Опционы как производные финансовые инструменты: теория оценки и применение на финансовых рынках

В динамичном мире современных финансов опционы занимают особое место как один из наиболее мощных и универсальных производных финансовых инструментов. Их уникальная природа — предоставление права, но не обязательства — делает их незаменимыми для тонкой настройки инвестиционных стратегий, эффективного управления рисками и использования рыночных возможностей. От хеджирования от неблагоприятных ценовых движений до спекуляций на волатильности и даже оценки стратегических инвестиционных проектов, опционы предлагают беспрецедентную гибкость, что, несомненно, повышает их ценность для любого участника рынка. Эта курсовая работа посвящена всестороннему академическому исследованию методов опционов, охватывая их определение, классификацию, исторический контекст, теоретические основы оценки и практическое применение на финансовых рынках.

Целью данной работы является глубокий анализ сущности опционов, демонстрация эволюции их концепции от античных времен до современных биржевых площадок, а также подробное изучение ключевых теоретических моделей оценки, таких как модель Блэка-Шоулза-Мертона и биномиальная модель, с акцентом на их математическое обоснование и практические ограничения. Особое внимание будет уделено классификации опционов, включая экзотические виды, и роли «греков» в управлении опционными позициями. В завершение будет рассмотрено значение реальных опционов в стратегическом планировании и оценке инвестиционных проектов.

Задачи исследования включают:

• Определение опциона, его ключевых характеристик и отличий от других деривативов.
• Изучение исторического развития рынка опционов.
• Классификация опционов по различным признакам, включая стандартные и экзотические формы.
• Анализ теоретических моделей оценки стоимости опционов и их допущений.
• Рассмотрение факторов, влияющих на премию опциона, и значение «греков».
• Изучение основных стратегий использования опционов.
• Исследование концепции реальных опционов в управлении инвестиционными портфелями и оценке проектов.
• Выявление ограничений и сложностей применения моделей оценки опционов.

Структура работы построена таким образом, чтобы последовательно раскрыть заявленные темы, обеспечивая читателю полное и глубокое понимание сложного мира опционов, что позволит студенту использовать данное исследование в качестве всеобъемлющей базы знаний для своей курсовой работы.

Сущность и основные характеристики опционов

Опционы, как краеугольный камень современного финансового рынка, представляют собой не просто контракты, но своего рода «право выбора», закрепленное за их держателем. Их уникальность заключается в предоставлении асимметричных прав и обязанностей, что выделяет их среди прочих финансовых инструментов.

Определение опциона и ключевые термины

В основе понимания опционов лежит ключевое определение: опцион — это контракт, дающий покупателю право купить или продать базовый актив по определенной цене в будущем, при этом у продавца возникает встречная обязанность. Это фундаментальное право, а не обязанность, является отличительной чертой опциона. Покупатель, или держатель опциона, платит продавцу, или эмитенту, некую сумму, называемую премией, за это право. Премия — это цена опциона, которую покупатель уплачивает продавцу при заключении сделки.

В контексте опционного контракта необходимо четко понимать ряд терминов:

• Базовый актив — это актив, на который выписан опцион. Его цена является основой для определения стоимости опциона.
• Цена исполнения (страйк, strike price) — это фиксированная цена, по которой покупатель опциона имеет право купить или продать базовый актив в будущем.
• Дата экспирации (дата истечения срока, дата исполнения, дата погашения) — это конкретная дата, после которой опционный контракт становится недействительным. До этой даты держатель может воспользоваться своим правом (или не воспользоваться).

Важно отметить, что опцион является производной ценной бумагой, его стоимость неразрывно связана с ценой базового актива. Эта связь и делает его инструментом для хеджирования и спекуляции, позволяя инвесторам получать доходность, которая может быть практически неограниченной, при этом фиксируя риск на уровне уплаченной премии.

Отличия опциона от фьючерса

Хотя опционы и фьючерсы относятся к классу производных финансовых инструментов, между ними существуют кардинальные различия, определяющие их функционал и области применения.

Ключевое отличие заключается в обязательствах сторон:

• У покупателя опциона возникает право, а не обязанность. Он может выбрать, исполнять ему контракт или нет. Если рыночная ситуация неблагоприятна, он просто отказывается от исполнения, теряя только уплаченную премию.
• При заключении сделки с фьючерсом, обязательства возникают у обеих сторон. Покупатель фьючерса обязан купить, а продавец обязан продать базовый актив по оговоренной цене в установленный срок, независимо от текущей рыночной цены.

Характеристика	Опцион	Фьючерс
Обязанность/Право	Покупатель имеет право, но не обязанность	Обе стороны имеют обязанность
Риск покупателя	Ограничен уплаченной премией	Потенциально неограничен
Потенциальная прибыль	Потенциально неограничена	Потенциально неограничена
Первоначальные затраты	Премия (стоимость опциона)	Маржинальное обеспечение (гарантийное поручительство)
Назначение	Хеджирование, спекуляция, страхование	Хеджирование, спекуляция, поставка/приемка товара

Эта таблица наглядно демонстрирует, почему опционы часто сравнивают со страховкой: вы платите премию за возможность защитить себя от неблагоприятных событий, но если они не произойдут, вы просто теряете эту премию. Фьючерс же больше похож на жесткое соглашение о будущей сделке, что влечет за собой иные риски и возможности.

Виды опционов: колл и пут

В зависимости от того, какое право приобретает покупатель, опционы делятся на два основных вида:

1. Опцион колл (Call option): Дает покупателю право купить базовый актив по установленной цене (страйк) в определенный срок (до экспирации или в дату экспирации).
   • Сценарий использования: Покупатель колл-опциона ожидает роста цены базового актива. Если цена актива на рынке вырастет выше страйка, он может купить актив по более низкой цене страйка и продать его на рынке, получив прибыль. Если цена актива упадет, он просто не исполняет опцион, теряя только премию.
   • Пример: Инвестор покупает колл-опцион на акции компании «X» со страйком 1000 рублей и премией 50 рублей. Если к экспирации акции «X» торгуются по 1100 рублей, инвестор исполняет опцион, покупая акции за 1000 и продавая за 1100, зарабатывая 100 рублей минус премия (50 рублей). Чистая прибыль = 50 рублей. Если акции торгуются по 950 рублей, инвестор не исполняет опцион и теряет только 50 рублей премии.
2. Опцион пут (Put option): Дает покупателю право продать базовый актив по установленной цене (страйк) в определенный срок.
   • Сценарий использования: Покупатель пут-опциона ожидает падения цены базового актива. Если цена актива на рынке упадет ниже страйка, он может купить актив на рынке по низкой цене и продать его по более высокой цене страйка, получив прибыль. Пут-опционы часто используются для хеджирования от падения цен на уже имеющиеся активы.
   • Пример: Инвестор покупает пут-опцион на акции компании «Y» со страйком 1500 рублей и премией 70 рублей. Если к экспирации акции «Y» торгуются по 1400 рублей, инвестор может купить их на рынке за 1400 и продать по опциону за 1500, зарабатывая 100 рублей минус премия (70 рублей). Чистая прибыль = 30 рублей. Если акции торгуются по 1600 рублей, он не исполняет опцион и теряет 70 рублей премии.

