Матричные игры и стохастические методы управления запасами: теоретический анализ и практическое применение

В условиях современной динамичной экономики, характеризующейся высокой степенью неопределенности и конкуренции, предприятия сталкиваются с необходимостью принятия сложных управленческих решений. Оптимизация бизнес-процессов, будь то разработка ценовой стратегии или управление логистическими цепочками, требует использования аналитических инструментов, способных моделировать сложные взаимодействия и прогнозировать исходы в условиях неполной информации. В этом контексте теория игр и стохастические методы управления запасами выступают как мощные методологические подходы, позволяющие не только понять логику принятия решений в конфликтных ситуациях, но и эффективно управлять ресурсами в условиях случайных колебаний.

Настоящая курсовая работа ставит своей целью осуществить глубокий теоретический анализ матричных игр, включая чистые и смешанные стратегии, а также стохастических методов управления запасами, и продемонстрировать их практическое применение для решения реальных экономических задач. Исследование будет сфокусировано на деконструкции ключевых концепций, математических моделей и алгоритмов, а также на выявлении взаимосвязей между этими дисциплинарными областями — теорией игр, исследованием операций и управлением запасами.

В рамках работы будут последовательно рассмотрены: основные понятия матричных игр, методы их решения в чистых и смешанных стратегиях, а также сведение игр к задачам линейного программирования. Далее будет проведен анализ стохастических моделей управления запасами, их отличий от детерминированных подходов, роли вероятности бездефицитной работы и критериев оптимальности. Отдельное внимание будет уделено классификации стохастических моделей, а также применению дихотомического выбора и марковских процессов принятия решений. В завершение будет проанализировано практическое применение рассмотренных теорий в различных секторах экономики, включая конкретные кейс-стади. Такая структура позволит не только обеспечить всестороннее понимание темы, но и подчеркнуть практическую значимость исследуемых методов для оптимизации бизнес-процессов в условиях неопределенности.

Теоретические основы матричных игр: чистые и смешанные стратегии

Мир экономики и бизнеса часто напоминает стратегическую игру, где каждое решение одного участника влияет на исход для другого, ведь именно такие конфликтные, но структурированные ситуации становятся полем для применения матричных игр — одного из фундаментальных разделов теории игр. Понимание их принципов позволяет не только предвидеть действия конкурентов, но и разработать оптимальные стратегии для достижения собственных целей.

Понятие матричной игры и ее основные элементы

В своей основе матричная игра представляет собой антагонистическую игру двух лиц с нулевой суммой. Это означает, что выигрыш одного игрока всегда равен проигрышу другого, и общая сумма выигрышей и проигрышей в любой ситуации равна нулю. В такой игре каждый из двух игроков располагает конечным набором «чистых» стратегий. Результат каждого возможного сочетания стратегий — выигрыш первого игрока за счет второго — фиксируется в специальной платежной матрице A = (a_ij).

Пусть первый игрок (игрок А) имеет m чистых стратегий A₁, A₂, …, A_m, а второй игрок (игрок В) имеет n чистых стратегий B₁, B₂, …, B_n. Если игрок А выбирает стратегию A_i, а игрок В — стратегию B_j, то выигрыш игрока А составит a_ij, а проигрыш игрока В — также a_ij. Игрок А стремится максимизировать свой выигрыш, в то время как игрок В стремится минимизировать этот выигрыш (или, что то же самое, минимизировать свой проигрыш).

Платежная матрица A размером m × n будет выглядеть следующим образом:

	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Каждый элемент a_ij в этой матрице — это выигрыш игрока А, если он выберет i-ю стратегию, а игрок В — j-ю стратегию.

Чистые стратегии и понятие седловой точки

Чистая стратегия — это однозначный выбор игроком определенного действия, применяемого с вероятностью, равной 1. Иными словами, игрок A просто выбирает одну из своих A_i стратегий, а игрок B — одну из B_j стратегий.

Для определения решения в чистых стратегиях вводятся понятия нижней и верхней цен игры:

• Нижняя чистая цена игры (максимин), обозначаемая α (или ν), — это наибольший из минимальных выигрышей, который игрок А может гарантировать себе, независимо от действий противника. Игрок А, будучи осторожным, рассматривает наихудший сценарий для каждой своей стратегии (то есть минимальный выигрыш в каждой строке платежной матрицы) и выбирает из этих минимумов максимальное значение.
  α = maxi {minj aij}
• Верхняя чистая цена игры (минимакс), обозначаемая β (или ˜ν), — это наименьший из максимальных проигрышей, который игрок В может понести. Игрок В, также стремясь минимизировать свои потери, рассматривает максимальный выигрыш игрока А для каждой своей стратегии (то есть максимальный элемент в каждом столбце) и выбирает из этих максимумов минимальное значение.
  β = minj {maxi aij}

Седловая точка в матричной игре — это особый элемент платежной матрицы a_ij, который является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Если такая точка существует, то пара соответствующих ей чистых стратегий (A_i, B_j) является оптимальным решением игры.

Игра имеет решение в чистых стратегиях тогда и только тогда, когда существует седловая точка, то есть когда нижняя чистая цена игры равна верхней чистой цене игры (α = β).

В этом случае общее значение α и β называется ценой игры (ν). Цена игры представляет собой ожидаемый выигрыш первого игрока (и, соответственно, проигрыш второго), если оба игрока придерживаются своих оптимальных чистых стратегий. При этом ни одному из игроков невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии, так как это приведет к ухудшению их результата.

Пример:
Рассмотрим платежную матрицу:

	B1	B2	B3	Mini
A1	2	5	1	1
A2	6	3	4	3
A3	7	8	9	7
Maxj	7	8	9

Здесь:
Минимумы по строкам: min(2,5,1) = 1; min(6,3,4) = 3; min(7,8,9) = 7. Следовательно, α = max(1,3,7) = 7.
Максимумы по столбцам: max(2,6,7) = 7; max(5,3,8) = 8; max(1,4,9) = 9. Следовательно, β = min(7,8,9) = 7.
Так как α = β = 7, игра имеет седловую точку (A₃, B₁) с ценой игры ν = 7. Это означает, что оптимальная чистая стратегия для игрока А — A₃, а для игрока В — B₁.

Смешанные стратегии и теорема Неймана

Если в игре отсутствует седловая точка (то есть α < β), это означает, что в чистых стратегиях оптимального решения нет. В такой ситуации игрокам выгодно менять свои стратегии случайным образом, чтобы противник не мог предсказать их действия. Это приводит к концепции смешанной стратегии.

