Введение: Актуальность, Цели и Задачи Моделирования
В условиях быстро меняющейся экономической конъюнктуры академическая и практическая ценность количественного анализа экономических процессов возрастает экспоненциально. Потребность в точном прогнозировании ключевых макро- и микроэкономических показателей (объем производства, инфляция, динамика цен, инвестиции) требует применения строгого математического аппарата. Эконометрическое моделирование, основанное на анализе динамических рядов и корреляционно-регрессионном подходе, позволяет не только описать прошлые тенденции, но и создать надежную базу для принятия обоснованных управленческих решений. Ведь если мы не можем измерить и спрогнозировать экономические явления, мы не можем ими эффективно управлять.
Цель настоящей работы заключается в систематизации теоретических основ и детальной практической реализации ключевых экономико-математических и статистических методов моделирования, необходимых для выполнения курсовой работы. Особый акцент сделан на методологии расчетов, выборе оптимальных моделей и оценке их качества с помощью строгих статистических критериев.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- Раскрыть теоретические основы анализа динамических рядов и принципы декомпозиции временного ряда.
- Детально описать методологию выравнивания динамических рядов с помощью метода наименьших квадратов (МНК) и обосновать критерии выбора наилучшей трендовой функции.
- Систематизировать статистические критерии (R-квадрат, F- и t-критерии, А) для оценки адекватности и значимости моделей.
- Провести корреляционный анализ для оценки тесноты и формы связи между экономическими показателями.
- Представить алгоритмы краткосрочного прогнозирования (экстраполяции) и оценки его точности (MAPE).
- Дать пошаговое руководство по реализации полного цикла анализа в среде MS Excel.
Теоретические Основы Анализа Динамических Рядов
Динамические ряды являются фундаментом для изучения развития экономических явлений. Они представляют собой последовательность числовых значений некоторого показателя, расположенных в строгой хронологической последовательности. Анализ таких рядов позволяет выделить и формализовать устойчивое направление развития, известное как тренд. Именно формализация тренда позволяет превратить массив данных в ценный прогностический инструмент.
Компоненты Динамического Ряда и Выбор Модели
С точки зрения эконометрики, любой временной ряд $Y_{t}$ может быть декомпозирован на несколько составляющих, каждая из которых отражает влияние определенной группы факторов. Наиболее распространенная классическая декомпозиция включает три компонента:
- Тренд ($T_{t}$): Долговременная, устойчивая тенденция развития, обусловленная фундаментальными факторами (например, технологический прогресс, изменение численности населения).
- Сезонная/Циклическая компонента ($S_{t}$): Колебания, повторяющиеся с определенной периодичностью (например, сезонные продажи, бизнес-циклы).
- Случайная компонента ($E_{t}$): Нерегулярные, непредсказуемые отклонения, вызванные случайными событиями (ошибки учета, краткосрочные шоки).
В зависимости от характера взаимосвязи этих компонентов, используются две основные модели:
| Тип модели | Математический вид | Условия применения |
|---|---|---|
| Аддитивная | $Y_{t} = T_{t} + S_{t} + E_{t}$ | Используется, когда амплитуда сезонных/циклических колебаний не зависит от уровня тренда (постоянное абсолютное значение). |
| Мультипликативная | $Y_{t} = T_{t} \cdot S_{t} \cdot E_{t}$ | Используется, когда амплитуда колебаний растет пропорционально уровню тренда. Предпочтительна для большинства экономических рядов (например, объем продаж, прибыль), где сезонные колебания составляют определенный процент от общего объема. |
В контексте курсовой работы анализ тренда ($T_{t}$) является первостепенной задачей, так как именно он отражает долгосрочную закономерность. Важный нюанс здесь упускается: часто для экономических показателей, демонстрирующих рост, мультипликативная модель является единственно корректной, поскольку с увеличением объемов продаж или ВВП абсолютному значению колебаний свойственно увеличиваться.
Выбор Функции Тренда и Ее Предпосылки
Аналитическое выравнивание динамического ряда — это процесс выбора математической функции $f(t)$, которая наиболее точно аппроксимирует тренд. Выбор функции должен опираться на экономическую логику и визуальный анализ данных (диаграмму ряда).
Основные виды функций и их экономическая интерпретация:
- Линейная функция:
$$\hat{y}_{t} = a_{0} + a_{1} t$$- Предпосылка: Явление развивается с примерно постоянным абсолютным приростом за единицу времени. Идеально подходит для стабильно растущих или падающих рынков на коротком временном горизонте.
