Как написать курсовую «Группы гомоморфизмов абелевых групп» – понятный план, структура и примеры

Введение. Формулируем цели и задаем вектор исследования

Теория групп является одним из краеугольных камней современной алгебры, предоставляя универсальный язык для описания симметрии и структуры во множестве разделов математики и естественных наук. Особое место в этой теории занимают абелевы группы — классы групп, обладающие свойством коммутативности, что делает их структуру более предсказуемой и глубоко изученной. Однако для полного понимания математических объектов недостаточно изучать их в изоляции; необходимо анализировать и структурные связи между ними.

Именно здесь на первый план выходит понятие гомоморфизма — отображения, сохраняющего групповую операцию. Актуальность данной курсовой работы заключается в исследовании уникального феномена: множество всех гомоморфизмов между двумя абелевыми группами само по себе образует новую абелеву группу. Понимание ее свойств позволяет не только классифицировать и сопоставлять исходные группы, но и открывает двери в более сложные области, такие как гомологическая алгебра.

Таким образом, в рамках настоящей работы мы проведем системное исследование этой структуры.

• Объект исследования: абелевы группы.
• Предмет исследования: структура и свойства группы гомоморфизмов Hom(A, B), образованной на множестве отображений между абелевыми группами A и B.
• Цель работы: Изучить и описать алгебраическую структуру, образуемую множеством гомоморфизмов между двумя абелевыми группами.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: дать строгие определения абелевой группы и гомоморфизма, описать ключевые свойства гомоморфизмов (ядро и образ), доказать фундаментальную теорему о гомоморфизме, показать, как множество Hom(A, B) само становится абелевой группой, и рассмотреть ее структуру на конкретных примерах.

Глава 1. Базовый аппарат теории групп и гомоморфизмов

1.1. Основные определения. Что такое абелева группа и каковы ее свойства

Для того чтобы приступить к основной теме исследования, необходимо заложить прочный теоретический фундамент. В основе лежит понятие группы — одной из фундаментальных алгебраических структур.

Определение. Группой называется непустое множество G с заданной на нем бинарной операцией (обозначаемой как `*`), если для этой операции выполняются следующие аксиомы:

1. Ассоциативность: для любых a, b, c из G выполняется равенство `(a * b) * c = a * (b * c)`.
2. Наличие нейтрального элемента: существует такой элемент `e` в G, что для любого `a` из G верно `a * e = e * a = a`.
3. Наличие обратного элемента: для каждого элемента `a` из G существует элемент `a⁻¹` в G, такой что `a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e`.

Если в группе дополнительно выполняется аксиома коммутативности (`a * b = b * a` для всех a, b из G), то такая группа называется абелевой (или коммутативной). Именно этот класс групп находится в центре нашего внимания. Классическими примерами абелевых групп являются:

• Множество целых чисел (Z, +) с операцией сложения.
• Множество рациональных чисел (Q, +) и действительных чисел (R, +).
• Группа вычетов по модулю n, (Z_n, +).

Важным понятием является подгруппа — подмножество группы, которое само является группой относительно той же операции. В контексте абелевых групп есть ключевое свойство: любая подгруппа абелевой группы является нормальной. Это упрощает многие конструкции, в частности, построение фактор-групп, которое мы рассмотрим далее.

1.2. Гомоморфизмы как структурные мосты между группами

Определив объекты нашего изучения — абелевы группы, — мы переходим к отображениям, которые сохраняют их структуру. Эти отображения называются гомоморфизмами.

Определение. Гомоморфизмом из группы `(G, *)` в группу `(H, •)` называется функция `f: G → H`, которая для любых элементов `a, b ∈ G` удовлетворяет условию:

f(a * b) = f(a) • f(b)

Интуитивно это означает, что «образ произведения равен произведению образов», то есть операция в группе G «уважается» отображением f.

С каждым гомоморфизмом неразрывно связаны два фундаментальных понятия — его ядро и образ.

• Ядро гомоморфизма (ker(f)) — это множество всех элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент `e_H` группы H. Формально: `ker(f) = {g ∈ G | f(g) = e_H}`. Ядро всегда является подгруппой в G.
• Образ гомоморфизма (Im(f)) — это множество всех элементов в H, которые являются образом какого-либо элемента из G. Формально: `Im(f) = {h ∈ H | ∃ g ∈ G, f(g) = h}`. Образ всегда является подгруппой в H.

Роль ядра чрезвычайно важна: оно служит индикатором «инъективности» гомоморфизма. Гомоморфизм `f` является инъективным (взаимно однозначным) тогда и только тогда, когда его ядро тривиально, то есть `ker(f) = {e_G}`. Чем «больше» ядро, тем сильнее гомоморфизм «склеивает» элементы.

Рассмотрим классический пример. Пусть `f: Z → Z_n` — гомоморфизм, заданный правилом `f(x) = x mod n` (остаток от деления x на n).

