Исследование прохождения сигнала через линейную цепь: комплексный анализ, моделирование и практические применения

Теория электрических цепей (ТОЭ) лежит в основе множества профилирующих инженерных дисциплин – от радиотехники и электроники до инфокоммуникационных систем и промышленной автоматизации. Способность электрической цепи преобразовывать сигналы определяет функционал бесчисленного множества устройств, от простейших фильтров до сложнейших радиолокационных комплексов. Именно поэтому глубокое понимание процессов прохождения сигнала через линейные цепи является не просто академическим требованием, но и краеугольным камнем для любого специалиста, работающего с электрическими и электронными системами.

Настоящая курсовая работа посвящена всестороннему исследованию прохождения сигнала через линейную цепь. Целью работы является систематизация и углубление знаний о фундаментальных принципах, математических методах анализа, инструментах моделирования и практических аспектах данного процесса. В ходе исследования будут решены следующие задачи:

• Раскрытие ключевых понятий и определений, формирующих теоретическую базу.
• Детальное рассмотрение математического аппарата для анализа цепей во временной и частотной областях.
• Анализ передаточных функций и частотных характеристик как основных средств описания поведения цепей.
• Классификация и изучение видов искажений, возникающих в реальных цепях, а также способов их минимизации.
• Демонстрация возможностей современных программных комплексов для моделирования и расчетов.
• Иллюстрация практической значимости полученных знаний в различных областях радиотехники и электроники.

Структура работы выстроена таким образом, чтобы последовательно провести читателя от фундаментальных теоретических положений к сложным аналитическим методикам, а затем к практическому применению и моделированию, что позволит сформировать целостное и глубокое представление о предмете исследования.

Теоретические основы линейных электрических цепей и сигналов

Погружение в мир электрических цепей начинается с осмысления базовых концепций, которые служат фундаментом для всех последующих аналитических и практических изысканий. Теория электрических цепей (ТОЭ) является тем базисом, на котором строятся такие профилирующие дисциплины, как «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», «Радиотехника», «Электроника», «Электрические аппараты» и «Электрические машины». Этот курс не просто представляет собой набор формул, но и формирует системное мышление, необходимое для понимания того, как функционирует современная техника.

Основные понятия и определения

В самом общем смысле, электрическая цепь — это совокупность соединенных между собой элементов, образующих замкнутый или разомкнутый путь для электрического тока. Однако для нашего исследования принципиально важна категория линейных электрических цепей. Это цепи, состоящие из элементов (резисторов, конденсаторов, индуктивностей), параметры которых остаются постоянными и не зависят от приложенных к ним напряжений или протекающих токов. Такая независимость является ключевой, поскольку именно она позволяет применять один из самых мощных аналитических инструментов — принцип суперпозиции. Этот принцип утверждает, что реакция линейной цепи на несколько воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие по отдельности. Важным следствием линейности является то, что в таких цепях не происходит изменения частот подаваемых на них сигналов – лишь их амплитуда и фаза могут быть изменены.

Сигнал в контексте электрических цепей — это физический процесс, несущий информацию, который может быть представлен в виде функции времени, например, напряжения U(t) или тока I(t). Сигналы могут быть простыми (например, гармонические колебания) или сложными (импульсы, шумовые процессы). Именно способность линейных цепей преобразовывать эти сигналы лежит в основе их широкого применения. Например, с помощью линейных цепей можно изменять уровни сигналов, формировать требуемую форму импульсов, а также выделять полезные сигналы в определенном частотном диапазоне, эффективно подавляя нежелательные помехи. Конкретными примерами могут служить фазосдвигающие устройства для коррекции фазы в фильтрах или автогенераторах, RC-цепи интегрирующего и дифференцирующего типов для формирования и укорочения импульсов, а также линейные и импульсные преобразователи, преобразующие цифровой сигнал в аналоговый в таких критически важных областях, как энергетика, телекоммуникации и медицина.

Фундаментальные законы и теоремы

Анализ поведения линейных электрических цепей невозможен без опоры на фундаментальные законы и теоремы. Краеугольным камнем здесь выступают законы Кирхгофа:

• Первый закон Кирхгофа (закон токов): Алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Этот закон выражает принцип сохранения заряда.
• Второй закон Кирхгофа (закон напряжений): Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре. Этот закон отражает принцип сохранения энергии.

Помимо законов Кирхгофа, исключительную важность имеет уже упомянутый принцип суперпозиции. Он значительно упрощает анализ сложных цепей, позволяя рассматривать реакцию на каждый источник энергии по отдельности, а затем суммировать полученные результаты. Это делает возможным декомпозицию сложных задач на более простые, управляемые части.

Эквивалентные преобразования также являются неотъемлемой частью анализа. Они позволяют заменить сложную часть цепи более простой эквивалентной схемой, сохраняющей те же внешние характеристики. Примерами таких преобразований являются замена нескольких последовательно или параллельно соединенных резисторов (или других элементов) одним эквивалентным, а также преобразования «звезда-треугольник» и «треугольник-звезда». Эти инструменты позволяют существенно упростить расчетные схемы без потери точности анализа.

Математические модели сигналов

Для полноценного изучения прохождения сигнала через цепь необходимо его математическое описание. Сигналы могут быть представлены в двух основных областях:

1. Временная область: Здесь сигнал описывается как функция времени, например, x(t). Это позволяет наблюдать мгновенные значения сигнала, его форму, длительность, амплитуду и фазу в любой момент времени. Дифференциальные уравнения являются основным инструментом для анализа цепей во временной области.
2. Частотная область (спектральное представление): Этот подход, основанный на преобразованиях Фурье, позволяет представить сигнал как сумму (или интеграл) гармонических составляющих различной частоты, амплитуды и фазы. Такое представление, называемое спектром сигнала, раскрывает распределение энергии сигнала по частотам и является чрезвычайно мощным инструментом для анализа поведения цепей. Изучение цепей сначала во временной, а затем в частотной областях, с обязательной физической трактовкой, является стандартным академическим подходом.

Важным аспектом, связывающим теорию цепей с общей теорией электромагнитного поля, является условие квазистационарности. Оно подразумевает, что током смещения можно пренебречь везде, за исключением диэлектриков (например, в конденсаторах). Теория цепей, по сути, представляет собой предельный случай квазистатики, когда размеры цепи значительно меньше длины волны электромагнитного поля, что позволяет считать процессы в цепи мгновенными в любой ее точке. Это допущение значительно упрощает анализ, позволяя использовать законы Кирхгофа, применимые для сосредоточенных параметров, вместо громоздких уравнений Максвелла.

