Многокритериальная параметрическая оптимизация системы противопомпажного регулирования нагнетателя ГПА-16: Повышение эффективности, надежности и экономичности

Надежная и эффективная работа газотранспортной системы является фундаментом энергетической безопасности. Центральным элементом этой системы выступают газоперекачивающие агрегаты (ГПА), и любое нарушение их функционирования может иметь катастрофические последствия. Одной из наиболее серьезных угроз для центробежных нагнетателей, входящих в состав ГПА, является помпаж — нестабильный режим, способный привести к разрушению оборудования и масштабным простоям. Именно поэтому разработка и совершенствование систем противопомпажного регулирования (СППР) является задачей первостепенной важности.

Традиционные подходы к настройке СППР часто ориентированы на оптимизацию одного доминирующего параметра, оставляя за скобками комплексное взаимодействие всех аспектов системы. Однако в условиях современного производства, где требуется одновременное достижение высоких показателей по быстродействию, точности, энергоэффективности и надежности, такой односторонний подход становится недостаточным. Здесь на помощь приходит многокритериальная параметрическая оптимизация. Она позволяет одновременно учитывать множество конфликтующих требований, находя компромиссные решения, которые максимально удовлетворяют всем заданным условиям, что напрямую влияет на общую экономичность и стабильность работы газотранспортной инфраструктуры.

Представленная курсовая работа посвящена глубокому исследованию методов многокритериальной параметрической оптимизации применительно к системе противопомпажного регулирования нагнетателя ГПА-16. Мы рассмотрим теоретические основы явления помпажа, разработаем подробные математические модели всех ключевых элементов СППР, изучим инструментарий многокритериальной оптимизации, включая построение и анализ множества Парето, и, наконец, сформулируем практические рекомендации для повышения эксплуатационных характеристик агрегата.

Цель работы: Сформулировать и исследовать методы многокритериальной параметрической оптимизации системы противопомпажного регулирования нагнетателя ГПА-16 для повышения её эффективности, надежности и экономичности.

Общие сведения о нагнетателях ГПА-16 и явлении помпажа

В мире, где энергетические потоки являются кровеносной системой экономики, газоперекачивающие агрегаты (ГПА) занимают позицию сердца, обеспечивающего бесперебойное движение природного газа по магистральным трубопроводам. Однако, как и любое сердце, они подвержены «болезням», одной из самых опасных среди которых является помпаж. Понимание сути этого явления и его предпосылок критически важно для создания эффективных систем защиты, ведь именно на этапе проектирования закладывается потенциал для предотвращения дорогостоящих аварий.

Назначение и конструкция газоперекачивающих агрегатов

Газоперекачивающий агрегат (ГПА) — это сложный инженерный комплекс, ключевая функция которого заключается в сжатии природного газа на компрессорных станциях. Эти агрегаты обеспечивают поддержание необходимого давления для транспортировки газа по магистральным газопроводам и закачки его в подземные хранилища. Без них существование современных газотранспортных систем было бы немыслимо.

Конструктивно ГПА представляет собой интегрированную систему, включающую в себя несколько основных функциональных блоков:

• Нагнетатель природного газа (компрессор): Основной рабочий орган, осуществляющий сжатие газа. В зависимости от конструкции могут быть поршневыми или центробежными. В современных ГПА для магистральных газопроводов преобладают центробежные нагнетатели, благодаря их высокой производительности и плавности работы.
• Привод: Источник механической энергии для нагнетателя. Наиболее распространены газотурбинные двигатели (ГТД), которые могут быть как стационарными, так и созданными на базе авиационных или судовых двигателей. Также встречаются ГПА с электроприводом или газовыми двигателями внутреннего сгорания.
• Всасывающее и выхлопное устройства: Обеспечивают подачу газа во всасывающую камеру нагнетателя и отвод сжатого газа, а также отвод выхлопных газов ГТД.
• Маслосистема: Комплекс оборудования для смазки подшипников нагнетателя и привода, а также для охлаждения масла.
• Топливовоздушные коммуникации: Система подачи топливного газа в камеру сгорания ГТД и воздухозаборные устройства.
• Автоматика и вспомогательное оборудование: Включает в себя автоматизированные системы управления (АСУ ГПА), системы регулирования, контроля, защиты, пожаротушения и жизнеобеспечения агрегата.

Таким образом, ГПА – это не просто компрессор, а интегрированный механизм, где каждый элемент работает в строгой взаимосвязи, обеспечивая высокую производительность и безопасность.

Детализированные характеристики ГПА-16 «Волга»

ГПА-16 «Волга» является ярким представителем современного газоперекачивающего оборудования, демонстрирующим высокий уровень эффективности и надежности. Номинальная мощность этого агрегата составляет 16 МВт, с возможностью расширения до 18 МВт. Это унифицированный агрегат, что позволяет комплектовать его приводными двигателями и центробежными компрессорами от различных производителей, предоставляя гибкость в эксплуатации и обслуживании.

Для примера, рассмотрим ключевые технические характеристики ГПА-16 «Волга» в зависимости от типа приводного двигателя:

Характеристика	Приводной двигатель НК-38СТ	Приводной двигатель НК-16СТ
Номинальная мощность, МВт	16 (18)	16 (18)
Политропный КПД нагнетателя, %	86	86
КПД двигателя (в условиях ISO), %	38	29
Расход топливного газа, нм³/ч	5100	6200
Содержание оксидов азота в выхлопных газах, мг/нм³	80-150	80-150
Содержание оксидов углерода в выхлопных газах, мг/нм³	120-300	120-300

В качестве приводных газотурбинных двигателей ГПА-16 «Волга» может комплектоваться агрегатами производства АО «КМПО», такими как НК-38СТ, НК-16СТ и НК-16-18СТ. Примечательно, что двигатель НК-16СТ разработан на базе известного авиационного двухконтурного двигателя НК-8-2У, что подчеркивает его надежность и высокий технологический уровень.

Компрессоры для данного агрегата поставляются ведущими отечественными предприятиями, такими как АО «Казанькомпрессормаш», АО «РЭП Холдинг» и ПАО «НПО «Искра», что гарантирует качество и доступность запасных частей.

ГПА-16 «Волга» демонстрирует высокую адаптивность к условиям эксплуатации, предлагая несколько вариантов исполнения: блочно-модульное, блочно-модульное с расширенным укрытием блока компрессора и ангарное. Это позволяет применять агрегат в самых разнообразных климатических зонах, выдерживая температуры окружающего воздуха от -60 до +40 °C и относительную влажность до 100%.

Важным аспектом, влияющим на надежность и эксплуатационные затраты, является конструкция уплотнений и подшипников. В нагнетателе ГПА-16 «Волга» предусмотрена возможность установки торцовых масляных или современных «сухих» газодинамических уплотнений. Аналогично, для подшипников могут использоваться как гидродинамические масляные, так и более технологичные «сухие» электромагнитные подшипники, что позволяет оптимизировать конструкцию под конкретные требования заказчика и условия эксплуатации.

В линейке ГПА также существует модификация ГПА-16 «Ладога», предназначенная для транспортировки природного газа, с мощностью 16,5 МВт и объемной производительностью от 21,4 до 62,3 млн м³/сут, что демонстрирует разнообразие и широту применения подобных агрегатов.

Принципы работы систем противопомпажного регулирования ГПА

Чтобы предотвратить разрушительное явление помпажа, каждый газоперекачивающий агрегат оснащается сложной системой противопомпажного регулирования и защиты. Эта система действует как страж, постоянно контролирующий рабочую точку нагнетателя и активно вмешивающийся при возникновении угрозы нестабильности.

На ГПА-Ц16, например, обычно предусмотрены две взаимодополняющие противопомпажные системы:

1. Штатная система, интегрированная в АСУ ГПА (Автоматизированная система управления ГПА): Эта система является частью общего комплекса управления агрегатом. Она обеспечивает автоматическое выполнение функций управления, регулирования и контроля для длительной безаварийной работы. В контексте помпажа, АСУ ГПА осуществляет диагностирование помпажа по резкому падению расхода или запаса до границы помпажа. При обнаружении угрозы, она инициирует защиту путем полного открытия байпасного (антипомпажного) клапана. АСУ ГПА также обладает функцией самодиагностики и может автоматически переходить на альтернативные алгоритмы регулирования при отказе отдельных измерительных каналов, повышая общую надежность.
2. Специализированная система противопомпажного регулирования (например, ССС – Compressor Controls Corporation): Эта система является одним из наиболее ответственных элементов регулирования турбоагрегата, ориентированным исключительно на предотвращение помпажа. Антипомпажный контроллер ССС непрерывно в реальном времени рассчитывает координату текущей рабочей точки компрессора на его характеристике и ее удаленность до границы помпажа. На основе этих данных он оптимально управляет положением антипомпажного клапана (в линии рециркуляции или сброса), чтобы предотвратить переход рабочей точки за границу помпажа, одновременно поддерживая прочие технологические параметры в безопасных пределах.