Базовые активы опционов и рынок обращения

Диапазон базовых активов для опционов чрезвычайно широк, что делает их универсальным инструментом для различных сегментов рынка. Традиционно, базовыми активами для опционов могут быть:

• Финансовые инструменты: акции отдельных компаний, облигации, фондовые индексы (например, S&P 500, РТС).
• Валюта: валютные пары (например, USD/RUB, EUR/USD).
• Товары: сырьевые активы, такие как нефть, природный газ, золото, серебро, сельскохозяйственная продукция.
• Процентные ставки: опционы на процентные ставки.
• ETF (Exchange Traded Funds): фонды, торгуемые на бирже, отслеживающие различные активы.

На российском рынке, в частности на Срочном рынке Московской биржи, выбор базовых активов для опционов и фьючерсов весьма разнообразен и постоянно расширяется. Инвесторам доступны опционы на:

• Акции российских и международных компаний (например, Газпром, Сбербанк, Яндекс).
• Фондовые индексы (например, Индекс РТС, Индекс МосБиржи).
• Валютные пары (например, USD/RUB, CNY/RUB).
• Товары (например, нефть марки Brent, золото).
• А также процентные ставки и ETF на иностранные активы.

Это многообразие позволяет участникам рынка максимально гибко подходить к формированию своих инвестиционных стратегий, хеджированию различных видов рисков и спекуляциям на широком спектре активов.

Исторический контекст развития рынка опционов

История опционов гораздо богаче и продолжительнее, чем может показаться на первый взгляд, и простирается от древних цивилизаций до становления высокотехнологичных биржевых платформ современности. Эта эволюция отражает постоянный поиск человеком способов управления неопределенностью и извлечения выгоды из будущих событий.

Зарождение концепции опционов: от древности до «тюльпаномании»

Первые упоминания о механизмах, напоминающих современные опционы, можно найти в трудах древнегреческого философа Аристотеля. В своей «Политике» он описывает случай с философом Фалесом Милетским. Фалес, предвидя богатый урожай оливок, заранее арендовал все прессы для отжима масла на Милете и Хиосе, получив право их использования в будущем. За это он уплатил владельцам небольшую сумму. Когда урожай оказался действительно обильным, и спрос на прессы резко возрос, Фалес сдал их в субаренду по значительно более высокой цене, получив значительную прибыль. Этот эпизод, по сути, является классическим примером покупки колл-опциона на использование производственных мощностей. Фалес приобрел право использования прессов по фиксированной цене, не неся обязанности их использования, и реализовал это право, когда рыночная конъюнктура стала благоприятной.

В Европе, в XVII веке, во время знаменитой «тюльпаномании» в Голландии, опционы вновь вышли на сцену, хотя и в несколько хаотичной форме. Лихорадочный рост цен на луковицы тюльпанов привел к появлению спекулятивных контрактов. Торговцы выпускали ценные бумаги, обязывавшие их продать тюльпаны по выгодной цене в будущем, в обмен на некую предоплату или «премию». Это позволяло им фиксировать будущую прибыль или ограничивать потенциальные убытки, не имея физически тюльпанов на момент заключения сделки. Несмотря на то, что «тюльпаномания» закончилась крахом, она продемонстрировала потенциал опционов как инструмента для спекуляции и хеджирования.

Становление современного биржевого рынка опционов

До середины XX века опционы, хоть и существовали, торговались преимущественно «через прилавок» (Over-the-Counter, OTC) на внебиржевом рынке. Это означало, что условия каждого контракта были индивидуальными, не стандартизированными, и поиск контрагента был сложной задачей. Отсутствие прозрачности, ликвидности и стандартизации сдерживало массовое распространение опционов.

Поворотным моментом в истории опционов стало создание Чикагской опционной биржи (CBOE) в 1973 году. Это событие совершило настоящую революцию на рынке. CBOE стала первой биржей, которая специализировалась исключительно на торговле стандартизированными опционами на акции. Стандартизация означала унификацию страйков, дат экспирации, размеров контрактов, что значительно упростило торговлю, повысило ликвидность и прозрачность рынка. В первый день торгов на CBOE было заключено 911 контрактов на 16 акций, что свидетельствовало о высоком интересе участников рынка.

Введение стандартизированных опционов и появление специализированной биржи позволило:

• Увеличить ликвидность: легкость покупки и продажи опционов благодаря стандартизации и централизованной торговой площадке.
• Снизить транзакционные издержки: стандартизированные контракты требуют меньше времени и усилий для заключения.
• Обеспечить прозрачность: все участники рынка имеют доступ к одинаковой информации о ценах и объемах.
• Упростить хеджирование: возможность эффективно управлять рисками с помощью стандартизированных инструментов.

Впоследствии, в 1982 году, CBOE расширила торговлю опционами на облигации и индексы, а в 1994 году — на фьючерсы, подтверждая свою роль пионера в развитии рынка деривативов. Параллельно с развитием биржевой торговли, появление модели Блэка-Шоулза-Мертона в том же 1973 году дало теоретическую базу для оценки этих инструментов, что еще больше способствовало их распространению.

В России ведущей площадкой по торговле опционами является Срочный рынок Московской биржи. Здесь инвесторы и трейдеры могут заключать сделки с опционами на широкий спектр базовых активов, включая акции, индексы, валюту и товары, что делает российский рынок важной частью глобальной опционной индустрии.

Классификация опционов и особенности их функционирования

Многообразие опционов поражает воображение. От базовых форм до сложных экзотических конструкций, каждый тип опциона разработан для решения специфических задач на финансовых рынках. Понимание этой классификации критически важно для эффективного использования этих инструментов.

