Методика и практический пример формулировки задачи линейного программирования

Для многих студентов курсовая работа по линейному программированию становится настоящим испытанием. Теоретические лекции о методах оптимизации кажутся понятными, но как только дело доходит до практической задачи с производством, ресурсами и ценами, возникает ступор. «Вот теория, вот текст задачи — а как их соединить в единое целое, совершенно непонятно». Этот барьер между абстрактными формулами и реальным кейсом часто вызывает страх и неуверенность.

Цель этой статьи — снять этот барьер. Мы проведем вас за руку по всему процессу, от анализа «жизненного» текста задачи до построения строгой математической модели. После прочтения у вас будет не просто общее понимание, а четкий пошаговый алгоритм, который можно применить для формализации любой подобной задачи в вашей курсовой работе. Мы докажем, что постановка задачи — это не магия, а логичная и последовательная процедура.

Что такое задача линейного программирования, если объяснять просто

Если отбросить сложную терминологию, линейное программирование (ЛП) — это, по сути, метод поиска наилучшего решения в ситуации, когда у вас есть четкая цель и ограниченные ресурсы. Представьте, что вы собираете модель из конструктора, но у вас ограниченное количество деталей каждого типа (это ваши ограничения), а ваша цель — собрать самую большую или самую прочную конструкцию (это ваша цель). ЛП помогает найти оптимальную комбинацию действий для достижения этой цели.

Любая задача ЛП стоит на трех китах, трех фундаментальных понятиях, которые нужно понять раз и навсегда:

1. Переменные решения. Это те величины, которыми мы можем управлять. В примере с конструктором — это количество использованных деталей каждого типа. В экономических задачах — это объемы производства, количество закупаемого сырья и т.д.
2. Целевая функция. Это математическое выражение нашей главной цели. Мы хотим что-то сделать максимальным (например, прибыль) или минимальным (например, затраты). Целевая функция связывает наши переменные с этой конечной целью.
3. Ограничения. Это «правила игры», которые нельзя нарушать. Они представляют собой математические неравенства или равенства, которые описывают лимиты ресурсов, производственные требования или другие условия. Например, «нельзя потратить больше денег, чем есть в бюджете» или «нужно произвести не меньше 100 единиц товара».

Таким образом, постановка задачи ЛП — это процесс перевода описательной проблемы на формальный язык этих трех компонентов. Как только это сделано, решение становится чисто технической задачей.

Как выбрать и «прочитать» условие задачи для курсовой работы

Первый и самый важный шаг — это не вычисления, а внимательный анализ текста. Вы должны научиться видеть за словами об удобрениях, фабриках или диетах строгую математическую структуру. Многие реальные задачи требуют упрощения, и именно точная формулировка является ключом к успеху.

Давайте рассмотрим классическую задачу, которая послужит нам сквозным примером. Такие задачи часто встречаются в курсовых работах и хорошо иллюстрируют все этапы моделирования.

Условие задачи: Фирма выпускает два набора удобрений для газонов: «Обычный» и «Улучшенный». В «Обычный» набор входят 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений. В «Улучшенный» — 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для эффективного питания конкретного газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Стоимость одного «Обычного» набора составляет 3 условные единицы, а «Улучшенного» — 4 у.е. Необходимо составить такой план закупки наборов, чтобы обеспечить минимальные общие затраты.

Давайте «расслоим» этот текст. Что здесь цель? Очевидно, минимизировать затраты. Чем мы можем управлять? Количеством закупаемых наборов каждого вида — это наши неизвестные. А каковы условия? Потребности газона в питательных веществах (азот, фосфор, калий) — это наши ограничения.

Шаг 1. Определение переменных, или Превращаем объекты в X₁ и X₂

Итак, первый формальный шаг — определить переменные решения. Это те самые неизвестные величины, которыми мы можем оперировать для достижения цели. В нашей задаче это количество наборов удобрений, которое мы планируем закупить.

Давайте дадим им математические имена. Это стандартная практика в ЛП, позволяющая перейти от слов к формулам.

