Имитационное Моделирование Систем Массового Обслуживания: От Строгих Математических Основ до Технологии Прикладной Оптимизации

Введение в Проблематику и Актуальность Исследования

В условиях усложнения экономических и производственных систем, а также возрастающей стохастичности процессов, классические методы исследования операций часто оказываются неэффективными. Системы массового обслуживания (СМО) – от банковских очередей и логистических хабов до IT-инфраструктуры и медицинских центров – по своей природе являются стохастическими: поступление заявок и время их обслуживания подчиняются случайным законам, поэтому они требуют специального подхода к анализу.

Актуальность данного исследования определяется критическим разрывом между возможностями точных аналитических методов Теории Массового Обслуживания (ТМО) и потребностью в моделировании реальных, нелинейных систем, содержащих сложную логику, приоритеты и немарковские распределения. Имитационное моделирование (ИМ) выступает в качестве универсального и мощного инструментария, позволяющего проводить вычислительные эксперименты с детальными математическими моделями, имитируя поведение реальных объектов во времени, поскольку только ИМ способно учесть тончайшие нюансы поведения системы, которые не поддаются формульному описанию.

Цель работы — провести глубокое теоретическое и прикладное исследование методологии имитационного моделирования СМО, детализировать математические основы стохастических процессов и представить современную технологию разработки дискретно-событийных моделей, включая сравнительный анализ программных средств в контексте актуальных вызовов.

Структура работы построена на последовательном переходе от строгих определений и классификации к математическому аппарату ИМ, технологическим этапам разработки, методам оптимизации KPI и, наконец, к обзору программных решений и прикладных кейсов.

Теоретические Основы СМО и Критика Аналитических Методов

Сущность и Ключевые Характеристики Систем Массового Обслуживания

Система массового обслуживания (СМО) — это абстрактная модель, предназначенная для выполнения определенного вида работ (обслуживания) по заявкам, поступающим в систему нерегулярно и в случайные моменты времени. Случайный характер входящего потока и случайная продолжительность обслуживания приводят к образованию очередей и неравномерной загрузке системы, что является предметом анализа. Понимание этих пяти ключевых характеристик является первым шагом к успешной формализации задачи моделирования:

1. Входящий поток требований (Заявок): Определяется законом распределения интервалов времени между последовательными поступлениями заявок.
2. Дисциплина постановки в очередь и выборки из неё: Правила, по которым заявки становятся в очередь и выбираются на обслуживание (например, FIFO, LIFO, SIRO).
3. Правило Обслуживания (Интенсивность): Определяется законом распределения времени, необходимого для обслуживания одной заявки.
4. Число Каналов Обслуживания (Серверов): Количество параллельных ресурсов, способных обрабатывать заявки.
5. Емкость Системы (Размер Очереди): Максимально допустимое число заявок, которые могут находиться в системе (включая ожидающих и обслуживаемых).

Классические модели СМО разделяются на два базовых типа:

• СМО с отказами: Заявка, заставшая все каналы занятыми, немедленно покидает систему и не обслуживается.
• СМО с ожиданием: Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет освобождения канала.

Детализированная Классификация СМО: Полная Нотация Кендалла A/B/n/N/L

Для унифицированного описания структуры СМО академическая литература использует нотацию Кендалла, которая, в полном виде, позволяет точно указать все ключевые стохастические и структурные характеристики системы.

Полная нотация Кендалла имеет вид A/B/n/N/L:

Символ	Описание Характеристики	Примеры Значений
A	Закон распределения интервалов между заявками (входящий поток).	M (Экспоненциальное, Марковское), G (Общее), E (Эрланга), D (Детерминированное).
B	Закон распределения времени обслуживания.	M (Экспоненциальное), G (Общее), E (Эрланга), D (Детерминированное).
n	Число каналов обслуживания (серверов).	1, 2, 5, n.
N	Максимальная ёмкость системы (в очереди + в обслуживании).	∞ (неограниченная очередь), 5, 10.
L	Дисциплина обслуживания очереди.	FIFO (First In, First Out), LIFO (Last In, First Out), SIRO (Service In Random Order).

Критическое замечание о распределениях: Аналитические методы ТМО, основанные на формулах Эрланга или Марковских цепях, применимы преимущественно для систем типа M/M/n (где A и B — экспоненциальное распределение). Экспоненциальное распределение обладает свойством «отсутствия последействия», что существенно упрощает математический аппарат. Однако в реальных системах, например, в логистике или производстве, время обслуживания часто имеет нормальное, равномерное или распределение Эрланга ($E_k$), что делает аналитическое решение невозможным. Следовательно, попытка использования формул ТМО в неэкспоненциальных системах неизбежно приведет к значительным ошибкам в оценке Ключевых Показателей Эффективности.