Европейские и американские опционы

Наиболее фундаментальная классификация опционов основана на праве исполнения. Здесь выделяют два основных типа:

1. Европейский опцион: Это тип опционного контракта, который может быть погашен (исполнен) только в указанную дату — дату истечения срока (экспирации). До этой даты держатель опциона не имеет права на его исполнение, хотя может продать его на вторичном рынке.
   • Пример: Европейский колл-опцион на акции «Z» со страйком 100 рублей и экспирацией 31 декабря 2025 года может быть исполнен только 31 декабря 2025 года. Если 20 декабря 2025 года цена акций «Z» взлетит до 150 рублей, держатель европейского опциона не сможет исполнить его немедленно, но может продать сам опцион, стоимость которого, вероятно, значительно вырастет.
2. Американский опцион: В отличие от европейского, американский опцион предоставляет держателю право на исполнение опциона в любой день до даты истечения его срока действия включительно. Эта гибкость является ключевым преимуществом американских опционов, позволяя реагировать на немедленные изменения рыночной конъюнктуры.
   • Пример: Американский колл-опцион на акции «Z» со страйком 100 рублей и экспирацией 31 декабря 2025 года может быть исполнен как 20 декабря 2025 года (если цена акций выросла), так и в любую другую дату до экспирации.
   • Важно: Термин «американский» в названии опциона не имеет отношения к географическому положению, а указывает именно на эту гибкость в сроках исполнения.

Некоторые финансовые инструменты, такие как облигации с американским опционом, могут предусматривать lock-up-период. Это определенный срок, в течение которого бумага (или опцион на нее) не может быть погашена или исполнена. Это добавляет дополнительное условие к гибкости американского опциона, ограничивая возможность исполнения на начальном этапе.

Для стандартных опционов европейского типа, платежные обязательства характеризуются только ценой базисного актива в фиксированный момент исполнения (S_T) и ценой исполнения контракта (K). Их оценка, как будет показано далее, проще, чем американских.

Экзотические опционы: виды и особенности

С развитием финансовых рынков и усложнением задач риск-менеджмента появились новые, более сложные типы опционов, которые получили название экзотических опционов. Они отличаются от стандартных тем, что их структура выплат, сроки истечения или уникальные базовые активы имеют дополнительные условия. Экзотические опционы позволяют решать более сложные торговые и финансовые вопросы, обеспечивая более тонкую настройку рисков и возможностей. Чаще всего они используются на внебиржевом рынке для дополнительной защиты капитала предприятий реального сектора экономики, для страхования инвестиционных проектов и финансовых рисков.

Особенности экзотических опционов заключаются в отличии способов задания их обязательных характеристик от стандартных опционов. Например, их стоимость может зависеть от поведения актива за весь период жизни опциона, а не только от цены на момент исполнения.

Классификация экзотических опционов обширна:

1. Path-dependent options (history-dependent options, look forward options, look back options): Эти опционы зависят от учета ценовой истории базового актива от момента заключения контракта (t=0) до момента исполнения (t=T).
   • Барьерные опционы: Активируются или деактивируются, если цена базового актива достигает определенного заранее установленного «барьерного» уровня в течение срока жизни опциона. Могут быть «knock-in» (активируются при достижении барьера) или «knock-out» (деактивируются при достижении барьера).
   • Азиатские опционы: Выплата по ним зависит от средней цены базового актива за определенный период времени, а не от цены на момент экспирации. Это снижает влияние краткосрочных ценовых скачков и делает их более подходящими для хеджирования долгосрочных рисков.
   • Опционы «с оглядкой назад» (Lookback options): Позволяют держателю выбрать оптимальную цену исполнения из исторических значений базового актива, которые были достигнуты в течение жизни опциона (например, наивысшую цену для пут-опциона или наинизшую для колл-опциона).
2. Options on extremes: Это частный случай экзотических опционов, основанный на учете экстремальных значений цены базового актива на интервале t ∈ [0, T]. К ним могут относиться lookback options.
3. Составные опционы (Compound options): Это опционы на другие опционы. Например, колл-опцион на колл-опцион.
4. Бинарные (цифровые) опционы: Эти опционы предоставляют фиксированную выплату, если базовый актив достигнет заранее определенного уровня цены («страйка») до истечения срока действия опциона, и ноль в противном случае. Однако важно подчеркнуть: бинарные опционы не следует путать с классическими биржевыми опционами. Часто недобросовестные брокеры выдают их за легальный финансовый инструмент, хотя по сути они являются азартными ставками на изменение цены, с высокими рисками для инвесторов и часто регулируются как азартные игры, а не как финансовые продукты. Их торговля запрещена или строго ограничена во многих юрисдикциях.
5. Используется несколько десятков видов экзотических опционов, однако стоит отметить, что теория многих из них разработана в незначительной степени. Это означает, что их ценообразование и управление рисками зачастую опираются на эвристические соображения, опыт брокеров и сложные вычислительные методы, а не на универсальные аналитические формулы. Это создает как возможности для инноваций, так и серьезные риски для участников рынка.

Теоретические основы оценки стоимости опционов

Оценка справедливой стоимости опциона является одной из ключевых задач в финансовой теории и практике. От того, насколько точно удается определить эту стоимость, зависит эффективность торговых стратегий, хеджирования и принятия инвестиционных решений. Существует множество моделей, но две из них стоят особняком: модель Блэка-Шоулза-Мертона и биномиальная модель.

Модель Блэка-Шоулза-Мертона

1973 год стал переломным для рынка опционов не только благодаря открытию CBOE, но и благодаря публикации работы Фишера Блэка и Майрона Шоулза, в которой была представлена революционная формула для оценки европейских опционов. Немного позже, Роберт Мертон опубликовал работу, раскрывающую математическое обоснование модели, и ввел термин «модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза», за что впоследствии все трое были удостоены Нобелевской премии по экономике (Блэк посмертно). Эта модель оказала огромное влияние на финансовую систему и способы определения теоретической стоимости и хеджирования деривативов.

Логика вывода модели Блэка-Шоулза-Мертона основана на концепции безрискового хеджирования. Идея состоит в том, что можно создать портфель, состоящий из базового актива и опциона, который будет полностью безрисковым. Такой портфель должен приносить доходность, равную безрисковой процентной ставке. Если это условие не выполняется, возникает возможность арбитража – получения гарантированной прибыли без риска, что противоречит концепции эффективного рынка. Для определения связи между требуемой рыночной доходностью на опцион и требуемой доходностью на акцию Блэк и Шоулз использовали модель CAPM (Capital Asset Pricing Model).

Аналитическая формула модели Блэка-Шоулза для европейских опционов колл (C) и пут (P) выглядит следующим образом:

C = S0N(d1) − K e−rT N(d2)

P = K e−rT N(−d2) − S0N(−d1)

Где:

• S₀ — текущая цена базового актива.
• K — цена исполнения (страйк) опциона.
• r — безрисковая процентная ставка (годовая, непрерывное начисление).
• T — срок до экспирации опциона (в годах).
• N(x) — кумулятивная функция стандартного нормального распределения (вероятность того, что случайная величина с нормальным распределением будет меньше x).
• e — основание натурального логарифма (примерно 2.71828).
• d₁ и d₂ рассчитываются по формулам:

d1 = (ln(S0/K) + (r + σ2/2)T) / (σ√T)

d2 = d1 − σ√T

Здесь:

• ln — натуральный логарифм.
• σ — волатильность базового актива (годовое стандартное отклонение доходности базового актива).

