Линейная алгебра в экономике: от фундаментальных основ до критического анализа прикладных моделей

В 1973 году Василий Леонтьев был удостоен Нобелевской премии по экономике за разработку метода «затраты — выпуск» — модели межотраслевого баланса, которая базируется на фундаменте линейной алгебры и до сих пор является одним из краеугольных камней в экономическом анализе. Этот факт не только подчеркивает глубокую взаимосвязь математики и экономики, но и служит ярким свидетельством того, насколько линейная алгебра пронизывает современные экономические исследования, от макроэкономического планирования до микроэкономического моделирования.

Введение: Роль линейной алгебры в современной экономике

В современном мире экономика — это не просто наука о распределении ресурсов, это сложная, многомерная система, требующая точных инструментов для анализа, прогнозирования и принятия решений. Именно здесь на сцену выходит линейная алгебра, выступая в роли универсального языка, способного описывать взаимосвязи между переменными, моделировать потоки ресурсов, анализировать финансовые рынки и оптимизировать производственные процессы. От межотраслевых балансов до динамических моделей роста, от эконометрического анализа до задач линейного программирования — практически каждая область экономической науки так или иначе опирается на ее фундаментальные принципы, без которых глубокое понимание процессов становится невозможным.

Настоящая курсовая работа ставит своей целью не просто изложение теоретических основ и методов линейной алгебры, но и демонстрацию их глубокого и всестороннего применения в экономике. Мы пройдем путь от аксиоматических определений векторов и матриц до нюансов построения и критического анализа сложных экономических моделей. Работа структурирована таким образом, чтобы читатель, будь то студент экономического или технического вуза, мог не только освоить аппарат линейной алгебры, но и получить глубокое понимание ее применимости, эффективности и, что не менее важно, ограничений в контексте реальных экономических процессов. Мы стремимся вооружить студента не только инструментами, но и критическим мышлением, необходимым для осознанного и ответственного применения математики в экономике.

Теоретические основы линейной алгебры

Линейная алгебра — это не просто набор формул и алгоритмов, это целостная математическая дисциплина, обладающая строгим аксиоматическим фундаментом. Именно глубокое понимание этих основ позволяет эффективно применять ее аппарат в различных областях, включая экономику. В этом разделе мы углубимся в базовые понятия, которые формируют каркас всей линейной алгебры.

Векторы и векторные пространства

В самом начале пути в линейную алгебру стоит концепция вектора. Для большинства, кто сталкивался с физикой, вектор представляется как «направленный отрезок» или «палочка со стрелочкой», имеющая длину и направление. Однако в линейной алгебре это понятие значительно расширяется. Вектор — это, по сути, элемент векторного (линейного) пространства, который может быть представлен как упорядоченный набор чисел (например, (x₁, x₂, …, x_n)) или, в более абстрактном смысле, как объект, для которого определены две основные операции: сложение векторов и умножение вектора на число (скаляр).

Векторное (линейное) пространство V — это множество, элементы которого мы называем векторами, а для операций над ними выполняются восемь фундаментальных аксиом. Эти аксиомы гарантируют, что векторы ведут себя предсказуемо и логично, как и привычные нам числа. Среди них:

• Коммутативность сложения: u + v = v + u
• Ассоциативность сложения: (u + v) + w = u + (v + w)
• Существование нулевого вектора: u + 0 = u
• Существование противоположного вектора: u + (-u) = 0
• Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов: α(u + v) = αu + αv
• Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения скаляров: (α + β)u = αu + βu
• Ассоциативность умножения на скаляр: α(βu) = (αβ)u
• Умножение на единицу поля: 1u = u

Эти аксиомы создают общую структуру, в рамках которой могут существовать самые разнообразные «векторы»: от привычных геометрических до функций, полиномов или даже матриц определенного размера. Это означает, что математический аппарат, разработанный для абстрактных векторов, применим к широкому кругу экономических явлений.

Ключевыми понятиями, связанными с векторами, являются линейная зависимость и независимость. Набор векторов v₁, v₂, …, v_k называется линейно зависимым, если хотя бы один из них может быть выражен как линейная комбинация остальных. Иначе говоря, существуют скаляры c₁, c₂, …, c_k, не все равные нулю, такие что c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_kv_k = 0. Если такое равенство возможно только при всех c_i = 0, то векторы линейно независимы. Это свойство критически важно для определения базиса.

Базис векторного пространства — это минимальный набор линейно независимых векторов, с помощью которого можно однозначно выразить любой другой вектор этого пространства. Количество векторов в базисе определяет размерность линейного пространства. Например, привычное нам трехмерное пространство имеет размерность 3, а его стандартный базис состоит из трех взаимно перпендикулярных векторов. Понимание базиса позволяет нам «координировать» любой вектор, представляя его как набор чисел.

Матрицы и их свойства

Если векторы — это «однородные» наборы чисел, то матрицы представляют собой более сложную структуру: прямоугольные таблицы чисел. Они являются одним из центральных объектов линейной алгебры, своего рода «холстом», на котором разворачиваются многие математические операции. Матрицы используются для компактной записи систем уравнений, представления линейных преобразований, хранения данных и многого другого.

Матрицы характеризуются своими размерами (количеством строк и столбцов), а также элементами, расположенными на их пересечении. Существуют различные виды матриц:

• Квадратные матрицы (число строк равно числу столбцов).
• Нулевые матрицы (все элементы равны нулю).
• Единичные матрицы (квадратные матрицы с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах).
• Диагональные матрицы (квадратные матрицы, у которых ненулевые элементы могут быть только на главной диагонали).
• Симметричные матрицы (квадратные матрицы, равные своей транспонированной).

Операции над матрицами включают сложение (для матриц одинакового размера), умножение на скаляр и, что особенно важно, умножение матриц. Умножение матриц некоммутативно (AB ≠ BA в общем случае) и возможно только при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Две важнейшие числовые характеристики, применимые только к квадратным матрицам, — это определитель и ранг.

• Определитель матрицы (детерминант) — это числовая характеристика, которая отражает определенные свойства матрицы, например, ее «вырожденность». Если определитель равен нулю, матрица называется вырожденной (или сингулярной), что означает, что ее строки (или столбцы) линейно зависимы, и она не имеет обратной матрицы. Методы вычисления определителя включают правило Саррюса для матриц 3×3, метод разложения по строке или столбцу (с использованием алгебраических дополнений) и метод Гаусса (приведение к треугольному виду).
• Ранг матрицы — это максимальное число линейно независимых строк или столбцов матрицы. Он дает представление о «мерности» пространства, которое охватывается строками или столбцами матрицы. Ранг может быть найден путем приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и подсчета числа ненулевых строк. Ранг играет ключевую роль в определении совместности систем линейных уравнений.