Ограничения Аналитических Методов ТМО и Необходимость Имитации

Аналитические методы исследования СМО — это мощный инструмент, позволяющий получить точные значения характеристик системы в виде функций от ее параметров. Тем не менее, их область применимости крайне узка.

Основные ограничения аналитических методов:

1. Жесткие допущения о распределениях: Аналитические решения требуют, чтобы входящий поток и время обслуживания строго соответствовали экспоненциальному (Марковскому) распределению (M). В реальных бизнес-процессах такое совпадение — редкость.
2. Простота структуры: Аналитические модели не могут эффективно учитывать сложную внутреннюю логику: приоритеты обслуживания, прерывание обслуживания, разветвление потоков, сложные взаимодействия ресурсов, наличие нескольких фаз обслуживания или ограниченное время пребывания заявки в очереди.
3. Нестационарность: Большинство аналитических формул применимы только для стационарного режима работы (когда характеристики системы не меняются со временем). Моделирование переходных процессов или пиковых нагрузок требует ИМ.

Причина отказа от аналитических методов для сложных систем кроется в том, что для них либо отсутствует законченное математическое описание, либо полученная система уравнений (например, для Марковских цепей с большим числом состояний) не имеет эффективного аналитического решения. Имитационное моделирование (ИМ), напротив, является численным методом, который позволяет проводить вычислительные эксперименты на компьютере, имитируя динамику системы во времени с учетом любой степени сложности и произвольных законов распределения. Возможно ли вообще адекватно оценить риск перегрузки IT-инфраструктуры в пиковые часы без использования численного подхода?

Математический Аппарат Имитационного Моделирования Стохастических Процессов

Для обеспечения достоверности имитационной модели необходимо строго следовать вероятностным и алгоритмическим основам, которые позволяют воспроизводить случайное поведение реальных систем.

Марковские Случайные Процессы как База для Моделирования СМО

Основой для моделирования многих СМО служат Марковские случайные процессы. Суть Марковского свойства заключается в том, что будущие вероятностные характеристики системы зависят только от ее текущего состояния и не зависят от того, как система пришла в это состояние (свойство «отсутствия последействия»).

Классическим примером является простейший (стационарный пуассоновский) поток заявок. Этот поток характеризуется тремя свойствами:

1. Стационарность: Интенсивность поступления заявок ($λ$ — среднее число событий на единицу времени) постоянна.
2. Ординарность: Вероятность поступления двух или более заявок за малый интервал времени стремится к нулю.
3. Отсутствие последействия: Интервалы между поступлением заявок являются независимыми случайными величинами, подчиняющимися экспоненциальному закону распределения.

Пуассоновский поток является основой для большинства моделей типа M/M/n, поскольку он позволяет использовать Марковские цепи для аналитического расчета вероятностей состояний системы. В имитационном моделировании это свойство используется для генерации времени между событиями (например, прибытиями), подчиняющегося экспоненциальному закону.

Алгоритмы Генерации Псевдослучайных Величин

Моделирование стохастических систем требует подачи на вход модели случайных величин с заданными законами распределения. При этом основой для моделирования абсолютно всех случайных величин (экспоненциальных, нормальных, равномерных) являются псевдослучайные числа (ПСЧ) с равномерным законом распределения на интервале [0, 1].

ПСЧ генерируются с помощью детерминированных, рекуррентных математических алгоритмов, которые, несмотря на свою предсказуемость, проходят статистические тесты на случайность и равномерность.

Наиболее распространенным и простым в реализации является мультипликативно-конгруэнтный метод:

Xi+1 = (a ⋅ Xi) mod m

Где:

• X_i — целое число, полученное на предыдущем шаге;
• X_i+1 — следующее целое число в последовательности;
• a — множитель;
• m — модуль (определяет период последовательности);
• X₀ — начальное значение, или «зерно».

Чтобы получить псевдослучайное число U_i+1 в диапазоне [0, 1], необходимо нормализовать X_i+1:

Ui+1 = Xi+1 / m

Таким образом, генерация ПСЧ является фундаментальным шагом, за которым следует преобразование этих равномерно распределенных чисел в случайные величины с требуемыми законами распределения (например, с помощью метода обратных функций) для имитации интервалов прибытия или времени обслуживания.