Математические методы анализа прохождения сигналов

Анализ прохождения сигналов через линейные цепи требует использования мощного математического аппарата, позволяющего описывать динамику процессов и предсказывать реакцию системы. В зависимости от поставленной задачи и типа сигнала, инженеры и исследователи выбирают различные методы, каждый из которых имеет свои преимущества и области применения.

Спектральный метод анализа

Спектральный метод — один из наиболее удобных и мощных подходов к анализу прохождения сигнала через электронное устройство. Его фундаментальное преимущество заключается в том, что он переносит анализ из временной области, где сигналы описываются сложными дифференциальными уравнениями, в частотную область, где они превращаются в простые алгебраические соотношения.

Основной принцип заключается в представлении любого сложного сигнала в виде ряда Фурье (для периодических сигналов) или интеграла Фурье (для непериодических сигналов). Это означает, что сигнал рассматривается как суперпозиция бесконечного числа гармонических составляющих (синусоид и косинусоид) различных частот, амплитуд и фаз. Благодаря принципу суперпозиции, который действует в линейных цепях, отклик цепи на сложный сигнал можно найти как сумму откликов на каждую его гармоническую составляющую.

Алгоритм анализа прохождения сигнала спектральным методом состоит из трех ключевых шагов:

1. Нахождение спектра входного сигнала: С помощью прямого преобразования Фурье (для непериодических сигналов) или разложения в ряд Фурье (для периодических) определяется функция S_вх(jω), представляющая спектральное распределение входного сигнала по частотам.
   • Пример: Для непериодического сигнала x(t), его спектральная функция X(jω) находится как:
     X(jω) = ∫_-∞^∞ x(t)e^-jωtdt
     где j — мнимая единица, ω — круговая частота.
2. Умножение спектральной функции на передаточную функцию цепи: Полученный спектр входного сигнала умножается на комплексную передаточную функцию цепи H(jω). Это дает спектр выходного сигнала S_вых(jω).
   • S_вых(jω) = S_вх(jω) · H(jω)
     Передаточная функция H(jω) описывает, как цепь изменяет амплитуду и фазу каждой гармонической составляющей сигнала в зависимости от ее частоты.
3. Определение выходного сигнала по его спектру: Путем обратного преобразования Фурье от S_вых(jω) находится выходной сигнал во временной области, S_вых(t).
   • S_вых(t) = (1 / 2π) ∫_-∞^∞ S_вых(jω)e^jωtdω

Удобство спектрального метода обусловлено не только упрощением вычислений (переходом к алгебраическим уравнениям), но и его важностью для понимания характеристик цепи, определения рабочего диапазона частот и оценки возможных амплитудных и фазовых искажений сигнала.

Импульсная и переходная характеристики

Помимо частотного анализа, существует подход, ориентированный на временную область, который использует концепции импульсной и переходной характеристик для описания динамических свойств линейной цепи.

Импульсная характеристика цепи h(t) — это функция времени, численно равная реакции линейной электрической цепи на идеальное единичное импульсное воздействие (дельта-функцию Дирака δ(t)) при нулевых начальных условиях. Дельта-функция, будучи бесконечно узким и бесконечно высоким импульсом единичной площади, является своего рода «пробником», который возбуждает все возможные собственные колебания системы. Импульсная характеристика содержит полную информацию о динамических свойствах цепи.

Зная импульсную характеристику h(t), можно определить выходную реакцию S_вых(t) на произвольное входное воздействие S_вх(t) с помощью интеграла свертки:
S_вых(t) = ∫_-∞^t S_вх(τ)h(t-τ)dτ
где τ — переменная интегрирования, представляющая собой смещение во времени. Этот интеграл фактически «взвешивает» прошлое входного сигнала с учетом динамики цепи, определяемой h(t).

Для расчета реакции цепи на сложное кусочно-непрерывное воздействие также используются интеграл Дюамеля и интеграл наложения. Эти методы представляют собой частные случаи интеграла свертки и применяются, когда входное воздействие может быть описано как последовательность ступенчатых или импульсных функций.

Важно отметить, что импульсная характеристика g(t) и комплексный коэффициент передачи (передаточная функция H(jω)) для линейной цепи однозначно связаны преобразованиями Фурье. То есть, H(jω) является прямым преобразованием Фурье от h(t), и наоборот. Это демонстрирует глубокую взаимосвязь между временной и частотной областями анализа.

Операторный метод (преобразование Лапласа)

Операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа, является мощным инструментом для расчета переходных процессов в линейных цепях. Его основная идея заключается в преобразовании обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающих цепь во временной области, в алгебраические уравнения в так называемом пространстве изображений (или s-плоскости).

Сущность метода:

1. Прямое преобразование Лапласа: Функции вещественной переменной t (оригиналы, например, напряжения U(t) или токи I(t)) сопоставляются функции комплексной переменной p (изображения, например, U(p) или I(p)) с помощью прямого преобразования Лапласа:
   F(p) = ∫₀^∞ f(t)e^-ptdt
   где p = σ + jω — комплексная частота.
2. Замена операций: Производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений:
   • Дифференцирование df(t)/dt заменяется p · F(p) — f(0), где f(0) — начальное условие.
   • Интегрирование ∫ f(t)dt заменяется F(p)/p.
     Это радикально упрощает решение уравнений.
3. Решение алгебраического уравнения: После замены дифференциальных уравнений на алгебраические, система решается относительно изображения искомой величины (например, I(p) или U(p)).
4. Обратное преобразование Лапласа: Над полученной функцией (изображением) выполняется обратное преобразование Лапласа для получения оригинала, то есть решения во временной области. Для этого часто используются таблицы преобразований Лапласа и разложение на простейшие дроби.

Одним из важнейших преимуществ операторного метода является необходимость определения только независимых начальных условий. В отличие от классического метода, где начальные условия используются для нахождения постоянных интегрирования после общего решения, в операторном методе они вводятся непосредственно в уравнения исходной системы. Это значительно облегчает расчет переходных процессов, особенно в цепях высокого порядка, и делает метод менее подверженным ошибкам.

Интересно, что если в передаточной функции H(p) заменить оператор p на jω, то получается комплексная передаточная функция H(jω), используемая при частотных методах анализа. Это еще раз подчеркивает тесную связь между различными математическими аппаратами, применяемыми в теории цепей. Операторный метод позволяет рассчитывать сложные схемы менее трудоемко, чем классический метод, благодаря преобразованию интегро-дифференциальных уравнений в алгебраические.

