Экономико-математическое моделирование и оптимизация транспортных и распределительных процессов

В условиях стремительно развивающейся глобальной экономики, где конкуренция достигает беспрецедентных масштабов, эффективность логистических операций становится не просто конкурентным преимуществом, а критически важным фактором выживания и процветания любого предприятия. Транспортная логистика, являясь кровеносной системой товарно-денежных потоков, напрямую влияет на издержки, скорость поставок и, как следствие, на конечную стоимость продукции и удовлетворённость потребителей. Именно поэтому, начиная с 1970-х годов, когда концепция транспортной логистики впервые получила широкое распространение на Европейском Конгрессе в Германии, её значимость неуклонно растёт. Современные компании осознают, что минимизация затрат на транспортировку, обеспечение своевременной доставки и безопасности груза – это не просто желаемые цели, а необходимые условия для достижения стратегических задач, позволяющие сохранять конкурентоспособность и поддерживать лояльность клиентов в долгосрочной перспективе.

Математическое моделирование выступает здесь как мощнейший аналитический инструмент, позволяющий преобразовать сложные, многомерные логистические задачи в структурированные математические формулировки, поддающиеся расчёту и оптимизации. Цель данной работы – глубоко проанализировать и систематизировать теоретические и практические аспекты экономико-математических моделей и методов оптимизации транспортных и распределительных процессов. Мы рассмотрим ключевые понятия, детально изучим математические формулировки транспортной задачи, исследуем различные методы её решения, включая метод потенциалов, и затронем особенности распределительных задач. Особое внимание будет уделено анализу чувствительности и параметрическому программированию, а также обзору современных программных средств, что обеспечит всестороннее понимание темы и подготовит к практическому применению этих знаний в реальных логистических системах, трансформируя теоретические концепции в ощутимые экономические выгоды.

Теоретические основы экономико-математического моделирования в логистике

В основе любой попытки систематизировать и оптимизировать сложные экономические процессы лежит искусство абстракции – построение моделей. И если в обыденной жизни мы часто используем интуитивные модели, то в сфере управления, особенно логистикой, требуется точность и предсказуемость, которые могут дать лишь математические инструменты, обеспечивая объективность и снижение рисков.

Понятие и классификация математических моделей

Математическая модель – это упрощённое, формализованное описание реальной системы или процесса с помощью математических символов, уравнений и неравенств. Её главная роль – помочь в принятии обоснованных решений, предсказать поведение системы в различных условиях и оптимизировать её функционирование. Вместо того чтобы экспериментировать с дорогостоящими и рискованными реальными операциями, менеджеры могут «проиграть» различные сценарии на модели, выбирая наиболее эффективные, что экономит время и ресурсы.

Классификация математических моделей обширна и зависит от выбранного признака. По характеру зависимости от времени модели делятся на:

• Статические: описывают состояние системы в фиксированный момент времени, без учёта её эволюции. Например, классическая транспортная задача в её первоначальной формулировке является статической.
• Динамические: моделируют изменение системы во времени, учитывая зависимости между её прошлыми и будущими состояниями. К ним относятся модели управления запасами с учётом изменяющегося спроса или маршрутизации в реальном времени.

По характеру исходных данных и их определённости выделяют:

• Детерминированные: все параметры модели известны точно и не содержат случайных элементов. Результат расчёта по такой модели всегда один и тот же при заданных входных данных. Большинство классических задач оптимизации относятся к этому типу.
• Стохастические (вероятностные): некоторые параметры модели являются случайными величинами, их значения известны лишь с определённой вероятностью или описываются распределением. Примеры включают моделирование очередей на погрузку/разгрузку, где время обслуживания является случайным.

По форме представления модели могут быть аналитическими (выражаются формулами), имитационными (позволяют «проиграть» процесс) и другими. В контексте транспортных задач наибольшее распространение получили детерминированные статические модели, основанные на линейном программировании.

Линейное программирование как основа для транспортных задач

Линейное программирование (ЛП) – это раздел математического программирования, посвящённый поиску экстремума (минимума или максимума) линейной функции при линейных ограничениях в виде равенств и/или неравенств. Его мощь заключается в способности решать широкий круг задач распределения ресурсов, планирования производства, составления рационов и, конечно, оптимизации логистических процессов.

Общие принципы ЛП:

1. Целевая функция: это линейная функция, которую необходимо оптимизировать (например, минимизировать затраты или максимизировать прибыль). Она выражается как сумма произведений неизвестных переменных на соответствующие коэффициенты.
2. Переменные решения: это неизвестные величины, значения которых мы хотим определить. Они должны быть неотрицательными.
3. Система ограничений: это набор линейных равенств или неравенств, описывающих доступные ресурсы, технологические возможности, спрос, предложение и другие условия, которые должны быть соблюдены. Эти ограничения формируют допустимую область решений.

В логистике линейное программирование находит применение в таких областях, как:

• Планирование маршрутов грузоперевозок.
• Распределение товаров по складам или магазинам.
• Оптимизация загрузки транспортных средств.
• Управление складскими запасами.

Транспортная задача является классическим и наиболее известным частным случаем задачи линейного программирования. Её специфическая структура матрицы ограничений позволяет использовать более эффективные алгоритмы, чем универсальный симплекс-метод, который является основным инструментом решения общих задач ЛП. В этом заключается ключевое преимущество, позволяющее значительно сократить вычислительные ресурсы при решении крупномасштабных логистических проблем.

Экономико-математическая модель транспортной задачи

Транспортная задача — это одна из наиболее известных и широко применяемых моделей линейного программирования в логистике и экономике. Её основное предназначение — найти такой план перевозок однородного продукта от поставщиков к потребителям, который минимизирует общие транспортные издержки при соблюдении всех условий спроса и предложения.

Постановка классической транспортной задачи

Представим себе систему, состоящую из некоторого числа поставщиков (например, заводов или складов), которые имеют определённые запасы однородной продукции, и некоторого числа потребителей (например, магазинов или дистрибьюторских центров), которые предъявляют определённый спрос на эту продукцию. Между каждым поставщиком и каждым потребителем существует потенциальный маршрут доставки, характеризующийся определённой стоимостью перевозки единицы груза. Классическая транспортная задача ставит своей целью определить, сколько продукции следует перевезти от каждого поставщика каждому потребителю, чтобы удовлетворить весь спрос при минимальных совокупных затратах.