Основные предпосылки модели Блэка-Шоулза-Мертона:

Модель Блэка-Шоулза является мощным инструментом, но её применимость ограничена рядом строгих предпосылок:

1. Отсутствие арбитража на рынке: Предполагается, что невозможно получить безрисковую прибыль.
2. Возможность брать и давать любое количество денег в долг по безрисковой ставке: Отсутствуют ограничения на кредитование и заимствование.
3. Возможность занимать и давать в долг любое количество акций (включая короткую продажу): Допускается неограниченная короткая продажа базового актива.
4. Отсутствие транзакционных издержек: Комиссии, налоги и другие издержки игнорируются.
5. Постоянная ставка доходности по безрисковому активу: Безрисковая процентная ставка остается неизменной в течение всего срока действия опциона.
6. Отсутствие выплаты дивидендов по подлежащему активу: Базовый актив не выплачивает дивиденды в течение срока действия опциона. (Существуют модификации модели для учета дивидендов).
7. Постоянная волатильность базового актива: Волатильность базового актива считается постоянной и известной.
8. Цена базового актива подчиняется геометрическому броуновскому движению: Изменение цены базового актива описывается стохастическим дифференциальным уравнением:
   dSt = Stµdt + StσdWt
   Где:
   • dS_t — мгновенное изменение цены.
   • µ — ожидаемая доходность актива.
   • σ — волатильность ценового процесса.
   • dW_t — винеровский процесс (стохастический компонент).

Эти предпосылки, хотя и упрощают реальность, позволяют получить элегантное аналитическое решение. Однако именно они становятся источником ограничений модели при ее применении в реальных рыночных условиях.

Биномиальная модель оценки опционов (Cox-Ross-Rubinstein)

Для оценки финансовых опционов, особенно американских, где аналитическое решение Блэка-Шоулза неприменимо, широко используется биномиальная модель оценки опционов (Binomial Options Pricing Model, BOPM). Эта модель, также известная как модель Кокса-Росса-Рубинштейна (Cox-Ross-Rubinstein model), позволяет оценивать опционы путем пошагового моделирования возможных колебаний в цене базового актива и расчета стоимости опциона для каждого из возможных случаев.

Модель называется биномиальной, так как на каждом шаге времени (дискретный период) цена актива может принять только два значения: вырасти или уменьшиться на определенную величину.

Шаги оценки опциона в биномиальной модели:

1. Построение биномиального дерева цен базового актива: Моделируется будущее изменение цены актива на протяжении всего срока действия опциона. Начинается с текущей цены S на t₀. На каждом следующем шаге цена может либо вырасти (до S*u), либо упасть (до S*d).
2. Вычисление стоимости опциона на последних узлах дерева (в дату экспирации): Для каждого возможного значения цены базового актива в момент экспирации определяется внутренняя стоимость опциона (max(0, S_T — K) для колл-опциона или max(0, K — S_T) для пут-опциона).
3. Вычисление стоимости опциона в более ранних узлах дерева (обратный расчет): Двигаясь от конца дерева к началу, стоимость опциона на каждом узле рассчитывается как дисконтированная ожидаемая стоимость опциона в следующем шаге, с учетом вероятностей роста и падения цены.

Входные параметры биномиальной модели:

• N — количество этапов (шагов) моделирования.
• K — цена исполнения (страйк).
• S — цена базового актива на t₀.
• σ — волатильность базового актива.
• ΔT — шаг по времени (T/N).
• r — безрисковая процентная ставка.

Формулы для расчета темпов роста (u) и спада (d) и вероятностей:
Темпы роста и спада определяются на основе волатильности базового актива:

• u = exp(σ√ΔT)
• d = exp(-σ√ΔT)

Вероятность роста цены (p) и вероятность спада (1 — p) рассчитываются с учетом безрисковой ставки:

• p = (exp(rΔT) - d) / (u - d)
• 1 - p — вероятность спада.

Пример применения (упрощенный, один шаг):
Предположим, у нас есть европейский колл-опцион со страйком K = 105, текущая цена базового актива S = 100, срок до экспирации T = 1 год, безрисковая ставка r = 5%, волатильность σ = 20%. Пусть для упрощения N = 1, тогда ΔT = 1.

1. Расчет u и d:
   u = exp(0.20√1) = exp(0.20) ≈ 1.2214
d = exp(-0.20√1) = exp(-0.20) ≈ 0.8187
2. Расчет вероятности роста (p):
   p = (exp(0.05*1) - 0.8187) / (1.2214 - 0.8187) = (1.0513 - 0.8187) / 0.4027 ≈ 0.578
1 - p ≈ 0.422
3. Цены базового актива в конце периода (t=T):
   Sup = S * u = 100 * 1.2214 = 122.14
Sdown = S * d = 100 * 0.8187 = 81.87
4. Стоимость опциона в конце периода (C_T):
   Cup = max(0, Sup - K) = max(0, 122.14 - 105) = 17.14
Cdown = max(0, Sdown - K) = max(0, 81.87 - 105) = 0
5. Стоимость опциона на текущий момент (C₀):
   C0 = [p * Cup + (1-p) * Cdown] * exp(-rT)
C0 = [0.578 * 17.14 + 0.422 * 0] * exp(-0.05*1)
C0 = [9.91 + 0] * 0.9512 ≈ 9.427

Биномиальная модель является итерационным методом, моделирующим цену опциона на временном отрезке, когда опцион действителен. Ее главное преимущество — универсальность: она одинаково хорошо подходит как для европейских, так и для американских опционов, поскольку позволяет учесть возможность раннего исполнения.

Другие численные методы оценки

Для определения стоимости более сложных видов опционов, особенно экзотических, где аналитические формулы отсутствуют, и биномиальное дерево становится слишком сложным, применяются более мощные численные процедуры, такие как **метод Монте-Карло**. Этот метод базируется на истории вероятности процесса стоимости базового актива. Суть метода Монте-Карло заключается в многократном симулировании случайных траекторий цен базового актива до экспирации опциона и последующем усреднении дисконтированных выплат по опциону для каждой из этих траекторий. Это позволяет получить оценку стоимости опциона, особенно когда его выплата зависит от сложной функции пути цены актива.