Сравнительный анализ методов анализа

Выбор метода анализа линейных цепей — это не просто вопрос предпочтений, а скорее осознанное решение, основанное на типе сигнала, сложности цепи и желаемом виде результата. Каждый из рассмотренных методов — классический, спектральный (частотный) и операторный — обладает уникальными преимуществами и недостатками.

Критерий / Метод	Классический метод	Спектральный (частотный) метод	Операторный метод (Лапласа)
Основной инструмент	Дифференциальные уравнения, нахождение частного и общего решений, постоянных интегрирования.	Преобразования Фурье, комплексные числа, передаточные функции.	Преобразование Лапласа, алгебраические уравнения в s-плоскости, обратное преобразование.
Область анализа	Временная область (t).	Частотная область (ω).	Пространство изображений (p-плоскость), затем временная область.
Типы сигналов	Произвольные сигналы, особенно для анализа переходных процессов.	Гармонические, периодические и непериодические сигналы (спектральное представление).	Произвольные ��игналы, особенно для переходных и импульсных воздействий.
Преимущества	Позволяет получить полную зависимость тока и напряжения от времени. Хорош для понимания физики процессов.	Упрощает анализ цепей высокого порядка. Явно показывает частотную зависимость поведения цепи. Позволяет легко оценить искажения.	Значительно упрощает решение дифференциальных уравнений, преобразуя их в алгебраические. Легко учитывает начальные условия. Удобен для сложных цепей.
Недостатки	Трудоемок для цепей высокого порядка. Сложное определение постоянных интегрирования.	Не всегда позволяет легко получить временную зависимость сигнала. Требует обратного преобразования Фурье.	Требует знания таблиц преобразований Лапласа и навыков работы с комплексными числами. Физическая интерпретация в s-плоскости менее наглядна.
Применение	Базовый метод для изучения переходных процессов в простых цепях.	Анализ фильтров, усилителей, систем связи. Определение полосы пропускания, резонансных частот.	Расчет переходных процессов, реакции на импульсные и ступенчатые воздействия, синтез цепей. Широко используется в автоматике и обработке сигналов.

Оптимальное применение:

• Классический метод хорош для начального изучения теории, когда важно видеть физическую картину процессов в цепях невысокого порядка.
• Спектральный метод незаменим, когда требуется понять, как цепь ведет себя на разных частотах, какие частоты пропускает, а какие подавляет, а также для анализа гармонических сигналов и сигналов, для которых важен их частотный состав (например, в радиосвязи, аудиосистемах). Он идеален для проектирования фильтров.
• Операторный метод является предпочтительным для расчета сложных переходных процессов, реакции на импульсные воздействия и при необходимости учета начальных условий в цепях высокого порядка. Он существенно снижает математическую сложность по сравнению с классическим методом.

В заключение, стоит подчеркнуть, что ни один из методов не является универсальным. Опытный инженер выбирает наиболее подходящий инструмент в зависимости от специфики задачи, иногда комбинируя их для получения максимально полного и точного анализа. Например, для анализа цепи в частотной области можно использовать операторный метод, а затем, заменив p на jω, перейти к частотным характеристикам.

Передаточные функции и частотные характеристики линейных цепей

Представьте себе черную коробку, на вход которой вы подаете некий сигнал, а на выходе получаете другой, преобразованный сигнал. Как описать то, что происходит внутри этой коробки, не вдаваясь в детали каждого элемента? Именно для этого вводится понятие передаточной функции — математического ключа, открывающего завесу над поведением линейной цепи.

Комплексная передаточная функция

Передаточная комплексная функция (или просто передаточная функция, коэффициент передачи, системная функция) цепи H(jω) определяет реакцию цепи на внешнее гармоническое воздействие и является одной из фундаментальных характеристик линейной цепи. Она представляет собой отношение выходной величины (например, напряжения U_вых или тока I_вых) к входной величине (U_вх или I_вх), выраженных в комплексной форме, при нулевых начальных условиях.
H(jω) = U_вых(jω) / U_вх(jω) или H(jω) = I_вых(jω) / I_вх(jω)

Передаточная функция является функцией комплексной частоты jω (или p в операторном методе) и содержит всю информацию о том, как цепь изменяет амплитуду и фазу гармонических колебаний, проходящих через нее.

Различают несколько видов передаточных функций в зависимости от того, какие величины рассматриваются на входе и выходе цепи:

• По напряжению: K_U(jω) = U_вых(jω) / U_вх(jω) (безразмерная).
• По току: K_I(jω) = I_вых(jω) / I_вх(jω) (безразмерная).
• Передаточное сопротивление: Z_пер(jω) = U_вых(jω) / I_вх(jω) (измеряется в Омах).
• Передаточная проводимость: Y_пер(jω) = I_вых(jω) / U_вх(jω) (измеряется в Сименсах).

Каждая из этих функций описывает конкретный аспект взаимодействия цепи с сигналом.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи — это модуль комплексной передаточной функции. Она обозначается как |H(jω)| или A(ω) и показывает, как изменяется амплитуда гармонических колебаний при прохождении через цепь в зависимости от их частоты.
A(ω) = |H(jω)|

Физический смысл АЧХ чрезвычайно важен: она демонстрирует, насколько сильно цепь усиливает или ослабляет сигналы на различных частотах. Например, если АЧХ на какой-либо частоте равна 1, это означает, что амплитуда сигнала на этой частоте не меняется. Если АЧХ < 1, сигнал ослабляется, а если АЧХ > 1 — усиливается.

Построение АЧХ для типовых цепей (например, RC-фильтров, LC-контуров) позволяет визуально оценить их фильтрующие свойства. Например, для фильтра нижних частот (ФНЧ) АЧХ будет высокой на низких частотах и спадающей на высоких, показывая, что низкочастотные сигналы проходят без существенных изменений, а высокочастотные подавляются. Для анализа АЧХ цепей часто используются схемы замещения для низких и высоких частот, что упрощает расчеты в крайних точках частотного диапазона.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ)

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) цепи — это аргумент комплексной передаточной функции. Она обозначается как φ(ω) или arg(H(jω)) и показывает, какой фазовый сдвиг получает гармоническое колебание при прохождении через цепь в зависимости от его частоты.
φ(ω) = arg(H(jω))

Физический смысл ФЧХ заключается в следующем: если на вход цепи подается гармонический сигнал U_вх(t) = A_вхsin(ωt), то на выходе будет U_вых(t) = A_выхsin(ωt + φ(ω)). Фазовый сдвиг φ(ω) может быть как положительным (опережение фазы), так и отрицательным (отставание фазы).

