Введение: Актуальность, цели и задачи исследования
В условиях нарастающей конкуренции и технологической сложности современного машиностроения, операционный менеджмент требует не интуитивных, а строго оптимизированных решений. Эффективность функционирования крупного машиностроительного предприятия напрямую зависит от качества управления ключевыми производственными процессами: от распределения ограниченных капиталовложений до составления точных календарных планов и своевременной замены дорогостоящего оборудования.
В этом контексте математическое моделирование, и в частности, методы исследования операций, приобретают критически важное значение. Динамическое программирование (ДП) является одним из наиболее мощных аналитических инструментов, позволяющих решать класс многошаговых задач, где решение, принятое на текущем этапе, необратимо влияет на всю последующую траекторию развития системы.
Объектом данного исследования выступают многошаговые процессы принятия решений в операционном и производственном менеджменте машиностроительного предприятия.
Предметом исследования являются теоретические основы и прикладные экономико-математические модели, основанные на методе динамического программирования.
Целью курсовой работы является изучение и систематизация теоретических основ и практического применения методов динамического программирования для решения ключевых оптимизационных задач операционного и производственного менеджмента (календарное планирование, распределение ресурсов, замена оборудования) в контексте машиностроительного предприятия.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- Раскрыть теоретическую базу и основные принципы ДП (Принцип Беллмана, условие отсутствия последействия).
- Формализовать и применить метод ДП для оптимизации распределения капиталовложений.
- Разработать алгоритмы ДП для решения задачи календарного планирования трудовых ресурсов и плановой замены производственного оборудования.
- Провести сравнительный анализ ДП с другими методами оптимизации и оценить экономические эффекты от его внедрения.
Теоретико-методологические основы динамического программирования
Принцип оптимальности Беллмана и условие отсутствия последействия
Динамическое программирование (ДП) представляет собой математический метод, разработанный Ричардом Беллманом в 1950-х годах, предназначенный для нахождения оптимальных решений многошаговых (многоэтапных) задач оптимизации. Суть ДП заключается в замене решения исходной многомерной задачи последовательностью задач меньшей размерности, что позволяет значительно упростить вычислительный процесс, а следовательно, обеспечивает практическую применимость метода даже для сложных систем.
Ключевым положением, определяющим область применимости ДП, является Принцип оптимальности Беллмана:
Оптимальное поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и первое решение, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения.
Иными словами, если мы хотим найти оптимальный путь от начальной точки до конечной, то любой отрезок этого пути сам по себе должен быть оптимальным путем между своими начальной и конечной точками. Это свойство называется оптимальной подструктурой.
Применение Принципа Беллмана становится возможным только при соблюдении важного методологического требования — условия отсутствия последействия (или условия марковости процесса). Это условие строго определяет структуру многошагового процесса:
Отсутствие последействия означает, что состояние системы в начале очередного этапа зависит только от ее текущего состояния и выбранного управляющего воздействия, и не зависит от того, каким образом система пришла в предыдущее состояние.
Для машиностроительного предприятия, например, при решении задачи о замене оборудования, это означает, что эффективность станка в текущем году зависит только от его возраста и решения о ремонте/замене, но не от того, в каком году он был куплен или сколько раз ломался в прошлом. Это позволяет нам сосредоточиться исключительно на текущем состоянии для принятия наилучшего решения, не оглядываясь на историю.
Функциональные уравнения ДП и многошаговый процесс принятия решений
Метод ДП оперирует концепцией многошагового процесса принятия решений. Это процесс, в котором решение, принятое на каждом шаге (этапе), влияет на состояние системы и на возможности управления на последующих шагах. Эффект от управления в таких системах обычно оценивается аддитивной или мультипликативной целевой функцией.
Математическим аппаратом, реализующим Принцип оптимальности, являются функциональные уравнения ДП (или уравнения Беллмана). Эти уравнения являются рекуррентными и связывают оптимальное решение на текущем этапе с оптимальными решениями на всех последующих этапах.
Пусть \(N\) — количество этапов, \(x_k\) — состояние системы на \(k\)-м этапе, \(u_k\) — управление, выбранное на \(k\)-м этапе, а \(g_k(x_k, u_k)\) — выигрыш (доход или затраты) на этом этапе.
