Модифицированная внутренняя норма рентабельности (MIRR): теоретические основы, методика расчета и оценка инвестиционных проектов

В условиях динамично меняющейся экономической среды, эффективность инвестиционных решений становится краеугольным камнем устойчивого развития любого предприятия. Привлечение капитала, его грамотное размещение и оценка отдачи от вложенных средств — задачи, требующие глубокого аналитического подхода и использования адекватных финансовых инструментов. Традиционные критерии оценки инвестиционных проектов, такие как чистая приведенная стоимость (NPV) и внутренняя норма рентабельности (IRR), на протяжении десятилетий служили фундаментом для принятия решений. Однако со временем, по мере усложнения структуры денежных потоков и повышения требований к точности прогнозирования, стали выявляться их определенные ограничения.

Именно в ответ на эти вызовы и возникла концепция модифицированной внутренней нормы рентабельности (MIRR) — усовершенствованного инструмента, призванного предложить более реалистичный взгляд на потенциальную доходность инвестиций. MIRR стремится преодолеть известные недостатки классической IRR, прежде всего, в отношении предположения о ставке реинвестирования промежуточных денежных потоков и проблемы множественности значений. Эта курсовая работа посвящена всестороннему исследованию MIRR: от её теоретических основ и детальной методики расчета до анализа преимуществ, недостатков и целесообразности применения в различных инвестиционных сценариях. Мы также рассмотрим альтернативные подходы к учету реинвестирования, чтобы предоставить наиболее полную картину современного инвестиционного анализа. Структура работы последовательно раскрывает эти аспекты, обеспечивая глубокое понимание места и роли MIRR в системе оценки инвестиционных проектов.

Сущность и ключевые отличия модифицированной внутренней нормы рентабельности (MIRR)

В мире финансовых метрик, предназначенных для оценки инвестиционных проектов, модифицированная внутренняя норма рентабельности (MIRR) занимает особое место, представляя собой эволюцию классического подхода. По сути, MIRR — это не просто очередная формула, а методологический ответ на недостатки, присущие традиционной внутренней норме рентабельности (IRR), особенно в контексте сложных и долгосрочных проектов. Что же делает её столь значимой для современного инвестиционного анализа?

Определение и экономический смысл MIRR

Итак, что же такое MIRR? Это показатель, характеризующий ставку дисконтирования, при которой суммарная приведённая стоимость доходов от инвестиций точно уравновешивается их первоначальной стоимостью. Иначе говоря, MIRR можно определить как норму дохода, при которой текущая стоимость всех ожидаемых доходов, приведённых к концу проекта, становится равной стоимости всех требуемых затрат. Это процентная ставка, по которой приведённая на настоящий момент стоимость расходов проекта совпадает с приведённой на тот же момент его терминальной (будущей) стоимостью. Таким образом, MIRR — это внутренняя норма прибыли, но, в отличие от своей классической сестры, она скорректирована на ставку реинвестирования.

Экономический смысл MIRR глубок и реалистичен. Она отражает среднюю годовую доходность, которую инвестор может ожидать от проекта, при условии, что все промежуточные положительные денежные потоки реинвестируются по некоторой заранее определённой ставке, а все отрицательные потоки дисконтируются по стоимости капитала. Это позволяет получить более адекватное представление о реальной прибыльности инвестиции, поскольку в условиях реального рынка свободные денежные средства редко реинвестируются по экстремально высокой ставке, равной самой IRR проекта. Какова же практическая выгода этого отличия? MIRR предлагает более консервативную и обоснованную оценку, что снижает риск принятия решений на основе завышенных ожиданий.

Ключевые отличия MIRR от IRR

Чтобы понять истинную ценность MIRR, необходимо провести чёткую границу между ней и классической IRR. Их различия не только в математических формулах, но и в фундаментальных экономических допущениях.

1. Предположение о ставке реинвестирования: MIRR vs. IRR

Это, пожалуй, наиболее критичное различие.

• MIRR предполагает реинвестирование положительных денежных потоков (доходов) по ставке дисконтирования, которая чаще всего равна цене капитала компании (WACC) или иной реалистичной ставке реинвестирования, доступной на рынке. Это предположение считается более консервативным и реалистичным, поскольку оно отражает фактическую возможность компании использовать свободные средства.
• IRR по умолчанию подразумевает, что все промежуточные положительные денежные потоки реинвестируются по самой внутренней норме рентабельности проекта. Это допущение часто является нереалистичным, особенно если IRR проекта значительно превышает рыночную стоимость капитала. Например, если проект имеет IRR 30%, а компания может реинвестировать свободные средства только под 10%, то IRR переоценивает реальную доходность проекта.

2. Учёт стоимости капитала:

• MIRR включает стоимость капитала в свой расчёт. При приведении отрицательных денежных потоков к началу проекта используется ставка привлечения капитала, что делает показатель более всеобъемлющим и точным с точки зрения учёта всех затрат.
• IRR по своей сути не всегда учитывает стоимость инвестиций при расчёте потенциальной нормы прибыли, фокусируясь исключительно на ставке, при которой NPV равна нулю.

3. Проблема множественных IRR:

• MIRR всегда имеет единственное значение. Это её огромное преимущество, поскольку оно решает проблему множественных IRR, которая может возникать при проектах с так называемыми «нестандартными» денежными потоками – то есть, когда чистые денежные потоки меняют свой знак несколько раз в течение жизненного цикла проекта (например, инвестиции, затем доходы, затем снова инвестиции). Множественные IRR приводят к двусмысленности в интерпретации и затрудняют принятие решений.
• IRR может иметь несколько значений, когда чистые денежные потоки проекта меняют свой знак более одного раза. Это создаёт неопределённость и делает IRR непригодной для оценки таких проектов.

4. Фокус оценки:

• MIRR учитывает компанию в целом для расчёта ожидаемой нормы прибыли, интегрируя стоимость капитала и реалистичную ставку реинвестирования, которые отражают общекорпоративные финансовые возможности и политику.
• IRR прогнозирует норму прибыли, исходя из самого проекта, без прямого учёта внешних финансовых условий компании, за исключением сравнения с барьерной ставкой.

Таким образом, MIRR выступает как более надёжный и реалистичный критерий, особенно для сложных инвестиционных проектов, предоставляя управленцам более точный инструмент для оценки потенциальной доходности и принятия обоснованных решений. Не возникает ли вопрос, почему же MIRR не стала повсеместно используемым стандартом?