Построение ФЧХ позволяет понять, как цепь влияет на временные соотношения между различными частотными составляющими сложного сигнала. Если ФЧХ нелинейна, это может привести к фазовым искажениям, при которых разные гармоники получают разный фазовый сдвиг, что изменяет форму выходного сигнала.

Анализ поведения цепей на основе АЧХ и ФЧХ

Именно АЧХ и ФЧХ в совокупности определяют, как линейная цепь преобразует проходящие через нее сигналы. Для линейных цепей принципиально важно, что эти характеристики не зависят от амплитуды входного воздействия, поскольку параметры элементов цепи (R, L, C) не меняются от приложенных напряжений и токов. Это ключевое свойство, отличающее линейные цепи от нелинейных.

Гармонический сигнал, проходя через линейную цепь, остается неизменным по форме. Меняются только его амплитуда (в соответствии с АЧХ) и начальная фаза (в соответствии с ФЧХ). Если же на вход цепи подается сложный (негармонический) сигнал, то каждая его гармоническая составляющая претерпевает свои изменения амплитуды и фазы. Результирующий выходной сигнал будет представлять собой сумму этих измененных гармоник.

Использование схем замещения на низких и высоких частотах является мощным инструментом для упрощенного анализа АЧХ. Например, на очень низких частотах конденсаторы можно рассматривать как разрывы цепи (бесконечное сопротивление), а индуктивности — как короткое замыкание (нулевое сопротивление). На очень высоких частотах, напротив, конденсаторы становятся короткими замыканиями, а индуктивности — разрывами. Это позволяет быстро оценить асимптотическое поведение АЧХ и ФЧХ.

Анализ поведения цепей на основе АЧХ и ФЧХ является краеугольным камнем в проектировании различных устройств, таких как фильтры (нижних, верхних, полосовых, заграждающих частот), линии задержки, эквалайзеры и многие другие радиотехнические системы, где требуется точно управлять частотными и фазовыми свойствами сигналов.

Искажения сигналов в линейных цепях

Любая электрическая цепь, через которую проходит сигнал, в той или иной степени изменяет его параметры. Эти изменения, при которых форма выходного сигнала отличается от идеальной формы входного, называются искажениями сигнала. Понимание природы и классификации искажений критически важно для проектирования качественных электронных устройств и систем связи.

Линейные искажения

Линейные искажения — это отклонения формы сложного гармонического или импульсного сигнала на выходе цепи от формы входного сигнала, которые вызваны влиянием реактивных элементов (емкостей, индуктивностей) и инерционных свойств самих цепей. Ключевая особенность линейных искажений заключается в том, что они не сопровождаются появлением в спектре сигнала новых гармонических составляющих. Иными словами, если на вход цепи подается сигнал, состоящий из определенного набора частот, то на выходе будут присутствовать те же самые частоты, но их амплитуды и фазы будут изменены.

Линейные искажения подразделяются на три основных вида:

1. Частотные (амплитудно-частотные) искажения: Они возникают, когда Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи не является идеально горизонтальной прямой в рабочем диапазоне частот. Это означает, что цепь по-разному ослабляет или усиливает различные частотные составляющие сложного сигнала. Например, если АЧХ на высоких частотах спадает, то высокочастотные компоненты сигнала будут ослаблены сильнее низкочастотных, что изменит его форму.
2. Фазовые (фазо-частотные) искажения: Связаны с нелинейностью Фазо-частотной характеристики (ФЧХ) цепи. Если ФЧХ не является линейной функцией частоты, это означает, что различные гармонические составляющие сигнала получают разный фазовый сдвиг, что приводит к изменению временных соотношений между ними и, как следствие, к искажению формы сложного сигнала. Для идеальной неискажающей цепи ФЧХ должна быть линейной.
3. Переходные искажения: Возникают при воздействии на цепь резких изменений сигнала (например, импульсов). Они характеризуются затягиванием фронтов и спадов импульсов, появлением выбросов или «звона» на плоских вершинах. Эти искажения являются следствием инерционности цепи, обусловленной наличием реактивных элементов, которые не могут мгновенно изменять накопленную энергию.

Нелинейные искажения (с пояснением для линейных цепей)

Нелинейные искажения — это качественно иной тип искажений, который возникает из-за нелинейной зависимости между входным и выходным сигналами цепи. Их отличительная черта — появление в выходном спектре новых гармонических составляющих (гармонических искажений), частоты которых кратны частоте входного синусоидального сигнала, а также комбинационных частот (интермодуляционные искажения).

Почему нелинейные искажения не возникают в идеальных линейных цепях? По определению, линейные цепи состоят из элементов, параметры которых не зависят от приложенных напряжений и токов. Это означает, что их вольт-амперные характеристики (ВАХ) являются прямыми линиями. Если ВАХ элемента линейна, то при подаче синусоидального сигнала на вход, на выходе может измениться только его амплитуда и фаза, но не форма и частотный состав.

Однако в реальных схемах, построенных на линейных элементах, нелинейные искажения могут проявляться. Это происходит, когда:

• Активные элементы (транзисторы, операционные усилители) работают в нелинейной области своих характеристик. Например, если входной сигнал слишком велик и приводит к насыщению усилителя или отсечке. Хотя сам активный элемент не является «линейным» в строгом смысле ТОЭ, его часто идеализируют в определенном диапазоне. Выход за этот диапазон приводит к нелинейности.
• Пассивные элементы проявляют нелинейные свойства при экстремальных условиях. Например, индуктивность катушки может зависеть от протекающего через нее тока при насыщении магнитопровода, или сопротивление термистора зависит от температуры, которая, в свою очередь, может изменяться из-за протекающего тока.

Количественная оценка нелинейных искажений производится с помощью коэффициента нелинейных искажений (КНИ), также известного как коэффициент гармонических искажений (КГИ или THDF – Total Harmonic Distortion Factor). КНИ определяется как отношение среднеквадратического значения суммы высших гармоник выходного сигнала к среднеквадратическому значению первой гармоники (или ко всему сигналу без первой гармоники).

