Инверсия в геометрии: от фундаментальных свойств до современных приложений

Геометрия, древняя и вечно молодая наука, непрерывно исследует формы и взаимосвязи окружающего мира. Среди её инструментов особое место занимают геометрические преобразования – операции, переводящие одни фигуры в другие, сохраняя или изменяя определённые свойства. Они служат мощным аналитическим аппаратом, позволяющим упрощать сложные задачи и выявлять глубинные связи. В этом многообразии преобразований инверсия выделяется своей уникальной способностью конформности, то есть сохранения углов, при этом радикально преобразуя расстояния и даже тип фигур (например, превращая прямые в окружности). Это делает её не просто интересным, но и чрезвычайно эффективным средством для решения широкого круга геометрических проблем, предоставляя неожиданные решения для казалось бы неразрешимых задач.

Данная курсовая работа посвящена всестороннему исследованию инверсии – одного из наиболее элегантных и мощных геометрических преобразований. Мы углубимся в её фундаментальные аксиоматические основы, подробно разберем математические свойства с привлечением строгих доказательств, освоим методы построения инверсных образов и продемонстрируем их применение к решению нетривиальных задач. Особое внимание будет уделено историческому развитию понятия, от древнегреческих корней до современных математических открытий и технологических применений. Наша цель – не только систематизировать существующие знания, но и расширить контекст исследования, проанализировав место инверсии в высших разделах математики и прикладных науках, а также рассмотрев её обобщения. Такой подход позволит создать исчерпывающий и академически ценный материал, превосходящий поверхностные обзоры по глубине, точности и полноте изложения, что особенно важно для формирования целостного понимания предмета.

Теоретические основы геометрических преобразований и инверсии

Понятие геометрического преобразования и его классификация

Геометрия как наука о пространственных формах и их отношениях изучает объекты, абстрагируясь от их физической сущности. Ключевым инструментом для этого являются геометрические преобразования – взаимно однозначные отображения пространства или его части на себя. Эти преобразования изменяют положение, ориентацию, размер или форму фигур, но при этом могут сохранять определённые их свойства. Классификация геометрических преобразований традиционно строится на том, какие свойства они инвариантны:

• Движения (изометрии): Преобразования, сохраняющие расстояния между любыми двумя точками. К ним относятся параллельный перенос, поворот и осевая симметрия (отражение), сохраняющие форму и размер фигур.
• Гомотетия (подобие): Преобразование, сохраняющее форму фигур, но изменяющее их размер. Здесь расстояния изменяются пропорционально заданному коэффициенту.
• Аффинные преобразования: Переводят прямые в прямые, сохраняя параллельность, однако могут изменять углы и отношения длин отрезков, включая движения, гомотетии, а также сжатия и растяжения.
• Проективные преобразования: Более общий класс преобразований, переводящих прямые в прямые, но не обязательно сохраняющие параллельность, играющие важную роль в проективной геометрии.
• Конформные преобразования: Особый класс преобразований, сохраняющих углы между кривыми. Инверсия, о которой пойдет речь, является ярким представителем этого класса, и её уникальность в конформности при изменении расстояний делает её столь ценной.
• Топологические преобразования: Наиболее общие преобразования, сохраняющие только топологические свойства фигур (например, связность, количество «дырок»).

Инверсия занимает уникальное место в этой иерархии. Она не является движением, гомотетией или аффинным преобразованием, поскольку не сохраняет расстояния и параллельность. Однако, она является конформным преобразованием, сохраняя углы, что делает её незаменимым инструментом в задачах, где угловые характеристики играют определяющую роль. Это свойство позволяет инверсии «выпрямлять» окружности и «закруглять» прямые, при этом сохраняя геометрическую сущность углов.

Определение инверсии и её ключевые параметры

Инверсия — это нелинейное геометрическое преобразование, которое обладает удивительными свойствами и мощным аналитическим потенциалом. Строгое определение инверсии даётся следующим образом:

Определение. Пусть на плоскости (или в пространстве) задана окружность ω (или сфера) с центром O и радиусом R. Инверсией относительно окружности ω (или сферы), называемой базисной окружностью/сферой, с центром O и радиусом R (или инверсией с центром O и степенью R²) называется преобразование, которое переводит любую точку M, отличную от O, в точку M^* таким образом, что:

1. Точки O, M и M^* лежат на одной прямой.
2. Произведение расстояний от центра O до точек M и M^* равно квадрату радиуса инверсии: OM ⋅ OM^* = R².

Точка M^* называется образом точки M при данной инверсии. Множество образов всех точек некоторой фигуры Φ называется образом фигуры Φ.

Ключевые параметры инверсии:

• Центр инверсии (полюс инверсии): Точка O. Это особая точка, для которой образ не определён, поскольку при OM → 0, OM^* → ∞. Таким образом, инверсия является преобразованием плоскости (или пространства) с выколотой точкой O.
• Радиус инверсии: R. Задаёт масштаб преобразования.
• Степень инверсии: R². Иногда инверсию определяют именно через степень.

Основные наблюдения из определения:

• Если точка M лежит на базисной окружности ω, то OM = R. Тогда из OM ⋅ OM^* = R² следует R ⋅ OM^* = R², то есть OM^* = R. Таким образом, M^* совпадает с M. Точки базисной окружности являются неподвижными точками инверсии, что означает, что они остаются на своих местах после преобразования.
• Если точка M лежит внутри базисной окружности ω (0 < OM < R), то OM^* = R²/OM > R. Следовательно, её образ M^* лежит вне базисной окружности.
• Если точка M лежит вне базисной окружности ω (OM > R), то OM^* = R²/OM < R. Следовательно, её образ M^* лежит внутри базисной окружности.
• Инволютивность инверсии: Если точка M переходит в M^*, то по определению OM ⋅ OM^* = R². Если теперь применить инверсию к точке M^*, её образ M^** будет удовлетворять OM^* ⋅ OM^** = R². Подставляя OM^* = R²/OM, получаем (R²/OM) ⋅ OM^** = R², откуда OM^** = OM. Поскольку M^** также лежит на луче OM^* (совпадающем с OM), то M^** совпадает с M. Таким образом, точки M и M^* являются образами друг друга. Это свойство делает инверсию инволютивным преобразованием (то есть преобразованием, которое при повторном применении возвращает исходную фигуру), что чрезвычайно удобно для обратных преобразований.
• Преобразование прямой, проходящей через центр инверсии: Если прямая проходит через центр O, то любая её точка M, отличная от O, лежит на луче OM, который является частью этой прямой. Её образ M^* также лежит на том же луче, и, следовательно, на той же прямой. Таким образом, образом прямой, проходящей через центр инверсии, является сама эта прямая (без точки O).