Особенности работы контроллера ССС:

• Использование замкнутых и разомкнутых контуров регулирования: Это позволяет системе работать с минимальным запасом до границы помпажа, тем самым уменьшая объемы рециркуляции газа и отклонения технологических параметров. Минимизация рециркуляции напрямую влияет на энергоэффективность ГПА, так как каждый кубометр рециркулируемого газа означает потери энергии.
• Точное предельное регулирование: Контроллер способен обеспечивать точное поддержание давления всасывания или нагнетания посредством изменения объема рециркуляции или сброса компримируемого газа, что критически важно для стабилизации работы системы.
• Функции защиты: Системы противопомпажной защиты включают в себя не только пропорционально-интегральные (ПИ) и дифференциальные (Д) воздействия, но и специализированные алгоритмы:
  • RecycleTrip^®: Определяет предел для ступенчатого открытия антипомпажного клапана. Это механизм «предварительного» реагирования, который не позволяет компрессору слишком близко подойти к опасной зоне.
  • SafetyOn^®: Определяет предел положения рабочей точки, за которым компрессор считается попавшим в помпаж, активируя более агрессивные защитные действия.

Для регулирования работы компрессора с целью предотвращения помпажа могут использоваться различные исполнительные механизмы:

• Перепускной или сбросной клапан: Наиболее распространенный метод, позволяющий сбросить часть сжатого газа в атмосферу (сбросной клапан) или вернуть его на вход компрессора (перепускной клапан, рециркуляция). Правильный выбор антипомпажных клапанов критически важен. Например, шаровые краны могут быть в 1,5 и более раз меньше осевых клапанов при аналогичных условиях работы и обеспечивают более линейную зависимость расхода от угла поворота, предотвращая резкое приближение компрессора к границе помпажа.
• Дросселирование во всасывающем трубопроводе: Уменьшение проходного сечения на входе компрессора для снижения расхода.
• Поворот лопаток направляющего аппарата: Изменение угла установки лопаток для регулирования потока газа и характеристик компрессора.

Таким образом, системы противопомпажного регулирования представляют собой многоуровневый комплекс, сочетающий оперативное регулирование, превентивные меры и аварийную защиту, цель которого — обеспечить непрерывную и безопасную работу газоперекачивающих агрегатов.

Явление помпажа: сущность, причины и последствия

Помпаж — это одно из самых опасных и нежелательных явлений в работе центробежных нагнетателей и компрессоров. Он представляет собой нестабильный режим работы, характеризующийся резкими, интенсивными колебаниями давления, расхода газа и появлением обратных токов в проточной части агрегата. Это не просто неэффективная работа, а реальная угроза физическому разрушению оборудования.

С точки зрения гидродинамики, помпаж является автоколебательным процессом. Он возникает, когда компрессор работает в области неустойчивой характеристики, то есть при таком соотношении давления нагнетания и производительности, когда давление нагнетания становится слишком высоким для текущего расхода газа. Этот процесс можно сравнить с «дыханием» компрессора, но дыханием аритмичным и разрушительным: газ то сжимается и выталкивается, то резко отбрасывается обратно во всасывающую линию, создавая ударные волны.

Внешне помпаж проявляется очень характерно и тревожно:

• Хлопки и сильные вибрации: Внезапные, громкие звуки и ощутимая дрожь всего агрегата.
• Периодические толчки: Оборудование начинает «подергиваться» с определенной частотой.
• Резкие скачки давления и расхода: Приборы показывают хаотичные, неконтролируемые изменения ключевых параметров.

Последствия длительной работы в режиме помпажа могут быть катастрофическими:

• Механические повреждения:
  • Разрушение рабочего колеса нагнетателя.
  • Повреждение упорного подшипника.
  • Обгорание или разрушение лопаток турбины и компрессора.
  • Повреждение корпуса компрессора.
• Выход агрегата из строя: В конечном итоге, агрегат полностью теряет работоспособность, требуя дорогостоящего ремонта или замены.
• Снижение эффективности: Даже кратковременный помпаж приводит к падению КПД и увеличению энергозатрат.
• Аварии и остановки производства: Помпаж может вызвать цепную реакцию, приводящую к аварийной остановке всей компрессорной станции или участка газопровода.

Граница помпажа — это ключевое понятие для понимания и предотвращения этого явления. Это линия на характеристике компрессора, которая четко разделяет зону стабильной, устойчивой работы от зоны неустойчивых, помпажных режимов. Системы противопомпажного регулирования всегда стремятся поддерживать рабочую точку компрессора на безопасном расстоянии от этой границы.

Основные причины возникновения помпажа:

1. Снижение расхода газа через нагнетатель: Это наиболее частая и фундаментальная причина. Если поток газа через компрессор уменьшается (например, из-за закрытия задвижки на нагнетании, изменения режима работы потребителя), а компрессор продолжает работать с высокой частотой вращения, давление на выходе может превысить максимально допустимое для данного расхода, приводя к срыву потока.
2. Недостаточный запас по помпажу в проектной характеристике компрессора: Иногда при проектировании или неточной эксплуатации компрессор изначально работает слишком близко к границе помпажа.
3. Неоптимальная геометрия проточной части: Дефекты конструкции или производственные отклонения могут провоцировать помпаж.
4. Износ или повреждение уплотнений: Нарушение герметичности может привести к изменению внутренних потоков и вызвать нестабильность.
5. Резкое увеличение подачи топлива в камеру сгорания ГТД: Это приводит к увеличению мощности привода, но не обязательно к пропорциональному увеличению расхода газа через компрессор, что может нарушить баланс.
6. Работа компрессора на нерасчетных режимах: Если параметры (температура, давление, состав газа) значительно отклоняются от проектных, проходное сечение проточной части может перестать соответствовать новым значениям параметров воздушного потока, вызывая срыв потока.
7. Пониженная частота вращения ротора нагнетателя по сравнению с параллельно работающими: При работе нескольких компрессоров в параллель, более «слабый» агрегат может быть «задавлен» более производительными, что приведет к снижению расхода и помпажу.
8. Влияние параллельно включенных более напорных нагнетателей: Аналогично предыдущему пункту, доминирование одного компрессора может спровоцировать помпаж в другом.
9. Колебания давления в сети: Нестабильность в газопроводе может вызвать обратные волны давления, «толкающие» компрессор в зону помпажа.
10. Попадание постороннего предмета на защитную решетку или её обмерзание: Уменьшение проходного сечения на входе резко снижает расход.
11. «Запирание» выходного коллектора: Рост температуры газа и увеличение давления в нагнетательном патрубке при неизменной частоте вращения могут вызвать возрастание углов атаки на лопатках и срыв потока.

Помпаж — это комплексная проблема, требующая глубокого понимания физических процессов и применения высокоточных систем регулирования для его предотвращения.

Математическое моделирование элементов системы противопомпажного регулирования ГПА-16

Для эффективной многокритериальной параметрической оптимизации системы противопомпажного регулирования необходимо создать адекватную математическую модель, которая будет точно описывать динамические процессы, происходящие в каждом её элементе. Это позволит не только анализировать поведение системы в различных режимах, но и синтезировать оптимальные параметры регуляторов без проведения дорогостоящих и опасных натурных экспериментов, что значительно сокращает риски и экономит ресурсы на стадии разработки и отладки.

Моделирование центробежного нагнетателя

Центробежный нагнетатель — это сердце ГПА, и его точное математическое описание является краеугольным камнем всей модели. Для описания динамики центробежного компрессора часто используется так называемая модель Мура–Грейтцера (Moore–Greitzer model), которая хорошо зарекомендовала себя при анализе нестабильных режимов, включая помпаж. Однако для задач регулирования и параметрической оптимизации требуется модель, способная более детально отражать связь между входными и выходными параметрами компрессора.

Математическая модель центробежного компрессора должна не только обеспечивать расчет всех измеряемых параметров (давление, расход, температура, частота вращения), но и адекватно описывать его функционирование в предусмотренных технологических режимах. Она также должна позволять отрабатывать переходные процессы при пуске, останове и, что особенно важно, при ликвидации аварийных ситуаций, связанных с помпажом.

Одним из примеров математической модели, основанной на обобщении экспериментальных данных и корректируемой по результатам измерений, является модель, которая описывает коэффициент сжатия (Ψ_c) как функцию приведенного расхода (Φ) и скорости вращения ротора (Ω). Такая модель позволяет учесть нелинейность характеристик компрессора.

Пример математической модели компрессора:

Ψc = Ψc0(Ω) + (2/π)arctg((W - Φ)/H)

Где:

• Ψ_c — коэффициент сжатия компрессора, безразмерная величина, характеризующая степень повышения давления газа.
• Ψ_c0(Ω) = K_kΩ² — коэффициент сжатия при отсутствии расхода (Φ = 0), зависящий от скорости вращения ротора Ω. Здесь K_k — конструктивный коэффициент компрессора.
• W = k_wΩ — полуширина газодинамической характеристики компрессора, также зависящая от скорости вращения Ω. k_w — конструктивный коэффициент.
• H = k_HΩ² — полувысота газодинамической характеристики компрессора, зависящая от скорости вращения Ω. k_H — конструктивный коэффициент.
• k_k, k_H, k_w — конструктивные коэффициенты компрессора, определяемые его геометрией и аэродинамическими свойствами, а также уточняемые по экспериментальным данным.
• Ω — угловая скорость вращения ротора компрессора.
• Φ — приведенный расход газа через компрессор, безразмерный параметр, позволяющий унифицировать характеристики для различных условий.