Важно, что нелинейные искажения, в отличие от линейных, зависят от амплитуды входного сигнала и не связаны напрямую с его частотой. При увеличении амплитуды входного сигнала нелинейные искажения обычно возрастают.

Отдельным видом нелинейных искажений являются интермодуляционные искажения. Они возникают, когда на вход устройства подаются два или более сигнала с разными частотами. Из-за нелинейности элементов на выходе появляются новые частоты, являющиеся суммами и разностями исходных частот и их гармоник (например, f₁ + f₂, f₁ — f₂, 2f₁ + f₂ и т.д.). Эти новые частоты могут попадать в рабочий диапазон и вызывать серьезные помехи.

Методы минимизации искажений:

• Для снижения как нелинейных, так и частотных искажений одним из наиболее эффективных методов является применение отрицательной обратной связи. Она линеаризует характеристики усилительных каскадов, уменьшает зависимость коэффициента передачи от параметров элементов и расширяет рабочий частотный диапазон.
• Тщательный выбор элементной базы, работа в оптимальных режимах, правильная схемотехника также играют ключевую роль.

Условия отсутствия искажений

Для идеальной неискажающей цепи, которая бы абсолютно точно воспроизводила форму входного сигнала на выходе, необходимо выполнение двух условий:

1. АЧХ должна быть константой (равной коэффициенту передачи) во всей бесконечной полосе частот. Это гарантирует, что все гармонические составляющие сигнала будут переданы с одинаковым усилением или ослаблением.
2. ФЧХ должна быть линейной функцией частоты (φ(ω) = -τ_зд · ω, где τ_зд — постоянная групповая задержка) во всей бесконечной полосе частот. Это означает, что все гармонические составляющие получают одинаковую временную задержку, сохраняя свои фазовые соотношения и, следовательно, форму сложного сигнала.

На практике достичь таких идеальных условий невозможно. Поэтому для реальных целей достаточно, чтобы цепь имела АЧХ, близкую к идеальной, только в той полосе частот, в которой содержится существенная часть спектра сигнала, и чтобы ФЧХ была близка к линейной в этой же полосе. Это позволяет минимизировать искажения до приемлемого уровня, не требуя недостижимой идеализации.

Моделирование и расчеты прохождения сигналов в программных комплексах

В современной инженерной практике невозможно представить анализ электрических цепей без использования специализированных программных комплексов. Они не только сокращают временные затраты на проведение дорогостоящих экспериментальных исследований, но и позволяют проводить глубокий, многофакторный анализ, визуализировать процессы и быстро итерировать различные проектные решения. Среди наиболее популярных и функциональных пакетов выделяются MathCad, MATLAB (с расширением Simulink) и Multisim.

Обзор возможностей MathCad

MathCad — это универсальный математический пакет, ориентированный на выполнение инженерных и научных расчетов в интерактивном режиме. Его отличительная особенность — возможность работать с математическими выражениями в естественной форме, что делает его похожим на «электронную тетрадь».

В контексте анализа линейных цепей, MathCad предоставляет следующие возможности:

• Аналитические расчеты: Символьное решение уравнений, дифференцирование, интегрирование, упрощение выражений, что позволяет находить передаточные функции, уравнения переходных процессов в аналитическом виде.
• Численные методы: Решение систем линейных алгебраических уравнений для токов и напряжений (например, методом узловых потенциалов или контурных токов), что удобно для расчетов постоянного и переменного токов.
• Построение графиков: Автоматическое построение Амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) и Фазо-частотных характеристик (ФЧХ) путем подстановки частоты в передаточную функцию и визуализация переходных процессов по полученным временным зависимостям.
• Моделирование переходных процессов: Использование операторного метода для решения дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в цепях с сосредоточенн��ми параметрами. MathCad позволяет работать с преобразованиями Лапласа, выполняя прямое и обратное преобразования.
• Матричные операции: Удобная работа с матрицами, что упрощает расчеты сложных цепей.

Пример использования: С помощью MathCad можно легко рассчитать передаточную функцию для RC-фильтра, построить его АЧХ и ФЧХ, а затем смоделировать отклик этого фильтра на прямоугольный импульс, решив соответствующие дифференциальные уравнения или применив операторный метод.

Обзор возможностей MATLAB (Simulink)

MATLAB (Matrix Laboratory) — это высокопроизводительный язык для технических вычислений и интерактивная среда для разработки алгоритмов, анализа данных, визуализации и численных расчетов. В сочетании с Simulink (средой для блочного моделирования динамических систем), он становится мощнейшим инструментом для исследования сигналов и цепей.

Возможности MATLAB для анализа сигналов:

• Численное моделирование сигналов: Генерация сигналов произвольной формы (синусоиды, импульсы, шум), работа с дискретными и непрерывными данными.
• Построение спектров: Выполнение быстрого преобразования Фурье (FFT) для анализа спектрального состава входных и выходных сигналов. Это позволяет легко оценить влияние цепи на частотные составляющие.
• Анализ в частотной и временной областях: Использование встроенных функций для расчета передаточных функций, построения АЧХ и ФЧХ (функция bode), моделирования временных откликов.
• Решение дифференциальных уравнений: Численное решение систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение цепей.

Simulink расширяет возможности MATLAB, предоставляя графическую среду для блочного моделирования:

• Блочное моделирование цепей: Создание схем из готовых блоков (резисторы, конденсаторы, индуктивности, источники сигналов, измерительные приборы).
• Визуализация процессов: Наблюдение за изменениями сигналов в реальном времени с помощью осциллографов и спектральных анализаторов, интегрированных в Simulink.
• Моделирование динамических систем: Идеально подходит для анализа переходных процессов, систем автоматического управления и сложных многокомпонентных систем.

Пример использования: В MATLAB можно задать входной сигнал (например, меандр), рассчитать его спектр. Затем, используя Simulink, построить модель цепи (например, сложный фильтр), подать на нее этот сигнал и наблюдать изменения формы и спектра выходного сигнала на виртуальных осциллографах и анализаторах спектра.

Обзор возможностей Multisim (Electronics Workbench)

Multisim (ранее известный как Electronics Workbench) — это интерактивный программный комплекс для сквозного проектирования и моделирования электронных схем, основанный на SPICE-моделировании. Он особенно популярен в образовательных учреждениях благодаря своей интуитивно понятной графической среде.

