Анализ и оптимизация инвестиционного портфеля на основе модели Гарри Марковица

Введение. Как изменился подход к инвестициям с появлением модели Марковица

До середины XX века выбор инвестиционных активов часто основывался на анализе каждой ценной бумаги в отдельности. Все изменилось в 1952 году, когда экономист Гарри Марковиц опубликовал свою революционную статью «Выбор портфеля», заложившую основы современной портфельной теории. За эту работу он впоследствии был удостоен Нобелевской премии. Ключевая идея Марковица была проста, но гениальна: инвестор должен оценивать не отдельные акции или облигации, а портфель как единую взаимосвязанную систему. Фокус сместился с попыток найти «идеальный» актив на задачу построения сбалансированного портфеля. Цель данной статьи — продемонстрировать, как с помощью этой модели можно системно подойти к задаче формирования и оптимизации инвестиционного портфеля, что является классической задачей для любой курсовой работы по финансовым рынкам.

Теоретические основы. Какие принципы лежат в основе портфельного анализа

В основе модели Марковица лежит идея компромисса между двумя ключевыми параметрами: доходностью и риском. Основная задача инвестора формулируется двояко: либо максимизировать ожидаемую доходность при заранее определенном уровне риска, либо минимизировать риск при заданном уровне ожидаемой доходности. Этот подход требует четкого определения базовых понятий.

Риск в модели Марковица — это не абстрактная угроза, а измеримая величина, под которой понимается волатильность (изменчивость) доходности портфеля. Математически она выражается через стандартное отклонение. Однако главный прорыв теории заключается в учете взаимного влияния активов. Секрет эффективной диверсификации кроется в корреляции — статистической взаимосвязи между доходностями активов. Сочетая в одном портфеле активы с низкой или отрицательной корреляцией, можно добиться ситуации, когда падение цены одного актива компенсируется ростом другого, что снижает общую волатильность портфеля без существенной потери доходности.

Модель строится на нескольких ключевых допущениях, которые важно понимать:

• Инвестор рационален: он всегда стремится к максимизации доходности и минимизации риска.
• Критерии выбора: инвестор сравнивает разные портфели только по двум параметрам — ожидаемой доходности и стандартному отклонению (риску).
• Единый временной горизонт: инвестор принимает все решения в рамках одного периода.

Математический аппарат модели. Как рассчитать ключевые показатели портфеля

Для перехода от теории к практике модель Марковица использует четкий математический аппарат, основанный на концепциях математической статистики и теории оптимизации. Хотя формулы могут показаться сложными, их логика вполне доступна.

Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается как средневзвешенное значение ожидаемых доходностей отдельных активов, входящих в него. Весами выступают доли, которые каждый актив занимает в общей структуре портфеля. Проще говоря, если 50% портфеля вложено в акцию А с доходностью 10% и 50% в акцию Б с доходностью 20%, то ожидаемая доходность портфеля составит 15%.

Расчет риска (дисперсии) портфеля устроен сложнее. Он зависит не только от рисков каждого отдельного актива и их долей, но и от ковариации (или корреляции) между всеми парами активов в портфеле. Именно учет этого взаимного влияния и является ядром модели. Формула риска для портфеля из N активов включает в себя сумму дисперсий каждого актива, умноженных на квадрат его веса, а также сумму ковариаций для каждой возможной пары активов. Именно благодаря отрицательной или низкой ковариации общий риск портфеля может оказаться ниже, чем простое среднее арифметическое рисков его составляющих. Эти вычисления и лежат в основе поиска оптимального сочетания активов.

Практическая реализация. Строим оптимальный портфель в Excel по шагам

Одним из главных преимуществ модели Марковица является возможность ее практической реализации с помощью доступных инструментов, таких как Microsoft Excel. Это делает ее идеальным выбором для практической части курсовой работы. Процесс можно разбить на несколько последовательных шагов.