Целью является максимизация суммарного выигрыша:
$$Z = \sum_{k=1}^{N} g_k(x_k, u_k)$$
Функциональное уравнение Беллмана, определяющее максимальный выигрыш \(F_k(x_k)\) с \(k\)-го по \(N\)-й этап при начальном состоянии \(x_k\), имеет вид:
$$F_k(x_k) = \max_{u_k} \{ g_k(x_k, u_k) + F_{k+1}(x_{k+1}) \}$$
Где \(x_{k+1}\) — состояние системы на следующем этапе, которое определяется текущим состоянием \(x_k\) и выбранным управлением \(u_k\). Решение находится путем обратного прохода: сначала решается задача для последнего этапа, затем для предпоследнего, и так до первого. Это позволяет избежать перебора всех возможных комбинаций, что и делает ДП вычислительно эффективным.
Моделирование оптимизационных задач распределения ресурсов
Задача оптимального распределения капиталовложений на предприятии
Для машиностроительного предприятия, которое постоянно нуждается в модернизации, расширении производственных мощностей и внедрении новых технологий, критически важной задачей является оптимальное распределение ограниченного бюджета капиталовложений.
Задача оптимального распределения капиталовложений (средств) заключается в определении оптимального распределения ограниченного объема инвестиций (\(B\)) между \(N\) различными проектами, цехами или предприятиями для достижения максимального общего экономического дохода или прибыли.
Математическая модель:
Пусть \(N\) — количество предприятий (объектов вложения), \(B\) — общий объем доступных инвестиций (капиталовложений).
Пусть \(x_i\) — объем средств, выделяемых \(i\)-му предприятию (\(i = 1, \dots, N\)).
Пусть \(f_i(x_i)\) — функция дохода, получаемого \(i\)-м предприятием при вложении \(x_i\) средств.
Целевая функция (максимизация общего дохода):
$$Z(x_1, x_2, \dots, x_N) = \sum_{i=1}^{N} f_i(x_i) \to \max$$
Ограничение (общий бюджет):
$$\sum_{i=1}^{N} x_i = B$$
Ограничения на переменные: \(x_i \ge 0\). В дискретном случае \(x_i\) могут принимать только целочисленные значения.
Метод ДП позволяет свести эту \(N\)-мерную задачу (задачу нелинейного программирования) к последовательности одномерных задач, где каждый этап соответствует распределению средств на одном предприятии.
Учет нелинейных эффектов (Закон убывающей отдачи)
В экономических задачах, в отличие от идеализированных линейных моделей, функция дохода \(f_i(x_i)\) от инвестиций чаще всего является нелинейной. Эта нелинейность отражает фундаментальный экономический принцип — закон убывающей отдачи.
Закон убывающей отдачи гласит: после достижения определенного уровня инвестиций, каждая дополнительная единица вложенного капитала приносит все меньший и меньший прирост дохода. Графически это часто выражается вогнутой формой функции дохода. Использование ДП критически важно, поскольку оно эффективно работает с такими нелинейными функциями, в то время как методы линейного программирования в данном случае неприменимы, что является главным преимуществом ДП в инвестиционном планировании.
Для решения задачи распределения средств методом ДП используется рекуррентная процедура, основанная на функциональном уравнении Беллмана.
Пусть \(F_k(x)\) — максимальный суммарный доход, который можно получить от распределения средств \(x\) на первых \(k\) предприятиях.
Функциональное уравнение Беллмана для задачи распределения средств:
$$F_k(x) = \max_{0 \le x_k \le x} \{ f_k(x_k) + F_{k-1}(x — x_k) \}$$
Где:
- \(k\) — номер текущего этапа (предприятия, \(k = 1, \dots, N\)).
- \(x\) — объем средств, доступных для распределения на \(k\) предприятиях.
- \(x_k\) — объем средств, вложенный в \(k\)-е предприятие (управляющая переменная).
- \(f_k(x_k)\) — доход, получаемый от вложения \(x_k\) в \(k\)-е предприятие.
- \(F_{k-1}(x — x_k)\) — максимальный доход, который можно получить от оставшихся средств \((x — x_k)\) на предыдущих \((k-1)\) предприятиях.
Расчет начинается с \(k=1\) (базовый случай), где \(F_1(x) = f_1(x)\), и продолжается до \(k=N\). Оптимальное решение \(x_i^*\) для каждого предприятия извлекается путем обратного хода.
Применение динамического программирования в операционном планировании (Закрытие "Слепых Зон")
Оптимизация плановой замены и модернизации производственного оборудования
Производственный актив машиностроительного предприятия, особенно высокоточное оборудование, подвержен физическому и моральному износу. С ростом возраста оборудования растут эксплуатационные расходы, увеличивается частота поломок и падает производительность, что в конечном итоге снижает прибыль. Задача о плановой замене оборудования — это классическая задача ДП, направленная на минимизацию суммарных затрат или максимизацию прибыли за определенный плановый период (\(N\) лет).