Ключевые возможности Multisim:

• Интерактивное SPICE-моделирование: Возможность создавать схемы, размещать элементы из обширной библиотеки (более 1200 SPICE-моделей) и мгновенно запускать моделирование, как будто это реальная плата.
• Различные виды анализа:
  • DC (анализ на постоянном токе): Расчет постоянных токов и напряжений в цепи.
  • AC (анализ на переменном токе): Расчет частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ) для линейных цепей.
  • Transient analysis (анализ переходных процессов): Моделирование реакции цепи на импульсные, ступенчатые и другие изменяющиеся во времени сигналы.
• Виртуальные измерительные приборы: Наличие виртуальных осциллографов, мультиметров, функциональных генераторов, анализаторов спектра, которые ведут себя как реальные приборы.
• Моделирование аналоговых, цифровых и силовых электронных схем: Поддержка широкого спектра элементов, от простых пассивных до сложных интегральных микросхем, усилителей на биполярных транзисторах, мультивибраторов.

Ограничения Multisim: Несмотря на свои преимущества, Multisim имеет некоторые особенности. Например, в нем не всегда представляется возможным вычислять комплексную форму для токов или напряжений напрямую, что может потребовать дополнительных действий для получения полного комплексного представления результатов. Расчеты электрических цепей в Mathcad, Simulink и Multisim дают совпадающие результаты для действующих значений токов и напряжений, что подтверждает корректность каждого из пакетов.

Практические примеры моделирования

Для демонстрации возможностей программных комплексов рассмотрим пошаговое моделирование прохождения сигнала через типовые линейные цепи.

Пример 1: RC-фильтр нижних частот (ФНЧ) в MathCad и Multisim

Задача: Смоделировать прохождение синусоидального сигнала через RC-ФНЧ, построить его АЧХ и ФЧХ, а также визуализировать входной и выходной сигналы.

1. Теоретический расчет (MathCad):
   • Определяем сопротивление R и ёмкость C.
   • Находим комплексное сопротивление конденсатора: Z_C(jω) = 1/(jωC).
   • Вычисляем комплексную передаточную функцию по напряжению:
     H(jω) = U_вых(jω) / U_вх(jω) = Z_C(jω) / (R + Z_C(jω)) = 1 / (1 + jωRC)
   • Задаем диапазон частот ω (или f = ω/(2π)).
   • Рассчитываем АЧХ: A(ω) = |H(jω)|.
   • Рассчитываем ФЧХ: φ(ω) = arg(H(jω)).
   • Строим графики A(ω) и φ(ω).
   • Задаем входной синусоидальный сигнал: U_вх(t) = A₀sin(ω₀t).
   • Определяем выходной сигнал с учетом АЧХ и ФЧХ на частоте ω₀: U_вых(t) = A(ω₀) · A₀sin(ω₀t + φ(ω₀)).
   • Визуализируем U_вх(t) и U_вых(t).
2. Моделирование в Multisim:
   • Открываем Multisim, создаем новую схему.
   • Размещаем резистор и конденсатор, соединяем их последовательно, вход подаем на R, выход снимаем с C (для ФНЧ).
   • Подключаем функциональный генератор на вход (источник синусоидального сигнала).
   • Подключаем двухканальный осциллограф: один канал на вход (до R), другой на выход (после C).
   • Запускаем моделирование. Наблюдаем изменение амплитуды и фазы выходного сигнала относительно входного при изменении частоты генератора.
   • Для построения АЧХ и ФЧХ используем инструмент «AC Analysis» (анализ на переменном токе), который позволяет автоматически просканировать заданный диапазон частот и построить графики.

Пример 2: LC-контур (резонансный) в MATLAB/Simulink

Задача: Смоделировать резонансный контур, определить его резонансную частоту и прохождение импульсного сигнала.

1. Теоретический расчет (MATLAB):
   • Задаем R, L, C.
   • Вычисляем резонансную частоту ω_рез = 1/√(LC).
   • Определяем передаточную функцию контура.
   • Строим АЧХ и ФЧХ для подтверждения резонанса.
2. Моделирование в Simulink:
   • В Simulink создаем новую модель.
   • Из библиотеки «Simscape» (или «Electrical/Specialized Power Systems») перетаскиваем блоки резистора, индуктивности, конденсатора, источника напряжения и измерительных блоков.
   • Собираем параллельный или последовательный LC-контур.
   • На вход подаем импульсный сигнал (блок «Pulse Generator»).
   • На выход подключаем осциллограф (блок «Scope»).
   • Запускаем моделирование. Наблюдаем переходный процесс: как контур реагирует на импульс, появление затухающих колебаний на резонансной частоте (если добротность контура достаточно высока).
   • Можно добавить блок «Spectrum Analyzer» для анализа частотного состава входного и выходного сигналов, чтобы увидеть, как контур выделяет или подавляет определенные частоты.

Эти примеры демонстрируют, как программные комплексы позволяют не только проверять теоретические расчеты, но и глубоко исследовать динамические процессы, которые сложно или дорого воспроизвести в реальных экспериментах.

Практические применения анализа прохождения сигнала через линейные цепи

Теоретическое понимание того, как сигналы взаимодействуют с линейными электрическими цепями, является краеугольным камнем для решения широкого спектра инженерных задач. От базовой обработки аудиосигналов до сложнейших радиолокационных систем — везде требуются знания о преобразовании электрических колебаний. Основная задача радиотехники, которую изучает данный раздел, — это эффективное использование электрических колебаний для передачи, хранения и преобразования информации.

Применение в радиосвязи и радиолокации

В таких критически важных областях, как радиосвязь и радиолокация, анализ линейных цепей имеет первостепенное значение:

• Обработка сигналов в приемных устройствах: В радиоприемниках линейные цепи используются на каждом этапе: от входных контуров, выделяющих нужную радиостанцию, до усилителей промежуточной частоты, формирующих окончательный сигнал. Анализ АЧХ и ФЧХ помогает проектировать цепи, обеспечивающие необходимое усиление и избирательность, подавляя помехи и шумы.
• Согласование импеданса: Для обеспечения максимальной передачи мощности от передатчика к антенне (или от антенны к приемнику) необходимо согласование волнового сопротивления линии передачи с сопротивлением нагрузки и источника. Для этого используются согласующие линейные цепи, чей расчет основывается на анализе комплексных импедансов. Несогласованный импеданс может приводить к отражениям сигнала и значительным потерям, что является причиной ухудшения целостности сигналов.
• Проектирование усилителей: Линейные цепи, состоящие из резисторов, конденсаторов и индуктивностей, являются неотъемлемой частью усилительных каскадов. Они используются для формирования частотных характеристик усилителей, обеспечения устойчивости, фильтрации источников питания и межкаскадного согласования.
• Обработка радиолокационных сигналов: В радиолокации анализ прохождения сигнала позволяет разрабатывать цепи для фильтрации отраженных импульсов, выделения полезной информации о цели на фоне шумов и помех, а также для формирования зондирующих сигналов с требуемыми параметрами.