Условие Стационарности СМО с Ожиданием

Для СМО с ожиданием критически важно соблюдение условия стационарности. Если система не стационарна, очередь будет расти неограниченно, а модель не достигнет устойчивого состояния, что сделает результаты моделирования бессмысленными.

Условие стационарности определяется коэффициентом загрузки системы ρ (трафиком).

Пусть:

• λ — интенсивность входящего потока заявок (среднее число заявок в единицу времени).
• μ — интенсивность обслуживания одним каналом (среднее число обслуженных заявок одним каналом в единицу времени).
• n — число каналов обслуживания.

Коэффициент загрузки (трафик) ρ для многоканальной СМО с ожиданием (например, M/M/n) определяется как отношение интенсивности входящего потока к суммарной пропускной способности всех каналов:

ρ = λ / (n ⋅ μ)

Условие стационарности:

Система будет стационарной и очередь не будет расти неограниченно только при условии, что: ρ < 1.

Если ρ ≥ 1, это означает, что система не успевает обслуживать поступающий поток, и длина очереди будет стремиться к бесконечности. Имитационное моделирование позволяет точно определить, как ведет себя система вблизи критической точки ρ = 1 и выше, чего аналитические методы не могут сделать корректно. Более того, при ρ ≈ 1 даже небольшие флуктуации могут привести к резкому, нелинейному росту задержек.

Технология Разработки Дискретно-Событийной Имитационной Модели

Имитационная модель (ИМ) представляет собой алгоритм, реализующий временную диаграмму функционирования системы. В отличие от непрерывного моделирования, дискретно-событийный подход (Discrete Event Modeling) фокусируется на ключевых моментах — событиях, которые вызывают мгновенные, дискретные изменения состояния системы.

Основные Принципы Дискретно-Событийного Моделирования

В дискретно-событийном моделировании динамика системы описывается как последовательность операций, применяемых к «агентам» (транзактам, заявкам, клиентам).

Ключевые элементы дискретно-событийного подхода:

1. Транзакты (Заявки/Агенты): Элементы, которые перемещаются по системе и требуют обслуживания (например, клиент, товар, документ).
2. Ресурсы (Каналы): Элементы, которые обслуживают транзакты (например, кассир, станок, сервер).
3. Очередь (Хранилище): Место, где транзакты ожидают освобождения ресурса.
4. События: Моменты времени, в которые состояние системы меняется (например, прибытие заявки, начало обслуживания, окончание обслуживания, выход из системы).

Алгоритм имитации основан на календаре событий. Модель переходит от одного события к другому, пропуская интервалы времени между ними, что обеспечивает высокую вычислительную эффективность. Типичные операции включают:

• Generate (Прибытие): Создание новой заявки.
• Queue (Очередь): Постановка заявки в очередь.
• Seize (Захват): Захват ресурса для обслуживания.
• Delay (Задержка/Обслуживание): Имитация процесса обслуживания.
• Release (Освобождение): Освобождение ресурса.

Итерационный Процесс Построения Модели

Разработка имитационной модели — это итеративный процесс, требующий последовательного выполнения строгих методологических шагов.

Этап	Содержание Работы	Цель
1. Формализация и Концептуализация	Определение границ системы, ключевых сущностей (заявок, ресурсов), сбор данных о законах распределения (прибытие, обслуживание) и логике работы (дисциплина очереди, приоритеты).	Создание адекватного концептуального описания системы.
2. Построение Модели (Кодирование)	Перевод концептуальной схемы в алгоритм с помощью специализированного ПО (AnyLogic, GPSS). Включение алгоритмов генерации случайных величин и логики событий.	Создание рабочего программного кода (алгоритма) модели.
3. Верификация	Проверка корректности работы самого алгоритма модели. Убедиться, что модель функционирует в соответствии с заложенной логикой (например, что нет логических тупиков или ошибок в обработке событий).	Подтверждение, что модель делает то, что от нее требуется (Proof of Logic).
4. Валидация	Проверка адекватности модели — сравнение результатов работы модели с данными реальной системы (если она существует). Используются статистические тесты (например, тест Колмогорова-Смирнова) для сравнения распределений KPI.	Подтверждение, что модель отражает реальную систему с достаточной точностью (Proof of Reality).
5. Проведение Экспериментов	Проведение серии прогонов модели при различных входных параметрах для оценки альтернативных решений (например, изменение числа каналов или дисциплины обслуживания).	Получение статистически значимых результатов для принятия решений.
6. Анализ Результатов	Сбор и обработка накопленной статистики методами математической статистики (расчет выборочных моментов, построение доверительных интервалов).	Оценка эффективности системы и выявление «узких мест».

