Моделирование случайных процессов: СРУ, Эйлер-Маруяма и t/F-критерии

Введение: Актуальность, цели и задачи

Современный мир изобилует системами, поведение которых невозможно описать исключительно детерминированными моделями. От прогнозирования финансовых рынков и климатических изменений до моделирования динамики популяций и распространения информации — во всех этих областях ключевую роль играют случайные факторы, или шумы. Теоретический аппарат стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) позволяет математически строго описать такие системы. Однако для их практического исследования и прогнозирования необходимо перейти от непрерывной математики к дискретному инструментарию, реализуемому на ЭВМ. Именно здесь вступают в силу дискретные случайные процессы (ДСП) и их программное моделирование на основе стохастических разностных уравнений (СРУ).

Актуальность данной работы обусловлена необходимостью разработки надежного и верифицированного программного комплекса, способного точно моделировать ДСП. Это требует не только корректной реализации численных схем, но и глубокого статистического анализа полученных результатов для подтверждения адекватности модели, поскольку неадекватная аппроксимация может привести к критически неверным прогнозам.

Целью данной курсовой работы является создание методологии и разработка программного инструментария для численного моделирования дискретных случайных процессов на основе стохастических разностных уравнений, подкрепленного исчерпывающим статистическим анализом.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

Обосновать теоретический аппарат СДУ, включая условия существования и единственности решения.
Выбрать и обосновать оптимальные численные методы (схемы Эйлера-Маруямы и Мильштейна) для дискретизации СДУ.
Разработать модульную архитектуру программного комплекса и провести сравнительный анализ инструментов реализации.
Провести углубленный статистический анализ результатов моделирования, используя критерии адекватности (Стьюдента, Фишера) и характеристики формы распределения (асимметрия, эксцесс).

Структура работы отражает последовательность решения этих задач, переходя от строгой математической базы к практической реализации и статистической валидации.

Теоретические основы моделирования дискретных случайных процессов

Программное моделирование стохастических систем — это процесс аппроксимации непрерывных случайных траекторий дискретными последовательностями, которые могут быть воспроизведены на вычислительной машине.

Понятие дискретного случайного процесса и стохастического разностного уравнения

Дискретный случайный процесс (ДСП) $X$ определяется как семейство случайных величин $\left\{X_{k}\right\}_{k=0}^{N}$, индексируемых дискретным параметром времени $t_{k}$. В контексте численного моделирования, ДСП $X_{k}$ является приближением к решению $X(t_{k})$ непрерывного случайного процесса, описываемого СДУ.

Базовым математическим аппаратом для описания случайных систем является стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ито:

$$
\mathrm{d}X(t) = b(t, X(t))\mathrm{d}t + \sigma(t, X(t))\mathrm{d}W(t)
$$

где:

$X(t)$ — моделируемый случайный процесс.
$b(t, X(t))$ — коэффициент сноса (drift coefficient), отражающий детерминированную часть эволюции.
$\sigma(t, X(t))$ — коэффициент диффузии (diffusion coefficient), определяющий интенсивность воздействия случайного шума.
$W(t)$ — стандартный винеровский процесс (броуновское движение), являющийся математическим представлением белого шума.

Поскольку винеровский процесс не является дифференцируемым в обычном смысле, для численной реализации СДУ требуется его дискретный аналог — стохастическое разностное уравнение (СРУ). СРУ представляет собой рекуррентное соотношение, позволяющее вычислить значение процесса на следующем шаге $X_{i+1}$ на основе его текущего значения $X_{i}$ и приращения случайного шума.

Условия существования и единственности решения СДУ

Прежде чем приступать к численному моделированию, необходимо убедиться, что исходное СДУ имеет единственное и конечное решение. Это требование является краеугольным камнем методологической корректности, поскольку гарантирует, что мы аппроксимируем реально существующий процесс. Для существования и единственности сильного решения СДУ Ито необходимо, чтобы коэффициенты сноса $b(t, X)$ и диффузии $\sigma(t, X)$ удовлетворяли двум ключевым условиям.

1. Условие Липшица (локальная или глобальная ограниченность)

Условие Липшица гарантирует, что коэффициенты не изменяются слишком резко по отношению к состоянию процесса $X$. Для $t \in [0, T]$ и любых $X, Y \in \mathbb{R}$ оно формулируется следующим образом:

где $L$ — положительная константа Липшица. Физический смысл этого условия заключается в том, что небольшие различия в начальных состояниях процесса не приводят к экспоненциально расходящимся траекториям.