Основные элементы транспортной задачи:

• Поставщики (источники): обычно обозначаются как *i* = 1, 2, …, *m*. Каждый поставщик *i* имеет запас a_i единиц продукции.
• Потребители (стоки): обозначаются как *j* = 1, 2, …, *n*. Каждый потребитель *j* предъявляет спрос b_j единиц продукции.
• Стоимости перевозок: c_ij – стоимость перевозки одной единицы продукции от *i*-го поставщика к *j*-му потребителю. Эти стоимости могут включать расходы на топливо, зарплату водителей, амортизацию транспорта, страхование и т.д.
• Переменные решения: x_ij – количество продукции, которое будет перевезено от *i*-го поставщика к *j*-му потребителю. Это именно те величины, которые необходимо найти.

Математическая формулировка модели

Математическая формулировка транспортной задачи представляет собой стандартную модель линейного программирования.

Переменные:
Обозначим через x_ij количество продукции, перевезенной от *i*-го поставщика (*i* = 1, …, *m*) к *j*-му потребителю (*j* = 1, …, *n*).

Целевая функция:
Целью является минимизация суммарных затрат на перевозку. Математически это выражается как:

Z = Σmi=1 Σnj=1 cij ⋅ xij → min
где c_ij — стоимость перевозки единицы груза от *i*-го поставщика к *j*-му потребителю.

Система ограничений:
Система ограничений состоит из двух групп уравнений и одного условия неотрицательности:

1. Ограничения по предложению (запасам поставщиков): Сумма всех перевозок от каждого поставщика не должна превышать его запасов (или должна быть равна им в случае закрытой задачи).

Σnj=1 xij = ai, для i = 1, ..., m
Здесь a_i — объём запасов у *i*-го поставщика.

2. Ограничения по спросу (потребностям потребителей): Сумма всех перевозок к каждому потребителю должна полностью удовлетворять его спрос.

Σmi=1 xij = bj, для j = 1, ..., n
Здесь b_j — объём спроса у *j*-го потребителя.

3. Условие неотрицательности: Объёмы перевозок не могут быть отрицательными.

xij ≥ 0, для всех i = 1, ..., m и j = 1, ..., n

Закрытая и открытая транспортная задача

Понимание баланса между общим предложением и общим спросом является ключевым для постановки и решения транспортной задачи.

Закрытая (сбалансированная) транспортная задача:
Модель называется закрытой, если суммарные запасы всех поставщиков в точности равны суммарным запросам всех потребителей:

Σmi=1 ai = Σnj=1 bj
Это идеальный сценарий, когда весь имеющийся товар может быть распределён, и весь спрос удовлетворён без остатка и дефицита. Для таких задач всегда существует оптимальное решение.

Открытая (несбалансированная) транспортная задача:
Если равенство между общим предложением и общим спросом не выполняется, задача считается открытой. Это означает, что либо существует избыток продукции (предложение превышает спрос), либо дефицит (спрос превышает предложение).

• Избыток предложения: Σmi=1 ai > Σnj=1 bj
  В этом случае для балансировки задачи вводится фиктивный потребитель (*n*+1-й), которому приписывается спрос, равный излишку продукции: bn+1 = Σmi=1 ai - Σnj=1 bj. Стоимость перевозки к этому фиктивному потребителю от всех поставщиков принимается равной нулю (c_i,n+1 = 0), поскольку эти «перевозки» фактически означают остатки на складах поставщиков.
• Дефицит предложения: Σmi=1 ai < Σnj=1 bj
  Здесь для балансировки вводится фиктивный поставщик (*m*+1-й), которому приписывается запас, равный дефициту: am+1 = Σnj=1 bj - Σmi=1 ai. Стоимость перевозки от этого фиктивного поставщика к любому потребителю также принимается равной нулю (c_m+1,j = 0). Это означает, что потребители, которым «поставляет» фиктивный поставщик, не получают товар, и их спрос остаётся неудовлетворённым. В некоторых случаях этим «перевозкам» присваивают очень большие значения (штрафы), чтобы избежать их в оптимальном плане, если задача состоит в полной ликвидации дефицита за счёт сторонних закупок.

Сведение открытой задачи к закрытой позволяет использовать стандартные алгоритмы решения, разработанные для сбалансированных моделей, что упрощает и унифицирует процесс поиска оптимального решения.

Критерии оптимизации транспортных задач

Хотя наиболее распространённым критерием для транспортной задачи является минимизация стоимости, существуют и другие важные цели, которые могут быть оптимизированы в зависимости от контекста и стратегических приоритетов компании.

1. Минимизация стоимости (основной критерий):
   Как уже было описано, это наиболее частый подход, направленный на снижение совокупных затрат, связанных с перевозкой грузов. Целевая функция выражает суммарные денежные расходы.

Z = Σmi=1 Σnj=1 cij ⋅ xij → min

2. Минимизация времени:
   В некоторых ситуациях, особенно когда речь идёт о скоропортящихся продуктах, срочных доставках или критически важных компонентах, время доставки становится более важным критерием, чем стоимость. В этом случае коэффициенты c_ij в целевой функции будут представлять время, необходимое для перевозки единицы груза от *i*-го поставщика к *j*-му потребителю.

Z = Σmi=1 Σnj=1 tij ⋅ xij → min
где t_ij — время перевозки единицы груза.
Следует отметить, что в классической постановке транспортной задачи с минимизацией времени, часто речь идёт не о суммарном времени всех перевозок, а о минимизации максимального времени доставки по одному из маршрутов. Такая задача требует несколько иной математической формулировки, выходящей за рамки базового линейного программирования, и часто решается с использованием методов сетевого планирования или динамического программирования. Однако в упрощённом виде можно использовать средневзвешенное время.

Выбор критерия оптимизации напрямую зависит от стратегических целей логистической системы и может быть комбинированным, если используются многокритериальные методы оптимизации. Ведь в реальных условиях предприятиям часто приходится балансировать между несколькими конфликтующими целями.

Методы нахождения исходного опорного плана транспортной задачи

Прежде чем приступить к поиску оптимального решения транспортной задачи, необходимо найти так называемый исходный опорный план. Опорный план – это любое допустимое решение, которое удовлетворяет всем ограничениям задачи (по запасам и спросу) и условию неотрицательности. Важно, чтобы количество базисных переменных (ненулевых перевозок) в опорном плане равнялось *m* + *n* — 1, где *m* – число поставщиков, *n* – число потребителей. Это условие гарантирует невырожденность решения и позволяет применять метод потенциалов. Существует несколько методов для построения такого начального решения, каждый из которых обладает своими преимуществами и недостатками.