В имитационную модель обязательно включаются средства сбора и обработки статистической информации, поскольку результаты получаются в виде выборочных распределений исследуемых величин, а не точных формул.

Расчет и Оптимизация Ключевых Показателей Эффективности (KPI) СМО

Имитационное моделирование позволяет рассчитать ключевые показатели эффективности (KPI), которые описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Эти показатели делятся на характеристики пропускной способности, количественные характеристики и временные характеристики.

Строгие Определения Ключевых Показателей Пропускной Способности

Пропускная способность — это фундаментальный показатель эффективности.

1. Относительная пропускная способность (Q): Вероятность обслуживания заявки. Это отношение среднего числа обслуженных заявок к среднему числу поступивших за то же время.

   Q = 1 − Pотк

   Где P_отк — вероятность отказа в обслуживании. Для систем с ожиданием (неограниченной очередью) в стационарном режиме Q стремится к 1. Для систем с отказами Q < 1.

2. Абсолютная пропускная способность (A): Среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени.

   A = λ ⋅ Q

   Где λ — интенсивность входящего потока. Этот показатель показывает фактическую эффективность работы системы.

Временные и Количественные Характеристики Системы

ИМ позволяет собирать статистику по состоянию системы в каждый момент времени, что дает возможность рассчитать следующие критически важные показатели:

Группа KPI	Показатель	Описание
Количественные	Среднее число заявок в системе (Lsys)	Среднее количество заявок, находящихся в очереди и на обслуживании.
	Среднее число заявок в очереди (Lqueue)	Средняя длина очереди.
	Среднее число занятых каналов	Коэффициент загрузки каналов (используется для оценки достаточности ресурсов).
Временные	Среднее время пребывания заявки в системе (Wsys)	Общее время, проведенное заявкой в системе (ожидание + обслуживание).
	Среднее время ожидания в очереди (Wqueue)	Средняя задержка заявки до начала обслуживания.

ИМ, в отличие от аналитических методов, позволяет получить выборочные распределения этих величин (гистограммы), а не только их средние значения, что критически важно для оценки риска и вариативности.

Методология Оптимизации СМО с Помощью ИМ

Оптимизация СМО с использованием ИМ проводится методом вычислительного эксперимента, который позволяет оценить последствия изменения структурных или логических параметров системы без вмешательства в реальный объект.

Стандартный алгоритм оптимизации:

1. Базовая модель («Как есть»): Создается верифицированная и валидированная модель текущего состояния системы, рассчитываются ее KPI (например, W_queue = 15 минут).
2. Формулировка гипотез («Как будет»): Определяются управляющие параметры, которые необходимо изменить (например, увеличить число каналов с n=4 до n=5, изменить дисциплину обслуживания с FIFO на приоритетную).
3. Проведение экспериментов: Запускается серия имитационных прогонов с измененными параметрами.
4. Сравнение результатов: Результаты новой модели сравниваются с базовой. Например, если при n=5 среднее время ожидания сократилось до W_queue = 5 минут, принимается решение о целесообразности инвестиций в дополнительный канал.

Имитационное моделирование позволяет выявлять «узкие места» (например, ресурсы с коэффициентом загрузки близким к 100%) и динамику функционирования объекта, являясь незаменимым инструментом в системах поддержки принятия решений (СППР). Именно способность ИМ точно оценить экономический эффект от структурных изменений делает его ключевым инструментом современного инженера-аналитика.

Сравнительный Анализ Программных Комплексов ИМ и Вопросы Импортозамещения

Выбор программного обеспечения критически важен для успешной реализации проекта ИМ. Современные комплексы различаются по парадигмам моделирования, гибкости и функциональности.

Обзор Ведущих Зарубежных Платформ: AnyLogic, Arena, GPSS

Комплекс	Основная Парадигма	Ключевые Преимущества	Недостатки и Особенности
AnyLogic	Мультиметодное: дискретно-событийное, системная динамика, агентное моделирование.	Объектно-ориентированная технология, открытый код (Java), мощная 2D/3D анимация, поддержка сложных иерархических систем.	Высокая сложность освоения для новичков, требователен к ресурсам.
GPSS (General Purpose Simulation System)	Исключительно дискретно-событийное моделирование (ориентированное на транзакты).	Простота и скорость разработки моделей СМО, низкий порог вхождения, высокая вычислительная эффективность.	Ограниченные возможности для мультиметодной и агентной симуляции, устаревший синтаксис (в классических версиях).
Arena	Дискретно-событийное (блочное, процессное).	Визуальное проектирование на основе блок-схем, автоматизированные средства сбора и статистического анализа данных.	Ограниченная гибкость по сравнению с AnyLogic, в основном сфокусирован на производственных и логистических системах.