Эта модель учитывает, что коэффициент сжатия при фиксированной скорости вращения нелинейно зависит от расхода, и имеет максимум, после которого начинается зона нестабильной работы. Параметры K_k, k_w, k_H идентифицируются на основе паспортных характеристик компрессора и его рабочих режимов.

Для более полного анализа динамики системы «центробежный компрессор — сеть» используют модели, включающие характерные элементы сети (трубопровод, емкость и регулирующий дроссельный клапан) на линии нагнетания. Такие модели, построенные на основе инерционных и емкостных характеристик, позволяют рассчитывать динамические режимы работы, включая помпажные колебания, учитывая взаимодействие компрессора с внешним контуром.

Моделирование антипомпажного клапана

Антипомпажный клапан является ключевым исполнительным элементом системы регулирования, непосредственно влияющим на расход газа и, следовательно, на положение рабочей точки компрессора относительно границы помпажа. Правильное математическое описание его динамики и характеристик критически важно для точности всей модели.

В системах антипомпажного регулирования и защиты применяются регулирующие или запорно-регулирующие клапаны. Их основная функция — сброс части рабочей среды в атмосферу (для сбросных клапанов) или перепуск газа с выхода компрессора на его вход (для перепускных клапанов).

Математическая модель антипомпажного клапана описывает зависимость расхода газа через клапан от степени его открытия (хода штока) и перепада давления на нём. В общем виде расход газа через клапан может быть представлен как:

Qкл = Cv ⋅ f(x) ⋅ √(ΔP / ρ)

Где:

• Q_кл — массовый или объемный расход газа через клапан.
• C_v — коэффициент пропускной способности клапана, характеризующий его гидравлическое сопротивление.
• f(x) — функция, описывающая зависимость относительной пропускной способности от степени открытия клапана (x, где x ∈ [0, 1]). Эта функция может быть линейной, равнопроцентной или параболической, в зависимости от конструкции клапана. Например, для шарового крана зависимость расхода от угла поворота может быть более линейной, что является преимуществом по сравнению с осевыми клапанами.
• ΔP — перепад давления на клапане.
• ρ — плотность газа.

Динамика клапана также должна быть учтена. Привод клапана (пневматический, электрический или гидравлический) имеет собственную инерционность. Часто динамика клапана аппроксимируется звеном первого или второго порядка:

Для звена первого порядка (инерционное звено):

Wкл(p) = kкл / (Tклp + 1)

Где:

• W_кл(p) — передаточная функция клапана.
• k_кл — коэффициент усиления клапана, связывающий изменение управляющего сигнала с изменением степени открытия.
• T_кл — постоянная времени клапана, отражающая его инерционность (время, за которое клапан достигает 63,2% от конечного положения).
• p — оператор Лапласа.

Важным аспектом является правильный выбор типа клапана. Как отмечалось, шаровые краны могут быть в 1,5 и более раз меньше осевых клапанов при аналогичных условиях работы и обеспечивают более линейную зависимость расхода от угла поворота. Это свойство крайне важно, поскольку линейность характеристики клапана упрощает настройку регулятора и предотвращает резкое приближение компрессора к границе помпажа. Нелинейные характеристики клапана могут усложнить процесс оптимизации и привести к нежелательным переходным процессам.

Моделирование регулятора и датчиков

Любая система автоматического регулирования (САР) состоит из трех основных функциональных блоков: датчиков, регулятора и исполнительного механизма (в нашем случае — антипомпажного клапана), воздействующего на объект управления (нагнетатель). Для комплексного моделирования и оптимизации необходимо адекватно описать каждый из этих элементов.

1. Моделирование датчиков:

Датчики являются «глазами» и «ушами» системы, предоставляя информацию о текущем состоянии объекта. В системе противопомпажного регулирования обычно используются следующие типы датчиков:

• Датчики давления: Измеряют давление на входе и выходе компрессора.
• Датчики расхода: Измеряют расход газа через компрессор.
• Датчики частоты вращения: Измеряют частоту вращения ротора нагнетателя.
• Датчики температуры: Могут использоваться для коррекции параметров газа и определения плотности.

Идеальный датчик мгновенно и точно измеряет величину, но в реальности любой датчик обладает инерционностью, погрешностью и временной задержкой. Часто динамика датчика аппроксимируется инерционным звеном первого порядка:

Wд(p) = kд / (Tдp + 1)

Где:

• W_д(p) — передаточная функция датчика.
• k_д — коэффициент усиления датчика (отношение изменения выходного сигнала к изменению измеряемой величины).
• T_д — постоянная времени датчика, характеризующая его инерционность.

Для более точного моделирования могут использоваться звенья с транспортным запаздыванием, особенно для датчиков расхода, установленных на значительном расстоянии от точки измерения.

2. Моделирование регулятора:

Сердцем системы регулирования является регулятор, который обрабатывает информацию от датчиков и формирует управляющий сигнал для исполнительного механизма. В промышленных системах автоматизации наиболее распространены ПИД-регуляторы (пропорционально-интегрально-дифференциальные).

Передаточная функция ПИД-регулятора в общем виде:

Wрег(p) = Kp ⋅ (1 + 1/(Tip) + Tdp)

Где:

• K_p — коэффициент пропорциональности (пропорциональное усиление), определяющий силу реакции регулятора на ошибку.
• T_i — постоянная интегрирования, определяющая скорость устранения статической ошибки.
• T_d — постоянная дифференцирования, отвечающая за реакцию на скорость изменения ошибки, предсказывая её будущее значение.

Для предотвращения усиления шумов и обеспечения физической реализуемости, дифференциальная составляющая часто реализуется с фильтром:

Wрег(p) = Kp ⋅ (1 + 1/(Tip) + (Tdp) / (τp + 1))

Где τ — малая постоянная времени дифференциального фильтра.

Параметрическая оптимизация СППР нагнетателя ГПА-16 в значительной степени сводится к выбору оптимальных значений K_p, T_i и T_d для ПИД-регулятора, а также других параметров, влияющих на его работу (например, пределы насыщения, зоны нечувствительности).

Передаточные функции системы автоматического регулирования

Передаточные функции — это фундаментальный инструмент в теории автоматического управления (ТАУ) для анализа динамических свойств линейных систем. Они устанавливают связь между входным и выходным сигналами системы в операторной форме (с использованием преобразования Лапласа), предполагая нулевые начальные условия.

1. Передаточная функция разомкнутой системы (W_рз(p)):

Эта функция описывает поведение системы без обратной связи. Она устанавливает связь между регулируемой величиной и ошибкой (рассогласованием) при нулевых возмущающих воздействиях. Для системы противопомпажного регулирования, разомкнутая передаточная функция будет представлять собой произведение передаточных функций всех последовательно включенных элементов в прямом канале:

Wрз(p) = Wрег(p) ⋅ Wкл(p) ⋅ Wобъект(p) ⋅ Wдатчик(p)

Где:

• W_рег(p) — передаточная функция регулятора.
• W_кл(p) — передаточная функция антипомпажного клапана.
• W_объект(p) — передаточная функция объекта управления (нагнетателя, а также прилегающих участков сети, оказывающих влияние на помпаж).
• W_датчик(p) — передаточная функция датчика, измеряющего параметр, по которому осуществляется регулирование (например, расход или запас до границы помпажа).

Анализ W_рз(p) позволяет оценить устойчивость системы с помощью критериев Найквиста или Боде, а также определить запас устойчивости.

2. Передаточные функции замкнутой системы:

Для замкнутой САР с отрицательной обратной связью используются три основные передаточные функции:

• Главная передаточная функция (W_зс(p)): Связывает регулируемую величину (Y(p)) с задающим воздействием (X(p)). Она показывает, как система реагирует на изменение уставки.

Wзс(p) = Y(p) / X(p) = Wрз(p) / (1 + Wрз(p))

• Передаточная функция по возмущающему воздействию (W_возм(p)): Связывает регулируемую величину с внешним возмущением (F(p)). Она характеризует способность системы подавлять нежелательные внешние воздействия.

Wвозм(p) = Y(p) / F(p) = Wf(p) / (1 + Wрз(p))

Где W_f(p) — передаточная функция канала возмущения.

• Передаточная функция для ошибки (рассогласования) (W_ош(p)): Связывает ошибку (E(p)) с задающим воздействием (X(p)) или возмущением.

Wош(p) = E(p) / X(p) = 1 / (1 + Wрз(p))
Wош(p) = E(p) / F(p) = -Wf(p) / (1 + Wрз(p))

Характерным признаком передаточных функций замкнутой САР является общность знаменателей, который называется характеристическим полиномом замкнутой САР:

D(p) = 1 + Wрз(p) = 0

Корни этого характеристического полинома (полюсы замкнутой системы) определяют устойчивость и динамические свойства системы. Если все корни имеют отрицательные вещественные части, система устойчива. Анализ расположения корней позволяет оценить быстродействие, колебательность и другие качества системы.