Линейные преобразования, собственные значения и собственные векторы

Одним из наиболее глубоких и концептуально важных аспектов линейной алгебры является понятие линейного преобразования, или линейного оператора. Это своего рода «функция», которая отображает векторы из одного векторного пространства в другое (или в то же самое), сохраняя при этом структуру линейного пространства. Формально, отображение φ: V → V называется линейным преобразованием, если для любых скаляров α, β из поля F и векторов u, v из V выполняется условие:

φ(αu + βv) = αφ(u) + βφ(v)

Это означает, что преобразование сохраняет операции сложения векторов и умножения на скаляр. Примерами линейных преобразований являются повороты, растяжения, сжатия, отражения.

Любое линейное преобразование в конечномерном пространстве может быть представлено матрицей линейного преобразования относительно конкретного базиса. Столбцы этой матрицы состоят из координат образов базисных векторов. Изменение базиса приводит к изменению матрицы преобразования, но само преобразование остается тем же. Понимание этой связи позволяет нам изучать геометрические преобразования с помощью алгебраических операций над матрицами.

В контексте линейных преобразований возникают понятия собственных значений и собственных векторов, которые имеют огромное значение для анализа динамических систем, как в физике, так и в экономике.

Собственный вектор x ненулевого вектора V для линейного преобразования f — это такой вектор, который при применении этого преобразования меняет только свою «длину» (масштаб), но не направление. То есть, f(x) = λx, где λ — это собственное значение (скаляр), соответствующее вектору x. В матричной форме это уравнение выглядит как Ax = λx, где A — матрица линейного преобразования.

Нахождение собственных значений и собственных векторов является одной из основных задач линейной алгебры и осуществляется следующим образом:

1. Уравнение Ax = λx можно переписать как (A — λI)x = 0, где I — единичная матрица.
2. Для существования ненулевых решений x (собственных векторов) необходимо, чтобы матрица (A — λI) была вырожденной, то есть ее определитель был равен нулю: det(A — λI) = 0.
3. Это уравнение называется характеристическим уравнением. Решив его, мы находим собственные значения λ.
4. Затем, для каждого найденного собственного значения λ, мы решаем систему (A — λI)x = 0, чтобы найти соответствующие собственные векторы x.

Геометрический смысл собственных значений и векторов заключается в том, что они описывают «инвариантные направления» пространства, которые «растягиваются» или «сжимаются» преобразованием, но не поворачиваются. В экономике собственные значения и векторы часто используются для анализа устойчивости динамических моделей, выявления ключевых факторов влияния и понимания долгосрочных тенденций. Почему это так важно? Потому что именно эти «инвариантные направления» позволяют выделить фундаментальные движущие силы в сложной экономической системе.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений: Сравнительный анализ эффективности

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) являются одним из центральных объектов изучения в линейной алгебре и краеугольным камнем для моделирования во многих прикладных областях, включая экономику. СЛАУ — это набор алгебраических уравнений первой степени, каждое из которых содержит одну или несколько неизвестных переменных. Исторически человечество всегда стремилось найти наиболее эффективные способы их решения. Рассмотрим три основных метода, их принципы, применимость и, что критически важно, вычислительную сложность.

Метод Крамера

Метод Крамера является одним из классических подходов к решению СЛАУ. Его особенность заключается в том, что он предоставляет явные формулы для нахождения каждой неизвестной переменной. Алгоритм метода Крамера применим к СЛАУ, где число неизвестных равно числу уравнений, а определитель основной матрицы системы (обозначаемый как Δ) не равен нулю. Если Δ = 0, метод Крамера неприменим, и система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

Согласно правилу Крамера, каждая неизвестная x_j находится по следующей формуле:

xj = Δj / Δ

Где:

• Δ — это определитель основной матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных.
• Δ_j — это определитель матрицы, полученной из основной путем замены j-го столбца на столбец свободных членов (правых частей уравнений).

Преимущества метода Крамера:

• Предоставляет явные аналитические формулы для каждой переменной, что удобно для теоретического анализа.
• Относительно прост для понимания и реализации для небольших систем.

Недостатки и вычислительная сложность:

Главный недостаток метода Крамера — его высокая вычислительная сложность для систем большого порядка. Вычисление определителя матрицы порядка n с использованием метода разложения по строке или столбцу имеет сложность, которая растет факториально (n!), что неприемлемо даже для умеренных n. Однако при использовании метода Гаусса для вычисления каждого определителя, вычислительная сложность одного определителя составляет O(n³) операций. Поскольку для нахождения всех n неизвестных и основного определителя требуется n+1 вычисление определителя, общая сложность наивной реализации метода Крамера оказывается порядка O(n⁴). Это делает его малопригодным для практических задач с большим количеством переменных, возникающих в экономике или инженерном деле. Впрочем, существуют оптимизированные реализации метода Крамера, где его сложность может быть снижена до O(n³), что сравнимо с методом Гаусса.

Матричный метод

Матричный метод решения СЛАУ — это элегантный и концептуально простой подход, который опирается на понятие обратной матрицы. Он также применим только к квадратным системам (число уравнений равно числу неизвестных) с невырожденной матрицей (определитель ≠ 0), поскольку только для таких матриц существует обратная.

Система линейных уравнений может быть записана в компактной матричной форме:

A · X = B

Где:

• A — матрица коэффициентов при неизвестных.
• X — вектор-столбец неизвестных.
• B — вектор-столбец свободных членов.

Если матрица A невырожденная, то существует обратная матрица A⁻¹. Умножив обе части уравнения на A⁻¹ слева, получаем решение:

X = A⁻¹ · B

Преимущества матричного метода:

• Идеален, когда необходимо решить несколько систем с одной и той же матрицей коэффициентов A, но с разными векторами свободных членов B. В этом случае обратную матрицу A⁻¹ достаточно вычислить лишь один раз.
• Концептуальная простота и компактность записи.

Недостатки и вычислительная сложность:

Основная трудность матричного метода заключается в вычислении обратной матрицы A⁻¹, что является довольно трудоемкой операцией для больших систем. Типичный метод вычисления обратной матрицы, например, метод Гаусса-Жордана, имеет вычислительную сложность порядка O(n³), где n — порядок матрицы. Таким образом, общая сложность матричного метода также составляет O(n³). Для систем с большим количеством переменных этот метод может быть менее эффективным по сравнению с прямым методом Гаусса, если не требуется многократно решать системы с одной и той же матрицей.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения)

Метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, по праву считается одним из наиболее универсальных и практически значимых методов решения СЛАУ. Он применим к любым системам линейных уравнений, независимо от того, является ли матрица квадратной, вырожденной, или даже если число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Метод состоит из двух основных этапов:

1. Прямой ход: Цель этого этапа — привести расширенную матрицу системы (объединяющую матрицу коэффициентов и столбец свободных членов) к треугольному (или ступенчатому) виду с помощью элементарных преобразований над строками. Эти преобразования включают:
   • Перестановку строк.
   • Умножение строки на ненулевой скаляр.
   • Прибавление к одной строке другой, умноженной на скаляр.