Этапы применения ДП для замены оборудования:
- Определение числа шагов (\(N\)): Плановый период в годах.
- Определение состояния системы (\(t\)): Возраст оборудования в начале текущего года.
- Определение управлений (решений): \(u_t = 1\) (сохранить станок) или \(u_t = 2\) (заменить станок на новый).
- Определение функции выигрыша/затрат: Выручка минус эксплуатационные затраты и/или стоимость нового оборудования.
- Составление функционального уравнения Беллмана.
Рассмотрим модель, направленную на максимизацию суммарной прибыли за \(N\) лет.
Пусть:
- \(t\) — возраст оборудования в начале года.
- \(r(t)\) — выручка, получаемая от работы оборудования возраста \(t\) за год.
- \(u(t)\) — эксплуатационные затраты (ремонт, обслуживание) оборудования возраста \(t\).
- \(s(t)\) — остаточная стоимость оборудования возраста \(t\).
- \(p\) — стоимость нового оборудования.
- \(t_0\) — возраст нового оборудования (обычно \(t_0 = 0\)).
Пусть \(F_n(t)\) — максимальная прибыль, которую можно получить за оставшиеся \(n\) лет, если текущий возраст оборудования составляет \(t\).
Функциональное уравнение для задачи замены оборудования (максимизация прибыли):
$$F_n(t) = \max \begin{cases}
(r(t) — u(t)) + F_{n-1}(t+1) & \text{(Сохранение)} \\
(s(t) — p + r(t_0) — u(t_0)) + F_{n-1}(1) & \text{(Замена)}
\end{cases}$$
Интерпретация ветвей:
- Сохранение: Текущая годовая прибыль \((r(t) — u(t))\) плюс максимальная прибыль, полученная за оставшиеся \((n-1)\) лет, при условии, что возраст оборудования увеличится на 1 \((t+1)\).
- Замена: Получение остаточной стоимости от старого оборудования \(s(t)\), вычет стоимости нового \(p\), получение прибыли от нового оборудования в первый год \((r(t_0) — u(t_0))\), плюс максимальная прибыль за оставшиеся \((n-1)\) лет, при условии, что возраст оборудования станет 1.
Решая это рекуррентное уравнение от \(n=1\) до \(n=N\), мы получаем оптимальную стратегию замены, которая диктует, в какой момент времени (при каком возрасте) оборудование следует заменить. Это решение позволяет предприятию достичь максимальной рентабельности производственных активов.
Экономико-математическая модель календарного планирования трудовых ресурсов
Календарное планирование в машиностроении, особенно в условиях серийного производства и сборочных процессов, является сложной задачей, требующей распределения производственной программы по коротким отрезкам времени при строгом учете ограничений по трудовым ресурсам, оборудованию и материалам. ДП позволяет найти оптимальный оперативный план, минимизирующий время выполнения заказа или общую длительность производственного цикла. А что будет, если мы не сможем найти такой оптимальный план?
Рассмотрим задачу календарного планирования трудовых ресурсов для выполнения \(N\) видов работ (заказов) в течение \(T\) плановых периодов (например, недель или смен).
Формализация задачи с помощью ДП:
- Шаг (Этап): \(t = 1, 2, \dots, T\) (плановый период).
- Состояние системы (\(x_t\)): Объем невыполненной производственной программы (количество деталей или сборочных единиц), который остается на начало периода \(t\).
- Управление (\(u_t\)): Объем работ, который планируется выполнить в период \(t\) (объем производственной программы, выделенный на текущий период).
- Целевая функция: Минимизация общего времени выполнения заказов. В модели ДП минимизируется суммарная функция штрафов или затрат, связанных с невыполнением или перерасходом ресурсов.
$$Z = \sum_{t=1}^{T} g_t(x_t, u_t) \to \min$$
Ограничения на управление:
Управление \(u_t\) (объем работ) должно быть ограничено наличием трудовых ресурсов (\(L_t\)) и производительностью оборудования (\(P_t\)):
$$u_t \le \min(k_L \cdot L_t, k_P \cdot P_t)$$
Где \(k_L\) и \(k_P\) — коэффициенты пересчета ресурсов в объем работ.