Методика расчёта модифицированной внутренней нормы рентабельности (MIRR)

Понимание теоретических основ MIRR неполно без глубокого погружения в её математический аппарат. Методика расчёта модифицированной внутренней нормы рентабельности тщательно разработана для того, чтобы преодолеть недостатки классической IRR и предоставить более реалистичную оценку доходности проекта. Её суть заключается в приведении всех инвестиций к началу проекта по стоимости капитала и наращивании всех доходов к концу проекта по ставке реинвестирования.

Алгоритм расчёта MIRR

Расчёт MIRR можно разбить на три последовательных шага, каждый из которых имеет своё экономическое обоснование:

Шаг 1: Приведение всех положительных денежных потоков (доходов, CF₊) к концу проекта с использованием ставки реинвестирования.

На этом этапе мы моделируем ситуацию, когда все положительные денежные потоки, генерируемые проектом в течение его жизненного цикла, немедленно реинвестируются до конца проекта по определённой ставке. Эта ставка (p) должна отражать реальную доходность, которую компания может получить от реинвестирования свободных средств на рынке или внутри компании. Результатом этого шага является будущая стоимость всех положительных потоков (FV₊), аккумулированная к моменту завершения проекта.

Шаг 2: Приведение всех отрицательных денежных потоков (инвестиций и реинвестиций, CF_—) к началу проекта с использованием ставки привлечения капитала (ставки дисконтирования или WACC).

Здесь мы определяем текущую стоимость всех затрат, связанных с проектом, включая первоначальные инвестиции и любые последующие отрицательные денежные потоки. Они дисконтируются к началу проекта по ставке, отражающей стоимость привлечения капитала (r), которая чаще всего является средневзвешенной стоимостью капитала (WACC) компании или её барьерной ставкой. Результатом этого шага является приведённая стоимость всех отрицательных потоков (PV_—), которая представляет собой общую стоимость инвестиций на начальный момент времени.

Шаг 3: Определение MIRR как нормы дохода, при которой будущая стоимость положительных потоков (FV₊) равна текущей стоимости отрицательных потоков (PV_—) за число периодов (N).

На этом заключительном этапе MIRR вычисляется как ставка доходности, которая уравнивает приведённую к началу проекта стоимость инвестиций (PV_—) с приведённой к началу проекта стоимостью будущих доходов (FV₊), дисконтированной по MIRR в течение всего срока проекта (N).

Математические формулы расчёта MIRR

Общая формула для расчёта MIRR:

MIRR = ( FV+ / -PV- )1/N - 1

Где:

• FV₊ — будущая стоимость всех положительных денежных потоков, приведённая к концу проекта по ставке реинвестирования. Это сумма всех накопленных доходов, как если бы они реинвестировались до конца проекта.
• PV_— — приведённая стоимость всех отрицательных денежных потоков (инвестиций), приведённая к началу проекта по ставке привлечения капитала. Значение PV_— берётся по модулю, так как оно представляет собой величину затрат.
• N — число периодов (лет) в проекте, или инвестиционный горизонт.

Развёрнутая формула для расчёта MIRR:

MIRR = ( (ΣNt=0 (CF+t ⋅ (1 + p)(N-t)) ) / (ΣNt=0 (CF-t / (1 + r)t)) )1/N - 1

Где:

• CF_+t — положительный денежный поток в период t. Суммирование ведётся только по положительным потокам.
• CF_-t — отрицательный денежный поток (инвестиции) в период t. Суммирование ведётся только по отрицательным потокам.
• p — ставка реинвестирования свободных денежных средств. Эта ставка может быть равна стоимости капитала, безрисковой ставке или ожидаемой доходности от альтернативных инвестиций.
• r — барьерная (финансовая) ставка или стоимость капитала (WACC). Используется для дисконтирования отрицательных потоков.
• N — общее число лет в проекте (инвестиционный горизонт).
• t — период времени, от 0 до N.

Финансовые параметры, влияющие на MIRR

На значение MIRR оказывают наибольшее влияние два ключевых финансовых параметра:

• Ставка реинвестирования (p): Эта ставка определяет, насколько эффективно компания может использовать промежуточные положительные денежные потоки. Чем выше ставка реинвестирования, тем выше будет FV₊, и, следовательно, выше MIRR. Выбор этой ставки является критически важным и должен основываться на реалистичных ожиданиях доходности от альтернативных инвестиций или стоимости капитала компании.
• Ставка привлечения капитала (r): Эта ставка (часто WACC) отражает стоимость финансирования проекта. Чем выше ставка привлечения капитала, тем больше будет PV_— (по модулю), и тем ниже будет MIRR, поскольку проект должен будет преодолеть более высокую планку стоимости финансирования.

Тщательный и обоснованный выбор этих ставок является фундаментальным для получения объективного значения MIRR и принятия адекватных инвестиционных решений.

Практический расчёт: Упоминание функции МВСД() в Microsoft Excel для расчёта MIRR

Для практического расчёта MIRR в современных условиях широко используются электронные таблицы, такие как Microsoft Excel. В Excel существует встроенная функция МВСД() (или MIRR() в английской версии), которая значительно упрощает процесс вычисления. Эта функция требует указания двух ключевых ставок: ставки финансирования (стоимости капитала) и ставки реинвестирования. Синтаксис функции выглядит следующим образом:

=МВСД(значения; ставка_финансирования; ставка_реинвестирования)

Где значения — это диапазон ячеек, содержащих все денежные потоки проекта (как положительные, так и отрицательные) в хронологическом порядке.

Эта функция позволяет быстро и эффективно рассчитать MIRR, но важно помнить, что корректность результата полностью зависит от точности входных данных и обоснованности выбора ставок финансирования и реинвестирования.

Практический пример расчёта MIRR

Рассмотрим гипотетический инвестиционный проект с пятилетним сроком реализации и следующими годовыми денежными потоками:

Год (t)	Денежный поток (CFt)
0	-100 000 руб.
1	30 000 руб.
2	40 000 руб.
3	20 000 руб.
4	35 000 руб.
5	25 000 руб.

Дополнительные параметры:

• Ставка реинвестирования (p) = 10%
• Ставка привлечения капитала (r) = 8%

Пошаговый расчёт MIRR:

Шаг 1: Приведение всех положительных денежных потоков (CF₊) к концу проекта (Год 5) по ставке реинвестирования (p = 10%).