Смешанная стратегия игрока — это вероятностное распределение на множестве его чистых стратегий. Для игрока А это вектор p = (p₁, p₂, …, p_m), где p_i — вероятность выбора чистой стратегии A_i, и ∑p_i = 1, p_i ≥ 0. Аналогично для игрока В это вектор q = (q₁, q₂, …, q_n), где q_j — вероятность выбора чистой стратегии B_j, и ∑q_j = 1, q_j ≥ 0.

Применение смешанных стратегий обусловлено стремлением игроков максимизировать свой ожидаемый выигрыш (для игрока А) или минимизировать ожидаемый проигрыш (для игрока В) в условиях неопределенности.
Фундаментальным результатом в этой области является теорема Неймана (Джона фон Неймана), которая утверждает, что каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, в смешанных стратегиях. Это гарантирует существование цены игры (ν) и оптимальных смешанных стратегий p* и q*, таких что α ≤ ν ≤ β. Оптимальная смешанная стратегия обеспечивает игроку выигрыш, равный цене игры, при многократном повторении игры, при условии, что противник также играет оптимально.

Графический метод решения игр 2xN и Mx2

Для матричных игр малых размерностей, в частности игр типа 2xN (две стратегии у одного игрока, N стратегий у другого) или Mx2, можно использовать графический метод для нахождения оптимальных смешанных стратегий. Этот метод позволяет визуализировать проблему и найти решение без сложных алгебраических расчетов.

Пусть, например, у игрока А есть две чистые стратегии (A₁, A₂), а у игрока В — N стратегий (B₁, …, B_N). Игрок А играет смешанную стратегию p = (p₁, p₂), где p₁ + p₂ = 1. Ожидаемый выигрыш игрока А против чистой стратегии B_j игрока В будет:
E(p, Bj) = a1jp1 + a2jp2 = a1jp1 + a2j(1 - p1).

Эти уравнения представляют собой прямые линии на графике, где по оси абсцисс откладывается p₁ (от 0 до 1), а по оси ординат — ожидаемый выигрыш. Цель игрока А — максимизировать свой гарантированный выигрыш, который будет определяться нижней огибающей этих прямых. Точка пересечения прямых, дающая максимальное значение на нижней огибающей, определяет оптимальную вероятность p₁* и соответствующую цену игры ν. Аналогичный подход применяется для игр Mx2.

Упрощение платежной матрицы: доминируемые стратегии

Перед тем как применять более сложные методы решения игр в смешанных стратегиях, целесообразно попытаться упростить платежную матрицу, если это возможно. Одним из эффективных способов такого упрощения является исключение доминируемых стратегий.

Доминируемая стратегия — это такая стратегия игрока, при которой существует другая стратегия (доминирующая), которая всегда приносит ему не меньший выигрыш (для игрока А) или не больший проигрыш (для игрока В) при любых действиях противника, а в некоторых случаях — строго больший выигрыш (для А) или строго меньший проигрыш (для В).

Иными словами, доминируемая стратегия является заведомо неоптимальной, поскольку игрок всегда может получить результат, который как минимум не хуже, а иногда и лучше, выбрав другую стратегию. Таким образом, рациональный игрок никогда не будет использовать доминируемую стратегию, и она может быть безболезненно исключена из рассмотрения, сокращая размерность платежной матрицы и упрощая поиск решения.

Пример исключения доминируемых стратегий:
Рассмотрим платежную матрицу для игрока А:

	B1	B2	B3
A1	5	2	8
A2	3	1	4
A3	6	4	7

Для игрока А:
Сравним A₁ и A₂:
A₁(5, 2, 8) vs A₂(3, 1, 4)
По всем столбцам элементы A₁ больше или равны элементам A₂ (5>3, 2>1, 8>4). Следовательно, стратегия A₁ доминирует A₂. Стратегия A₂ может быть исключена.

Матрица после исключения A₂:

	B1	B2	B3
A1	5	2	8
A3	6	4	7

Теперь для игрока В (он стремится минимизировать выигрыш игрока А):
Сравним B₁, B₂, B₃:
B₁(5, 6) vs B₂(2, 4) vs B₃(8, 7)
Сравним B₁ и B₃: B₁(5, 6) и B₃(8, 7). В каждом случае выигрыш А при B₁ меньше, чем при B₃. Следовательно, стратегия B₁ доминирует B₃ (для игрока В), или B₃ доминируется B₁. Стратегия B₃ может быть исключена.

Окончательно упрощенная матрица:

	B1	B2
A1	5	2
A3	6	4

Такое сокращение размерности позволяет либо решить игру графически, либо существенно упрощает применение методов линейного программирования для более сложных матриц.

Сведение матричных игр к задачам линейного программирования

Когда матричные игры становятся слишком большими для графического решения или не имеют седловой точки, на помощь приходит мощный математический аппарат – линейное программирование (ЛП). Эта связь между теорией игр и ЛП является одним из краеугольных камней исследования операций, позволяя находить оптимальные смешанные стратегии для игроков даже в самых сложных сценариях.

Необходимость и методика сведения к ЛП

Почему именно линейное программирование? Ответ кроется в сложности поиска оптимальных вероятностей для смешанных стратегий в играх размерности более 2×2. Графический метод ограничен двумя стратегиями у одного из игроков. Для игр 3×3, 4×4 и более высоких порядков ручной перебор или решение систем уравнений становится крайне трудоемким. ЛП предоставляет систематизированный, алгоритмический подход к этой проблеме.

При сведении матричной игры к задаче линейного программирования важно обеспечить положительность всех элементов платежной матрицы. Это требование возникает из математической формулировки задач ЛП, где цена игры (ν) должна быть строго больше нуля. Если в исходной матрице есть нулевые или отрицательные элементы, это может нарушить корректность преобразования. Чтобы обойти эту проблему, к каждому элементу платежной матрицы a_ij прибавляется некоторая достаточно большая положительная константа M. Новая платежная матрица A’ будет иметь элементы a’_ij = a_ij + M.

Как это влияет на цену игры, не изменяя оптимальных стратегий?
Добавление константы M к каждому элементу платежной матрицы означает, что каждый исход игры увеличивается на эту константу. Выигрыш первого игрока увеличивается на M, а проигрыш второго игрока также увеличивается на M. Это аффинное преобразование сдвигает шкалу выигрышей, но не меняет относительного предпочтения между стратегиями. Иными словами, если стратегия A_i была лучше A_k в исходной игре, она останется лучше и после добавления M. Следовательно, оптимальные стратегии игроков остаются неизменными, хотя цена игры изменится на величину M: ν’ = ν + M, где ν’ – цена игры после преобразования.

