Методика изучения арифметических действий в начальной школе (концентр «в пределах 100»): Теория, практика и современные подходы

Введение: Актуальность методики преподавания арифметики в начальной школе

Представьте себе, что 25% младших школьников допускают ошибки в элементарном порядке арифметических действий, даже в выражениях с двумя-тремя операциями. Эта статистика, пусть и гипотетическая, ярко иллюстрирует критическую проблему: формирование прочных вычислительных навыков и глубокого понимания арифметических действий остается одним из фундаментальных вызовов начального образования. В условиях постоянно меняющихся требований Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО), акцент смещается не только на «что» дети изучают, но и на «как» они это делают, что означает переход от простого запоминания к осмысленному применению знаний. Современный мир требует от выпускника начальной школы не просто умения считать, а способности мыслить логически, анализировать информацию и применять математические знания в реальных жизненных ситуациях.

Данная курсовая работа посвящена всестороннему исследованию методики изучения арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления, деления с остатком) в начальной школе, сфокусированной на концентре «в пределах 100». Целью работы является создание комплексного теоретического и практического руководства, которое поможет будущим педагогам эффективно формировать вычислительные навыки у младших школьников. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: раскрыть теоретические основы и психолого-педагогические особенности обучения арифметике; проследить исторический путь развития методики преподавания; детально рассмотреть специфику изучения сложения, вычитания, умножения и деления в концентре «в пределах 100»; выявить типичные трудности и предложить методы их преодоления, а также проанализировать современные подходы к оценке результатов обучения и роль учебно-методических комплексов. Структура работы последовательно раскрывает эти аспекты, предлагая как теоретический фундамент, так и практические рекомендации для разработки уроков по теме «Сложение и вычитание в пределах 100».

Теоретические и психолого-педагогические основы формирования арифметических понятий

Погружение в мир чисел для младшего школьника начинается не с абстрактных формул, а с конкретных действий, которые постепенно формируют фундамент математического мышления. Этот процесс укоренен как в математической логике, так и в тонкостях детской психологии.

Сущность арифметических действий и вычислительных навыков

В основе всего математического здания начальной школы лежат четыре краеугольных камня: сложение, вычитание, умножение и деление. Это не просто операции, а ключевые понятия теории чисел, которые определяют структуру и свойства числовых множеств. Их изучение неразрывно связано с формированием понятия числа как такового и развитием вычислительных умений.

• Сложение – это базовое арифметическое действие, которое позволяет объединять два или более числа (слагаемых) для получения их суммы. Оно служит фундаментом для понимания всех последующих операций.
• Вычитание – это действие, обратное сложению. Позволяет найти одно слагаемое, если известна сумма и другое слагаемое. Например, если a + b = c, то c — a = b.
• Умножение – может быть определено как арифметическое действие, при котором по данным множимому и множителю находят произведение. Для младших школьников его смысл раскрывается через свернутое сложение одинаковых слагаемых. Например, 3 × 4 означает 3 + 3 + 3 + 3.
• Деление – является действием, обратным умножению. Оно позволяет найти один из множителей, если известны произведение и другой множитель. Смысл деления раскрывается через свернутое вычитание равных слагаемых (деление по содержанию) или распределение на равные части (деление на равные части).

Формирование вычислительных навыков – это не механическое заучивание, а процесс, основанный на сознательном усвоении приемов вычислений. Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительным приемом, который состоит из последовательных операций, ведущих к нахождению результата арифметического действия. Выбор этих операций, в свою очередь, определяется теоретической основой каждого действия и его свойств (например, переместительное, сочетательное, распределительное свойства). Чтобы осознать этот смысл, ребёнок должен научиться моделировать практические ситуации, которые соответствуют сложению и вычитанию; переводить жизненные ситуации на язык математики; читать математические записи (выражения) разными способами; находить значения этих выражений, что является прямым путём к глубокому пониманию математических закономерностей.

Психолого-педагогические особенности младших школьников в обучении математике

Младший школьный возраст, охватывающий период от 6-7 до 9-11 лет, по праву считается вершиной детства и наиболее активным пропедевтическим этапом развития логического мышления. Именно в этот период происходит интенсивное развитие познавательных процессов, которые из непроизвольных становятся осознанными и произвольными. Ключевым изменением является завершение перехода от наглядно-образного к словесно-логическому мышлению. Если в дошкольном возрасте ребенок опирается на конкретные образы и действия с предметами, то в начальной школе он постепенно учится оперировать понятиями, рассуждать и делать выводы, не прибегая к непосредственной опоре на предметный мир.

Возраст (классы)	Основные черты мышления	Формируемые логические операции	Доказательная база
1-2 классы (6-8 лет)	Переход от наглядно-образного к словесно-логическому	Анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация, абстрагирование	Использование аналогии и реальных фактов
3-4 классы (8-11 лет)	Активное развитие словесно-логического мышления	Способность давать обоснованные доказательства, разворачивать аргументацию	Логическое обоснование, осмысление абстрактных понятий

Развитие логического мышления, включающее способность и умение ребенка самостоятельно выполнять простые логические действия (анализ, синтез, сравнение, обобщение, конкретизация) и составные логические операции (построение отрицания, утверждение и опровержение), является одной из главных задач начального обучения. Математика, как предмет, предоставляет для этого богатейшие предпосылки. Развитая логика позволяет не только эффективно решать задачи, но и выделять суть информации, принимать взвешенные решения и четко формулировать мысли – качества, необходимые для успешной адаптации в современном мире.

Дидактические принципы обучения арифметике

Современное преподавание математики в начальной школе, особенно в контексте изучения арифметических действий, базируется на прочных дидактических принципах, которые обеспечивают не только усвоение знаний, но и всестороннее развитие личности ребенка. Эти принципы тесно связаны с требованиями обновленного Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО, 2021 г.), который акцентирует внимание на развитии функциональной математической грамотности и формировании универсальных учебных действий (УУД).

1. Принцип наглядности: От конкретного к абстрактному. Поскольку мышление младших школьников еще во многом наглядно-образное, обучение должно начинаться с практических действий с предметами, моделями, схемами. Например, для сложения и вычитания в пределах 100 основным наглядным пособием является абак, который позволяет физически представить десятки и единицы.
2. Принцип сознательности и активности: Учащиеся должны не просто запоминать алгоритмы, а понимать их смысл и теоретическую основу. Это достигается через проблемные ситуации, поисковую деятельность, создание условий для самостоятельного открытия знаний. Целью является не механическое заучивание, а сознательное усвоение приемов вычислений.
3. Принцип доступности: Учебный материал должен соответствовать возрастным особенностям детей, не быть ни слишком легким, ни слишком трудным. Это предполагает учет перехода от наглядно-образного к словесно-логическому мышлению.
4. Принцип систематичности и последовательности: Изучение арифметических действий должно строиться по логической цепочке, где каждое новое знание опирается на предыдущее. Например, сложение и вычитание в пределах 100 базируются на знаниях состава чисел первого десятка и рациональных приемов вычислений.
5. Принцип прочности усвоения знаний, умений и навыков: Достигается через многократное повторение, применение знаний в различных ситуациях, выполнение разнообразных упражнений, в том числе и с элементами игровой деятельности. Вычислительные навыки должны быть доведены до автоматизма.
6. Принцип индивидуализации и дифференциации: Учет индивидуальных особенностей каждого ребенка, его темпа обучения, сильных и слабых сторон. Это позволяет предупреждать и преодолевать трудности в обучении.
7. Принцип связи обучения с жизнью: Применение математических знаний в практических, жизненных ситуациях. Это способствует формированию функциональной математической грамотности – способности решать учебно-познавательные и учебно-практические задачи, используя математические знания.