• CF₊₁ = 30 000 руб. → FV₁ = 30 000 ⋅ (1 + 0,10)^(5-1) = 30 000 ⋅ (1,10)⁴ = 30 000 ⋅ 1,4641 = 43 923 руб.
• CF₊₂ = 40 000 руб. → FV₂ = 40 000 ⋅ (1 + 0,10)^(5-2) = 40 000 ⋅ (1,10)³ = 40 000 ⋅ 1,331 = 53 240 руб.
• CF₊₃ = 20 000 руб. → FV₃ = 20 000 ⋅ (1 + 0,10)^(5-3) = 20 000 ⋅ (1,10)² = 20 000 ⋅ 1,21 = 24 200 руб.
• CF₊₄ = 35 000 руб. → FV₄ = 35 000 ⋅ (1 + 0,10)^(5-4) = 35 000 ⋅ (1,10)¹ = 35 000 ⋅ 1,1 = 38 500 руб.
• CF₊₅ = 25 000 руб. → FV₅ = 25 000 ⋅ (1 + 0,10)^(5-5) = 25 000 ⋅ (1,10)⁰ = 25 000 ⋅ 1 = 25 000 руб.

Суммируем будущие стоимости положительных потоков:

FV+ = 43 923 + 53 240 + 24 200 + 38 500 + 25 000 = 184 863 руб.

Шаг 2: Приведение всех отрицательных денежных потоков (CF_—) к началу проекта (Год 0) по ставке привлечения капитала (r = 8%).

В нашем примере отрицательный денежный поток только один — первоначальная инвестиция:

CF-0 = -100 000 руб. → PV-0 = -100 000 / (1 + 0,08)0 = -100 000 руб.

Если бы были дополнительные отрицательные потоки в будущих периодах, их нужно было бы дисконтировать. Например, если бы в Году 2 была инвестиция в -10 000 руб., то её приведённая стоимость составила бы -10 000 / (1 + 0,08)².

Итак, приведённая стоимость всех отрицательных потоков:

PV- = -100 000 руб.

Шаг 3: Определение MIRR.

Подставляем полученные значения в общую формулу MIRR:

MIRR = ( FV+ / -PV- )1/N - 1
MIRR = ( 184 863 / 100 000 )1/5 - 1
MIRR = ( 1,84863 )0,2 - 1
MIRR ≈ 1,1307 - 1
MIRR ≈ 0,1307 или 13,07%

Таким образом, для данного проекта модифицированная внутренняя норма рентабельности составляет примерно 13,07%. Если барьерная ставка компании ниже этого значения, проект считается экономически привлекательным.

Теоретические основы и экономическое обоснование применения MIRR

Появление модифицированной внутренней нормы рентабельности (MIRR) не было случайным; оно стало логическим ответом на потребность в более точных и реалистичных методах оценки инвестиционных проектов, способных преодолеть ограничения, присущие классическим подходам. MIRR — это не просто новая формула, а результат эволюции экономической мысли в области инвестиционного анализа.

Генезис концепции MIRR

В основе появления MIRR лежит стремление преодолеть основные недостатки классической внутренней нормы рентабельности (IRR), которые стали очевидны по мере усложнения инвестиционных проектов и ужесточения требований к финансовому моделированию. Среди ключевых проблем IRR выделяются две:

1. Проблема множественности значений IRR: Для проектов с «нестандартными» денежными потоками, где чистые денежные потоки меняют свой знак (например, инвестиции, затем доходы, затем снова инвестиции или расходы на демонтаж в конце проекта) более одного раза, уравнение NPV = 0 может иметь несколько корней, то есть несколько значений IRR. Это приводит к неоднозначности и затрудняет принятие инвестиционных решений.
2. Нереалистичное допущение о реинвестировании денежных потоков: Классическая IRR неявно предполагает, что все промежуточные положительные денежные потоки, генерируемые проектом, реинвестируются по ставке, равной самой IRR проекта. Это допущение часто не соответствует реальным рыночным условиям, поскольку компания не всегда имеет возможность реинвестировать средства по столь высокой (или низкой) ставке, особенно если она значительно отличается от стоимости её капитала. Такое допущение может приводить к переоценке или недооценке реальной доходности проекта.

Концепция MIRR была разработана для того, чтобы устранить эти методологические «слепые зоны», предложив более адекватный механизм учёта реинвестирования и обеспечив единственность значения показателя.

Исторический обзор

Хотя дискуссии о недостатках IRR и необходимости их модификации велись и до этого, формальное предложение подхода к модифицированной внутренней норме рентабельности было сделано Стивеном Лином (Steven A. Y. Lin) в его статье «The Modified Internal Rate of Return and Investment Criterion», опубликованной в 1976 году. Работа Лина стала важной вехой в развитии теории инвестиционного анализа, предложив конкретный метод, который учитывал реалистичные ставки реинвестирования.

Следует отметить, что первоначально в методе MIRR, как и в методе NPV, для расчёта приведённой стоимости инвестиций и терминальной стоимости проекта зачастую использовали единую ставку – стоимость капитала. Это было обусловлено стремлением к согласованности с NPV, который также дисконтирует все потоки по стоимости капитала.

Экономическое обоснование выбора ставок

Выбор двух разных ставок – ставки привлечения капитала (r) и ставки реинвестирования (p) – является краеугольным камнем MIRR и имеет глубокое экономическое обоснование.