Предположим, что игроки A и B используют смешанные стратегии p = (p₁, …, p_m) и q = (q₁, …, q_n) соответственно. Ожидаемый выигрыш игрока A в исходной игре:
E(p, q) = ∑i ∑j pi qj aij

После добавления константы M:
E'(p, q) = ∑i ∑j pi qj (aij + M) = ∑i ∑j pi qj aij + M ∑i ∑j pi qj
Поскольку ∑_i p_i = 1 и ∑_j q_j = 1, то ∑_i ∑_j p_i q_j = 1 * 1 = 1.
Таким образом, E'(p, q) = E(p, q) + M.
Это показывает, что ожидаемый выигрыш увеличивается на M, а значит, и цена игры (оптимальный ожидаемый выигрыш) также увеличивается на M, но оптимальные вероятности p_i и q_j остаются прежними.

Формулировка двойственных задач линейного программирования

Сведение матричной игры к задаче ЛП происходит путем формулирования двух взаимосвязанных задач: одной для игрока А (стремящегося максимизировать выигрыш) и одной для игрока В (стремящегося минимизировать проигрыш). Эти задачи образуют пару двойственных задач линейного программирования.

1. Задача для первого игрока (игрок А, максимизирующий выигрыш):
Игрок А стремится максимизировать свой гарантированный ожидаемый выигрыш. Пусть ν — цена игры. Если игрок А играет оптимальную смешанную стратегию p = (p₁, …, p_m), то его ожидаемый выигрыш против любой чистой стратегии B_j игрока В должен быть не меньше ν.
Для удобства решения, вместо максимизации ν, мы минимизируем 1/ν. Пусть xi = pi/ν. Тогда сумма x_i будет 1/ν.
Задача формулируется так:

Минимизировать:
L = x1 + x2 + ... + xm (что эквивалентно минимизации 1/ν)

При ограничениях:
a1jx1 + a2jx2 + ... + amjxm ≥ 1 (для всех j = 1, …, n)
xi ≥ 0 (для всех i = 1, …, m)

Найдя оптимальные значения x_i, мы можем определить цену игры ν = 1 / (∑ xi) и оптимальные вероятности pi = ν * xi.

2. Задача для второго игрока (игрок В, минимизирующий проигрыш):
Игрок В стремится минимизировать свой гарантированный ожидаемый проигрыш. Если игрок В играет оптимальную смешанную стратегию q = (q₁, …, q_n), то ожидаемый выигрыш игрока А против смешанной стратегии В при игре любой чистой стратегии A_i должен быть не более ν.
Аналогично, вместо минимизации ν, мы максимизируем 1/ν. Пусть yj = qj/ν.
Задача формулируется так:

Максимизировать:
K = y1 + y2 + ... + yn (что эквивалентно максимизации 1/ν)

При ограничениях:
ai1y1 + ai2y2 + ... + ainyn ≤ 1 (для всех i = 1, …, m)
yj ≥ 0 (для всех j = 1, …, n)

Найдя оптимальные значения y_j, мы можем определить цену игры ν = 1 / (∑ yj) и оптимальные вероятности qj = ν * yj.

Важно отметить, что эти две задачи являются двойственными по отношению друг к другу. Задача игрока А (минимизация ∑x_i) является прямой задачей, а задача игрока В (максимизация ∑y_j) — двойственной, или наоборот.

Решение с использованием симплекс-метода и теорема о двойственности

Для решения сформулированных задач линейного программирования обычно применяется симплекс-метод. Это итерационный алгоритм, который систематически перебирает вершины области допустимых решений, каждый раз улучшая значение целевой функции, пока не будет найдено оптимальное решение.

Теорема о сильной двойственности (или основная теорема двойственности в линейном программировании) играет ключевую роль в этом процессе. Она гласит:

Если одна из двойственных задач (прямая или двойственная) имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, и их оптимальные значения целевых функций совпадают.

Это означает, что если мы решаем задачу для игрока А и находим ее оптимальное значение L*, то это значение будет равно оптимальному значению K* для задачи игрока В. Более того, L* = K* = 1/ν. Таким образом, решив одну из задач с помощью симплекс-метода, мы автоматически получаем информацию, необходимую для определения оптимальных смешанных стратегий для обоих игроков и цены игры.

Таблица 1: Сведение матричной игры к задачам ЛП

Аспект	Задача для Игрока А (Максимизатор)	Задача для Игрока В (Минимизатор)
Цель	Минимизировать 1/ν (или максимизировать ν)	Максимизировать 1/ν (или минимизировать ν)
Целевая функция	min ∑i xi	max ∑j yj
Переменные	xi = pi/ν	yj = qj/ν
Ограничения	∑i aijxi ≥ 1 (для каждого j) xi ≥ 0	∑j aijyj ≤ 1 (для каждого i) yj ≥ 0
Связь с ценой игры	ν = 1 / (min ∑i xi)	ν = 1 / (max ∑j yj)
Оптимальные стратегии	pi = ν * xi	qj = ν * yj
Тип задачи	Прямая	Двойственная

Практическое применение симплекс-метода, будь то ручные вычисления для небольших матриц или специализированное программное обеспечение для больших, позволяет получить точное и обоснованное решение матричной игры, предоставляя игрокам оптимальные вероятности, с которыми им следует применять свои чистые стратегии, чтобы гарантировать себе наилучший результат в долгосрочной перспективе.

Стохастические методы управления запасами: специфика и критерии оптимальности

В отличие от предсказуемого мира детерминированных моделей, реальный бизнес живет в условиях постоянной неопределенности. Спрос колеблется, поставки задерживаются, а качество сырья может варьироваться. Именно для таких динамичных и непредсказуемых сценариев были разработаны стохастические (вероятностные) модели управления запасами. Они предлагают инструменты для навигации в этих турбулентных водах, позволяя принимать обоснованные решения, минимизировать риски и оптимизировать затраты.

Отличие стохастических моделей от детерминированных

Ключевое отличие стохастических моделей от их детерминированных аналогов заключается в их способности учитывать неопределенность и случайные факторы. В детерминированных моделях (например, классической модели EOQ) предполагается, что спрос, время выполнения заказа, затраты и другие параметры известны и постоянны. Мир в таких моделях статичен и предсказуем.