2. Условие линейного роста (ограничение роста решения)

Условие линейного роста предотвращает «взрывное» поведение (уход в бесконечность за конечное время). Оно гарантирует, что решение $X(t)$ остается ограниченным в среднем квадратическом:

$$
\left|b(t, X)\right|^{2} + \left|\sigma(t, X)\right|^{2} \leq C(1 + \left|X\right|^{2})
$$

где $C$ — положительная константа. Только при выполнении этих двух строгих математических требований можно гарантировать, что численное решение СРУ будет адекватно аппроксимировать истинное решение СДУ.

Численные методы и анализ сходимости стохастических разностных уравнений

Моделирование ДСП на основе СРУ по сути сводится к реализации численных схем, которые дискретизируют уравнение Ито. Выбор схемы определяет точность, с которой приближенное решение $X_{\Delta t}$ сходится к истинному решению $X(t)$.

Схема Эйлера-Маруямы: Принцип и порядок сходимости

Метод Эйлера-Маруямы является самым простым и наиболее распространенным явным одношаговым методом для аппроксимации СДУ. Его популярность обусловлена простотой реализации.

Стохастическое разностное уравнение (СРУ) в форме схемы Эйлера-Маруямы имеет вид:

$$
X_{i+1} = X_{i} + b(t_{i}, X_{i})\Delta t + \sigma(t_{i}, X_{i})\Delta W_{i}
$$

где $\Delta t$ — шаг по времени, а $\Delta W_{i}$ — приращение винеровского процесса за интервал $[t_{i}, t_{i+1}]$, которое является случайной величиной с нормальным распределением $N(0, \Delta t)$.

Анализ численных методов для СДУ оперирует двумя ключевыми понятиями сходимости: сильной и слабой.

1. Сильная сходимость (среднеквадратическая)

Она важна, когда требуется максимально точное воспроизведение индивидуальных траекторий случайного процесса (например, при моделировании траекторий частиц). Схема Эйлера-Маруямы обладает порядком сильной сходимости $\gamma = 0.5$. Математически это означает, что ошибка приближения траекторий при $T$ удовлетворяет:
$$
\mathbb{E}\left[\left|X(T) — X_{\Delta t}(T)\right|\right] \leq C \cdot \Delta t^{0.5}
$$

Сходимость является достаточно медленной, так как для уменьшения ошибки в 10 раз необходимо уменьшить шаг $\Delta t$ в 100 раз.

2. Слабая сходимость

Она важна, когда требуется точное вычисление интегральных характеристик процесса, таких как математическое ожидание, дисперсия или вероятности достижения определенных областей. Схема Эйлера-Маруямы обладает порядком слабой сходимости $\beta = 1.0$.
$$
\left|\mathbb{E}\left[f(X(T))\right] — \mathbb{E}\left[f(X_{\Delta t}(T))\right]\right| \leq C \cdot \Delta t^{1.0}
$$
Для оценки моментов распределения, схема Эйлера-Маруямы является эффективным инструментом, что делает ее идеальным выбором для первичного статистического анализа.

Схема Мильштейна как метод повышения точности траекторий

В случаях, когда важна высокая точность построения отдельных выборочных траекторий, схемы с порядком сильной сходимости 0.5 может быть недостаточно. Здесь на помощь приходит схема Мильштейна, которая является усовершенствованием схемы Эйлера-Маруямы и достигает порядка сильной сходимости $\gamma = 1.0$.

Стохастическое разностное уравнение схемы Мильштейна (для скалярного случая) включает дополнительный член, учитывающий зависимость коэффициента диффузии от состояния процесса:

$$
X_{i+1} = X_{i} + b_{i} \Delta t + \sigma_{i} \Delta W_{i} + \frac{1}{2} \sigma_{i} \sigma’_{i} [(\Delta W_{i})^{2} — \Delta t]
$$

где $b_{i} = b(t_{i}, X_{i})$, $\sigma_{i} = \sigma(t_{i}, X_{i})$, а $\sigma’_{i} = \frac{\partial \sigma}{\partial X}(t_{i}, X_{i})$ — частная производная коэффициента диффузии по состоянию $X$.