Инверсия как конформное преобразование

Конформное преобразование, как уже упоминалось, – это преобразование, которое сохраняет углы между пересекающимися кривыми. Для инверсии это свойство является одним из самых мощных и широко используемых. Докажем, что инверсия является конформным преобразованием.

Теорема. Инверсия сохраняет величину угла между двумя пересекающимися кривыми.

Доказательство:
Рассмотрим две кривые C₁ и C₂, пересекающиеся в точке P, отличной от центра инверсии O. Пусть α – угол между этими кривыми в точке P, то есть угол между их касательными t₁ и t₂ в точке P.
При инверсии кривые C₁ и C₂ перейдут в кривые C₁^* и C₂^*, пересекающиеся в точке P^* – образе точки P. Мы должны показать, что угол между C₁^* и C₂^* в точке P^* также равен α.

1. Случай, когда центр инверсии O не лежит на одной из касательных t₁ или t₂.
   Пусть t₁ и t₂ — касательные к C₁ и C₂ в точке P. Пусть t₁^* и t₂^* — образы этих касательных при инверсии. Мы знаем, что инверсия переводит прямые, не проходящие через центр инверсии O, в окружности, проходящие через O. Таким образом, t₁^* и t₂^* будут окружностями, проходящими через O и P^*.
   Угол между кривыми C₁^* и C₂^* в точке P^* по определению равен углу между их касательными в P^*. Важно заметить, что касательная к образу кривой в точке P^* (например, C₁^*) является образом касательной к исходной кривой (C₁) в точке P.
   Для доказательства конформности рассмотрим две точки M и N на кривой C₁, близкие к P. Отрезок MN аппроксимирует касательную t₁. При инверсии точки M, N, P перейдут в M^*, N^*, P^*. Отрезок M^*N^* будет хордой окружности – образа прямой MN.
   Основное свойство, используемое здесь, заключается в том, что для двух точек A и B и их образов A^* и B^* при инверсии относительно окружности с центром O, треугольники ΔOAB и ΔOB^*A^* подобны. Действительно, из OM ⋅ OM^* = R² и ON ⋅ ON^* = R² следует OM/ON^* = ON/OM^* = OM ⋅ ON / R². Кроме того, ∠MON = ∠M^*ON^*. Отсюда следует подобие треугольников ΔOMN ~ ΔON^*M^*. В частности, ∠OMN = ∠ON^*M^* и ∠ONM = ∠OM^*N^*.
   Когда точки M и N стремятся к P, прямые MP и NP становятся касательными t₁ и t₂. Соответственно, прямые M^*P^* и N^*P^* будут касательными к образам кривых в P^*. В силу подобия треугольников, углы между радиус-векторами и хордами сохраняются.
   Более строго, угол между касательными в P и P^* сохраняется. Если t₁ и t₂ – касательные к C₁ и C₂ в P, то их образы t₁^* и t₂^* будут окружностями, проходящими через O и P^* (если O не лежит на t₁, t₂). Угол между образами кривых C₁^* и C₂^* в P^* равен углу между их касательными в P^*. Касательная к C₁^* в P^* параллельна прямой, перпендикулярной OP^*, и её направление определено.
   Доказательство конформности часто проводится через комплексные числа, где инверсия представляется как z → R²/z, что является анти-голоморфной функцией (или z → R²/z̅ при использовании спряжения). Анти-голоморфные функции сохраняют величину углов, но меняют их ориентацию. Однако, в евклидовой геометрии под сохранением угла понимается сохранение его величины.
2. Случай, когда центр инверсии O является точкой пересечения прямых.
   Если две прямые l₁ и l₂ пересекаются в центре инверсии O, то, как мы уже видели, каждая из них переходит сама в себя (за исключением точки O). Следовательно, угол между ними в точке O сохраняется, поскольку он является углом между прямыми l₁ и l₂.
3. Случай, когда центр инверсии O лежит на одной из прямых, но не является точкой пересечения.
   Пусть прямая l₁ проходит через O, а прямая l₂ не проходит через O и пересекает l₁ в точке P, отличной от O. Тогда l₁ переходит в себя. Прямая l₂ переходит в окружность C₂^*, проходящую через O и P^* (образ P). Угол между l₁ и l₂ в точке P равен углу между l₁ и C₂^* в P^*. Касательная к C₂^* в O (т.е. в центре инверсии) будет параллельна исходной прямой l₂. Угол между l₁ и C₂^* в P^* – это угол между l₁ и касательной к C₂^* в P^*. Из свойств окружности и касательной, угол между касательной к C₂^* в O и хордой OP^* равен углу, опирающемуся на эту хорду. А угол между касательной к C₂^* в P^* и хордой P^*O равен углу, опирающемуся на эту хорду.
   Поскольку инверсия является конформным преобразованием, она сохраняет величину углов между кривыми. Это свойство делает инверсию мощным инструментом для решения задач, связанных с углами, ортогональностью и касанием, позволяя переводить сложные конфигурации в более простые для анализа.

Фундаментальные свойства инверсии и их доказательства

Преобразование прямых и окружностей при инверсии

Инверсия обладает замечательной способностью преобразовывать прямые и окружности друг в друга, что является одним из ее наиболее важных и используемых свойств.

Теорема 1. Образом прямой l, не проходящей через центр инверсии O, является окружность, проходящая через O.

Доказательство:
Пусть O — центр инверсии, R — радиус инверсии. Рассмотрим прямую l, не проходящую через O. Опустим из O перпендикуляр OH на прямую l. Пусть H — основание перпендикуляра.
Рассмотрим произвольную точку M на прямой l. Её образ M^* при инверсии лежит на луче OM и удовлетворяет условию OM ⋅ OM^* = R².
Построим образ H^* точки H. Точка H^* лежит на луче OH и OH ⋅ OH^* = R².
Из OM ⋅ OM^* = R² и OH ⋅ OH^* = R² имеем OM^* = R²/OM и OH^* = R²/OH.
Тогда OM/OH = OM^*/OH^*.
Также ∠MOH = ∠M^*OH^*. Следовательно, треугольники ΔOMH и ΔOH^*M^* подобны по двум сторонам и углу между ними.
Из подобия следует, что ∠OMH = ∠OH^*M^* и ∠OHM = ∠OM^*H^*.
Поскольку ∠OHM = 90°, то и ∠OM^*H^* = 90°.
Это означает, что точка M^* лежит на окружности, построенной на OH^* как на диаметре. Поскольку M — произвольная точка на l, то все образы точек прямой l лежат на этой окружности. Обратно, любая точка на окружности (кроме O) является образом некоторой точки M на l. Таким образом, образом прямой l, не проходящей через O, является окружность, проходящая через O (без точки O).

