Математическое моделирование и оптимизация химико-технологических систем: системный подход, методы расчета и программное обеспечение

Математическое моделирование химико-технологических систем (ХТС) является краеугольным камнем современного инженерного проектирования и управления. В условиях ужесточения экологических стандартов, повышения требований к эффективности и необходимости обработки многокомпонентного сырья, единственным инструментом, способным охватить всю сложность взаимодействия элементов системы, остается системный математический подход. Игнорирование этого факта неминуемо ведет к неоптимальным и ресурсоемким проектным решениям.

Химико-технологическая система (ХТС) — это, по определению классиков системного анализа в химии (В. В. Кафаров), совокупность взаимосвязанных элементов (технологических операторов), целенаправленно организованных для выполнения заданной технологической функции.

Цель работы состоит в глубоком анализе и систематизации теоретических основ, методологий и практических инструментов математического моделирования ХТС.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Раскрыть принципы системного подхода, представив ХТС в виде графовых и матричных структур.
2. Сравнить методологическую базу интегрального и декомпозиционного методов расчета ХТС.
3. Формализовать критерии и математические методы синтеза и оптимизации ХТС.
4. Детализировать математические модели типовых технологических операторов.
5. Провести прикладной анализ моделирования сложного процесса (термическое разложение) с учетом многофазности.
6. Осуществить сравнительный обзор ведущих коммерческих программных продуктов.

Структура работы последовательно раскрывает теоретические основы, переходя к методологическим аспектам, математическим инструментам оптимизации и, наконец, к прикладному моделированию и обзору программного обеспечения.

Теоретические основы системного подхода к описанию ХТС

Понятие ХТС и принципы системного анализа

Системный анализ, примененный к химической технологии, требует рассмотрения производства не как набора отдельных аппаратов, а как единого, взаимосвязанного организма, что позволяет выявить скрытые взаимозависимости и оптимизировать систему в целом.

Химико-технологическая система (ХТС) характеризуется структурой (набором связей), элементами (аппаратами) и целью (критерием эффективности).

Ключевым понятием здесь является технологический оператор (ТО) — математическая модель, описывающая преобразование входных потоков в выходные.

Функциональная зависимость, описывающая поведение любого ТО, имеет вид:

Y = F(X, P)

Где:

• X — вектор входных потоков и параметров (температура, давление, концентрации).
• Y — вектор выходных потоков и параметров.
• P — вектор конструкционных и режимных параметров самого оператора (например, объем реактора, коэффициент теплопередачи).

Таким образом, моделирование ХТС сводится к объединению математических моделей отдельных ТО в единую систему с учетом потоковых связей.

Графовое и матричное представление структуры ХТС

Чтобы приступить к математическому расчету ХТС, необходимо формализовать ее структуру. Наиболее наглядным и удобным для алгоритмизации способом является использование теории графов.

Потоковый граф ХТС является гомоморфным отображением системы, где вершины графа (узлы) соответствуют технологическим операторам (аппаратам), а дуги (ребра) — материальным или энергетическим потокам, связывающим эти операторы.

Для потоковых графов, описывающих установившийся режим ХТС, используются три типа графов: материальные, тепловые и параметрические.

Матричное представление позволяет перевести графическую информацию в форму, удобную для машинной обработки. Наиболее распространенными являются матрица смежности (связей) и цикломатическая матрица.

Цикломатическая матрица и анализ рециклов

Рециклы (циклические связи) являются одной из главных сложностей в расчете ХТС, поскольку они требуют итерационного решения. Для анализа циклических потоковых графов В. В. Кафаров ввел понятие цикломатической матрицы [C].

Цикломатическая матрица позволяет выделить базисный набор независимых циклов в системе. Этот набор критически важен, поскольку он определяет точки, где необходимо разорвать потоки для начала итерационного расчета (см. Декомпозиционный метод).

Общее представление цикломатической матрицы для графа с e дугами и p вершинами, имеющего ранг p и цикломатическое число c = e — p + 1, представляется в виде:

[C] = [E | F]

Где:

• [E] — единичная матрица порядка c × c, соответствующая базисным циклам.
• [F] — матрица порядка c × (e — c).

