Надежность и резервирование систем: комплексный анализ методов, моделей и современных подходов

В условиях стремительного развития технологий и повсеместного внедрения сложных технических систем — от космических аппаратов и критически важных промышленных комплексов до распределенных программных решений и медицинского оборудования — вопрос их надежности приобретает первостепенное значение. Отказ даже одного элемента может привести к катастрофическим последствиям: финансовым потерям, угрозе безопасности, потере данных или даже человеческим жертвам. Поэтому обеспечение отказоустойчивости становится не просто желательным, а обязательным требованием к проектированию и эксплуатации современных систем, ибо без этого невозможно гарантировать стабильность и безопасность функционирования.

Одним из наиболее эффективных и широко применяемых методов повышения надежности и отказоустойчивости является резервирование. Этот подход предполагает введение избыточности в систему — дополнительных средств и возможностей, превышающих минимально необходимые для выполнения заданных функций. Резервирование позволяет системе продолжать функционировать или быстро восстанавливаться после отказа одного или нескольких её компонентов, тем самым обеспечивая непрерывность выполнения критически важных задач.

Настоящая курсовая работа посвящена систематизации и глубокому анализу различных методов резервирования систем. Мы рассмотрим их классификацию, принципы функционирования, математические модели для расчёта характеристик надёжности как для невосстанавливаемых, так и для восстанавливаемых систем. Особое внимание будет уделено сравнительному анализу этих подходов, а также современным тенденциям и факторам выбора оптимального метода резервирования. Целью работы является формирование комплексного представления о теории и практике резервирования, что станет прочной основой для дальнейшего изучения и применения этих знаний в инженерной деятельности.

Основные понятия и определения

Прежде чем погрузиться в детали резервирования, необходимо дать чёткие определения ключевых терминов, которые будут использоваться на протяжении всего анализа. Понимание этих фундаментальных концепций критически важно для построения корректных математических моделей и адекватной оценки надёжности.

• Надежность – это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования. Это комплексное понятие, включающее безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость.
• Отказоустойчивость – это способность системы продолжать выполнять свои функции, несмотря на отказ одного или нескольких её компонентов. Резервирование является одним из основных механизмов обеспечения отказоустойчивости.
• Резервирование – это метод повышения надёжности объекта путем введения избыточности, то есть использования дополнительных элементов, устройств или целых систем, которые принимают на себя функции основных в случае их отказа.
• Виды резерва: Под «резервом» понимается совокупность избыточных ресурсов, которые могут быть активированы для поддержания работоспособности системы. Различают несколько видов резерва в зависимости от режима работы резервных элементов, о которых будет сказано подробнее ниже.
• Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.
• Вероятность безотказной работы (P(t)) – вероятность того, что в пределах заданной наработки или до заданного момента времени отказ объекта не возникнет. Для невосстанавливаемых систем это ключевой показатель.
• Средняя наработка до отказа (MTTF — Mean Time To Failure) – математическое ожидание времени безотказной работы объекта. Это среднее время, в течение которого система функционирует без сбоев.
• Интенсивность отказов (λ) – условная плотность вероятности отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не произошёл. Часто выражается в отказах на единицу времени (например, 1/час).
• Среднее время наработки на отказ (MTBF — Mean Time Between Failures) – для восстанавливаемых систем это математическое ожидание интервала времени между двумя последовательными отказами.
• Среднее время восстановления (MTTR — Mean Time To Repair) – математическое ожидание времени, необходимого для восстановления работоспособности отказавшего объекта.
• Коэффициент готовности (K_г) – вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. Это основной показатель для восстанавливаемых систем.
• Стационарный коэффициент готовности (K_г,ст) – коэффициент готовности, определённый для стационарного режима работы, когда вероятности состояний системы не зависят от времени.

Классификация методов резервирования и принципы функционирования

Методы резервирования представляют собой многогранный инструментарий для повышения надёжности и отказоустойчивости систем. Их классификация позволяет систематизировать подходы и выбирать наиболее подходящий для конкретных условий применения, а также глубже понять, почему определённые решения являются наиболее эффективными в конкретных сценариях.

Виды избыточности и их реализация

Введение избыточности является сутью резервирования. Избыточность — это дополнительные средства и возможности, которые превосходят минимально необходимые для выполнения системой её функций. Она может проявляться в различных формах, каждая из которых имеет свою специфику и область применения:

• Структурная (аппаратная) избыточность – это наиболее распространённый вид резервирования, заключающийся во введении в систему дополнительных физических элементов, устройств или даже целых систем. Примерами могут служить дублирование процессоров в отказоустойчивых серверах, использование нескольких параллельных каналов связи или резервных блоков питания.
• Информационная избыточность – достигается за счёт введения избыточной информации, которая позволяет обнаруживать и корректировать ошибки. Классические примеры: контрольные суммы, коды Хэмминга, многократная передача данных. Эта избыточность широко используется в системах хранения и передачи данных.
• Временная избыточность – предусматривает использование дополнительного времени для выполнения задач. Это может быть время на повторное выполнение операций в случае сбоя, устранение неисправностей или ожидание освобождения ресурсов. Например, в системах реального времени могут предусматриваться временные интервалы для повторной обработки некорректных данных.
• Нагрузочная избыточность – относится к способности элементов системы выдерживать нагрузки, превышающие номинальные, или распределять нагрузку между большим количеством элементов, чем необходимо в обычном режиме. Например, система из трёх серверов, рассчитанных на обработку пиковой нагрузки при работе двух из них.
• Алгоритмическая избыточность – связана с применением различных алгоритмов для выполнения одной и той же функции или для обнаружения ошибок в вычислениях. Например, использование двух разных алгоритмов для проверки целостности данных или для вычисления результата с последующим сравнением.
• Программная избыточность – заключается в дублировании программных модулей или использовании различных версий программного обеспечения для выполнения одной и той же задачи. Часто применяется в критически важных системах, где отказ программного обеспечения недопустим (например, в авионике).
• Режимная избыточность – использование различных режимов работы системы, позволяющих ей продолжать функционировать, хотя бы с ухудшением характеристик, в случае отказа некоторых элементов. Например, переход на режим пониженного энергопотребления или выполнение только критически важных функций.

Классификация по способу соединения элементов

Способ соединения элементов резервированной системы определяет, как резервные компоненты интегрированы в общую структуру и как они взаимодействуют с основными.

• Общее резервирование – при этом подходе резервируется система в целом. То есть, вместо одного основного устройства устанавливается несколько идентичных, работающих параллельно или последовательно. При отказе одного из них, функции продолжают выполняться другими. Достоинством является относительно простая логика управления, а недостатком – неэффективное использование резерва, так как отказ любого элемента в системе приводит к замене всей системы или её значительной части.
• Раздельное (поэлементное) резервирование – резервируются отдельные части (элементы) системы. Например, в вычислительной системе могут быть резервные процессоры, резервная оперативная память, резервные блоки ввода-вывода. Этот подход более гибок и эффективен, поскольку резерв используется целенаправленно для замены отказавшего элемента, а не всей подсистемы. Однако он требует более сложной логики обнаружения отказов и переключения.