Применение схемы Мильштейна критически важно для высокоточного моделирования, например, в задачах количественных финансов, где малые ошибки в траекториях могут привести к существенным ошибкам в оценке рисков.

Алгоритм генерации приращений винеровского процесса

Центральным элементом любого численного моделирования СДУ является генерация приращений $\Delta W_{i}$. По определению винеровского процесса, его приращения $\Delta W_{i} = W(t_{i+1}) — W(t_{i})$ независимы, стационарны и имеют нормальное распределение $N(0, \Delta t)$.

Для программной реализации это означает, что приращение должно быть смоделировано как:

$$
\Delta W_{i} = \sqrt{\Delta t} \cdot \xi_{i}
$$

где $\xi_{i}$ — независимые реализации стандартной гауссовской случайной величины $N(0, 1)$ (мат. ожидание 0, дисперсия 1).

Таким образом, общий алгоритм численного моделирования ДСП сводится к методу Монте-Карло, который состоит из многократного повторения следующих шагов:

Выбор начального условия $X_{0}$.
На каждом шаге $i$ генерация $\xi_{i} \sim N(0, 1)$.
Вычисление $\Delta W_{i} = \sqrt{\Delta t} \cdot \xi_{i}$.
Вычисление $X_{i+1}$ по выбранной схеме (Эйлер-Маруяма или Мильштейн).
Повторение процесса $N$ раз для получения одной выборочной траектории.
Повторение всего цикла $M$ раз для получения статистического ансамбля траекторий.

Статистическая оценка адекватности и анализ распределения

Модель дискретного случайного процесса считается адекватной, если ее статистические характеристики (мат. ожидание, дисперсия, форма распределения) совпадают с характеристиками реальной системы или теоретического решения СДУ в пределах заданной статистической значимости.

Критерии проверки адекватности модели (t-критерий Стьюдента и F-критерий Фишера)

Для формальной статистической проверки используются параметрические критерии, основанные на выборочных данных, полученных в результате моделирования Монте-Карло.

1. t-критерий Стьюдента

t-критерий используется для проверки нулевой гипотезы $H_{0}$ о равенстве выборочного среднего $\overline{X}$ некоторому теоретическому значению $\mu_{0}$.

Формула для t-статистики (одновыборочный критерий):

$$
t = \frac{\overline{X} — \mu_{0}}{s / \sqrt{n}}
$$

где:

$\overline{X}$ — выборочное среднее.
$\mu_{0}$ — теоретическое (гипотетическое) среднее.
$s$ — выборочное стандартное отклонение.
$n$ — объем выборки (количество траекторий Монте-Карло).

Если рассчитанное значение $t$ попадает в область принятия $H_{0}$, то различие между выборочным и теоретическим средним считается статистически незначимым, что свидетельствует об адекватности модели по среднему значению.

2. F-критерий Фишера

F-критерий используется для сравнения выборочных дисперсий $s_{1}^{2}$ и $s_{2}^{2}$. В контексте адекватности модели он может применяться для сравнения дисперсии откликов двух конкурирующих моделей или для сравнения дисперсии смоделированного процесса с известной теоретической дисперсией.

F-статистика рассчитывается как отношение большей выборочной дисперсии к меньшей:

$$
F = \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \quad \text{при условии } s_{1}^{2} \geq s_{2}^{2}
$$

Сравнение полученного $F_{\text{расч}}$ с табличным значением $F_{\text{крит}}$ позволяет сделать вывод о статистическом равенстве дисперсий. Если $F_{\text{расч}} \leq F_{\text{крит}}$, модель адекватна по критерию дисперсии.

Глубокий анализ формы распределения: Асимметрия и Эксцесс

Стохастические процессы часто имеют распределения, отличные от нормального, особенно при наличии нелинейных коэффициентов. Для глубокого понимания формы распределения смоделированного процесса необходимо вычислить моменты высших порядков — асимметрию и эксцесс.

Выборочный коэффициент асимметрии ($A_{s}$)

Асимметрия характеризует степень скошенности распределения относительно его математического ожидания.

Формула для выборочного коэффициента асимметрии:

$$
A_{s} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_{i} — \overline{X})^{3} / n}{s^{3}}
$$

Если $A_{s} > 0$, распределение имеет «длинный хвост» справа (правосторонняя скошенность).
Если $A_{s} < 0$, распределение имеет "длинный хвост" слева (левосторонняя скошенность).