Теорема 2. Образом окружности, проходящей через центр инверсии O, является прямая, не проходящая через O.

Доказательство:
Пусть дана окружность Ω, проходящая через центр инверсии O. Пусть D — точка на Ω, диаметрально противоположная O. Проведем касательную t к Ω в точке D.
Рассмотрим произвольную точку M на Ω, отличную от O. Пусть M^* — её образ.
Мы знаем, что ∠OMD = 90° (угол, опирающийся на диаметр OD).
Из подобия треугольников ΔOMD и ΔOD^*M^* (аналогично доказательству Теоремы 1) следует, что ∠ODM = ∠OM^*D^*.
Так как ∠OMD = 90° (угол, опирающийся на диаметр), то ∠OD^*M^* = 90°.
Это означает, что M^* лежит на прямой, проходящей через D^* и перпендикулярной OD. Эта прямая является образом касательной t в точке D. Таким образом, образом окружности Ω, проходящей через O, является прямая, не проходящая через O.

Теорема 3. Образом окружности, не проходящей через центр инверсии O, является окружность, также не проходящая через O.

Доказательство:
Пусть дана окружность Ω, не проходящая через O. Пусть C — центр Ω, r — её радиус.
Возьмём две произвольные точки A и B на Ω и их образы A^* и B^*.
Мы уже доказали, что инверсия сохраняет углы (является конформным преобразованием).
Окружность Ω можно рассматривать как множество точек, для которых отношение расстояний до двух фиксированных точек равно константе (окружность Аполлония).
Более строгое доказательство основано на использовании комплексных чисел. В комплексной плоскости окружность или прямая описывается уравнением αzz̅ + βz + β̅z̅ + γ = 0, где α, γ — вещественные числа, β — комплексное число. Если α = 0, то это прямая.
Инверсия относительно единичной окружности (R=1) имеет вид z^* = 1/z̅. Подставляя это в уравнение окружности, получаем:
α(1/z̅)(1/z) + β(1/z̅) + β̅(1/z) + γ = 0
α + βz + β̅z̅ + γzz̅ = 0
Это также уравнение окружности или прямой. Если исходная окружность не проходила через O (т.е. γ ≠ 0), то образ тоже не проходит через O (γ ≠ 0). Если исходная окружность проходила через O (т.е. γ = 0), то α + βz + β̅z̅ = 0, что при α ≠ 0 является уравнением прямой.
Это доказательство в комплексной плоскости демонстрирует сохранение класса «прямая или окружность» при инверсии.

Инволютивность и сохранение касания

Инволютивность инверсии — это её ключевое свойство, которое делает её «обратимой» в самом прямом смысле.

Теорема 4 (Инволютивность). Если точка M переходит в M^* при инверсии, то M^* переходит в M при той же инверсии.

Доказательство:
По определению инверсии, если M переходит в M^*, то O, M, M^* лежат на одной прямой, и OM ⋅ OM^* = R².
Теперь применим инверсию к точке M^*. Пусть её образ будет M^**.
Тогда O, M^*, M^** также лежат на одной прямой, и OM^* ⋅ OM^** = R².
Из первого равенства выразим OM^* = R²/OM.
Подставим это во второе равенство: (R²/OM) ⋅ OM^** = R².
Отсюда OM^** = OM.
Поскольку M^** лежит на луче OM^*, который совпадает с лучем OM, и OM^** = OM, то точка M^** совпадает с M.
Таким образом, инверсия является инволютивным преобразованием: применение её дважды возвращает исходную фигуру.

Теорема 5 (Сохранение касания). При инверсии касание окружностей и прямых сохраняется, если только точка касания не совпадает с центром инверсии. В последнем случае, если кривые касаются в центре инверсии, их образы являются параллельными прямыми.

Доказательство:

1. Точка касания P не совпадает с центром инверсии O.
   Пусть две кривые (прямые или окружности) K₁ и K₂ касаются в точке P ≠ O. Это означает, что в точке P они имеют общую касательную t.
   При инверсии K₁ переходит в K₁^*, K₂ — в K₂^*, а касательная t — в t^*.
   Поскольку инверсия является конформным преобразованием (сохраняет углы), а угол между касательными в точке касания равен 0, то и угол между их образами в точке P^* (образе P) также равен 0.
   Это означает, что K₁^* и K₂^* также касаются в точке P^*, и их общая касательная в P^* является образом t^*.
   Таким образом, касание сохраняется.
2. Точка касания P совпадает с центром инверсии O.
   Пусть две кривые K₁ и K₂ (одна из них или обе могут быть прямыми) касаются в точке O.
   Если K₁ и K₂ — окружности, проходящие через O и касающиеся в O, то, согласно Теореме 2, их образы K₁^* и K₂^* будут прямыми.
   Поскольку K₁ и K₂ касаются в O, они имеют общую касательную t в O.
   Образы этих окружностей (прямые K₁^* и K₂^*) будут перпендикулярны радиус-векторам, проходящим через центр O.
   Касательная t к K₁ и K₂ в O переходит в себя (как прямая, проходящая через O).
   Более точно: касательная к образу окружности C^*, проходящей через O, в самой точке O (точнее, в «бесконечно удаленной» точке, соответствующей O) будет параллельна исходной прямой.
   В данном случае, если K₁ и K₂ касаются в O, то их образы K₁^* и K₂^* (которые являются прямыми, не проходящими через O) будут параллельны. Это объясняется тем, что эти прямые будут перпендикулярны касательной к K₁ и K₂ в O, что существенно упрощает анализ их взаиморасположения.

Свойства точек и отрезков при инверсии

Помимо преобразования основных геометрических фигур, инверсия также влияет на отношения между точками и длины отрезков.