Классификация по способу включения резерва

Данная классификация определяет, когда и как резервный элемент вступает в работу.

• Постоянное резервирование (постоянно включенный резерв) – резервные элементы постоянно участвуют в работе объекта наравне с основными. Это означает, что они находятся в активном режиме и готовы немедленно принять на себя нагрузку. Достоинством является отсутствие перерыва в работе при отказе основного элемента и простота схемы. Недостаток — все элементы, включая резервные, подвержены одинаковым нагрузкам и «старению», что может привести к их одновременному выходу из строя.
• Резервирование замещением – функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного. Для этого требуются специальные контролирующие и переключающие устройства, которые обнаруживают отказ и активируют резерв. Преимущество — резервные элементы не вырабатывают свой ресурс до момента включения. Недостатки — задержка на переключение, сложность и, что критично, собственная ненадежность переключающих устройств.
• Скользящее резервирование – является разновидностью резервирования замещением. В этом случае группа основных элементов системы резервируется одним или несколькими резервными элементами, которые способны заменить любой отказавший основной элемент в этой группе. Это экономичный подход, когда один резервный элемент может обслуживать несколько основных, но требует сложного управления и высокой надёжности переключателя.

Классификация по режиму работы резервных элементов

Режим работы резервных элементов до отказа основного определяет их надёжность и готовность к работе.

• Нагруженный («горячий») резерв – резервные элементы постоянно находятся в рабочем режиме, идентичном режиму основного элемента. Они работают параллельно или активно, выполняя те же функции, что и основной. Это обеспечивает мгновенное переключение, но все элементы «стареют» одновременно и потребляют энергию.
• Облегченный («теплый» или «недогруженный») резерв – резервные элементы находятся в менее нагруженном режиме, чем основной. Это означает, что они получают питание, но не выполняют активных функций или работают с пониженной производительностью. Это повышает их надёжность до момента включения по сравнению с «горячим» резервом, но может потребовать небольшого времени на запуск и выход на полную мощность.
• Ненагруженный («холодный») резерв – резервные элементы находятся в полностью ненагруженном режиме до момента выполнения ими функций основного элемента. Они не получают питания и не подвергаются износу. При этом они считаются абсолютно надёжными до включения. Это обеспечивает максимальную надёжность резервных элементов, но требует наличия надёжного переключающего устройства и времени на запуск.

Классификация по характеру восстанавливаемости

Этот аспект принципиально разделяет подходы к анализу надёжности.

• Резервирование с восстановлением (восстанавливаемые резервированные системы) – это системы, которые допускают ремонт в процессе выполнения своих функций. При отказе одного из элементов система прекращает функционирование только на период устранения отказа. После ремонта элемент или система вновь готовы к работе. Анализ таких систем требует учета времени восстановления и ремонтных мощностей.
• Резервирование без восстановления (невосстанавливаемые резервированные системы) – системы, которые не допускают ремонта в процессе выполнения функций. При отказе любого элемента (или группы элементов, если это приводит к потере работоспособности) выполняемая операция срывается, и система считается вышедшей из строя. Анализ таких систем сосредоточен на вероятности безотказной работы до первого отказа.

Кратность резервирования, определяемая как отношение числа резервных элементов к числу основных (выраженное несокращённой дробью), является важной количественной характеристикой. Например, однократное резервирование, когда на каждый основной элемент приходится один резервный, называется дублированием.

Математические модели надежности невосстанавливаемых резервированных систем

Анализ надёжности невосстанавливаемых систем является краеугольным камнем теории надёжности. Такие системы, как правило, не подлежат ремонту в процессе эксплуатации, и их работоспособность критична до первого отказа. Поэтому математические модели сосредоточены на расчёте вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа.

Основные показатели надежности невосстанавливаемых систем

Для количественной оценки надёжности невосстанавливаемых систем используются следующие ключевые показатели:

• Вероятность безотказной работы (P(t)): Вероятность того, что объект не откажет в течение заданного интервала времени [0, t]. Если функция распределения времени безотказной работы F(t), то P(t) = 1 — F(t).
• Плотность распределения отказов (f(t)): Производная функции распределения отказов F(t). Она характеризует вероятность отказа в единицу времени в момент t. f(t) = dF(t)/dt.
• Интенсивность отказов (λ(t)): Условная плотность вероятности отказа, определяемая при условии, что до момента времени t отказ не произошёл. λ(t) = f(t)/P(t). Для экспоненциального закона распределения λ(t) = λ = const.
• Средняя наработка до отказа (T₀ или MTTF): Математическое ожидание времени безотказной работы. T₀ = ∫₀^∞ P(t)dt. Для экспоненциального закона распределения T₀ = 1/λ.

Моделирование систем с нагруженным (горячим) резервом

При нагруженном (горячем) резервировании все элементы, включая резервные, работают одновременно и находятся под одинаковой нагрузкой. Система считается работоспособной до тех пор, пока хотя бы один элемент остаётся исправным. Это классический случай параллельного соединения элементов.

Для системы, состоящей из n независимых, одинаковых элементов, работающих параллельно (где n = m+1, если m — кратность резервирования), вероятность отказа любого отдельного элемента за время t равна 1 — P_эл(t). Поскольку все элементы независимы, вероятность того, что откажут все n элементов, будет произведением вероятностей их индивидуальных отказов:

P_{отк.сист}(t) = (1 — P_эл(t))ⁿ

Соответственно, вероятность безотказной работы всей системы (то есть вероятность того, что не все элементы откажут) составит:

P_{безотказ.сист}(t) = 1 — P_{отк.сист}(t) = 1 — (1 — P_эл(t))ⁿ

Если элементы имеют экспоненциальный закон распределения наработки на отказ с интенсивностью λ, то P_эл(t) = e^-λt. Тогда:

P_{безотказ.сист}(t) = 1 — (1 — e^-λt)ⁿ

Среднее время наработки на отказ для такой системы будет значительно выше, чем для одного элемента. Например, для дублированной системы (n=2):

P_{безотказ.сист}(t) = 1 — (1 — e^-λt)² = 1 — (1 — 2e^-λt + e^-2λt) = 2e^-λt — e^-2λt

T_0,сист = ∫₀^∞ (2e^-λt — e^-2λt) dt = [ -2/λ e^-λt + 1/(2λ) e^-2λt ]₀^∞ = (0 — 0) — ( -2/λ + 1/(2λ) ) = 2/λ — 1/(2λ) = 3/(2λ) = 1.5 T_0i

Как видно, среднее время наработки на отказ системы с горячим дублированием в полтора раза выше, чем у одиночного элемента.