• Пусть x₁ — это количество «Обычных» наборов удобрений, которое мы закупим.
• Пусть x₂ — это количество «Улучшенных» наборов удобрений, которое мы закупим.

Ключевой момент здесь в том, что эти переменные измеримы и контролируемы. Именно их итоговые значения мы и стремимся найти в результате решения задачи. Это фундамент всей нашей будущей математической модели.

Шаг 2. Формулировка целевой функции, или Как задать системе конечную цель

Теперь, когда у нас есть управляемые переменные, нам нужно формализовать нашу главную цель. Целевая функция — это линейное уравнение, которое математически выражает то, что мы хотим максимизировать (прибыль, эффективность) или минимизировать (затраты, отходы).

В нашей задаче цель предельно ясна: «обеспечить минимальные общие затраты». Давайте посчитаем эти затраты. Стоимость одного «Обычного» набора — 3 у.е. Если мы покупаем `x₁` таких наборов, то потратим `3 * x₁` у.е. Аналогично, на «Улучшенные» наборы мы потратим `4 * x₂` у.е. Общие затраты, которые мы обозначим буквой F (или Z), будут суммой этих двух величин.

Таким образом, наша целевая функция выглядит так:

F = 3x₁ + 4x₂ → min

Этот короткая запись означает: «Мы ищем такие значения `x₁` и `x₂`, при которых выражение `3x₁ + 4x₂` будет принимать минимально возможное значение». Мы задали системе координат нашу конечную цель.

Шаг 3. Построение системы ограничений, или Перевод условий в неравенства

Это самый сложный и ответственный этап. Нам нужно перевести все текстовые условия задачи в строгую систему линейных неравенств. Ограничения — это «правила игры», которые определяют область допустимых решений. В нашем случае — это минимальные потребности газона в питательных веществах.

Давайте разберем каждое требование последовательно:

1. Азот. В одном «Обычном» наборе (`x₁`) содержится 3 кг азота. В одном «Улучшенном» (`x₂`) — 2 кг. Общее количество азота из всех закупленных наборов составит `3x₁ + 2x₂`. По условию, нам требуется «по меньшей мере 10 кг», что математически означает «10 или больше». Отсюда первое неравенство:
   

   3x₁ + 2x₂ ≥ 10

2. Фосфор. Рассуждаем аналогично. В наборе `x₁` — 4 кг фосфора, в наборе `x₂` — 6 кг. Общее количество — `4x₁ + 6x₂`. Требуется «по меньшей мере 20 кг». Получаем второе неравенство:
   

   4x₁ + 6x₂ ≥ 20

3. Калий. И снова тот же принцип. В наборе `x₁` — 1 кг калия, в наборе `x₂` — 3 кг. Общее количество — `x₁ + 3x₂`. Требуется «по меньшей мере 7 кг». Вот и третье неравенство:
   

   x₁ + 3x₂ ≥ 7

На этом шаге крайне важно правильно выбрать знак неравенства. Фраза «не менее» или «по меньшей мере» всегда означает знак ≥ (больше или равно). Фраза «не более» или «ресурс ограничен» означает знак ≤ (меньше или равно).

Шаг 4. Условие неотрицательности, или Почему переменные не могут быть меньше нуля

Мы почти у цели. Мы описали цель и правила. Но есть еще один фундаментальный, хотя и очевидный, штрих, который часто упускают новички. Зададим себе простой вопрос: «Можем ли мы произвести или закупить минус пять наборов удобрений?» Ответ очевиден — нет. В большинстве экономических и производственных задач искомые переменные по своему физическому смыслу не могут быть отрицательными.

Поэтому в любую модель такого типа всегда добавляется условие неотрицательности:

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Более того, в нашей конкретной задаче мы покупаем наборы целиком. Нельзя купить полтора набора. Поэтому стоит добавить и условие целочисленности. Это превращает нашу задачу в частный случай ЛП — целочисленное программирование.

x₁, x₂ — целые

Итоговая сборка. Как выглядит готовая математическая модель задачи

Теперь, когда все элементы готовы, мы можем собрать их в единую конструкцию. Именно в таком виде математическая модель задачи должна быть представлена в курсовой работе. Это и есть главный результат этапа постановки задачи.