Однако в реальности такие идеальные условия встречаются крайне редко. Стохастические модели признают, что:

• Спрос на продукцию является случайной величиной, которая может изменяться день ото дня, неделю от недели.
• Время доставки от поставщика может варьироваться из-за транспортных задержек, таможенных процедур или производственных проблем.
• Качество и доступность поставок могут быть подвержены случайным колебаниям.

Как следствие, стохастические модели допускают возможность возникновения дефицита ресурса на складе с некоторой вероятностью, в отличие от детерминированных моделей, где дефицит полностью исключен по умолчанию. Это допущение критически важно, так как позволяет более реалистично оценивать риски и затраты, связанные с управлением запасами. Вместо стремления к абсолютному отсутствию дефицита (что часто приводит к избыточным запасам и высоким затратам на хранение), стохастические подходы ищут оптимальный баланс между уровнем обслуживания клиентов и издержками.

Вероятность бездефицитной работы (P₀) и страховой запас

Одним из центральных понятий в стохастических моделях является вероятность бездефицитной работы (P₀), которую часто называют уровнем обслуживания. Этот параметр отражает долю периодов (или долю спроса), в течение которых система гарантированно может удовлетворить спрос без возникновения дефицита. P₀ обычно устанавливается на высоком уровне, например, от 0,90 до 0,99 (то есть 90% до 99%), что означает, что только 1-10% спроса может быть не удовлетворено немедленно.

Выбор значения P₀ — это стратегическое решение, которое напрямую влияет на размер страхового запаса. Страховой запас — это дополнительный объем запасов, который держится на складе сверх ожидаемого потребления для защиты от непредвиденных колебаний спроса или задержек поставок. Чем выше желаемый уровень обслуживания (P₀), тем больше страхового запаса потребуется для его обеспечения, поскольку нужно «покрыть» более редкие и экстремальные пики спроса или длительные задержки.

Размер страхового запаса определяется несколькими ключевыми факторами:

1. Желаемый уровень обслуживания (P₀): Как уже сказано, это главный фактор.
2. Степень неопределенности спроса: Если спрос сильно колеблется (высокая дисперсия), требуется больший страховой запас. Если спрос более стабилен, страховой запас может быть меньше. Интенсивность потребления ресурсов (спрос) рассматривается как случайная величина, распределение которой может быть описано статистическим законом (например, нормальным или пуассоновским).
3. Степень неопределенности времени выполнения заказа (lead time): Если время доставки сильно варьируется, это также увеличивает потребность в страховом запасе.
4. Допустимый риск возникновения дефицита: Этот риск обратно пропорционален P₀. Высокий риск дефицита может привести к потере продаж, неудовлетворенности клиентов и штрафам, поэтому компании часто предпочитают инвестировать в больший страховой запас.
5. Стоимость хранения запасов и стоимость дефицита: Эти экономические параметры играют важную роль при расчете оптимального размера страхового запаса, балансируя между риском потерь от дефицита и затратами на хранение избыточных запасов.

Формула для расчета страхового запаса часто включает коэффициент z (стандартное отклонение), соответствующий желаемому уровню обслуживания P₀, и стандартное отклонение спроса за период выполнения заказа:

S = z × σL

где S — страховой запас, z — коэффициент из стандартного нормального распределения, соответствующий P₀, а σL — стандартное отклонение спроса за время выполнения заказа (L).

Таким образом, стохастические модели, благодаря введению P₀ и концепции страхового запаса, обеспечивают более гибкий и реалистичный подход к управлению запасами, позволяя предприятиям эффективно справляться с неопределенностью.

Критерии выбора оптимальной стратегии

Выбор оптимальной стратегии в стохастических моделях управления запасами не является тривиальной задачей. Он зависит от целей компании и специфики рынка. Различные критерии направлены на оценку эффективности и определение наиболее выгодной стратегии, которая либо максимизирует прибыль, либо минимизирует затраты, либо обеспечивает определенный уровень риска.

Основные критерии оптимальности включают:

1. Критерий минимальных затрат: Этот критерий является одним из наиболее распространенных. Он направлен на минимизацию общих издержек, связанных со всей системой управления запасами. Эти издержки включают:
   • Затраты на закупку (стоимость товара): Зависят от объема заказа.
   • Затраты на хранение: Включают стоимость складских помещений, страхования, амортизации, устаревания, порчи и замороженного капитала.
   • Затраты на управление заказом (транзакционные издержки): Связаны с оформлением, транспортировкой, приемом и размещением каждого заказа.
   • Потери от дефицита (штрафы за дефицит): Включают упущенную выгоду от продаж, неустойки, потерю лояльности клиентов, затраты на срочные поставки и репутационные потери.

   Оптимальная стратегия по этому критерию будет той, которая обеспечивает наименьшую суммарную стоимость всех этих компонент.

2. Критерий максимизации прибыли: Этот критерий более ориентирован на доходную часть бизнеса. Он направлен на получение максимальной прибыли от продажи запасов с учетом всех сопутствующих затрат. Это особенно актуально, когда цены на рынке переменчивы, или когда есть возможность получить выгоду от оптовых закупок или спекулятивных операций. Прибыль здесь рассчитывается как выручка от продаж минус общие затраты (включая закупку, хранение, дефицит).
3. Критерий минимального риска: Этот критерий фокусируется на стабильности и надежности системы. Он учитывает вероятность возникновения дефицита или избытка запасов и выбирает стратегию, которая обеспечивает наиболее стабильные результаты на основе статистического анализа данных. Например, компания может быть готова нести несколько более высокие затраты, чтобы минимизировать риск остановки производства из-за отсутствия сырья или потери ключевых клиентов из-за невыполненных заказов. Этот критерий часто выражается через максимальный допустимый уровень дефицита или минимальный желаемый уровень обслуживания (P₀).
4. Критерий учета времени: Этот критерий фокусируется на оперативности. Он направлен на быстрое удовлетворение спроса и минимизацию времени, необходимого для обработки заказов и поставок. Это особенно важно в условиях быстро меняющегося спроса, высокой конкуренции или для скоропортящейся продукции. Стратегии, оптимизирующие время, могут включать использование экспресс-доставки, поддержание более высоких уровней запасов для ключевых товаров или инвестирование в более быстрые производственные процессы.

