/kaf/vyssh_mat/metodichki/nagr_geom/glava_7/ (дата обращения: 28.10.2025).
41. Линейчатая поверхность. URL: https://bigenc.ru/mathematics/text/2146903 (дата обращения: 28.10.2025).
42. Линейчатые поверхности // Научная электронная библиотека Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания. URL: https://monographies.ru/ru/book/section?id=8353 (дата обращения: 28.10.2025).
43. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 1 // naukaru.ru. URL: https://www.naukaru.ru/ru/nauka/article/18576/view (дата обращения: 28.10.2025).
44. Дифференциальная геометрия линейчатых гиперповерхностей V3 в R // Math-Net.Ru. URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ivm&paperid=361&option_lang=rus (дата обращения: 28.10.2025).
45. Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности // БарГУ. URL: https://www.barsu.by/wp-content/uploads/2016/06/nachertatelnaya_geometriya_i_inzhenernaya_grafika_2016_3.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
46. Лекция № 9 Поверхности. Классификация. Нелинейчатые поверхности вращения. Сфера. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
47. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 1 // Elibrary. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=18576 (дата обращения: 28.10.2025).
48. Лекция 10 Торс, коническая и цилиндрическая поверхности. Линейчатые поверхности с одной направляющей. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
49. Лекция № 11. Гипар. Линейчатые поверхности с двумя направляющими. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
50. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 // Elibrary. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=18577 (дата обращения: 28.10.2025).
51. Линейчатые поверхности вращения. Конус и цилиндр. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
52. Конгруэнции нормалей // Научная библиотека. URL: https://www.studmed.ru/view/kongruencii-normaley_08d3a7b693e.html (дата обращения: 28.10.2025).
53. Теория конгруэнций. URL: https://studfile.net/preview/17215167/page:19/ (дата обращения: 28.10.2025).
54. Комплексы, содержащие нормальные конгруэнции прямых, в многомерных н // Mathnet.RU. URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ivm&paperid=361&option_lang=rus (дата обращения: 28.10.2025).
55. О конгруэнции прямых // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/o-kongruentsii-pryamyh (дата обращения: 28.10.2025).
56. К проективной теории пар конгруэнции прямых // Math-Net.Ru. URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ivm&paperid=361&option_lang=rus (дата обращения: 28.10.2025).
57. Теорема 5. Для конгруенции (4Р), справедливы. URL: https://www.twirpx.com/file/3268804/ (дата обращения: 28.10.2025).
58. Как линейчатые поверхности применяются в архитектуре? // dissercat.com. URL: https://www.dissercat.com/content/arhitekturnye-formy-na-osnove-lineichatykh-poverkhnostei (дата обращения: 28.10.2025).
59. Почему прямые являются важным инструментом в геометрии и компьютерной графике? // resh.susu.ru. URL: https://resh.susu.ru/article/pochemu-pryamye-yavlyayutsya-vazhnym-instrumentom-v-geometrii-i-kompyuternoj-grafike (дата обращения: 28.10.2025).
60. Как применяется теория поверхностей в архитектуре и дизайне? // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/kak-primenyaetsya-teoriya-poverhnostey-v-arhitekture-i-dizayne (дата обращения: 28.10.2025).
61. Классификация линейчатых поверхностей // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/klassifikatsiya-lineychatyh-poverhnostey (дата обращения: 28.10.2025).
62. Линейчатые поверхности // Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ). URL: https://www.ssau.ru/files/education/faculties/fm/kaf/m/uchebnye_materialy/linejchatye_poverhnosti.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
63. Линейчатые поверхности с одной направляющей — торсы // Начертательная геометрия. URL: https://nacherk.ru/linejchatye-poverhnosti-s-odnoj-napravlyayushhej-torsy/ (дата обращения: 28.10.2025).
64. В чем заключается практическая польза применения аналитической геометрии в проектировании? // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/v-chem-zaklyuchaetsya-prakticheskaya-polza-primeneniya-analiticheskoy-geometrii-v-proektirovanii (дата обращения: 28.10.2025).
65. Аналитическая геометрия. URL: https://study.urfu.ru/modules/analytic_geometry/ (дата обращения: 28.10.2025).