• Ядром здесь будет множество всех целых чисел, кратных n, то есть `ker(f) = nZ`.
• Образом будет вся группа вычетов `Im(f) = Z_n`, так как любой вычет может быть получен.

1.3. Фундаментальная теорема о гомоморфизме и ее значение

Фундаментальная теорема о гомоморфизме (или первая теорема об изоморфизме) является центральным результатом теории групп, который элегантно связывает понятия ядра, образа и структуры исходной группы.

Прежде чем ее сформулировать, введем понятие фактор-группы. Если `N` — нормальная подгруппа группы `G` (а в абелевых группах любая подгруппа нормальна), то можно рассмотреть множество всех левых (или правых) смежных классов `gN = {gn | n ∈ N}`. Это множество, обозначаемое `G/N`, само образует группу относительно операции `(aN)(bN) = (ab)N`. Эта конструкция позволяет «факторизовать» группу по ее нормальной подгруппе.

Теорема о гомоморфизме. Для любого гомоморфизма `f: G → H` фактор-группа `G / ker(f)` изоморфна образу `Im(f)`. Символически:

G / ker(f) ≅ Im(f)

Знак `≅` означает существование изоморфизма — биективного гомоморфизма.

Идея доказательства строится в несколько логических шагов:

1. Определяется отображение `φ: G / ker(f) → Im(f)` по правилу `φ(g * ker(f)) = f(g)`.
2. Доказывается корректность этого определения: нужно показать, что если `g₁*ker(f) = g₂*ker(f)`, то `f(g₁) = f(g₂)`, что напрямую следует из определения ядра.
3. Проверяется, что `φ` является гомоморфизмом: `φ((a*ker(f))*(b*ker(f))) = φ((ab)*ker(f)) = f(ab) = f(a)f(b) = φ(a*ker(f))φ(b*ker(f))`.
4. Доказывается инъективность `φ`: если `φ(g*ker(f)) = e_H`, то `f(g) = e_H`, а значит `g ∈ ker(f)`, поэтому смежный класс `g*ker(f)` является нейтральным элементом в фактор-группе.
5. Доказывается сюръективность `φ`: для любого `h ∈ Im(f)` существует `g ∈ G` такой, что `f(g) = h`, а значит `φ(g*ker(f)) = h`.

Значение этой теоремы колоссально. Она позволяет свести изучение образа любого гомоморфизма к изучению более простой по своей природе фактор-группы исходной группы по ядру. Это мощнейший инструмент для анализа и классификации групп.

Глава 2. Структура и свойства группы гомоморфизмов Hom(A, B)

2.1. Построение абелевой группы на множестве гомоморфизмов

Мы подошли к центральной части нашей работы. До этого мы рассматривали гомоморфизмы как отдельные отображения. Теперь же мы покажем, что если исходные группы A и B являются абелевыми, то множество всех гомоморфизмов между ними само может быть наделено структурой абелевой группы.

Введем стандартное обозначение `Hom(A, B)` для множества всех гомоморфизмов из абелевой группы A в абелеву группу B. На этом множестве можно определить операцию «сложения» гомоморфизмов.

Определение. Для любых двух гомоморфизмов `f, g ∈ Hom(A, B)` их сумма `h = f + g` определяется как функция, которая каждому элементу `a ∈ A` ставит в соответствие сумму образов `f(a)` и `g(a)` в группе B. Формально:

(f + g)(a) = f(a) + g(a)

Здесь `+` в левой части — это новая операция на `Hom(A, B)`, а `+` в правой части — это операция в группе B.

Теорема. Множество `(Hom(A, B), +)` является абелевой группой.

Доказательство. Проверим выполнение всех аксиом группы.

1. Замкнутость. Сначала нужно доказать, что `f + g` — это тоже гомоморфизм. Проверим: `(f + g)(a₁ + a₂) = f(a₁ + a₂) + g(a₁ + a₂) = (f(a₁) + f(a₂)) + (g(a₁) + g(a₂))`. Используя ассоциативность и коммутативность в B, получаем: `(f(a₁) + g(a₁)) + (f(a₂) + g(a₂)) = (f + g)(a₁) + (f + g)(a₂).` Условие выполняется.
2. Ассоциативность. Эта аксиома выполняется, так как она напрямую следует из ассоциативности операции `+` в группе B.
3. Нейтральный элемент. Существует нулевой гомоморфизм `θ`, который каждый элемент `a ∈ A` отображает в нейтральный (нулевой) элемент `e_B` группы B. `θ(a) = e_B`. Легко проверить, что `f + θ = f`.
4. Обратный элемент. Для каждого гомоморфизма `f` существует противоположный `-f`, определяемый как `(-f)(a) = -f(a)`. Тогда `(f + (-f))(a) = f(a) + (-f(a)) = f(a) — f(a) = e_B`, то есть `f + (-f) = θ`.
5. Коммутативность. `(f + g)(a) = f(a) + g(a) = g(a) + f(a) = (g + f)(a)`. Равенство следует из коммутативности операции в целевой группе B.