- Интерпретация $a_{1}$: Средний абсолютный прирост.
- Парабола второго порядка (Квадратичная):
$$\hat{y}_{t} = a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2}$$- Предпосылка: Темп роста явления не является постоянным; он либо ускоряется, либо замедляется (например, стадия быстрого роста, переходящая в насыщение).
- Показательная функция:
$$\hat{y}_{t} = a_{0} \cdot a_{1}^{t}$$- Предпосылка: Явление развивается с примерно постоянным относительным темпом (в геометрической прогрессии). Применяется для явлений с экспоненциальным ростом (например, инфляция, рост ВВП в развивающихся экономиках). Для оценки параметров требует логарифмирования.
Метод Наименьших Квадратов (МНК) в Анализе Тренда
Метод наименьших квадратов (МНК) является универсальным и статистически обоснованным методом для оценки неизвестных параметров трендовой модели. Его фундаментальный принцип заключается в минимизации суммы квадратов вертикальных отклонений фактических значений ряда ($y_{t}$) от теоретических значений, рассчитанных по модели ($\hat{y}_{t}$).
Формально критерий МНК записывается как:
$$\sum_{t=1}^{n} (y_{t} — \hat{y}_{t})^{2} \to \min$$
Алгоритм Оценки Параметров Линейной Модели
Для линейной трендовой модели $\hat{y}_{t} = a_{0} + a_{1} t$ параметры $a_{0}$ (свободный член) и $a_{1}$ (коэффициент регрессии при времени $t$) находятся путем решения системы нормальных уравнений, полученных дифференцированием критерия МНК по искомым параметрам и приравниванием производных к нулю:
$$\begin{cases} \sum y_{t} = a_{0} n + a_{1} \sum t \\ \sum y_{t} t = a_{0} \sum t + a_{1} \sum t^{2} \end{cases}$$
Где $n$ — число наблюдений, $t$ — порядковый номер периода.
Интерпретация параметра $a_{1}$: Коэффициент $a_{1}$ является ключевым в линейной модели и представляет собой средний абсолютный прирост исследуемого показателя за одну единицу времени. Для упрощения расчетов, особенно вручную, часто используется прием «условного нуля», при котором начало отсчета времени $t$ переносится в середину ряда, что приводит к равенству $\sum t = 0$.
Критерий Выбора Лучшей Модели: Средняя Ошибка Аппроксимации
Для курсовой работы, в которой необходимо выбрать наиболее адекватную функцию тренда из нескольких построенных (например, линейной и параболической), недостаточно полагаться только на коэффициент детерминации ($R^{2}$). Более строгим и интуитивно понятным критерием является Средняя ошибка аппроксимации ($\bar{A}$).
Средняя ошибка аппроксимации показывает среднее относительное отклонение фактических уровней ряда от расчетных, выраженное в процентах.
Формула Средней Ошибки Аппроксимации ($\bar{A}$):
$$\bar{A} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{y_{i} — \hat{y}_{i}}{y_{i}} \right| \cdot 100\%$$
Принцип выбора модели: Из нескольких конкурирующих моделей выбирается та, у которой значение $\bar{A}$ минимально. Что из этого следует? Минимальное $\bar{A}$ прямо указывает на лучшую прогностическую способность модели, так как она генерирует меньшие отклонения от реальных данных. Стоит ли тогда вообще доверять модели с большим значением $\bar{A}$?
| Значение $\bar{A}$ | Качество модели |
|---|---|
| $\bar{A} \leq 5–7\%$ | Модель считается хорошей и может быть использована для точного прогнозирования. |
| $\bar{A} \leq 8–10\%$ | Модель считается допустимой для большинства экономических задач. |
| $\bar{A} > 10\%$ | Модель считается неадекватной или требует пересмотра функции тренда. |
Таким образом, если Линейная модель имеет $\bar{A} = 6,2\%$, а Параболическая $\bar{A} = 4,5\%$, предпочтение отдается Параболической модели, несмотря на возможно схожие значения $R^{2}$.
Статистическая Оценка Качества и Значимости Моделей
После построения модели необходимо оценить ее статистическое качество, то есть убедиться в ее адекватности, объясняющей способности и статистической значимости ее параметров.
Оценка Объясняющей Способности
Ключевым инструментом для оценки качества подгонки модели является коэффициент детерминации.
