Моделирование движения жидкого топлива в баках космических аппаратов: комплексный гидродинамический анализ для курсовой работы

В условиях, где каждая молекула топлива имеет значение, а каждый маневр космического аппарата должен быть выполнен с идеальной точностью, проблема моделирования движения жидкого топлива в баках становится не просто важной, а критически значимой. Поведение жидкости в невесомости или при переменных ускорениях радикально отличается от земных условий, что напрямую влияет на устойчивость, управляемость и даже безопасность космического аппарата. Ошибки в расчетах могут привести к неконтролируемым колебаниям, сбоям в подаче топлива к двигателям и, как следствие, к потере миссии.

Целью данной курсовой работы является проведение глубокого теоретического и прикладного исследования по моделированию движения жидкого топлива в баке космического аппарата. Мы стремимся не только систематизировать существующие знания, но и предоставить студенту исчерпывающий инструментарий для анализа, моделирования и прогнозирования сложного гидродинамического поведения. В рамках исследования будут решены следующие задачи:

• Раскрытие фундаментальных физических принципов и математических уравнений, описывающих движение жидкости в условиях микрогравитации.
• Анализ существующих математических моделей и приближений для описания свободной поверхности.
• Изучение эффекта плескания (sloshing), его влияния на динамику аппарата и методов подавления.
• Обзор численных методов и программных комплексов для моделирования.
• Исследование влияния конструктивных особенностей баков и методов осаждения топлива.
• Рассмотрение экспериментальных методов и подходов к валидации моделей.

Структура работы построена таким образом, чтобы последовательно провести читателя от базовых концепций к сложным аналитическим и прикладным аспектам, обеспечивая академическую строгость и практическую значимость исследования. Данная работа призвана стать основой для глубокого понимания внутрибаковой гидродинамики и её влияния на космическую технику.

Теоретические основы гидродинамики жидкого топлива в космических аппаратах

Понимание фундаментальных принципов, управляющих движением жидкостей в космическом пространстве, является краеугольным камнем для любого моделирования. Гидродинамика — это наука, которая изучает движение жидкостей и газов, при этом с точки зрения математического описания не существует принципиальной разницы между этими двумя агрегатными состояниями вещества. Однако нюансы их поведения в условиях переменной гравитации кардинально отличаются, что требует особого внимания инженеров и исследователей.

Основные понятия и определения

Начнём с того, что погрузимся в глоссарий, необходимый для точного и недвусмысленного понимания дальнейшего материала. Гидродинамика – это раздел механики сплошных сред, изучающий движение жидкостей и газов, а также их взаимодействие с твёрдыми телами. Важнейшим аспектом в контексте космических аппаратов является различие между несжимаемой жидкостью и газом. Жидкости, как правило, считаются несжимаемыми, когда изменения их плотности под воздействием характерных рабочих давлений пренебрежимо малы. Напротив, газы обладают высокой сжимаемостью; их объемный модуль упругости К равен давлению Р при любой температуре Т, что свидетельствует о существенной зависимости плотности от давления. Жидкость — это агрегатное состояние вещества, характеризующееся текучестью и способностью легко деформироваться под действием внешних и внутренних сил, сохраняя при этом практически постоянный объем.

Переходя к условиям космического полёта, мы неизбежно сталкиваемся с концепцией микрогравитации. Это состояние, при котором кажущееся ускорение свободного падения крайне незначительно, достигая, например, значений порядка 10^-6 g на Международной космической станции, в то время как сама сила гравитации продолжает действовать, но её проявления существенно ослаблены или скомпенсированы. В таких условиях принципиально меняется поведение свободной поверхности жидкости — границы между жидкостью и газом (или вакуумом), не ограниченной твёрдыми стенками. Если в земных условиях свободная поверхность жидкости обычно стремится к горизонтальной плоскости под действием гравитации, то в условиях микрогравитации её форма определяется преимущественно силами межмолекулярного взаимодействия, то есть силами поверхностного натяжения.

Наконец, одним из наиболее драматичных проявлений динамики жидкости в баках является sloshing-эффект, или эффект плескания. Это явление представляет собой колебания свободной поверхности жидкости в частично заполненном резервуаре, вызванные внешними возмущениями или движением самого аппарата. В условиях космического полёта этот эффект может иметь катастрофические последствия для устойчивости и управляемости космического аппарата.