Использование передаточных функций позволяет:

• Оценить устойчивость системы (применяя критерии Рауса-Гурвица, Найквиста, Боде).
• Рассчитать переходные процессы (реакцию системы на ступенчатое или импульсное воздействие).
• Определить частотные характеристики (амплитудно-фазовые характеристики, АЧХ, ФЧХ).
• Синтезировать параметры регуляторов для достижения требуемых показателей качества регулирования (быстродействие, точность, перерегулирование).

Математическое моделирование каждого элемента и последующее формирование передаточных функций для всей системы в целом создают прочную основу для дальнейшего этапа – многокритериальной параметрической оптимизации.

Методы многокритериальной параметрической оптимизации и критерии оптимальности для САР ГПА-16

В мире инженерных задач редко приходится сталкиваться с ситуациями, где достаточно улучшить лишь один параметр. Гораздо чаще необходимо найти баланс между множеством противоречивых требований, таких как скорость реакции и стабильность, производительность и энергопотребление. Именно здесь раскрывается потенциал многокритериальной оптимизации, позволяющей не просто достичь «хорошего» решения, а найти истинно оптимальный компромисс.

Введение в многокритериальную оптимизацию

Многокритериальная оптимизация — это процесс одновременной оптимизации двух или более конфликтующих целевых функций в заданной области определения. В отличие от однокритериальных задач, где цель всегда одна (например, минимизировать затраты), в многокритериальных задачах улучшение одного критерия часто приводит к ухудшению другого. Например, увеличение быстродействия системы регулирования может сопровождаться ростом перерегулирования или снижением запаса устойчивости, что требует тщательного анализа компромиссов.

Актуальность разработки и исследования методов решения задач многокритериальной оптимизации обусловлена тем, что в реальной жизни проблемы с единственным критерием встречаются крайне редко. Проектирование и эксплуатация сложных технических систем, таких как газоперекачивающие агрегаты, требует учета целого спектра требований:

• Экономические: Минимизация расхода топлива, снижение эксплуатационных затрат.
• Технические: Высокая производительность, быстродействие, точность регулирования, широкий диапазон устойчивой работы.
• Экологические: Снижение выбросов вредных веществ.
• Надежностные: Увеличение срока службы оборудования, минимизация рисков аварий.

Попытка оптимизировать каждый критерий по отдельности, а затем объединить результаты, часто приводит к субоптимальным или даже неприемлемым решениям. Многокритериальный подход, напротив, изначально нацелен на поиск решений, которые являются наилучшими по совокупности всех критериев, предоставляя лицу, принимающему решение (ЛПР), возможность выбрать наиболее подходящий компромисс.

Сложность многокритериальных задач заключается не только в наличии нескольких целевых функций, но и в том, что оптимальное решение в них, как правило, не является единственной точкой, а представляет собой целое множество компромиссных вариантов, известных как множество Парето.

Обзор методов многокритериальной оптимизации

Для решения задач многокритериальной оптимизации разработан широкий спектр методов, каждый из которых имеет свои преимущества и области применения. Эти методы можно классифицировать по различным признакам, но для нашего случая наиболее релевантно разделение по подходу к обработке критериев:

1. Методы скаляризации (свертывания критериев):
Это наиболее прямолинейный подход, при котором множество критериев F = {f₁(x), f₂(x), …, f_m(x)} сворачивается в одну целевую функцию F_общ(x), которая затем оптимизируется как однокритериальная задача. Наиболее популярные методы скаляризации:

• Метод взвешенной суммы: F_общ(x) = Σ^m_i=1 w_i ⋅ f_i(x), где w_i — весовые коэффициенты, отражающие относительную важность каждого критерия. Сумма весов обычно нормируется (Σw_i = 1). Изменяя весовые коэффициенты, можно получить различные Парето-оптимальные решения.
• Метод ε-ограничений: Один критерий (например, f₁(x)) оптимизируется, а остальные (f₂(x), …, f_m(x)) переводятся в ограничения: f_i(x) ≤ ε_i. Изменяя значения ε_i, также можно получить множество Парето.
• Метод идеальной точки (целевого программирования): Определяется «идеальная» (недостижимая) точка в пространстве критериев, и затем задача сводится к минимизации расстояния от текущего решения до этой идеальной точки по определенной метрике.

При поиске небольшого числа элементов множества Парето-оптимальных решений в задачах многокритериальной оптимизации целесообразно применять алгоритмы, основанные именно на скаляризации, поскольку они позволяют точечно исследовать компромиссы.

2. Эволюционные алгоритмы:
Эти алгоритмы вдохновлены принципами естественного отбора и генетики. Они особенно эффективны для построения всего множества Парето (или его хорошей аппроксимации) для задач с большим количеством критериев или сложной нелинейной структурой.

• Генетические алгоритмы (ГА): Работают с популяцией решений (хромосом), которые с помощью операторов мутации и кроссинговера «эволюционируют», улучшая свои характеристики по отношению к заданным критериям. Многокритериальные ГА используют специальные функции приспособленности и механизмы ранжирования (например, NSGA-II, SPEA2) для выбора Парето-оптимальных особей.
• Алгоритмы роя частиц (АРЧ): Имитируют социальное поведение стаи птиц или косяка рыб. Частицы (кандидаты на решения) перемещаются в пространстве поиска, ориентируясь на свои лучшие прошлые результаты и лучшие результаты всей стаи.

Эволюционные алгоритмы способны находить оптимальные решения на границе множества Парето путем постепенного улучшения и отбора, что делает их мощным инструментом для исследования компромиссных пространств.

3. Интерактивные методы:
Эти методы предполагают активное участие ЛПР в процессе оптимизации. Оптимизационный алгоритм и ЛПР обмениваются информацией, постепенно уточняя предпочтения и сужая область поиска. Это позволяет найти решение, которое наилучшим образом соответствует текущим, возможно, плохо формализованным предпочтениям.

4. Точные (детерминированные) методы:
Применяются для задач с хорошо определенной математической структурой (например, линейное или квадратичное программирование). Они гарантируют нахождение глобального оптимума, но часто ограничены по сложности и размерности задачи.

Для параметрической оптимизации САР ГПА-16, где требуется найти оптимальные значения параметров регулятора (например, K_p, T_i, T_d ПИД-регулятора), наиболее перспективными являются методы скаляризации в сочетании с численными методами поиска экстремума, а также эволюционные алгоритмы для исследования более широкого диапазона решений.

Формулирование критериев оптимальности для системы противопомпажного регулирования ГПА-16

Критерий оптимальности — это количественная оценка оптимизируемого качества объекта, главный признак, по которому судят о том, насколько хорошо функционирует система или насколько успешно решена задача оптимизации. Для системы противопомпажного регулирования ГПА-16 необходимо сформулировать комплекс таких критериев, которые отражают ключевые аспекты её работы. Но как выбрать действительно значимые критерии, чтобы избежать лишней сложности?

Важные требования к критериям оптимальности:

• Количественная выраженность: Критерий должен быть измеримым числом (например, время, проценты, безразмерные коэффициенты).
• Монотонность: Изменение критерия должно однозначно указывать на улучшение или ухудшение качества.
• Существенность: Критерий должен отражать важные стороны процесса.
• Ясный физический смысл: Критерий должен быть понятен инженерам и операторам.

Для системы противопомпажного регулирования нагнетателя ГПА-16 могут быть сформулированы следующие, зачастую конфликтующие, критерии оптимальности:

1. Быстродействие системы (минимизация времени регулирования):
   • f₁ = t_рег → min (время регулирования или время выхода на 5% полосу). Этот критерий показывает, насколько быстро система способна отреагировать на изменение рабочей точки в сторону границы помпажа и вернуть её в безопасную зону. Для СППР это критически важно, так как промедление может привести к развитию помпажа.
2. Точность поддержания параметров (минимизация ошибки регулирования):
   • f₂ = ∫ |e(t)| dt → min (интеграл модуля ошибки) или f₂ = max|e(t)| → min (максимальное отклонение). Этот критерий оценивает, насколько точно система удерживает рабочую точку компрессора на безопасном расстоянии от границы помпажа, минимизируя как статические, так и динамические ошибки. Для СППР ошибка может выражаться в отклонении от заданной линии запаса по помпажу.
3. Минимизация перерегулирования:
   • f₃ = σ → min, где σ — величина перерегулирования в процентах от конечного значения. Перерегулирование — это выход регулируемой величины за пределы целевого значения в переходном процессе. В СППР чрезмерное перерегулирование может означать излишнее открытие антипомпажного клапана, что приводит к неэффективной работе, или, наоборот, недостаточное открытие, что опасно.
4. Энергоэффективность (минимизация рециркуляции / потерь):
   • f₄ = ∫ Q_рецирк(t) dt → min (интеграл расхода рециркулируемого газа). Открытие антипомпажного клапана для рециркуляции газа является мерой предотвращения помпажа, но при этом потребляется энергия, а работа компрессора становится менее эффективной. Оптимальная система должна минимизировать объем рециркулируемого газа, сохраняя при этом безопасность. Этот критерий напрямую влияет на экономичность эксплуатации ГПА.
5. Надежность и запас устойчивости (максимизация запаса до границы помпажа):
   • f₅ = min(S) → max, где S — запас до границы помпажа. Это критерий, который не позволяет системе работать слишком близко к опасной границе, обеспечивая достаточный «буфер» для реагирования на возмущения. Может быть выражен как минимальное расстояние от рабочей точки до границы помпажа на характеристике компрессора. Это также может быть оценка устойчивости по критериям Найквиста или Боде.