Физический смысл цикломатической матрицы: Каждый базисный цикл, выделенный с помощью этой матрицы, соответствует рециклирующему потоку, который необходимо «разорвать» и итерационно согласовать при использовании декомпозиционного метода расчета. Таким образом, эта матрица определяет минимальное число итерационных расчетов, необходимых для сходимости.

Сигнальный граф используется для графического представления системы линейных алгебраических уравнений, описывающих потоковые параметры:

Σj=1N aij xj = xi

Здесь переменные x_i и x_j — это потоковые параметры (например, температура или концентрация), а коэффициенты a_ij являются передаточными функциями (трансмиттансами), которые описывают, как изменяется параметр при прохождении от вершины j к вершине i.

Методологии расчета химико-технологических систем

Расчет ХТС, то есть нахождение значений всех выходных параметров системы при заданных входных, сводится к решению крупной системы уравнений. В зависимости от структуры ХТС и вычислительных ресурсов используются два принципиально разных метода: интегральный и декомпозиционный.

Интегральный метод расчета

Сущность метода: Интегральный метод (или метод одновременного решения) заключается в объединении всех математических уравнений, описывающих каждый отдельный технологический оператор и их связи, в одну общую, глобальную систему уравнений. Эта система, как правило, является нелинейной и алгебраической.

Общая система:

          F₁(X) = 0
          F₂(X) = 0
                . . .
          F_N(X) = 0

Где X — вектор всех неизвестных параметров системы.

Преимущества и применение: Интегральный метод наиболее эффективен при расчете ХТС произвольной сложности, особенно для систем с плотными и сложными рециклами. Он устраняет необходимость итерационного согласования потоков, поскольку все уравнения решаются совместно. Однако, он требует значительных вычислительных мощностей и сложного алгоритма для решения больших систем нелинейных уравнений. Не следует ли задуматься о том, насколько реалистично применить этот метод к моделированию целого крупного НПЗ с тысячами переменных?

Декомпозиционный (блочный) метод расчета

Сущность метода: Декомпозиционный метод (или блочный) рассматривает ХТС как последовательность отдельных, стыкующихся блоков (ТО). Расчет сводится к последовательному расчету этих блоков: выходные параметры одного блока становятся входными для следующего.

Алгоритм при наличии циклических связей:

Если в системе присутствуют рециклы (циклы), декомпозиционный расчет становится итерационным.

1. Разрыв цикла (Cut Stream): Выбирается один или несколько потоков, входящих в цикл (согласно цикломатической матрице), и виртуально «разрываются».
2. Задание начальных значений: Для разорванного потока задаются начальные (пусковые) значения параметров X⁽⁰⁾.
3. Последовательный расчет: Расчет блоков ведется последовательно, от начального к конечному.
4. Сравнение сходимости: Полученное значение потока X^(k+1) сравнивается с предыдущим X^(k). Если разница (погрешность) превышает заданный допуск (ε), итерация повторяется: X^(k+1) ≠ X^(k).
5. Сходимость: Расчет прекращается, когда достигается условие сходимости: Σ_i |X_i^(k+1) — X_i^(k)| ≤ ε.

Декомпозиционный метод требует использования координирующей программы (или итерационного алгоритма), которая управляет последовательностью расчетов блоков и выбирает оптимальный метод ускорения сходимости (например, метод Вегштейна). Именно возможность гибкого управления последовательностью итераций, а не только их устранение, делает этот метод незаменимым в случае ограниченных вычислительных ресурсов.

Синтез и Оптимизация ХТС: Математическая постановка задачи

Моделирование является лишь первым этапом. Конечная цель — улучшение системы, что достигается через синтез и оптимизацию.

Синтез ХТС — это процесс создания оптимальной структуры (топологии), выбора аппаратурного оформления и режима работы системы.