Выбор конкретного критерия зависит от стратегических приоритетов компании. В современных условиях часто применяется многокритериальная оптимизация, которая пытается найти компромисс между различными целями, например, балансируя между минимальными затратами и высоким уровнем обслуживания клиентов. Стохастические модели, благодаря своему сложному математическому аппарату, включающему теорию вероятностей и математическую статистику, позволяют проводить такой глубокий анализ и принимать более взвешенные решения.

Классификация и методы стохастического управления запасами в условиях неопределенности

Стохастические модели управления запасами, в основе которых лежит признание случайного характера многих бизнес-процессов, представляют собой мощный инструментарий для поддержания баланса между доступностью товаров и затратами на их хранение. Их систематизация позволяет выбрать наиболее адекватный подход к конкретной ситуации неопределенности.

Модели с непрерывным обзором (системы (s, Q), (R, Q))

Модели с непрерывным обзором, также известные как системы с фиксированным размером заказа или точкой заказа, предполагают постоянный мониторинг уровня запасов. Это означает, что система отслеживает каждую единицу товара, которая поступает или покидает склад. Как только уровень запаса достигает или опускается ниже определенной точки перезаказа (r или s), автоматически размещается заказ на пополнение запасов. Размер этого заказа, как правило, является фиксированным и оптимальным объемом (Q), часто рассчитываемым по модифицированной формуле EOQ (экономичного размера заказа) с учетом стохастических факторов.

Наиболее распространенные обозначения для таких систем включают:

• (s, Q) система: Когда уровень запасов падает до или ниже точки s (reorder point), заказывается фиксированное количество Q.
• (R, Q) система: Аналогично, R здесь обозначает точку перезаказа.

Эти модели хорошо подходят для товаров с высокой стоимостью, критически важных компонентов или товаров с относительно стабильным, но случайным спросом, где постоянный контроль оправдывает затраты на мониторинг. Преимуществами являются высокая оперативность реакции на изменение спроса и меньший объем страхового запаса по сравнению с периодическими системами при том же уровне обслуживания, поскольку система заказывает по мере необходимости.

Модели с периодическим обзором (системы (R, S), (T, S))

В отличие от непрерывного обзора, модели с периодическим обзором (системы с фиксированным интервалом между заказами) подразумевают проверку уровня запасов через равные, заранее определенные промежутки времени (T). Заказ на пополнение размещается только в эти моменты обзора, независимо от текущего уровня запасов. Объем размещаемого заказа варьируется таким образом, чтобы довести текущий уровень запаса (включая ожидаемые поставки) до целевого максимального уровня (S).

Распространенные обозначения:

• (R, S) система: Через фиксированный интервал R (review period) размещается заказ, чтобы довести запас до уровня S (target stock level).
• (T, S) система: T здесь обозначает фиксированный интервал времени (time interval).

Эти модели обычно применяются для менее дорогостоящих товаров, позиций с большим объемом или когда мониторинг запасов в реальном времени непрактичен или слишком дорог. Например, розничные магазины могут проверять запасы и делать заказы раз в неделю или месяц. Недостатком является то, что, поскольку заказы делаются только в определенные моменты, может потребоваться больший страховой запас для покрытия потенциального дефицита между обзорами, а также во время выполнения заказа.

Таблица 2: Сравнение систем непрерывного и периодического обзора

Характеристика	Система с непрерывным обзором (s, Q)	Система с периодическим обзором (R, S)
Мониторинг запасов	Постоянный	Через фиксированные интервалы
Когда размещается заказ	Когда уровень запаса достигает точки перезаказа (s)	В заранее определенные моменты времени (R)
Объем заказа	Фиксированный (Q)	Переменный (доводит запас до S)
Точка принятия решения	Достижение уровня s	Фиксированный момент времени
Подходит для	Дорогих, критичных товаров, стабильный случайный спрос	Недорогих, объемных товаров, нечастый мониторинг
Страховой запас	Меньше, поскольку реакция оперативнее	Больше, для покрытия интервала между обзорами

Роль вероятностных распределений (нормальное, пуассоновское)

Для эффективной работы стохастических моделей крайне важно адекватно описать случайный характер спроса и времени выполнения заказа. Это достигается с помощью вероятностных распределений:

• Нормальное распределение: Часто используется, когда спрос или время выполнения заказа могут быть аппроксимированы колоколообразной кривой. Это распределение характеризуется средним значением (μ) и стандартным отклонением (σ). Применяется, когда данных достаточно много, и они показывают симметричное отклонение от среднего. Например, ежедневный спрос на популярный продукт в крупном супермаркете может быть приближен нормальным распределением.
• Пуассоновское распределение: Идеально подходит для описания редких событий за фиксированный интервал времени, или для спроса на товары, который носит спорадический характер (например, количество аварий на дороге за час, или спрос на специализированное оборудование). Оно характеризуется одним параметром — средней интенсивностью λ. Используется, когда количество событий за период невелико, и вероятность каждого события мала.

Выбор подходящего распределения основывается на историческом анализе данных. Правильное распределение позволяет точно рассчитать вероятность дефицита или избытка, а также определить оптимальный размер страхового запаса для достижения желаемого уровня обслуживания.

Оценка эффективности стохастических моделей

Эффективность стохастических моделей оценивается по нескольким параметрам, отражающим их способность улучшать управление запасами:

Преимущества:

• Снижение рисков дефицита и избытка: За счет учета неопределенности и поддержания адекватного страхового запаса, компании могут значительно сократить потери от дефицита (упущенные продажи, штрафы) и избытка (затраты на хранение, устаревание).
• Оптимизация затрат: Стохастические модели помогают найти оптимальный баланс между затратами на заказ, хранение и дефицит, что приводит к минимизации общих операционных расходов.
• Повышение уровня обслуживания клиентов: Поддержание оптимального страхового запаса позволяет обеспечить высокий процент выполнения заказов, что ведет к росту удовлетворенности клиентов и их лояльности.
• Более точное описание реальности: Эти модели лучше отражают сложные и динамичные условия реального мира, что позволяет принимать более обоснованные и адекватные решения.
• Повышение оборачиваемости товаров: Эффективное управление запасами способствует более быстрому движению товаров, снижая время их нахождения на складе.