ФГОС НОО подчеркивает значимость формирования универсальных учебных действий (УУД), которые включают:

• Познавательные УУД: Особое внимание уделяется разделу «Работа с информацией» – умению находить, анализировать, преобразовывать и представлять информацию. В контексте математики это означает умение извлекать данные из текстовых задач, таблиц, графиков, а также моделировать ситуации с помощью математических выражений.
• Коммуникативные УУД: Способность взаимодействовать в процессе обучения, слушать, задавать вопросы, высказывать собственные суждения и приводить доказательства. Анализ реализации ФГОС НОО (2009 г.) показал, что именно эти УУД вызывают значительные трудности у младших школьников, что требует от педагога целенаправленной работы по их развитию.
• Регулятивные УУД: Планирование своей деятельности, контроль и оценка результатов. В математике это проявляется в умении следовать алгоритму, проверять правильность вычислений, исправлять ошибки.

Таким образом, дидактические принципы и требования ФГОС НОО неразрывно связаны, обеспечивая комплексный подход к обучению арифметике, направленный на развитие полноценной, мыслящей и функционально грамотной личности.

Исторический экскурс в развитие методики преподавания арифметики в России

Путешествие в мир методики преподавания арифметики – это не только взгляд на развитие педагогических идей, но и осмысление того, как менялось понимание роли математики в образовании и как формировались подходы к ее обучению. От первых рукописных книг до современных цифровых платформ – каждый этап оставлял свой след.

Зарождение и становление методики (XVIII-XIX века)

История российской методики преподавания арифметики берет свое начало задолго до появления привычных нам школьных учебников. Знаковым событием стало издание в 1703 году Л.Ф. Магницким «Арифметики, сиречь науки числительной». Этот труд не просто стал первым печатным учебником математики в России, но и впервые полно и обстоятельно познакомил читателя с «индийской» системой нумерации натуральных чисел, которой мы пользуемся и по сей день. «Арифметика» Магницкого охватывала не только выполнение четырех арифметических действий, но и дробные числа, десятичные дроби, а также элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, заложив основы математического образования в стране.

XIX век принес значительные изменения в методику преподавания арифметики. В первой половине столетия появились методические книги, направленные непосредственно на учителей. Среди них выделяются «Руководство к преподаванию арифметики для учителей» Ф.И. Буссе (1831) и «Руководство к преподаванию арифметики малолетним детям» П.С. Гурьева (1839, 1842). Именно П.С. Гурьев (1807-1884) по праву считается одним из основоположников методики арифметики в России, положившим начало теоретическому обоснованию и практической разработке так называемого «метода изучения действий». Этот подход предполагал последовательное изучение каждого арифметического действия (сначала сложение, затем вычитание и так далее) во всех числовых пределах.

На развитие отечественной методики в конце XIX века оказали влияние и зарубежные идеи. Ярким примером является труд немецкого педагога Августа Вильгельма Грубе «Руководство к начальной арифметике в элементарной школе на основе эвристического метода», переведенный на русский язык в 1873 году. Грубе, являясь последователем Песталоцци, выдвигал в качестве основы обучения «созерцание чисел», а не арифметические действия. Его монографический или индивидуальный метод изучения чисел предполагал переход «от числа к числу» (в пределах сотни), а не «от действия к действию». Учебный материал был структурирован по числам («число 5», «число 6» и т.д.), и каждое число изучалось со всеми возможными операциями. В этот период также активно работали такие отечественные методисты, как В.А. Евтушевский (1836-1888), редактор журнала «Народная школа», и В.А. Латышев, чей основной труд «Руководство к преподаванию арифметики» (1880-1882) оказал значительное влияние на развитие методической мысли.

Развитие методики в XX веке

XX век стал периодом бурных трансформаций в образовании, и методика преподавания арифметики не осталась в стороне. В 30-50-е годы она начала дифференцироваться на общую и специальную (частную), научную и практическую, отражая растущую сложность и систематизацию педагогических знаний.

До 1949 года в начальном образовании доминировали практические цели. Содержание начального курса математики было прагматичным: изучение четырех арифметических действий, решение задач арифметическим методом и знакомство с геометрическим материалом, подчиненным решению прикладных задач. Методы обучения в этот период учитывали преобладание образности и механической памяти у младших школьников. Это приводило, например, к необходимости запоминания четырех таблиц (две таблицы умножения и соответствующие случаи деления), каждая из которых содержала по 100 примеров, что требовало значительных усилий от учеников.

Ключевым моментом в систематизации методики стало создание в 1932 году новой программы по математике, которая обеспечивала изучение четко выделенного объема знаний по арифметике в каждом классе. В 1934 году вышла первая советская методика преподавания арифметики в начальной школе, написанная И.Н. Кавун и Н.С. Поповой. Стоит отметить, что годом ранее, в 1933 году, Н.С. Поповой был создан и первый советский учебник «Арифметика» для начальных классов, который на долгие годы определил вектор развития.

В 1950-1960-х годах сформировался коллектив математиков, который, несмотря на отсутствие опыта обучения детей и знания детской психологии, активно занимался подготовкой реформы математического образования. Их стремление повысить научный уровень обучения привело к значительным изменениям. В 1968 году Министерством просвещения СССР была утверждена новая программа по математике, предусматривающая коренное изменение идеологии и содержания обучения. Курс арифметики начальной школы был существенно усилен за счет более ранней алгебраической и геометрической пропедевтики, что стало шагом к более глубокому и комплексному пониманию математики уже на ранних этапах обучения.

Современные подходы и цифровые технологии

В XXI веке, с развитием информационных технологий и изменением образовательных парадигм, методика преподавания математики в начальной школе продолжает эволюционировать. Современное обучение все больше отходит от традиционной фронтальной передачи знаний в сторону интерактивных методов и технологий.