Метод северо-западного угла

Этот метод является самым простым и легко реализуемым, но, как правило, даёт наименее оптимальный начальный план с точки зрения стоимости. Он не учитывает коэффициенты стоимости перевозок, фокусируясь исключительно на удовлетворении спроса и предложения.

Пошаговое описание алгоритма:

1. Начало: Начинаем заполнение транспортной таблицы с левой верхней ячейки (*i*=1, *j*=1), которая символизирует маршрут от первого поставщика к первому потребителю.
2. Заполнение ячейки: В ячейку (1,1) записываем максимальное возможное количество груза, которое может быть перевезено. Это количество равно минимуму из запаса первого поставщика (a₁) и спроса первого потребителя (b₁).

x11 = min(a1, b1)

3. Корректировка запасов и спроса:
   • Если a₁ < b₁, то запас первого поставщика исчерпан (a₁ = 0), а спрос первого потребителя уменьшается на a₁ (b₁ = b₁ — a₁). Переходим к следующему поставщику (увеличиваем *i* на 1).
   • Если a₁ > b₁, то спрос первого потребителя удовлетворён (b₁ = 0), а запас первого поставщика уменьшается на b₁ (a₁ = a₁ — b₁). Переходим к следующему потребителю (увеличиваем *j* на 1).
   • Если a₁ = b₁, то и запас, и спрос исчерпаны/удовлетворены. Переходим к следующему поставщику (увеличиваем *i* на 1) и следующему потребителю (увеличиваем *j* на 1).
4. Повторение: Повторяем шаги 2 и 3, перемещаясь либо вправо (к следующему потребителю), либо вниз (к следующему поставщику), пока все запасы не будут распределены, а весь спрос не будет удовлетворён.
5. Завершение: Процесс завершается, когда все строки и столбцы транспортной таблицы будут «закрыты» (то есть, все a_i и b_j станут равны нулю).

Метод наименьшего элемента (минимальной стоимости)

Этот метод, в отличие от метода северо-западного угла, учитывает стоимости перевозок, стремясь в первую очередь использовать самые дешёвые маршруты. Это часто приводит к более экономичному начальному опорному плану, что является его существенным преимуществом.

Пошаговое описание алгоритма:

1. Поиск минимальной стоимости: В текущей транспортной таблице (или её незаполненной части) ищем ячейку с наименьшей стоимостью перевозки c_ij. Если таких ячеек несколько, выбираем любую из них.
2. Заполнение ячейки: В выбранную ячейку (*i*, *j*) записываем максимально возможное количество груза, которое может быть перевезено. Это количество равно минимуму из текущего запаса поставщика *i* (a_i) и текущего спроса потребителя *j* (b_j).

xij = min(ai, bj)

3. Корректировка запасов и спроса:
   • Запас поставщика *i* уменьшается на x_ij (a_i = a_i — x_ij).
   • Спрос потребителя *j* уменьшается на x_ij (b_j = b_j — x_ij).
4. Исключение строки или столбца:
   • Если запас a_i стал равен нулю, то строка *i* полностью исключается из дальнейшего рассмотрения (все остальные ячейки в этой строке не могут быть заполнены).
   • Если спрос b_j стал равен нулю, то столбец *j* полностью исключается из дальнейшего рассмотрения.
   • Если и a_i, и b_j стали равны нулю одновременно, то исключаются и строка, и столбец. В этом случае, чтобы сохранить базисность решения (*m*+*n*-1 базисных переменных), одну из незаполненных ячеек в исключённой строке или столбце помечают как базисную, присваивая ей нулевую перевозку (x_ij = 0).
5. Повторение: Повторяем шаги 1-4, пока все запасы не будут распределены, а весь спрос не будет удовлетворён.

Метод аппроксимации Фогеля (метод двойного предпочтения)

Метод Фогеля считается одним из наиболее эффективных для построения начального опорного плана, поскольку он часто даёт решение, близкое к оптимальному, или даже оптимальное. Его эффективность основана на расчёте «штрафов» – потенциальных потерь от неиспользования самых дешёвых маршрутов.

Пошаговое описание алгоритма:

1. Расчёт штрафов:
   • Для каждой строки (поставщика) и каждого столбца (потребителя) вычисляем «штраф» (или разность). Штраф – это абсолютная разность между наименьшей стоимостью перевозки и следующей за ней наименьшей стоимостью в данной строке или столбце.
   • Пример: если в строке стоимости 2, 5, 8, то штраф равен |5 — 2| = 3.
2. Выбор строки/столбца: Из всех рассчитанных штрафов выбираем строку или столбец с наибольшим штрафом. Это означает, что неиспользование самого дешёвого маршрута в этой строке/столбце приведёт к наибольшим потенциальным потерям. Если несколько штрафов равны, выбираем любой.
3. Заполнение ячейки: В выбранной строке или столбце находим ячейку с наименьшей стоимостью перевозки c_ij. В эту ячейку записываем максимально возможное количество груза, равное min(a_i, b_j).

xij = min(ai, bj)

4. Корректировка запасов и спроса:
   • Запас a_i уменьшается на x_ij.
   • Спрос b_j уменьшается на x_ij.
5. Исключение строки или столбца:
   • Если запас a_i стал равен нулю, строка *i* исключается из дальнейшего рассмотрения.
   • Если спрос b_j стал равен нулю, столбец *j* исключается из дальнейшего рассмотрения.
   • Если и a_i, и b_j стали равны нулю одновременно, исключаются и строка, и столбец. В этом случае, как и в методе наименьшего элемента, одну из незаполненных ячеек помечают как базисную с нулевой перевозкой для сохранения базисности.
6. Повторение: Повторяем шаги 1-5 для оставшейся части таблицы, пока все запасы не будут распределены, а весь спрос не будет удовлетворён.

Каждый из этих методов имеет свою область применения и компромиссы между вычислительной сложностью и качеством начального решения. Метод северо-западного угла прост, но редко эффективен. Метод наименьшего элемента лучше, но всё ещё может быть далёк от оптимального. Метод Фогеля, будучи более трудоёмким, обеспечивает наилучшую стартовую позицию для дальнейшей оптимизации, что в конечном итоге сокращает количество итераций для достижения глобального оптимума.

Метод потенциалов для поиска оптимального решения транспортной задачи

После того как исходный опорный план транспортной задачи найден одним из методов (например, методом Фогеля), следующим шагом является проверка этого плана на оптимальность и, при необходимости, его улучшение. Для этого существует элегантный и эффективный алгоритм – метод потенциалов.