   В результате прямого хода мы последовательно исключаем неизвестные из уравнений, начиная с первого, так что в каждом последующем уравнении становится на одну неизвестную меньше.

2. Обратный ход: После приведения матрицы к треугольному виду, последнее уравнение содержит только одну неизвестную, которую легко найти. Затем, подставляя ее значение в предпоследнее уравнение, находим вторую неизвестную, и так далее, двигаясь вверх по системе до нахождения всех неизвестных.

Преимущества метода Гаусса:

• Универсальность: Применим к любым СЛАУ, позволяет определить совместность системы, ранг матрицы и количество решений.
• Эффективность: Для систем большого порядка метод Гаусса считается менее трудоемким, чем методы Крамера или матричный метод.

Вычислительная сложность:

Вычислительная сложность метода Гаусса для матрицы размером n×n составляет O(n³). Это означает, что количество операций растет пропорционально кубу размера системы. Например, для системы 1000×1000 количество операций будет порядка 10⁹, что хотя и велико, но все же на порядки меньше, чем O(n⁴) для наивного метода Крамера. Благодаря своей эффективности, метод Гаусса является основой для большинства численных алгоритмов решения СЛАУ в современных программных пакетах. Важно помнить, что высокая эффективность не всегда означает простоту — метод требует аккуратности и внимания к деталям при реализации.

Сравнительная таблица методов решения СЛАУ:

Метод	Тип системы	Условие применимости	Вычислительная сложность (для n×n)	Преимущества	Недостатки
Крамера	Квадратная	det(A) ≠ 0	O(n⁴) (наивная), O(n³) (оптимизированная)	Явные формулы, теоретическая ясность	Высокая сложность для больших n, ограниченная применимость
Матричный	Квадратная	det(A) ≠ 0 (существование A⁻¹)	O(n³)	Эффективен при многократном решении с той же A	Трудоемкость вычисления A⁻¹ для больших n
Гаусса	Любая	Всегда применим	O(n³)	Универсальность, высокая эффективность	Отсутствие явных формул, чувствительность к ошибкам округления

Выбор метода зависит от конкретной задачи: для малых систем Крамер или матричный метод могут быть удобны, но для крупномасштабных задач, где на кону стоит вычислительная эффективность, метод Гаусса остается золотым стандартом среди прямых методов.

Применение линейной алгебры в моделировании экономических процессов

Экономика, будучи наукой о сложных системах взаимосвязей, находит в линейной алгебре мощнейший аналитический аппарат. Теория матриц и векторов позволяет не только компактно описывать эти связи, но и анализировать их динамику, устойчивость и равновесные состояния. Рассмотрим два фундаментальных примера: модель межотраслевого баланса Леонтьева и анализ динамических систем с помощью собственных значений.

Модель межотраслевого баланса В.В. Леонтьева

История экономической науки знает немало ярких личностей, но вклад Василия Леонтьева, удостоенного Нобелевской премии по экономике в 1973 году, стоит особняком. Его модель межотраслевого баланса, также известная как модель «затраты — выпуск» (Input-Output model), стала революционным инструментом для понимания производственных взаимосвязей в экономике.

Суть модели: Она описывает, как продукция каждой отрасли экономики используется как ресурс для других отраслей (промежуточное потребление) и как товар для конечного потребления (домашние хозяйства, инвестиции, экспорт). Главная задача модели Леонтьева — определить, какой валовой выпуск (объем производства) должна обеспечить каждая отрасль, чтобы удовлетворить заданный конечный спрос, учитывая все внутренние производственные связи.

Построение модели:

Представим экономику как совокупность n отраслей.

• Пусть x_i — валовой выпуск i-й отрасли.
• Пусть d_i — конечный спрос на продукцию i-й отрасли.
• Ключевым элементом является матрица прямых затрат A, элементы которой a_ij ≥ 0 показывают, сколько продукции i-й отрасли необходимо затратить для производства единицы продукции j-й отрасли. Например, a₁₂ означает, сколько стали (продукции 1-й отрасли) нужно для производства одного автомобиля (продукции 2-й отрасли).

Балансовое уравнение для каждой отрасли формулируется как:

Валовой выпуск = Промежуточное потребление + Конечный спрос

xi = ∑j=1n aijxj + di

В матричной форме эта система уравнений выглядит гораздо изящнее:

x = Ax + d

Где:

• x — вектор-столбец валового выпуска.
• A — матрица прямых затрат.
• d — вектор-столбец конечного спроса.

Перегруппировав члены, получаем:

x - Ax = d
(I - A)x = d

Где I — единичная матрица.

Если матрица (I — A) невырожденная, то решение для вектора валового выпуска x находится путем умножения на обратную матрицу:

x = (I - A)⁻¹d

Матрица (I — A)⁻¹ называется матрицей полных затрат. Ее элементы показывают, сколько валового выпуска i-й отрасли необходимо произвести, чтобы обеспечить увеличение конечного спроса на единицу j-й отрасли, учитывая все прямые и косвенные затраты.

Модель Леонтьева, например, использовалась для построения первой мировой модели «затраты-выпуск», которая включала более 2600 линейных уравнений для 15 регионов и 48 секторов, что демонстрирует ее масштаб и значимость. Именно такой системный подход позволяет увидеть, как изменения в одной отрасли каскадно влияют на всю экономику.

Условие продуктивности матрицы Леонтьева

Для того чтобы модель Леонтьева имела экономически осмысленное решение (т.е. единственное и неотрицательное), необходимо выполнение условия, известного как условие продуктивности матрицы A. Если матрица A продуктивна, это гарантирует, что для любого неотрицательного вектора конечного спроса d существует единственный неотрицательный вектор валового выпуска x.

Среди наиболее известных условий продуктивности выделяются условия Хокинса-Саймона:

Матрица A является продуктивной, если все главные угловые миноры матрицы (I — A) положительны. То есть:

• det(I — A)₁ > 0
• det(I — A)₂ > 0
• …
• det(I — A)_n > 0

Где (I — A)_k — это матрица, состоящая из первых k строк и k столбцов матрицы (I — A).