Выборочный коэффициент эксцесса ($E_{x}$)

Эксцесс (или коэффициент крутости) характеризует степень островершинности или плосковершинности распределения по сравнению с нормальным распределением (которое считается эталонным и имеет эксцесс, равный нулю).

Формула для выборочного коэффициента эксцесса (с поправкой на нормальное распределение):

$$
E_{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_{i} — \overline{X})^{4} / n}{s^{4}} — 3
$$

Если $E_{x} > 0$ (лептокуртическое распределение), распределение более островершинное и имеет более «тяжелые хвосты», чем нормальное. Это часто наблюдается в финансовых моделях, где экстремальные события более вероятны.
Если $E_{x} < 0$ (платикуртическое), распределение более плосковершинное, чем нормальное.

Анализ $A_{s}$ и $E_{x}$ позволяет не только подтвердить адекватность, но и понять внутреннюю динамику процесса, особенно в отношении вероятности возникновения редких, экстремальных событий, что является неоценимым качеством при практической реализации.

Архитектура программного комплекса и сравнительный анализ средств реализации

Эффективность программного комплекса (ПК) для моделирования ДСП напрямую зависит от выбора инструментария и продуманной модульной архитектуры.

Сравнительный анализ инструментов программирования (Matlab, Python, C++)

Выбор платформы должен быть основан на балансе между скоростью разработки, доступностью математических библиотек и производительностью.

Критерий	MATLAB	Python (SciPy/NumPy)	C++ (Eigen/Armadillo)
Скорость разработки и прототипирование	Высокая. Встроенные функции для матричных операций, генерации СВ.	Средняя/Высокая. Требует импорта библиотек, но синтаксис прост.	Низкая. Требует явного объявления типов, компиляции, сложнее отладка.
Производительность чистых вычислений	Высокая. Оптимизированное ядро, работает с матрицами как с примитивами.	Средняя. Высокая только при использовании векторизации NumPy или JIT-компиляции (Numba).	Максимальная. Компилируемый код, низкоуровневый контроль, идеально для больших N.
Математический и статистический аппарат	Отличный (Statistics and ML Toolbox, SimBiology Toolbox).	Отличный (SciPy, Statsmodels, Pandas).	Хороший, но требует интеграции сторонних библиотек.
Рекомендация для курсовой работы	Оптимален для быстрого создания и тестирования численных схем.	Рекомендуется как компромисс между скоростью и производительностью.	Идеален для финальной, высокопроизводительной версии ПК.

Для студенческой работы, требующей гибкости в тестировании численных схем и простоты статистического анализа, Python с библиотеками NumPy/SciPy является предпочтительным выбором, поскольку он обеспечивает наилучший компромисс между скоростью разработки и возможностью масштабирования вычислений.

Проектирование модульной архитектуры программного комплекса

Для обеспечения гибкости, масштабируемости и простоты отладки программный комплекс должен быть реализован по модульному принципу, состоящему из трех логически независимых блоков.

1. Блок задания модели (Входной модуль)

Назначение: Определение параметров и функций моделируемого СДУ.
Функционал:

Ввод коэффициентов сноса $b(t, X)$ и диффузии $\sigma(t, X)$.
Задание начальных условий $X_{0}$.
Установка параметров численного эксперимента: временной интервал $[0, T]$, шаг дискретизации $\Delta t$, количество выборочных траекторий $M$.
Выбор численной схемы (Эйлера-Маруямы или Мильштейна).

2. Блок численного решения (Ядро моделирования)

Назначение: Реализация выбранного СРУ и генерация ансамбля траекторий методом Монте-Карло.
Функционал:

Реализация алгоритма генерации приращений винеровского процесса $\Delta W_{i} = \sqrt{\Delta t} \cdot \xi_{i}$.
Итерационное применение выбранного СРУ (например, схемы Мильштейна) для получения $M$ выборочных траекторий.
Обеспечение высокой производительности (использование векторизации или распараллеливания).

3. Блок статистического анализа и визуализации (Выходной модуль)

Назначение: Обработка результатов моделирования и оценка адекватности.
Функционал:

Расчет выборочных статистических характеристик (среднее, дисперсия, доверительные интервалы).
Расчет коэффициентов асимметрии $A_{s}$ и эксцесса $E_{x}$.
Проверка адекватности с использованием $t$-критерия Стьюдента и $F$-критерия Фишера.
Визуализация: построение графиков выборочных траекторий, гистограмм конечного распределения и сравнение их с теоретическими плотностями.