Современные системы, такие как AnyLogic и Arena, активно используют концепции объектно-визуального проектирования, что упрощает формализацию сложных систем, тогда как GPSS (и его современные реализации, например, GPSS W) остается специализированной средой, максимально автоматизирующей разработку классических моделей СМО.

Стратегическая Актуальность: Отечественные Платформы ИМ (2025)

В условиях геополитических изменений и рисков, связанных с лицензированием и поддержкой зарубежного ПО, вопрос импортозамещения в сфере имитационного моделирования становится стратегически важным. Почему же аналитики не спешат переходить на отечественные разработки, несмотря на очевидные риски?

На отечественном рынке активно развиваются альтернативные платформы, сфокусированные на решении задач системного анализа и моделирования бизнес-процессов:

1. BFG Simulation: Интеллектуальная платформа, ориентированная на построение цифровых прототипов сложных производственных и логистических систем. Акцент делается на интеграции с корпоративными данными и поддержке больших моделей.
2. Actor Pilgrim: Интегрированная система моделирования, предоставляющая возможности для моделирования сложных организационных и технических систем. Она позиционируется как отечественный ответ на потребность в гибком и настраиваемом инструментарии для дискретно-событийного анализа.

Актуальные курсовые работы 2025 года должны не только использовать имеющиеся зарубежные инструменты, но и проактивно исследовать возможности отечественных аналогов, сравнивая их функционал, удобство использования и перспективы развития. Это ключевая задача для обеспечения технологического суверенитета страны.

Прикладное Использование ИМ СМО в Социально-Экономических Системах

Имитационное моделирование систем массового обслуживания нашло широчайшее применение в социально-экономических системах, где случайность и сложность взаимодействия ресурсов играют ключевую роль.

Примеры Применения в Логистике и Транспортных Узлах

Логистика и цепи поставок — одна из наиболее плодородных областей для ИМ. В транспортных узлах (аэропорты, порты, сортировочные центры, склады) ИМ позволяет оптимизировать потоки, минимизировать задержки и снижать операционные расходы.

Кейс: Оптимизация работы распределительного склада.

ИМ использовалось для анализа узкого места, связанного с приемом и разгрузкой грузового транспорта. Моделировался поток прибывающих фур (заявок), число разгрузочных постов (каналов) и время разгрузки. В результате моделирования и сравнения сценариев удалось выявить, что увеличение числа разгрузочных постов с 4 до 6, а также введение приоритетов для определенных типов грузов, привело к значительным улучшениям KPI.

Полученные результаты:

• Среднее время ожидания фуры на дороге сокращено до 28 минут.
• Среднее время ожидания фуры на парковке сокращено до 25 минут.

Такие точные результаты, достигаемые через ИМ, позволили руководству склада справиться с увеличенным грузопотоком без необходимости капитального расширения территории, оптимизируя лишь использование существующих ресурсов.

Кейс-стади: ИМ в Здравоохранении и IT-инфраструктуре

Здравоохранение:

Медицинские учреждения по своей сути являются сложными СМО. ИМ применяется для:

1. Оценки вместимости и эффективности: Моделирование потоков пациентов в приемном отделении или операционных блоках позволяет оценить достаточность персонала, койко-мест и оборудования, снижая среднее время ожидания госпитализации.
2. Организация СМП и Вакцинации: Во время пандемии COVID-19 ИМ активно использовалось для оценки распространения болезни, прогнозирования нагрузки на реанимационные фонды и, что особенно важно, для оптимизации логистики и пропускной способности пунктов массовой вакцинации.

Бизнес-процессы и IT-инфраструктура:

Многие IT-системы, особенно Call-центры и центры обработки заказов, являются классическими СМО. Заявки — входящие звонки или обращения; каналы — операторы или серверы. ИМ позволяет:

• Оценить необходимое число операторов для поддержания среднего времени ожидания (AHT) ниже заданного порога.
• Смоделировать отказы оборудования или перегрузку сети, чтобы оценить влияние на качество обслуживания (QoS) и время отклика.

В целом, имитационное моделирование позволяет принимать обоснованные управленческие решения, переводя эмпирические догадки в плоскость научно-обоснованных численных экспериментов.