Ограничения:

• Требования к данным: Стохастические модели требуют большого объема точных исторических данных для статистического анализа и построения вероятностных распределений. Недостаток или низкое качество данных может привести к некорректным результатам.
• Математическая сложность: Расчеты в стохастических моделях могут быть значительно сложнее, чем в детерминированных, требуя специализированных знаний и программного обеспечения.
• Чувствительность к изменениям: Модели могут быть чувствительны к внезапным и резким изменениям в паттернах спроса или поставок, которые выходят за рамки предполагаемых распределений.

Несмотря на эти ограничения, применение стохастических моделей является необходимым условием для эффективного управления запасами в большинстве современных экономических систем, где неопределенность является нормой, а не исключением.

Дихотомический выбор и марковские процессы принятия решений в стохастическом управлении запасами

Управление запасами в условиях неопределенности часто сопряжено с принятием решений, которые, несмотря на их кажущуюся сложность, сводятся к выбору между двумя альтернативами. Этот дихотомический выбор, наряду с использованием марковских процессов принятия решений (МППР), предоставляет мощный каркас для моделирования и оптимизации стратегий в стохастических системах.

Дихотомический выбор в контексте управления запасами

Дихотомический выбор в управлении запасами означает принятие решения между двумя взаимоисключающими альтернативами. Это может быть:

• Заказать товар или не заказывать? Это фундаментальное решение, которое регулярно стоит перед менеджером по закупкам.
• Выбрать транзитную схему снабжения или складскую? Транзитная доставка предполагает прямую поставку от поставщика к потребителю, складская — через склад. Каждая из них имеет свои преимущества и недостатки в плане затрат и скорости.
• Увеличить или сократить страховой запас? Решение, которое зависит от оценки рисков дефицита и затрат на хранение.

Эти «да/нет» решения, хотя и просты по форме, имеют глубокие последствия для всей цепи поставок. Они принимаются в условиях неопределенности спроса и поставок, что требует учета вероятностных сценариев. Например, решение о пополнении запасов может быть принято, если вероятность дефицита превышает определенный порог, или если ожидаемая прибыль от заказа перевешивает потенциальные издержки на хранение и риски нереализованного спроса. Дихотомический выбор, таким образом, является неотъемлемой частью стохастических стратегий, позволяя упростить процесс принятия решений до бинарной логики.

Основы марковских процессов принятия решений (МППР)

Марковские процессы принятия решений (МППР) представляют собой математический аппарат для моделирования последовательного принятия решений в динамических системах, где результаты действий частично случайны и частично зависят от управляющих воздействий. Они идеально подходят для стохастического управления запасами, поскольку позволяют учитывать изменения состояния системы с течением времени.

Основная идея МППР базируется на марковском свойстве, которое гласит: будущее состояние системы зависит только от ее текущего состояния и принятого в этом состоянии решения, а не от всей предшествующей истории. Это значительно упрощает моделирование, поскольку нет необходимости хранить и анализировать всю траекторию развития системы.

В контексте управления запасами, текущий уровень запасов на складе может быть определен как «состояние» системы. Например, состояние может быть «запасы на уровне 500 единиц», «запасы близки к нулю», «дефицит 100 единиц» и так далее. Действия, предпринимаемые управляющим, — это решения о пополнении запасов (например, «заказать 1000 единиц», «не заказывать») или другие управленческие воздействия. Переходы между состояниями (например, изменение уровня запасов после удовлетворения спроса или получения новой партии) описываются вероятностями.

Центральным элементом МППР является функция вознаграждения (или затрат), которая присваивает каждому состоянию и действию определенную ценность. В управлении запасами эта функция уравновешивает:

• Прибыль от продаж (положительное вознаграждение).
• Затраты на хранение запасов (отрицательное вознаграждение, или издержка).
• Издержки от дефицита (отрицательное вознаграждение, или штраф).

Цель МППР — найти оптимальную политику, то есть набор действий для каждого состояния, который максимизирует суммарное ожидаемое дисконтированное вознаграждение (или минимизирует суммарные ожидаемые затраты) на заданном горизонте планирования. МППР широко используются в управлении запасами для создания моделей, учитывающих случайные моменты поступления спроса, случайные объемы ремонтных работ или случайные времена выполнения заказов.

Динамическое программирование и SDDP для решения МППР

Решение задач, сформулированных в рамках МППР, часто требует использования методов динамического программирования. Динамическое программирование — это мощный метод оптимизации, который разбивает сложную многошаговую задачу на более простые подзадачи, находя оптимальное решение поэтапно. Основной принцип — принцип оптимальности Беллмана — утверждает, что оптимальная политика обладает тем свойством, что любое оптимальное решение для оставшихся шагов является оптимальным и для исходной задачи, независимо от принятых ранее решений. В контексте МППР, это означает, что оптимальное решение для текущего состояния зависит от оптимальных решений для будущих состояний.

Для решения динамических задач в условиях сильной неопределенности, особенно когда система имеет множество состояний и действий, применяется Стохастическое Двойственное Динамическое Программирование (SDDP). SDDP — это продвинутый метод, который сочетает принципы динамического программирования с методами декомпозиции и агрегирования. Он особенно эффективен для крупномасштабных многопериодных стохастических задач, таких как управление ресурсными запасами в энергетике или логистике, где решения принимаются последовательно во времени, а неопределенность накапливается.

SDDP работает путем итеративного построения аппроксимаций функции ценности (функции Беллмана) для каждого периода. На каждом шаге модель «прогоняется» вперед (forward pass) для генерации сценариев и принятия решений, а затем «прогоняется» назад (backward pass) для обновления аппроксимаций функций ценности с использованием линейных аппроксимаций (например, отсекающих плоскостей). Этот процесс продолжается до сходимости, когда разница между верхней и нижней оценками оптимального решения становится достаточно малой.

В управлении запасами SDDP позволяет:

• Оптимизировать решения о заказах и поставках на долгосрочном горизонте.
• Эффективно учитывать несколько источников неопределенности (спрос, время выполнения заказа, цены).
• Моделировать сложные ограничения (например, ограниченная емкость склада, бюджетные ограничения).

Таким образом, комбинация дихотомического выбора, марковских процессов и динамического программирования, в том числе такого продвинутого метода как SDDP, обеспечивает всесторонний подход к управлению запасами в стохастических условиях, позволяя компаниям принимать рациональные и эффективные решения, адаптируясь к изменчивой бизнес-среде.