Оптимизация ХТС — это определение таких значений управляющих переменных (технологических режимов и конструкционных параметров), которые обеспечивают экстремальное (наилучшее) значение выбранного критерия эффективности (КЭ).

Критерии эффективности и постановка задачи оптимизации

Выбор Критерия оптимальности (КЭ) является решающим шагом. КЭ должен обладать свойствами единственности (нельзя оптимизировать по двум противоречащим критериям одновременно) и числовой выразимости.

Тип Критерия	Примеры КЭ	Математическая цель
Экономический	Прибыль, Рентабельность, Приведённый доход	Максимизация
Технологический	Селективность, Выход продукта, Чистота продукта	Максимизация
Ресурсный	Себестоимость, Расход энергии, Капитальные затраты	Минимизация

Математическая задача оптимизации формулируется как задача Нелинейного Программирования (НЛП).

Общая постановка задачи НЛП:

Найти вектор управляющих переменных X = (x₁, x₂, . . . , x_n), который минимизирует (или максимизирует) целевую функцию F(X) при наложенных ограничениях:

Минимизировать/Максимизировать F(X)

При ограничениях:

Ограничения-равенства: fi(X) = 0, i = 1, . . . , m1

Ограничения-неравенства: gj(X) ≤ 0, j = 1, . . . , m2

В химической технологии ограничения f_i(X) = 0 часто представляют собой уравнения материального и энергетического балансов, а g_j(X) ≤ 0 — технологические ограничения (например, максимальное давление, минимальная чистота).

Градиентные методы решения задач НЛП

Для решения задач оптимизации, где целевая функция F(X) и ограничения нелинейны, используются градиентные методы. Они основаны на поиске направления наискорейшего изменения функции.

Принцип градиентных методов: Движение к экстремуму происходит последовательными шагами в направлении, определяемом градиентом целевой функции. Градиент ∇F(X) указывает направление самого быстрого возрастания функции.

Метод наискорейшего спуска (Method of Steepest Descent)

Метод наискорейшего спуска (для задачи минимизации) использует движение в направлении, противоположном градиенту (антиградиенту), так как это гарантирует максимальное снижение целевой функции на малом шаге.

Рекуррентное соотношение:

Xk+1 = Xk - λk ∇F(Xk)

Где:

• X_k — вектор переменных на k-й итерации.
• X_k+1 — вектор переменных на следующей итерации.
• ∇F(X_k) — вектор градиента целевой функции в точке X_k.
• λ_k — оптимальная длина шага, выбираемая из условия одномерной оптимизации (минимума) вдоль направления антиградиента.

Физическое обоснование: Метод обеспечивает максимально быстрое движение к локальному минимуму, используя информацию о «крутизне» поверхности целевой функции. В инженерной практике это означает быстрый поиск оптимальных режимов работы, даже при наличии многих переменных, что дает колоссальную экономию времени при настройке процесса.

Математическое моделирование типовых технологических операторов

Математическая модель каждого технологического оператора (ТО) представляет собой систему уравнений, описывающих физические, химические и гидродинамические процессы, происходящие внутри аппарата.

Модели материального и энергетического баланса

Эти модели являются основой любой модели ТО и базируются на законах сохранения массы и энергии.

Общий вид уравнения баланса (для нестационарного режима):

Σi Mвх, i - Σj Mвых, j ± R = dM/dτ

Где:

• M_{вх, i} и M_{вых, j} — скорости поступления/ухода массы или энергии с потоками.
• R — скорость генерации или потребления массы/энергии за счет внутренних процессов (например, химических реакций, тепловыделения).
• dM/dτ — скорость накопления массы/энергии в контрольном объеме (для стационарного режима dM/dτ = 0).

Для многокомпонентных систем уравнение материального баланса записывается для каждого компонента.

Кинетические и гидродинамические модели

Кинетические модели описывают скорость химических превращений. Константа скорости k обычно зависит от температуры (уравнение Аррениуса), а сама скорость — от концентраций реагентов.

Уравнение скорости реакции:

rc = - 1 / (V νA) dNA / dτ = k · f(CA, CB, . . .)