Функциональное уравнение Беллмана для минимизации затрат/штрафов:
Пусть \(F_t(x_t)\) — минимальные суммарные затраты/штрафы, связанные с завершением оставшейся программы \(x_t\) с периода \(t\) до \(T\).
$$F_t(x_t) = \min_{0 \le u_t \le x_t, u_t \in U_t} \{ g_t(u_t) + F_{t+1}(x_t — u_t) \}$$
Где:
- \(g_t(u_t)\) — затраты на выполнение объема работ \(u_t\) в период \(t\). Эти затраты могут включать оплату труда, амортизацию и штрафы за нарушение сроков при недостаточно быстром выполнении.
- \(x_t — u_t\) — объем программы, который переходит на следующий период \(t+1\).
- \(U_t\) — множество допустимых значений \(u_t\), ограниченное ресурсами в период \(t\).
Метод ДП позволяет найти оптимальную последовательность распределения объемов работ \(u_1^*, u_2^*, \dots, u_T^*\) по периодам, которая обеспечивает минимальное время выполнения заказов при проверке на соответствие имеющимся трудовым ресурсам на каждом отрезке времени. Это гарантирует ритмичность производства и минимизирует риски срыва поставок.
Сравнительный анализ, ограничения и программная реализация
Сравнение с линейным программированием и концепция "Проклятия размерности"
Динамическое программирование занимает уникальное место среди методов оптимизации. Для лучшего понимания его преимуществ и недостатков, следует провести сравнение с наиболее распространенным подходом — линейным программированием (ЛП).
| Критерий сравнения | Динамическое программирование (ДП) | Линейное программирование (ЛП) |
|---|---|---|
| Характер задачи | Многошаговые, последовательные процессы. | Одношаговые задачи. |
| Форма целевой функции | Допустима нелинейность, дискретность. | Строго линейная. |
| Форма ограничений | Допустима нелинейность. | Строго линейные неравенства. |
| Применение | Оптимальное управление, планирование запасов, замена оборудования, распределение ресурсов (нелинейное). | Календарное планирование, транспортные задачи, задачи смешивания (линейное). |
| Оптимальная подструктура | Требуется (Принцип Беллмана). | Не требуется. |
Главное преимущество ДП — способность решать нелинейные и дискретные задачи, которые возникают, например, при учете закона убывающей отдачи (распределение капиталовложений) или при дискретном характере решений (замена оборудования).
Однако ДП имеет существенное методологическое ограничение, известное как "Проклятие размерности" (Curse of Dimensionality).
Поскольку ДП оперирует состояниями системы и требует запоминания оптимальных решений для каждого возможного состояния на каждом этапе, вычислительная сложность и требования к памяти растут экспоненциально с увеличением числа переменных состояния. Если состояние системы описывается несколькими параметрами (например, возраст станка, его текущая производительность, количество брака), количество комбинаций этих состояний может стать астр��номическим, что делает метод неэффективным или невозможным для реализации:
Если количество переменных состояния \(m\), а количество этапов \(N\), то общее число решений, которые необходимо вычислить и запомнить, пропорционально \(O(S^m \cdot N)\), где \(S\) — количество возможных значений для каждой переменной состояния. Экспоненциальный рост \(S^m\) — это и есть проклятие размерности.
Для крупномасштабного машиностроительного предприятия, где необходимо одновременно оптимизировать сотни переменных (состояние множества станков, запасов, трудовых ресурсов), классическое ДП часто требует применения эвристических подходов или декомпозиции задачи. Эту проблему необходимо всегда держать в уме при выборе метода оптимизации.
Расчетный пример и обзор программных средств (Solvers)
В качестве иллюстрации практического применения ДП рассмотрим имитационный расчет для задачи о замене оборудования (минимизация суммарных затрат).
Условие: Машиностроительное предприятие планирует период \(N=3\) года. Текущий возраст станка \(t=0\) (новый). Стоимость нового станка \(P = 100\) тыс. руб.
| Возраст \(t\) (лет) | Эксплуатационные затраты \(u(t)\) (тыс. руб.) | Остаточная стоимость \(s(t)\) (тыс. руб.) |
|---|---|---|
| 0 | 10 | — |
| 1 | 20 | 80 |
| 2 | 40 | 60 |
| 3 | 70 | 30 |
Требуется найти оптимальный момент замены, минимизирующий суммарные затраты \(C_n(t)\).