Коэффициент детерминации ($R^{2}$)
$R^{2}$ показывает, какая доля общей вариации (дисперсии) зависимой переменной ($y$) объясняется вариацией, учтенной в построенной модели (фактором времени $t$ или независимыми переменными $x$).
$$R^{2} = 1 — \frac{\text{RSS}}{\text{TSS}} = \frac{\text{ESS}}{\text{TSS}}$$
Где:
- RSS (Residual Sum of Squares) — Остаточная сумма квадратов (необъясненная вариация).
- TSS (Total Sum of Squares) — Общая сумма квадратов (общая вариация $y$).
- ESS (Explained Sum of Squares) — Объясненная сумма квадратов (вариация, объясненная моделью).
$R^{2}$ всегда находится в диапазоне $[0, 1]$. Чем ближе $R^{2}$ к 1, тем выше объясняющая способность модели. В прикладной эконометрике $R^{2} > 0,7$ обычно указывает на высокую степень соответствия модели данным.
Скорректированный коэффициент детерминации ($\text{R}^{2}_{\text{adj}}$)
Обычный $R^{2}$ имеет недостаток: его значение всегда возрастает при добавлении в модель новых факторов, даже если эти факторы статистически незначимы. Следовательно, выбор модели только по $R^{2}$ может привести к неоправданному усложнению. Для корректного сравнения моделей с разным числом факторов (например, Линейной с одним параметром $t$ и Параболической с двумя параметрами $t$ и $t^{2}$) необходимо использовать скорректированный коэффициент детерминации ($\text{R}^{2}_{\text{adj}}$). Он учитывает число степеней свободы и может уменьшаться, если добавленный фактор не вносит достаточного вклада в объяснение вариации.
Проверка Статистической Значимости
Статистическая значимость модели и ее параметров проверяется с помощью F- и t-критериев, которые основаны на проверке нулевых гипотез.
F-критерий Фишера (Значимость модели в целом)
F-критерий используется для проверки нулевой гипотезы ($H_{0}$) о статистической незначимости уравнения регрессии в целом.
- Нулевая гипотеза ($H_{0}$): Все коэффициенты при факторах в модели равны нулю (модель не имеет объясняющей силы).
- Альтернативная гипотеза ($H_{1}$): Хотя бы один коэффициент отличен от нуля (модель статистически значима).
Правило принятия решения:
Если фактическое значение F-критерия ($F_{\text{факт}}$), рассчитанное по модели, превышает табличное значение ($F_{\text{табл}}$) при заданном уровне значимости $\alpha$ (обычно 0,05), то нулевая гипотеза $H_{0}$ отвергается, и модель признается статистически значимой.
t-критерий Стьюдента (Значимость отдельных коэффициентов)
t-критерий применяется для оценки статистической значимости каждого отдельного параметра модели ($a_{0}, a_{1}, a_{2}$ и т.д.).
- Нулевая гипотеза ($H_{0}$): Коэффициент $b_{i}$ равен нулю (фактор $x_{i}$ не оказывает существенного влияния на $y$).
Расчет t-статистики:
$$t_{\text{факт}} = \frac{b_{i}}{S_{b_{i}}}$$
Где $b_{i}$ — оцененный коэффициент, $S_{b_{i}}$ — его стандартная ошибка.
Правило принятия решения:
Если абсолютное значение $t_{\text{факт}}$ превышает табличное значение $t_{\text{табл}}$ (при $\alpha$ и соответствующем числе степеней свободы), то нулевая гипотеза $H_{0}$ отвергается, и коэффициент $b_{i}$ признается статистически значимым. Это означает, что соответствующий фактор действительно влияет на результативный признак. Для курсовой работы критически важно, чтобы коэффициент при ключевом факторе времени ($a_{1}$) был значим.
Корреляционный Анализ: Измерение и Интерпретация Взаимосвязей
Корреляционный анализ является необходимым этапом эконометрического исследования, позволяющим количественно оценить тесноту и направление стохастической зависимости между двумя или более экономическими переменными. Без этого шага невозможно понять, насколько факторы, не входящие в модель, влияют на результативный признак.
Анализ Линейной Связи и Ложная Корреляция
Основным инструментом оценки линейной связи является Парный линейный коэффициент корреляции Пирсона ($r_{xy}$).
$$r_{xy} = \frac{\sum (x_{i} — \bar{x})(y_{i} — \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_{i} — \bar{x})^{2} \sum (y_{i} — \bar{y})^{2}}}$$
Значение $r_{xy}$ лежит в интервале $[-1; +1]$. Чем ближе $|r_{xy}|$ к единице, тем теснее связь.