История и основные принципы метода

Метод потенциалов был разработан в 1949 году выдающимися советскими математиками и экономистами Леонидом Витальевичем Канторовичем, лауреатом Нобелевской премии по экономике 1975 года, и Матвеем Константиновичем Гавуриным. Этот метод стал значительным прорывом в области линейного программирования и оптимизации, предложив эффективный путь к решению транспортных задач, которые часто имеют большую размерность.

Концепция потенциалов основывается на идее двойственных оценок в линейном программировании. Потенциалы (u_i для поставщиков и v_j для потребителей) можно интерпретировать как «цены» или «оценки» эффективности использования маршрутов.

• u_i (потенциал поставщика *i*) может рассматриваться как оценка стоимости единицы продукции, произведенной у поставщика *i*, или, образно, «преимущество» отправки товара от этого поставщика.
• v_j (потенциал потребителя *j*) может рассматриваться как оценка стоимости единицы продукции, доставляемой потребителю *j*, или «преимущество» приёма товара этим потребителем.

Для базисных маршрутов (тех, по которым фактически осуществляются перевозки) должно выполняться равенство: стоимость перевозки (c_ij) должна быть равна сумме потенциалов поставщика и потребителя (u_i + v_j). Это означает, что на оптимальном маршруте «ценность» груза для поставщика и потребителя в сумме равна стоимости его доставки.

Для небазисных маршрутов (тех, по которым груз не перевозится) отношение потенциалов и стоимости перевозки используется для оценки их потенциальной выгодности. Если стоимость перевозки по небазисному маршруту ниже, чем сумма потенциалов (c_ij < u_i + v_j), это указывает на то, что использование этого маршрута могло бы снизить общие затраты, и текущий план неоптимален. В конечном итоге, метод потенциалов позволяет определить скрытые резервы для оптимизации, указывая на те маршруты, которые, будучи неиспользуемыми, могут предложить экономическое преимущество.

Этапы реализации метода потенциалов

Метод потенциалов является итерационным. Он состоит из следующих шагов:

Шаг 1: Определение потенциалов (u_i, v_j) для базисных клеток.

1. Присваиваем одному из потенциалов (например, u₁) произвольное значение, чаще всего ноль (u₁ = 0).
2. Используя уравнение u_i + v_j = c_ij для всех базисных клеток (ячеек, где x_ij > 0), последовательно вычисляем остальные потенциалы. Для каждой базисной ячейки, где известны c_ij и один из потенциалов (u_i или v_j), можно найти второй потенциал.
   • Если известен u_i, то vj = cij - ui.
   • Если известен v_j, то ui = cij - vj.

   Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут найдены все потенциалы для всех поставщиков и потребителей.

Шаг 2: Вычисление оценок (неявок) для свободных (незаполненных) клеток.
Для каждой небазисной (свободной) клетки (*i*, *j*) вычисляем её оценку δ_ij по формуле:

δij = cij - (ui + vj)
Эта оценка показывает, насколько изменится целевая функция (общие затраты), если по данному маршруту перевезти одну единицу груза.

Шаг 3: Проверка на оптимальность.

1. Если все оценки δ_ij для всех свободных клеток являются неотрицательными (δ_ij ≥ 0), то текущий план является оптимальным. Дальнейшие улучшения невозможны, и решение найдено.
2. Если среди оценок δ_ij есть хотя бы одно отрицательное значение, то текущий план неоптимален. Необходимо перейти к следующему шагу.

Шаг 4: Переход к новому опорному плану.

1. Выбор входящей переменной: Выбираем свободную ячейку (*k*, *l*) с наибольшим отрицательным значением δ_kl. Эта ячейка соответствует наиболее выгодному маршруту, который сейчас не используется. Груз будет «введён» в эту ячейку.
2. Построение замкнутого цикла (цикла пересчёта): Из выбранной ячейки (*k*, *l*) строим замкнутый цикл, состоящий из базисных клеток. Цикл начинается в (*k*, *l*) с символа «+», затем чередуются знаки «-» и «+» в угловых клетках, пока цикл не вернётся в (*k*, *l*). Каждая угловая клетка цикла должна быть базисной (иметь ненулевую перевозку). Это означает, что перераспределение груза происходит только по существующим маршрутам.
3. Определение величины перераспределения: Выбираем минимальное значение из объёмов перевозок (x_ij) в базисных клетках цикла, отмеченных знаком «-«. Обозначим это минимальное значение как θ.
4. Корректировка плана:
   • Ко всем ячейкам цикла со знаком «+» прибавляем θ.
   • Из всех ячеек цикла со знаком «-» вычитаем θ.

   В результате одна из базисных клеток со знаком «-» обнулится, что приведёт к её выходу из базиса. Ячейка (*k*, *l*) войдёт в базис.

5. Повторение: Полученный новый опорный план проверяется на оптимальность (возвращаемся к Шагу 1), и процесс повторяется до тех пор, пока не будет найден оптимальный план.

Примеры решения транспортной задачи методом потенциалов

Для наглядности рассмотрим упрощённый числовой пример.
Допустим, у нас есть 2 поставщика (P1, P2) и 3 потребителя (C1, C2, C3).
Запасы поставщиков: a₁ = 100, a₂ = 150. Общий запас = 250.
Спрос потребителей: b₁ = 80, b₂ = 90, b₃ = 80. Общий спрос = 250.
Задача закрытая.

Матрица стоимостей c_ij:

	C1	C2	C3
P1	5	8	4
P2	7	6	3

Шаг 0: Нахождение исходного опорного плана (например, методом северо-западного угла):

1. x₁₁ = min(100, 80) = 80. P1: 20, C1: 0.
2. x₁₂ = min(20, 90) = 20. P1: 0, C2: 70.
3. x₂₂ = min(150, 70) = 70. P2: 80, C2: 0.
4. x₂₃ = min(80, 80) = 80. P2: 0, C3: 0.

Исходный опорный план (базисные переменные выделены):

	C1	C2	C3	Запасы
P1	80 (5)	20 (8)	0 (4)	100
P2	0 (7)	70 (6)	80 (3)	150
Спрос	80	90	80	250

Общая стоимость Z = 80*5 + 20*8 + 70*6 + 80*3 = 400 + 160 + 420 + 240 = 1220.