• Ставка привлечения капитала (r): Для дисконтирования отрицательных денежных потоков (инвестиций) к началу проекта используется ставка привлечения капитала, которая обычно представлена средневзвешенной стоимостью капитала (WACC) компании или её барьерной ставкой. Экономическое обоснование здесь прозрачно: эта ставка отражает реальную стоимость финансирования проекта. Если компания занимает деньги для финансирования проекта, то именно по этой ставке она несёт расходы. Таким образом, PV_—, рассчитанная по `r`, отражает истинную стоимость проекта для компании.
• Ставка реинвестирования (p): Для наращивания положительных денежных потоков (доходов) к концу проекта используется ставка реинвестирования. Её выбор является ключевым для реалистичности MIRR.
  • Аргументация использования стоимости капитала или рыночной ставки: Это предположение обусловлено тем, что высвобождаемые в процессе реализации проекта средства могут быть реинвестированы либо в другие проекты компании с доходностью, соответствующей её средней стоимости капитала, либо на финансовом рынке по доступным ставкам. Такое допущение считается более реалистичным, чем предположение IRR о реинвестировании по самой высокой (или низкой) доходности проекта. Концепция совершенного рынка, где средства могут быть привлечены или размещены по единой рыночной ставке, была отмечена в контексте метода NPV такими авторами, как Бригхэм и Гэпенски (Brigham, Gapenski) ещё в 1996 году. Они утверждали, что стоимость капитала является наиболее адекватной ставкой для оценки проектов.
• Дискуссия: Применение одинаковой ставки для финансирования инвестиций и реинвестирования доходов: Несмотря на преимущества MIRR, стоит отметить, что применение одинаковой ставки для финансирования инвестиций и реинвестирования доходов (когда p = r = WACC) также является предметом дискуссий и считается одним из возможных недостатков методов IRR и NPV некоторыми исследователями. Например, Ломанн (Lohmann, 1988) и Фолкман (Volkman, 1997) указывали на то, что это упрощение может не всегда отражать реальность, так как ставки привлечения и размещения капитала на рынке могут отличаться. Однако, в контексте MIRR, использование двух разных ставок (p и r) как раз и позволяет устранить это упрощение, делая модель более гибкой.

MIRR как инструмент для более точной оценки реинвестиционных проектов

В конечном итоге, MIRR позволяет более точно оценивать реинвестиционные проекты. Предположение о реинвестировании денежных потоков по ставке, более соответствующей рыночным условиям и стоимости капитала компании, делает её незаменимым инструментом для менеджеров, стремящихся к максимально объективной оценке инвестиционных возможностей. MIRR не просто даёт число, но и отражает стратегическую способность компании эффективно использовать генерируемые средства, интегрируя это в общий показатель доходности проекта.

Преимущества MIRR в оценке инвестиционных проектов

Модифицированная внутренняя норма рентабельности (MIRR) не была бы столь значимой в арсенале финансового аналитика, если бы не обладала рядом существенных преимуществ, которые выгодно отличают её от традиционных методов оценки инвестиций, в частности от классической IRR. Эти достоинства делают MIRR мощным инструментом для принятия более обоснованных и реалистичных инвестиционных решений.

Более реалистичное предположение о реинвестировании

Одно из наиболее критичных преимуществ MIRR заключается в её подходе к реинвестированию промежуточных денежных потоков. MIRR предполагает, что положительные денежные потоки реинвестируются по ставке дисконтирования (цене капитала компании или иной реалистичной ставке реинвестирования). Это значительно более соответствует реальной экономической ситуации, нежели допущение IRR о реинвестировании по самой IRR проекта. В подавляющем большинстве случаев компания не может реинвестировать средства по ставке, равной доходности конкретного проекта, особенно если эта доходность значительно выше стоимости её капитала. Таким образом, MIRR точнее отражает доходность проекта, поскольку учитывает реальные возможности компании по использованию свободных средств.

Единственность значения

В отличие от IRR, которая может иметь несколько значений для проектов с нестандартными денежными потоками (когда чистый денежный поток меняет знак несколько раз), MIRR всегда имеет единственное значение. Это устраняет проблему множественных внутренних норм доходности, которая создаёт двусмысленность и серьёзно затрудняет интерпретацию и принятие решений. Единственность значения MIRR обеспечивает однозначность выводов и упрощает процесс сравнения проектов.

Корректность расчётов при нестандартных денежных потоках

Проблема множественных IRR особенно остро проявляется в проектах с нестандартными денежными потоками, где, например, после первоначальных инвестиций следуют доходы, а затем снова требуются значительные вложения (например, на модернизацию или утилизацию). В таких случаях классическая IRR становится ненадёжным инструментом. MIRR же, благодаря своей методологии, обеспечивает корректность расчётов при многократном изменении знака чистого денежного потока в течение жизненного цикла проекта, предоставляя единый и интерпретируемый показатель.

Учёт стоимости капитала

MIRR учитывает стоимость капитала (как ставку дисконтирования для отрицательных потоков) при расчёте потенциальной прибыли, что является её ещё одним фундаментальным преимуществом. IRR, по своей сути, фокусируется исключительно на точке безубыточности (NPV = 0), без явного включения стоимости привлечённого капитала в сам расчёт нормы прибыли. Интеграция стоимости капитала в MIRR делает этот показатель более комплексным и точно отражающим экономическую ценность проекта для компании.

Согласованность с NPV

Метод MIRR, как правило, демонстрирует высокую согласованность с сигналами метода чистой приведённой стоимости (NPV) относительно принятия или отклонения проекта. Оба показателя приводят к схожим выводам относительно целесообразности инвестирования, особенно когда речь идёт о независимых проектах. Эта согласованность увеличивает доверие к MIRR как к инструменту, который, подобно NPV, стремится к максимизации благосостояния акционеров. Если MIRR превышает стоимость капитала, проект, скорее всего, будет иметь положительный NPV, и наоборот.

Практическая применимость

Несмотря на некоторую сложность в расчёте по сравнению с IRR, MIRR часто используется на практике, в том числе на высоком уровне топ-менеджеров, как индикатор инвестиционной привлекательности проекта. Его способность давать более реалистичную и однозначную оценку делает его ценным инструментом для финансовых директоров и инвестиционных аналитиков, стремящихся к объективности и прозрачности в оценке. Включение MIRR в инвестиционный анализ повышает качество принимаемых решений и уровень доверия со стороны потенциальных инвесторов и кредиторов.

Недостатки и ограничения при использовании MIRR и пути их минимизации

Хотя модифицированная внутренняя норма рентабельности (MIRR) обладает значительными преимуществами по сравнению с классической IRR, она не лишена и определённых недостатков и ограничений. Осознание этих минусов и знание путей их минимизации является критически важным для корректного и эффективного применения MIRR в инвестиционном анализе.

Риск реинвестирования

Недостаток: MIRR, как и любая модель, основанная на допущениях о будущем, не может гарантировать абсолютную точность в прогнозировании. В течение длительного периода времени крайне маловероятно, что ставка реинвестирования входящих денежных потоков сохранится неизменной. Рыночные условия, инфляция, изменения в доступности финансирования и доходности альтернативных инвестиций могут существенно повлиять на фактическую ставку, по которой компания сможет реинвестировать свободные средства.