Функциональное уравнение (минимизация затрат):
$$C_n(t) = \min \begin{cases}
u(t) + C_{n-1}(t+1) & \text{(Сохранение)} \\
(P — s(t)) + u(0) + C_{n-1}(1) & \text{(Замена)}
\end{cases}$$
Обратный ход расчета:
Этап 1 (Последний год, \(n=1\)): Оборудование, сохраненное до этого момента, продается.
$$C_1(t) = u(t) — s(t)$$
| \(t\) | \(C_1(t)\) | Решение |
|---|---|---|
| 1 | \(20 — 80 = -60\) | Сохранить |
| 2 | \(40 — 60 = -20\) | Сохранить |
Этап 2 (Осталось 2 года, \(n=2\)):
$$C_2(t) = \min \begin{cases}
u(t) + C_1(t+1) & \text{(Сохранение)} \\
(P — s(t)) + u(0) + C_1(1) & \text{(Замена)}
\end{cases}$$
Для \(t=0\):
- Сохранение: \(u(0) + C_1(1) = 10 + (-60) = -50\)
- Замена: \((100 — s(0)) + 10 + C_1(1)\). Так как \(s(0)\) не определена, используем \(t=1\).
Для \(t=1\):
- Сохранение: \(u(1) + C_1(2) = 20 + (-20) = 0\)
- Замена: \((100 — 80) + 10 + (-60) = 20 + 10 — 60 = -30\)
Оптимальное решение при \(t=1\) и \(n=2\): Замена (затраты -30 < 0).
Этап 3 (Осталось 3 года, \(n=3\)):
Для \(t=0\):
- Сохранение: \(u(0) + C_2(1) = 10 + (-30) = -20\)
- Замена: \((100 — 0) + 10 + C_2(1) = 100 + 10 + (-30) = 80\). (Предполагаем \(s(0)=0\) при мгновенной продаже).
Оптимальное решение при \(t=0\) и \(n=3\): Сохранение (затраты -20 < 80).
Вывод: Оптимальная стратегия — сохранить станок в первый год, и заменить его на второй год (когда ему исполнится 1 год). Это позволяет достичь минимальных совокупных затрат за трехлетний период.
Обзор программных средств (Solvers)
Хотя несложные задачи ДП (как пример выше) могут быть реализованы в табличных процессорах (например, MS Excel с использованием функции `МИН/МАКС`), для решения крупномасштабных оптимизационных задач производственного менеджмента машиностроительного предприятия требуются специализированные промышленные солверы.
- CPLEX (IBM ILOG CPLEX Optimization Studio): Один из ведущих коммерческих солверов. Используется для решения задач линейного, квадратичного, а главное — целочисленного нелинейного программирования (MINLP). Поскольку модели ДП часто приводят к дискретным или нелинейным задачам, CPLEX является мощным инструментом для их реализации на практике, особенно при учете сложных ограничений реального производства.
- GAMS (General Algebraic Modeling System): Высокоуровневая система моделирования, предназначенная для решения сложных математических программ. GAMS позволяет легко описывать как линейные, так и нелинейные модели, включая те, что возникают при формализации задач ДП. Широко применяется в экономических и инженерных расчетах.
- SciLab/Matlab: Математические пакеты, которые могут быть использованы для реализации алгоритмов ДП, особенно для задач, где необходимо строить и оперировать большими матрицами и таблицами. Они подходят для академических исследований и несложных производственных моделей.
Применение этих инструментов позволяет преодолеть вычислительные трудности, связанные с размерностью, и получить точные, проверяемые оптимальные планы.
Заключение
Настоящая курсовая работа подтвердила, что динамическое программирование является незаменимым инструментом для повышения эффективности операционного менеджмента машиностроительного предприятия. Мы установили, что ДП, базируясь на строгом Принципе оптимальности Беллмана и условии отсутствия последействия, позволяет трансформировать сложные многомерные задачи в последовательность управляемых одномерных решений.
В ходе исследования были формализованы ключевые оптимизационные задачи производственной практики:
- Распределение капиталовложений: Была разработана математическая модель ДП, способная учитывать нелинейный характер функции дохода (закон убывающей отдачи), что является критически важным для реалистичного инвестиционного планирования.
- Плановая замена оборудования: Представлена строгая модель ДП, позволяющая найти оптимальную стратегию замены для максимизации прибыли за плановый период, интегрируя факторы эксплуатационных затрат и остаточной стоимости.
- Календарное планирование трудовых ресурсов: Впервые, в контексте данной работы, была разработана экономико-математическая модель ДП для оперативного планирования сборочных процессов в машиностроении. Эта модель позволяет минимизировать время выполнения заказов при строгом соблюдении ресурсных ограничений, закрывая одну из ключевых "слепых зон" в существующих академических источниках.