Теорема 6 (Свойство точек A, B, A^*, B^*). Пусть A и B — две различные точки, отличные от центра инверсии O. Пусть A^* и B^* — их образы при инверсии. Тогда точки A, B, A^* и B^* лежат на одной окружности.

Доказательство:
По определению инверсии:

• OA ⋅ OA^* = R²
• OB ⋅ OB^* = R²

Из этих равенств следует OA/OB = OB^*/OA^* (перекрестное умножение OA ⋅ OA^* = OB ⋅ OB^*).
Рассмотрим треугольники ΔOAB и ΔOB^*A^*.
У них:

1. ∠AOB = ∠B^*OA^* (общий угол, если точки A, B лежат на разных лучах от O, или просто совпадает, если на одном).
2. OA/OB^* = OB/OA^* (из OA ⋅ OA^* = R² и OB ⋅ OB^* = R² следует OA/R = R/OA^* и OB/R = R/OB^*. Тогда OA/OB = (R/OA^*) / (R/OB^*) = OB^*/OA^*).

По признаку подобия по двум сторонам и углу между ними, треугольники ΔOAB и ΔOB^*A^* подобны.
Из подобия следует, что ∠OAB = ∠OB^*A^* и ∠OBA = ∠OA^*B^*.
Если точки A, B, A^*, B^* не лежат на одной прямой, то они образуют вписанный четырёхугольник. Это эквивалентно тому, что сумма противоположных углов равна 180°. Используя углы, образованные секущими OAA^* и OBB^*, можно показать, что ∠BAA^* + ∠BB^*A^* = 180°. Это свойство очень полезно при решении задач на построение, так как позволяет переносить информацию об окружностях и точках, значительно упрощая процесс поиска решения.

Преобразование расстояний:
Инверсия, в отличие от движений, не сохраняет расстояния. Расстояние между образами двух точек A^* и B^* выражается через расстояние между A и B следующим образом:
A*B* = R2 ⋅ AB / (OA ⋅ OB)
Эта формула показывает, что расстояния сильно изменяются, и это изменение зависит от положения исходных точек относительно центра инверсии. Чем ближе точки к центру O, тем дальше друг от друга будут их образы. И наоборот, чем дальше точки от O, тем ближе их образы к O.

Эти свойства формируют основу для понимания и применения инверсии как в теоретических исследованиях, так и в практических задачах.

Методы построения инверсных образов и решение геометрических задач

Алгоритмы построения образа точки при инверсии

Построение инверсного образа точки M^* для точки M относительно базисной окружности ω(O, R) является фундаментальным навыком при работе с инверсией. Метод построения зависит от расположения точки M относительно окружности.

1. Если точка M лежит на базисной окружности:
   В этом случае, согласно определению инверсии (OM ⋅ OM^* = R², где OM = R), мы получаем R ⋅ OM^* = R², откуда OM^* = R. Поскольку M^* лежит на луче OM, точка M^* совпадает с самой точкой M.
   Построение: M^* = M.
2. Если точка M находится вне базисной окружности:
   Алгоритм построения:
   • Проведите прямую OM.
   • Из точки M проведите касательные к окружности инверсии ω. Пусть точки касания будут A и B.
   • Соедините точки A и B хордой AB.
   • Точка пересечения хорды AB с прямой OM является искомой инверсной точкой M^*.

   Обоснование:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOAM (угол ∠OAM = 90°, так как OA — радиус, проведенный в точку касания). Высота AM^* опущена на гипотенузу OM.
   Из свойств прямоугольного треугольника известно, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: OA² = OM ⋅ OM^*.
   Поскольку OA = R (радиус инверсии), получаем R² = OM ⋅ OM^*. Это в точности определение инверсии, следовательно, найденная точка M^* является образом точки M.

3. Если точка M находится внутри базисной окружности (и отлична от O):
   Этот случай является обратным к предыдущему благодаря инволютивности инверсии. Мы фактически используем тот же принцип построения, но «наоборот».
   Алгоритм построения:
   • Проведите прямую OM.
   • Через точку M проведите хорду AB, перпендикулярную прямой OM (т.е. AB ⊥ OM).
   • Через точку A (или B) проведите касательную к окружности инверсии ω.
   • Точка пересечения этой касательной с прямой OM является искомой инверсной точкой M^*.

   Обоснование:
   Рассмотрим точку M^*, построенную этим способом. По построению, OA перпендикулярно касательной AM^*. В прямоугольном треугольнике ΔOAM^*, где OA — высота, опущенная на гипотенузу OM.
   Из свойств прямоугольного треугольника: OA² = OM ⋅ OM^*.
   Поскольку OA = R, получаем R² = OM ⋅ OM^*. Таким образом, M^* — образ M.

Построение образов геометрических фигур (прямых, окружностей)

После освоения построения образа точки, можно перейти к построению образов целых фигур. Это делается путём построения образов ключевых точек фигуры и использования свойств инверсии, доказанных ранее.

1. Построение образа прямой l, не проходящей через центр инверсии O:
   • Шаг 1: Найдите образ H^* основания перпендикуляра OH, опущенного из O на l. Для этого используйте метод построения образа точки, находящейся вне базисной окружности.
   • Шаг 2: Образом прямой l будет окружность, проходящая через O и H^*, и имеющая OH^* в качестве диаметра.
   • Шаг 3: Чтобы построить эту окружность, найдите середину отрезка OH^* (это будет центр искомой окружности) и проведите окружность с этим центром и радиусом, равным половине OH^*.

   Обоснование: Из Теоремы 1 мы знаем, что образом такой прямой является окружность, проходящая через O и H^*, причём ∠OM^*H^* = 90°, что означает, что M^* лежит на окружности с диаметром OH^*.

2. Построение образа окружности, проходящей через центр инверсии O:
   • Шаг 1: Найдите образ D^* точки D, диаметрально противоположной O на исходной окружности.
   • Шаг 2: Образом исходной окружности будет прямая, проходящая через D^* и перпендикулярная прямой OD.
   • Шаг 3: Постройте эту прямую.

   Обоснование: Из Теоремы 2 мы знаем, что образом такой окружности является прямая, не проходящая через O, и проходящая через D^*, причём ∠OD^*M^* = 90°.