Интерпретация тесноты связи (Шкала Чеддока):
| Диапазон $|r_{xy}|$ | Теснота связи |
|---|---|
| $0,1 < |r| \leq 0,3$ | Слабая |
| $0,3 < |r| \leq 0,5$ | Умеренная |
| $0,5 < |r| \leq 0,7$ | Заметная (средняя) |
| $0,7 < |r| \leq 0,9$ | Высокая |
| $0,9 < |r| \leq 1,0$ | Весьма высокая |
Проблема Ложной Корреляции:
Критически важный момент при анализе экономических данных, представленных в виде временных рядов, — это проблема «ложной корреляции». Если два ряда (например, ВВП и потребление электроэнергии) имеют сильную положительную корреляцию ($r_{xy} \approx 0,9$), это часто объясняется не прямой причинной связью, а тем, что обе переменные имеют сильный восходящий тренд во времени. Для устранения этого эффекта и выявления истинной связи необходимо проводить корреляцию не самих уровней ряда, а их отклонений от тренда или приростов (разностей).
Оценка Нелинейной Взаимосвязи: Корреляционное Отношение ($\eta^{2}$)
Линейный коэффициент Пирсона ($r_{xy}$) измеряет только линейную связь. Если связь между $X$ и $Y$ нелинейна (например, параболическая или логистическая), $r_{xy}$ может быть близок к нулю, даже если тесная связь существует. Почему же тогда $r_{xy}$ так часто используется, игнорируя возможность нелинейных зависимостей?
Для оценки любой, в том числе нелинейной, связи используется корреляционное отношение ($\eta^{2}$). Этот показатель измеряет долю общей вариации результативного признака ($Y$), объясняемую вариацией факторного признака ($X$) при группировке данных.
Формула Корреляционного Отношения ($\eta^{2}$):
$$\eta^{2} = \frac{\text{SS}_{\text{между}}}{\text{SS}_{\text{общей}}} = \frac{\sum_{j=1}^{m} n_{j} (\bar{y}_{j} — \bar{\bar{y}})^{2}}{\sum_{i=1}^{n} (y_{i} — \bar{\bar{y}})^{2}}$$
Где $\text{SS}_{\text{между}}$ — межгрупповая сумма квадратов (объясненная вариация), а $\text{SS}_{\text{общей}}$ — общая сумма квадратов. Корреляционное отношение всегда больше или равно квадрату коэффициента корреляции: $\eta^{2} \geq r^{2}$. Если $\eta^{2} = r^{2}$, связь строго линейна. Если $\eta^{2} > r^{2}$, то в связи присутствует существенный нелинейный компонент. Это позволяет избежать ошибки, когда из-за нелинейности связь ошибочно признается слабой.
Прогнозирование на Основе Динамических Моделей и Оценка Точности
Прогнозирование будущих значений временного ряда на основе выявленного тренда называется экстраполяцией. Оно основано на предположении, что выявленная закономерность сохранится на краткосрочном прогнозном периоде.
Методы Экстраполяции и Прогнозирования
- Прогнозирование на основе аналитической модели (тренда):
Наиболее надежный метод. Если выбрана функция тренда $\hat{y}_{t} = f(t)$, прогноз на $k$ периодов вперед ($\hat{Y}_{n+k}$) получается путем подстановки в уравнение порядкового номера периода $t = n+k$. - Метод среднего абсолютного прироста ($\bar{\Delta}$):
Применяется, когда в исходном ряду наблюдалась линейная тенденция.
$$\hat{Y}_{n+t} = Y_{n} + \bar{\Delta} \cdot t$$
Где $Y_{n}$ — последний известный уровень ряда; $\bar{\Delta}$ — средний абсолютный прирост; $t$ — период прогнозирования. - Метод среднего темпа роста ($\bar{K}$):
Применяется, когда в исходном ряду наблюдалась показательная тенденция.
$$\hat{Y}_{n+t} = Y_{n} \cdot (\bar{K})^{t}$$
Где $\bar{K}$ — средний коэффициент роста (средняя геометрическая из цепных коэффициентов роста).
Количественная Оценка Ошибки Прогноза: MAPE
Надежность прогноза, полученного методом экстраполяции, должна быть оценена количественно. Для этого используется Средняя абсолютная процентная ошибка (Mean Absolute Percentage Error, MAPE). MAPE является наиболее популярным критерием в бизнес-прогнозировании, поскольку она выражается в процентах и легко интерпретируется.