Моделирование систем с ненагруженным (холодным) резервом

При ненагруженном (холодном) резервировании резервные элементы находятся в полностью ненагруженном состоянии до момента, когда основной элемент выходит из строя. Предполагается, что в таком режиме они абсолютно надежны и их интенсивность отказов равна нулю. Это делает «холодный» резерв очень эффективным с точки зрения сохранения ресурса резервных элементов.

Рассмотрим систему, состоящую из одного основного и m идентичных резервных элементов, где каждый элемент имеет экспоненциальный закон распределения наработки на отказ с интенсивностью λ. Переключение на резервный элемент происходит мгновенно и без отказа.

Вероятность безотказной работы системы P(t) определяется суммой вероятностей того, что в течение времени t откажет не более m элементов. Это соответствует пуассоновскому процессу отказов. Если число отказов за время t следует пуассоновскому распределению с параметром λt, то вероятность *k* отказов за время *t* равна:

P_k(t) = ^(λt)k/_k! e^-λt

Система будет работоспособна, если число отказов не превысит m. Следовательно, вероятность безотказной работы системы с m резервными элементами:

P(t) = Σ_i=0^m P_i(t) = e^-λt Σ_i=0^{m (λt)i}/_i!

Среднее время наработки на отказ для такой системы рассчитывается как сумма средних наработок на отказ всех элементов, поскольку они включаются последовательно:

T₀ = (m + 1) * T_0i = (m + 1) / λ

Например, для системы с одним основным и одним холодным резервным элементом (m=1):

P(t) = e^-λt ( ^(λt)0/_0! + ^(λt)1/_1! ) = e^-λt (1 + λt)

T₀ = (1 + 1) / λ = 2 / λ = 2 * T_0i

Как видно, среднее время наработки на отказ удваивается при добавлении одного холодного резервного элемента, что демонстрирует высокую эффективность этого метода.

Особенности расчета надежности систем с облегченным (частично нагруженным) резервом

Облегченный (или «теплый», «недогруженный») резерв представляет собой промежуточный вариант между «горячим» и «холодным» резервированием. Резервные элементы находятся в менее напряженном режиме, чем основные, что снижает интенсивность их отказов по сравнению с нагруженным режимом, но не до нуля, как в холодном резерве. Это делает математическое моделирование таких систем значительно более сложным.

Точные формулы расчета надёжности для систем с облегченным резервом, как правило, громоздки и часто требуют решения интегральных уравнений. Это связано с тем, что интенсивность отказов резервного элемента изменяется в момент его включения в работу (она возрастает с λ_облегч до λ_осн).

Вероятность безотказной работы системы с облегченным резервированием, состоящей из одного основного и одного резервного элемента, может быть выражена через интегральную формулу. Пусть P_осн(t) — вероятность безотказной работы основного элемента, f_осн(τ) — плотность распределения времени безотказной работы основного элемента, а P_{рез.облегч}(t-τ) — вероятность безотказной работы резервного элемента, который проработал в облегченном режиме до момента τ, а затем был включен в рабочий режим и проработал в нём ещё (t-τ) времени. Тогда общая вероятность безотказной работы системы:

P(t) = P_осн(t) + ∫₀^t f_осн(τ) P_{рез.облегч}(t-τ) dτ

Здесь P_{рез.облегч}(t-τ) в свою очередь зависит от интенсивности отказов в облегченном режиме (λ_облегч) и в рабочем режиме (λ_осн). Если интенсивность отказов резервного элемента в облегченном режиме равна λ₁, а после включения в рабочий режим становится λ₂, то вероятность безотказной работы резервного элемента, включившегося в момент τ и работающего до t, будет иметь сложную зависимость. Например, при экспоненциальных законах:

P_{рез.облегч}(t-τ) = e^-λ₁τ * e^-λ₂(t-τ)

Подстановка этих выражений в интеграл часто приводит к вычислительно интенсивным задачам, требующим использования численных методов или приближенных подходов. В практических расчётах иногда используются упрощенные модели или имитационное моделирование.

Влияние надежности переключающих устройств на общую надежность

При резервировании замещением, особенно с облегченным или холодным резервом, неотъемлемой частью системы является переключающее устройство. Его функция — обнаруживать отказ основного элемента и мгновенно (или с минимальной задержкой) подключать резервный. Надежность этого устройства критически важна для общей надежности всей резервированной системы.

Представьте себе систему, где надёжность основного и резервного элементов очень высока, но переключающее устройство имеет относительно низкую надёжность. В этом случае, даже если основной элемент выйдет из строя, резервный может не быть подключен из-за отказа переключателя. Таким образом, ненадежность переключающего устройства может полностью нивелировать преимущества резервирования и даже привести к тому, что общая надёжность резервированной системы окажется ниже, чем у нерезервированной системы. Ведь какой смысл в наличии резерва, если система не способна его активировать?

Математически это проявляется в том, что вероятность безотказной работы переключателя (P_П(t)) становится сомножителем в формуле общей надёжности системы. Например, для системы с одним основным и одним резервным элементом, работающей по схеме резервирования замещением, вероятность безотказной работы системы P_сист(t) может быть представлена как:

P_сист(t) = P_осн(t) + P_П(t) * P_рез(t | отказ осн в τ) * P_{осн.отк}(τ)

Где P_{осн.отк}(τ) — вероятность отказа основного элемента в момент τ. Эта формула усложняется, поскольку P_рез(t | отказ осн в τ) — это условная вероятность безотказной работы резервного элемента, зависящая от того, сколько времени он находился в резерве до момента включения. При экспоненциальном законе распределения наработки до отказа, если интенсивность отказов переключающего устройства равна λ_П, то его вероятность безотказной работы P_П(t) = e^-λ_Пt. Включение этого множителя в общую формулу надёжности существенно снижает её значение, особенно при больших временах эксплуатации.

Таблица 1: Влияние надежности переключателя на общую надежность дублированной системы с холодным резервом

Параметр	Описание	Значение
Интенсивность отказов основного элемента (λ)	Характеризует частоту отказов основного элемента.	0.0001 1/час
Средняя наработка основного элемента (T0i)	Равно 1/λ.	10000 часов
Интенсивность отказов переключателя (λП)	Характеризует частоту отказов переключающего устройства.	0.00001 1/час
Время работы (t)	Период, для которого оценивается надежность.	1000 часов
Вероятность безотказной работы:
Без учета переключателя	P(t) = e-λt(1 + λt)	0.9999 (почти 1)
С учетом переключателя (приближенно)	Pсист(t) ≈ P(t) * e-λПt	0.9899

Из таблицы видно, что даже при относительно небольшой интенсивности отказов переключателя (λ_П = 0.1λ), общая надёжность системы за 1000 часов снижается с 0.9999 до 0.9899. Это подчёркивает, что при проектировании резервированных систем необходимо уделять пристальное внимание надёжности всех компонентов, включая вспомогательные.