Шаг 1: Определение потенциалов u_i и v_j.
Примем u₁ = 0.
Для базисных клеток ui + vj = cij:

• (P1, C1): u1 + v1 = c11 => 0 + v1 = 5 => v1 = 5
• (P1, C2): u1 + v2 = c12 => 0 + v2 = 8 => v2 = 8
• (P2, C2): u2 + v2 = c22 => u2 + 8 = 6 => u2 = -2
• (P2, C3): u2 + v3 = c23 => -2 + v3 = 3 => v3 = 5

Потенциалы: u₁ = 0, u₂ = -2, v₁ = 5, v₂ = 8, v₃ = 5.

Шаг 2: Вычисление оценок δ_ij для свободных клеток.

• (P1, C3): δ13 = c13 - (u1 + v3) = 4 - (0 + 5) = 4 - 5 = -1
• (P2, C1): δ21 = c21 - (u2 + v1) = 7 - (-2 + 5) = 7 - 3 = 4

Шаг 3: Проверка на оптимальность.
Есть отрицательная оценка δ₁₃ = -1. План неоптимален.

Шаг 4: Переход к новому опорному плану.

1. Входящая переменная: Выбираем (P1, C3), так как δ₁₃ = -1 (наибольшая отрицательная).
2. Цикл пересчёта: Строим замкнутый цикл, начиная с (P1, C3) со знаком «+».
   (P1, C3) (+) → (P1, C2) (-) → (P2, C2) (+) → (P2, C3) (-) → (P1, C3)
   (это один из возможных циклов, базисные ячейки: (P1,C2) — 20, (P2,C2) — 70, (P2,C3) — 80)
3. Величина перераспределения: Минимальное значение в ячейках со знаком «-» это min(x12, x23) = min(20, 80) = 20. Значит, θ = 20.
4. Корректировка плана:
   • x₁₃ = 0 + 20 = 20
   • x₁₂ = 20 — 20 = 0 (выходит из базиса)
   • x₂₂ = 70 + 20 = 90
   • x₂₃ = 80 — 20 = 60

Новый опорный план:

	C1	C2	C3	Запасы
P1	80 (5)	0 (8)	20 (4)	100
P2	0 (7)	90 (6)	60 (3)	150
Спрос	80	90	80	250

Общая стоимость Z = 80*5 + 20*4 + 90*6 + 60*3 = 400 + 80 + 540 + 180 = 1200.
Стоимость снизилась с 1220 до 1200. Это подтверждает, что новый план лучше.

Повторяем Шаг 1: Определение потенциалов для нового плана.
u₁ = 0

• (P1, C1): u1 + v1 = c11 => 0 + v1 = 5 => v1 = 5
• (P1, C3): u1 + v3 = c13 => 0 + v3 = 4 => v3 = 4
• (P2, C3): u2 + v3 = c23 => u2 + 4 = 3 => u2 = -1
• (P2, C2): u2 + v2 = c22 => -1 + v2 = 6 => v2 = 7

Новые потенциалы: u₁ = 0, u₂ = -1, v₁ = 5, v₂ = 7, v₃ = 4.

Повторяем Шаг 2: Вычисление оценок δ_ij для свободных клеток.

• (P1, C2): δ12 = c12 - (u1 + v2) = 8 - (0 + 7) = 8 - 7 = 1
• (P2, C1): δ21 = c21 - (u2 + v1) = 7 - (-1 + 5) = 7 - 4 = 3

Повторяем Шаг 3: Проверка на оптимальность.
Все оценки δ_ij ≥ 0. Текущий план является оптимальным. Минимальная стоимость Z = 1200.

Этот пример демонстрирует, как итерационно, шаг за шагом, метод потенциалов позволяет улучшать план перевозок до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное решение, подтверждая его эффективность и практическую применимость.

Особенности распределительной задачи и методы её оптимизации

Распределительная задача, будучи тесно связанной с транспортной, представляет собой фундаментальную экономико-математическую модель, которая выходит за рамки простого перемещения грузов. Она затрагивает более широкие аспекты управления ресурсами, часто включая производственные процессы и стратегическое планирование.

Связь распределительной и транспортной задач

В своей основе распределительная задача часто является обобщением или модификацией транспортной задачи. Если классическая транспортная задача фокусируется на минимизации затрат на перевозку уже произведенной продукции от складов к потребителям, то распределительная задача может включать в себя:

• Выбор мест производства (поставщиков): Определение, на каких производственных мощностях и в каких объёмах следует производить продукцию.
• Прикрепление потребителей к поставщикам: Решение, какие потребители должны обслуживаться каким поставщиком, чтобы минимизировать общие затраты.
• Определение производственных планов: Включение в модель стоимости производства на каждом заводе и его влияние на общие издержки.

В контексте простейших производственно-транспортных моделей, пункты производства могут рассматриваться как поставщики, а их производственные мощности — как запасы продукции. Это позволяет свести такие распределительные задачи к стандартной транспортной модели. Например, если у нас есть несколько заводов, каждый из которых может произвести определённое количество товара с определённой стоимостью, и несколько складов, которым нужно этот товар доставить, то:

• Поставщики: Заводы. Их «запасы» – это их производственные мощности.
• Потребители: Склады. Их «спрос» – это потребности в товаре.
• Стоимость перевозки: Включает не только транспортные издержки, но и стоимость производства на соответствующем заводе.

Таким образом, математическая структура распределительной задачи может быть идентична транспортной, но интерпретация элементов модели становится более комплексной, охватывая не только логистику, но и производственный менеджмент. Это даёт возможность использовать специализированные, менее трудоёмкие методы решения, разработанные для транспортных задач, вместо универсальных методов линейного программирования, которые могут быть избыточно сложны для частных случаев, обеспечивая тем самым более эффективное и целевое применение математического аппарата.

Цели и критерии оптимизации распределительных задач

Цели оптимизации в распределительных задачах расширяются по сравнению с чисто транспортными, включая не только минимизацию транспортных расходов, но и другие аспекты, влияющие на общую эффективность системы.