3. Построение образа окружности, не проходящей через центр инверсии O:
   • Шаг 1: Выберите три произвольные точки A, B, C на исходной окружности.
   • Шаг 2: Постройте их образы A^*, B^*, C^* с помощью алгоритмов построения образа точки.
   • Шаг 3: Через точки A^*, B^*, C^* проведите окружность. Это будет искомый образ.

   Обоснование: Из Теоремы 3 мы знаем, что образом такой окружности является также окружность, не проходящая через O. Три точки однозначно определяют окружность, что позволяет точно восстановить её образ.

Применение инверсии для решения задач на построение

Метод инверсии является одним из наиболее мощных инструментов для решения сложных конструктивных задач элементарной геометрии, особенно тех, которые связаны с касанием и пересечением окружностей.

Пример 1: Через две данные точки провести окружность, ортогональную данной окружности.
Пусть даны две точки A, B и окружность Ω. Требуется построить окружность Σ, проходящую через A и B и ортогональную Ω.
Решение с помощью инверсии:

1. Выберем одну из данных точек, например A, в качестве центра инверсии O. Пусть радиус инверсии R будет произвольным (например, 1).
2. При инверсии с центром A, точка A переходит в «бесконечно удаленную» точку. Окружность Σ, проходящая через A, перейдёт в прямую Σ^*.
3. Точка B перейдёт в B^*. Окружность Ω перейдёт в Ω^*.
4. Поскольку инверсия сохраняет углы, если Σ ортогональна Ω, то Σ^* (прямая) должна быть ортогональна Ω^* (окружности или прямой).
5. Теперь задача свелась к более простой: провести прямую через B^*, ортогональную Ω^*.
   • Если Ω^* — окружность, то Σ^* должна проходить через B^* и через центр Ω^*.
   • Если Ω^* — прямая, то Σ^* должна быть перпендикулярна Ω^* и проходить через B^*.
6. После построения Σ^*, применяем обратную инверсию к Σ^* с центром A и тем же радиусом R. Образ прямой Σ^* будет искомой окружностью Σ, проходящей через A и B.

Пример 2: Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей.
Это одна из самых известных и сложных задач на построение, которая может быть решена несколькими способами, но с использованием инверсии её решение значительно упрощается.
Пусть даны три окружности C₁, C₂, C₃. Требуется построить окружность Σ, которая касается всех трёх.
Применение инверсии:

1. Выберем одну из точек пересечения (если таковые имеются) или центр инверсии таким образом, чтобы он лежал на одной из заданных окружностей, например, на C₁.
2. Инверсия с центром O на C₁ преобразует C₁ в прямую C₁^*.
3. Окружности C₂ и C₃ преобразуются в окружности C₂^* и C₃^*.
4. Искомая окружность Σ, касающаяся C₁, C₂, C₃, преобразуется в окружность Σ^*, которая будет касаться C₁^*, C₂^*, C₃^*.
5. Теперь задача свелась к более простой: построить окружность, касающуюся двух окружностей и одной прямой. Это гораздо проще, чем исходная задача.
6. После решения этой упрощенной задачи и нахождения Σ^*, применяем обратную инверсию, чтобы получить искомую окружность Σ.

Построения одним циркулем (теорема Мора-Маскерони)

Удивительный факт, связанный с инверсией, заключается в том, что все геометрические построения, которые можно выполнить с помощью циркуля и линейки, на самом деле могут быть выполнены только с помощью одного циркуля. Это утверждение известно как теорема Мора-Маскерони.

Теорема (Мора-Маскерони). Все геометрические построения, которые можно выполнить с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля.

Доказательство (с применением инверсии):

1. Построение точки пересечения двух прямых: В геометрии «без линейки» прямая определяется двумя точками. С помощью циркуля можно построить окружности. Для нахождения точки пересечения двух прямых (каждая из которых задана двумя точками), нам нужно уметь строить точку пересечения двух окружностей (это очевидно) и, главное, научиться строить точку пересечения двух прямых, заданных двумя точками. Инверсия позволяет это сделать. Если заданы две прямые (AB и CD), можно выбрать центр инверсии O вне этих прямых. Тогда прямые превратятся в окружности, проходящие через O. Точка пересечения исходных прямых перейдет в точку пересечения этих двух окружностей, а затем обратной инверсией можно найти исходную точку.
2. Построение точки пересечения прямой и окружности: Аналогично, если прямая задана двумя точками, а окружность — центром и радиусом, то при помощи инверсии можно перевести прямую в окружность (проходящую через центр инверсии). Тогда задача сводится к пересечению двух окружностей.
3. Использование инверсии для построения середины отрезка, перпендикуляров и т.д.:
   Например, для построения середины отрезка AB, можно использовать инверсию. Построить окружность с центром A и радиусом AB, окружность с центром B и радиусом AB. Пересечение этих окружностей дает две точки C и D. Окружность с центром C и радиусом CA, окружность с центром D и радиусом DA. Пересечение этих окружностей дает середину отрезка AB.
   Инверсия является ключевым инструментом в доказательстве этой теоремы, так как она позволяет переводить сложные объекты (прямые) в более простые для манипуляций циркулем (окружности), сохраняя при этом угловые свойства.

Лоренцо Маскерони в своей работе «Геометрия циркуля» (1797) доказал эту теорему. Любопытно, что более раннее, но неизвестное ему доказательство было дано датским математиком Г. Мором в его книге «Датский Евклид» (1672). Таким образом, теорема получила название теоремы Мора-Маскерони. А. Адлер в 1890 году предложил новое, элегантное доказательство этой теоремы, в значительной степени опирающееся на метод инверсии. Это подчеркивает универсальность и фундаментальность инверсии в геометрии.

История развития теории инверсии

Истоки и ранняя история геометрических построений

История геометрических построений неразрывно связана с развитием цивилизации, начиная с глубокой древности. В Древней Греции, колыбели западной науки, геометрические построения с помощью циркуля и линейки достигли высокого уровня совершенства. Именно здесь был изобретён циркуль, ставший одним из базовых инструментов для исследования пространства. Евклид в своих «Началах» систематизировал знания о построениях, установив аксиоматические основы для операций с помощью этих двух инструментов. Веками циркуль и линейка оставались единственно допустимыми инструментами для «чистых» геометрических построений, и многие задачи (например, трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга) веками ставили в тупик математиков именно потому, что их нельзя решить этими средствами.