Математические модели надежности восстанавливаемых резервированных систем и основы теории массового обслуживания

В отличие от невосстанавливаемых, восстанавливаемые системы допускают ремонт отказавших элементов, что принципиально меняет подход к их анализу. Здесь на первый план выходят показатели, учитывающие как отказы, так и возможности восстановления.

Показатели надежности восстанавливаемых систем

Для восстанавливаемых систем используются следующие ключевые показатели:

• Коэффициент готовности (K_г): Вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени. Это один из наиболее важных показателей для таких систем, поскольку он отражает долю времени, в течение которого система находится в работоспособном состоянии. K_г = MTBF / (MTBF + MTTR).
• Стационарный коэффициент готовности (K_г,ст): Коэффициент готовности, определённый для стационарного режима работы, когда вероятности состояний системы не зависят от времени. Он рассчитывается при t → ∞.
• Среднее время восстановления (MTTR — Mean Time To Repair): Математическое ожидание времени, необходимого для восстановления работоспособности отказавшего объекта. Чем меньше MTTR, тем выше ремонтопригодность и, соответственно, коэффициент готовности.
• Интенсивность восстановления (μ): Величина, обратная среднему времени восстановления (μ = 1/MTTR), для экспоненциального закона распределения времени восстановления.

Графы состояний и переходов для восстанавливаемых систем

Процесс функционирования восстанавливаемой резервированной системы удобно представлять в виде графа состояний и переходов. Это визуальный и математический инструмент, который позволяет отслеживать все возможные состояния системы и переходы между ними.

В графе:

• Вершины отображают возможные состояния системы. Каждое состояние описывает количество исправных и отказавших элементов, а также, возможно, их статус (например, в ремонте, ожидают ремонта). Например, G₀ — все элементы исправны; G₁ — один элемент отказал, остальные исправны; G₂ — два элемента отказали и т.д.
• Дуги (рёбра) отображают переходы между этими состояниями. Каждой дуге приписывается интенсивность перехода, которая представляет собой вероятность перехода из одного состояния в другое в единицу времени. Интенсивности переходов обычно связаны с интенсивностями отказов (λ) и интенсивностями восстановлений (μ) элементов системы.

Например, для дублированной восстанавливаемой системы (m=1) с двумя идентичными элементами, где есть одна ремонтная бригада, могут быть выделены следующие состояния:

• G₀: Оба элемента исправны (основной и резервный). Система полностью работоспособна.
• G₁: Один из элементов отказал, другой исправен. Отказавший элемент находится в ремонте. Система работоспособна, но работает без резерва.
• G₂: Оба элемента отказали. Система неработоспособна. Оба элемента находятся в ремонте или ожидают его.

Марковские процессы и система дифференциальных уравнений Колмогорова

Если потоки отказов и восстановлений являются пуассоновскими (то есть независимыми, стационарными и без последствий), а времена наработки на отказ и восстановления распределены по экспоненциальному закону, то случайный процесс функционирования системы является марковским. Марковский процесс характеризуется отсутствием «памяти»: будущее состояние системы зависит только от её текущего состояния, а не от того, как она пришла в это состояние.

Марковские процессы описываются системой линейных дифференциальных уравнений Колмогорова. Эта система уравнений позволяет найти вероятности нахождения системы в каждом из возможных состояний в любой момент времени P_i(t). Число уравнений в системе равно числу состояний в графе.

Принцип составления системы дифференциальных уравнений: для каждого состояния *i* производная вероятности нахождения системы в этом состоянии (dP_i(t)/dt) равна сумме интенсивностей переходов, входящих в это состояние, минус сумма интенсивностей переходов, исходящих из этого состояния.

Пример расчета надежности дублированной восстанавливаемой системы

Рассмотрим дублированную восстанавливаемую систему, состоящую из двух идентичных элементов. Пусть λ — интенсивность отказов одного элемента, а μ — интенсивность восстановления (предполагается одна ремонтная бригада).

Шаг 1: Построение графа состояний.

• Состояние G₀ (P₀(t)): Оба элемента исправны.
• Состояние G₁ (P₁(t)): Один элемент отказал, другой исправен. Отказавший элемент ремонтируется.
• Состояние G₂ (P₂(t)): Оба элемента отказали. Система неработоспособна. Оба элемента (или один, если ремонт последовательный) ремонтируются.

Переходы между состояниями:

• Из G₀ в G₁: Отказ одного из двух исправных элементов. Интенсивность перехода: 2λ (поскольку любой из двух может отказать).
• Из G₁ в G₀: Восстановление отказавшего элемента. Интенсивность перехода: μ (если одна ремонтная бригада).
• Из G₁ в G₂: Отказ второго (оставшегося исправным) элемента, пока первый ремонтируется. Интенсивность перехода: λ.
• Из G₂ в G₁: Восстановление одного из двух отказавших элементов. Интенсивность перехода: μ (если восстанавливается один элемент).

Шаг 2: Составление системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

Для каждого состояния dP_i(t)/dt = (сумма входящих интенсивностей) — (сумма исходящих интенсивностей).

1. Для состояния G₀:
   dP₀(t)/dt = — (2λ)P₀(t) + μP₁(t)
   (Исходящий переход в G₁ с интенсивностью 2λ; входящий переход из G₁ с интенсивностью μ)

2. Для состояния G₁:
   dP₁(t)/dt = (2λ)P₀(t) — (λ + μ)P₁(t) + μP₂(t)
   (Входящий переход из G₀ с интенсивностью 2λ; исходящий переход в G₂ с интенсивностью λ; исходящий переход в G₀ с интенсивностью μ; входящий переход из G₂ с интенсивностью μ)

3. Для состояния G₂:
   dP₂(t)/dt = λP₁(t) — μP₂(t)
   (Входящий переход из G₁ с интенсивностью λ; исходящий переход в G₁ с интенсивностью μ)

К этой системе добавляется условие нормировки:
P₀(t) + P₁(t) + P₂(t) = 1

Начальные условия, например, P₀(0) = 1, P₁(0) = 0, P₂(0) = 0 (в начальный момент все элементы исправны).

Решение этой системы дифференциальных уравнений позволяет найти P₀(t), P₁(t), P₂(t). Затем можно рассчитать интересующие показатели надежности:

• Вероятность работоспособности системы: P_раб(t) = P₀(t) + P₁(t)
• Коэффициент готовности: K_г(t) = P₀(t) + P₁(t)
• Стационарный коэффициент готовности: находится при dP_i(t)/dt = 0 (то есть система находится в установившемся режиме).