Способы минимизации:

• Проведение сценарного анализа: Вместо использования одной фиксированной ставки реинвестирования, следует рассмотреть несколько сценариев (оптимистичный, пессимистичный, базовый) с разными ставками. Это позволит оценить диапазон возможных значений MIRR.
• Анализ чувствительности: Оценить, насколько сильно MIRR проекта изменяется при изменении ставки реинвестирования на определённый процент. Это поможет выявить наиболее критичные допущения.
• Использование средневзвешенной ставки реинвестирования: Для долгосрочных проектов можно использовать средневзвешенную ставку, основанную на прогнозах изменения рыночных ставок или ожидаемой доходности от внутренних проектов компании на протяжении всего инвестиционного горизонта.

Сложности в определении ставок

Недостаток: На практике расчёт MIRR связан с необходимостью точного определения двух ключевых ставок: ставки реинвестирования (p) и ставки привлечения капитала (r). Неправильный выбор этих ставок может существенно исказить итоговое значение MIRR и привести к неверным инвестиционным решениям. Определение WACC (как ставки r) само по себе является нетривиальной задачей, требующей тщательного анализа структуры капитала компании и стоимости его компонентов. Выбор ставки реинвестирования (p) может быть ещё более субъективным.

Способы минимизации:

• Чёткое обоснование выбора WACC: При расчёте WACC необходимо использовать актуальные рыночные данные, учитывать структуру капитала, стоимость долга после налогов, стоимость собственного капитала (с использованием, например, модели CAPM или других методов).
• Использование рыночных ориентиров и экспертных оценок для ставки реинвестирования: Ставка p может быть основана на безрисковой ставке, доходности государственных облигаций, средней доходности по аналогичным проектам в отрасли или средневзвешенной доходности инвестиционного портфеля компании. Привлечение экспертов и использование сравнительного анализа (бенчмаркинга) поможет сделать этот выбор более обоснованным.
• Регулярный пересмотр ставок: Поскольку экономические условия меняются, ставки p и r должны регулярно пересматриваться и обновляться для новых проектов или при переоценке текущих.

Не всегда лучшая альтернатива для типичных проектов

Недостаток: В некоторых случаях, особенно для типичных проектов (с одним отрицательным денежным потоком в начале и последующими положительными), MIRR может быть не лучшей альтернативой IRR. Простота IRR для таких проектов и её интуитивная понятность могут перевесить небольшие преимущества MIRR, если не возникает проблем с множественностью значений. Некоторые исследователи отмечают, что для «типичных» проектов MIRR не всегда является эффективной заменой IRR.

Способы минимизации:

• Комплексный анализ: Для всех проектов рекомендуется использовать несколько критериев оценки (NPV, IRR, MIRR, срок окупаемости). Это позволит получить более полную картину и принимать решения, опираясь на сильные стороны каждого метода.
• Осознанный выбор инструмента: Аналитик должен чётко понимать, почему для данного проекта он выбирает MIRR, а не IRR, основываясь на специфике денежных потоков и целях анализа.

Проблема ранжирования взаимоисключающих проектов

Недостаток: MIRR может неправильно ранжировать взаимоисключающие проекты, когда проект с самым высоким MIRR не имеет самого высокого NPV. Это классическая проблема, которая может возникать и с IRR. Если два проекта взаимоисключающие (то есть можно выбрать только один), то решение должно приниматься в пользу проекта, который максимизирует благосостояние акционеров, что обычно соответствует наибольшему положительному NPV. MIRR, как и IRR, может отдавать предпочтение проекту меньшего масштаба с более высокой относительной доходностью, но меньшей абсолютной ценностью.

Способы минимизации:

• Применение комбинированного подхода с NPV: Для взаимоисключающих проектов метод NPV всегда должен быть приоритетным при принятии окончательного решения, поскольку он напрямую измеряет добавленную стоимость. MIRR может использоваться как дополнительный индикатор.
• Анализ инкрементального денежного потока: Для двух взаимоисключающих проектов можно проанализировать денежные потоки «разницы» между ними.

Проблемы интерпретации

Недостаток: Существуют мнения, что MIRR, вытекая из правила NPV, может давать тот же результат оценки (принять/отклонить), но при этом не имеет такой чёткой и интуитивно понятной интерпретации, как IRR или NPV. Как указывал Р. Бернхард ещё в 1979 году, MIRR может быть неправильно истолкована, особенно если пользователи не до конца понимают её математические и экономические предпосылки.

Способы минимизации:

• Акцент на комплексном финансовом анализе: Не полагаться исключительно на один показатель. MIRR должен быть частью более широкой аналитической картины, включающей NPV, IRR, срок окупаемости, анализ чувствительности и сценарный анализ.
• Чёткое документирование допущений: Все допущения относительно ставок реинвестирования и дисконтирования должны быть ясно изложены и обоснованы в аналитическом отчёте, чтобы избежать неверной интерпретации результатов.

Низкая распространённость на практике

Недостаток: Несмотря на свои преимущества, показатель MIRR используется достаточно редко в широкой практике, что не всегда считается оправданным. Причины могут быть связаны с привычкой к более простым методам, сложностью в обосновании двух разных ставок, а также недостаточным пониманием преимуществ MIRR.

Пути решения:

• Повышение финансовой грамотности: Обучение и популяризация MIRR среди финансовых специалистов и топ-менеджеров.
• Интеграция в стандартные финансовые модели: Внедрение MIRR в корпоративные шаблоны для оценки инвестиций.

Осознанное применение MIRR с учётом этих ограничений и использованием предложенных стратегий минимизации позволит сделать инвестиционный анализ более точным, надёжным и полезным для принятия стратегических решений.

Целесообразность применения и интерпретация результатов MIRR

Выбор подходящего критерия для оценки инвестиционных проектов — это не только вопрос математической корректности, но и стратегической целесообразности. Модифицированная внутренняя норма рентабельности (MIRR) наилучшим образом раскрывает свой потенциал в определённых условиях, требуя при этом внимательной и многофакторной интерпретации полученных результатов.