К таким методам относятся:

• Игры: Дидактические игры, математические квесты, викторины, которые превращают процесс обучения в увлекательное приключение, повышая мотивацию и вовлеченность учащихся.
• Групповые задания и проекты: Работа в малых группах стимулирует коммуникативные навыки, развивает умение сотрудничать, совместно решать задачи и доказывать свою точку зрения. Проектная деятельность позволяет применять математические знания в реальных, практико-ориентированных ситуациях.
• Цифровые инструменты: С 2020 года, в рамках федерального проекта «Цифровая образовательная среда» национального проекта «Образование», цифровые технологии активно внедряются в образовательный процесс. Это включает использование интерактивных досок, обучающих программ, онлайн-тренажеров, виртуальных лабораторий и образовательных платформ. Эти инструменты не только делают уроки более наглядными и динамичными, но и предоставляют возможности для индивидуализации обучения, мгновенной обратной связи и контроля прогресса.
• Практико-ориентированные подходы: Задачи, связанные с реальной жизнью, измерением, расчетами, моделированием ситуаций, помогают детям осознать прикладную значимость математики и развивают функциональную математическую грамотность.

Эти подходы направлены на создание развивающей образовательной среды, где ребенок не пассивный слушатель, а активный участник познавательного процесса. Они способствуют не только более глубокому усвоению математического материала, но и развитию универсальных учебных действий, необходимых для успешной жизни в современном информационном обществе.

Методика изучения сложения и вычитания в концентре «в пределах 100»

Переход от работы с числами первого десятка к операциям в пределах сотни – это значимый шаг в математическом развитии младшего школьника. Этот концентр является фундаментом для освоения дальнейших вычислений с многозначными числами и требует систематического, пошагового подхода.

Подготовительный этап и ознакомление

Прежде чем приступить к сложению и вычитанию в концентре «Сотня», необходимо провести тщательную подготовительную работу. Этот этап критически важен для формирования прочных вычислительных навыков и сознательного усвоения приемов.

1. Повторение состава чисел от 2 до 10: Базовое знание состава чисел (например, 7 — это 3 и 4, или 5 и 2) является краеугольным камнем для всех последующих вычислений, особенно для приемов сложения и вычитания с переходом через десяток. Это повторение должно быть не механическим, а осмысленным, с использованием различных дидактических игр и наглядных пособий.
2. Усвоение рациональных вычислительных приемов в пределах первого десятка: Дети должны не просто знать ответы, но и понимать, как они получаются, использовать такие приемы, как прибавление по частям, использование переместительного свойства сложения (например, 2 + 7 = 7 + 2). Эти навыки должны быть доведены до автоматического запоминания результатов наизусть, что значительно ускоряет дальнейшие вычисления.
3. Раскрытие смысла арифметических действий: Ознакомление с арифметическими действиями подготавливается на первых уроках математики через практические упражнения:
   • Объединение множеств предметов: Для сложения, например, объединить 3 яблока и 2 груши.
   • Выделение части из данного множества: Для вычитания, например, из 5 конфет взять 2.
   • Система соответствующих текстовых задач: Задачи, которые моделируют реальные жизненные ситуации, помогая детям переводить эти ситуации на язык математики и понимать, какое действие необходимо выполнить.
   • Моделирование ситуаций и чтение математических записей: Учащиеся должны уметь самостоятельно составлять задачи по выражениям и наоборот, читать математические записи разными способами (например, 5 + 3 = 8 можно прочитать как «к пяти прибавить три, получится восемь», «пять увеличить на три», «сумма чисел пять и три равна восьми»).

Важно, чтобы на этом этапе дети хорошо представляли десятичный состав двузначного числа (например, 46 — это 4 десятка и 6 единиц). Основным наглядным пособием при изучении чисел от 10 до 100 является абак (или счеты), который позволяет визуализировать разрядный состав числа и механически выполнять действия.

Устные приемы сложения и вычитания

Устные вычисления в пределах 100 – это не только развитие скорости счета, но и формирование гибкости мышления, способности применять различные стратегии. Методика рекомендует использовать минимальное количество, но при этом методически обоснованных и легко иллюстрируемых наглядными пособиями приемов.

Основные устные приемы сложения и вычитания в пределах 100:

1. Сложение и вычитание целыми десятками:
   • Пример: 60 + 20; 50 — 30.
   • Теоретическая основа: Основано на понимании десятичного состава двузначного числа (6 десятков + 2 десятка = 8 десятков).
   • Методика: Наглядность (абак, пучки палочек по 10 штук), проговаривание: «6 десятков и 2 десятка – это 8 десятков, то есть 80».
2. Сложение однозначных и двузначных чисел без перехода через разряд:
   • Пример: 25 + 3.
   • Теоретическая основа: Прибавление единиц к единицам.
   • Методика: 25 + 3 = (20 + 5) + 3 = 20 + (5 + 3) = 20 + 8 = 28. Акцент на том, что прибавляем единицы к единицам.
3. Вычитание однозначного числа из двузначного без перехода через разряд:
   • Пример: 25 — 3.
   • Теоретическая основа: Вычитание единиц из единиц.
   • Методика: 25 — 3 = (20 + 5) — 3 = 20 + (5 — 3) = 20 + 2 = 22. Акцент на том, что вычитаем единицы из единиц.
4. Сложение однозначных и двузначных чисел с переходом через разряд:
   • Пример: 37 + 5.
   • Теоретическая основа: Дополнение до ближайшего целого десятка, затем прибавление остатка. Требует знания состава однозначных чисел.
   • Методика: 37 + 5 = 37 + (3 + 2) = (37 + 3) + 2 = 40 + 2 = 42. (Разложение 5 на удобные слагаемые).
5. Вычитание однозначного числа из двузначного с переходом через разряд:
   • Пример: 32 — 7.
   • Теоретическая основа: Вычитание по частям, занимая десяток.
   • Методика: 32 — 7 = 32 — (2 + 5) = (32 — 2) — 5 = 30 — 5 = 25. (Разложение 7 на удобные слагаемые).
6. Сложение двух двузначных чисел без перехода через разряд:
   • Пример: 64 + 21.
   • Теоретическая основа: Поразрядное сложение (десятки с десятками, единицы с единицами).
   • Методика: 64 + 21 = (60 + 4) + (20 + 1) = (60 + 20) + (4 + 1) = 80 + 5 = 85.
7. Вычитание двух двузначных чисел без перехода через разряд:
   • Пример: 64 — 21.
   • Теоретическая основа: Поразрядное вычитание.
   • Методика: 64 — 21 = (60 + 4) — (20 + 1) = (60 — 20) + (4 — 1) = 40 + 3 = 43.
8. Сложение двух двузначных чисел с переходом через разряд:
   • Пример: 28 + 54.
   • Теоретическая основа: Поразрядное сложение с переносом десятка.
   • Методика: 28 + 54 = (20 + 8) + (50 + 4) = (20 + 50) + (8 + 4) = 70 + 12 = 82.
9. Вычитание двух двузначных чисел с переходом через разряд:
   • Пример: 62 — 36.
   • Теоретическая основа: Поразрядное вычитание с «заниманием» десятка.
   • Методика: 62 — 36. Из 2 единиц 6 единиц вычесть нельзя. Занимаем 1 десяток у 6 десятков (остается 5 десятков). 12 — 6 = 6 единиц. 5 десятков — 3 десятка = 2 десятка. Итого 26.

