Пример готовой курсовой работы по предмету: Мат. мет. в экономике
Содержание
Введение …………………………………………………………………..2
ГЛАВА
1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ……………….5
1.1. Сплайны …………………………………………………………….5
1.2. Интерполяция ……………………………………………………….7
1.3. Первая интерполяционная формула Ньютона…………………… 9
1.4. Вторая интерполяционная формула Ньютона…………………… 10
1.5. Интерполяционная формула Стирлинга………………………….11
1.6. Пример интерполирования сплайнами…………………………..11
ГЛАВА
2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ ……………..13
2.1. Многочлены………………………………………………………… 13
2.2. Интерполяция многочленами …………………………………….14
2.3. Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона…………………….15
2.4. Интерполяционный многочлен Лагранжа………………………..17
2.5. Интерполяционные формулы……………………………………… 19
2.6. Интерполирование сплайнами……………………………………… 26
Заключение ……………………………………………………………..31
Список использованной литературы ……………………………….32
Выдержка из текста
Введение
Интерполирование в математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что
b «‘ = а » — а «‘, b » = а’ — а «… с » = b » — b «‘…
Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n
Формула Ньютона.
a = ao + {(b’ + b 1)/2 — 1/6[(d’ + d 1)/2]
+… }n + {co/2 — eo/24 +… }n 2 + {1/6[(d’ + d 1)/2]
—… }n 3 +…
Формула Бесселя.
a = ao + nb 1 + [n(n — 1)/1.2].
[(co + c 1)/2]
+ [n(n — 1)(n — 1/2)/1.2.3]d 1 + [(n + 1).
n(n — 1)(n — 2)/1.2.3.4].
[(eo + e 1)/2]
+…
Формула Стирлинга.
a = ao + [(b’ + b 1)/2]n + co(n 2/1.2) + [(d’ + d 1)/2].
[(n — 1)n(n + 1)/1.2.3]
+ eo[(n — 1)n 2(n + 1)/1.2.3.4]
+…
Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени.
Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12° 58’59,4 «.
Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = ao + nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции.
При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается n = (a — a 0)/b. При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.
Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов х 1, х 2…..хп, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа:
- F(x) = U1{[(x — x 2)(x — x 3).
.. (x — xn)]/[(x — x 2)(x 1 — x 3).
.. (x 1 — xn)]} + U2{[(x — x 1)(x — x 3).
.. (x — xn)]/[(x 2 — x 1)(x 2 — x 3).
.. (x 2 — xn)]} +… + Un{[(x — x 1)(x — x 2).
.. (x — xn-1)]/[(xn — x 1)(xn — x 2).
.. (xn — xn-1)]} +…
где U1 = F(x 1), U2 = F(x 2).
.. Un = F(xn).
Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений.
Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.
Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.
Список использованной литературы
1.Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001.
2.Лившиц Евгений Давидович. Непрерывные E-выборки для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами : Дис. … канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 Москва, 2005 90 с. РГБ ОД, 61:06-1/42
3.Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. — Теория сплайнов и ее приложения
4.Винниченко Л. Ф. Экспоненциальные гистосплайны: предпосылки введения// Publishing house Education and Science s.r.o., конференция «Европейская наука XXI века», 2009
5.Корнейчук, Н. П., Бабенко, В. Ф., Лигун, А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / отв. ред. А. И. Степанец; ред. С. Д. Кошис, О. Д. Мельник, АН Украины, Ин-т математики. — К.: Наукова думка, 1992. — 304 с. — ISBN 5-12-002210-3
6.Вершинин В. В., Завьялов Ю. С, Павлов Н. Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. — Новосибирск: Наука, 1988, УДК 519.651
7.Роженко Александр Иосифович. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации : Дис. … д-ра физ.-мат. наук : 01.01.07 : Новосибирск, 2003 231 c. РГБ ОД, 71:05-1/136
8.Шикин Е. В., Плис Л. И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. — 240 с. ISBN 5-86404-080-0, УДК 681.3 Ш 57