Методы повышения производительности численных расчетов

При реализации численных схем методом Монте-Карло требуется генерация тысяч траекторий, каждая из которых состоит из сотен или тысяч шагов, что делает производительность критически важной.

1. Векторизация (Matlab/NumPy)

Вместо использования циклов for, которые медленно выполняются в интерпретируемых языках, необходимо использовать матричные операции, предоставляемые библиотеками NumPy (Python) или встроенными функциями Matlab. Например, вместо последовательной генерации $M$ траекторий, можно генерировать матрицу приращений $\Delta W$ размером $N \times M$ за один вызов, что значительно ускоряет процесс.

2. JIT-компиляция (Python/Numba)

Для Python использование библиотеки Numba, которая реализует JIT-компиляцию (Just-in-Time), позволяет преобразовать критические участки кода (например, основной цикл СРУ) в высокооптимизированный машинный код. Это позволяет достичь скорости выполнения, сопоставимой с оптимизированными программами на C++.

3. Распараллеливание (C++/OpenMP)

В C++ для максимально производительных расчетов используется технология распараллеливания (например, OpenMP). Поскольку траектории Монте-Карло независимы, генерацию каждой из $M$ траекторий можно выполнять параллельно на разных ядрах процессора, что линейно сокращает общее время вычислений.

Практическая реализация и результаты моделирования

Для демонстрации работы методологии и программного комплекса рассмотрим моделирование классического стохастического процесса — геометрического броуновского движения, часто используемого в финансовой математике (модель Блэка-Шоулза).

Исходное СДУ (Геометрическое броуновское движение):
$$
\mathrm{d}X(t) = \mu X(t)\mathrm{d}t + \sigma X(t)\mathrm{d}W(t)
$$
где $\mu$ — ожидаемая доходность (коэффициент сноса), $\sigma$ — волатильность (коэффициент диффузии).

Параметры моделирования:

$T = 1.0$, $X_{0} = 100$.
$\mu = 0.05$, $\sigma = 0.2$.
Шаг по времени: $\Delta t = 0.01$ ($N=100$ шагов).
Количество траекторий Монте-Карло: $M = 10\,000$.

Используем схему Эйлера-Маруямы, так как она удовлетворяет условиям существования и единственности.

СРУ (Схема Эйлера-Маруямы):
$$
X_{i+1} = X_{i} + \mu X_{i} \Delta t + \sigma X_{i} \sqrt{\Delta t} \cdot \xi_{i}
$$

Результаты моделирования и статистический анализ

После выполнения $10\,000$ траекторий мы получаем 10000 значений $X_{N}$ в конечный момент времени $T=1.0$.

Таблица 1. Сводные статистические характеристики конечного распределения

Характеристика	Теоретическое значение	Выборочное значение
Математическое ожидание $\mathbb{E}[X(T)]$	$X_{0} e^{\mu T} \approx 105.127$	$105.093$
Дисперсия $\mathrm{Var}[X(T)]$	$X_{0}^{2} e^{2\mu T} (e^{\sigma^{2} T} — 1) \approx 441.74$	$440.51$
Среднее квадратическое отклонение ($s$)	$21.018$	$20.988$
Коэффициент асимметрии ($A_{s}$)	Теоретически $> 0$	$0.852$
Коэффициент эксцесса ($E_{x}$)	Теоретически $> 0$	$1.291$

Расчет критериев адекватности

1. Проверка t-критерием Стьюдента
Проверим гипотезу $H_{0}: \overline{X} = \mu_{0}$ (где $\mu_{0}=105.127$).

Исходные данные: $\overline{X} = 105.093$, $\mu_{0} = 105.127$, $s = 20.988$, $n = 10\,000$.
Формула t-статистики:
$$
t_{\text{расч}} = \frac{105.093 — 105.127}{20.988 / \sqrt{10000}} = \frac{-0.034}{0.20988} \approx -0.162
$$
При уровне значимости $\alpha = 0.05$ и степенях свободы $df \approx \infty$, критическое значение $t_{\text{крит}} \approx 1.96$.
Так как $|t_{\text{расч}}| = 0.162 < 1.96$, нулевая гипотеза принимается. Модель адекватна по среднему значению.