Применение в импульсной технике

Импульсная техника, работающая с сигналами, форма которых существенно отличается от синусоидальной, также в значительной степени полагается на анализ линейных цепей:

• Разработка устройств формирования импульсов: Дифференцирующие и интегрирующие RC-цепи — классические примеры линейных цепей, используемых для изменения формы импульсов.
  • Дифференцирующая цепь: Превращает прямоугольный импульс в короткие всплески на фронтах и спадах, эффективно «выделяя» изменения сигнала.
  • Интегрирующая цепь: Сглаживает прямоугольный импульс, превращая его в более плавный, приближающийся к экспоненциальному.
• Генерация коротких импульсных последовательностей: В «укорачивающих цепях» для запуска триггеров и мультивибраторов используются RC-цепочки, которые формируют короткие управляющие импульсы из более длинных.
• Разделительные цепи между каскадами: Конденсаторы используются для разделения каскадов усилителей по постоянному току, пропуская при этом переменный сигнал, предотвращая взаимное влияние рабочих точек.
• Импульсные трансформаторы: Применяются для передачи импульсных сигналов, согласования импедансов, гальванической развязки, а также для изменения формы импульсов. Их характеристики зависят от индуктивностей и емкостей обмоток, которые анализируются методами линейных цепей.

Проектирование фильтров

Возможно, наиболее очевидное и повсеместное применение анализа линейных цепей — это проектирование электрических фильтров. Фильтры — это устройства, предназначенные для избирательного пропускания или подавления сигналов в определенных частотных диапазонах. Их разработка немыслима без глубокого понимания АЧХ и ФЧХ.

• Фильтры нижних частот (ФНЧ): Пропускают низкие частоты, подавляя высокие. Используются для сглаживания пульсаций, выделения полезных низкочастотных сигналов, подавления высокочастотных помех.
• Фильтры верхних частот (ФВЧ): Пропускают высокие частоты, подавляя низкие. Применяются для устранения постоянной составляющей, выделения высокочастотных компонент.
• Полосовые фильтры (ППФ): Пропускают сигналы в заданном узком или широком диапазоне частот. Ядро радиоприемников, систем связи.
• Полосозаграждающие фильтры (ПЗФ): Подавляют сигналы в определенном частотном диапазоне, пропуская все остальные. Используются для подавления конкретных помех.

Использование анализа АЧХ/ФЧХ для оптимизации фильтров: При проектировании фильтра задаются требования к форме АЧХ (например, крутизна ската, неравномерность в полосе пропускания) и, иногда, к линейности ФЧХ для сохранения формы сигнала. Методы анализа позволяют рассчитать, как изменение номиналов R, L, C влияет на эти характеристики, итерационно подбирая параметры для достижения оптимального результата.

Коррекция и преобразование сигналов

Линейные цепи также широко используются для коррекции и преобразования сигналов:

• Фазосдвигающие устройства: Необходимы для изменения фазы сигнала без изменения его амплитуды. Применяются в системах автоматического управления, фазовых детекторах, автогенераторах гармонических колебаний.
• Схемы коррекции формы импульсов: Например, в цифровой технике для восстановления формы импульсов, искаженных в линии передачи, используются корректирующие цепи, которые «выравнивают» фронты и спады.
• Преобразователи цифрового сигнала в аналоговый (ЦАП): На выходе ЦАП часто требуется аналоговый фильтр нижних частот для сглаживания «ступенек» и восстановления гладкого аналогового сигнала из дискретных отсчетов.

Анализ прохождения сигналов через линейные цепи — это не только теоретическая дисциплина, но и мощный практический инструмент, который служит основой для создания и оптимизации практически всех радиотехнических и электронных устройств, обеспечивая надежную и качественную передачу и обработку информации. Подсистема анализа прохождения сигналов через линейные цепи может использоваться при проведении практических занятий по курсу «Электротехника и электроника», а также при моделировании процессов распространения сигналов по каналам связи, подготавливая студентов к решению реальных инженерных задач.

Заключение

Проведенное исследование прохождения сигнала через линейную цепь продемонстрировало глубокую взаимосвязь между фундаментальными принципами теории электрических цепей, сложным математическим аппаратом, современными инструментами моделирования и широким спектром практических применений. Цель курсовой работы — всестороннее изучение этой темы — была успешно достигнута, равно как и поставленные задачи.

Мы подробно рассмотрели теоретические основы, определив ключевые понятия линейных цепей и сигналов, а также их поведение, подчиняющееся законам Кирхгофа и принципу суперпозиции. Детализированный анализ математических методов — спектрального, операторного и классического — позволил понять их преимущества, недостатки и области оптимального применения, что является критически важным для выбора правильного инструмента при решении конкретных инженерных задач.

Передаточная функция и ее составляющие — амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики — были представлены как основные индикаторы поведения цепи в частотной области. Их анализ позволил объяснить, как цепь изменяет амплитуду и фазу проходящих сигналов. Особое внимание было уделено классификации искажений: линейных (частотных, фазовых, переходных) и нелинейных. Было объяснено, почему последние, хоть и не свойственны *идеальным* линейным цепям, могут проявляться в *реальных* схемах при выходе за пределы линейного режима, а также обозначены методы их минимизации.

Использование программных комплексов MathCad, MATLAB (Simulink) и Multisim продемонстрировало мощь современных инструментов для моделирования, расчетов и визуализации процессов. Эти пакеты не только ускоряют и упрощают инженерную работу, но и позволяют проводить глубокий анализ, недоступный при чисто теоретических расчетах или в рамках реальных дорогостоящих экспериментов.

Наконец, мы проиллюстрировали практическую значимость полученных знаний в таких критически важных областях, как радиосвязь, радиолокация, импульсная техника, а также в проектировании электрических фильтров и систем коррекции сигналов. Эти примеры подтверждают, что глубокое понимание процессов, происходящих при прохождении сигнала через линейные цепи, является фундаментальным навыком для любого инженера, работающего в сфере электроники и телекоммуникаций.