Для стационарного режима система уравнений упрощается:
0 = — (2λ)P₀ + μP₁
0 = (2λ)P₀ — (λ + μ)P₁ + μP₂
0 = λP₁ — μP₂
P₀ + P₁ + P₂ = 1

Из третьего уравнения: P₂ = (λ/μ)P₁.
Подставляем P₂ в первое уравнение:
P₁ = (2λ/μ)P₀.
Подставляем P₁ и P₂ в условие нормировки:
P₀ + (2λ/μ)P₀ + (λ/μ)(2λ/μ)P₀ = 1
P₀ (1 + 2λ/μ + 2λ²/μ²) = 1
P₀ = ¹/_{(1 + ^2λ/μ + 2(^λ/μ)²)}

Тогда стационарный коэффициент готовности:
K_г,ст = P₀ + P₁ = P₀ + (2λ/μ)P₀ = P₀ (1 + 2λ/μ)
K_г,ст = ^{(1 + 2λ/_μ)}/_{(1 + ^2λ/μ + 2(^λ/μ)²)}

Этот пример демонстрирует, как с помощью графов состояний и уравнений Колмогорова можно анализировать сложные динамические процессы в восстанавливаемых системах.

Применение теории массового обслуживания (ТМО)

Теория массового обслуживания (ТМО) — это математический аппарат, который идеально подходит для анализа систем, где возникают случайные требования на выполнение услуг, и происходит обслуживание этих требований, также имеющее случайный характер. Восстанавливаемые резервированные системы по своей сути являются системами массового обслуживания.

Основные понятия ТМО, применимые для анализа восстанавливаемых резервированных систем:

• Поток заявок (поток отказов): Это последовательность отказов элементов системы, которые требуют обслуживания (ремонта). Чаще всего предполагается пуассоновский поток заявок, характеризующийся интенсивностью λ.
• Каналы обслуживания (ремонтные бригады): Это ресурсы, выполняющие ремонт. Их количество (C) и производительность (интенсивность ремонта μ) являются ключевыми параметрами. Одна ремонтная бригада — это один канал.
• Очередь: Отказавшие элементы, ожидающие ремонта, если все каналы обслуживания заняты. Ёмкость очереди может быть конечной или бесконечной.
• Время обслуживания (время восстановления): Время, необходимое для ремонта одного отказавшего элемента. Часто предполагается экспоненциальное распределение времени обслуживания.
• Дисциплина обслуживания: Правило, по которому выбирается заявка из очереди для обслуживания (например, FIFO — «первый пришел, первый обслужен»; LIFO — «последний пришел, первый обслужен»; приоритетное обслуживание).

Классификация систем массового обслуживания и аналитические решения

Системы массового обслуживания (СМО) классифицируются по различным признакам:

1. По наличию ожидания:
   • СМО с отказами: Заявка (отказавший элемент) покидает систему, если все каналы обслуживания заняты. То есть, отказ остаётся неустранённым, или для его устранения требуется внешняя помощь.
   • СМО с ожиданием: Заявка становится в очередь до освобождения канала. Это наиболее распространённый случай для восстанавливаемых систем, где ремонт не может быть мгновенным.
2. По количеству каналов обслуживания:
   • Одноканальные СМО (одна ремонтная бригада).
   • Многоканальные СМО (несколько ремонтных бригад).
3. По ёмкости очереди:
   • СМО с ограниченной очередью.
   • СМО с неограниченной очередью.
4. По характеру потока заявок и времени обслуживания:
   • Пуассоновский поток событий: Интенсивность заявок постоянна, интервалы между заявками распределены экспоненциально.
   • Экспоненциальное распределение времени обслуживания: Интенсивность обслуживания постоянна.

Аналитические решения задач ТМО, широко используемые в прикладной практике, часто описывают стационарный период работы системы и построены с использованием именно пуассоновского потока событий и показательного (экспоненциального) распределения времён обслуживания/восстановления. Это позволяет выводить компактные формулы для расчёта таких характеристик, как средняя длина очереди, среднее время ожидания, вероятность отказа в обслуживании, коэффициент использования каналов и, конечно, коэффициент готовности системы.

Например, для простейшей СМО M/M/1 (пуассоновский поток заявок, экспоненциальное время обслуживания, один канал), которая может моделировать одиночный элемент с возможностью ремонта, стационарная вероятность того, что система занята (канал обслуживания занят), равна ρ = λ/μ. Это, по сути, коэффициент использования ремонтной бригады.

Сравнительный анализ методов резервирования

Выбор оптимального метода резервирования — это всегда компромисс между желаемым уровнем надёжности, стоимостью, сложностью реализации и эксплуатационными ограничениями. Сравнительный анализ позволяет выявить сильные и слабые стороны каждого подхода.

Критерии сравнения эффективности резервирования

Эффективность резервирования традиционно оценивается коэффициентом повышения надёжности. Этот коэффициент определяется как отношение показателя надёжности резервированной системы к тому же показателю нерезервированной (одноэлементной) системы. Например, для вероятности безотказной работы K_P = P_резерв(t) / P_{нерезерв}(t), а для средней наработки на отказ K_T = T_{0,резерв} / T_{0,нерезерв}. Чем выше этот коэффициент, тем более эффективно резервирование.

Однако введение структурной избыточности (аппаратного резервирования) всегда связано с рядом негативных факторов:

• Увеличение веса и габаритов: Добавление резервных элементов неизбежно увеличивает физические размеры и массу системы. Например, в таких критически важных областях, как бортовая аппаратура летательных аппаратов или космических спутников, даже незначительное увеличение массы может сделать применение резервирования нецелесообразным, требуя тщательной оптимизации между повышением надёжности и жёсткими ресурсными ограничениями.
• Увеличение потребления электроэнергии: Особенно это актуально для нагруженного («горячего») резервирования, где резервные элементы работают постоянно. Это приводит к повышенным эксплуатационным расходам и требует более мощных систем электропитания и охлаждения.
• Увеличение стоимости: Дополнительные элементы, а также управляющая и переключающая аппаратура, ведут к удорожанию системы как на этапе производства, так и в эксплуатации (за счёт повышенного энергопотребления и обслуживания).
• Усложнение схемы: Резервирование, особенно замещением или скользящее, требует сложных схем обнаружения отказов, логики переключения и, возможно, средств диагностики. Это может привести к повышению общей сложности системы и, как следствие, к потенциальным источникам новых отказов, связанных с самим механизмом резервирования.

Ненадежность переключающих устройств, необходимых при резервировании замещением, является ещё одним важным фактором. Как уже обсуждалось, она может снижать общую надёжность системы. В частности, в некоторых случаях общая надёжность системы с резервированием замещением может оказаться даже ниже, чем при постоянном резервировании, несмотря на отсутствие выработки ресурса резервных устройств до вступления в работу. Это связано с тем, что отказ переключателя является единичной точкой отказа для всей системы резервирования.