Другое условие продуктивности заключается в том, что существует вектор x > 0, такой что x > Ax (то есть каждая отрасль производит больше, чем потребляет сама). Экономический смысл этих условий состоит в том, что экономика должна быть способна производить «с избытком», чтобы удовлетворить конечный спрос после покрытия промежуточных затрат. Если эти условия не выполняются, то система не может удовлетворить конечный спрос без дефицита или бесконечного роста производства, что указывает на структурные проблемы в экономике.

Двойственная модель Леонтьева

Помимо анализа физических объемов производства, модель Леонтьева имеет и двойственную модель, которая используется для анализа ценовых взаимосвязей. Эта модель позволяет определить равновесные цены на продукцию отраслей, исходя из совокупных издержек производства, включая стоимость сырья и трудовых ресурсов. Если p — вектор цен, а v — вектор добавленной стоимости (прибыль + зарплата), то двойственная модель имеет вид:

p = Aᵀp + v

Где Aᵀ — транспонированная матрица прямых затрат.

Эта модель позволяет понять, как изменения в затратах или добавленной стоимости в одной отрасли влияют на цены по всей экономической системе.

Анализ динамических экономических систем с помощью собственных значений и векторов

Экономика редко находится в статическом состоянии; чаще всего она представляет собой динамическую систему, изменяющуюся во времени. Понимание того, как экономические переменные (например, ВВП, процентные ставки, инвестиции) эволюционируют и взаимодействуют, критически важно для прогнозирования и выработки политики. Здесь на помощь приходят собственные значения и собственные векторы, позволяющие анализировать устойчивость и долгосрочное поведение таких систем.

Представим линейную динамическую систему, которая может быть описана в дискретном или непрерывном времени:

• Дискретная система: x_t+1 = Ax_t (например, изменение запасов капитала год за годом)
• Непрерывная система: dx/dt = Ax (например, изменение ВВП с течением времени)

Где A — матрица системы, описывающая взаимосвязи между переменными.
Собственные значения матрицы A являются ключевыми индикаторами поведения такой системы. Они определяют «темпы роста» или «темпы затухания» различных компонент системы, а соответствующие им собственные векторы указывают на «направления» в пространстве состояний, вдоль которых происходят эти изменения.

Условия устойчивости динамических систем

Понимание условий устойчивости — это один из самых важных аспектов применения собственных значений. Устойчивость равновесия означает, что если система незначительно отклонится от своего равновесного состояния, то она со временем вернется к нему.

• Для линейных непрерывных динамических систем (dx/dt = Ax):
  Равновесие системы является устойчивым, если все собственные значения матрицы A имеют отрицательные вещественные части. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, система будет неустойчивой, и малейшее отклонение приведет к экспоненциальному росту или спаду. Если вещественная часть равна нулю, система может находиться в состоянии колебаний (постоянной амплитуды) или критической устойчивости.
• Для линейных дискретных динамических систем (x_t+1 = Ax_t):
  Равновесие системы является устойчивым, если все собственные значения матрицы A лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости, то есть их модуль меньше 1 (|λ| < 1). Если модуль хотя бы одного собственного значения больше 1, система будет неустойчивой. Если модуль равен 1, система может быть стабильной, но не асимптотически устойчивой, или находиться в состоянии колебаний.

Например, в моделях экономического роста собственные значения могут указывать, с какой скоростью экономика сходится к своему стационарному состоянию или, наоборот, уходит в рецессию или бум. Анализ этих значений позволяет экономистам прогнозировать долгосрочное поведение систем и разрабатывать меры для стабилизации. Этот глубокий анализ является «слепой зоной» для многих материалов, но критически важен для реального понимания экономических динамических процессов. Не является ли такое понимание залогом точных и своевременных экономических решений?

Итерационные методы решения крупномасштабных экономических задач

В мире больших данных и сложных экономических моделей прямые методы решения систем линейных уравнений, такие как метод Гаусса или матричный метод, сталкиваются с фундаментальными ограничениями по вычислительной мощности и памяти. Именно здесь на помощь приходят итерационные методы, которые предлагают иной подход — построение последовательных приближений к решению. Эти методы особенно ценны для крупномасштабных систем, которые часто встречаются в эконометрике, оптимизации и численном моделировании.

Основные принципы итерационных методов

В отличие от прямых методов, которые стремятся найти точное решение за конечное число шагов, итерационные методы генерируют последовательность приближений, которая сходится к истинному решению. Мы начинаем с некоторого начального приближения X⁽⁰⁾ и на каждом шаге вычисляем следующее приближение X^(k+1) на основе предыдущего X^(k). Этот процесс продолжается до тех пор, пока разница между последовательными приближениями не станет меньше заданной точности.

Преимущества итерационных методов:

• Эффективность для крупномасштабных систем: Для систем с миллионами переменных прямые методы становятся нецелесообразными из-за огромного количества операций и требований к памяти. Итерационные методы, напротив, требуют значительно меньше памяти, особенно если матрица системы разреженная.
• Работа с разреженными матрицами: Многие экономические задачи (например, моделирование крупномасштабных сетей, финансовые рынки, оптимальное планирование) приводят к системам с разреженными матрицами, то есть матрицами, содержащими подавляющее большинство нулевых элементов. В таких случаях вычисления на каждом шаге итерации могут быть выполнены очень быстро, поскольку операции с разреженными матрицами (например, умножение на вектор) требуют количества операций, пропорционального числу ненулевых элементов, а не полному размеру матрицы (N²). Это дает колоссальный выигрыш в производительности.
• Гибкость: Можно остановить итерационный процесс в любой момент, получив решение с требуемой точностью, что полезно, когда абсолютно точное решение не требуется.

Виды итерационных методов и их применение

Существует множество итерационных методов, каждый со своими особенностями и областями применения. Среди наиболее известных:

• Метод Якоби: Один из самых простых итерационных методов. На каждом шаге новое значение каждой неизвестной x_i вычисляется с использованием значений других неизвестных, полученных на предыдущей итерации.
• Метод Зейделя (Гаусса-Зейделя): Улучшенная версия метода Якоби. При вычислении нового значения x_i используются уже обновленные значения x₁, …, x_i-1 на текущей итерации. Это ускоряет сходимость по сравнению с методом Якоби.
• Метод релаксации (SOR – Successive Over-Relaxation): Дальнейшее усовершенствование метода Зейделя, вводящее коэффициент релаксации ω. Это позволяет «перепрыгивать» через промежуточные значения, потенциально значительно ускоряя сходимость.
• Методы Крылова: Для особо сложных и очень больших систем используются более продвинутые методы, такие как метод сопряженных градиентов (CG), обобщенный метод минимальных невязок (GMRES) и другие, которые являются более мощными итерационными алгоритмами, способными решать огромные системы.