Проведенный сравнительный анализ показал, что, несмотря на ограничение "Проклятия размерности", ДП превосходит линейное программирование в решении нелинейных и дискретных многошаговых задач. Современные программные комплексы, такие как CPLEX и GAMS, предоставляют необходимые вычислительные мощности для практической реализации крупномасштабных моделей ДП.
Экономические эффекты от внедрения оптимизационных моделей на основе ДП для машиностроительного предприятия могут быть исключительно весомыми:
- Увеличение отдачи от инвестиций: Точное распределение капиталовложений гарантирует максимальную совокупную прибыль.
- Снижение операционных затрат: Оптимальная стратегия замены оборудования позволяет избежать как чрезмерных расходов на содержание старого фонда, так и преждевременных капитальных вложений.
- Повышение ритмичности производства: Оптимальное календарное планирование минимизирует простои и штрафы за нарушение сроков, обеспечивая минимальное время выполнения заказов.
Таким образом, цель курсовой работы — систематизация и практическое моделирование ДП для нужд операционного менеджмента — была полностью достигнута. Дальнейшие исследования могут быть сосредоточены на разработке гибридных методов, сочетающих ДП с эвристическими алгоритмами для эффективного преодоления "проклятия размерности" в реальных промышленных системах.
Список использованной литературы
- Акулич И.Л. Глава 4. Задачи динамического программирования // Математическое программирование в примерах и задачах. Москва: Высшая школа, 1986. 319 с.
- Беллман Р. Динамическое программирование. Москва: Изд-во иностранной литературы, 1960. 462 с.
- Габасов Р., Кириллова Ф. М. Основы динамического программирования. Минск: Изд-во БГУ, 1975. 262 с.
- Динамическое программирование в экономических задачах. 3-е изд. [Электронный ресурс]. URL: https://dokumen.pub/dinamicheskoe-programmirovanie-v-ekonomicheskih-zadachah-3izd-978-5-9963-2564-1-5-94774-344-2.html (дата обращения: 22.10.2025).
- Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 15. Динамическое программирование // Алгоритмы: построение и анализ. 2-е изд. Москва: Вильямс.
- Методы линейного и динамического программирования [Электронный ресурс]. URL: https://studfile.net/preview/5585098/page:17/ (дата обращения: 22.10.2025).
- Мищенко А.В., Попов А.А. Некоторые подходы к оптимизации инвестиционного портфеля // Менеджмент в России и за рубежом. 2002. №2.
- Моделирование календарных планов сборочных процессов в условиях машиностроительного производства // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-kalendarnyh-planov-sborochnyh-protsessov-v-usloviyah-mashinostroitelnogo-proizvodstva (дата обращения: 22.10.2025).
- Оптимальное планирование машиностроительного производства на основе динамического программирования // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/optimalnoe-planirovanie-mashinostroitelnogo-proizvodstva-na-osnove-dinamicheskogo-programmirovaniya (дата обращения: 22.10.2025).
- Оптимальное распределение инвестиций по объектам вложения методами динамического программирования // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/optimalnoe-raspredelenie-investitsiy-po-obektam-vlozheniya-metodami-dinamicheskogo-programmirovaniya (дата обращения: 22.10.2025).
- Принцип оптимальности Беллмана в задаче оптимального распределения средств между предприятиями на расширение производства // Вестник ГУУ. 2019. №10. С. 132–138. URL: https://guu.ru/files/izdat/vestnik/2019/10/132-138.pdf (дата обращения: 22.10.2025).
- Решение задачи о замене оборудования методом динамического программирования // Вестник ВГУ. Серия: Экономика и управление. 2022. №4. URL: http://www.vestnik.vsu.ru/pdf/econ/2022/04/2022-04-12.pdf (дата обращения: 22.10.2025).
- Решение задачи о замене оборудования. Реализация в Excel // Наука и молодость: сб. материалов VIII Всерос. науч.-практ. конф. Иркутск, 2018. С. 146. URL: https://isu.ru/files/publ/konf/nauka_molodost_2018/146.pdf (дата обращения: 22.10.2025).
- Управление в социально-экономических системах // Math-Net.Ru. URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ut&paperid=208&option_lang=rus (дата обращения: 22.10.2025).
- Щербина О. А. Методологические аспекты динамического программирования // Динамические системы. 2007. Вып. 22. С. 21-36.
- Щербина О. А. О несериальной модификации локального алгоритма декомпозиции задач дискретной оптимизации // Динамические системы. 2005. Вып. 19. 1296 с.