Пример готовой курсовой работы по предмету: Мат. мет. в экономике
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОГО ПРОЕКТА
1. Линейная производственная задача.3
2.Задача о расшивке узких мест производства 12
3.Целочисленная задача о расшивке узких мест производства 15
4.Транспортная задача линейного программирования 15
5.Нелинейное программирование 22
9.Задача о кратчайшем пути 48
10.Задача о критическом пути 50
11Оптимальность по Парето 53
12Многокритериальная оптимизация 54
13.Принятие решений в условиях неопределенности 57
14.Матричная игра 59
15.Биматричная игра 62
16.Оптимальный портфель ценных бумаг 64
17. Рациональная стоимость опционов 67
1. Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица
затрат ресурсов на производство единицы каждого вида продукции [элемент aij этой матрицы равен количеству ресурса i-го вида (i = 1, 2, 3), которое необходимо затратить в процессе производства единицы продукции j-го вида (j = 1, 2, 3, 4)], вектор
объемов ресурсов и вектор
удельной прибыли на единицу продукции.
Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль с учетом ограниченности запасов ресурсов.
Для этого необходимо обсудить экономическое содержание линейной производственной задачи и сформулировать ее математическую модель, преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее симплексным методом, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и определить узкие места производства (дефицитные ресурсы).
Затем требуется сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, обсудить ее экономическое содержание и записать математическую модель, после чего найти решение двойственной задачи, пользуясь второй основной теоремой двойственности, обосновав экономический смысл этой теоремы.
Указать оптимальную производственную программу и оценки технологий, максимальную прибыль и минимальную суммарную оценку всех ресурсов, остатки и двойственные оценки ресурсов и обсудить экономический смысл всех этих величин.
После этого необходимо с помощью надстройки «Поиск решения», пакета Microsoft Excel, проверить правильность решения задачи и, кроме того, определить границы, в которых могут изменяться коэффициенты целевой функции, в пределах которых не изменяется ассортимент выпускаемой продукции, и границы, в которых могут изменяться правые части ограничений, в пределах которых сохраняется устойчивость двойственных оценок.
Решение
Математическая модель задачи такова. Требуется найти производственную программу
максимизирующую прибыль
при ограничениях по ресурсам
где по смыслу задачи
Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных x 5, x 6,x 7 заменим системой линейных алгебраических уравнений
в которой дополнительные переменные x 5, x 6 и x 7 имеют смысл остатков ресурсов (соответственно первого, второго и третьего вида).
Среди всех решений системы уравнений, удовлетворяющих условиям неотрицательности , нужно найти то решение, при котором целевая функция примет наибольшее значение.
Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид дополнительные переменные являются базисными. Поэтому можно применить симплексный метод. Процесс решения записан в виде последовательности симплексных таблиц (табл. 1).
Таблица 1.1
cБазисh27391820000
x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7
0x 51402165100
0x 6900304010
0x 71983240001
z 0-z 0-z-27-39-18-20000
0x 511020611/31 -1/30
39x 2300104/301/30
0x 7138304 -8/30 -2/31
z 0-z 1170-z-270-18320130
0x 5180010/349/911/9-2/3
39x 2300104/301/30
27x 146104/3-8/90-2/91/3
z 0-z 2412-z 00188079
Для первой симплекс таблицы
и
.
Для второй симплекс таблицы
и
Как видно из последней симплексной таблицы, оптимальной является производственная программа x 1 = 46; x 2 = 30; x 3 = 0; x 4 =
0. обеспечивающая предприятию наибольшую прибыль zmax = 2412; при этом остаток ресурса первого вида x 5 =
18. второго вида x 6 = 0, третьего вида x 7 = 0.
Оценочные коэффициенты ∆1, ∆, ∆3 и ∆4 имеют смысл оценок технологий и показывают, насколько уменьшится прибыль, если произвести единицу соотетствующей продукции. Например, коэффициент ∆3 =
1. при переменной x 3 показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на
1. единиц.
Оставшиеся коэффициенты ∆5, ∆6 и ∆7 имеют смысл двойственных оце-нок ресурсов и показывают, насколько возрастет прибыль, если первоначальные запасы соответствующего ресурса увеличить на единицу. Так, увеличение на единицу запаса второго ресурса приведет к увеличению прибыли на ∆ = 7 единиц.
Двойственные оценки представляют собой оптимальное решение задачи, двойственной к исходной задаче планирования производства: это такие внутренние цены y 1, y 2, y 3 , что суммарная внутренняя стоимость всех имеющихся ресурсов минимальна при условии, что внутренняя стоимость ресурсов, из которых можно изготовить единицу продукции каждого вида, не меньше той цены, по которой единицу соответствующей продукции можно продать на рынке.
Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы A, 2 единицы ресурса первого вида, 0 единиц ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы).