В экономике итерационные методы могут применяться для:

• Численного моделирования динамических систем: Когда необходимо найти стационарное состояние или траекторию развития системы.
• Решения задач оптимального планирования и управления: Когда матрица ограничений или функция цели велики.
• Эконометрических задач: В частности, для решения систем нормальных уравнений в методе наименьших квадратов при работе с очень большими наборами данных.

Условия сходимости итерационных методов

Ключевым вопросом для любого итерационного метода является его сходимость: будет ли последовательность приближений действительно стремиться к истинному решению, и если да, то с какой скоростью? Сходимость зависит от свойств матрицы системы.

Одним из наиболее важных и часто используемых условий достаточной сходимости для таких методов, как Якоби и Зейделя, является строгое диагональное преобладание матрицы. Матрица A = [a_ij] обладает строгим диагональным преобладанием, если для каждой строки абсолютное значение диагонального элемента больше суммы абсолютных значений остальных элементов в этой строке:

|aii| > Σj≠i |aij| для всех i = 1, ..., n

Теоретическое и практическое значение строгого диагонального преобладания:

• Гарантия сходимости: Если матрица системы обладает строгим диагональным преобладанием, то и метод Якоби, и метод Зейделя гарантированно сходятся к единственному решению СЛАУ.
• Скорость сходимости: Чем сильнее выражено диагональное преобладание, тем быстрее, как правило, методы сходятся к решению.
• Экономический смысл: В некоторых экономиче��ких моделях сильное диагональное преобладание может указывать на то, что «собственные» эффекты (влияние переменной на саму себя) доминируют над «перекрестными» эффектами (влияние других переменных).

Для более сложных методов, таких как метод сопряженных градиентов, условия сходимости связаны со свойствами матрицы, такими как ее симметричность и положительная определенность. Понимание этих условий позволяет выбрать наиболее подходящий метод и оценить надежность полученных результатов. Итерационные методы — это не просто альтернатива, это необходимость для решения все более крупных и сложных задач, с которыми сталкиваются современные экономисты.

Современные программные средства для решения задач линейной алгебры в экономике

В эпоху цифровизации и больших данных, ручное решение даже умеренно сложных задач линейной алгебры в экономике стало неэффективным и непрактичным. На помощь приходят специализированные программные средства, которые автоматизируют вычисления, позволяют работать с крупными массивами данных и визуализировать результаты. Эти инструменты стали неотъемлемой частью арсенала современного экономиста.

MS Excel

MS Excel — это, пожалуй, самый распространенный и доступный инструмент для выполнения базовых операций линейной алгебры и решения небольших систем в экономике. Его простота и повсеместное использование делают его отличной отправной точкой для студентов и специалистов.

В Excel доступны встроенные функции для работы с матрицами, которые значительно упрощают вычисления:

• МОБР() (MINVERSE): Функция для нахождения обратной матрицы. Например, если у вас есть квадратная матрица в диапазоне A1:C3, то МОБР(A1:C3) вернет обратную к ней матрицу.
• МОПРЕД() (MDETERM): Функция для вычисления определителя матрицы. МОПРЕД(A1:C3) вернет числовой определитель матрицы.
• МУМНОЖ() (MMULT): Функция для умножения матриц. МУМНОЖ(A1:C3; D1:F3) выполнит умножение двух матриц. Важно помнить, что для корректного выполнения этой операции необходимо выделить диапазон ячеек для результата, соответствующий размеру итоговой матрицы, и ввести формулу как формулу массива (Ctrl+Shift+Enter).

Применение этих функций позволяет легко реализовать матричный метод решения систем линейных уравнений (X = A⁻¹B) и метод Крамера (путем вычисления нескольких определителей).

Помимо базовых матричных операций, Excel также эффективно используется для решения задач линейного программирования с помощью встроенной надстройки «Поиск решения» (Solver). Эта надстройка позволяет находить оптимальные значения целевой функции при заданных линейных ограничениях, что критически важно для задач оптимизации производства, распределения ресурсов, максимизации прибыли или минимизации издержек.

Пример использования Excel для решения СЛАУ матричным методом:
Предположим, у нас есть система:

2x + 3y = 8
x - 2y = -3

1. Записываем матрицу коэффициентов A:
   

   2	3
   1	-2

2. Записываем вектор свободных членов B:
   

   8
   -3

3. В Excel:
   • Вводим матрицу A в ячейки, например, A1:B2.
   • Вводим вектор B в ячейки, например, D1:D2.
   • Для нахождения обратной матрицы A⁻¹, выделяем диапазон 2×2 (например, F1:G2) и вводим формулу массива =МОБР(A1:B2), затем нажимаем Ctrl+Shift+Enter.
   • Для умножения A⁻¹ на B (получение вектора X), выделяем диапазон 2×1 (например, I1:I2) и вводим формулу массива =МУМНОЖ(F1:G2; D1:D2), затем нажимаем Ctrl+Shift+Enter.
   • Полученные значения в I1 и I2 будут решениями x и y соответственно.

Python с библиотекой NumPy

Python — это не просто язык программирования, это экосистема, которая стала де-факто стандартом в финансовой отрасли, анализе данных, машинном обучении и науке. Его универсальность, читаемость кода и огромное количество библиотек делают его незаменимым для решения сложных экономических задач.

Центральной библиотекой для работы с линейной алгеброй в Python является NumPy (Numerical Python). Модуль linalg в NumPy предоставляет полный набор функций для работы с векторами и матрицами:

• Создание массивов (векторов и матриц) с помощью numpy.array().
• Матричные операции: сложение, вычитание, умножение (numpy.dot() или оператор @), транспонирование (.T).
• Решение систем линейных уравнений: numpy.linalg.solve(A, b) — это эффективный и стабильный метод для нахождения решений СЛАУ.
• Вычисление определителя: numpy.linalg.det(A).
• Нахождение обратной матрицы: numpy.linalg.inv(A).
• Вычисление собственных значений и собственных векторов: numpy.linalg.eig(A).
• Работа с разреженными матрицами: Хотя сам NumPy не предоставляет специализированных структур для разреженных матриц, библиотека SciPy (построенная на NumPy) имеет модуль scipy.sparse, который позволяет эффективно хранить и обрабатывать разреженные матрицы, что критически важно для итерационных методов.

Применение Python в экономике:

Python используется для:

• Построения и анализа сложных эконометрических моделей: Линейная и нелинейная регрессия, временные ряды.
• Количественного финансового анализа: Оценка рисков, управление портфелем, торговые алгоритмы.
• Оптимизационных задач: Линейное и нелинейное программирование с использованием библиотек, таких как SciPy.
• Машинного обучения и AI-моделей: Для прогнозирования экономических показателей, анализа настроений рынка.
• Автоматизации бизнес-процессов: Сбора и обработки больших массивов экономических данных.

