Содержание
Содержание
Введение 3
Глава 1. Основные сведения из теории групп. 5
1.Определение группы. Примеры. 5
2. Подгруппы. Смежные классы 9
3. Нормальные подгруппы 15
4. Прямые произведения 17
Глава II: Гомоморфизмы групп 20
1. Определение гомоморфизмов групп. Ядро и образ. 20
2. Эндоморфизмы и автоморфизмы групп. 25
3. Гомоморфизмы абелевых групп 32
4. Примеры групп гомоморфизмов абелевых групп. 33
Литература 35
Выдержка из текста
Введение
Понятие группы возникшее в XVIIIвеке, явилось следствием развития не-скольких математических дисциплин. В теории решения алгебраических уравнений в радикалах в трудах Ж. Лагранжа и А. Вандермонда в 1771 г. впервые для нужд этой теории были применены подстановки, и было получено разложение группы подстановок на смежные классы. В XIX в. глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны Н.Абелем в 1824 г. и Э. Галуа в 1830 г. Особенно нужно отметить достиженияЭ.Галуав теории групп. Он открыл роль нормальных подгрупп в решении задачи о разрешимости уравнений в радикалах, установил простоту знакопеременных групп степени выше четырех. К. Жорданв 1870 г.систематизировал и развил исследования в этом направлении в трактате о группе подстановок. В проективной геометрии группы возникают, когда изучается поведение фигур при различных преобразованиях, что перешло на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Здесь можно назвать имена А. Мебиуса, исследовавшего элементарные виды родства геометрических фигур, А. Кэли, пришедшего к пониманию группы как системы, заданной порождающими элементами и соотношениями, Ф. Клейна – создателя в 1872 г. «Эрлангенской программы», положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований. Теоретико-групповые идеи прослеживаются и в теории чисел. Л. Эйлер в 1761 г. при изучении «вычетов, остающихся при делении степеней» пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, т. е. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в 1801 г. в «Арифметических исследованиях» определил подгруппы группы Галуа уравнения деления круга и при изучении «композиции двоичных квадратичных форм» доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.
В конце 19 в. выработалось современное абстрактное понятие группы. В 1895г. С. Ли уже определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, которая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы.
Изучение групп без предположения их конечности и без предположе-ний о природе элементов оформилось в самостоятельную область математики в 1916 г. в книге «Абстрактная теория групп» нашего соотечественника О.Ю. Шмидта.
В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные приложения, как в самой математике, так и за ее пределами — в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.
Курсовая работа посвящена изучению групп гомоморфизмов абелевых групп и состоит из двух разделов.
В первом разделе приводятся основные понятия и определения теории групп.
Во втором разделе приводятся основные сведения о гомоморфизмах групп.
Список использованной литературы
Литература
1. Александров, П.С. Введение в теорию групп / П.С. Александров. М.: Наука, 1980.
2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.
3. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И.Мерзляков. М.: Наука, 1996.
4. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош. М.: Наука, 1967.