Сравнение восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем

Принципиальное различие между восстанавливаемыми и невосстанавливаемыми системами диктует различные подходы к оценке их надёжности и эффективности резервирования.

Невосстанавливаемые системы:

• Фокус: Вероятность безотказной работы P(t) и средняя наработка до отказа T₀ (MTTF).
• Преимущества резервирования: Существенно увеличивает T₀ и P(t) до первого отказа.
• Недостатки: При отказе резервного комплекта система выходит из строя окончательно.

Восстанавливаемые системы:

• Фокус: Коэффициент готовности K_г, стационарный коэффициент готовности K_г,ст, среднее время наработки на отказ MTBF.
• Преимущества резервирования: Позволяет системе продолжать функционировать, несмотря на отказы, за счёт оперативного ремонта. Резервирование с восстановлением способно существенно повысить наработку на отказ (в сотни и тысячи раз) по сравнению с нерезервированной системой. Такое значительное повышение наработки на отказ достигается при условии, что среднее время восстановления (MTTR) компонентов системы значительно меньше среднего времени наработки на отказ (MTTF) этих компонентов. Это делает их незаменимыми для систем, требующих высокой степени доступности (например, телекоммуникационные сети, облачные сервисы).
• Недостатки: Требуется инфраструктура для ремонта (персонал, запчасти, время), что увеличивает эксплуатационные расходы.

Таблица 2: Сравнительная характеристика типов резервирования

Характеристика	Нагруженный («горячий») резерв	Облегченный («теплый») резерв	Ненагруженный («холодный») резерв	Восстанавливаемая система
Режим работы резерва	Постоянно активен, полная нагрузка	Активен, но сниженная нагрузка	Неактивен, без нагрузки	Может быть любым, с возможностью ремонта
Сложность управления	Низкая (не требуется переключение)	Средняя (требуется переключение)	Высокая (требуется переключение и запуск)	Высокая (обнаружение, переключение, ремонт)
Влияние на ресурс резерва	Быстрая выработка ресурса	Замедленная выработка ресурса	Отсутствие выработки ресурса до включения	Элементы изнашиваются, но восстанавливаются
Быстродействие переключения	Мгновенное	Быстрое, с небольшой задержкой	Зависит от времени запуска резерва	Зависит от времени переключения и ремонта
Влияние надежности переключателя	Нет (или минимально)	Существенное	Критическое	Существенное (для механизмов переключения и ремонта)
Коэффициент повышения T0	Средний (например, 1.5-2.0x для дублирования)	Высокий	Очень высокий (2.0x для дублирования и более)	Экспоненциально высокий, особенно для Kг
Затраты (аппаратные)	Высокие (питание, охлаждение)	Средние	Низкие (меньше питания/охлаждения)	Высокие (оборудование + ремонтная база)
Ключевой показатель	P(t), T0	P(t), T0	P(t), T0	Kг, MTBF

Важно отметить, что средняя наработка до отказа не всегда рекомендуется в качестве показателя надежности резервированной системы, особенно при наличии восстановления. Причина в том, что T₀ может оказаться существенно ниже, чем при оценке по степени уменьшения вероятности отказа. Сравнение систем только по средней наработке до отказа может вводить в заблуждение, так как функциональные зависимости элементов могут иметь разный вид, что характерно для резервированных систем. Для восстанавливаемых систем более адекватным является коэффициент готовности, который учитывает не только время до отказа, но и время, необходимое для восстановления.

Современные подходы и факторы выбора оптимального метода резервирования

В условиях постоянно растущих требований к надёжности и доступности систем, выбор и реализация методов резервирования становятся всё более сложной задачей, требующей учёта множества факторов и применения современных подходов.

Задачи и критерии оптимального резервирования

Оптимальное резервирование — это не просто добавление запасных элементов, а стратегический процесс, направленный на обеспечение максимума выбранного критерия надёжности при заданных ограничениях на характеристики системы. Эти ограничения могут быть связаны с общим весом, стоимостью, габаритами, потребляемой мощностью, доступностью ресурсов или даже временем на разработку.

Типичные задачи оптимального резервирования сводятся к одному из двух основных сценариев:

1. Обеспечение заданной надёжности при минимальном расходовании ресурсов: Например, как спроектировать систему с вероятностью безотказной работы не менее 0.999 за 10 000 часов, используя при этом минимальное количество резервных элементов или с наименьшей стоимостью.
2. Обеспечение максимальной надёжности системы при ограниченных ресурсах: Например, если бюджет на систему ограничен, как распределить резервные элементы между подсистемами, чтобы достичь максимально возможной общей надёжности.

В качестве показателей надёжности для оптимизации могут использоваться:

• Вероятность безотказной работы P(t) (для невосстанавливаемых систем).
• Коэффициент готовности K_г (для восстанавливаемых систем).
• Средняя наработка до отказа T₀ или средняя наработка на отказ MTBF.

В качестве ресурсов-ограничителей чаще всего выступают:

• Стоимость (единовременные затраты на приобретение и установка, а также эксплуатационные расходы).
• Масса и габаритные размеры (критично для мобильных, бортовых, космических систем).
• Потребляемая мощность (влияет на энергоснабжение и теплоотвод).
• Число элементов (влияет на сложность, логистику, обслуживание).

Решение задач оптимального резервирования часто осуществляется с использованием методов математического программирования, динамического программирования или эвристических алгоритмов.

Факторы, влияющие на выбор оптимального метода

Выбор оптимального метода резервирования для конкретной системы и условий эксплуатации определяется целым комплексом взаимосвязанных факторов:

• Техническая реализуемость методов: Не каждый метод резервирования может быть реализован в конкретной архитектуре или с доступными технологиями. Например, для некоторых критически важных элементов может быть невозможно создать холодный резерв из-за необходимости мгновенного переключения.
• Требуемый уровень надёжности: Для систем, где последствия отказа катастрофичны (например, системы управления атомными электростанциями, медицинское оборудование жизнеобеспечения), требуются методы, обеспечивающие максимально возможную надёжность, возможно, за счёт значительных затрат. Для менее критичных систем можно применять более экономичные решения.
• Допустимые затраты: Бюджетные ограничения играют ключевую роль. Часто приходится искать компромисс между желаемым уровнем надёжности и финансовыми возможностями. Эти факторы часто требуют проведения комплексных оптимизационных исследований для определения наиболее экономически рациональных схем резервирования, обеспечивающих необходимый уровень надёжности при заданных ограничениях ресурсов.
• Возможность восстановления элементов: Для систем, которые могут быть отремонтированы, имеет смысл использовать восстанавливаемые схемы резервирования, что значительно повышает их доступность. Если ремонт невозможен или экономически нецелесообразен, выбор сужается до невосстанавливаемых методов.
• Условия эксплуатации: Температурный режим, вибрации, радиация, агрессивная среда — все эти факторы влияют на надёжность элементов и должны учитываться при выборе типа резерва и кратности.
• Динамичность требований: Для систем, где требования к надёжности могут меняться в течение периода эксплуатации в зависимости от решаемых задач (например, пиковая нагрузка в определённое время), рекомендуется применять режим работы с переменной глубиной резервирования. Это позволяет более рационально использовать избыточные ресурсы, динамически адаптируя конфигурацию резерва под текущие потребности.