Где r_c — скорость реакции, V — объем, ν_A — стехиометрический коэффициент, N_A — количество вещества А.

Гидродинамические модели описывают структуру потоков внутри аппарата. В промышленных расчетах часто используются упрощенные модели:

1. Модель идеального вытеснения (ИВ): Среда движется как поршень, без продольного перемешивания. Используется для трубчатых реакторов.
2. Модель идеального смешения (ИС): Среда мгновенно и полностью перемешивается по всему объему. Используется для аппаратов с мешалками.

Для более точного описания сложного течения (одно- и многофазного) используется уравнение неразрывности (закон сохранения массы в дифференциальной форме):

∂ρ/∂t + div(ρ u) = 0

Где:

• ρ — плотность среды.
• t — время.
• u — вектор скорости среды.

В декартовых координатах div(ρ u) = ∂(ρ u_x)/∂x + ∂(ρ u_y)/∂y + ∂(ρ u_z)/∂z. Это уравнение является ключевым для вычислительной гидродинамики (CFD), которая применяется для точного моделирования распределения потоков и температуры в сложных аппаратах. Без строгого учета гидродинамики, тепло- и массообменные процессы в аппарате будут описаны неверно, что приведет к ошибкам в масштабировании.

Прикладной анализ: Моделирование процесса термического разложения (Пиролиз)

Термическое разложение (пиролиз) представляет собой сложный многокомпонентный и многофазный процесс, требующий интеграции моделей кинетики, теплообмена и гидродинамики. Для примера рассмотрим модель термического разложения в аппарате, где присутствуют твердая, жидкая и газовая фазы.

Термодинамический и кинетический аспекты

Термодинамика: Термодинамическая возможность протекания реакции термического разложения определяется изменением свободной энергии Гиббса (ΔG). Реакция термодинамически вероятна, если ΔG < 0. Повышение температуры, как правило, способствует разложению, поскольку энтропийный член (T ΔS) становится доминирующим.

Связь между стандартным изменением свободной энергии Гиббса (ΔG°) и константой равновесия (K_p) выражается формулой:

ΔG° = -RT ln Kp

Где R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура.

Кинетика: Пиролиз углеводородов часто описывается сложными радикально-цепными механизмами. Однако для инженерных расчетов часто используется модифицированное кинетическое уравнение первого порядка, учитывающее торможение продуктами разложения (например, коксом, смолами), которые адсорбируются на поверхности или влияют на механизм реакции:

ln (a / (a - x)) = (k - β) τ

Где:

• a — начальная концентрация сырья.
• x — доля превращенного сырья.
• τ — время.
• k — константа скорости реакции.
• β — постоянная, характеризующая эффект торможения продуктами.

Учет многофазности и многокомпонентности

Моделирование процесса термического разложения в аппарате (например, в барабанной вращающейся печи), где одновременно присутствуют твердое сырье, жидкие промежуточные продукты и газообразные продукты, требует создания системы уравнений для каждой фазы и компонента.

Для учета многофазности в модель необходимо включить:

1. Уравнения теплопереноса: Отдельные уравнения теплового баланса для каждой фазы (твердая, газ), учитывающие теплообмен между фазами и теплообмен с окружающей средой или стенками аппарата.
2. Уравнения массопереноса: Уравнения массового баланса для каждого компонента в каждой фазе, учитывающие межфазные переходы (испарение, конденсация, сублимация) и химические превращения.
3. Гидродинамика многофазных потоков: В случае сложных аппаратов (например, вращающаяся печь) необходимо численно решать систему уравнений, описывающих движение твердых частиц и газового потока, что влияет на коэффициенты тепло- и массопереноса.

Таким образом, полная модель термического разложения представляет собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных (для нестационарного режима), которые описывают распределение концентраций и температур по объему аппарата. Успешное построение такой модели позволяет предсказывать выход целевых продуктов и минимизировать образование нежелательных побочных продуктов, таких как кокс.