Практическое применение матричных игр и стохастического управления запасами в экономике

Теоретические концепции матричных игр и стохастического управления запасами, хотя и кажутся абстрактными математическими моделями, находят широчайшее применение для решения реальных экономических задач и оптимизации бизнес-процессов. Эти два направления, хотя и моделируют разные аспекты деятельности (конфликтное взаимодействие и управление ресурсами в условиях неопределенности), в совокупности предоставляют мощный аналитический инструментарий для современного менеджера.

Применение матричных игр в анализе конкурентных стратегий

Матричные игры, будучи моделями конфликтного взаимодействия, являются незаменимым инструментом для анализа конкурентных стратегий фирм. В условиях олигополии или дуополии, когда решения одной компании напрямую влияют на прибыль другой, теория игр позволяет:

• Моделировать ценовую политику: Компании могут использовать матричные игры для определения оптимальной цены на свой продукт в зависимости от возможных ценовых стратегий конкурентов. Например, игра может показать, стоит ли снижать цену для захвата доли рынка, если конкурент может ответить тем же, или лучше поддерживать высокую цену, если это максимизирует общую прибыль.
• Разрабатывать маркетинговые кампании: При запуске нового продукта или рекламной акции фирма может смоделировать реакции конкурентов (например, запуск ответной кампании или сохранение текущей стратегии) и выбрать наиболее выигрышный подход.
• Определять инвестиционные решения: В условиях ограниченных ресурсов и конкуренции за рынки, матричные игры помогают оценить риски и выгоды инвестиций в новые технологии, расширение производства или выход на новые рынки, учитывая потенциальные ответные шаги конкурентов.
• Анализ торгов и аукционов: Теория игр позволяет участникам торгов формировать оптимальные стратегии ставок, прогнозируя поведение других участников и максимизируя свои шансы на выигрыш при минимальных затратах.
• Формирование стратегических альянсов и партнерств: В более сложных многосторонних играх компании могут анализировать потенциальные выгоды и риски от создания коалиций, прогнозируя, как это повлияет на рыночную структуру и прибыль.

Примером может служить игра двух авиакомпаний, конкурирующих на одном маршруте. Каждая компания может выбрать стратегию «высокие цены» или «низкие цены». Платежная матрица покажет долю рынка или прибыль для каждой компании при различных комбинациях их ценовых решений. Это позволяет компаниям принимать рациональные решения в условиях конкуренции, прогнозировать поведение оппонентов и разрабатывать оптимальные стратегии для достижения своих целей.

Оптимизация бизнес-процессов с помощью стохастических моделей

Стохастические модели управления запасами являются критически важным инструментом для оптимизации уровней запасов в различных отраслях. Их применение позволяет сбалансировать затраты, связанные с заказами, хранением и дефицитом, с желаемым уровнем обслуживания клиентов в условиях неопределенности спроса и сроков поставок.

• В розничной торговле и электронной коммерции: Стохастические модели помогают эффективно управлять широким ассортиментом товаров с непредсказуемым спросом. Они позволяют определить оптимальные точки перезаказа и размеры заказов для каждой позиции, обеспечивая наличие продукции на полках или в онлайн-каталогах при минимизации замороженных средств в запасах и предотвращении ситуаций out-of-stock. Это напрямую влияет на удовлетворенность клиентов и объем продаж.
• В производстве: Предприятия используют стохастические методы для управления запасами сырья, незавершенного производства (НЗП) и готовой продукции. Это особенно актуально, когда наблюдается изменчивость производственных процессов (например, сбои оборудования, колебания производительности) или поставок от поставщиков. Оптимизация запасов НЗП, например, позволяет избежать простоев на последующих этапах производства.
• В логистике и управлении цепями поставок: Стохастическое программирование применяется для оптимизации маршрутизации транспорта, производственного планирования и общего контроля запасов по всей цепи поставок. Учитываются вероятностные сценарии, такие как задержки на границах, поломки транспорта, изменения в региональном спросе, что позволяет строить более устойчивые и эффективные логистические схемы.

Кейс-стади: управление запасами в fashion-ритейле

Один из ярких примеров практического применения стохастических моделей — это управление запасами в fashion-ритейле. Эта отрасль характеризуется высокой степенью неопределенности:

• Непредсказуемость спроса: Модный спрос крайне изменчив, зависит от трендов, погоды, рекламных кампаний и даже от настроения покупателей.
• Короткий жизненный цикл продукта: Сезонные коллекции быстро устаревают, что делает ошибки в прогнозировании спроса очень дорогими.
• Высокие затраты на дефицит и избыток: Непроданные товары требуют уценки или утилизации, а нехватка популярных позиций ведет к потере продаж и лояльности клиентов.

В таких условиях использование детерминированных моделей неэффективно. Fashion-ритейлеры применяют стохастические модели, которые учитывают:

• Вероятностные распределения спроса: На основе исторических данных и экспертных оценок строятся распределения для спроса на каждую SKU (единицу хранения запасов) в каждой точке продаж.
• Уровень обслуживания (P₀): Компания устанавливает желаемый процент наличия товара, например, 95% для базовых позиций и 85% для ультрамодных, что влияет на расчет страхового запаса.
• Время выполнения заказа: Учитывается неопределенность сроков доставки от поставщиков.

Пример: Ритейлер запускает новую коллекцию платьев. Используя стохастическую модель, он может определить оптимальный объем первоначальной закупки и частоту пополнения для каждой модели. Если спрос на конкретное платье окажется выше ожидаемого, модель, учитывая заданный P₀ и вариативность спроса, поможет рассчитать, какой страховой запас необходим для минимизации риска дефицита до следующей поставки. Это позволяет снизить риски нереализованных остатков и упущенных продаж, обеспечивая баланс между наличием товара и затратами.

Динамическое управление стратегиями запасов в реальном времени

Современные подходы к управлению запасами идут еще дальше, интегрируя стохастические модели в системы динамического управления стратегиями в реальном времени. Это означает, что параметры управления (например, точки перезаказа, объемы заказа, размер страхового запаса) не являются статичными, а непрерывно корректируются на основе:

• Актуальных прогнозов спроса: Используются алгоритмы машинного обучения, которые анализируют огромные объемы данных (продажи, погода, акции конкурентов, новости) для построения более точных и оперативных прогнозов.
• Данных в реальном времени: Информация о текущих продажах, уровне запасов, статусе поставок, погодных условиях и даже активности в социальных сетях мгновенно поступает в систему и используется для перерасчета оптимальных параметров.
• Оценки рисков: Системы непрерывно оценивают риски возникновения дефицита или избытка, а также риски, связанные с изменением поставщиков или логистических каналов.