Факторы, влияющие на премию опциона, и «Греки»

Цена опциона, или его премия, не является статичной величиной. Она постоянно меняется под воздействием множества рыночных факторов. Для понимания и управления этими изменениями аналитики и трейдеры используют специальные коэффициенты чувствительности, известные как «Греки» опционов. Эти метрики позволяют оценить, насколько изменится стоимость опциона при изменении одного из ключевых факторов, при этом остальные факторы остаются неизменными.

Что такое «Греки» опционов?

«Греки» опционов — это коэффициенты чувствительности цены опциона к различным факторам, таким как цена базового актива, время до погашения, волатильность и другие. Они названы так потому, что многие из них обозначаются буквами греческого алфавита. Понимание «греков» критически важно для:

• Хеджирования: создания позиций, нейтральных к определенным рискам.
• Управления рисками: оценки потенциальных прибылей и убытков.
• Спекуляции: прогнозирования изменения стоимости опциона.

Основные «греки» включают Дельту, Вегу, Тета, Гамму и Ро.

Основные «Греки»

Рассмотрим каждый из «греков» подробнее:

1. Дельта (Δ):
   • Определение: Дельта опциона показывает, насколько изменится стоимость опциона при изменении цены базового актива на одну единицу (например, на 1 рубль или 1 доллар).
   • Диапазон:
     • Для колл-опциона Дельта находится в диапазоне от 0 до 1.
     • Для пут-опциона Дельта находится в диапазоне от -1 до 0.
   • Поведение Дельты:
     • Опцион «в деньгах» (In-the-money, ITM): Для колл-опциона ITM Дельта стремится к 1. Это означает, что его стоимость изменяется практически один-в-один с ценой базового актива, так как вероятность его исполнения очень высока. Для пут-опциона ITM Дельта стремится к -1.
     • Опцион «при деньгах» (At-the-money, ATM): Для колл-опциона ATM Дельта составляет примерно 0.5. Для пут-опциона ATM Дельта составляет примерно -0.5. Это отражает равные шансы на то, что опцион окажется «в деньгах» или «вне денег».
     • Опцион «вне денег» (Out-of-the-money, OTM): Для колл-опциона OTM Дельта стремится к 0. Для пут-опциона OTM Дельта стремится к 0. Такие опционы малочувствительны к небольшим изменениям цены базового актива, так как вероятность их исполнения мала.
   • Практическое значение: Дельта также является показателем вероятности того, что опцион окажется «в деньгах» к моменту экспирации. Она используется для расчета количества базовых активов, необходимых для дельта-хеджирования (создания портфеля, нечувствительного к малым изменениям цены базового актива).
2. Вега (ν):
   • Определение: Вега опциона измеряет чувствительность цены опциона к изменению волатильности цены базового актива на 1%.
   • Значение: Чем выше Вега, тем сильнее опцион реагирует на изменения волатильности. Обычно Вега положительна для большинства опционов, то есть рост волатильности увеличивает премию опциона (поскольку увеличивается вероятность достижения как высоких, так и низких цен, что выгодно держателю права, но не обязанности).
   • Практическое значение: Вега важна для трейдеров, которые спекулируют на изменении волатильности или хеджируют свои позиции от нее.
3. Тета (Θ):
   • Определение: Тета показывает, насколько изменится цена опциона с течением времени (то есть, насколько она уменьшится при приближении к дате экспирации, при прочих равных условиях).
   • Значение: Тета обычно отрицательна для долгосрочных опционов, так как с каждым днем, приближающим экспирацию, временная стоимость опциона (которая является частью премии) уменьшается. Это так называемое «временное разложение» или «временной распад» (time decay).
   • Практическое значение: Покупатели опционов «теряют» деньги со временем из-за Тета, в то время как продавцы опционов «зарабатывают» на ней.
4. Гамма (Γ):
   • Определение: Гамма измеряет чувствительность Дельты к изменению цены базового актива. Иными словами, это вторая производная цены опциона по цене базового актива.
   • Значение: Гамма показывает, насколько быстро изменится Дельта. Высокая Гамма означает, что Дельта будет сильно меняться при небольших колебаниях базового актива, что делает позицию более рискованной и требует более частого ребалансирования для поддержания дельта-нейтральности.
   • Практическое значение: Гамма важна для управления риском изменения Дельты.
5. Ро (ρ):
   • Определение: Ро опциона измеряет чувствительность цены опциона к изменению безрисковых процентных ставок на 1%.
   • Значение: Для колл-опционов Ро обычно положительна (рост ставок увеличивает премию), для пут-опционов — отрицательна (рост ставок уменьшает премию), так как более высокие процентные ставки увеличивают дисконтированную стоимость будущего потока платежей по опциону.
   • Практическое значение: Ро имеет меньшее значение для короткосрочных опционов, но становится существенным для долгосрочных опционов, особенно в условиях меняющейся политики центральных банков.

Понимание «греков» позволяет трейдерам и инвесторам не просто покупать или продавать опционы, а строить сложные, сбалансированные стратегии, которые учитывают и управляют различными аспектами рыночного риска и потенциальной прибыли.

Стратегии использования опционов на финансовых рынках

Опционы — это не просто отдельные контракты; они являются строительными блоками для создания бесчисленных торговых стратегий, которые позволяют инвесторам и трейдерам хеджировать риски, спекулировать на движении цен или волатильности, и даже извлекать арбитражную прибыль. Их гибкость делает их незаменимым инструментом в арсенале любого участника рынка.

Хеджирование рисков с помощью опционов

Одной из основных функций опционов является хеджирование рисков. Это означает использование опционов для защиты уже существующей позиции или будущей сделки от неблагоприятных ценовых движений. Инвесторы могут управлять степенью риска своих вложений, выбирая подходящие опционные контракты.

• Хеджирование от падения цен (покупка пут-опциона): Классический пример хеджирования — это покупка пут-опциона для защиты портфеля акций от падения цен. Если инвестор владеет акциями и опасается их снижения, он может купить пут-опцион на эти акции со страйком, близким к текущей рыночной цене.
  • Как это работает: Покупка опциона пут действует как страховка. Если цена базового актива падает ниже страйка, инвестор получает право продать свои акции по цене страйка, компенсируя убытки от владения акциями. Если цена акций продолжает расти, инвестор просто теряет премию за пут-опцион, но сохраняет прибыль от роста акций. Таким образом, пут-опцион фиксирует минимальную цену продажи актива.
  • Пример: Инвестор владеет 100 акциями компании «X» по цене 1000 рублей за акцию. Он покупает 1 пут-опцион (100 акций) со страйком 950 рублей за акцию, уплачивая премию 50 рублей за акцию. Если цена акций упадет до 800 рублей, инвестор может исполнить пут-опцион, продав свои акции по 950 рублей, тем самым ограничив свои убытки до 50 рублей (разница между текущей ценой и страйком) плюс уплаченная премия. Без пут-опциона его убыток составил бы 200 рублей на акцию.
• Хеджирование от роста цен (покупка колл-опциона): Хотя колл-опционы чаще используются для спекуляции на росте, они также могут быть использованы для хеджирования. Например, если компания ожидает необходимости покупки сырья в будущем и опасается роста цен, она может купить колл-опцион на это сырье, чтобы зафиксировать максимальную цену покупки.