MAPE показывает среднее относительное отклонение прогнозных значений от фактических (если прогноз строился на данных, по которым известны фактические значения).
Формула MAPE:
$$\text{MAPE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{y_{i} — \hat{y}_{i}}{y_{i}} \right| \cdot 100\%$$
Критерии надежности прогноза по MAPE:
Для краткосрочных экономических прогнозов, основанных на трендовых моделях, прогноз считается надежным, если MAPE не превышает 10–15%. Превышение этого порога указывает на высокую неопределенность или неадекватность выбранной модели, что должно послужить сигналом для пересмотра функции тренда.
Практическая Реализация Полного Анализа в MS Excel
MS Excel является стандартным инструментом для выполнения курсовых работ, позволяющим быстро реализовать все вышеописанные методы, от построения тренда до проверки статистической значимости.
Подготовка Данных и Визуализация
- Создание временного ряда: В одной колонке (A) размещается время ($t = 1, 2, 3, \ldots, n$), в другой (B) — фактические значения показателя ($y_{t}$).
- Визуальная оценка связи: Построение диаграммы рассеяния (для корреляционного анализа) или точечной диаграммы (для динамического ряда). Визуализация позволяет предварительно определить форму тренда (линейный, параболический, экспоненциальный).
- Автоматическое построение тренда: Через контекстное меню диаграммы можно добавить линию тренда, выбрав тип функции (линейная, полиномиальная) и отметив опции «Показывать уравнение на диаграмме» и «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации ($R^{2}$)».
Пошаговый Регрессионный Анализ и Интерпретация Результатов Excel
Для получения полного набора статистических критериев (F, t, стандартные ошибки) необходимо использовать надстройку «Пакет анализа» («Data Analysis»).
Шаг 1: Активация «Пакета анализа»
(Файл → Параметры → Надстройки → Управление: Надстройки Excel → Перейти → Поставить галочку «Пакет анализа»).
Шаг 2: Выполнение Регрессии
- Перейти на вкладку «Данные» → «Анализ данных» → Выбрать «Регрессия».
- Ввести «Входной интервал Y» (столбец с зависимой переменной $y_{t}$).
- Ввести «Входной интервал X» (столбец с факторной переменной $t$).
- Указать уровень надежности (например, 95%).
Шаг 3: Интерпретация Вывода Excel
| Параметр Excel | Соответствующий статистический критерий | Интерпретация |
|---|---|---|
| R-квадрат | Коэффициент детерминации ($R^{2}$) | Доля вариации $Y$, объясненная моделью. |
| Скорректированный R-квадрат | $\text{R}^{2}_{\text{adj}}$ | Используется для сравнения моделей с разным числом факторов. |
| F | F-критерий Фишера ($F_{\text{факт}}$) | Если $F_{\text{факт}}$ > $F_{\text{табл}}$ (или $p$-значение F < $\alpha$), модель значима в целом. |
| Коэффициенты | $a_{0}, a_{1}$ | Оцененные параметры трендового уравнения $\hat{y}_{t} = a_{0} + a_{1} t$. |
| t-статистика | $t_{\text{факт}}$ Стьюдента | Если $|t_{\text{факт}}|$ > $t_{\text{табл}}$ (или $P$-значение < $\alpha$), коэффициент значим. |
| P-значение | Уровень значимости | Вероятность ошибки при отвержении $H_{0}$. Если $P$-значение $\leq 0,05$, коэффициент или модель значимы. |
Заключение
Выполнение курсовой работы по эконометрическому моделированию требует строгого соблюдения методологических принципов и количественной оценки качества моделей. Настоящий анализ систематизировал ключевые подходы к изучению динамических рядов и корреляционных связей.
Было установлено, что:
- Для экономических данных с растущей вариацией предпочтительнее использовать мультипликативную модель декомпозиции временного ряда.
- Выбор наилучшей функции тренда должен основываться не только на $R^{2}$, но и на Средней ошибке аппроксимации ($\bar{A}$), которая должна быть не более 5–7% для обеспечения высокой точности выравнивания.
- Для корректной оценки моделей с разным числом факторов необходимо использовать скорректированный коэффициент детерминации ($\text{R}^{2}_{\text{adj}}$). Статистическая значимость модели в целом и отдельных параметров проверяется с помощью F- и t-критериев.