Оптимальные сценарии применения

Применение MIRR является наиболее целесообразным в следующих ключевых сценариях, где классическая IRR демонстрирует свои методологические ограничения:

1. Проекты с нестандартными денежными потоками: Это основная область применения MIRR. Под «нестандартными» понимаются проекты, в которых чистый денежный поток меняет свой знак с положительного на отрицательный (и наоборот) несколько раз в течение жизненного цикла. Примерами могут служить проекты с крупными инвестициями в середине срока реализации (модернизация, расширение), а также проекты, требующие значительных затрат на демонтаж или рекультивацию в конце жизненного цикла. В таких случаях IRR может давать несколько значений, что делает её бесполезной для принятия решений. MIRR же всегда предоставляет единственное и однозначное значение.
2. Проекты, требующие реалистичного допущения о реинвестировании: Когда промежуточные денежные потоки значительны, и предположение IRR о реинвестировании по самой IRR проекта является очевидно нереалистичным, MIRR становится предпочтительным. Она позволяет использовать ставку, соответствующую реальным рыночным возможностям компании по реинвестированию, что делает оценку доходности более точной.
3. Проекты, ч��вствительные к стоимости капитала: Поскольку MIRR явно учитывает стоимость капитала при дисконтировании отрицательных потоков, она более точно отражает влияние стоимости финансирования на общую доходность проекта.

Критерии принятия решения

Интерпретация MIRR достаточно прямолинейна и согласуется с логикой NPV:

• Приемлемость проекта: Проект считается приемлемым для инвестора, если значение MIRR превышает барьерную ставку (цену источника финансирования, обычно WACC). Это означает, что доходность, которую проект генерирует с учётом реалистичного реинвестирования, превышает стоимость привлечения капитала для его финансирования.
• Привлекательность инвестиции: Если MIRR выше требуемой доходности проекта (например, минимально приемлемой ставки, установленной компанией), инвестиция считается привлекательной. Она не только покрывает стоимость капитала, но и обеспечивает дополнительную доходность.
• Необходимость пересмотра: Если MIRR ниже требуемой доходности или барьерной ставки, следует пересмотреть допущения по ставкам и денежным потокам, либо отказаться от проекта. Такое значение MIRR указывает на то, что проект не способен создать достаточную экономическую ценность.

Пример: Если MIRR проекта составляет 15%, а стоимость капитала компании (барьерная ставка) равна 10%, то проект является привлекательным. Если же MIRR составляет 8% при той же барьерной ставке 10%, то проект не рекомендуется к реализации.

Факторы, влияющие на интерпретацию

Для корректной интерпретации результатов MIRR необходимо учитывать ряд дополнительных факторов:

• Длительность проекта: Долгосрочные проекты более чувствительны к изменениям ставки реинвестирования, поскольку эффект сложного процента накапливается.
• Точность определения ставок: Как уже обсуждалось, неточность в определении ставок p и r может существенно исказить результат. Важно чётко обосновывать их выбор.
• Объём инвестиций: Для проектов с очень большим объёмом инвестиций, даже небольшие изменения в MIRR могут означать существенные абсолютные изменения в ценности.
• Общая экономическая среда: Высокая инфляция, нестабильность рынка капитала, изменения процентных ставок — всё это влияет на выбор ставок и на риски проекта, что должно быть учтено при интерпретации MIRR.

Значение MIRR для бизнес-планирования и привлечения инвестиций

MIRR играет важную роль не только в процессе внутреннего принятия решений, но и во внешних коммуникациях:

• Повышение объективности бизнес-плана: Чем полнее и содержательнее инвестиционный анализ, включая расчёт MIRR, тем объективнее и убедительнее будет выглядеть бизнес-план проекта. Это особенно важно при привлечении инвестиций или получении крупного банковского кредита. Использование MIRR демонстрирует глубокое понимание финансовым аналитиком всех нюансов проекта и его реалистичных перспектив.
• Улучшение оценки реинвестиционных проектов: MIRR позволяет проводить более точную оценку по реинвестиционным проектам, что особенно актуально для компаний, активно управляющих портфелем инвестиций и постоянно реинвестирующих полученную прибыль.

Таким образом, MIRR является мощным инструментом, способным значительно улучшить качество инвестиционного анализа, особенно в сложных случаях, требующих более реалистичного подхода к учёту реинвестирования и обеспечению однозначности результатов.

Альтернативные подходы к учёту реинвестирования денежных потоков в инвестиционном анализе

Реинвестирование денежных потоков является фундаментальным аспектом инвестиционного анализа. Как мы уже убедились, способ учёта этого реинвестирования существенно влияет на итоговые показатели эффективности проекта. MIRR предлагает один из наиболее реалистичных подходов, но существуют и другие концепции и методы, которые также стремятся адекватно отразить этот процесс.

Понятие реинвестирования

Прежде чем углубляться в альтернативные подходы, важно чётко определить, что такое реинвестирование. Реинвестирование — это повторное вложение прибыли, полученной от ранее сделанных инвестиций, с целью увеличения первоначального капитала. Это краеугольный камень стратегии наращивания капитала, позволяющий использовать эффект сложного процента.

Существуют два основных типа реинвестирования:

• Полное реинвестирование: Вся полученная прибыль (доходы, дивиденды, купоны) направляется на новые инвестиции или увеличение существующих активов.
• Частичное реинвестирование: Реинвестируется только часть полученной прибыли, тогда как оставшаяся часть может быть распределена между акционерами или направлена на другие цели.

Факторы, влияющие на эффективность реинвестирования

Эффективность реинвестирования зависит от множества факторов:

• Сроки размещения: Чем дольше горизонт реинвестирования, тем сильнее проявляется эффект сложного процента.
• Размер капитала: Большие объёмы реинвестируемого капитала потенциально могут принести большую абсолютную прибыль.
• Выбор финансовых инструментов: Доходность реинвестирования напрямую зависит от того, в какие активы (акции, облигации, депозиты, новые проекты) направляются средства. Риск и доходность выбранных инструментов играют ключевую роль.
• Общая внешняя экономическая среда: Уровень процентных ставок, инфляция, экономический рост или спад — всё это влияет на возможности и доходность реинвестирования.

Механизм сложного процента при реинвестировании

Реинвестирование доходов, таких как проценты по депозиту, купонные выплаты по облигациям или дивиденды по акциям, запускает механизм сложного процента. Это означает, что прибыль начисляется не только на первоначальный капитал, но и на ранее накопленную и реинвестированную прибыль. Этот эффект является мощным двигателем роста капитала в долгосрочной перспективе, значительно увеличивая итоговую доходность инвестиций.

Пример: Если вы инвестируете 100 000 рублей под 10% годовых, то через год получите 10 000 рублей прибыли. Если вы реинвестируете эти 10 000 рублей, то на второй год проценты будут начисляться уже на 110 000 рублей, а не только на первоначальные 100 000.

Другие методы учёта реинвестирования

Помимо MIRR, в инвестиционном анализе существуют и другие подходы, обобщающие или дополняющие классические методы для более точного учёта реинвестирования.