Основные цели и критерии:

1. Минимизация суммарных издержек: Это наиболее общий и частый критерий, который объединяет в себе несколько видов затрат:
   • Транспортные расходы: Стоимость перевозки продукции от мест производства/хранения до потребителей.
   • Производственные расходы: Затраты на изготовление продукции на каждом производственном предприятии.
   • Складские расходы: Издержки, связанные с хранением продукции на складах (если модель включает промежуточные склады).
   • Затраты на открытие/содержание объектов: Если задача включает выбор местоположения новых производственных или складских объектов, сюда могут включаться фиксированные затраты на их строительство и эксплуатацию.
2. Минимизация времени доставки: Как и в транспортной задаче, этот критерий может быть приоритетным для скоропортящихся товаров или при соблюдении строгих временных рамок поставок.
3. Максимизация уровня обслуживания: Это может означать минимизацию неудовлетворённого спроса, сокращение задержек, повышение надёжности поставок. Часто этот критерий вводится через штрафы за невыполнение обязательств.
4. Оптимизация производственных планов: Определение оптимальных объёмов производства для каждого предприятия с учётом их мощностей, себестоимости и спроса на продукцию.

Распределительные задачи могут принимать различные формы, например, задача о размещении объектов (facility location problem), задача о многопродуктовой сети (multi-commodity network flow problem) и другие, каждая из которых имеет свои специфические модификации методов оптимизации. Однако общая логика сводимости к транспортным моделям или использование похожих алгоритмов линейного программирования остаётся неизменной, что подчёркивает фундаментальное значение транспортной задачи в экономико-математическом моделировании, представляя собой универсальный инструмент для решения сложнейших логистических проблем.

Анализ чувствительности и параметрическое программирование в транспортных задачах

Найденное оптимальное решение транспортной задачи основывается на определённом наборе исходных данных: запасах, спросе, стоимостях перевозок. Однако в реальной жизни эти параметры редко бывают абсолютно стабильными. Цены на топливо колеблются, спрос может меняться из-за рыночных факторов, а производственные мощности могут быть временно недоступны. В таких условиях возникает вопрос: насколько устойчиво оптимальное решение к небольшим изменениям этих параметров? И как это решение будет меняться, если параметры изменяются в более широких пределах? Ответы на эти вопросы дают анализ чувствительности и параметрическое программирование.

Понятие анализа чувствительности

Анализ чувствительности (или послеоптимизационный анализ) — это исследование того, как изменение исходных параметров модели (например, стоимости перевозок, объемов запасов или спроса) влияет на оптимальное решение и значение целевой функции без необходимости полного перерешения задачи. Он позволяет оценить робастность (устойчивость) найденного решения.

Основные вопросы, на которые отвечает анализ чувствительности:

• Изменение коэффициентов целевой функции (c_ij): В каких пределах может меняться стоимость перевозки по конкретному маршруту, чтобы оптимальный план перевозок (то есть, набор базисных переменных) оставался неизменным? Как изменится общая стоимость перевозок при изменении c_ij?
• Изменение правой части ограничений (a_i и b_j): В каких пределах могут меняться запасы поставщиков или спрос потребителей, чтобы оптимальный базис оставался прежним? Как это повлияет на общую стоимость перевозок?
• Введение новой переменной (нового маршрута): Будет ли выгодно открыть новый маршрут с определённой стоимостью?
• Введение нового ограничения: Как повлияет на оптимальное решение добавление нового условия (например, ограничение на пропускную способность конкретного маршрута)?

Для транспортной задачи анализ чувствительности позволяет менеджеру понять, например, на сколько процентов может подорожать топливо, прежде чем текущий оптимальный маршрут станет невыгодным, или насколько можно уменьшить запас на одном складе, не нарушая оптимальную схему распределения. Это ценная информация для оперативного управления и принятия тактических решений, позволяющая своевременно адаптироваться к изменяющимся условиям.

Параметрическое программирование

Параметрическое программирование — это более продвинутый метод, который изучает зависимость оптимального решения задачи линейного программирования от одного или нескольких параметров, изменяющихся в широких пределах. В отличие от анализа чувствительности, который фокусируется на небольших изменениях, параметрическое программирование исследует полный спектр изменений параметра и показывает, как оптимальный план и значение целевой функции меняются при последовательном выходе параметра за границы «устойчивого» интервала.

Например, для транспортной задачи параметрическое программирование может быть использовано для:

• Изучения зависимости оптимального плана от изменения объема производства на одном из заводов. Как будет меняться оптимальная схема поставок, если мощность завода будет постепенно увеличиваться или уменьшаться?
• Анализа влияния изменения стоимости перевозки по одному ключевому маршруту. При каких значениях стоимости этого маршрута оптимальное решение переходит от одного базиса к другому?
• Исследования влияния общего тренда изменения стоимости перевозок (например, инфляции) на всю систему.

Результатом параметрического программирования является набор оптимальных решений, каждое из которых справедливо для определённого интервала значений параметра. Это позволяет не просто определить границы устойчивости текущего решения, но и заранее спланировать действия при значительных изменениях внешних условий. Например, логистическая компания может заранее определить, как изменится её оптимальная сеть поставок при различных сценариях роста цен на топливо, что позволит ей оперативно адаптироваться и минимизировать потери. Таким образом, параметрическое программирование превращает реактивное управление в проактивное, обеспечивая стратегическое преимущество в долгосрочной перспективе.

Оба этих метода — анализ чувствительности и параметрическое программирование — являются незаменимыми инструментами для повышения робастности и адаптивности решений, полученных с помощью экономико-математических моделей. Они переводят чисто математическое решение в плоскость управленческих решений, позволяя не только найти оптимальный план, но и понять его динамику и устойчивость в условиях неопределённости реального мира.

Программные средства для моделирования и оптимизации транспортных процессов

В современном мире ручное решение транспортных задач, особенно большой размерности, практически невозможно и неэффективно. На помощь приходят специализированные программные средства, которые автоматизируют процесс построения моделей, расчёта и анализа результатов, значительно сокращая время и повышая точность.

Использование Microsoft Excel «Поиск решения»

Microsoft Excel, будучи одним из самых распространённых офисных приложений, предоставляет базовый, но весьма функциональный инструмент для решения задач линейного программирования — надстройку «Поиск решения» (Solver). Это делает его доступным для широкого круга пользователей, не имеющих глубоких знаний в программировании.