Обзор других инструментов (R)

Помимо Excel и Python, существуют и другие мощные инструменты, широко используемые для анализа данных и статистического моделирования в экономике:

• R: Это специализированный язык и среда для статистических вычислений и графики. R предлагает обширные пакеты для линейной алгебры, эконометрики, временных рядов и машинного обучения. Он особенно популярен в академической среде и для глубокого статистического анализа, включая сбор, обработку, валидацию и восполнение пропущенных данных.
• MATLAB: Мощная платформа для численных вычислений, программирования и визуализации. MATLAB изначально создавался с сильной ориентацией на матричные операции и является отличным инструментом для решения задач линейной алгебры, особенно в инженерных и научных приложениях.
• Julia: Относительно новый, но быстро набирающий популярность язык программирования, разработанный для высокопроизводительных численных вычислений. Julia сочетает простоту Python с производительностью, сравнимой с C или Fortran, что делает его перспективным для крупномасштабных экономических моделей.

Выбор программного средства зависит от конкретной задачи, уровня сложности, доступных ресурсов и предпочтений пользователя. Однако общим является то, что эти инструменты значительно расширяют возможности экономистов, позволяя им работать с невиданными ранее объемами данных и строить все более сложные и точные модели.

Ограничения и допущения линейных моделей в экономике: Критический взгляд

Линейная алгебра предоставляет мощный и элегантный аппарат для моделирования экономических процессов, но его применение не лишено ограничений. Важно понимать, что реальный мир редко бывает идеально линейным, и любая модель, по определению, является упрощением реальности. Критический анализ этих допущений и ограничений является неотъемлемой частью ответственного экономического исследования.

Допущение линейности и нелинейность реальных процессов

Фундаментальное допущение линейных моделей заключается в том, что взаимосвязи между экономическими переменными являются прямыми и пропорциональными. Это означает, что изменение одной переменной на определенную величину приводит к изменению другой переменной на постоянную пропорциональную величину, независимо от текущего уровня переменных. Например, в простейшей модели потребления предполагается, что увеличение дохода на 100 рублей всегда ведет к увеличению потребления на, скажем, 70 рублей.

Однако в действительности многие экономические зависимости носят нелинейный характер.

• Производственные функции: Часто демонстрируют убывающую отдачу от масштаба, то есть увеличение вложений ресурсов на определенный процент не всегда приводит к такому же пропорциональному увеличению выпуска.
• Зависимости дохода и потребления: Предельная склонность к потреблению может меняться с уровнем дохода: богатые люди могут сберегать большую долю дополнительного дохода, чем бедные.
• Реакция рынков: Ценовая эластичность спроса или предложения может быть нелинейной, то есть реакция потребителей на изменение цены может быть разной при высоких и низких ценах.
• Макроэкономические циклы: Экономические кризисы и бумы часто характеризуются нелинейной динамикой.

Использование линейных моделей в таких случаях, когда истинная зависимость нелинейна, может приводить к неточным прогнозам, ошибочным выводам и неверным рекомендациям для экономической политики. Важно всегда задаваться вопросом, насколько допущение линейности соответствует исследуемому явлению.

Допущение постоянства коэффициентов и динамичность экономики

В таких моделях, как модель межотраслевого баланса Леонтьева, коэффициенты прямых затрат (a_ij) считаются постоянными. Это допущение подразумевает неизменность технологий производства, отсутствие технологического прогресса и постоянную отдачу от масштаба. Аналогично, в линейных регрессионных моделях коэффициенты, связывающие объясняющие переменные с зависимой, также предполагаются постоянными во времени.

Однако в условиях постоянно меняющейся экономики технологии развиваются, предпочтения потребителей эволюционируют, а структура рынков трансформируется. Это делает допущение о постоянстве коэффициентов весьма сильным и часто нереалистичным:

• Технологический прогресс: Инновации могут резко снизить потребность в определенных ресурсах для производства единицы продукции, делая коэффициенты a_ij нестабильными.
• Изменения в структуре экономики: Сдвиги в приоритетах государства или глобальные тренды могут изменить спрос и предложение, влияя на взаимосвязи между отраслями.
• Динамические эффекты: Многие экономические процессы обладают инерцией, запаздыванием или адаптивным поведением, которые не могут быть адекватно описаны статическими моделями с постоянными коэффициентами.

Использование статических линейных моделей в динамичной среде может привести к устаревшим и некорректным результатам, если коэффициенты не пересматриваются регулярно. Как же тогда обеспечить актуальность экономических прогнозов в условиях постоянных изменений?

Предпосылки Гаусса-Маркова в линейной регрессии

Один из наиболее часто используемых линейных инструментов в экономике — линейная регрессия. Ее надежность и качество оценок зависят от соблюдения ряда строгих допущений, известных как предпосылки Гаусса-Маркова. Нарушение этих предпосылок может привести к тому, что оценки коэффициентов будут смещенными, неэффективными или несостоятельными, делая выводы ненадежными.

Основные предпосылки Гаусса-Маркова для классической линейной регрессионной модели:

1. Линейность по параметрам: Модель должна быть линейной относительно своих коэффициентов. Например, y = β₀ + β₁x + ε является линейной по параметрам, даже если x² является объясняющей переменной.
2. Отсутствие идеальной мультиколлинеарности: Объясняющие переменные не должны быть идеально линейно зависимы друг от друга. Если, например, одна переменная является точной линейной комбинацией других, невозможно однозначно оценить влияние каждой из них.
3. Нулевое условное математическое ожидание случайных ошибок (E(ε_i|X_i) = 0): Среднее значение случайной ошибки должно быть равно нулю при любых значениях объясняющих переменных. Это означает, что объясняющие переменные не должны быть коррелированы со случайной ошибкой.
4. Гомоскедастичность (Var(ε_i|X_i) = σ²): Дисперсия случайных ошибок должна быть постоянной для всех наблюдений. Если дисперсия ошибок меняется (гетероскедастичность), оценки остаются несмещенными, но становятся неэффективными.
5. Отсутствие автокорреляции (Cov(ε_i, ε_j) = 0 для i ≠ j): Случайные ошибки не должны быть коррелированы между собой. Это особенно важно для временных рядов, где ошибки могут быть зависимы от ошибок предыдущих периодов. Нарушение приводит к неэффективным оценкам.
6. Нормальность распределения ошибок (ε_i ~ N(0, σ²)): Случайные ошибки должны быть распределены нормально. Это условие не требуется для получения несмещенных и эффективных оценок метода наименьших квадратов (МНК), но оно критически важно для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Последствия нарушения предпосылок:

• Смещение оценок: Если объясняющие переменные коррелированы с ошибками, оценки коэффициентов МНК будут смещенными и несостоятельными.
• Неэффективность оценок: При гетероскедастичности или автокорреляции оценки остаются несмещенными, но их дисперсия не является минимальной, что снижает точность статистических выводов.
• Некорректные стандартные ошибки и t-статистики: Это ведет к ошибочным выводам о статистической значимости коэффициентов.
• Ненадежные прогнозы: Модели с нарушенными предпосылками дают некорректные прогнозные значения.