1. Обобщённая чистая приведённая стоимость (GNPV — Generalized Net Present Value):

Это альтернативный подход, который, подобно MIRR, обобщает метод NPV путём использования двух ставок дисконтирования:

• Финансовая ставка (r): Используется для дисконтирования отрицательных денежных потоков (инвестиций).
• Ставка реинвестирования (p): Используется для наращивания положительных денежных потоков.

Формула GNPV может быть выражена как:

GNPV = Σ (CF+t ⋅ (1 + p)(N-t)) ⋅ (1 + r)-N - Σ (CF-t ⋅ (1 + r)-t)

GNPV, в отличие от MIRR, выражается в абсолютных денежных единицах, а не в процентной ставке, что является его ключевым отличием от MIRR. GNPV позволяет напрямую оценить абсолютную добавленную стоимость проекта с учётом двух различных ставок.

2. Ставка доходности финансового менеджмента (FMRR — Financial Management Rate of Return):

FMRR является, по сути, другим названием для MIRR, определяемого двумя ставками. Эта терминология подчёркивает роль финансового менеджмента в эффективном реинвестировании промежуточных денежных потоков и управлении стоимостью финансирования. Концептуально FMRR полностью совпадает с MIRR, используя те же математические основы и экономические предположения.

Сравнительный анализ этих подходов с MIRR

Критерий	MIRR / FMRR	GNPV
Тип показателя	Процентная ставка (относительная доходность)	Абсолютная денежная стоимость
Предположения о ставках	Использует две ставки: r (стоимость капитала) для дисконтирования инвестиций и p (ставка реинвестирования) для наращивания доходов.	Использует две ставки: r для дисконтирования инвестиций и p для наращивания доходов, а затем дисконтирует общую будущую стоимость по r.
Интерпретация	Проект приемлем, если MIRR > r. Интуитивно понятен как «реалистичная» доходность проекта.	Проект приемлем, если GNPV > 0. Прямо указывает на добавленную стоимость проекта в абсолютном выражении.
Проблема множественных значений	Всегда имеет единственное значение.	Не применима, так как это абсолютный, а не относительный показатель.
Ранжирование проектов	Может иметь проблемы с ранжированием взаимоисключающих проектов (как IRR).	Более надёжен для ранжирования взаимоисключающих проектов, так как максимизирует абсолютную ценность (аналогично NPV).
Сфера применения	Предпочтителен для оценки проектов с нестандартными денежными потоками, когда необходимо получить реалистичную норму доходности.	Предпочтителен, когда важно оценить абсолютную добавленную стоимость проекта с учётом разных ставок, особенно для взаимоисключающих проектов или при ограниченности бюджета.
Сложность расчёта	Более сложен, чем IRR, но упрощается с помощью специализированных функций (например, МВСД() в Excel).	Сравнима с MIRR, требует тех же усилий по определению ставок и расчётам будущих/приведённых стоимостей.

Как MIRR, так и GNPV являются ценными инструментами, расширяющими возможности традиционных методов. Их выбор зависит от конкретных целей анализа: MIRR удобен, когда требуется относительная мера доходности, учитывающая реалистичное реинвестирование, в то время как GNPV более подходит, когда важна абсолютная денежная ценность, создаваемая проектом, особенно при сравнении взаимоисключающих альтернатив. Использование этих подходов в сочетании с традиционными методами позволяет получить максимально полную и объективную картину инвестиционной привлекательности проекта.

Заключение

В современном инвестиционном анализе, где сложность проектов и динамизм рыночной среды постоянно возрастают, потребность в адекватных и реалистичных инструментах оценки становится критически важной. Модифицированная внутренняя норма рентабельности (MIRR) выступает как одно из наиболее значимых усовершенствований в этой области, призванное устранить фундаментальные недостатки классической внутренней нормы рентабельности (IRR) и предложить более объективный взгляд на инвестиционную привлекательность.

Ключевые выводы, полученные в ходе исследования, подчёркивают уникальную роль MIRR:

• Реалистичность допущений: В отличие от IRR, которая неявно предполагает реинвестирование денежных потоков по самой IRR проекта, MIRR использует более реалистичную ставку реинвестирования (цену капитала или рыночную ставку), что делает её более точным показателем фактической доходности проекта.
• Единственность и однозначность: MIRR всегда имеет единственное значение, эффективно решая проблему множественных IRR, которая возникает при нестандартных денежных потоках. Это обеспечивает ясность и исключает двусмысленность при принятии решений.
• Согласованность с NPV: MIRR, как правило, демонстрирует высокую согласованность с методом чистой приведённой стоимости (NPV), что подтверждает её надёжность как инструмента, ориентированного на максимизацию благосостояния акционеров.
• Учёт стоимости капитала: Включение стоимости капитала в расчёт делает MIRR более комплексным показателем, отражающим как доходность проекта, так и стоимость его финансирования.

Однако, несмотря на свои неоспоримые преимущества, применение MIRR сопряжено и с определёнными ограничениями. Риск неточности прогнозирования ставки реинвестирования, сложности в её обоснованном определении, а также потенциальные проблемы с ранжированием взаимоисключающих проектов требуют от аналитика взвешенного подхода. Для минимизации этих недостатков необходимо использовать сценарный анализ, тщательно обосновывать выбор всех ставок, а также интегрировать MIRR в комплексный инвестиционный анализ, не полагаясь исключительно на один показатель.

MIRR наиболее целесообразна для оценки проектов с нестандартными денежными потоками и в ситуациях, когда реалистичное предположение о реинвестировании имеет критическое значение. Её способность предоставлять объективную оценку делает её ценным инструментом для бизнес-планирования и привлечения инвестиций, повышая доверие со стороны внешних стейкхолдеров.

В заключение, модифицированная внутренняя норма рентабельности является мощным и усовершенствованным инструментом, который значительно обогащает арсенал методов инвестиционного анализа. Она не заменяет полностью другие критерии, но дополняет их, предлагая более реалистичный и надёжный взгляд на потенциальную доходность проектов. Для студентов, исследователей и практиков в области финансов глубокое понимание MIRR и её комплексное применение, с учётом всех нюансов и ограничений, является ключевым для принятия обоснованных и стратегически верных инвестиционных решений в условиях постоянно меняющегося экономического ландшафта. Дальнейшие исследования могли бы быть сосредоточены на разработке более точных методов прогнозирования ставок реинвестирования в различных отраслях и экономических условиях, а также на интеграции MIRR в многокритериальные модели принятия инвестиционных решений.