Спекуляция и арбитраж с использованием опционов

Помимо хеджирования, опционы являются мощным инструментом для спекуляции. Благодаря эффекту рычага (левериджа), который они предоставляют, опционы позволяют получать значительную доходность при относительно небольших первоначальных вложениях (премии). Однако это также означает высокий риск потери всей премии.

• Спекуляция на росте/падении: Покупка колл-опциона для ставки на рост цены базового актива, или покупка пут-опциона для ставки на падение.
• Спекуляция на волатильности: Стратегии, такие как «стрэддл» или «стрэнгл», позволяют спекулировать на ожидаемом изменении волатильности базового актива, а не на его направленном движении.
  • Покупка двойного опциона стрэнгл (Long Strangle): Эта стратегия предполагает одновременную покупку колл-опциона и пут-опциона с разными ценами исполнения (страйками), но с одной датой экспирации. Страйки выбираются «вне денег». Стратегия прибыльна, если цена базового актива сильно движется в любом направлении (сильный рост или сильное падение), но убыточна при низкой волатильности, так как оба опциона истекают «вне денег».

Опционы также открывают возможности для арбитража. Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке. Если это условие нарушается, то есть цена опциона отличается от его теоретической справедливой стоимости, то возникает возможность извлечения арбитражной прибыли. Арбитражеры пытаются найти такие расхождения и использовать их, покупая недооцененные опционы и одновременно продавая переоцененные (или базовые активы), чтобы получить гарантированную прибыль без риска.

• Спрэды (Вертикальные спрэды, Butterfly, Condor): Это стратегии, которые включают одновременную покупку и продажу опционов одного типа (колл или пут) с разными страйками, но одной датой экспирации.
  • «Медвежий спрэд» (Bear Spread): Используется, когда инвестор ожидает умеренного падения цены базового актива. Например, продажа колл-опциона с низким страйком и покупка колл-опциона с более высоким страйком.
  • «Бычий спрэд» (Bull Spread): Используется, когда инвестор ожидает умеренного роста цены базового актива. Например, покупка колл-опциона с низким страйком и продажа колл-опциона с более высоким страйком.

Эти стратегии, а также их более сложные комбинации, позволяют инвесторам адаптироваться к любой рыночной ситуации, будь то ожидание роста, падения, высокой или низкой волатильности, а также защищать свои инвестиции от неожиданных колебаний.

Опционы в управлении инвестиционными портфелями и оценке инвестиционных проектов (реальные опционы)

Помимо традиционного применения на финансовых рынках для хеджирования и спекуляции, концепция опционов нашла свое отражение и в области стратегического управления и оценки инвестиционных проектов, получив название метода реальных опционов (Real Options Methodology). Этот подход представляет собой мощный инструмент для принятия эффективных управленческих решений в условиях неопределенности и динамично меняющейся внешней и внутренней среды, существенно расширяя горизонты традиционного финансового анализа.

Реальные опционы как гибкий инструмент управления

Реальные опционы — это спектр методов гибкого использования активов и пассивов предприятия, представляющие стоимость, заключенную в гибкости действий менеджмента в принятии оперативных решений при проведении стратегических инвестиционных проектов. В отличие от финансовых опционов, базовым активом здесь выступают не акции или товары, а реальные активы, такие как производственные мощности, земельные участки, технологии, права на разработку и т.д. Цена исполнения — это стоимость реализации того или иного управленческого решения (например, инвестиции в новый этап проекта).

Почему метод реальных опционов превосходит традиционные подходы (например, NPV)?

Традиционные методы оценки инвестиционных проектов, такие как метод дисконтирования денежных потоков (ДДП) и расчет чистой приведенной стоимости (NPV — Net Present Value), часто являются статичными и «консервативно» рассматривают инвестиционную ситуацию. Они предполагают, что менеджмент принимает решение «сейчас или никогда» и затем жестко следует первоначальному плану, игнорируя возможность изменения решений в будущем в ответ на меняющиеся рыночные условия.

Однако в реальном мире менеджмент обладает гибкостью. Он может отложить решение, расширить или сократить проект, отказаться от него вовсе или даже переключиться на альтернативные варианты. Эта управленческая гибкость, или «право выбора», имеет ценность, которую традиционные методы не учитывают. Метод реальных опционов заполняет этот пробел, количественно оценивая эту ценность. Именно здесь кроется его главное преимущество.

Примеры реальных опционов и их применение

Конкретные примеры реальных опционов, иллюстрирующие гибкость менеджмента:

1. Опцион на отсрочку (Option to Defer): Компания может отложить решения по основным инвестициям, например, строительство нового завода, до получения дополнительной информации о рынке или технологии. Это снижает проектный риск, поскольку позволяет избежать инвестиций в условиях высокой неопределенности.
2. Опцион на расширение (Option to Expand): Если инвестиционный проект оказывается более успешным, чем ожидалось, менеджмент может принять решение об его расширении (увеличении мощностей, выходе на новые рынки). Этот опцион предоставляет право на дополнительные инвестиции.
3. Опцион на сокращение (Option to Contract/Shrink): В случае, если проект показывает неудовлетворительные результаты, менеджмент может сократить его масштабы, чтобы минимизировать убытки, например, уменьшить производственные мощности или объем выпуска продукции.
4. Опцион отказа (Option to Abandon): Если проект становится нерентабельным или убыточным, компания может полностью отказаться от него, продав активы или прекратив деятельность. Этот опцион ограничивает максимальные потери.
5. Опцион на смену (Option to Switch): Возможность переключения между различными видами сырья, технологиями или рынками сбыта в зависимости от рыночной конъюнктуры.

Сфера применения метода реальных опционов практически неограничена и наиболее востребована в:

• Наукоемких и высокотехнологичных отраслях: где инновации и неопределенность являются нормой (фармацевтика, IT, биотехнологии).
• Ресурсодобывающих отраслях: оценка проектов по разведке и разработке месторождений.
• Отраслях с высокими расходами на маркетинг и продвижение новых продуктов: где успех продукта сильно зависит от реакции рынка.
• Любых долгосрочных инвестиционных проектах с высокой степенью неопределенности.