При изучении приемов устного сложения дети знакомятся с ассоциативным законом сложения, который раскрывается через правила прибавления числа к сумме и суммы к числу:

• Прибавление числа к сумме: (a + b) + c = a + (b + c).
  • Пример: (20 + 6) + 4 = 20 + (6 + 4) = 20 + 10 = 30.
• Прибавление суммы к числу: a + (b + c) = (a + b) + c.
  • Пример: 47 + 5 = 47 + (3 + 2) = (47 + 3) + 2 = 50 + 2 = 52.

Эти приемы являются универсальными и используются в дальнейшем при вычислениях в пределах 1000, 10000 и так далее.

Письменные приемы сложения и вычитания

Письменные вычисления «в столбик» – это один из важнейших навыков, который позволяет работать с многозначными числами и является основой для дальнейшего изучения математики. Введение письменных приемов сложения и вычитания в пределах 100 происходит после того, как учащиеся уверенно освоят устные вычисления и вычисления в строчку.

Алгоритм письменных вычислений «в столбик» предполагает:

1. Запись чисел в столбик: Разряд под разрядом – единицы под единицами, десятки под десятками. Это обеспечивает правильное выполнение поразрядных операций.

     28
   + 54
   ----

     62
   - 36
   ----

2. Начало вычислений с единиц низшего разряда: В отличие от устных вычислений, где часто удобнее начинать с высших разрядов (например, 20 + 50 = 70, потом 8 + 4 = 12), письменные вычисления всегда начинаются с единиц, затем переходят к десяткам, сотням и так далее. Это связано с удобством переноса или «занимания» разрядов.
3. Запись промежуточных результатов: При сложении – перенос десятка в следующий разряд (например, 8 + 4 = 12, 2 записываем, 1 десяток запоминаем и прибавляем к десяткам). При вычитании – «занимание» десятка из более высокого разряда.

Отличие письменных вычислений от устных:

Критерий	Устные вычисления	Письменные вычисления
Вид записи	В строчку (часто с использованием скобок)	В столбик, разряд под разрядом
Начало действий	С высших разрядов (для удобства)	С низших разрядов (с единиц)
Промежуточные результаты	Удерживаются в памяти или записываются поэтапно	Записываются (перенесенные/занятые разряды)
Опора	На состав числа, свойства действий	На алгоритм, разрядную структуру числа

Пошаговое применение алгоритма (примеры):

• Письменное сложение: 28 + 54
  1. Записываем числа в столбик:

       28
     + 54
     ----

  2. Складываем единицы: 8 + 4 = 12. 2 записываем под единицами, 1 десяток переносим в разряд десятков (можно отметить маленькой цифрой над разрядом десятков).

       128
     +  54
     ----
        2

  3. Складываем десятки: 2 + 5 = 7. Прибавляем перенесенный десяток: 7 + 1 = 8. Записываем 8 под десятками.

       128
     +  54
     ----
       82

  Результат: 82

• Письменное вычитание: 62 — 36
  1. Записываем числа в столбик:

       62
     - 36
     ----

  2. Вычитаем единицы: из 2 единиц нельзя вычесть 6 единиц. «Занимаем» 1 десяток у 6 десятков (над 6 можно поставить точку или написать 5). Теперь у нас 12 единиц.

       62
     - 36
     ----

  3. Из 12 вычитаем 6: 12 — 6 = 6. Записываем 6 под единицами.

       62
     - 36
     ----
        6

  4. Вычитаем десятки: у нас осталось 5 десятков (так как 1 десяток «заняли»). Из 5 десятков вычитаем 3 десятка: 5 — 3 = 2. Записываем 2 под десятками.

       62
     - 36
     ----
       26

  Результат: 26

Овладение письменными приемами требует многократной практики и тщательного контроля со стороны учителя, чтобы избежать формирования неверных алгоритмов.

Методика изучения умножения и деления в концентре «в пределах 100»

Переход к умножению и делению – это новый, более сложный этап в освоении арифметики. Эти действия требуют от младших школьников более высокого уровня обобщения, анализа и умения применять знания в изменяющихся условиях. Нередко именно здесь возникают основные трудности, обусловленные как необходимостью разнообразных приемов умственной деятельности, так и концептуальными пробелами в понимании самих операций.

Конкретный смысл и табличное умножение/деление

Для начала изучения умножения и деления крайне важно сформировать у детей понимание их конкретного смысла. Это происходит на основе практических действий и решения задач.

1. Смысл умножения: Раскрывается как свернутое сложение одинаковых слагаемых.
   • Пример: Задача «На каждой тарелке по 3 яблока. Сколько яблок на 4 таких тарелках?» Решение: 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Это же можно записать как 3 × 4 = 12.
   • Методика: Использование наглядных пособий (группы предметов), схематических рисунков, проговаривание: «взять по 3 четыре раза».
   • Подготовительная работа: Изучение конкретного смысла действия, переместительного свойства умножения (a × b = b × a) и связи между компонентами умножения и деления.
   • Аксиоматический подход используется в начальной школе при составлении таблицы умножения, а количественный подход, рассматривающий умножение как число элементов в объединении равных множеств, является принятым в начальном курсе математики.
2. Смысл деления: Раскрывается как свернутое вычитание равных слагаемых. Различают два вида деления:
   • Деление по содержанию: Нахождение количества равных частей.
     • Пример: «12 яблок разложили по 3 штуки на каждую тарелку. Сколько тарелок понадобилось?» Решение: 12 — 3 — 3 — 3 — 3 = 0. Понадобилось 4 тарелки. Это 12 : 3 = 4.
   • Деление на равные части: Нахождение величины одной части.
     • Пример: «12 яблок разделили поровну на 4 тарелки. Сколько яблок на каждой тарелке?» Решение: 12 : 4 = 3.
   • Методика: Использование наглядности (разделение предметов), моделирование ситуаций.

Последовательность изучения темы «Умножение и деление»:

1. Умножение при постоянном множимом (например, 2 × 3, 2 × 4).
2. Деление по содержанию (например, 6 : 2 = 3, сколько раз по 2 содержится в 6).
3. Деление на равные части (например, 6 : 3 = 2, 6 разделили на 3 равные части).
4. Уменьшение и увеличение числа в несколько раз.
5. Кратное сравнение (во сколько раз одно число больше или меньше другого).
6. Нахождение одной части числа (например, ¹⁄₃ от 12).
7. Нахождение числа по величине одной его части.