Программное и алгоритмическое резервирование

С развитием программно-определяемых систем и микросервисной архитектуры, методы повышения отказоустойчивости вышли за рамки чисто аппаратного резервирования. Современные подходы активно используют программное и алгоритмическое резервирование:

• Программное резервирование: Реализуется на уровне программного обеспечения. Это может быть дублирование программных модулей, использование контрольных сумм и алгоритмов коррекции ошибок на программном уровне, или же реализация механизмов репликации данных и состояний между программными компонентами.
• Алгоритмическое резервирование: Предполагает использование нескольких алгоритмов для выполнения одной и той же задачи и сравнение результатов (например, мажоритарное голосование), или же использование алгоритмов, которые могут обнаруживать и исправлять ошибки в процессе вычислений.

Эти методы особенно актуальны для распределённых систем и облачных вычислений, где аппаратное резервирование каждого компонента может быть неэффективным или слишком дорогим.

Адаптивные стратегии обеспечения отказоустойчивости

Адаптивные стратегии представляют собой динамические подходы, которые позволяют системе изменяться в ответ на отказы или изменение условий эксплуатации, чтобы поддерживать работоспособность или быстро восстанавливаться:

• «Прерыватели цепей» (Circuit Breakers): Паттерн устойчивости, используемый в микросервисной архитектуре. Если сервис многократно отвечает с ошибкой или становится недоступным, «прерыватель цепей» временно «разрывает» соединение с этим сервисом, предотвращая дальнейшие запросы к нему и позволяя ему восстановиться. После таймаута «прерыватель» пробует снова соединиться с сервисом. Это изолирует отказы и предотвращает их каскадное распространение.
• «Корпусные перегородки» (Bulkheads): Ещё один паттерн для микросервисов, основанный на аналогии с отсеками корабля. Он предполагает изоляцию ресурсов (например, пулов потоков, соединений) для каждого сервиса или операции, так что отказ одного компонента не потребляет все ресурсы и не приводит к отказу всей системы.
• Алгоритмы адаптивной реструктуризации отказоустойчивых мультипроцессоров: Эти алгоритмы динамически изменяют структуру системы в ответ на отказы. Например, при отказе одного из процессоров система может переконфигурироваться, чтобы использовать оставшиеся рабочие процессоры для выполнения критически важных задач, возможно, с некоторым снижением производительности.
• Динамическая балансировка нагрузки и автоматическое переключение: В сетевых системах и распределённых приложениях адаптивные стратегии могут включать постоянный мониторинг нагрузки и состояния узлов. При обнаружении перегрузки или отказа одного канала/сервера, трафик автоматически перенаправляется на резервные или менее загруженные ресурсы.
• Проактивное резервирование: Основано на предиктивной аналитике. Система мониторит показатели «здоровья» компонентов и, обнаружив признаки скорого отказа, проактивно переключается на резервный элемент до того, как произойдёт фактический сбой.

Эти современные подходы позволяют создавать более гибкие, устойчивые и самовосстанавливающиеся системы, способные эффективно функционировать даже в условиях неопределённости и множественных отказов.

Заключение

Исчерпывающий анализ методов резервирования систем, представленный в данной работе, подчёркивает их критическую роль в обеспечении надёжности и отказоустойчивости современных технических комплексов. От фундаментальных принципов введения избыточности до сложнейших математических моделей и адаптивных стратегий — каждый аспект резервирования вносит свой вклад в создание устойчивых систем.

Мы систематизировали методы резервирования по различным признакам: видам избыточности (структурная, информационная, временная), способам соединения элементов (общее, раздельное), включения резерва (постоянное, замещением, скользящее) и режимам работы (нагруженный, облегченный, ненагруженный). Особое внимание было уделено различиям между невосстанавливаемыми и восстанавливаемыми системами, что диктует принципиально разные подходы к их математическому моделированию.

В рамках математического описания невосстанавливаемых систем были представлены формулы для расчёта вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа для различных типов резерва. Выделена сложность моделирования облегченного резерва и критическое влияние надёжности переключающих устройств, часто недооцениваемое при проектировании. Для восстанавливаемых систем был детально рассмотрен аппарат графов состояний и системы дифференциальных уравнений Колмогорова, проиллюстрированный на примере дублированной системы, а также основы теории массового обслуживания как мощного инструмента для анализа динамики отказов и восстановлений.

Сравнительный анализ методов резервирования показал, что выбор оптимального подхода всегда является результатом компромисса между требуемым уровнем надёжности, стоимостью, весом, габаритами и эксплуатационными возможностями. Акцент был сделан на значительное повышение наработки на отказ в восстанавливаемых системах при эффективном ремонте.

Наконец, мы рассмотрели современные подходы, такие как программное и алгоритмическое резервирование, а также адаптивные стратегии («прерыватели цепей», «корпусные перегородки», адаптивная реструктуризация). Эти методы открывают новые горизонты для создания гибких и самовосстанавливающихся систем, особенно актуальных в условиях распределённых и облачных архитектур.

Значимость комплексного подхода к проектированию надёжных систем невозможно переоценить. Инженер, работающий с современными системами, должен не только владеть классическими методами резервирования и математическим аппаратом теории надёжности, но и быть осведомлённым о последних достижениях в области программной отказоустойчивости и адаптивного управления. Перспективы развития методов резервирования тесно связаны с интеграцией искусственного интеллекта для предиктивного обслуживания, самодиагностики и динамической реконфигурации систем, что позволит достичь беспрецедентных уровней надёжности и доступности в будущем.