Такой подход позволяет не просто реагировать на изменения, но и проактивно адаптироваться к ним. Например, если прогноз погоды предвещает резкое похолодание, система может автоматически увеличить точку перезаказа для теплых курток, даже если текущие продажи еще не достигли критического уровня. Это позволяет достичь максимальной эффективности в управлении запасами, минимизируя затраты и повышая уровень обслуживания в условиях постоянно меняющейся бизнес-среды. Разве не это идеальный сценарий для достижения конкурентного преимущества?

Заключение

Исследование матричных игр и стохастических методов управления запасами, проведенное в рамках данной курсовой работы, продемонстрировало их фундаментальное значение и практическую применимость в современной экономике. Мы углубились в теоретические основы этих дисциплин, деконструировав ключевые концепции и методы, и подтвердили их незаменимую роль в принятии управленческих решений в условиях конкуренции и неопределенности.

Относительно матричных игр, мы раскрыли их сущность как антагонистических игр двух лиц с нулевой суммой, подробно рассмотрели понятия чистых и смешанных стратегий, а также условий существования седловой точки. Особое внимание было уделено детальному объяснению механизма доминируемых стратегий как инструмента упрощения платежной матрицы, а также методике сведения матричных игр к задачам линейного программирования. Мы показали, как аффинное преобразование платежной матрицы, обеспечивающее положительность ее элементов, позволяет корректно применить симплекс-метод для нахождения оптимальных смешанных стратегий и цены игры, подчеркнув при этом математическую элегантность теоремы о двойственности.

В части стохастических методов управления запасами, мы выявили их принципиальное отличие от детерминированных моделей, заключающееся в способности учитывать случайные факторы и вероятность дефицита. Были подробно проанализированы такие ключевые параметры, как вероятность бездефицитной работы (P₀) и страховой запас, а также факторы, влияющие на его размер, что является краеугольным камнем эффективного управления рисками. Мы систематизировали стохастические модели по типу обзора запасов (непрерывный и периодический), представили роль вероятностных распределений и оценили их эффективность. Кроме того, было рассмотрено применение дихотомического выбора и марковских процессов принятия решений (МППР) для моделирования динамичных систем управления запасами, с акцентом на роль динамического программирования и продвинутых методов, таких как Стохастическое Двойственное Динамическое Программирование (SDDP).

Практическая значимость этих методов была продемонстрирована на примерах применения матричных игр в анализе конкурентных стратегий и оптимизации бизнес-процессов с помощью стохастических моделей. Кейс-стади из fashion-ритейла ярко показал, как стохастические подходы помогают справиться с непредсказуемостью спроса и оптимизировать запасы сезонных коллекций. Обсуждение динамического управления стратегиями запасов в реальном времени подчеркнуло эволюцию этих методов и их интеграцию с современными аналитическими технологиями.

Таким образом, цель курсовой работы — провести глубокий теоретический анализ и продемонстрировать практическое применение матричных игр и стохастических методов управления запасами — была полностью достигнута. Представленные концепции и модели являются мощным инструментарием для студентов экономических, математических и инженерных специальностей, позволяя им не только понимать, но и активно формировать оптимальные решения в условиях постоянно меняющейся и конкурентной среды.

Перспективы дальнейших исследований в данной области включают разработку гибридных моделей, объединяющих элементы теории игр и стохастического управления запасами для решения задач в условиях, где конкуренция и неопределенность являются одновременно ключевыми факторами. Также актуальным является развитие адаптивных алгоритмов, способных к самообучению и корректировке стратегий в реальном времени на основе больших данных и искусственного интеллекта, что позволит еще более эффективно управлять сложными экономическими системами.

Список использованной литературы

1. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.
2. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Изд. МГУ, 1972.
3. Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 1999.
4. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1986.
5. Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. М.: Изд. МГУ, 1984.
6. Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. М.: ИЛ, 1961.
7. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М.: ГИФ-М литературы, 1960.
8. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 1986.
9. Мулен Э. Теория игр (с примерами из математической экономики). М.: Мир, 1985.
10. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.
11. Павловский Ю.Н. и др. Имитация конфликтов. М.: Изд. ВЦ РАН, 1993.
12. Франк Р.Х. Микроэкономика и поведение. М.: ИНФРО-М, 2000.
13. Шерер Ф.М., Росс Д. Структура отраслевых рынков. М.: ИНФРО-М, 1997.
14. Шикин Е.В. От игр к играм. Математическое введение. М.: Эдиториал УРРСС, 1998.
15. Динамические и стохастические задачи линейного программирования в логистике и управлении цепями поставок / Бочкарев А.А., Нос В.А. и др. // Экономика, предпринимательство и право. 2024. № 4.
16. Стохастические модели управления запасами с фиксированным временем задержки поставок. Исследование операций в экономике. Studme.org.
17. Теория игр: примеры и задачи. Skypro.
18. Игра на опережение: как теория игр помогает в бизнесе. Tproger.
19. Применение теории игр в экономических задачах.
20. Оптимизационный подход к стохастической задаче управления запасами. КиберЛенинка.
21. Пример решения матричной игры в чистых стратегиях.
22. Применение метода теории игр для решения экономических задач. Слива.
23. Как в IT и бизнесе применяют теорию игр. Habr.
24. Тема 7. Стохастические модели управления запасами. DiSpace.
25. Теория игр и исследование операций. Томский политехнический университет.
26. Управление запасами. Хабр.
27. Применение теории игр для оптимизации выпуска продукции. КиберЛенинка.
28. Матричные игры, их применение к решению оптимизационных задач.
29. Теория игр в планировании бизнеса. Альт-Инвест.
30. Применение матричных игр в экономике. Студенческий научный форум.
31. Матричные игры ООО «Перспектива». Эдиторум.
32. Стохастическая модель оптимального управления запасами. Neliti.
33. Стохастические модели управления запасами на предприятии. Repository BNTU.
34. Теория игр в управлении организационными системами.
35. УДК 658.5 Стохастические модели управления запасами на предприятии STOCHAS. CORE.
36. Кейс Жжук. Как улучшить показатели эффективности управления запасами в условиях непредсказуемого спроса. Forecast NOW!
37. Теория игр и её применение в жизни. Habr.
38. Задания по теории игр с примерами решения.
39. Сделки, в которые играют люди: как «Теория игр» помогает в бизнесе. Adesk.
40. Использование теории игр в практике управления. Корпоративный менеджмент.