Обзор и сравнительный анализ коммерческих программных продуктов для моделирования ХТС

Современное моделирование ХТС невозможно без использования специализированных программных комплексов. Выбор ПО определяется сложностью моделируемого процесса, требуемой точностью и доступностью термодинамических данных.

Aspen Plus и Design II for Windows

Параметр сравнения	Aspen Plus (AspenTech)	Design II for Windows (WinSim Inc.)
Лидерство и адаптация	Лидер рынка, универсален. Используется в 15+ сегментах, включая нетрадиционное сырье и твердые вещества.	Ориентирован в основном на газонефтепереработку и нефтехимию.
База данных	Самая обширная и мощная база данных, включая модели для электролитических, полимерных и твердых систем.	Более 900 компонентов. Достаточная, но более узкоспециализированная база.
Термодинамические методы	Широкий выбор методов для неидеальных систем, включая собственные продвинутые модели.	Поддерживает более 50 методов термодинамических расчетов.
Возможности моделирования	Стационарное и динамическое моделирование, проектирование, оптимизация, анализ чувствительности.	Полные расчеты теплового и материального балансов для стационарных режимов.
Вычислительная эффективность	Высокая, но требует больше ресурсов из-за сложности моделей.	Высокая скорость расчета в своей нише (НПЗ).

Вывод: Aspen Plus является универсальным стандартом для комплексного моделирования, особенно при работе со сложными, неидеальными или твердофазными системами. Design II — мощный и эффективный инструмент для инженеров-нефтепереработчиков.

ProSimPlus и PRO/II (AVEVA)

Параметр сравнения	ProSimPlus (ProSim)	PRO/II (AVEVA Simulation)
Специализация	Моделирование установившихся (стационарных) непрерывных процессов, включая фармацевтику.	Широко используется в нефтепереработке и нефтехимии, известен своей надежностью.
Модули и операции	Более 70 специализированных операций, включая аппараты для твердых веществ и многоступенчатые колонны.	Широкий набор модулей, особенно силен в моделировании реакционных и разделительных процессов.
Уникальные особенности	Использует собственную термодинамическую модель Simulis® Thermodynamics. Хорош для сложных жидкостных смесей.	Известен своей точностью, основанной на промышленных опытных данных. Поддерживает интеграцию с OLI Systems для строгих расчетов электролитических систем.
Вычислительная эффективность	Хорошая, часто используется для оптимизации стационарных режимов.	Высокая, применяется для выполнения строгих расчетов материального и теплового балансов.

Вывод: PRO/II является сильным конкурентом Aspen Plus в области нефтехимии и нефтепереработки, особенно благодаря интеграции с внешними специализированными моделями. ProSimPlus — гибкое решение средней сложности, подходящее для инженеров, которым нужен набор специализированных модулей для стационарных процессов.

Заключение

Проведенный анализ подтверждает, что математическое моделирование и оптимизация ХТС являются неотъемлемой частью современной химической инженерии, обеспечивая переход от эмпирического проектирования к научно обоснованному синтезу систем.

Ключевые выводы работы:

1. Системный подход и формализация: Математический расчет ХТС начинается с формализации ее структуры. Было показано, что потоковые графы и, в особенности, цикломатическая матрица [C] являются ключевыми инструментами для выделения базисных циклов и определения минимального числа итерационных разрывов, необходимых для расчета рециклических систем.
2. Методы расчета: Интегральный метод предпочтителен для высокосвязных, сложных структур, требуя мощных численных решателей, тогда как декомпозиционный метод, несмотря на необходимость итераций при наличии рециклов, более гибок и прост в реализации, управляемый координирующей программой.
3. Оптимизация: Задача оптимизации ХТС сводится к решению задачи нелинейного программирования (НЛП). Применение градиентных методов, таких как метод наискорейшего спуска, позволяет эффективно находить оптимальные значения технологических параметров X_k+1 = X_k — λ_k ∇F(X_k), обеспечивая экстремальное значение критерия эффективности.
4. Моделирование ТО: Основой любого технологического оператора служат уравнения материального и энергетического балансов, дополненные кинетическими и гидродинамическими моделями. Учет многофазности, как в примере термического разложения, требует интеграции уравнений тепло- и массопереноса с учетом межфазных переходов и модифицированной кинетики, учитывающей торможение продуктами.
5. Программное обеспечение: Обзор показал, что ведущие коммерческие симуляторы (Aspen Plus, Design II, PRO/II) обладают мощным функционалом. Выбор инструмента должен быть прагматичным: Aspen Plus для универсальных и сложных задач, PRO/II и Design II — для специализированных задач нефтепереработки и нефтехимии.