Готовая модель выглядит так:

1. Целевая функция:

F = 3x₁ + 4x₂ → min

2. При системе функциональных ограничений:

3x₁ + 2x₂ ≥ 10 (по азоту)
4x₁ + 6x₂ ≥ 20 (по фосфору)
x₁ + 3x₂ ≥ 7 (по калию)

3. С граничными условиями:

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0
x₁, x₂ — целые

Поздравляем! Мы полностью перевели описательную экономическую проблему на строгий язык математики. Задача постановки модели решена. Теперь ее можно передавать на следующий этап — решение с помощью симплекс-метода, графического метода или программных средств.

Высший пилотаж. Зачем нужна двойственная задача и как ее составить

Постановка прямой задачи — это основа. Однако для более глубокого экономического анализа существует мощный инструмент — двойственная задача. Она представляет собой взгляд на ту же самую проблему, но с совершенно другой стороны — не со стороны продуктов, которые мы покупаем, а со стороны ценности ресурсов, которые мы потребляем.

Экономический смысл двойственной задачи вводит понятие «теневых цен» (или двойственных оценок). Представьте, что некий поставщик предлагает нам купить не готовые наборы, а чистые питательные вещества. Двойственная задача помогает ответить на вопрос: «Какую максимальную цену `y₁`, `y₂`, `y₃` мы готовы заплатить за 1 кг азота, фосфора и калия соответственно, чтобы общая стоимость закупки этих „виртуальных“ ресурсов была максимальной, но при этом стоимость компонентов для производства каждого нашего набора не превышала его рыночной цены?». Эти теневые цены показывают, насколько вырастут наши минимальные затраты, если потребность, например, в азоте увеличится на 1 кг.

Построение двойственной задачи подчиняется четким правилам перехода от прямой задачи:

• Каждому ограничению прямой задачи соответствует одна переменная в двойственной. У нас было 3 ограничения (азот, фосфор, калий), значит, в двойственной будет 3 переменных: `y₁, y₂, y₃`.
• Цель задачи меняется на противоположную: min становится max.
• Свободные члены из ограничений прямой задачи (10, 20, 7) становятся коэффициентами в целевой функции двойственной.
• Коэффициенты из целевой функции прямой (3, 4) становятся свободными членами в ограничениях двойственной.
• Матрица коэффициентов при переменных в ограничениях транспонируется.

Для нашего примера двойственная задача будет выглядеть так:

Целевая функция:
G = 10y₁ + 20y₂ + 7y₃ → max

При ограничениях:
3y₁ + 4y₂ + y₃ ≤ 3
2y₁ + 6y₂ + 3y₃ ≤ 4

С граничными условиями:
y₁, y₂, y₃ ≥ 0

Умение составлять и интерпретировать двойственную задачу значительно повышает уровень вашей курсовой работы, показывая глубокое понимание предмета.

Мы прошли полный путь: от разбора текста до построения прямой и двойственной математических моделей. Мы увидели, что постановка задачи — это не хаотичный процесс, а строгий алгоритм, состоящий из четырех ключевых шагов: определение переменных, формулировка цели, построение ограничений и учет неотрицательности. Этот алгоритм универсален для подавляющего большинства задач линейного программирования.

Помните, что корректная постановка задачи — это 80% успеха. Именно на этом этапе закладывается фундамент для правильного решения. Дальнейшие шаги — будь то использование графического метода, симплекс-алгоритма или программных пакетов вроде MS Excel с надстройкой «Поиск решения» или библиотек Python — уже являются техническим исполнением, которое опирается на построенную вами модель.

Список использованной литературы

1. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи: учеб. Пособие. – М.: Физматлит, 2007. – 339 с.
2. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие для вузов/ Е.В. Бережная, В.И. Бережной. – М.: Финансы и статистика, 2013. – 364с.