Список использованной литературы

1. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов. Официальное издание. М.: Экономика, 2000. 422 с.
2. Басовский Л.Е., Басовская Е.Н. Экономическая оценка инвестиций. М.: Инфра-М, 2008. 240 с.
3. Бланк И.А. Основы инвестиционного менеджмента. Т.1. М.: Омега-Л, 2008. 420 с.
4. Бланк И.А. Основы инвестиционного менеджмента. Т.2. М.: Омега-Л, 2008. 440 с.
5. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика. М.: Дело, 2008. 1104 с.
6. Инвестиционная политика: учебное пособие для вузов / ред. Ю.Н. Лапыгин. М.: КноРус, 2006.
7. Кожухар В.М. Практикум по экономической оценке инвестиций: учеб. пособие. М.: Дашков и К, 2008. 280 с.
8. Лахметкина Н.И. Инвестиционная стратегия предприятия. М.: КноРус, 2007. 368 с.
9. Липсиц И.В., Коссов В.В. Экономический анализ реальных инвестиций. М.: Экономистъ, 2007. 412 с.
10. Марголин А.М. Экономическая оценка инвестиционных проектов. М.: Экономика, 2007. 368 с.
11. Ример М.И., Касатов А.Д., Матиенко Н.Н. Экономическая оценка инвестиций: учебник. СПб.: Питер, 2008. 380 с.
12. Сироткин С.А., Кельчевская Н.Р. Экономическая оценка инвестиционных проектов. М.: Юнити-Дана, 2009. 288 с.
13. Старик Д.В. Расчеты эффективности инвестиционных проектов. М.: Дело, 2005. 496 с.
14. Сухарев О.С., Шманев С.В., Курьчнов А.М. Экономическая оценка инвестиций. М.: Альфа-Пресс, 2008. 244 с.
15. Шеремет В.В., Павлюченко В.М., Шапиро В.Д. и др. Управление инвестициями: В 2-х т. М.: Высшая школа, 1998.
16. Авраменко С.В. Типичные ошибки расчётов методами дисконтированных денежных потоков // Финансы и кредит, 2007, № 7.
17. Материалы ресурса «Корпоративный менеджмент». URL: http://www.cfin.ru/finanalysis/invest/appraisal_efficiency.shtml (дата обращения: 26.10.2025).
18. MIRR (модифицированная внутренняя норма рентабельности): формула расчета показателя. План-Про. URL: https://plan-pro.ru/articles/mirr-modificirovannaya-vnutrennyaya-norma-rentabelnosti (дата обращения: 26.10.2025).
19. Калькулятор MIRR (Modified IRR) — модифицированная внутренняя норма доходности онлайн. SF Education. URL: https://sf.education/glossary/mirr-modified-irr-modifitsirovannaya-vnutrennyaya-norma-dokhodnosti (дата обращения: 26.10.2025).
20. Модифицированная IRR, MIRR. Альт-Инвест. URL: https://alt-invest.ru/articles/mirr.html (дата обращения: 26.10.2025).
21. Понимание различий между IRR и MIRR. HR-Portal. URL: https://hr-portal.ru/article/ponimanie-razlichiy-mezhdu-irr-i-mirr (дата обращения: 26.10.2025).
22. Реинвестирование: что это такое и как оно работает. Т-Банк. URL: https://www.tinkoff.ru/invest/social/profile/Tinkoff_Investments/c6c13031-64d1-4b71-b219-482a4d3f563d/ (дата обращения: 26.10.2025).
23. Оценка эффективности инвестиций. URL: https://economic-s.ru/ekonomicheskiy-analiz-investitsiy/otsenka-effektivnosti-investitsiy-47833.html (дата обращения: 26.10.2025).
24. Что такое реинвестирование: простыми словами об идеи повторного вложения прибыли. Т-Банк. URL: https://www.tinkoff.ru/invest/social/profile/Tinkoff_Investments/e44b5840-7e83-4a0b-9c3f-91c61740957/ (дата обращения: 26.10.2025).
25. Инвестиционные критерии IRR и MIRR. Соотношение с другими критериями. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/5742617/page/28/ (дата обращения: 26.10.2025).
26. Альтернативные методы оценки нетипичных инвестиционных проектов. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/alternativnye-metody-otsenki-netipichnyh-investitsionnyh-proektov (дата обращения: 26.10.2025).
27. Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR) может быть использ. Казанский федеральный университет. URL: https://kpfu.ru/docs/F735990262/477_479.pdf (дата обращения: 26.10.2025).
28. Модифицированная внутренняя норма доходности — MIRR. Allfi Casino. URL: https://allfi.me/modificirovannaya-vnutrennyaya-dohodnosti-mirr.html (дата обращения: 26.10.2025).
29. Как использовать показатель модифицированной внутренней нормы доходности при оценке инвестиционного проекта. Финансовый директор. URL: https://www.fd.ru/articles/159424-mirr (дата обращения: 26.10.2025).
30. Показатели эффективности проектов. Модифицированная внутренняя норма рентабельности (MIRR). Budget-Plan Express. URL: https://budget-plan.ru/articles/mirr.html (дата обращения: 26.10.2025).
31. Реинвестирование прибыли. Блог БКС Мир Инвестиций. URL: https://bcs.ru/express/blog/chto-takoe-reinvestirovanie-pribyli (дата обращения: 26.10.2025).
32. Что такое реинвестирование простыми словами? Сравни.ру. URL: https://www.sravni.ru/vopros-otvet/chto-takoe-reinvestirovanie-prostymi-slovami/ (дата обращения: 26.10.2025).
33. Реинвестирование прибыли: что такое и как работает простыми словами. Sberbank. URL: https://www.sberbank.ru/ru/s_m_business/pro_business/reinvestirovanie-pribyli (дата обращения: 26.10.2025).
34. Сравнение NPV и IRR. Модифицированная внутренняя норма доходности MIRR. Finzz.ru. URL: https://finzz.ru/sravnenie-npv-i-irr-modificirovannaya-vnutrennyaya-doxodnosti-mirr.html (дата обращения: 26.10.2025).
35. Показатель MIRR, как критерий эффективности инвестиционного проекта. Сущность способ расчета, преимущества и недостатки. Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/7968310/page/44/ (дата обращения: 26.10.2025).