Конфликт критериев:

Очевидно, что эти критерии часто конфликтуют. Например:

• Увеличение быстродействия (f₁) часто ведет к росту перерегулирования (f₃) и может снизить запас устойчивости (f₅).
• Минимизация рециркуляции (f₄) для повышения энергоэффективности может уменьшить запас до границы помпажа (f₅), делая систему менее надежной.
• Повышение точности (f₂) может потребовать увеличения коэффициентов усиления регулятора, что может привести к колебаниям или неустойчивости.

Именно из-за этих конфликтов однокритериальная оптимизация не дает желаемого результата, и требуется подход, способный найти оптимальный баланс между всеми этими важными аспектами работы системы противопомпажного регулирования.

Моделирование, имитация и анализ работоспособности системы противопомпажного регулирования

После того как разработаны математические модели отдельных элементов и определены критерии оптимальности, следующим критически важным шагом является создание комплексной имитационной модели системы противопомпажного регулирования. Это позволяет «оживить» абстрактные уравнения и оценить, как система будет вести себя в реальных условиях, до того как она будет реализована в «железе».

Разработка имитационной модели системы в программной среде

Разработка имитационной модели системы противопомпажного регулирования (СППР) — это процесс создания виртуального аналога реальной системы, который позволяет исследовать ее поведение без физического вмешательства в работающий ГПА. Такая модель строится на основе разработанных математических моделей каждого элемента: нагнетателя, антипомпажного клапана, датчиков и регулятора.

Процесс создания имитационной модели включает:

1. Интеграция математических моделей: Все индивидуальные математические модели элементов системы объединяются в единую структуру. Это может быть реализовано через систему дифференциальных уравнений, представляющих динамику всей СППР.
2. Выбор программной среды: Для создания комплексных имитационных моделей существуют специализированные программные продукты. Наиболее популярными и мощными являются:
   • MATLAB/Simulink: Это де-факто стандарт для инженерного моделирования и симуляции. Simulink предоставляет графическую среду для построения блочных диаграмм, что делает процесс моделирования интуитивно понятным. В нем легко реализовать как линейные, так и нелинейные модели, интегрировать ПИД-регуляторы, моделировать задержки и ограничения. Для оптимизации параметров в Simulink существуют специальные инструментарии (например, Optimization Toolbox, Response Optimization).
   • Python с библиотеками для моделирования (SciPy, NumPy, Control System Library, GEKKO): Python становится все более популярным в инженерных расчетах. Библиотеки SciPy и NumPy предоставляют мощные средства для численного решения дифференциальных уравнений. Control System Library позволяет работать с передаточными функциями и проводить анализ устойчивости. GEKKO предназначен для решения крупномасштабных задач оптимизации и динамического моделирования.
   • Другие среды: Также могут использоваться специализированные САПР (системы автоматизированного проектирования) или среды для динамического моделирования, такие как Dymola (на основе Modelica) для более сложного физического моделирования.

Этапы создания модели в Simulink (в качестве примера):

1. Блочное представление: Каждый элемент системы (нагнетатель, клапан, датчик, регулятор) представляется отдельным блоком.
2. Реализация математических моделей: Внутри каждого блока реализуются соответствующие передаточные функции или системы дифференциальных уравнений. Например, для нагнетателя это может быть блок S-функции или MATLAB Function, который реализует представленную ранее нелинейную модель коэффициента сжатия.
3. Соединение блоков: Блоки соединяются между собой в соответствии со структурной схемой системы автоматического регулирования. Важно правильно настроить сигнальные связи и обратные связи.
4. Входные воздействия: Моделируются различные входные воздействия, такие как ступенчатое изменение расхода газа, изменение частоты вращения компрессора, внезапное изменение давления в сети — все, что может спровоцировать помпаж.
5. Измерительные блоки: Добавляются блоки для измерения и записи результатов моделирования (осциллографы, блоки To Workspace), чтобы отслеживать такие параметры, как расход, давление, степень открытия клапана, сигнал ошибки.

Разработка имитационной модели позволяет не только проверить работоспособность системы, но и выступает платформой для проведения виртуальных экспериментов, что существенно сокращает затраты и повышает безопасность процесса оптимизации.

Анализ динамических характеристик и области работоспособности

После создания имитационной модели наступает этап проведения виртуальных экспериментов и анализа полученных результатов. Цель этого этапа — всесторонне оценить динамические характеристики СППР и определить границы устойчивой и эффективной работы нагнетателя.

1. Имитационные эксперименты и анализ переходных процессов:

• Моделирование внешних возмущений: На модель подаются различные возмущающие воздействия, имитирующие реальные сценарии:
  • Ступенчатое изменение расхода газа: Например, резкое закрытие задвижки на выходе из компрессорной станции. Это классический тест на быстродействие и устойчивость к помпажу.
  • Изменение частоты вращения ротора ГПА: Имитация изменения режима работы привода.
  • Колебания давления в сети: Моделирование нестабильности в газопроводе.
  • Сброс нагрузки: Резкое изменение потребления газа.
• Оценка динамических показателей: По результатам моделирования строятся графики переходных процессов для ключевых параметров (расход, давление, степень открытия клапана, запас до границы помпажа). Анализируются следующие показатели:
  • Время регулирования (t_рег): Время, необходимое для возвращения регулируемой величины в заданный допуск (например, 5% от конечного значения) после возмущения.
  • Перерегулирование (σ): Максимальное отклонение регулируемой величины за пределы стационарного значения.
  • Колебательность: Характер затухания колебаний.
  • Статическая ошибка: Отклонение регулируемой величины от заданного значения в установившемся режиме.
• Определение устойчивости: С помощью моделирования можно визуально оценить устойчивость системы. Если переходные процессы затухают, система устойчива. Если колебания нарастают или не затухают, система неустойчива. Для более строгой оценки могут использоваться критерии устойчивости (например, по полюсам замкнутой системы, полученным из характеристического полинома).

2. Определение области работоспособности нагнетателя и системы:

• Построение рабочих характеристик: Имитационная модель позволяет построить рабочие характеристики нагнетателя (зависимость напора от расхода) для различных частот вращения, нанося на них границу помпажа.
• Анализ запаса до границы помпажа: В ходе имитации отслеживается, насколько близко рабочая точка подходит к границе помпажа при различных режимах и возмущениях. Системы противопомпажного регулирования, такие как ССС, непрерывно рассчитывают этот запас, обеспечивая поддержание рабочей точки в безопасной зоне.
• Влияние параметров сети: Программы расчета, составленные на базе математических моделей, позволяют провести анализ режимов динамической неустойчивости системы, то есть помпажных колебаний. На характер помпажных колебаний, определяемый амплитудой и периодом колебаний давления газа и его расхода, существенно влияет размер элементов сети (трубопровода, емкости, регулирующего клапана). Моделирование позволяет исследовать это влияние и учитывать его при настройке регулятора.

3. Использование локальной системы управления:

Моделирование подтверждает важность использования локальной системы управления, правильно настроенной на своевременное обнаружение и предотвращение эксплуатации компрессора в режиме помпажа. Имитация позволяет отработать различные алгоритмы работы контроллера, включая функции RecycleTrip^® и SafetyOn^®, чтобы убедиться в их эффективности.

Таким образом, моделирование и имитация позволяют получить глубокое понимание поведения СППР, выявить слабые места, оценить влияние различных факторов и сформировать основу для дальнейшей многокритериальной оптимизации.

Идентификация и верификация моделей

Прежде чем использовать математические модели для оптимизации, необходимо убедиться в их адекватности реальным процессам. Этот этап включает идентификацию параметров моделей и их последующую верификацию.

1. Идентификация параметров:

Идентификация – это процесс определения неизвестных параметров математической модели на основе экспериментальных данных, полученных с реального объекта. Поскольку идеальная модель, учитывающая абсолютно все факторы, невозможна, мы стремимся найти параметры, которые наилучшим образом описывают наблюдаемое поведение.

• Источники данных: Экспериментальные данные могут быть получены как в ходе специальных тестов на работающем ГПА (с соблюдением всех мер безопасности), так и из архивных записей АСУ ГПА, содержащих информацию о режимах работы, переходных процессах, срабатываниях систем регулирования и защиты. Также используются паспортные данные оборудования.
• Методы идентификации:
  • Метод наименьших квадратов (МНК): Широко используемый метод для оценки параметров, минимизирующий сумму квадратов разностей между измеренными и предсказанными моделью значениями.
  • Метод инструментальных переменных: Применяется в случаях, когда входные сигналы коррелируют с шумами.
  • Эволюционные алгоритмы: Могут использоваться для поиска оптимальных параметров, особенно в случае сложных нелинейных моделей.
  • Корреляционный анализ: Позволяет определить степень взаимосвязи между входными и выходными сигналами, что помогает в выборе структуры модели.