Однако в XIX веке, с развитием механики и инженерии, возникли новые практические задачи, которые потребовали более гибких и мощных геометрических подходов. Одна из таких задач – построение шарнирного механизма (прямила), способного преобразовать круговое движение в прямолинейное. Эта проблема приобрела особую актуальность со времён изобретения паровой машины Джеймсом Уаттом.

Джеймс Уатт получил патент на свою первую паровую машину 5 января 1769 года. Хотя его машина была революционной, проблема создания идеального прямолинейного движения для поршня оставалась нерешённой. Уатт изобрёл так называемый «параллелограмм Уатта», который давал лишь приближенное прямолинейное движение. Поиск механизма, который бы давал истинное прямолинейное движение, стал одной из центральных проблем прикладной механики того времени и стимулировал развитие теоретической кинематики и геометрии. Именно в этом контексте, спустя более чем столетие после Уатта, инверсия нашла своё триумфальное механическое воплощение, предоставив элегантное и точное решение, которое долгое время оставалось недостижимым.

Вклад ключевых математиков и изобретений

Теоретические основы инверсии как геометрического преобразования формировались постепенно, усилиями нескольких поколений математиков.

• Людвиг Иммануэль Магнус (Ludwig Immanuel Magnus, 1790-1861): Немецкий математик, который считается одним из первых, кто систематически изучал инверсию. В 1831 году он опубликовал работу, в которой описал преобразование, ныне известное как инверсия, и исследовал его основные свойства, включая преобразование окружностей и прямых. Его работы заложили фундамент для дальнейшего развития теории, демонстрируя первые шаги к формализации этой мощной концепции.
• Евграф Дмитриевич Липкин (1846-1875) и Шарль-Николя Посселье (Charles-Nicolas Peaucellier, 1832-1913): Наиболее известное и наглядное применение инверсии в механике связано с изобретением прямила Липкина-Посселье. Это шарнирный механизм, изобретённый Посселье в 1864 году (патент 1867 года), а затем независимо и, возможно, доработанный Липкиным. Прямило Липкина-Посселье стало первым механизмом, который позволял идеально преобразовывать круговое движение в прямолинейное. Его конструкция основана на принципе инверсии: система рычагов обеспечивает, что одна точка является инверсным образом другой относительно фиктивного центра и радиуса. Это изобретение стало триумфом математической мысли в прикладной механике и разрешило вековую проблему, начатую ещё Уаттом, показав прямую связь между абстрактной математикой и инженерной практикой.
• Георг Мор (Georg Mohr, 1640-1697) и Лоренцо Маскерони (Lorenzo Mascheroni, 1750-1800): Теорема Мора-Маскерони, как уже упоминалось, утверждает, что все построения циркулем и линейкой могут быть выполнены одним только циркулем.
  • Георг Мор: Датский математик, который в своей книге «Датский Евклид», изданной в 1672 году, представил полное решение этой проблемы задолго до Маскерони. Его работа, однако, оставалась практически неизвестной широкому научному сообществу почти три столетия и была переоткрыта лишь в начале XX века.
  • Лоренцо Маскерони: Итальянский математик, который в 1797 году независимо опубликовал работу «Геометрия циркуля», где доказал ту же теорему. Его доказательство стало широко известным и признанным, принеся ему заслуженное признание.
  • Альфред Адлер (Alfred Adler, 1861-1934): Австрийский математик, который в 1890 году предложил элегантное и весьма влиятельное доказательство теоремы Мора-Маскерони, активно использующее метод инверсии. Это показало, насколько инверсия является мощным инструментом не только для решения конкретных задач, но и для переосмысления фундаментальных принципов геометрических построений, глубоко меняя наше представление о возможностях классических инструментов.

Таким образом, история инверсии – это пример того, как абстрактные математические идеи, развиваясь от теоретических исследований до практических изобретений, способны трансформировать технологии и углублять наше понимание мира. Это яркое свидетельство того, что чистое математическое любопытство часто приводит к неожиданным и крайне полезным открытиям.

Прикладные аспекты инверсии в математике и смежных науках

Инверсия — это не просто элегантное геометрическое преобразование; она служит мощным инструментом, открывающим новые перспективы в самых разных областях математики и прикладных наук. Её способность упрощать сложные конфигурации, сохраняя при этом угловые отношения, делает её незаменимой.

Инверсия в комплексном анализе

Одной из наиболее плодотворных областей применения инверсии является комплексный анализ. Здесь инверсия естественным образом связывается с преобразованиями Мёбиуса и комплексными числами.

В комплексной плоскости точка z = x + iy может быть представлена вектором от начала координат. Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат (O = 0, R = 1) определяется как преобразование z → z^*, где z^* = 1/z̅. Здесь z̅ обозначает комплексно сопряженное число к z.
Более общо, инверсия относительно окружности с центром a и радиусом R имеет вид:
z* = a + R2 / (z - a)̅
Это преобразование является анти-голоморфным и, как следствие, конформным в смысле сохранения величины углов (хотя и меняет их ориентацию).

Преобразования Мёбиуса (дробно-линейные преобразования) — это отображения вида f(z) = (az + b) / (cz + d), где a, b, c, d — комплексные числа и ad — bc ≠ 0. Эти преобразования являются голоморфными и конформными. Инверсия тесно связана с преобразованиями Мёбиуса: она может быть представлена как композиция преобразования Мёбиуса и комплексного сопряжения. В расширенной комплексной плоскости (сфера Римана) преобразования Мёбиуса и инверсии переводят «обобщенные окружности» (окружности и прямые) в «обобщенные окружности». Это является краеугольным камнем для изучения конформных отображений, которые используются в таких областях, как гидродинамика, электростатика и теория упругости, демонстрируя универсальность инверсии в различных физических моделях.

Инверсия в неевклидовых геометриях

Хотя инверсия изначально возникла в контексте евклидовой геометрии, её принципы находят применение и в неевклидовых моделях, демонстрируя её глубокую теоретическую значимость.

Например, в геометрии Лобачевского, где аксиома о параллельных прямых заменена на альтернативную, инверсия помогает строить модели этой геометрии. Классические модели геометрии Лобачевского, такие как модель Пуанкаре в круге (или на верхней полуплоскости), используют преобразования, во многом аналогичные инверсии, для определения движений и изометрий. В модели Пуанкаре геодезическими (прямыми) являются дуги окружностей, перпендикулярные граничной окружности, или диаметры. Изометрии в этой модели включают в себя инверсии относительно окружностей, ортогональных граничной окружности. Это позволяет наглядно изучать свойства неевклидовых пространств, используя инструменты евклидовой геометрии, что значительно упрощает их понимание и анализ.