В ценах y 1,y 2,y 3 наши затраты составят 2y 1 +0y 2 +3y
3. При реализации единицы первой продукции на рынке мы получили бы прибыль
27 руб. Следовательно, внутренняя оценка стоимости ресурсов, из которых можно изготовить единицу первого продукта (2y 1 +0y 2 +3y 3), должна составлять не менее 27 руб. Аналогичные условия должны выполняться и для всех остальных видов продукции.
При этом суммарная оценка всех имеющихся ресурсов 140y 1 +90y 2 +198y 3 должна быть минимальной.
Окончательно двойственная задача формулируется так: требуется найти вектор двойственных оценок
минимизирующий общую оценку всех ресурсов
при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:
при чем оценки ресурсов не могут быть отрицательными:
Запишем вторую основную теорему двойственности для этой задачи:
И подставим в эти уравнения уже известную оптимальную производственную программу x 1 = 46; x 2 = 30; x 3 = 0; x 4 = 0:
Первое из этих уравнений означает, что поскольку первый ресурс используется не полностью (при выполнении оптимальной производственной программы расходуется
12. единицы из 140), его двойственная оценка .
Итак,
Решив систему уравнений, получим окончательно, что
Теперь получим решение этой же задачи в пакете Microsoft Excel. Введем исходные данные в рабочий лист Microsoft Excel. Введем исходные данные (Рис.1.1):
Выдержка из текста
Иными словами, при второй игрок будет выбирать свою вторую стратегию и первый игрок будет выигрывать , при второй игрок будет выбирать первую стратегию и первый игрок будет выигрывать . Наилучший для первого игрока выбор при этом соответствует . В нашем случае оптимальной смешанной стратегией первого игрока является стратегия:
(она определяется из условия ), при этом цена игры равна
.
Отметим, что второй игрок, действуя разумно, никогда не будет выбирать третью и четвертую стратегии, поэтому вектор оптимальной смешанной стратегии второго игрока имеет вид:
.
Тогда выигрыш второго игрока равен , если первый игрок выбирает свою первую стратегию, и , если первый игрок выбирает свою вторую стратегию. Значение определяется из условия
, оно равно .
Итак, оптимальная смешанная стратегия второго игрока равна:
.
Найдем оптимальные смешанные стратегии с помощью сведения матричной игры к паре взаимно двойственных задач линейного программирования.
От платежной матрицы П путем добавления положительного числа перейдем к матрице :
все элементы которой положительны.
Пара двойственных задач линейного программирования будет такой:
Оптимальные решения этих задач равны:
и
Оптимальные смешанные стратегии игроков
и
а цена игры
15.Биматричная игра. Каждое из двух конкурирующих предприятий имеет по две стратегии рыночного поведения. Прибыли предприятий (в млн. руб.) при условии, что первое предприятие изберет стратегию i(i = 1, 2), а второе предприятие стратегию j (j = 1, 2), равны соответственно aij и bij. Платежные матрицы П(1) =(aij) и П(2) =(bij):
Требуется найти максиминные стратегии предприятий и равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
Решение
Смешанные стратегии предприятий можно представить в виде:
(здесь ).
При этом, математические ожидания предприятий равны соответственно:
Максиминные стратегии предприятий определяются из условий:
Таким образом, максиминные стратегии первого и второго предприятий равны соответственно:
Множество всех возможных пар выигрышей предприятий четырехугольником АBСD (рис.15.1)
Рис.15.1
Очевидно, множество Парето, как и переговорное множество соответствует отрезку ВС.
Прямая, проходящая через точки В(2;1) и С(1;
8. задается уравнением
,
поэтому функция Нэша
на отрезке достигает максимума в точке . При этом . Эта точка на рисунке 15.1 обозначена .
Точка является выпуклой комбинацией точек В(2;1) и С(1;8), то есть
откуда .
Точка G означает, что первое предприятие выбирает свою первую чистую стратегию, а второе с вероятностью -первую, и с вероятностью — вторую чистую стратегию.
Таким образом, максиминные стратегии первого и второго предприятий, равновесные по Нэшу равны соответственно
При этом средний выигрыш первого предприятия равен , а второго —
16.Оптимальный портфель ценных бумаг. Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20%-ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственно r 1 и r 2, риски и, , а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен .
Решение
Введем данные в рабочий лист Micrisoft Excel (рис.16.1).
Пусть ячейки В 9 и В 10 соответствуют долям рисковых вложений , в ячейку В 8, соответствующую доле безрисковых вложений , введем формулу соответствующую разности всех вложений (единицы) и вложений в акции , в ячейку В
1. ведем формулу для ожидаемой эффективности портфеля МЕπ, а в ячейку В
1. введем формулу для дисперсии эффективности портфеля DЕπ. Учтем, что .
Рис.16.1
Воспользуемся инструментом «Поиск решения». Для этого выберем в меню «Сервис» пункт «Поиск решения», и в появившемся окне (рис.16.2) укажем, что мы хотим установить целевую ячейку $B$14(в которой рассчитывается дисперсия портфеля) равной минимальному значению, изменяя ячейки $В$10:$B$11 (в которых находятся доли рисковых составляющих портфеля), причем в задаче присутствует ограничение $В$13:$B$7.