Табличное умножение и деление является центральной темой курса математики в начальных классах. Цель – довести его до уровня автоматизированного навыка.

• Таблица умножения обычно строится постепенно, сначала для 2, 3, 4 и 5, затем для 6, 7, 8 и 9.
• Особое внимание уделяется переместительному свойству умножения (например, знание 2 × 7 автоматически дает 7 × 2).
• Параллельно с умножением изучаются соответствующие случаи деления.

Трудности в усвоении умножения и деления часто связаны с:

• Незнанием табличных случаев умножения.
• Несовершенством анализа и синтеза, что мешает осознанному овладению таблицей.
• Слабой активностью самоконтроля.

Деление может быть сложнее умножения, так как оно часто приводит к остаткам, а традиционный алгоритм деления в столбик сложен для мысленного отслеживания.

Внетабличные приемы умножения и деления

После освоения табличных случаев учащиеся переходят к внетабличным вычислениям в пределах 100. Эти приемы строятся на основе свойств арифметических действий и требуют умения оперировать разрядным составом чисел.

Внетабличное умножение и деление включает:

1. Умножение круглых десятков на однозначное число:
   • Пример: 20 × 3.
   • Методика: Применяется прием, при котором сначала умножаются десятки без учета нуля, а затем к результату приписывается ноль. 2 десятка × 3 = 6 десятков, то есть 60.
   • Умножение на 10, 100, 1000: путем приписывания соответствующего количества нулей к умножаемому числу. (Например, 7 × 10 = 70).
2. Деление круглых десятков на однозначное число:
   • Пример: 80 : 4.
   • Методика: 8 десятков : 4 = 2 десятка, то есть 20.
3. Деление двузначного числа на круглые десятки:
   • Пример: 80 : 20.
   • Методика: Метод подбора (сколько раз по 20 содержится в 80) или деление десятков на десятки (8 десятков : 2 десятка = 4).
4. Умножение двузначного числа на однозначное число:
   • Пример: 23 × 4.
   • Теоретическая основа: Распределительное свойство умножения относительно сложения. Двузначное число раскладывается на сумму разрядных слагаемых, каждое из которых умножается на однозначное число, а результаты складываются.
   • Алгоритм:
     1. Разложить двузначное число на сумму разрядных слагаемых: 23 = 20 + 3.
     2. Умножить каждое слагаемое на однозначное число: 20 × 4 = 80; 3 × 4 = 12.
     3. Сложить полученные произведения: 80 + 12 = 92.
5. Деление двузначного числа на однозначное число:
   • Пример: 84 : 6.
   • Теоретическая основа: Правило деления суммы на число. Делимое представляется в виде суммы удобных слагаемых, каждое из которых делится на делитель, а результаты складываются.
   • Алгоритм:
     1. Заменить делимое (84) суммой удобных слагаемых (60 + 24). Одно из слагаемых – наибольшее количество десятков, делящихся на делитель (60 делится на 6).
     2. Применить правило деления суммы на число: (60 + 24) : 6 = 60 : 6 + 24 : 6.
     3. Вычислить частное круглых десятков на число: 60 : 6 = 10.
     4. Вычислить табличное частное: 24 : 6 = 4.
     5. Вычислить полученную сумму: 10 + 4 = 14.
6. Деление двузначного числа на двузначное число:
   • Пример: 51 : 17.
   • Методика: Метод подбора или перебора. Учащимся предлагается подумать, сколько раз число 17 «помещается» в числе 51. 17 × 2 = 34, 17 × 3 = 51. Значит, 51 : 17 = 3.

Эффективные методические приемы изучения внетабличного умножения и деления включают:

• Приемы сопоставления: Сравнение различных способов решения.
• Наглядность: Использование моделей, схем.
• Интерактивное обучение: Дидактические игры, групповые задания.
• Самопроверка и взаимопроверка: Развитие навыков контроля.

Деление с остатком

Деление с остатком – это специфический случай деления, при котором делимое не делится на делитель без остатка. Оно вводится после того, как дети прочно усвоили деление без остатка и хорошо понимают смысл деления как такового.

Основные положения методики изучения деления с остатком:

1. Раскрытие смысла: Смысл деления с остатком раскрывается на конкретных практических примерах, связанных с равным распределением предметов, когда часть из них остается «лишней».
   • Пример: «Было 10 конфет, их нужно разделить поровну между 3 детьми. Сколько конфет получит каждый ребенок и сколько останется?»
     • Практическое действие: раздать по одной, потом еще по одной, потом еще по одной. Каждый получит 3 конфеты, 1 конфета останется.
     • Запись: 10 : 3 = 3 (ост. 1).
2. Понятия «частное» и «остаток»: В результате деления с остатком получается два числа – частное (сколько раз делитель «поместился» в делимом) и остаток (что осталось).
3. Ключевое условие: Остаток всегда должен быть меньше делителя. Это фундаментальное правило, которое необходимо донести до каждого ученика. Если остаток равен делителю или больше его, значит, деление выполнено неверно, и можно было еще раз «взять» делитель из остатка.
   • Пример: Если при делении 10 на 3 кто-то получил 10 : 3 = 2 (ост. 4), то это ошибка, так как 4 > 3. Это означает, что из 4 можно было еще раз вычесть 3.
4. Проверка деления с остатком:
   • Формула: Делимое = Частное × Делитель + Остаток.
   • Пример: Для 10 : 3 = 3 (ост. 1) проверка будет: 3 × 3 + 1 = 9 + 1 = 10.
   • Проверка помогает убедиться в правильности вычислений и закрепить понимание взаимосвязи компонентов деления.

Методика изучения деления с остатком требует особенно тщательной работы с наглядностью, моделированием ситуаций и многократного проговаривания алгоритма и правила об остатке.

Типичные трудности учащихся и критерии оценки результатов обучения

Освоение арифметических действий – процесс нелинейный, и на каждом этапе могут возникать затруднения. Для учителя важно не только выявить эти трудности, но и понять их природу, чтобы своевременно оказать помощь и скорректировать процесс обучения.

Анализ типичных ошибок

Типичные трудности учащихся при освоении арифметических действий часто связаны с отсутствием глубокого понимания алгоритмов вычислений и неверным применением теоретических основ. Давайте рассмотрим наиболее распространенные ошибки:

1. Ошибки при сложении и вычитании:

• Смешение действий сложения и вычитания: Ребенок выполняет не то действие, которое требуется.
  • Пример: Вместо 7 + 2 = 9, пишет 7 + 2 = 5 (вычитает).
• Использование нерациональных приемов вычислений: Даже зная состав числа или переместительное свойство, ребенок продолжает считать по единицам, теряя время и повышая вероятность ошибки.
  • Пример: Для 3 + 6 ребенок считает «три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять» вместо того, чтобы сразу сказать «шесть да три – это девять» или использовать 6 + 3.
• Выполнение сложения или вычитания над числами разных разрядов как над числами одного разряда:
  • Пример: 54 + 2 = 74 (сложил десятки с единицами, 50 + 20) или 57 — 40 = 53 (вычел десятки из единиц, 7 — 0).
• Ошибки в переносе/занимании разрядов при письменных вычислениях: Часто забывают прибавить перенесенный десяток или занять его, или неправильно вычитают из «занятого» десятка.
  • Пример: При сложении 38 + 25, сложить 8+5=13 (3 записать, 1 запомнить), а потом сложить 3+2=5, забыв про 1. Итого 53 вместо 63.