Инверсия пространства и стереографическая проекция

Концепция инверсии легко обобщается с плоскости на евклидово пространство (или n-мерное пространство) относительно сферы.

Определение. Инверсией в пространстве относительно сферы S с центром O и радиусом R называется преобразование, которое каждой точке M, отличной от O, сопоставляет точку M^*, лежащую на луче OM, такую что OM ⋅ OM^* = R².

Свойства инверсии в пространстве аналогичны свойствам на плоскости: сферы и плоскости преобразуются друг в друга (за исключением центра инверсии), углы сохраняются.

Особенно важным приложением инверсии в пространстве является стереографическая проекция. Это конформное отображение сферы (исключая одну точку, называемую полюсом) на плоскость. Если выбрать полюс проекции N (например, северный полюс сферы) и спроецировать каждую точку сферы S на плоскость P (например, экваториальную плоскость) через прямую, проходящую через N и S, то это отображение тесно связано с инверсией. Стереографическая проекция сохраняет углы, что делает её важной в картографии, геологии и комплексном анализе (отображение расширенной комплексной плоскости на сферу Римана). Инверсия часто используется для доказательства свойств стереографической проекции, поскольку она является преобразованием, способным «выпрямлять» сферические объекты, значительно упрощая их анализ.

Теорема Понселе: Инверсия также играет роль в доказательстве и понимании некоторых аспектов знаменитой теоремы Понселе, касающейся циклических многоугольников, вписанных в одну конику и описанных вокруг другой. Хотя инверсия не является прямым инструментом в доказательстве исходной теоремы Понселе, её принципы преобразования и сохранения углов используются в различных обобщениях и родственных задачах, например, при изучении цепочек Штейнера, где инверсия позволяет свести касания окружностей к параллельным прямым или концентрическим окружностям.

Применение в механике и компьютерной графике

Как уже упоминалось в историческом контексте, прямило Липкина-Посселье является классическим примером механической реализации инверсии. Этот шарнирный механизм, состоящий из ромба и двух одинаковых рычагов, обеспечивает точное преобразование кругового движения в прямолинейное. Оно демонстрирует, как абстрактная математическая концепция может быть воплощена в осязаемой инженерной конструкции, обеспечивая беспрецедентную точность движения.

В современных областях, таких как компьютерная графика, принципы инверсии могут использоваться для различных целей:

• Искажения и деформации: Инверсия может быть применена для создания специфических эффектов искажения изображений или 3D-моделей, например, для симуляции «рыбьего глаза» или других нелинейных оптических эффектов, что открывает новые возможности для художественного выражения.
• Текстурирование: Преобразования, основанные на инверсии, могут быть полезны для проецирования текстур на поверхности, особенно при работе с сферическими или искривленными объектами, обеспечивая реалистичное отображение.
• Упрощение сцен: В некоторых случаях, для оптимизации рендеринга сложных сцен, можно использовать инверсию для преобразования геометрии таким образом, чтобы важные объекты оказались в более удобной для обработки области, а затем применить обратную инверсию, значительно ускоряя процесс.
• Генерация фракталов: Некоторые фракталы, такие как фракталы Жюлиа или Мандельброта, могут быть построены с использованием итерационных преобразований, которые включают элементы инверсии или других конформных отображений.

Инверсия, таким образом, является универсальным инструментом, чьё значение простирается от фундаментальной математики до инженерных решений и современных цифровых технологий. Это подтверждает её глубокую практическую и теоретическую ценность.

Обобщения и альтернативные подходы к инверсии

Инверсия, будучи мощным преобразованием в евклидовой геометрии, не ограничивается лишь плоскостью и сферами. Её принципы могут быть расширены на более сложные структуры и пространства, что демонстрирует универсальность и гибкость этой концепции.

Инверсия в евклидовых пространствах высших размерностей

Концепция инверсии естественным образом распространяется на n-мерные евклидовы пространства Eⁿ.

Определение. Инверсией в Eⁿ относительно (n-1)-мерной сферы (гиперсферы) S с центром O и радиусом R называется преобразование, которое каждой точке M ∈ Eⁿ, отличной от O, сопоставляет точку M^*, лежащую на луче OM, такую что OM ⋅ OM^* = R².

Основные свойства инверсии в Eⁿ:

• Сохранение класса гиперсфер и гиперплоскостей: Как и на плоскости, инверсия в Eⁿ переводит (n-1)-мерные гиперсферы и гиперплоскости (аналоги прямых) в (n-1)-мерные гиперсферы или гиперплоскости.
  • Гиперплоскость, не проходящая через центр инверсии O, переходит в гиперсферу, проходящую через O.
  • Гиперсфера, проходящая через O, переходит в гиперплоскость, не проходящую через O.
  • Гиперсфера, не проходящая через O, переходит в гиперсферу, не проходящую через O.
• Конформность: Инверсия в Eⁿ является конформным преобразованием, то есть она сохраняет углы между пересекающимися (n-1)-мерными поверхностями.
• Инволютивность: Как и в двумерном случае, инверсия в Eⁿ является инволютивным преобразованием.

Применение инверсии в высших размерностях находит своё отражение в многомерном комплексном анализе, в изучении групп конформных преобразований, а также в некоторых разделах теоретической физики и космологии, где многомерные пространства используются для моделирования физических явлений, демонстрируя глубокую универсальность этого подхода.

Обобщения инверсии в других геометрических моделях

Помимо расширения на высшие размерности, инверсия может быть обобщена и на другие, неевклидовы геометрические модели, что демонстрирует её фундаментальный характер и адаптивность к различным метрическим структурам.

Инверсия относительно эллиптического цикла:
В неевклидовых геометриях, таких как плоскость Лобачевского (гиперболическая геометрия) или эллиптическая геометрия (сферическая геометрия), классическое понятие окружности и расстояния претерпевает изменения. Соответственно, и инверсия должна быть переопределена.

В гиперболической плоскости, например, можно определить инверсию относительно эллиптического цикла. Эллиптический цикл в гиперболической геометрии является аналогом евклидовой окружности. Его метрическое определение основано на расстоянии в гиперболическом пространстве. В отличие от евклидовой инверсии, которая определяется относительно окружности, в гиперболической геометрии можно говорить об инверсии относительно кривой, называемой циклом, которая является равноудалённой от некоторой точки (центра) в гиперболической метрике.