1. Сбор исходных данных. Первым делом необходимо собрать исторические данные по котировкам выбранных активов (например, акций). Для этого отлично подходят открытые источники, такие как Yahoo Finance, откуда можно выгрузить дневные или месячные цены закрытия за последние 2-3 года.
2. Расчет доходностей активов. На основе собранных ценовых рядов вычисляется доходность для каждого актива за каждый период (например, дневная). Формула проста: (Цена сегодня / Цена вчера) — 1.
3. Расчет базовых показателей. Для каждого актива на основе ряда его доходностей вычисляются два ключевых показателя: средняя доходность (используется как ее ожидаемое значение) и стандартное отклонение (как мера риска).
4. Построение матрицы ковариаций. Это важнейший шаг. С помощью встроенного в Excel инструмента «Анализ данных» (требует активации) рассчитывается ковариационная матрица для доходностей всех активов. Она покажет, как доходности каждой пары активов движутся относительно друг друга.
5. Формирование структуры портфеля. В таблице создаются ячейки для весов каждого актива (изначально можно задать равные доли, например, по 25% для четырех активов). Используя полученные ранее средние доходности и матрицу ковариаций, с помощью математических формул (в Excel это «МУМНОЖ» и «ТРАНСП») рассчитываются итоговая ожидаемая доходность и риск (стандартное отклонение) всего портфеля.
6. Поиск оптимального портфеля. Финальный этап — использование надстройки «Поиск решения». Вы можете задать ей цель: например, «минимизировать ячейку с риском портфеля», установив ограничение на минимальный уровень доходности и указав, что сумма всех весов должна быть равна 100%. После запуска «Поиск решения» автоматически подберет оптимальные веса активов, отвечающие заданным критериям.

Анализ результатов. Что показывает граница эффективности

Результатом расчетов в Excel является не просто один-единственный «лучший» портфель, а нечто гораздо более ценное для анализа — граница эффективности (или кривая эффективности). Это график, который наглядно представляет собой множество оптимальных портфелей. Каждая точка на этой кривой показывает минимально возможный риск для заданного уровня доходности.

Любой портфель, лежащий ниже этой кривой, считается неэффективным, поскольку существует другой портфель с таким же риском, но более высокой доходностью, или с такой же доходностью, но более низким риском.

Построить эту кривую в Excel можно, многократно запуская надстройку «Поиск решения». Каждый раз вы задаете новый, чуть более высокий уровень целевой доходности и находите для него портфель с минимальным риском. Нанеся полученные пары (риск, доходность) на точечную диаграмму, вы и получите границу эффективности. Она, как правило, имеет форму восходящей дуги.

Экономический смысл этого графика огромен. Он предоставляет инвестору полный спектр всех возможных рациональных выборов. Финальное решение, какую именно точку на кривой выбрать, зависит исключительно от индивидуальной склонности инвестора к риску. Консервативный инвестор выберет точку в левой нижней части кривой (низкий риск и низкая доходность), а агрессивный — в правой верхней (высокий риск в обмен на более высокую потенциальную доходность).

Заключение. Выводы и ограничения модели Марковица

В ходе проделанной работы мы рассмотрели теоретические основы портфельной теории, освоили ее математический аппарат и на практике, с помощью Excel, построили оптимальный инвестиционный портфель. Главный вывод, который подтверждается расчетами, неоспорим: грамотная диверсификация, основанная на низкой корреляции активов, действительно позволяет снизить совокупный риск портфеля без пропорционального снижения его доходности.

Однако, демонстрируя глубокое понимание темы в курсовой работе, крайне важно указать на существующие ограничения модели Марковица:

• Зависимость от исторических данных. Модель полностью полагается на прошлые данные о доходности, риске и корреляции, которые не гарантируют аналогичного поведения активов в будущем.
• Допущение о нормальном распределении. Теория предполагает, что доходности активов распределены по нормальному закону, что не всегда соответствует реальности, особенно в периоды кризисов («черные лебеди»).
• Игнорирование издержек. В базовом виде модель не учитывает транзакционные издержки, налоги и другие расходы, которые на практике влияют на реальную доходность.

Несмотря на эти ограничения, модель Гарри Марковица остается краеугольным камнем современной финансовой науки. Она не только является мощным аналитическим инструментом, но и служит фундаментом для более сложных и продвинутых моделей управления капиталом, таких как CAPM (Capital Asset Pricing Model) и модель Блэка-Литтермана.

Список использованной литературы

1. Алехин Б. – Ликвидность и микроструктура рынка государственных ценных бумаг // Рынок ценных бумаг. – 2001. – №20. – С.20-30.
2. Быльцов С.Ф. Настольная книга российского инвестора: Учеб. практ. пособие/ С.Ф. Быльцов. – СПб.: Бизнес-Пресса, 2000. – 506 с.
3. Ильина Л.И. Организация и финансирование инвестиций: Учебное пособие. – Сыктывкар, 2002.
4. Деева А.И. Инвестиции. –М.:Экзамен 2004.
5. Иванов А.П. Финансовые Инвестиции на рынке ценных бумаг. – М.:Дашков и К, 2006.
6. Инвестиции. – М.:Кнорус, 2004.
7. Серов В.М. Инвестиционный менеджмент. – М.: Инфра-М.2000.
8. ТкаченкоТ.Ю. — Инвестиции:учебные пособия для студентов высших учебных заведений, 2009