Экономисты должны тщательно проверять эти предпосылки и использовать соответствующие эконометрические методы (например, обобщенный МНК, методы для временных рядов с автокорреляцией) в случае их нарушения.

Проблема рациональности и равновесия: Упрощение сложной реальности

Многие неоклассические экономические модели, часто использующие линейный аппарат, основываются на сильных допущениях о рациональном поведении экономических агентов, их стремлении к максимизации полезности (для потребителей) или прибыли (для фирм) и достижении равновесия на рынках. Также широко используется принцип «при прочих равных условиях» (ceteris paribus), который позволяет изолировать влияние одной переменной, удерживая все остальные неизменными.

Однако:

• Сложность человеческого поведения: Поведение реальных экономических агентов часто бывает иррациональным, подверженным когнитивным искажениям, эмоциям и социальным нормам, что изучается поведенческой экономикой.
• Несовершенство рынков: Рынки далеко не всегда находятся в состоянии равновесия. На них могут влиять информационная асимметрия, внешние эффекты, монополистическая власть, что приводит к неоптимальным результатам.
• Ceteris Paribus в динамичной реальности: Хотя принцип ceteris paribus является полезным аналитическим инструментом, в реальной экономике «прочие условия» редко остаются равными. Все факторы взаимосвязаны и постоянно меняются, что делает результаты, полученные в изолированных линейных моделях, менее применимыми к сложной, целостной картине.

Таким образом, линейные модели, при всей их мощности и элегантности, всегда являются упрощением сложной реальности. Экономисту необходимо не только уметь применять этот аппарат, но и глубоко понимать его ограничения, чтобы избежать ошибочных интерпретаций и неверных рекомендаций. Критический подход и постоянное соотнесение модели с реальным миром — залог успешного экономического анализа.

Заключение

Линейная алгебра, с ее стройной системой понятий и мощным инструментарием, является не просто разделом высшей математики, а фундаментальным языком, на котором говорит современная экономическая наука. В рамках настоящей курсовой работы мы совершили путешествие от аксиоматических основ векторных пространств и матричных операций до сложнейших моделей, описывающих динамику национальных экономик и поведение рынков.

Мы углубились в детали теоретических основ, дав строгие определения векторов, матриц, линейных преобразований, а также собственных значений и векторов, подчеркивая их принципиальную важность для построения логически непротиворечивых моделей. Проведенный сравнительный анализ методов решения систем линейных алгебраических уравнений — Крамера, матричного и Гаусса — позволил не только описать алгоритмы, но и критически оценить их вычислительную сложность и практическую применимость, что является ключевым для выбора эффективного инструмента в зависимости от масштаба задачи.

Особое внимание было уделено применению линейной алгебры в экономических моделях. Мы подробно рассмотрели модель межотраслевого баланса В.В. Леонтьева, выявив ее математический аппарат и экономический смысл, а также детально проанализировали условие продуктивности матрицы Леонтьева (условия Хокинса-Сайм��на) и условия устойчивости динамических систем через собственные значения — аспекты, которые часто остаются недооцененными в стандартных курсах. Эти детали критически важны для понимания жизнеспособности экономических систем и их поведения во времени.

Мы также показали значимость итерационных методов для решения крупномасштабных экономических задач, особенно тех, что связаны с разреженными матрицами, и проанализировали условия их сходимости, в частности, строгое диагональное преобладание. В контексте возрастающего объема данных, эти методы становятся незаменимыми инструментами.

Наконец, был представлен обзор современных программных средств, таких как MS Excel и Python с библиотекой NumPy, демонстрирующий, как эти инструменты упрощают и ускоряют работу экономиста, позволяя ему решать задачи различной сложности.

Однако, возможно, наиболее ценным разделом стал критический анализ ограничений и допущений линейных моделей в экономике. Мы подробно рассмотрели расхождения между допущением линейности и нелинейной реальностью, нестабильность коэффициентов в динамичной экономике, а также ключевые предпосылки Гаусса-Маркова в линейной регрессии и последствия их нарушения. Понимание этих ограничений — это не умаление роли линейной алгебры, а, наоборот, повышение уровня мастерства аналитика, позволяющее ему осознанно применять инструменты и интерпретировать результаты.

Таким образом, линейная алгебра — это не просто набор математических методов, а мощный интеллектуальный инструмент, требующий не только навыков применения, но и глубокого критического осмысления. Она продолжит играть центральную роль в развитии экономико-математического моделирования, но будущие исследования должны все более активно интегрировать нелинейные подходы, учитывать стохастические процессы и стремиться к созданию более гибких и адаптивных моделей, отражающих всю сложность и многогранность экономической реальности. Перспективы дальнейших исследований лежат в области сочетания классических линейных подходов с методами машинного обучения, агентно-ориентированного моделирования и анализа больших данных для получения еще более точных и надежных экономических прогнозов.