Заключение

Проведенное исследование подтверждает, что имитационное моделирование систем массового обслуживания является незаменимым инструментом для анализа и оптимизации сложных, стохастических процессов в современных социально-экономических системах.

Мы установили, что классические аналитические методы ТМО, несмотря на свою математическую строгость, имеют критические ограничения, связанные с требованием экспоненциальных законов распределения и невозможностью учета сложной внутренней логики. ИМ преодолевает эти ограничения, позволяя работать с произвольными распределениями и сложными структурами.

Исследование математического аппарата ИМ показало его строгую зависимость от алгоритмов генерации псевдослучайных величин, в частности, мультипликативно-конгруэнтного метода, который служит фундаментом для воспроизведения стохастических потоков заявок. Мы также строго определили условие стационарности (ρ < 1), являющееся критическим для достоверности модели с ожиданием.

Технологический процесс разработки дискретно-событийной модели, включающий итерационные этапы верификации и валидации, обеспечивает адекватность моделирования. Наконец, анализ KPI продемонстрировал, как ИМ позволяет рассчитывать и оптимизировать такие критические показатели, как абсолютная пропускная способность (A = λ ⋅ Q) и среднее время ожидания.

В контексте 2025 года стратегическое значение приобретает сравнительный анализ инструментария, который должен включать не только признанные мировые платформы (AnyLogic, GPSS), но и отечественные разработки (BFG Simulation, Actor Pilgrim), что соответствует задачам импортозамещения и обеспечения технологического суверенитета. Таким образом, переход к мультиметодному и гибкому моделированию на отечественной базе является императивом для дальнейшего развития системного анализа в России.

Дальнейшие направления исследования могут включать разработку гибридных (мультиметодных) моделей, сочетающих дискретно-событийный подход с агентным моделированием для более точного учета поведения клиентов, а также исследование методов статистического анализа выходных данных для построения более узких доверительных интервалов в стационарном режиме.

Список использованной литературы

1. Аристов С.А. Имитационное моделирование экономических процессов: учебное пособие. Екатеринбург, 2003.
2. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем. Москва, 2001.
3. Варфоломеев В. И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем. Москва, 2000.
4. Гайдышев И. Анализ и обработка данных. Санкт-Петербург, 2001.
5. Емельянов А. А., Власова Е. А., Дума Р. В. Имитационное моделирование экономических процессов. Москва, 2002.
6. Лебедев В. В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. Москва, 1997.
7. Цисарь И. Ф., Нейман В. Г. Компьютерное моделирование экономики. Москва, 2002.
8. GPSS Studio или AnyLogic: Сравнение – 2025 // Soware.ru. URL: https://soware.ru/blog/gpss-studio-ili-anylogic-sravnenie-2025 (дата обращения: 23.10.2025).
9. Конфигурирование систем массового обслуживания методом имитационного моделирования // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/konfigurirovanie-sistem-massovogo-obsluzhivaniya-metodom-imitatsionnogo-modelirovaniya (дата обращения: 23.10.2025).
10. Обзор современных средств имитационного моделирования // Труды КНЦ РАН. Сер. Техн. науки. 2022. Т. 13, №4. С. 83–91. URL: https://ksc.ru/wp-content/uploads/2023/07/Труды-КНЦ-РАН.-Сер.Техн.науки.-2022.-Т.13-№4.-С.83-91.pdf (дата обращения: 23.10.2025).
11. Оптимизация модели СМО на примере системы по учету контрольных работ студентов // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/optimizatsiya-modeli-smo-na-primere-sistemy-po-uchetu-kontrolnyh-rabot-studentov (дата обращения: 23.10.2025).
12. РАЗРАБОТКА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ МНОГОФАЗНЫХ СМО // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/razrabotka-universalnoy-imitatsionnoy-modeli-mnogofaznyh-smo (дата обращения: 23.10.2025).
13. Сравнение результатов имитационного моделирования вероятностных объектов в системах: AnyLogic, Arena, Bizagi Modeler, GPSS W // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sravnenie-rezultatov-imitatsionnogo-modelirovaniya-veroyatnostnyh-obektov-v-sistemah-anylogic-arena-bizagi-modeler-gpss-w (дата обращения: 23.10.2025).
14. Сравнение систем структурного и имитационного моделирования по модели м/м/5 // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sravnenie-sistem-strukturnogo-i-imitatsionnogo-modelirovaniya-po-modeli-m-m-5 (дата обращения: 23.10.2025).