Например, для модели нагнетателя Ψ_c = Ψ_c0(Ω) + (2/π)arctg((W — Φ)/H) необходимо идентифицировать конструктивные коэффициенты K_k, k_w, k_H. Это может быть сделано путем подачи на компрессор различных режимов (изменение частоты вращения, изменение расхода) и регистрации соответствующего коэффициента сжатия. Затем, используя МНК, можно найти значения коэффициентов, которые минимизируют расхождение между модельными и экспериментальными данными.

2. Верификация моделей:

Верификация – это процесс проверки того, насколько хорошо разработанная модель соответствует реальному объекту и способна предсказывать его поведение. Это не просто «подгонка» под имеющиеся данные, а проверка способности модели обобщать и предсказывать.

• Сравнительный анализ: Модельные реакции на различные входные воздействия сравниваются с реальными данными, полученными при эксплуатации ГПА. Сравнение проводится не только по тестовым, но и по новым, ранее не использовавшимся для идентификации данным.
• Оценка ошибок: Рассчитываются различные метрики ошибок (среднеквадратичная ошибка, абсолютная ошибка, процент отклонения) между модельными и реальными значениями.
• Графический анализ: Наложение графиков модельных и реальных переходных процессов позволяет визуально оценить степень совпадения.
• Адекватность в нештатных ситуациях: Важно п��оверить, насколько модель адекватно предсказывает поведение системы вблизи границы помпажа, при резких возмущениях или в аварийных ситуациях.

Только после успешной идентификации и верификации математическая модель может считаться адекватной и пригодной для использования в задачах многокритериальной параметрической оптимизации. Неадекватная модель приведет к неверным выводам и неоптимальным параметрам регулирования, что может быть опасно для реального оборудования.

Построение множества Парето и анализ компромиссных решений

После детального моделирования системы и определения критериев оптимальности, следующим логическим шагом является поиск наилучших параметров регулирования. Однако в многокритериальных задачах «наилучшее» решение не является уникальным. Здесь в игру вступает концепция множества Парето, которая позволяет визуализировать и анализировать компромиссы между различными, часто конфликтующими, целями.

Теоретические основы множества Парето

В многокритериальной оптимизации, где мы стремимся одновременно улучшить несколько целевых функций (f₁, f₂, …, f_m), понятие «оптимального» решения становится более сложным. Невозможно найти единственное решение, которое было бы наилучшим по всем критериям одновременно, если эти критерии конфликтуют. Например, мы не можем одновременно максимально увеличить быстродействие и максимально снизить перерегулирование без компромиссов.

Здесь вводится концепция Парето-оптимальности (или эффективности по Парето), названная в честь итальянского экономиста Вильфредо Парето.

Определение Парето-оптимального решения:
Решение x* (вектор параметров системы) называется Парето-оптимальным, если не существует другого допустимого решения x, которое улучшало бы хотя бы один критерий без ухудшения хотя бы одного из остальных критериев.
Другими словами, Парето-оптимальная точка — это такая точка, которую невозможно улучшить по одному критерию без ухудшения хотя бы одной из координат (т.е., без ухудшения другого критерия).

Множество Парето (или граница Парето, фронт Парето):
Это набор всех Парето-оптимальных решений. Оно представляет собой компромиссные варианты решений с различными уровнями предпочтений по критериям. Каждая точка на этом множестве является «наилучшей» в том смысле, что для ее улучшения по одному критерию необходимо пожертвовать каким-либо другим критерием.

Важность построения множества Парето:

• Полная картина компромиссов: Множество Парето предоставляет полную картину компромиссов между различными критериями. Оно наглядно показывает, какие улучшения возможны и какой ценой (в терминах ухудшения других критериев) они достигаются.
• Обоснованный выбор: Поскольку наилучшие решения следует искать именно среди множества Парето, его построение является первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи. Это помогает найти оптимальные точки на границе множества Парето, позволяя лицу, принимающему решения (ЛПР), выбирать решения, которые наилучшим образом соответствуют его потребностям и текущим приоритетам.
• Интерпретация результатов: Важным аспектом формальных инструментов теории многокритериальной оптимизации является возможность интерпретации результатов. Множество Парето позволяет принять взвешенные решения в зависимости от предпочтений, поскольку ЛПР может видеть, к каким последствиям приведет выбор того или иного компромисса.

Для системы противопомпажного регулирования нагнетателя ГПА-16 множество Парето может показать, например, каким образом увеличение быстродействия влияет на энергоэффективность или какой запас устойчивости достигается при определенном уровне перерегулирования. Это дает ЛПР (например, инженеру-наладчику или менеджеру по эксплуатации) возможность осознанно выбрать параметры регулятора, исходя из приоритетов текущего режима работы агрегата.

Методы построения множества Парето

Построение множества Парето, особенно для задач с нелинейными критериями и сложной областью допустимых решений, является нетривиальной задачей. Существует несколько подходов, которые позволяют либо точно определить, либо аппроксимировать это множество.

1. Методы, основанные на скаляризации:
Как обсуждалось ранее, методы скаляризации (взвешенная сумма, ε-ограничения) позволяют свести многокритериальную задачу к последовательности однокритериальных. Изменяя весовые коэффициенты (для взвешенной суммы) или границы ограничений (для ε-ограничений), можно получить различные Парето-оптимальные точки. Совокупность этих точек будет являться аппроксимацией множества Парето.

• Алгоритм:
  1. Задать диапазон изменения весовых коэффициентов w_i (или ε_i).
  2. Для каждой комбинации w_i (или ε_i) решить однокритериальную задачу оптимизации.
  3. Собрать полученные оптимальные решения в пространстве критериев.
• Пример графического представления (для двух критериев f₁, f₂):
  

  На этом графике каждая точка на кривой является Парето-оптимальным решением. Например, точка А лучше точки В по критерию f₁, но хуже по f₂, и наоборот. Точка С является доминируемой, так как существуют точки (например, на кривой), которые лучше или не хуже по обоим критериям.

2. Эволюционные алгоритмы:
Эти методы особенно эффективны для аппроксимации множества Парето, когда критерии нелинейны, а область поиска сложна. Они работают с популяцией решений и способны находить множество Парето-оптимальных точек за один запуск.

• Алгоритмы:
  • NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II): Один из самых популярных многокритериальных генетических алгоритмов. Он использует механизмы не доминируемой сортировки и плотности для поддержания разнообразия решений и сходимости к фронту Парето.
  • SPEA2 (Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2): Еще один эффективный алгоритм, который использует механизм отбора на основе «силы» доминирования и расстояния до ближайшего соседа.
  • GDE3 (Generalized Differential Evolution 3): Алгоритм дифференциальной эволюции, адаптированный для многокритериальной оптимизации, который также успешно находит множества решений, аппроксимируя множество Парето-оптимальных решений.
• Принцип работы популяционных алгоритмов:
  1. Генерируется начальная популяция случайных решений.
  2. Для каждого решения вычисляются значения всех критериев.
  3. Популяция сортируется по принципу недоминирования (выделяются Парето-оптимальные решения).
  4. Применяются генетические операторы (мутация, кроссинговер) для создания нового поколения решений.
  5. Процесс повторяется до достижения условия остановки (например, максимальное количество поколений или стабилизация фронта Парето).

3. Методы определения эффективности Парето:
Существуют также более формальные методы, включающие математическое программирование и определение необходимых условий (например, условия Куна-Таккера для дифференцируемых функций), которые позволяют проверить, является ли данное решение Парето-оптимальным. Универсальная вычислительная процедура многокритериальной оптимизации может быть использована для аппроксимации множества Парето. Для этого достаточно установить вершину конуса на все точки границы области критериев: если ни один луч не пересекает область, то вершина лежит в точке Парето.

Выбор метода зависит от сложности задачи, количества критериев, типа функций (линейные/нелинейные) и требований к точности аппроксимации множества Парето. Для параметрической оптимизации СППР, где параметры регулятора могут быть непрерывными, часто применяются комбинации этих методов.

Анализ компромиссных решений и выбор оптимальных параметров

Построение множества Парето — это лишь первый шаг. Самое важное начинается после его получения: анализ компромиссных решений и, на его основе, выбор оптимальных параметров для системы противопомпажного регулирования ГПА-16.

1. Анализ полученного множества Парето:

Множество Парето является графическим (или табличным) представлением всех наилучших компромиссов. Его анализ позволяет:

• Визуализация конфликтов: На графике становится очевидным, как улучшение одного критерия приводит к ухудшению другого. Например, если мы строим Парето-фронт для быстродействия (минимум) и энергоэффективности (минимум рециркуляции), мы увидим кривую, где с уменьшением одного параметра другой будет расти.
• Идентификация «колен» (knee points): На Парето-фронте часто существуют точки, где небольшое изменение одного критерия вызывает значительное изменение другого. Такие «колени» представляют собой потенциально наиболее интересные компромиссные решения, поскольку они предлагают хороший баланс между критериями.
• Оценка чувствительности: Анализ формы фронта Парето позволяет понять, насколько чувствительны критерии к изменению параметров системы.