Для оценки стоимости реальных опционов используются те же теоретические модели, что и для финансовых опционов: модель Блэка-Шоулза и биномиальная модель. Однако их применение в контексте реальных активов связано с рядом существенных сложностей (которые будут рассмотрены в следующем разделе).

Эффективное использование метода реальных опционов требует от менеджеров глубоких знаний в теориях ценообразования опционов, а также способности идентифицировать и количественно оценивать управленческую гибкость в своих проектах. Этот метод позволяет принимать более взвешенные и стратегически обоснованные инвестиционные решения, учитывая ценность будущих возможностей и адаптивности.

Ограничения и сложности применения моделей оценки опционов

Несмотря на свою аналитическую мощь и практическую ценность, модели оценки опционов, такие как Блэка-Шоулза-Мертона и биномиальная модель, имеют ряд существенных ограничений и допущений, которые необходимо учитывать при их применении. Игнорирование этих ограничений может привести к неточным или даже некорректным результатам оценки, особенно в случае более сложных производных инструментов или реальных активов.

Ограничения аналитических моделей: европейские vs. американские опционы

Одним из наиболее фундаментальных ограничений модели Блэка-Шоулза является ее применимость: она корректно работает только для европейских опционов. Это связано с тем, что модель предполагает возможность исполнения опциона только в строго определенную дату экспирации. Возможность раннего исполнения, характерная для американских опционов, нарушает основные допущения модели и лишает её аналитического решения.

Для американских опционов биномиальная модель является одним из наиболее распространенных способов оценки, поскольку точное аналитическое решение для них, как правило, неизвестно. Дискретный характер биномиальной модели позволяет учесть возможность исполнения опциона на каждом шаге времени до экспирации, что является критически важным для оценки американских опционов. При этом, по мере увеличения количества шагов в биномиальной модели, ее результаты приближаются к результатам модели Блэка-Шоулза для европейских опционов.

Сложности применения моделей для оценки реальных опционов

Хотя модели ценообразования финансовых опционов (Блэка-Шоулза, биномиальная модель) могут быть адаптированы для оценки реальных опционов, их применение в этом контексте сопряжено с целым рядом сложностей, способных сделать результаты оценки неточными и даже некорректными:

1. Трудности в оценке входных параметров:
   • Волатильность: Для финансовых активов волатильность может быть оценена по историческим данным или подразумеваемой волатильности из рыночных цен. Однако для неликвидных реальных активов (например, стоимость нового завода, потенциальная выручка от нового продукта) оценка волатильности является крайне сложной и часто субъективной задачей.
   • Цена базового актива: Цена базового актива для реального опциона (например, стоимость будущего проекта) также может быть неочевидной и требовать сложного моделирования.
   • Безрисковая ставка: Выбор адекватной безрисковой ставки для долгосрочных проектов может быть проблематичным.
2. Отсутствие открытого рынка для базового актива: Финансовые опционы торгуются на ликвидных рынках, где цена базового актива легко наблюдаема. Для реальных опционов базовый актив (например, проект, технология) часто не имеет ликвидного рынка, что затрудняет его оценку и построение хеджированных портфелей, лежащих в основе моделей.
3. Необходимость учета последовательных решений и взаимодействия между опционами: Многие инвестиционные проекты содержат не один, а несколько реальных опционов, которые могут быть взаимосвязаны (например, опцион на расширение может быть доступен только после реализации опциона на отсрочку). Моделирование такого взаимодействия значительно усложняет расчеты.
4. Противоречия между гибкостью управления и жесткими допущениями моделей: Модели опционов часто предполагают постоянные параметры (например, волатильность, безрисковая ставка), что редко соответствует динамичной природе реальных инвестиционных решений. Гибкость, которую стремятся оценить реальные опционы, может быть трудно формализовать в рамках строгих математических моделей.
5. Оценка премии за риск: В реальных опционах, в отличие от финансовых, отсутствует возможность создания идеально безрискового хеджирующего портфеля. Это означает, что для дисконтирования будущих денежных потоков необходимо адекватно оценить премию за риск, что само по себе является сложной задачей.

Неразработанность теории экзотических опционов

Как было отмечено ранее, теория многих экзотических опционов разработана в незначительной степени. Это означает, что для их оценки и управления рисками часто отсутствуют общепринятые аналитические формулы или даже стандартные численные методы. В таких случаях контракты заключаются исходя из:

• Эвристических соображений: Приближенные методы, основанные на интуиции и опыте.
• Опыта брокеров и квалов: Знания и практика специалистов в области деривативов.
• Собственных численных моделей: Разработка индивидуальных симуляционных или сеточных методов, которые требуют значительных вычислительных ресурсов и экспертных знаний.

Это создает дополнительные риски, так как отсутствие прозрачной и общепризнанной методологии оценки может привести к значительным расхождениям в ценах и сложностям в риск-менеджменте.

Допущения модели Блэка-Шоулза

Стоит еще раз подчеркнуть основные предпосылки модели Блэка-Шоулза, которые, хотя и необходимы для ее аналитического решения, часто не соответствуют реальному рынку:

• Отсутствие арбитража на рынке.
• Возможность брать и давать любое количество денег в долг по безрисковой ставке.
• Возможность занимать и давать в долг любое количество акций (включая короткую продажу).
• Отсутствие транзакционных издержек.
• Постоянная ставка доходности по безрисковому активу в течение всего срока действия опциона.
• Отсутствие выплаты дивидендов по подлежащему активу (хотя существуют модификации).
• Цена базового актива S_t подчиняется геометрическому броуновскому движению, задаваемому стохастическим дифференциальным уравнением:
  dSt = Stµdt + StσdWt, где dS_t — мгновенное изменение цены, µ — ожидаемая доходность актива, σ — волатильность ценового процесса, W_t — винеровский процесс. Это допущение означает, что доходность актива распределена логнормально, а волатильность постоянна, что не всегда наблюдается в реальной жизни (например, эффект «улыбки волатильности»).

Понимание этих ограничений является краеугольным камнем для корректного применения опционных моделей и критического осмысления их результатов в академических исследованиях и практической работе.

Заключение

В ходе данного академического исследования были всесторонне рассмотрены опционы как ключевые производные финансовые инструменты, их теоретические основы оценки и практическое применение на финансовых рынках. От древнегреческих зарисовок Фалеса до сложнейших алгоритмов современных бирж, опционы прошли долгий путь эволюции, утвердившись в роли незаменимого инструмента для управления рисками, спекуляции и стратегического планирования.