Перспективы развития математического моделирования ХТС связаны с интеграцией искусственного интеллекта для ускорения синтеза оптимальных структур, а также с развитием динамических моделей, способных предсказывать поведение систем в переходных режимах и при аварийных ситуациях. Дальнейшее углубление в эту область требует совершенствования численных методов для решения крупномасштабных систем уравнений, описывающих многофазные и многокомпонентные процессы.

Список использованной литературы

1. Кузичкин Н. В., Саутин С. Н., Пунин А. Е. и др. Методы и средства автоматизированного расчета химико-технологических систем. Ленинград: Химия, 1987. 152 с.
2. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация, управление / Под. ред. И. П. Мухленова. Ленинград: Химия, 1986. 424 с.
3. Общая химическая технология: Учебник для техн. вузов / А. М. Кутепов, Т. И. Бондарева, М. Г. Беренгартен. 2-е изд., испр. и доп. Москва: Высшая школа, 1990. 520 с.
4. Бояринов А. И., Кафаров В. В. Методы оптимизации в химической технологии. Москва: Химия, 1973. 564 с.
5. Кафаров В. В., Перов В. Л., Мешалкин В. П. Принципы математического моделирования химико-технологических систем. Москва: Химия, 1974. 344 с.
6. Кафаров В. В., Мешалкин В. П., Перов В. Л. Математические основы автоматизированного проектирования химических производств: Методология проектирования и теория разработки оптимальных технологических схем. Москва: Химия, 1979. 320 с.
7. Островский Г. М., Бережинский Т. А. Оптимизация химико-технологических процессов. Теория и практика. Москва: Химия, 1984. 240 с.
8. Амирова С. А., Островский С. В. Основы теоретического анализа химико-технологических процессов: Методические рекомендации, ч. I, II. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.
9. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: Пер. с англ. Москва: Радио и связь, 1988. 128 с.
10. Design-II для Window. Основные правила пользования программным обеспечением (на примере создания ХТС). Часть 1: Метод.указания / Сост.: Д. В. Саулин. Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 1998. 16 с.
11. Второй фронт ХТС. The Chemical Journal. Сентябрь 2002. С. 50–54.
12. Конспект лекций по курсу «Моделирование ХТП» ХТС ОПУ. Интернет издание. URL: http://opu.odessa.ua/konsp/MMXTP/ (дата обращения: 23.10.2025).
13. Информация на интернет-сайте фирмы WinSim Inc. URL: http://www.winsim.com (дата обращения: 23.10.2025).
14. Информация на интернет-сайте фирмы AspenTech Inc. URL: http://www.aspentech.com (дата обращения: 23.10.2025).
15. Математическое моделирование химико-технологических систем. URL: isuct.ru (дата обращения: 23.10.2025).
16. Лекция 8: пиролиз. URL: tpu.ru (дата обращения: 23.10.2025).
17. Математическая модель процесса термического разложения в барабанной вращающейся печи. URL: http://earchive.tpu.ru/handle/11683/678 (дата обращения: 23.10.2025).
18. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. URL: tpu.ru (дата обращения: 23.10.2025).
19. Complete List of Process Simulators. URL: simulatelive.com (дата обращения: 23.10.2025).
20. Selection of Steady-State Process Simulation Software. URL: osti.gov (дата обращения: 23.10.2025).
21. ProSimPlus от ProSim. URL: pronpz.ru (дата обращения: 23.10.2025).