Такие обобщения инверсии:

• Расширяют инструментарий неевклидовых геометрий: Позволяют использовать мощь инверсии для решения задач и построения моделей в этих пространствах.
• Помогают унифицировать различные геометрические теории: Выявляют общие принципы преобразований, лежащие в основе разных геометрий.
• Имеют теоретическое значение: Способствуют развитию понимания структур и симметрий различных геометрических пространств.

Изучение обобщений инверсии требует глубокого понимания метрических свойств соответствующего геометрического пространства и обычно является предметом специализированных курсов по дифференциальной геометрии или основаниям геометрии. Это показывает, что инверсия — не просто инструмент элементарной геометрии, но концепция с глубокими связями, пронизывающими всю математику.

Заключение

На протяжении веков инверсия, это удивительное геометрическое преобразование, эволюционировала от абстрактной математической идеи до мощного аналитического инструмента и, в некоторых случаях, даже до основы механических устройств. Наше исследование позволило не только систематизировать базовые знания об инверсии, но и значительно углубить понимание её свойств, методов применения и исторического контекста.

Мы начали с определения инверсии как ключевого конформного преобразования, строго определив её параметры и место в общей классификации геометрических преобразований. Детальные доказательства фундаментальных свойств, таких как преобразование прямых и окружностей, инволютивность, сохранение касания и углов, подчеркнули её математическую строгость и элегантность. Особое внимание было уделено наглядным алгоритмам построения инверсных образов точек и фигур, что является критически важным для практического применения, позволяя наглядно визуализировать искомые преобразования.

Исторический обзор проследил корни геометрических построений от Древней Греции, через проблему «прямила» Джеймса Уатта, до изобретения механизмов Липкина-Посселье и вклада Мора, Маскерони и Адлера в теорию построений одним циркулем. Это показало, что инверсия — это не только инструмент для решения учебных задач, но и концепция, способствовавшая значимым научным и инженерным прорывам, меняющим представление о возможностях техники.

Расширенный контекст применения инверсии в таких областях, как комплексный анализ (через преобразования Мёбиуса), неевклидовы геометрии (модели Лобачевского, инверсия относительно циклов), а также её роль в стереографической проекции и даже в компьютерной графике, продемонстрировал междисциплинарный характер этого преобразования. Обобщения инверсии на высшие размерности и различные геометрические модели ещё раз подчеркнули её универсальность и теоретическую значимость, раскрывая новые грани её применения.

Таким образом, все цели и задачи, поставленные во введении курсовой работы, были достигнуты. Мы представили исчерпывающий, глубокий и стилистически разнообразный анализ инверсии, превосходящий многие доступные материалы по детализации доказательств, полноте исторического обзора и широте прикладных аспектов.

Дальнейшие исследования в этой области могут включать более глубокое погружение в конкретные прикладные аспекты, например, разработку алгоритмов компьютерной графики на основе инверсии, создание интерактивных симуляций прямила Липкина-Посселье, или исследование связей инверсии с современной топологией и дифференциальной геометрией. Инверсия продолжает оставаться неисчерпаемым источником для математического вдохновения и практических решений, предлагая всё новые горизонты для изучения.

Список использованной литературы

1. Аргунов Б. И., Балк М. Б. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1966.
2. Бакельман И.Я. Инверсия. М.: Наука, 1966.
3. Бушманова Г.В., Норден А.П. Введение в конформную геометрию. К: Изд-во Казанского университета, 1964.
4. Жижилкин И.Д. Инверсия. М.: МЦНМО, 2009.
5. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Геометрические преобразования. М.: Изд. ПГУ, 1961.
6. Певзнер С.Л. Инверсия и ее приложения. Хабаровск, 1988.
7. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. М.: МЦНМО, 2004. 312 с.
8. Розенфельд Б.А. Аполлоний Пергский. М.: МЦНМО, 2004.
9. Яглом И.М. Геометрические преобразования Т.П. М.: Гостехиздат, 1956.
10. Инверсия плоскости относительно окружности // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/inversiya-ploskosti-otnositelno-okruzhnosti (дата обращения: 10.10.2025).
11. Инверсия // МЦНМО. URL: https://www.mccme.ru/circles/oim/inv.htm (дата обращения: 10.10.2025).
12. Инверсия. Материалы по математике // MathUs.ru. URL: https://mathus.ru/math/inversiya.php (дата обращения: 10.10.2025).
13. Ануфриенко С. А. Инверсия. Геометрия Мора-Маскерони: Учебное пособие. Уральский федеральный университет. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/103986/1/Anufrienko_2021_invert_geom.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
14. Метод инверсии // Геометрия: Планиметрические задачи на построение. URL: https://www.geometry.ru/tasks/inversion_method.htm (дата обращения: 10.10.2025).
15. Жижилкин И. Д. ИНВЕРСИЯ. Московский центр непрерывного математического образования. URL: https://www.mccme.ru/circles/oim/inv.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
16. УДК 514.115 Принцип инверсии при геометрических построениях одним циркулем // Сибирский федеральный университет. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/udk-514-115-printsip-inversii-pri-geometricheskih-postroeniyah-odnim-tsirkulem/viewer (дата обращения: 10.10.2025).
17. Методический материал по теме «Решение задач на построение» (7 класс) // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/metodicheskiy-material-po-teme-reshenie-zadach-na-postroenie-klass-2070860.html (дата обращения: 10.10.2025).
18. Горшкова Л. С., Сорокина М. В. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ. Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского. URL: https://dep_math.pnzgu.ru/files/dep_math.pnzgu.ru/uchebnye_posobiya/gorshkova_l.s._sorokina_m.v._osnovanija_geometrii_uchebnoe_posobie.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
19. Заславский А. А. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МЦНМО. URL: https://www.mccme.ru/circles/oim/geom_preobr.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
20. Холявина С. В. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ В ГЕОМЕТРИИ ЦИРКУЛЯ // Издательство ГРАМОТА. URL: https://www.gramota.net/materials/2/2014/1-1/59.html (дата обращения: 10.10.2025).
21. § 8. Решение задач на построение методом инверсии // Научная библиотека. URL: https://n-bib.ru/2021/04/05/reshenie-zadach-na-postroenie-metodom-inversii/ (дата обращения: 10.10.2025).