Физические принципы движения жидкости

Для описания движения жидкостей в гидромеханике используется приближение сплошной среды. Это означает, что жидкость рассматривается как непрерывное распределение массы, импульса и энергии, без учета дискретной молекулярной структуры. Такой подход позволяет применять методы математического анализа для описания макроскопических явлений, таких как течение, давление и температура.

В условиях, где гравитация значительно ослаблена, ключевую роль в формировании свободной поверхности жидкости играют силы поверхностного натяжения. Для количественной оценки соотношения между внешними силами (например, гравитацией) и силами поверхностного натяжения используется безразмерный критерий подобия — число Бонда (Bo или Bd). Оно определяется по формуле:

Bo = (gL2Δρ)/σ

где g — ускорение свободного падения, L — характерная длина, Δρ — разность плотностей взаимодействующих сред, а σ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости. В условиях микрогравитации, когда g стремится к нулю, число Бонда становится очень малым, что означает доминирование сил поверхностного натяжения. Это приводит к тому, что равновесная свободная поверхность жидкости в баке космического аппарата принимает сложную криволинейную форму, которая значительно отличается от плоской в земных условиях. Эта форма зависит от множества факторов: геометрии полости бака, угла смачивания жидкости со стенками, упомянутого числа Бонда и, конечно, от объема заполнения бака.

Математические модели и основные уравнения

Для полного и точного описания движения вязкой несжимаемой жидкости, при условии пренебрежения изменением температуры (или при изотермическом процессе), применяется система фундаментальных уравнений. Эта система включает в себя уравнение неразрывности (закон сохранения массы) и уравнения Навье-Стокса (закон сохранения импульса), которые вместе образуют замкнутую систему из четырех дифференциальных уравнений в частных производных.

Уравнение неразрывности в декартовых координатах для несжимаемой жидкости имеет вид:

∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0

где u, v, w — компоненты вектора скорости v по осям x, y, z соответственно. Это уравнение выражает тот факт, что для несжимаемой жидкости количество массы, входящей в элементарный объем, должно быть равно количеству массы, выходящей из него.

Уравнения Навье-Стокса в векторной форме для несжимаемой вязкой жидкости записываются следующим образом:

ρ(∂v̅/∂t + (v̅ · ∇)v̅) = -∇p + ηΔv̅ + ρF̅

Здесь ρ — плотность жидкости, v̅ — вектор скорости, t — время, p — давление, η — динамическая вязкость, Δ — оператор Лапласа (∇²), и F̅ — внешняя массовая сила на единицу массы. Этот набор уравнений описывает баланс сил, действующих на элемент жидкости: инерционные силы (левая часть), силы давления, вязкие силы и внешние массовые силы (правая часть).

Помимо самих уравнений движения, для определения полного решения задачи необходимы граничные условия. На твердых поверхностях, таких как стенки бака, применяется условие прилипания жидкости: v_S = 0. Это означает, что скорость жидкости на границе с твёрдой стенкой равна скорости самой стенки (в случае неподвижной стенки — равна нулю), что выражает как непроницаемость стенки, так и отсутствие проскальзывания жидкости вдоль неё. На свободной поверхности жидкости, в дополнение к условию непротекания (отсутствия потока жидкости через границу), обычно задается условие отсутствия тангенциальных напряжений, что отражает отсутствие вязкого сопротивления между жидкостью и газовой фазой над ней.

Совокупность этих уравнений, граничных условий и начальных условий (описывающих состояние жидкости в начальный момент времени) образует так называемую начально-краевую задачу, решение которой позволяет полностью определить движение жидкости внутри полости бака.

Стоит также отметить, что температура жидкого топлива в баке космического аппарата может значительно варьироваться, находясь в пределах от -195 °С до -65 °С. Этот диапазон температур требует учета температурной зависимости физических свойств топлива, таких как плотность, вязкость и коэффициент поверхностного натяжения, что усложняет моделирование и требует дополнительных корректировок в расчетах.

Математические модели и приближения для описания свободной поверхности жидкого топлива

Моделирование поведения жидкого топлива в баках космических аппаратов — это сложная задача, требующая применения различных математических моделей и приближений. Выбор модели определяется требуемой точностью, вычислительными ресурсами и конкретными условиями эксплуатации. От идеализированных представлений до учета сложных реологических свойств, каждая модель предлагает свой взгляд на динамику жидкости.