Функционал «Поиска решения» для транспортных задач:

1. Формулировка модели в таблице: Пользователь может легко задать матрицу стоимостей (c_ij), объёмы запасов (a_i) и спроса (b_j), а также создать ячейки для переменных решения (x_ij).
2. Определение целевой функции: С помощью функции СУММПРОИЗВ (SUMPRODUCT) можно легко посчитать общую стоимость перевозок как сумму произведений x_ij на c_ij и указать, что эту функцию нужно минимизировать.
3. Установка ограничений:
   • Ограничения по запасам: Сумма значений в каждой строке x_ij должна быть равна соответствующему a_i.
   • Ограничения по спросу: Сумма значений в каждом столбце x_ij должна быть равна соответствующему b_j.
   • Неотрицательность переменных: Все x_ij должны быть ≥ 0.
   • Целочисленность (опционально): Для некоторых задач может потребоваться, чтобы x_ij были целыми числами, что также поддерживается «Поиском решения».
4. Выбор метода решения: «Поиск решения» предлагает несколько методов, включая симплекс-метод для задач линейного программирования.
5. Получение результатов и отчётов: После решения задачи Excel выдаёт оптимальные значения x_ij, минимальное значение целевой функции и может сгенерировать различные отчёты, включая отчёт по чувствительности, который полезен для анализа устойчивости решения.

Преимущества Excel Solver: доступность, простота использования для небольших и средних задач, возможность проведения анализа чувствительности. Недостатки: ограниченная масштабируемость для очень больших задач, отсутствие специализированных логистических функций, меньшая производительность по сравнению с профессиональными пакетами.

Специализированные программные пакеты и библиотеки

Для решения более сложных, крупномасштабных и динамических транспортных задач, а также для интеграции с другими бизнес-процессами, используются специализированные программные пакеты и библиотеки.

1. ERP/TMS системы с модулями оптимизации:
   • Enterprise Resource Planning (ERP) системы (например, SAP, Oracle E-Business Suite): Часто включают модули для управления цепочками поставок (SCM), которые содержат функционал для оптимизации маршрутов, планирования загрузки транспорта и распределения ресурсов. Они интегрируют данные из производства, складов, продаж и финансов, обеспечивая целостный подход.
   • Transportation Management Systems (TMS) (например, Oracle Transportation Management, MercuryGate, Blue Yonder): Это специализированные системы, полностью посвящённые управлению транспортными операциями. Они предлагают расширенные возможности для:
     • Планирования и оптимизации маршрутов: Создание оптимальных маршрутов для одного или нескольких транспортных средств, учёт временных окон доставки, ограничений по весу/объёму.
     • Консолидации грузов: Объединение мелких партий в крупные для снижения издержек.
     • Отслеживания грузов: Интеграция с GPS-системами и датчиками, обеспечивающая непрерывную обратную связь о местонахождении и состоянии груза. Это позволяет оперативно реагировать на любые изменения в маршруте, rerouting в реальном времени.
     • Расчёта тарифов и выбора перевозчиков.
     • Анализа производительности: Мониторинг ключевых показателей эффективности (KPI) транспортных операций.
2. Математические библиотеки и фреймворки для программирования:
   • Python: Широко используется в аналитике и машинном обучении. Для оптимизации существуют библиотеки, такие как:
     • PuLP: Позволяет формулировать задачи линейного программирования (включая транспортные) на Python и использовать различные солверы (например, GLPK, CBC, CPLEX, Gurobi).
     • SciPy.optimize: Предоставляет функции для решения различных задач оптимизации.
     • OR-Tools (Google): Мощная библиотека для решения задач комбинаторной оптимизации, включая задачи маршрутизации (Vehicle Routing Problem), которая является более сложным обобщением транспортной задачи.
   • R: Также популярен среди статистиков и аналитиков. Пакеты lpSolve или Rglpk предоставляют функционал для линейного программирования.
   • Специализированные солверы: Коммерческие солверы, такие как CPLEX (IBM), Gurobi, Xpress, известны своей высокой производительностью и способностью решать задачи огромной размерности. Они часто используются в качестве «движка» для оптимизации в более крупных системах.

Применение таких программных средств не только способствует рациональному планированию путей, устранению дальних и повторных перевозок, но и ведёт к значительному сокращению транспортных издержек, снижению затрат на топливо и ремонт машин, а также уменьшению себестоимости продукции, тем самым повышая общую конкурентоспособность предприятия. Это, по сути, позволяет компаниям превратить логистику из центра затрат в стратегическое конкурентное преимущество.

Практическое применение методов моделирования и оптимизации в логистических системах

Теоретические модели и сложные алгоритмы обретают истинную ценность, когда они успешно применяются для решения реальных бизнес-задач. В транспортной логистике методы моделирования и оптимизации являются не просто академическими упражнениями, а мощными инструментами для повышения операционной эффективности, снижения затрат и улучшения качества обслуживания.

Минимизация затрат и рационализация маршрутов

Основная задача транспортной логистики, как уже было отмечено, заключается в минимизации затрат на транспортировку. Методы моделирования и оптимизации позволяют достичь этой цели несколькими способами:

1. Определение оптимальных маршрутов доставки: Классическая транспортная задача и её многочисленные модификации (например, задача коммивояжера, задача маршрутизации транспортных средств — Vehicle Routing Problem) позволяют построить наиболее эффективные маршруты, которые учитывают:
   • Расстояние и время в пути: Выбор кратчайших или быстрейших путей между точками.
   • Стоимость проезда: Учет тарифов, платы за дороги, мосты.
   • Объёмы грузов и вместимость транспорта: Оптимальное заполнение каждого транспортного средства, избегая недогрузок или перегрузок.
   • Временные окна доставки: Соблюдение заданных интервалов для прибытия и отбытия.
   • Ограничения по дорогам и транспорту: Высота мостов, грузоподъёмность дорог, типы транспортных средств.

   Рационализация маршрутов напрямую сокращает пробег, расход топлива, износ транспортных средств, а также уменьшает время, затрачиваемое водителями, что снижает операционные расходы.

2. Выбор вида и типа транспортных средств: Моделирование помогает определить, какой вид транспорта (автомобильный, железнодорожный, морской, воздушный) и какой тип транспортных средств (грузовики разной вместимости, специализированный транспорт) будет наиболее экономичным и эффективным для конкретной перевозки. Например, для больших объемов на дальние расстояния может быть выгоден железнодорожный транспорт, а для «последней мили» — малотоннажный автотранспорт.
3. Консолидация грузов: Оптимизационные модели позволяют выявлять возможности для объединения мелких партий грузов от разных отправителей или для разных получателей в один рейс, что значительно снижает удельную стоимость перевозки единицы продукции.
4. Снижение себестоимости продукции: Прямое следствие сокращения транспортных издержек. Уменьшение логистических расходов позволяет снизить общую себестоимость товара, делая его более конкурентоспособным на рынке.