66. УДК: 72.04.01:514 МАТЕМАТИКА В АРХИТЕКТУРЕ. URL: https://www.nastuch.ru/wp-content/uploads/2016/03/matematika-v-arhitekture.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
67. Линейчатая поверхность. URL: https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/070/463.htm (дата обращения: 28.10.2025).
68. Классификация кривых линейчатых поверхностей. URL: https://www.twirpx.com/file/3268804/ (дата обращения: 28.10.2025).
69. Аналитическая геометрия модели проективного пространства ℝP3 в терминах координат Плюккера и геометрической алгебры. URL: https://www.twirpx.com/file/3268804/ (дата обращения: 28.10.2025).
70. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии // Воронежский государственный технический университет. URL: https://edu.vorstu.ru/wp-content/uploads/2020/02/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BC-%D0%BF%D0%BE-%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B5-%D0%B8-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
71. Как используется пересечение прямых в различных областях математики и инженерии? // Библиотека Нейро — Яндекс. URL: https://yandex.ru/q/question/kak_ispolzuetsia_peresechenie_priamykh_v_060714fc/?utm_referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F (дата обращения: 28.10.2025).
72. Как применяется геометрия в современных инженерных расчетах? // geeksforgeeks.org. URL: https://www.geeksforgeeks.org/how-is-geometry-applied-in-modern-engineering-calculations/ (дата обращения: 28.10.2025).
73. Линейчатая геометрия // Большая Советская Энциклопедия (БСЭ). URL: https://bse.slovaronline.com/13928-LINEJCHATAJA_GEOMETRIJA (дата обращения: 28.10.2025).
74. Поверхности, их особенности и применение // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/poverhnosti-ih-osobennosti-i-primenenie (дата обращения: 28.10.2025).
75. Геометрия компьютерной графики // pinega. URL: https://pinega.ru/geom_comp_graph/ (дата обращения: 28.10.2025).
76. Основные понятия геометрии 1. Прямая, луч, отрезок. Измерение отрезков. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
77. Математические методы компьютерной графики.pdf // Электронная библиотека БГУ. URL: https://elib.bsu.by/handle/123456789/229049 (дата обращения: 28.10.2025).
78. Задачи по аналитической геометрии: Практическое пособие // Кафедра математики. URL: https://www.math.spbu.ru/user/ag/files/zadachi_ag.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
79. Прямая в пространстве и ее уравнения. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
80. Аналитическая геометрия и линейная алгебра // СКФ Мтуси. URL: https://www.skf-mtuci.ru/wp-content/uploads/2021/09/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
81. Прямая и отрезок. Точка. Видеоурок // Геометрия 7 класс. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
82. Навигатор самостоятельной подготовки к ЕГЭ // ФИПИ. URL: https://fipi.ru/ege/navigatory-podgotovki/matematika (дата обращения: 28.10.2025).
83. Рабочая программа по физике 7-9 классы: методические материалы на Инфоурок. URL: https://infourok.ru/rabochaya-programma-po-fizike-klass-3079633.html (дата обращения: 28.10.2025).
84. Студенты ИИТ РТУ МИРЭА приняли участие в молодёжном ИТ-фестивале «Росатома» IT Core 2025 // РТУ МИРЭА. URL: https://www.mirea.ru/news/studenty-iit-rtu-mirea-prinyali-uchastie-v-molodyezhnom-it-festivale-rosatoma-it-core-2025/ (дата обращения: 28.10.2025).
85. Аналитическая геометрия. URL: https://vuzlit.com/456710/analiticheskaya_geometriya (дата обращения: 28.10.2025).
86. Дифференциальная геометрия. URL: https://www.twirpx.com/file/3268804/ (дата обращения: 28.10.2025).
87. Аналитическая геометрия // Издательская группа «Основа». URL: https://osnova.com.ua/journals/1/ (дата обращения: 28.10.2025).
88. Лекция 5. Аналитическая геометрия. Часть 1. Прямые на плоскости и в пространстве. URL: https://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ (дата обращения: 28.10.2025).
89. Из истории параллельности прямых на плоскости — ppt Online. URL: https://ppt-online.org/39668 (дата обращения: 28.10.2025).
90. Дифференциальная геометрия // Издательская группа «Основа». URL: https://osnova.com.ua/journals/2/ (дата обращения: 28.10.2025).