Таким образом, мы доказали, что `Hom(A, B)` действительно является абелевой группой. Этот факт позволяет применять к множеству гомоморфизмов весь арсенал теории групп.

2.2. Анализ структуры Hom(A, B) на примере циклических групп

Чтобы понять, как устроена группа `Hom(A, B)` на практике, рассмотрим важнейший класс абелевых групп — циклические группы `Z_n`.

Ключевое свойство гомоморфизма из циклической группы `A = ` заключается в том, что он полностью определяется образом порождающего элемента `f(a)`. Действительно, для любого элемента `a^k ∈ A` его образ будет равен `f(a^k) = f(a)^k`.

Рассмотрим `Hom(Z_n, Z_m)`. Пусть `Z_n = ` и `Z_m = `. Любой гомоморфизм `f: Z_n → Z_m` однозначно задается элементом `f(g₁) ∈ Z_m`. Однако не любой выбор `f(g₁)` допустим. Порядок элемента `f(g₁)` должен делить порядок `g₁`, то есть `n`. Кроме того, порядок любого элемента в `Z_m` делит `m`. Отсюда следует, что порядок `f(g₁)` должен делить и `n`, и `m`, а значит, и их наибольший общий делитель (НОД).

Это приводит нас к фундаментальному результату для циклических групп.

Теорема. Группа гомоморфизмов `Hom(Z_n, Z_m)` изоморфна циклической группе `Z_d`, где `d = НОД(n, m)`.

Hom(Z_n, Z_m) ≅ Z_d

Конкретный пример. Давайте найдем группу `Hom(Z_4, Z_6)`.

1. Находим `d = НОД(4, 6) = 2`. Согласно теореме, группа гомоморфизмов должна быть изоморфна `Z_2`, то есть состоять из двух элементов.
2. Пусть `Z_4 = <1>`. Гомоморфизм `f: Z_4 → Z_6` определяется образом `f(1)`. Порядок `f(1)` в `Z_6` должен делить 4.
3. Найдем элементы в `Z_6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}`, порядок которых делит 4.
   • `ord(0) = 1` (делит 4).
   • `ord(1) = 6` (не делит 4).
   • `ord(2) = 3` (не делит 4).
   • `ord(3) = 2` (делит 4).
   • `ord(4) = 3` (не делит 4).
   • `ord(5) = 6` (не делит 4).
4. Подходящих образов для `f(1)` всего два: 0 и 3. Это порождает ровно два гомоморфизма:
   • `f₀(x) = 0 * x = 0` (нулевой гомоморфизм).
   • `f₁(x) = 3 * x mod 6`. Проверим: `f₁(1)=3`, `f₁(2)=0`, `f₁(3)=3`, `f₁(0)=0`.

Таким образом, `Hom(Z_4, Z_6) = {f₀, f₁}`. Эта группа из двух элементов очевидно изоморфна `Z_2`.

Заключение. Синтез результатов и перспективы

В ходе выполнения курсовой работы был пройден последовательный путь от базовых понятий теории групп до исследования сложной алгебраической конструкции — группы гомоморфизмов. Мы начали с формального введения в предмет, определив абелевы группы и гомоморфизмы как отображения, сохраняющие их структуру. Были детально рассмотрены ключевые атрибуты гомоморфизма — ядро и образ — и доказана фундаментальная теорема об изоморфизме, которая связывает их воедино.

Главным результатом работы стало доказательство того, что для абелевых групп A и B множество гомоморфизмов Hom(A, B) само является абелевой группой. Этот вывод является центральным, так как он позволяет анализировать совокупность всех структурных связей между двумя группами как единый алгебраический объект.

Основные задачи, поставленные во введении, были успешно решены:

• Сформулированы базовые определения и свойства.
• Доказана фундаментальная теорема о гомоморфизме.
• Описана и доказана структура группы `Hom(A, B)`.
• На примере циклических групп была явно вычислена структура `Hom(Z_n, Z_m)` и показан ее изоморфизм с `Z_НОД(n,m)`.

Данная тема имеет значительные перспективы для дальнейшего изучения. Конструкция `Hom` является не просто группой, а функтором, что является отправной точкой для изучения теории категорий. Связь функтора `Hom` с тензорным произведением групп лежит в основе гомологической алгебры — мощной теории, имеющей приложения в топологии, алгебраической геометрии и теоретической физике. Таким образом, материал этой курсовой работы служит надежным фундаментом для освоения этих передовых разделов современной математики.

Список использованной литературы

1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976. — 648 с.
2. Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с.
4. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
5. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Том 1. — М.: Мир, 1977. — 688 с.
6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Том 1. — М.: Мир, 1974. — 335 с.

Литература

1. 1. Александров, П.С. Введение в теорию групп / П.С. Александров. М.: Наука, 1980.
2. 2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.
3. 3. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. М.: Наука, 1996.
4. 4. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош. М.: Наука, 1967.