Список использованной литературы

1. Виды резервирования [Электронный ресурс]. URL: http://bstudy.net/609095/tehnika/vidy_rezervirovaniya (дата обращения: 27.10.2025).
2. Расчет надежности восстанавливаемых резервированных систем [Электронный ресурс]. URL: http://bstudy.net/609095/tehnika/raschet_nadezhnosti_vosstanavlivaemyh_rezervirovannyh_sistem (дата обращения: 27.10.2025).
3. Расчет надежности восстанавливаемых резервированных систем [Электронный ресурс]. URL: http://bourabai.ru/econs/3-4.htm (дата обращения: 27.10.2025).
4. Расчет надежности системы тгв при ненагруженном резерве [Электронный ресурс]. URL: http://www.kazedu.kz/referat/157140/1 (дата обращения: 27.10.2025).
5. Резервирование пути повышения надежности систем [Электронный ресурс] // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/rezervirovanie-puti-povysheniya-nadezhnosti-sistem (дата обращения: 27.10.2025).
6. Лекция 3. Расчет показателей надежности резервированных систем [Электронный ресурс] // StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/1726749/page:3/ (дата обращения: 27.10.2025).
7. Теория надежности. Системы массового обслуживания [Электронный ресурс] // Math-Net.Ru. URL: http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=1295 (дата обращения: 27.10.2025).
8. Резервирование [Электронный ресурс] // Студопедия. URL: http://www.studopedia.ru/8_1156_rezervirovanie.html (дата обращения: 27.10.2025).
9. Структурная надежность систем [Электронный ресурс] // StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/5903264/page:37/ (дата обращения: 27.10.2025).
10. Плескунов М. А. Теория массового обслуживания : учебное пособие. Екатеринбург : Изд-во Уральского ун-та, 2022. 98 с. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/117140/1/978-5-7996-3539-8_2022.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
11. Методы резервирования [Электронный ресурс] // Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I. URL: http://www.cchgeu.ru/sites/default/files/u31/n_sist_2.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
12. Резервирование [Электронный ресурс] // StudFiles. URL: http://www.studfiles.ru/preview/6125032/page:31/ (дата обращения: 27.10.2025).
13. Лекция 3. Восстанавливаемые системы [Электронный ресурс] // StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/1726749/page:26/ (дата обращения: 27.10.2025).
14. Классификация методов резервирования [Электронный ресурс] // Энциклопедия техники. URL: https://www.tech-e.ru/klasifikaciya-metodov-rezervirovaniya/ (дата обращения: 27.10.2025).
15. Теория массового обслуживания [Электронный ресурс] // Томский политехнический университет. URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/s/SVS/study/Metodichki/TM/01.htm (дата обращения: 27.10.2025).
16. Расчет надежности восстанавливаемых резервированных систем [Электронный ресурс] // Ростовский государственный университет путей сообщения. URL: http://www.rgups.ru/sites/default/files/u132/raschet_nadezhnosti_vosstanavlivaemyh_rezervirovannyh_sistem.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
17. Практическое занятие 5. Doc [Электронный ресурс] // Единое окно доступа к образовательным ресурсам. URL: http://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/464/59464/30206 (дата обращения: 27.10.2025).
18. Расчет надежности систем с резервированием [Электронный ресурс] // СтудИзба. URL: https://studizba.com/lectures/17-teoriya-nadezhnosti/59-nadezhnost-sistem-s-rezervirovaniem/1247-raschet-nadejnosti-sistem-s-rezervirovaniem.html (дата обращения: 27.10.2025).
19. Викторова В.С., Степанянц А.С. Модели и методы расчета надежности технических систем. Москва : ИПУ РАН, 2013. 165 с. URL: https://www.ipu.ru/sites/default/files/documents/2013/book.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
20. Структурная надежность систем для достижения высоких показателей [Электронный ресурс] // eLibrary.ru. URL: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_20970725_20696773.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
21. Зверовщикова Т.В., Солдаткина Н.В. Теория массового обслуживания : учебное пособие. Пенза : Пензенский государственный университет, 2013. 100 с. URL: http://dep_vpm.pnzgu.ru/files/dep_vpm.pnzgu.ru/uchebnoe_posobie_ch_t_v_s_zverovschikovoy_n_v.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
22. Основы теории надежности [Электронный ресурс] // MathProfi. URL: http://mathprofi.com/nal/teoria_nadejnosti_uchebnik.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
23. Модели надежности [Электронный ресурс] // Интуит. URL: http://www.intuit.ru/studies/courses/2301/447/lecture/10006 (дата обращения: 27.10.2025).
24. Математические методы оценивания надежности технических систем и техногенного риска [Электронный ресурс] // eLibrary.ru. URL: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_45695028_10287114.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
25. Оптимальное резервирование [Электронный ресурс] // Control Engineering Россия. URL: http://www.controleng.ru/encyclopedia/nadezhnost-avtomatizirovannyh-sistem/optimalnoe-rezervirovanie/ (дата обращения: 27.10.2025).
26. Р 50-54-82-88 Надежность в технике. Выбор способов и методов резервирования. Москва : Госстандарт СССР, 1988. 14 с. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200002167 (дата обращения: 27.10.2025).
27. Надежность структурно резервированных технических систем [Электронный ресурс]. URL: http://nkh.kstu.ru/files/u245/Nadejnost_strukturno_rezervirovannyh_tehnicheskih_sistem.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
28. Надежность технических систем. Резервирование, восстановление. Москва : URSS, 2012. 160 с. URL: https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=191062 (дата обращения: 27.10.2025).
29. Оценка надежности резервированных систем [Электронный ресурс] // RealLab! Энциклопедия АСУ ТП. URL: https://www.reallab.ru/tech/asu/n_asu/n_asu_8_4.html (дата обращения: 27.10.2025).
30. Применение теории системы массового обслуживания в повышении эффективности эксплуатации международных автомобильных коридоров [Электронный ресурс] // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=6556 (дата обращения: 27.10.2025).
31. Применение теории систем массового обслуживания в управлении торговым предприятием [Электронный ресурс] // Репозиторий БарГУ. URL: https://rep.barsu.by/bitstream/handle/123456789/2287/%D0%9F%D0%A0%D0%98%D0%9C%D0%95%D0%9D%D0%95%D0%9D%D0%98%D0%95%20%D0%A2%D0%95%D0%9E%D0%A0%D0%98%D0%98%20%D0%A1%D0%98%D0%A1%D0%A2%D0%95%D0%9C%D0%AB%20%D0%9C%D0%90%D0%A1%D0%A1%D0%9E%D0%92%D0%9E%D0%93%D0%9E%20%D0%9E%D0%91%D0%A1%D0%9B%D0%A3%D0%96%D0%98%D0%92%D0%90%D0%9D%D0%98%D0%AF%20%D0%92%20%D0%A3%D0%9F%D0%A0%D0%90%D0%92%D0%9B%D0%95%D0%9D%D0%98%D0%98%20%D0%A2%D0%9E%D0%A0%D0%93%D0%9E%D0%92%D0%AB%D0%9C%20%D0%9F%D0%A0%D0%95%D0%94%D0%9F%D0%A0%D0%98%D0%95%D0%9C%D0%AB%D0%9C.pdf?sequence=1&isAllowed=y (дата обращения: 27.10.2025).
32. Теория массового обслуживания (ТМО) изучает процессы, в которых возни [Электронный ресурс] // ДГТУ. URL: http://www.dstu.ru/science/dis/d212-058-01/D212-058-01_dis_Shatalova.pdf (дата обращения: 27.10.2025).