Совместное планирование транспортного, складского и производственного процессов

Эффективная логистика – это не просто набор разрозненных операций, а комплексная система, где транспорт, складирование и производство тесно взаимосвязаны. Методы моделирования позволяют оптимизировать всю цепочку поставок:

1. Интегрированное планирование: Вместо того чтобы оптимизировать каждый элемент цепочки по отдельности, модели позволяют найти глобальный оптимум. Например, задача о размещении складов (facility location problem) не только определяет оптимальное количество и местоположение складов, но и учитывает, как это повлияет на транспортные расходы и время доставки к конечным потребителям.
2. Мультимодальные перевозки: В случае смешанных перевозок (например, контейнерные перевозки, включающие морской, железнодорожный и автомобильный транспорт), оптимизационные модели позволяют совместно планировать транспортные процессы на различных видах транспорта. Цель – обеспечить технологическое единство транспортно-складского процесса, минимизировать простои на перегрузочных пунктах и снизить общие затраты, выбирая наиболее эффективные комбинации видов транспорта.
3. Оптимизация запасов: Модели управления запасами интегрируются с транспортными моделями, чтобы найти баланс между стоимостью хранения и стоимостью транспортировки, а также избежать дефицита или избытка товаров.

Современные технологии в транспортной логистике

Современные технологии значительно расширяют возможности применения экономико-математических методов, делая их более динамичными и адаптивными:

1. Системы отслеживания грузов (GPS, IoT): Осуществляют непрерывную обратную связь, мгновенно передавая информацию о состоянии, местонахождении и перемещении груза. Это позволяет:
   • Динамическая маршрутизация: Вносить корректировки в маршруты в реальном времени при изменении дорожной ситуации (пробки, аварии), погодных условий или сроков доставки.
   • Прогнозирование времени прибытия (ETA): Повышать точность прогнозов, что критически важно для планирования дальнейших операций (например, разгрузки, следующей доставки).
   • Повышение безопасности: Мониторинг температурного режима, влажности для чувствительных грузов, отслеживание несанкционированных остановок или отклонений от маршрута.
2. Прогнозирование объемов перевозок: Использование методов машинного обучения и статистики для прогнозирования будущего спроса и предложения. Это позволяет заблаговременно планировать ресурсы, заключать контракты с перевозчиками и оптимизировать парк транспортных средств.
3. Облачные платформы и Big Data: Современные логистические платформы, работающие на базе облачных технологий, собирают и обрабатывают огромные объемы данных. Эти данные используются для усовершенствования моделей оптимизации, выявления скрытых закономерностей и повышения точности прогнозов.

Практическое применение методов моделирования и оптимизации в логистических системах – это непрерывный процесс, направленный на поиск новых путей повышения эффективности. Он позволяет компаниям не только сокращать издержки, но и улучшать качество обслуживания клиентов, что в конечном итоге способствует их устойчивому развитию и конкурентоспособности на рынке, ведь в динамичной рыночной среде способность быстро адаптироваться и оптимизировать процессы является ключевым фактором успеха.

Заключение

В условиях динамичного и высококонкурентного мирового рынка, глубокое понимание и эффективное применение экономико-математических методов для оптимизации транспортных и распределительных процессов становится не просто желательным, а необходимым условием для успешной деятельности любого предприятия. Данная работа продемонстрировала, как структурированный подход к моделированию позволяет превратить сложнейшие логистические задачи в поддающиеся решению математические проблемы.

Мы детально рассмотрели фундаментальную экономико-математическую модель транспортной задачи, изучив её постановку, переменные, целевую функцию и систему ограничений. Было показано, как различия между закрытыми и открытыми задачами влияют на их формулировку, и как несбалансированные модели могут быть приведены к стандартному виду через введение фиктивных поставщиков или потребителей. Особое внимание было уделено критериям оптимизации, будь то минимизация стоимости или времени, подчеркивая их зависимость от стратегических приоритетов компании.

В ходе исследования были представлены и проанализированы ключевые методы нахождения исходного опорного плана: от простого, но не всегда эффективного метода северо-западного угла, до более продвинутых методов наименьшего элемента и аппроксимации Фогеля, которые обеспечивают лучшее начальное приближение к оптимальному решению. Центральное место в работе заняло подробное изложение метода потенциалов – разработанного Л.В. Канторовичем и М.К. Гавуриным мощного итерационного алгоритма для достижения оптимального плана перевозок, сопровождаемое пошаговым примером, иллюстрирующим его применение.

Мы также расширили рассмотрение до распределительных задач, показав их тесную связь с транспортными моделями и возможность применения аналогичных методов оптимизации для более комплексного распределения ресурсов с учетом производственных и транспортных затрат. Критически важным аспектом, который был глубоко проработан, стал анализ чувствительности и параметрическое программирование. Эти методы позволяют не только найти оптимальное решение, но и оценить его устойчивость к изменениям исходных данных, а также предсказать поведение системы при значительных вариациях параметров, что является бесценным для принятия стратегических управленческих решений.

Наконец, был представлен обзор современных программных средств – от универсального Microsoft Excel «Поиск решения» до специализированных ERP/TMS систем и математических библиотек на Python, – которые автоматизируют и ускоряют процесс моделирования и оптимизации, делая эти методы доступными и применимыми в реальной практике. Практические примеры показали, как эти методы напрямую способствуют минимизации затрат, рационализации маршрутов, совместному планированию всей цепочки поставок и интеграции с передовыми технологиями транспортной логистики.

Перспективы дальнейших исследований в данной области включают разработку и применение более сложных стохастических и динамических моделей для учёта неопределённости и изменяющихся во времени условий, интеграцию методов искусственного интеллекта и машинного обучения для прогнозирования и адаптивного управления, а также исследование многокритериальных моделей, позволяющих одновременно оптимизировать несколько конфликтующих целей (например, стоимость, время, экологичность). Освоение этих подходов позволит логистическим системам достичь нового уровня эффективности и устойчивости в условиях постоянно меняющегося мира.

Список использованной литературы

1. Васнев, С. А. Статистика: Учебное пособие. – М.: МГУП, 2001. 170 с.
2. Зандер, Е. В. Эконометрика: Учебно-методич. комплекс. Красноярск: РИО КрасГУ, 2006.
3. Карп, Д. Б. Эконометрика : Основные формулы с комментариями: учебно-методич. пособие. – Владивосток, 2006.
4. Мацнев, А. П. Экономико-математические методы и модели. – М.: 2005. – 38 с.
5. Никитенков, В. Л. Задачи линейного программирования и методы их решения (учебное пособие). — Сыктывкар. СыктГУ, 2003. – 115 с.