2. Ошибки при умножении и делении:

• Незнание табличных случаев: Самая частая и фундаментальная ошибка, затрудняющая все дальнейшие вычисления.
• Смешение внетабличных приемов с приемом сложения:
  • Пример: 35 × 2 = 65 (ребенок мог сложить 30 + 35, проигнорировав умножение).
• Концептуальные ошибки:
  • Непонимание десятичной записи числа.
  • Непонимание принципа умножения (например, 3 × 2 = 6, но ребенок может сложить 3 + 2 = 5).
  • Ошибки в применении распределительного свойства (например, при 23 × 4 забыть умножить десятки на 4).
• Трудности при внетабличном делении:
  • Неправильный подбор пробного частного при делении двузначного на двузначное.
  • Ошибки в разложении делимого на удобные слагаемые.
• Ошибки в порядке выполнения арифметических действий: Очень распространенная проблема, указывающая на несформированность регулятивных УУД.
  • Пример: В выражении 32 + 64 : 16 × 2, ребенок может сначала сложить 32 + 64, вместо того чтобы выполнить деление и умножение.

Таблица 2: Классификация типичных ошибок

Вид действия	Типичные ошибки
Сложение	Смешение со сложением, нерациональные приемы, ошибки в переносе разрядов, сложение разных разрядов.
Вычитание	Смешение с вычитанием, нерациональные приемы, ошибки в занимании разрядов, вычитание разных разрядов.
Умножение	Незнание таблицы, смешение с сложением, концептуальные ошибки (непонимание принципа), ошибки в распределительном свойстве.
Деление	Незнание таблицы, неправильный подбор частного, ошибки в разложении делимого, ошибки в правиле деления с остатком.
Общие	Ошибки в порядке выполнения арифметических действий, неправильное списывание данных.

Предупреждение и преодоление трудностей

Предупреждение и преодоление трудностей в обучении арифметике – это системная работа, основанная на глубоком понимании причин возникновения ошибок.

1. Наглядность и практическая деятельность: На начальном этапе максимально использовать наглядные пособия (абак, счеты, палочки, картинки) и практические действия с предметами. Это помогает сформировать конкретный образ действия, прежде чем переходить к символической записи.
2. Раскрытие смысла действий: Постоянно возвращаться к смыслу арифметических действий через решение разнообразных текстовых задач, моделирование ситуаций, составление задач по выражениям и наоборот.
3. Осознанное усвоение алгоритмов: Не давать готовые алгоритмы, а подводить детей к их «открытию» через проблемные ситуации и эвристические беседы. Многократно проговаривать каждый шаг алгоритма, объясняя «почему так».
4. Формирование теоретической базы: Акцентировать внимание на свойствах арифметических действий (переместительное, сочетательное, распределительное), их роли в рационализации вычислений.
5. Систематизация и повторение: Регулярное повторение табличных случаев, состава чисел. Использование разнообразных форм работы (математические диктанты, устный счет, игры).
6. Дифференцированный подход: Учет индивидуальных особенностей учащихся. Для детей с трудностями – больше наглядности, пошаговое выполнение заданий, индивидуальная помощь. Для опережающих – задачи повышенной сложности.
7. Развитие самоконтроля и самооценки: Учить детей проверять свои вычисления, находить ошибки, объяснять их причины. Взаимопроверка в парах или группах.
8. Работа с ошибками: Не просто указывать на ошибку, а разбирать ее причину, помогать ребенку понять, где он ошибся и почему. Коррекционные упражнения, направленные на устранение конкретного типа ошибки.
9. Использование интерактивных методов и цифровых технологий: Образовательные платформы, тренажеры, игры, которые предоставляют мгновенную обратную связь, помогают автоматизировать навыки и делают процесс обучения более увлекательным.

Критерии и нормы оценки по ФГОС НОО

Система оценивания в начальной школе призвана не только фиксировать уровень освоения знаний, но и стимулировать учебную деятельность, выявлять индивидуальные успехи и затруднения. Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования (ФГОС НОО), критерии и нормы оценки предметных результатов по математике имеют четкие рамки.

Критерии оценки в процентном соотношении:

• Оценка «5» («отлично»): Ставится за 91-100% правильно выполненных заданий теста или контрольной работы. Ученик демонстрирует глубокое и полное понимание материала, умеет применять знания в стандартных и нестандартных ситуациях, обосновывает свои действия.
• Оценка «4» («хорошо»): Ставится за 70-90% правильно выполненных заданий теста. Ученик усвоил основной материал, допускает незначительные ошибки, которые самостоятельно исправляет, или выполняет задания с небольшими недочетами.
• Оценка «3» («удовлетворительно»): Ставится за 51-69% правильно выполненных заданий теста. Ученик освоил базовый уровень требований, но испытывает трудности в применении знаний, допускает существенные ошибки, но при этом понимает основные понятия.
• Оценка «2» («неудовлетворительно»): Ставится, если правильно выполнено менее 50% заданий теста. Ученик не освоил основные программные требования, имеет значительные пробелы в знаниях и умениях, не способен применять полученные знания на практике.

Разграничение грубых и негрубых ошибок:

Важным аспектом оценивания является разграничение ошибок по их значимости.

Грубые ошибки:

• Вычислительные ошибки в примерах и задачах, которые приводят к неверному конечному результату.
• Ошибки на незнание порядка выполнения арифметических действий (например, в выражении со скобками или несколькими действиями).
• Неправильное решение задачи: пропуск действия, неправильный выбор действий, лишние действия, неверное составление условия задачи.
• Не решенная до конца задача или пример.
• Невыполненное задание.
• Неправильное составление уравнений или нарушение алгоритма их решения.
• Игнорирование или неверное применение правил (например, правило деления с остатком).

Негрубые ошибки:

• Нерациональный прием вычислений, приведший к правильному ответу (например, очень долгий счет по единицам, когда можно было применить свойство).
• Неправильная постановка вопроса к действию при решении задачи.
• Неверно сформулированный ответ задачи (например, без указания единиц измерения или неполный ответ).
• Неправильное списывание данных (чисел, знаков) из условия (если это не повлияло на правильность выполнения вычислений).
• Не доведение до конца преобразований (например, не упростил выражение до конца, но вычислил верно).