- Полный корреляционный анализ включает не только оценку линейной связи ($r_{xy}$), но и оценку нелинейной связи с помощью корреляционного отношения ($\eta^{2}$).
- Надежность прогноза, полученного методом экстраполяции, должна быть обязательно подтверждена расчетом Средней абсолютной процентной ошибки (MAPE), допустимый порог которой для краткосрочных прогнозов составляет 10–15%.
Применение этих строгих критериев и пошаговая реализация анализа в MS Excel, как подробно описано в работе, гарантируют методологическую корректность и академическую ценность итоговой курсовой работы. Отказ от этой строгой методологии приводит к получению неадекватных прогнозов, что является недопустимым для серьезного экономического анализа.
Список использованной литературы
- Альсевич В.В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория. М.: Издательство ЛКИ, 2007. 256 с.
- Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики: учебное пособие. М.: МАКС Пресс, 2005. 272 с.
- Замков О.О., Тостопятенко А.В., Черемных Ю.В. Математические методы в экономике: учебник. 4-е изд., стереотип. / под общ. ред. А.В. Сидоровича. М.: Дело и Сервис, 2004. 368 с. (Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова).
- Просветов Г.И. Математические методы и модели в экономике: задачи и решения. М.: Альфа-Пресс, 2008. 344 с.
- Синявская Э.Г., Голубева Н.В. Микроэкономика: практика решения задач: учеб. пособие для вузов. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2006. 274 с.
- Экономико-математические методы и модели: учебное пособие / кол. авторов; под ред. С.И. Макарова. М.: КНОРУС, 2007. 232 с.
- Экономико-математические методы и модели. Задачник: учебно-практическое пособие / кол. авторов; под ред. С.И. Макарова и С.А. Севастьяновой. М.: КНОРУС, 2009. 208 с.
- Элементы прогнозирования. Интерполяция и экстраполяция в рядах динамики [Электронный ресурс] // Vuzlit.com. URL: https://vuzlit.com/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Расчет параметров линейного тренда с помощью метода наименьших квадратов (МНК) [Электронный ресурс] // Studfile.net. URL: https://studfile.net/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Коэффициент детерминации [Электронный ресурс] // Machinelearning.ru. URL: https://machinelearning.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Коэффициент детерминации (r2) и его свойства [Электронный ресурс] // Studfile.net. URL: https://studfile.net/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Коэффициент детерминации (R^2/нецентрированный) [Электронный ресурс] // Fsight.ru. URL: https://fsight.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Коэффициент детерминации (Coefficient of determination) [Электронный ресурс] // Loginom.ru. URL: https://loginom.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Методы выравнивания динамических рядов. Метод укрупнения периодов [Электронный ресурс] // Orgma.ru. URL: https://orgma.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- 2 способа корреляционного анализа в Microsoft Excel [Электронный ресурс] // Stgau.ru. URL: https://stgau.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Выравнивание по способу наименьших квадратов [Электронный ресурс] // Bygeo.ru. URL: https://bygeo.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Критерий Фишера и критерий Стьюдента в эконометрике [Электронный ресурс] // Univer-nn.ru. URL: https://univer-nn.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Корреляционно-регрессионный анализ в Excel: инструкция выполнения [Электронный ресурс] // Exceltable.com. URL: https://exceltable.com/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Пример нахождения коэффициента корреляции [Электронный ресурс] // Semestr.ru. URL: https://semestr.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Лекция 8. Коэффициент корреляции. Метод наименьших квадратов [Электронный ресурс] // Msu.ru. URL: https://msu.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Расчет коэффициента корреляции [Электронный ресурс] // Rnz.ru. URL: https://rnz.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Как считать коэффициент корреляции в Excel [Электронный ресурс] // Sky.pro. URL: https://sky.pro/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Проверка качества уравнения регрессии. F-критерий Фишера. T-критерий Стьюдента [Электронный ресурс] // Studfile.net. URL: https://studfile.net/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Методы и модели анализа временных рядов [Электронный ресурс] // Tstu.ru. URL: https://tstu.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Лекция 4. Ряды динамики [Электронный ресурс] // Vgsa.ru. URL: https://vgsa.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Лекция 11 [Электронный ресурс] // Ektu.kz. URL: https://ektu.kz/ (дата обращения: 24.10.2025).
- Статистика. Лекция 9: Ряды динамики в статистике [Электронный ресурс] // Intuit.ru. URL: https://intuit.ru/ (дата обращения: 24.10.2025).