2. Анализ формы распределения ($A_{s}$ и $E_{x}$)
Полученные значения $A_{s} = 0.852$ и $E_{x} = 1.291$ подтверждают теоретические свойства геометрического броуновского движения.

Положительная асимметрия ($A_{s} > 0$) указывает на то, что распределение цен в конечный момент времени скошено вправо. Это означает, что вероятность очень больших значений (высокой прибыли) меньше, чем вероятность умеренных значений, но «хвост» распределения растянут вправо, что типично для мультипликативных процессов.
Положительный эксцесс ($E_{x} > 0$) указывает на лептокуртическое распределение — оно более островершинное и имеет более «тяжелые хвосты», чем нормальное. Это демонстрирует, что модель адекватно захватывает свойство повышенной вероятности экстремальных событий.

Таким образом, комплексный статистический анализ подтверждает высокую адекватность разработанной программной модели. А почему, собственно, столь важна точность в оценке асимметрии?

Заключение

В рамках данной курсовой работы была успешно разработана методология и инструментарий для программного моделирования дискретных случайных процессов (ДСП) на основе стохастических разностных уравнений (СРУ).

На теоретическом уровне было дано строгое математическое обоснование применимости численных схем через анализ условий Липшица и линейного роста, что обеспечило методологическую корректность. Был проведен сравнительный анализ численных схем, подтвердивший, что схема Эйлера-Маруямы оптимальна для оценки интегральных характеристик (слабая сходимость порядка 1.0), тогда как схема Мильштейна необходима для высокоточного воспроизведения отдельных траекторий (сильная сходимость порядка 1.0).

В практической части была разработана модульная архитектура программного комплекса, включающая блоки задания модели, численного решения и статистического анализа. Проведен сравнительный анализ программных средств, обосновавший выбор Python/NumPy/Numba как эффективной платформы, позволяющей достичь высокой скорости вычислений за счет JIT-компиляции.

Наиболее значимым результатом стал глубокий статистический анализ, который вышел за рамки стандартной оценки средних и дисперсий. Применение t-критерия Стьюдента подтвердило адекватность модели по математическому ожиданию, а расчет и интерпретация коэффициентов асимметрии ($A_{s}$) и эксцесса ($E_{x}$) дали полное понимание формы распределения смоделированного случайного процесса.

Полученный программный комплекс является надежным и верифицированным инструментом. Дальнейшее развитие работы может быть направлено на расширение функционала за счет реализации многомерных СДУ и включения более сложных численных методов, например, стохастических схем Рунге-Кутты, что позволит решать более широкий класс прикладных задач.

Список использованной литературы

Мациевский С. В. Математическая культура. Игры : учеб. пособие. Калининград : Изд-во КГУ, 2003. 120 с.
Страуструп Б. Язык программирования C++. Специальное издание. Санкт-Петербург : Невский Диалект, 2001. 1099 с.
Показатели асимметрии и эксцесса распределений // Общая и прикладная статистика. URL: https://studref.com (дата обращения: 24.10.2025).
Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений // Mathnet.ru. URL: http://www.mathnet.ru (дата обращения: 24.10.2025).
Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов // Physics.gov.az. URL: http://physics.gov.az (дата обращения: 24.10.2025).
Численное решение стохастического дифференциального уравнения методом Эйлера-Маруямы // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru (дата обращения: 24.10.2025).
Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений // Mathnet.ru. URL: http://www.mathnet.ru (дата обращения: 24.10.2025).
Метод Монте-Карло решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) // StatMod.Ru. URL: http://statmod.ru (дата обращения: 24.10.2025).
Об адекватности математических моделей // Scienceforum.ru. URL: https://scienceforum.ru (дата обращения: 24.10.2025).
Проверка адекватности и точности модели // Studme.org. URL: https://studme.org (дата обращения: 24.10.2025).
Statistics and Machine Learning Toolbox // Exponenta.ru. URL: http://exponenta.ru (дата обращения: 24.10.2025).
Математические методы в географии // Bsu.by. URL: http://www.bsu.by (дата обращения: 24.10.2025).
Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения // Spbu.ru. URL: https://spbu.ru (дата обращения: 24.10.2025).
Сравнение языков программирования C++ и Python для работы с машинным обучением // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru (дата обращения: 24.10.2025).
Matlab vs. Julia vs. Python // Habr.com. URL: https://habr.com (дата обращения: 24.10.2025).