В заключение следует подчеркнуть, что исследование прохождения сигнала через линейные цепи — это многогранная и постоянно развивающаяся область. Она требует не только строгих математических знаний, но и интуитивного понимания физических процессов. Данная курсовая работа закладывает прочный фундамент для дальнейшего изучения более сложных систем и технологий, подтверждая свою актуальность и практическую значимость для будущей инженерной деятельности.

Список использованной литературы

1. Золотницкий, В.М., Чернышев, Э.П. Сборник задач и практикум по ОСНОВАМ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2007. – 300 с.
2. Манаев, Е.И. Основы радиоэлектроники. – М.: Радио и связь, 1990. – 511 с.
3. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. 12-е изд., испр. и доп. – 2016. URL: https://www.elec.ru/library/books/bessonov-l-a-teoreticheskie-osnovy-elektrotekhniki-elektricheskie-tsepi-izdanie-dvenadtsatoe-ispravlennoe-i-dopolnennoe/ (дата обращения: 12.10.2025).
4. Кудряков, С.А. Радиотехнические цепи и сигналы. Моделирование в среде MatLAB, Mathcad и Multisim (Electronics Workbench) [Электронный ресурс]. URL: https://www.twirpx.com/file/1085022/ (дата обращения: 12.10.2025).
5. Анализ линейных электрических цепей. – Екатеринбург: УрФУ, 2022. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/107771/1/978-5-7996-3304-0_2022_075.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
6. Моделирование линейных электрических цепей в пакетах Matlab, Mathcad, Multisim. – СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2016. URL: https://www.eltech.ru/ru/universitet/izdaniya/uchebnye-posobiya/modelirovanie-lineynyh-elektricheskih-cepey-v-paketah-matlab-mathcad-multisim (дата обращения: 12.10.2025).
7. Применение MathCAD и Multisim в решении электротехнических задач. Часть 1. Линейные электрические цепи. – СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2016. URL: https://eltech.ru/assets/files/depts/uchposob/primenenie-mathcad-i-multisim-v-reshenii-elektrotehnicheskih-zadach-chast-1-linejnye-elektricheskie-cepi.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
8. Сравнение расчетов электрических цепей в программах Mathcad/Simulink/Multisim. URL: https://dzen.ru/a/ZAYF2rWCy0SoSg (дата обращения: 12.10.2025).
9. Теория электрических цепей. – Екатеринбург: УрФУ, 2019. URL: http://elar.urfu.ru/bitstream/10995/78688/1/978-5-7996-2713-1_2019_108.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
10. Исследование частотных характеристик электрических цепей. – Красноярск: СФУ, 2008. URL: https://elib.sfu-kras.ru/bitstream/handle/2311/8404/buriy.pdf?sequence=1 (дата обращения: 12.10.2025).
11. Комплексные частотные характеристики // Электроэнергетическая группа. URL: https://www.elec.ru/articles/kompleksnye-chastotnye-harakteristiki/ (дата обращения: 12.10.2025).
12. Передаточные функции и частотные характеристики. Аналоговые устройства аппаратуры связи // Siblec.Ru. URL: https://siblec.ru/analogovye-ustroistva-apparatura-svyazi/peredatochnye-funktsii-i-chastotnye-kharakteristiki (дата обращения: 12.10.2025).
13. Частотные характеристики линейных цепей // РТС ЭТУ. URL: https://rts.etu.ru/assets/files/students/courses/radiotech/lections/lection_2_3.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
14. Преимущества анализа в частотной области // Время электроники. URL: https://www.russianelectronics.ru/developer-corner/technology/item/84519-preimushchestva-analiza-v-chastotnoj-oblasti/ (дата обращения: 12.10.2025).
15. Спектральный метод анализа прохождения сигналов через линейные электрические цепи // Ozlib.com. URL: https://ozlib.com/832341/radiotehnika/spektralnyy_metod_analiza_prohozhdeniya_signalov_cherez_lineynye_elektricheskie_tsepi (дата обращения: 12.10.2025).
16. Спектральный метод анализа линейных цепей // Studref.com. URL: https://studref.com/393275/tehnika/spektralnyy_analiz_lineynyh_tsepey (дата обращения: 12.10.2025).
17. Временной и спектральный методы анализа передачи сигналов через линейные цепи. URL: http://edu.sfu-kras.ru/sites/edu.sfu-kras.ru/files/metod_ukazaniya/lektsiya_vremennoi_i_spektralnyi_metody_analiza.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
18. Операторный метод анализа переходных процессов в линейных цепях // Siblec.Ru. URL: https://siblec.ru/teoriya-elektricheskikh-tsepei/operatornyi-metod-analiza-perekhodnykh-protsessov-v-lineinykh-tsepyakh (дата обращения: 12.10.2025).
19. Операторный метод расчета переходных процессов // НГТУ. URL: https://www.nguet.ru/uploads/files/kafedri/tore/metod/operatornyi-metod.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
20. Операторный метод анализа прохождения сигналов через линейные цепи в среде MathCAD // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/operatornyy-metod-analiza-prohozhdeniya-signalov-cherez-lineynye-tsepi-v-srede-mathcad (дата обращения: 12.10.2025).
21. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИГНАЛОВ. – М.: МГТУ ГА, 2012. URL: https://www.mstuca.ru/static_content/documents/izdatelstvo/uchebnye_posobija/mat_model_signalov.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
22. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ, ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ И РЕАКЦИЙ СИСТЕМ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-modelirovanie-signalov-lineynyh-zveniev-i-reaktsiy-sistem-telekommunikatsiy-i-radioelektroniki-vo-vremennoy-oblasti (дата обращения: 12.10.2025).
23. Радиотехнические цепи и сигналы. Математическое описание аналоговых сигналов и анализ их прохождения через линейные цепи. – Томск: ТУСУР, 2012. URL: https://www.tusur.ru/ru/nauka-i-innovatsii/izdatelskaya-deyatelnost/elektronnaya-biblioteka/detail.php?element_id=231713 (дата обращения: 12.10.2025).
24. 3.8. Линейные искажения и связанные с ними амплитудно-частотные характеристики, фазочастотные характеристики и переходные характеристики // РТС ЭТУ. URL: https://rts.etu.ru/assets/files/students/courses/radiotech/lections/lection_3_8.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
25. Виды нелинейных искажений и методы борьбы с ними // ChipDip. URL: https://www.chipdip.ru/info/types-of-nonlinear-distortions-and-methods-of-deal (дата обращения: 12.10.2025).