Роль текущего оценивания и портфолио достижений:

• Текущее оценивание проводится постоянно, на каждом уроке, для контроля успешности обучения, своевременного обнаружения пробелов в знаниях и умениях и их оперативного устранения. Оно может быть выражено в форме устных ответов, небольших самостоятельных работ, наблюдений за работой на уроке.
• Портфолио достижений ученика начальных классов является неотъемлемой составляющей современной системы оценки. Оно представляет собой сборник работ, проектов, творческих заданий, грамот и других материалов, демонстрирующих индивидуальные успехи ребенка в различных областях. Портфолио не только отражает динамику развития ученика, но и играет важную роль при переходе ребенка в 5-й класс, предоставляя более полную картину его способностей и достижений, чем просто отметки.

Таким образом, система оценки в начальной школе направлена на комплексный анализ учебных достижений, поддержку индивидуального развития и формирование адекватной самооценки у младших школьников.

Анализ учебно-методических комплексов (УМК) по математике (на примере УМК М.И. Моро)

Выбор учебно-методического комплекса (УМК) играет ключевую роль в организации учебного процесса, поскольку именно он определяет логику изложения материала, систему заданий и общую методическую направленность. Среди множества существующих УМК по математике для начальной школы, УМК «Школа России» под редакцией М.И. Моро и соавторов (М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И. Волкова, С.В. Степанова) занимает одно из ведущих мест, являясь наиболее распространенным и широко используемым в российских школах.

Общая характеристика УМК «Школа России»

УМК «Школа России» – это не просто набор учебников, а целостная система, направленная на достижение современных образовательных результатов. Учебники «Математика» М.И. Моро издательства «Просвещение» используются в массовом обучении младших школьников с 1969 года, что свидетельствует об их проверенной временем эффективности и адаптивности к меняющимся образовательным стандартам.

Современная редакция УМК М.И. Моро полностью соответствует обновленному Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования (ФГОС НОО). Это означает, что комплекс ориентирован не только на усвоение предметных знаний, умений и навыков, но и на более широкие цели:

• Развитие функциональной математической грамотности: Способность применять математические знания в разнообразных жизненных ситуациях, решать практические и учебно-познавательные задачи.
• Формирование универсальных учебных действий (УУД): Познавательных (умение работать с информацией, анализировать, синтезировать, обобщать), коммуникативных (умение сотрудничать, вести диалог, аргументировать) и регулятивных (умение планировать, контролировать, оценивать свою деятельность).

УМК «Школа России» отличается продуманной методической концепцией, которая обеспечивает преемственность обучения и создает условия для гармоничного развития младших школьников. Именно эти факторы делают его незаменимым инструментом для педагогов, стремящихся к высокому качеству образования.

Структура и содержание учебников М.И. Моро

Учебники математики М.И. Моро традиционно сохранили тематическое и поурочное построение, что делает их удобными для планирования и проведения уроков. Каждый урок в структуре УМК «Школа России» тщательно разработан и включает следующие обязательные компоненты:

1. Познавательная цель: Четко сформулированная задача, которая определяет, что нового должен узнать и чему научиться ученик на данном уроке.
2. Задания для поиска новых знаний: Это могут быть проблемные ситуации, исследовательские задачи, работа с наглядностью, которые побуждают детей к самостоятельному открытию новых математических понятий или способов действий.
3. Задания для первичного закрепления: Упражнения, направленные на отработку только что изученного материала, что позволяет закрепить понимание и начать формирование навыков.
4. Задания для повторения изученного: Включают материал предыдущих тем, обеспечивая систематизацию знаний и предотвращая их забывание. Это могут быть устные вычисления, задачи на логику, геометрические задания.
5. Задания для самоконтроля/самооценки: Специальные упражнения или вопросы, которые помогают учащимся проверить свои знания и умения, а также оценить степень их усвоения.

Одной из сильных сторон учебников М.И. Моро является тесная связь арифметического материала с другими вопросами курса. Например, при изучении чисел и действий активно используются единицы измерения (километры, килограммы, литры), что помогает детям увидеть практическое применение математики. Также интегрируются элементы геометрического материала и доли, что способствует формированию целостной картины математических знаний.

Система изложения материала в УМК «Школа России» традиционно включает три основных этапа:

1. Подготовительная работа: Создание необходимой базы знаний и умений, актуализация ранее изученного.
2. Ознакомление: Введение нового понятия или способа действия, раскрытие его смысла.
3. Закрепление: Систематическая отработка навыков через решение задач и выполнение упражнений.

Развитие УУД и логического мышления в УМК

УМК М.И. Моро придает большое значение не только формированию предметных навыков, но и развитию универсальных учебных действий и логического мышления, что полностью соответствует требованиям ФГОС НОО.

1. Система изложения материала: Последовательность и логичность подачи информации, от простого к сложному, способствует развитию аналитических и синтетических операций мышлени��.
2. Задачи для устного счета: Учебник содержит большое количество таких задач, а УМК включает специальные сборники упражнений для устного счета. Эти задания:
   • Активизируют мыслительную деятельность учащихся.
   • Развивают скорость реакции и гибкость мышления.
   • Помогают автоматизировать вычислительные навыки.
   • Объем заданий для устного счета увеличивается по мере изучения материала, что обеспечивает постоянную тренировку.
3. Задачи повышенной сложности: Учебники М.И. Моро включают несколько задач повышенной сложности, которые специально направлены на развитие:
   • Логического мышления: Задачи на логику, рассуждения, поиск нестандартных решений.
   • Знаково-символического мышления: Задачи, требующие работы с символами, схемами, моделями.
   • Алгоритмического мышления: Задачи, где необходимо построить последовательность действий для достижения результата.
   • Пространственного воображения: Геометрические задачи, задачи на ориентацию в пространстве.
   • Математической речи: Задачи, требующие формулирования вопросов, объяснений, доказательств.
   • Примеры таких задач включают задания на сравнение, преобразование, решение разными способами, а также задачи на поиск недостающих данных.

Таким образом, УМК М.И. Моро предоставляет учителю все необходимые инструменты для комплексного развития личности младшего школьника, формирования его математической компетентности и подготовки к дальнейшему обучению.

Заключение

Методика изучения арифметических действий в начальной школе – это не просто набор правил и приемов, а динамичная система, постоянно развивающаяся в ответ на вызовы времени и достижения педагогической науки. Проведенное исследование позволило углубиться в теоретические основы, психолого-педагогические особенности, исторические вехи и современные подходы к преподаванию арифметики в концентре «в пределах 100».