Пример анализа для СППР ГПА-16:

Представим, что мы оптимизируем следующие критерии:

• f₁: Время регулирования (t_рег) → min
• f₂: Энергоэффективность (∫ Q_рецирк(t) dt) → min
• f₃: Перерегулирование (σ) → min

На двумерном графике (например, t_рег vs. Q_рецирк) мы увидим кривую. Точки на левом конце кривой будут соответствовать максимально быстрому регулированию, но с высокой рециркуляцией. Точки на правом конце — минимальной рециркуляции, но с медленным регулированием. Посередине находятся компромиссные решения.

2. Методология выбора наилучшего решения из множества Парето:

Выбор конкретного решения из множества Парето — это уже не математическая, а управленческая задача, требующая учета предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР). Различные подходы:

• Метод предпочтений ЛПР (интерактивные методы): ЛПР, просматривая множество Парето, выбирает решение, которое наилучшим образом соответствует его текущим приоритетам. Например, при критической нагрузке на газопровод приоритет может быть отдан быстродействию и надежности, даже ценой временного снижения энергоэффективности. В стабильном режиме, наоборот, акцент смещается на экономичность.
• Метод негативных взвешиваний: Это развитие метода взвешенной суммы. ЛПР назначает веса w_i каждому критерию, отражая его относительную важность. Затем выбирается решение из множества Парето, которое минимизирует взвешенную сумму (или максимизирует взвешенную полезность).
  • Пример: Если для текущего режима работы ГПА критически важна энергоэффективность, ЛПР может назначить больший вес критерию f₂, а меньший — f₁.
• Метод идеальной (целевой) точки: ЛПР определяет «желаемые» (целевые) значения для каждого критерия. Затем из множества Парето выбирается решение, которое находится ближе всего к этой целевой точке.
• Метод анализа чувствительности: Изучение того, как меняется выбор оптимальной точки на Парето-фронте при небольших изменениях весовых коэффициентов или предпочтений ЛПР. Это помогает оценить робастность выбранного решения.

Практические рекомендации по выбору параметров:

На основе анализа множества Парето и предпочтений ЛПР можно сформулировать конкретные практические рекомендации по настройке параметров системы противопомпажного регулирования ГПА-16:

• Для высокопроизводительных режимов с повышенным риском помпажа: Выбирать параметры регулятора, обеспечивающие максимальное быстродействие и большой запас по помпажу, допуская при этом умеренное перерегулирование и, возможно, чуть более высокую рециркуляцию.
• Для стабильных режимов с низким риском помпажа: Выбирать параметры, ориентированные на высокую энергоэффективность (минимальную рециркуляцию) и низкое перерегулирование, даже если это немного увеличит время регулирования.
• При изменении характеристик газа или сети: Пересматривать оптимальные параметры, используя разработанный Парето-фронт, чтобы адаптировать СППР к новым условиям.

Таким образом, множество Парето не только предоставляет теоретическую основу для многокритериальной оптимизации, но и становится мощным практическим инструментом, позволяющим принимать обоснованные и гибкие решения при настройке сложных систем управления, таких как противопомпажное регулирование ГПА-16.

Заключение

Газоперекачивающие агрегаты являются критически важными элементами современной энергетической инфраструктуры, а их надежная и эффективная работа напрямую влияет на стабильность газотранспортных систем. Угроза помпажа — нестабильного и разрушительного режима работы нагнетателей — обуславливает острую необходимость в разработке и совершенствовании систем противопомпажного регулирования. Традиционные подходы, ориентированные на оптимизацию одного параметра, зачастую упускают из виду сложное взаимодействие множества противоречивых требований, что приводит к неоптимальным решениям.

В рамках данной курсовой работы была поставлена и успешно решена задача по исследованию методов многокритериальной параметрической оптимизации системы противопомпажного регулирования нагнетателя ГПА-16.

Основные достигнутые цели и выводы:

1. Детально изучены общие сведения о нагнетателях ГПА-16 «Волга» и явлении помпажа. Проанализированы конструктивные особенности агрегата, его технические характеристики, а также описана гидродинамическая природа помпажа, его внешние проявления, катастрофические последствия и широкий спектр причин возникновения. Это позволило сформировать глубокое понимание объекта оптимизации и вызовов, с которыми сталкиваются системы регулирования.
2. Разработаны комплексные математические модели элементов системы противопомпажного регулирования. Были представлены модели центробежного нагнетателя (с использованием модифицированной модели, учитывающей нелинейность характеристик), антипомпажного клапана с учетом его динамики и типа, а также регуляторов (ПИД) и датчиков. Особое внимание уделено передаточным функциям, как ключевому инструменту анализа устойчивости и динамических свойств САР.
3. Исследованы применимые методы многокритериальной параметрической оптимизации и сформулированы критерии оптимальности. Дано определение многокритериальной оптимизации и обоснована её актуальность для САР ГПА-16. Рассмотрены различные подходы к решению таких задач, включая методы скаляризации и эволюционные алгоритмы. Сформулирован набор из пяти ключевых, зачастую конфликтующих, критериев оптимальности: быстродействие, точность, минимизация перерегулирования, энергоэффективность (минимизация рециркуляции) и надежность (максимизация запаса до границы помпажа).
4. Продемонстрирован процесс математического моделирования и имитации работы системы противопомпажного регулирования. Описан подход к созданию комплексной имитационной модели в программной среде (например, MATLAB/Simulink) и проведению виртуальных экспериментов. Проанализированы динамические характеристики системы и методы определения области работоспособности, а также подчеркнута важность идентификации и верификации моделей для их адекватности.
5. Показано построение множества Парето и анализ компромиссных решений. Объяснена теоретическая основа Парето-оптимальности и значение множества Парето для визуализации компромиссов. Описаны методы построения этого множества (скаляризация, эволюционные алгоритмы) и, что наиболее важно, методология анализа полученных результатов для принятия обоснованных решений по выбору оптимальных параметров системы.

Практические рекомендации по повышению эффективности, надежности и экономичности системы:

На основе проведенного анализа и возможности построения множества Парето, можно предложить следующие практические рекомендации по настройке и эксплуатации системы противопомпажного регулирования нагнетателя ГПА-16:

• Гибкое управление приоритетами: Вместо жесткой настройки на один оптимальный режим, использовать многокритериальный подход для создания библиотеки Парето-оптимальных параметров регулятора. Это позволит операторам или АСУ ГПА динамически выбирать наилучший компромисс в зависимости от текущих условий эксплуатации (например, приоритет энергоэффективности в стабильных режимах или максимального быстродействия при резких возмущениях).
• Использование адаптивных алгоритмов: Разработать и внедрить адаптивные алгоритмы настройки параметров регулятора, которые в реальном времени корректируют коэффициенты (K_p, T_i, T_d) на основе текущего положения рабочей точки на Парето-фронте и заданных приоритетов ЛПР.
• Оптимизация конструкции антипомпажного клапана: При выборе и модернизации клапанов отдавать предпочтение типам, обеспечивающим более линейную характеристику и высокую скорость срабатывания, что было показано в разделе моделирования. Это упростит процесс регулирования и повысит точность.
• Систематическая идентификация и верификация: Регулярно проводить идентификацию параметров математических моделей компрессора и клапана, используя актуальные эксплуатационные данные. Это позволит поддерживать адекватность модели и, как следствие, точность оптимизации, учитывая износ оборудования и изменение его характеристик.
• Постоянный мониторинг запаса до помпажа: Интегрировать в АСУ ГПА не только расчет текущего запаса до помпажа, но и прогнозирование его изменения, используя разработанные динамические модели. Это позволит превентивно реагировать на угрозы, используя результаты многокритериальной оптимизации для выбора наилучшего управляющего воздействия.

В заключение, многокритериальная параметрическая оптимизация является мощным инструментом, способным вывести системы противопомпажного регулирования на новый уровень эффективности, надежности и экономичности. Применение разработанных методов позволит не только предотвращать аварийные ситуации, но и существенно оптимизировать эксплуатационные расходы, обеспечивая устойчивую и безопасную работу газотранспортной инфраструктуры.