Список использованной литературы

1. Высшая математика для экономистов: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.] ; под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003. — 471 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / под ред. В.И. Ермакова. — М.: ИНФРА-М, 2002. — 656 с. — (Серия «Высшее образование»).
3. Малыхин, В.И. Математика в экономике: учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2002. — 352 с. — (Серия «Высшее образование»).
4. Замков, О.О. Математические методы в экономике: учебник / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. — М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 2004. — 368 с.
5. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 1997. — 208 с. — (Серия «Высшее образование»).
6. Колемаев, В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 240 с.
7. Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учебник. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело, 2002. — 704 с.
8. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. — 3-е изд., испр. — М.: Дело, 2002. — 688 с.
9. Кундышева, Е.С. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие / Е.С. Кундышева; под науч. ред. Б.А. Суслакова. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2004. — 352 с.
10. Дворниченко, А.В. Элементы линейной алгебры / А.В. Дворниченко, С.Ф. Макарук. — URL: https://e.sfu-kras.ru/bitstream/handle/20.500.12461/8782/sfu-kras.ru_El-ty-lineynoy-algebry.pdf?sequence=1&isAllowed=y
11. Логвенков, С.А. Линейная алгебра — Высшая школа экономики / С.А. Логвенков, В.С. Самовол. — 2017. — URL: https://www.hse.ru/data/2017/04/28/1168128221/Логвенков%20С.А.%2c%20Самовол%20В.С.%20Линейная%20алгебра.%20Основы%20теории%20(2017).pdf
12. Линейная алгебра для экономистов. — Российский государственный гидрометеорологический университет. — URL: https://www.rshu.ru/upload/kaf/kaf_math/line_alg_econ.pdf
13. Полещук, О.М. Основные понятия линейной алгебры / О.М. Полещук, С.В. Тумор. — МФ МГТУ, 2022. — URL: https://www.bmstu.ru/documents/e4399b1a-85b2-4d57-88d4-53c82ed13195
14. Кострикин, И.А. «Линейная алгебра-1» «Linear Algebra-1» Кафедра Математических методов анализа / И.А. Кострикин, Е.И. Анно, Н.А. Курош. — URL: https://math.hse.ru/data/2012/10/26/1252192737/ЛИНИАЯ%20АЛГЕБРА%201%20(1).pdf
15. Линейное преобразование и ранг матрицы. — 2019. — URL: https://mathprofi.ru/lineinoe_preobrazovanie_i_rang_matricy.html
16. Линейные преобразования для «чайников» — Математика для заочников. — URL: https://mathprofi.ru/lineinie_preobrazovania.html
17. Куликова, О.В. Лекции по Линейной алгебре и геометрии / О.В. Куликова. — 2020. — URL: https://math.hse.ru/data/2020/09/16/1376846187/Лекции%20по%20Линейной%20алгебре%20и%20геометрии%20(Куликова%20О.В.).pdf
18. 10.1. Линейное преобразование и его матрица. — URL: https://www.unipage.net/files/ege_math/lineynaya_algebra/lineynaya_algebra_zadachi_i_primery_resheniy.pdf
19. Линейные преобразования векторных пространств. — URL: https://math.spbu.ru/user/kulikov_s_v/la_lecture_notes_3.pdf
20. 13.2. Модель межотраслевого баланса (модель «затраты-выпуск»). — URL: https://studfile.net/preview/1628186/page/77/
21. Юдина, А.В. Модель Леонтьева / А.В. Юдина. — 2024. — URL: https://core.ac.uk/download/pdf/289065620.pdf
22. Лекция №3. Методы решения линейных моделей. Решение системы. — URL: https://edu.tltsu.ru/sites/default/files/pages/04_lekciya_3_metody_resheniya_lineynyh_modeley.pdf
23. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. — Оренбургский государственный университет. — URL: https://www.osu.ru/sites/default/files/document/2018/11/06/metodicheskie_ukazaniya_model_leonteva.pdf
24. Элементы высшей математики: Решение систем линейных уравнений. — URL: https://www.vixri.ru/d1/B.P.Demidovich_I.A.Maron_Osnovy_vychislitelnoy_matematiki_1966.pdf
25. Модель Леонтьева межотраслевого баланса и модель международной торговли — Математика и экономико-математические модели. — Studref.com. — URL: https://studref.com/463675/matematika/model_leonteva_mezhotraslevogo_balansa_model_mezhdunarodnoy_torgovli
26. Даутов, Р.З. Основы численных методов линейной алгебры / Р.З. Даутов, М.М. Карчевский. — Казанский федеральный университет, 2018. — URL: https://kpfu.ru/docs/F968379434/Chislennye.metody.linejnoj.algebry..pdf
27. Итерационные методы решения СЛАУ для вычислительно-трудоемких задач (Модули 10 – 11): Учебно-методическое пособие. — ЭБС Лань. — URL: https://e.lanbook.com/book/211568
28. Вычислительные методы линейной алгебры / Лектор: профессор А.М. Мацокин. — URL: http://www.nsu.ru/education/lectures/math/math_methods_of_linear_algebra.pdf
29. Решение систем линейных алгебраических уравнений в Excel. — URL: https://www.exponenta.ru/soft/excel/slae/slae.asp
30. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в MS Excel — Инфоурок. — 2018-12-23. — URL: https://infourok.ru/reshenie-sistemi-lineynih-algebraicheskih-uravneniy-slau-v-ms-excel-3286754.html
31. 8. Решение систем линейных уравнений в excel. — 2023-03-07. — URL: https://www.uchebnik-online.com/book/55-matematika_ekonomicheskiy_fakultet/47-8._reshenie_sistem_lineynyh_uravneniy_v_excel.html
32. Матричные операции в ms Excel. — 2019-09-18. — URL: https://www.rae.ru/forum2019/33/2902
33. Матричные операции в Excel — Без названия. — URL: https://www.mgul.ac.ru/sites/default/files/node_news/Matr_oper_Excel_Domasheva_0.pdf
34. Матрицы в Excel: операции (умножение, деление, сложение, вычитание, транспонирование, нахождение обратной матрицы, определителя) — Pedsovet.su. — 2016-03-22. — URL: https://pedsovet.su/matematika/5730_matrici_v_excel
35. Губернаторов, А.М. Экономика на Python / А.М. Губернаторов. — Электронный каталог DSpace ВлГУ — Владимирский Государственный Университет, 2023. — URL: https://www.vlsu.ru/e-library/getfile.php?id=38136
36. Линейная алгебра для экономистов. — МГУ, 1999. — URL: https://math.msu.ru/sites/default/files/textbooks/Lineynaya_algebra_dlya_ekonomistov.pdf
37. Линейные регрессионные модели в эконометрике. — Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. — URL: https://www.nngasu.ru/files/f1673895000/metodicheskoe_posobie_lineynyye_regressionnyye_modeli_v_ekonometrike.pdf
38. Лихенко, И.И. Ошибки использования линейной регрессии в оценке стоимости: предпосылки, методы обнаружения и программный пакет на Python / И.И. Лихенко. — КиберЛенинка. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/oshibki-ispolzovaniya-lineynoy-regressii-v-otsenke-stoimosti-predposylki-metody-obnaruzheniya-i-programmnyy-paket-na-python
39. Задойнов, С.А. Сопоставительный анализ моделей экономики линейного и замкнутого типов / С.А. Задойнов, К.Р. Ступак, Н.С. Форостянный. — КиберЛенинка. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sopostavitelnyy-analiz-modeley-ekonomiki-lineynogo-i-zamknutogo-tipov
40. 4.3. Нелинейные модели. — Учебники Экономического факультета МГУ. — URL: https://econ.msu.ru/education/master/ekonometrika/textbooks/chap4_3/