Мы начали с определения сущности опциона, его уникальных характеристик, таких как право, а не обязанность, и ключевых терминов, включая премию, страйк и экспирацию. Было подчеркнуто фундаментальное отличие опционов от фьючерсов, заключающееся в асимметричном распределении обязательств. Детально описаны основные виды опционов — колл и пут, а также многообразие базовых активов, обращающихся на современных биржах, в том числе на Московской Бирже.

Исторический экскурс показал, как концепция опциона зародилась в античные времена, вновь проявилась в феномене «тюльпаномании» и достигла своего расцвета с созданием Чикагской опционной биржи (CBOE) в 1973 году, что стало поворотным моментом в стандартизации и массовом распространении этих инструментов.

Особое внимание было уделено классификации опционов, где мы провели грань между европейскими и американскими опционами, исходя из их условий исполнения. Глубокий анализ экзотических опционов выявил их многообразие (path-dependent, барьерные, азиатские, составные) и подтвердил их роль в решении сложных задач риск-менеджмента, при этом было сделано критическое замечание относительно бинарных опционов как азартной ставки.

В части теоретических основ оценки стоимости опционов были детально проанализированы две ключевые модели. Модель Блэка-Шоулза-Мертона, заложившая основы современного ценообразования деривативов, была рассмотрена с точки зрения ее математической ло��ики, основывающейся на безрисковом хеджировании, и строгих предпосылок, ограничивающих ее применимость европейскими опционами. Биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна представлена как универсальный итерационный метод, способный оценивать как европейские, так и американские опционы, с подробным описанием ее входных параметров и алгоритма расчета. Кратко упомянут метод Монте-Карло для оценки наиболее сложных инструментов.

Раздел, посвященный «грекам» опционов, раскрыл их как незаменимые коэффициенты чувствительности, позволяющие трейдерам и управляющим портфелями измерять и управлять рисками, связанными с изменением цены базового актива (Дельта, Гамма), волатильности (Вега), времени (Тета) и процентных ставок (Ро).

Стратегии использования опционов показали их универсальность: от хеджирования портфелей акций с помощью пут-опционов до спекуляций на направленном движении рынка или волатильности с помощью стрэнглов и спрэдов, а также возможностей для арбитража.

Наконец, была всесторонне исследована концепция реальных опционов, подчеркнуто их значение для стратегического управления и оценки инвестиционных проектов в условиях неопределенности. Показано, почему реальные опционы превосходят традиционные методы, такие как NPV, благодаря учету управленческой гибкости (опционы на отсрочку, расширение, сокращение, отказ). Однако были подробно описаны и сложности их практического применения, особенно в оценке входных параметров и отсутствии ликвидного рынка для базового актива.

Подводя итог, опционы являются высокоэффективным, но сложным финансовым инструментом. Их адекватная оценка и применение требуют глубокого понимания как теоретических моделей, так и реальных рыночных условий, а также осознания их ограничений. Дальнейшие исследования в этой области могут быть сосредоточены на разработке более робастных моделей для экзотических и реальных опционов, а также на адаптации существующих методов к быстро меняющимся реалиям финансовых рынков.

Список использованной литературы

1. Опционы на акции. Что такое опционы // Московская Биржа. URL: https://www.moex.com/s2764 (дата обращения: 29.10.2025).
2. Биноминальная модель оценки опционов // Альт-Инвест. URL: https://www.alt-invest.ru/glossary/bin_model/ (дата обращения: 29.10.2025).
3. «Греки» опционов // Cbonds. URL: https://www.cbonds.ru/glossary/option-greeks/ (дата обращения: 29.10.2025).
4. Применение вероятностных методов к исследованию экзотических опцион // Томский политехнический университет. URL: http://earchive.tpu.ru/handle/11683/22240 (дата обращения: 29.10.2025).
5. Опционы и виды опционных стратегий на финансовом рынке // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/optsiony-i-vidy-optsionnyh-strategiy-na-finansovom-rynke (дата обращения: 29.10.2025).
6. Биномиальная модель ценообразования опционов // Финансовый менеджмент. URL: https://www.finmanagement.ru/glossary/bin_model.php (дата обращения: 29.10.2025).
7. Обзор производных опционов // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/obzor-proizvodnyh-optsionov (дата обращения: 29.10.2025).
8. Реальные опционы как один из современных методов оценки стоимости бизнеса // Научное обозрение. Педагогические науки. URL: https://science-pedagogy.ru/ru/article/view?id=2082 (дата обращения: 29.10.2025).
9. Метод реальных опционов в оценке стоимости инвестиционных проектов // Журнал Проблемы современной экономики. URL: https://www.m-economy.ru/art.php?nArtId=1035 (дата обращения: 29.10.2025).
10. Использование моделей «Реальных опционов» при оценке эффективности инвестиционных проектов // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-modeley-realnyh-optsionov-pri-otsenke-effektivnosti-investitsionnyh-proektov (дата обращения: 29.10.2025).
11. Телехов И.И. Проблемы применения реальных опционов при анализе инвестиционных проектов // Российское предпринимательство. 2013. № 6. URL: https://creativeconomy.ru/articles/28221 (дата обращения: 29.10.2025).
12. Оценка инвестиционных проектов с использованием реальных опционов // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/otsenka-investitsionnyh-proektov-s-ispolzovaniem-realnyh-optsionov (дата обращения: 29.10.2025).
13. Экзотические опционы, практика их использования // eLibrary.ru. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=21404099 (дата обращения: 29.10.2025).
14. Математика опционов или модель Блэка-Шоулза // Habr. URL: https://habr.com/ru/articles/552608/ (дата обращения: 29.10.2025).
15. Аналитические модели оценки опционов (биномиальная и Блэка-Шоулза) // eLibrary.ru. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=17950942 (дата обращения: 29.10.2025).
16. История становления биржевых опционов // Double Case. URL: https://doublecase.ru/blog/istoriya-birzhevih-opcionov (дата обращения: 29.10.2025).
17. Методы оценки опционов, Классическая модель Блэка-Шоулза-Мёртона // Studbooks.net. URL: https://studbooks.net/830616/finansy/metody_otsenki_optsionov_klassicheskaya_model_bleka_shoulza_mertona (дата обращения: 29.10.2025).
18. Американский опцион // Cbonds. URL: https://www.cbonds.ru/glossary/american-option/ (дата обращения: 29.10.2025).
19. Инструментарий фондового рынка: что такое опционы, и как они работают // Habr. URL: https://habr.com/ru/companies/itinvest/articles/226155/ (дата обращения: 29.10.2025).
20. Классические опционы и опционные стратегии // Студенческий научный форум. URL: https://scienceforum.ru/2017/article/2017036326 (дата обращения: 29.10.2025).