Список использованной литературы

1. Адаптивные системы управления газотурбинными двигателями летательных аппаратов / В.Ю. Рутковский [и др.]. Москва: Издательство МАИ, 1994. 224 с.
2. Михайлов А.К., Ворошилов В.П. Компрессорные машины: учебник для вузов. Москва: Энергоатомиздат, 1989. 288 с.
3. Альбом характеристик центробежных нагнетателей природного газа. Москва: ВНИИГаз, 1985.
4. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. Москва: Высшая школа, 1989. 320 с.
5. Козлов О.С. [и др.] Программный комплекс для исследования и проектирования технических систем // Информационные технологии. 2005. № 9.
6. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. 4-е изд. Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2009. 430 с. (Сер. Информатика в техническом университете).
7. Помпаж компрессора: что такое и как предотвратить его возникновение. URL: https://www.studwood.net/2397127/tehnika/pomapazh_kompressora_takoe_predotvratit_vozniknovenie (дата обращения: 31.10.2025).
8. Помпаж нагнетателя. URL: https://turbinist.ru/compressors/surge.html (дата обращения: 31.10.2025).
9. Газоперекачивающий агрегат. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B5%D0%B3%D0%B0%D1%82 (дата обращения: 31.10.2025).
10. Причины помпажа центробежного компрессора. URL: https://www.hydro-pnevmo.ru/knowledge/prichiny-pompgazha-tsentrobezhnogo-kompressora (дата обращения: 31.10.2025).
11. Критерий оптимальности. URL: https://www.xumuk.ru/htc/6_1.html (дата обращения: 31.10.2025).
12. ПОМПАЖ НАГНЕТАТЕЛЯ ГПА И ЕГО ПРИЧИНЫ. URL: https://www.studwood.net/1098670/tehnika/pomapazh_nagnetatelya_gpa_prichiny (дата обращения: 31.10.2025).
13. Помпаж компрессора и способы его устранения. URL: https://studfile.net/preview/6684074/page:2/ (дата обращения: 31.10.2025).
14. Помпаж насосов, компрессоров и вентиляторов — причны возникновения, способы предупреждения. URL: https://www.hydro-pnevmo.ru/knowledge/pomagazh-nasosov-kompressorov-i-ventilyatorov (дата обращения: 31.10.2025).
15. Критерий оптимальности. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 (дата обращения: 31.10.2025).
16. Значение словосочетания «критерий оптимальности». URL: https://kartaslov.ru/%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F/%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 (дата обращения: 31.10.2025).
17. Анализ и решение помпажа центробежного компрессора. URL: https://www.studocu.com/ru/document/kavkazskii-filial-moskovskogo-tehnicheskogo-universiteta-svyazi-i-informatiki/izmeritelnaia-tehnika/analiz-i-reshenie-pomapazha-tsentrobezhnogo-kompressora/68038753 (дата обращения: 31.10.2025).
18. Критерий оптимальности. URL: https://dic.academic.ru/dic.nsf/econ_dict/11384/%D0%9A%D0%A0%D0%98%D0%A2%D0%95%D0%A0%D0%98%D0%99 (дата обращения: 31.10.2025).
19. Что такое Газоперекачивающий агрегат (ГПА)? URL: https://neftegaz.ru/tech_library/view/1498 (дата обращения: 31.10.2025).
20. Эффективность по Парето. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D0%BE_%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BE (дата обращения: 31.10.2025).
21. Помпаж осевых компрессоров и центробежных нагнетателей. URL: https://studfile.net/preview/6209581/page:14/ (дата обращения: 31.10.2025).
22. Газоперекачивающие агрегаты (ГПА). URL: https://neftegazinform.ru/oborudovanie/gazoperekachivayushchie-agregaty-gpa (дата обращения: 31.10.2025).
23. Математическое моделирование переходных процессов в центробежном компрессоре. URL: https://www.studydoc.ru/document/173977/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5-%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%BE%D1%80%D0%B5 (дата обращения: 31.10.2025).
24. Множество Парето. URL: https://studfile.net/preview/5526840/page:28/ (дата обращения: 31.10.2025).
25. Askhat_Tyutebaeva_G_M 7777. URL: https://studfile.net/preview/5446078/page:34/ (дата обращения: 31.10.2025).
26. Газоперекачивающие агрегаты (ГПА) | Газотурбинные установки (ГТУ) | Газотурбинный двигатель (ГТД). URL: https://gas-transport.ru/turbines/gazoperekachivayushhie-agregaty-gpa (дата обращения: 31.10.2025).
27. Парето-оптимальность. URL: https://sites.google.com/site/personalnyjresurs/mnogokriterialnaa-optimizacia/29-pareto-optimalnost (дата обращения: 31.10.2025).
28. Почему важно строить множество Парето при решении многокритериальных задач? URL: https://yandex.ru/q/question/pochemu_vazhno_stroit_mnozhestvo_pareto_pri_11a8c909/ (дата обращения: 31.10.2025).
29. Математическое моделирование помпажа в системе компрессор — сеть с расположением элементов на линии нагнетания Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение». URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-modelirovanie-pompazha-v-sisteme-kompressor-set-s-raspolozheniem-elementov-na-linii-nagnetaniya (дата обращения: 31.10.2025).
30. Определение множества Парето. URL: https://studfile.net/preview/5048682/page:30/ (дата обращения: 31.10.2025).
31. Сравнительный анализ методов свертывания критериев оптимальности в задачах многокритериальной оптимизации. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=30206124 (дата обращения: 31.10.2025).
32. Газоперекачивающий агрегат. URL: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ntd/%D0%93%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B5%D0%B3%D0%B0%D1%82 (дата обращения: 31.10.2025).
33. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ САР. URL: https://uchebnik.online/razdel/book/9950/page/117/ (дата обращения: 31.10.2025).
34. Построение компромиссных решений и определение эффективности Парето в многокритериальных системах. URL: https://habr.com/ru/articles/751710/ (дата обращения: 31.10.2025).
35. ГПА-16 ВОЛГА // Газоперекачивающие агрегаты // Продукция // КАЗАНСКОЕ МОТОРОСТРОИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ. URL: https://kmpo.ru/produktsiya/gazoperekachivayushchie-agregaty/gpa-16-volga (дата обращения: 31.10.2025).
36. МНОЖЕСТВО И ПРИНЦИП ПАРЕТО. URL: https://dspace.spbu.ru/handle/11701/32524 (дата обращения: 31.10.2025).
37. Газоперекачивающий агрегат ГПА-16 16,5 МВт производительность 21-62 млн м³/сут. URL: https://nevskyzavod.ru/produkciya/gazoperekachivayushchie-agregaty/gpa-16-ladoga (дата обращения: 31.10.2025).
38. Продукция — унифицированные газоперекачивающие агрегаты ГПА-16У, ГПА‐25У, ГПА-32У. URL: https://cpcik.ru/produkciya (дата обращения: 31.10.2025).
39. Газоперекачивающий агрегат ГПА-16/ГТН-16Р. URL: https://www.zvezda-energetika.ru/production/gazoperekachivayushchie-agregaty/gpa-16-gtn-16r (дата обращения: 31.10.2025).
40. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА, РАБОТАЮЩЕГО В СОСТАВЕ КОМПЬЮТЕРНОГО ТРЕНАЖЕРНОГО КОМПЛЕКСА УСТАНОВКИ КАТАЛИТИЧЕСКОГО КРЕКИНГА. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/razrabotka-matematicheskoy-modeli-tsentrobezhnogo-kompressora-rabotayuschego-v-sostave-kompyuternogo-trenazhernogo-kompleksa (дата обращения: 31.10.2025).
41. Сравнительный анализ методов свертывания критериев оптимальности в задачах многокритериальной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/sravnitelnyy-analiz-metodov-svertyvaniya-kriteriev-optimalnosti-v-zadachah-mnogokriterialnoy-optimizatsii (дата обращения: 31.10.2025).
42. Передаточные функции сар. URL: https://studfile.net/preview/1628189/page:14/ (дата обращения: 31.10.2025).
43. Методы исследования линейных систем автоматического регулирования. Структурные схемы и передаточные функции. URL: https://sea-man.org/metody-issledovaniya-lineynykh-sistem-avtomaticheskogo-regulirovaniya-strukturnye-skhemy-i-peredatochnye-funktsii (дата обращения: 31.10.2025).
44. Газоперекачивающий агрегат ГПА-Ц-16 с ГТД НК-16СТ. URL: https://turbinist.ru/gas-turbines/gpa-c-16.html (дата обращения: 31.10.2025).
45. Множество Парето онлайн. URL: https://math.semestr.ru/math/pareto.php (дата обращения: 31.10.2025).
46. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР). URL: https://habr.com/ru/articles/674488/ (дата обращения: 31.10.2025).
47. Передаточные функции замкнутых сар. URL: https://studfile.net/preview/1628189/page:16/ (дата обращения: 31.10.2025).
48. Сравнение алгоритмов многокритериальной оптимизации характеристик радиотехнических устройств. URL: https://rtj.altstu.ru/article/view/1781 (дата обращения: 31.10.2025).
49. Рабинович Я.И. Процедура построения множества Парето для дифференцируемых критериальных функций // Информатика и её применение. 2023. Т. 17, № 4. С. 17–22. URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ia&paperid=869&option_lang=rus (дата обращения: 31.10.2025).
50. Математическая модель Метода универсального моделирования 9-й версии: особенности и результаты идентификации // Омский научный вестник. Серия «Авиационно-ракетное и энергетическое машиностроение». URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskaya-model-metoda-universalnogo-modelirovaniya-9-y-versii-osobennosti-i-rezultaty-identifikatsii (дата обращения: 31.10.2025).
51. Методы решения задач многокритериальной оптимизации с линейными функциями цели. URL: https://apni.ru/article/1971-metody-resheniya-zadach-mnogokriterialnoj-optim (дата обращения: 31.10.2025).
52. Построение множества Парето в задачах векторной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/postroenie-mnozhestva-pareto-v-zadachah-vektornoy-optimizatsii (дата обращения: 31.10.2025).
53. Опыт идентификации математической модели центробежного компрессора. URL: http://nii-tkm.ru/pdf/NII_TK_2018_2_55_59.pdf (дата обращения: 31.10.2025).
54. Введение в многокритериальную оптимизацию, или как потерять чуть меньше денег на крипте. URL: https://habr.com/ru/articles/793618/ (дата обращения: 31.10.2025).