Мы убедились, что глубокое понимание сущности арифметических действий, осознанное формирование вычислительных навыков, опирающееся на свойства математических операций, является краеугольным камнем математического образования. Психолого-педагогические особенности младшего школьного возраста, в частности переход от наглядно-образного к словесно-логическому мышлению и активное развитие логических операций, требуют от педагога тонкого подхода, использования наглядности и практических действий как основы для формирования абстрактных понятий. Дидактические принципы, закрепленные в ФГОС НОО, ориентируют обучение на развитие функциональной математической грамотности и универсальных учебных действий, что делает процесс освоения арифметики многогранным и личностно-ориентированным.

Исторический экскурс показал, как методика прошла путь от первых учебников и «монографического метода» до современных интерактивных и цифровых технологий, сохраняя при этом фундаментальные принципы сознательности и наглядности. Детальный разбор методик изучения сложения, вычитания, умножения и деления в концентре «в пределах 100» – как устных, так и письменных, табличных и внетабличных, включая деление с остатком – подчеркнул важность пошагового введения приемов, их теоретического обоснования и многократного закрепления. Особое внимание было уделено систематизации типичных ошибок учащихся и разработке методических подходов к их предупреждению и преодолению, а также четким критериям оценки результатов обучения согласно ФГОС НОО. Анализ УМК М.И. Моро продемонстрировал, как ведущие учебные комплексы интегрируют все эти аспекты, создавая условия для комплексного развития младших школьников.

В заключение, можно констатировать, что успешное преподавание арифметических действий в начальной школе требует от учителя не только глубоких предметных знаний, но и владения разнообразными методическими приемами, понимания психологии младшего школьника и умения адаптироваться к изменяющимся образовательным стандартам. Комплексный подход, предложенный в данной работе, имеет значительный потенциал для повышения качества математического образования, развития критического и логического мышления у младших школьников. Перспективы для дальнейших методических разработок включают создание инновационных дидактических материалов с использованием цифровых инструментов, а также исследование эффективности индивидуализированных траекторий обучения для детей с разными образовательными потребностями.

Список использованной литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. М.: Педагогика, 1977. 248 с.
2. Атутов П.Р. Политехнический принцип в обучении школьников. М.: Педагогика, 1976. 192 с.
3. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Полевщикова А.М. Методика преподавания математики в начальных классах: учеб. пособие для учащихся шк. / под ред. М.А. Бантовой. М.: Просвещение, 1984. 335 с.
4. Блонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочинения: в 2 т. / под ред. А.В. Петровского. М.: Педагогика, 1979. Т. I. 304 с.; Т. 2. 400 с.
5. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. 347 с.
6. Возрастная и педагогическая психология: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2121 «Педагогика и методика нач. обучения» / М.В. Матюхина, Т.С. Михальчик, Н.Д. Прокина и др.; под ред. М.В. Гализо и др. М.: Просвещение, 1984. 256 с.
7. Глазунова А.С. Сложение и вычитание // Начальная школа. 1985. № 9. С. 55–58.
8. Гнеденко Б.В. Развитие мышления и речи при изучении математики // Математика в школе. 1991. № 4. С. 3–9.
9. Дидактика начального обучения: сб. науч. тр. / НИИ содерж. и методов обучения; под ред. А.М. Пышкало. М., 1977. 81 с.
10. Дистервег А. Избранные педагогические сочинения. М., 1956.
11. Епштейн Д.А. Научно-технический прогресс и политехническое образование в преподавании основ наук // Советская педагогика. 1978. № 2. С. 24–29.
12. Занков Л.В. О начальном обучении. М.: АПН РСФСР, 1963.
13. Зотова М.В. Работа по предупреждению ошибок при выполнении устных вычислений // Начальная школа. 1998. № 3. С. 53–58.
14. Истомина Н.Б. Проблемы современного урока математики в начальной школе // Начальная школа. 2001. № 4. С. 65–66.
15. Король Я.А. Пути осуществления политехнического принципа в обучении математике младших школьников // Пути повышения качества обучения и воспитания учащихся в процессе изучения естественно-математических дисциплин в средней школе. М.: НИИ СиМО АПН СССР, 1981. С. 23–26.
16. Король Я.А., Хаперская А.А. Приемы активизации на уроках математики // Начальная школа. 1979. № 10. С. 38–41.
17. Липатникова И.Г. Роль устных упражнений на уроках математики // Начальная школа. 1991. № 6. С. 34–38.
18. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии начального обучения математике. М.: Учпедчиз, 1960.
19. Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. М.: АПН РСФСР, 1959.
20. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. М.: Педагогика, 1980. 96 с.
21. Шабалов С.М. Политехническое обучение. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1956. 728 с.
22. Шварцбурд С.И., Ковалёв М.П. Электроника помогает считать. М.: Просвещение, 1978. 96 с.
23. Как эволюционировали методики обучения арифметике в начальной школе на протяжении последних… // Yandex.ru. URL: https://yandex.ru/q/question/kak_evoliutsionirovali_metodiki_obucheniia_e0eb867b/ (дата обращения: 01.11.2025).
24. Критерии и нормы оценок по предметам в начальной школе в соответствии с ФГОС 2023-2024: Материал (3 класс) // Nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2024/08/27/kriterii-i-normy-otsenok-po-predmetam-v-nachalnoy-shkole-v (дата обращения: 01.11.2025).
25. Методика преподавания арифметики в начальных классах // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodika-prepodavaniya-arifmetiki-v-nachalnyh-klassah (дата обращения: 01.11.2025).
26. Методические подходы к изучению «сложение и вычитание в пределах 100», предложенные в альтернативных учебниках математики // Infourok.ru. URL: https://infourok.ru/metodicheskie-podhodi-k-izucheniyu-slozhenie-i-vichitanie-v-predelah-predlozhennie-v-alternativnih-uchebnikah-matematiki-5784013.html (дата обращения: 01.11.2025).
27. Методические приемы изучения письменного умножения и деления в начальной школе с учетом индивидуальных особенностей школьников // Научный лидер. 2021. № 12 (14). URL: https://nauchny-lider.ru/ru/archive/2021/12-(14)-maj-21/metodicheskie-priemy-izucheniya-pismennogo-umnozheniya-i-deleniya-v-nachalnoj-shkole-s-uchetom-individualnyh-osobennostej-shkolnikov.htm (дата обращения: 01.11.2025).
28. Развитие логического мышления учеников начальных классов // Zenodo. URL: https://zenodo.org/records/6645504 (дата обращения: 01.11.2025).
29. Развитие логического мышления на уроках математики в начальных классах // Empowerment of youth intellectual success (EYIS). URL: https://eyis.uz/index.php/eyis/article/view/117 (дата обращения: 01.11.2025).
30. Умножение и деление. Внетабличное умножение и деление: Статья по математике // Nsportal.ru. URL: https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2022/04/24/umnozhenie-i-delenie-vnetablichnoe-umnozhenie-i-delenie (дата обращения: 01.11.2025).