Содержание
Задача 1.
Для производства двух видов изделий A и B используется три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется a1 часов, оборудование второго типа — a2 часов, оборудование третьего типа — a3 часов. Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется b1 часов, оборудование типа – b2 часов, оборудование третьего типа – b3 часов. На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более, чем t1 часов, второго типа не более, чем t2 часов, третьего типа не более, чем t3 часов. Прибыль от реализации готового изделия А составляет α денежных единиц, а изделия В-β денежных единиц. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу симплексным методом путем преобразования симплекс-таблиц. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого ее формулировку с ограничениями-неравенствами.
a1a2a3b1b2b3t1t2t3αβ
31532160328023
Задача 2.
Имеются три пункта отправления А1, А2, А3 однородного груза и пять пунктов В1, В2, В3, В4, В5 его назначения. На пунктах А1, А2, А3 груз находится в количестве а1, а2, а3 тонн соответственно. В пункты В1, В2, В3, В4, В5 требуется доставить соответственно b1, b2, b3, b4, b5 тонн груза. Расстояние в сотнях километров между пунктами отправления и назначения приведены в матрице D:
Пункты отправленияПункты назначения
В1В2В3В4В5
А1d11d12d13d14d15
А2d21d22d23d24d25
А3d31d32d33d34d35
Найти такой план перевозок, при котором общие затраты на перевозку грузов будут минимальными.
Указания: 1) считать стоимость перевозок пропорциональной количеству груза и расстоянию, на которое груз перевозится, т.е. для решения задачи достаточно минимизировать общий объем плана, выраженный в тонно-километрах; 2) для решения задачи использовать методы северо-западного угла и потенциалов.
а1=60, а2=40, а3=80, b1=10, b2=50, b3=60, b4=50, b5=10,
2 3 3 1 7
D=5 7 5 8 6
6 6 5 6 4
Задача 3.
Дана задача выпуклого программирования. Требуется:
1)Найти решение графическим методом,
2)Написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.
(x1-7)2+(x2-1)2 → min,
7×1+4×2
5×1-x2>=-4
x1-2×2
x1>=0,x2>=0
Задача 4.
Для двух предприятий выделено а единиц средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если известно, что доход от x единиц средств, вложенных в первое предприятие, равен ƒ1(х), а доход от y единиц средств, вложенных во второе предприятие, равен ƒ2(y). Остаток средств к концу года составляет g1(x) для первого предприятия и g2(y) для второго предприятия. Задачу решить методом динамического программирования.
аƒ1g1ƒ2g2
7004х0,3х3у0,5у
Задача 5.
В мастерской по ремонту холодильников работает n мастеров. В среднем в течение дня поступает в ремонт λ холодильников. Поток заявок пуассоновский. Время ремонта подчиняется экспоненциальному закону распределения вероятностей, в среднем в течение дня при семичасовом рабочем дне каждый из мастеров ремонтирует μ холодильников. Требуется определить: 1) вероятность того, что все мастера свободны от ремонта холодильников, 2) вероятность того, что все мастера заняты ремонтом, 3) среднее время ремонта одного холодильника, 4) в среднем время ожидания начала ремонта для каждого холодильника, 5) среднюю длину очереди, которая определяет необходимое место для хранения холодильника, требующего ремонта, 6) среднее число мастеров, свободных от работы.
n=5, λ=14, μ=2.
Задача 6.
Магазин получает овощи из теплиц. Автомобили с грузом прибывают с интенсивностью λ машин в день. Подсобные помещения позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный m автомобилями. В магазине работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течении обсл. часов. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 часов. Определить емкость подсобных помещений при заданной вероятности Р* обсл. полной обработки товаров.
λ=8, m=2, n=3, обсл.=4, Р* обсл.=0,97.
Задача 7.
Рабочий обслуживает m станков. Поток требований на обслуживание пуассоновский с параметром λ станков в час. Время обслуживания одного станка подчинено экспоненциальному закону. Среднее время обслуживания одного станка равна μ минут. Определить: 1) среднее число станков, ожидающих обслуживания, 2) коэффициент простоя станка, 3) коэффициент простоя рабочего.
n=1, m=3, λ=2, μ=8.
Задача 8.
Швейное предприятие реализует свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует а костюмов и b платьев, а при прохладной погоде – c костюмов и d платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны α0 рублям, а платья – β0 рублям, цена реализации соответственно равна α1 рублей и β1 рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия.
а=200, b=1400, c=600, d=500, α0=32, β0=12, α1=55, β1=22.
Выдержка из текста
Задача 1.
Для производства двух видов изделий A и B используется три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется a1 часов, оборудование второго типа — a2 часов, оборудование третьего типа — a3 часов. Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется b1 часов, оборудование типа – b2 часов, оборудование третьего типа – b3 часов. На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более, чем t1 часов, второго типа не более, чем t2 часов, третьего типа не более, чем t3 часов. Прибыль от реализации готового изделия А составляет α денежных единиц, а изделия В-β денежных единиц. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу симплексным методом путем преобразования симплекс-таблиц. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого ее формулировку с ограничениями-неравенствами.
a1a2a3b1b2b3t1t2t3αβ
31532160328023
Решение:
составим математическую модель задачи. Пусть — план производства изделий А и В, где единиц изделий А, а единиц изделий В. Тогда прибыль от реализации изделий: . Далее, согласно условиям задачи можно записать:
для оборудования первого типа: ,
для оборудования второго типа: ,
для оборудования третьего типа: ,
следовательно, математическая модель задачи в виде задачи линейного программирования имеет вид:
,
Решим полученную задачу симплекс методом. Для этого приведем задачу к каноническому виду: введем в неравенства ограничения дополнительные переменные следующим образом
Переменные целевой функции переносим влево и составим симплекс-таблицу:
Шаг 0: выписываем соответствующие коэффициенты при переменных в таблицу, из коэффициентов в строке целевой функции выбираем минимальный min(-2;-3)=-3, следовательно, на шаге 1 станет базисной переменной, определим какую переменную она заменит, для этого составляем отношения свободного члена к соответствующему коэффициенту при в каждой строке таблицы и выберем минимальное, т.е. .