Моделирование идеальной жидкости

В некоторых случаях, для упрощения анализа и получения аналитических решений, жидкость можно считать идеальной. Это означает, что её вязкость пренебрежимо мала, и в ней отсутствуют внутренние касательные напряжения. Движение такой жидкости описывается уравнением Эйлера:

∂v̅/∂t + (v̅ · ∇)v̅ = -∇p/ρ + F̅

Это уравнение является упрощенной версией уравнений Навье-Стокса без члена, отвечающего за вязкость.

Одним из наиболее мощных упрощений в гидродинамике идеальной жидкости является предположение о потенциальном течении, где скорость v̅ может быть выражена через скалярный потенциал скорости φ: v̅ = ∇φ. Такое течение характеризуется отсутствием завихренности в каждой точке, занятой жидкостью, что значительно упрощает математический аппарат. В этом случае уравнение движения сводится к классическому уравнению Лапласа:

div(grad φ) = Δφ = 0

Уравнение Лапласа является линейным дифференциальным уравнением в частных производных, для которого существует множество аналитических и численных методов решения.

Важным аналогом закона сохранения механической энергии для идеальной несжимаемой жидкости является уравнение Бернулли. Оно устанавливает фундаментальную зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Уравнение Бернулли утверждает, что сумма удельной кинетической энергии (v²/2), удельной потенциальной энергии давления (p/ρ) и удельной потенциальной энергии высоты (gh) остаётся постоянной вдоль линии тока:

v2/2 + p/ρ + gh = const

Это уравнение позволяет упростить анализ многих задач, связанных с течением идеальной жидкости.

В 2025 году Р. Р. Загитовым и Ю. В. Юлмухаметовой была предложена и разработана трехмерная газодинамическая модель для идеальной несжимаемой жидкости, в которой решение ищется в виде линейного поля скоростей с неоднородной деформацией. Эта модель является значительным шагом в развитии аналитических подходов к описанию течений, позволяя получать точные решения для определенных классов задач, что существенно повышает предсказательную способность моделирования.

Моделирование вязких жидкостей и приближения

Реальные жидкости всегда обладают вязкостью, и во многих случаях ею нельзя пренебречь. Для большинства промышленных и инженерных задач основой является модель ньютоновской жидкости. Эта модель описывает течение вязкой несжимаемой жидкости при умеренных скоростях, где напряжение сдвига прямо пропорционально скорости деформации. Уравнения Навье-Стокса, приведенные выше, являются математическим выражением этой модели. Известны точные аналитические решения этих уравнений для некоторых простейших случаев, таких как течения Куэтта–Пуазейля, Экмана, Стокса и Кармана, которые описывают, например, ламинарное течение жидкости между параллельными стенками или в цилиндрических трубках.

Однако не все жидкости подчиняются ньютоновскому закону вязкости. Существуют так называемые вязкоупругие жидкости, поведение которых зависит от предыстории деформаций. Для таких сред, например, используется модель жидкости Фойгта. Эта модель, представляющая собой комбинацию упругих и вязких свойств, учитывает, что жидкости требуется время, чтобы прийти в движение под действием внезапно приложенной силы, что критически важно для анализа динамических нагрузок.

Для задач, где колебания жидкости малы, и можно пренебречь нелинейными эффектами, применяются линеаризованные математические модели. Примером такой модели может служить разработанная К. В. Гореловой в 2013 году модель колебаний жидкости в баке прямоугольной формы космического аппарата. Она учитывает вынужденные колебания свободной поверхности под действием постоянной горизонтальной возмущающей силы. Линеаризация позволяет значительно упростить решение уравнений, переводя их в класс линейных, для которых существуют хорошо разработанные методы анализа.

Наконец, в 2005 году С. Г. Демышевым были выведены дискретные уравнения абсолютной и потенциальной завихренности для трехмерной стратифицированной несжимаемой жидкости. Эти уравнения являются точным следствием конечно-разностных уравнений динамики моря в поле потенциальной массовой силы в адиабатическом приближении, при условии отсутствия вязкости и диффузии. Хотя изначально разработанные для океанографии, эти подходы имеют широкое применение в гидродинамике, в том числе и для моделирования сложных течений в баках космических аппаратов.

Таким образом, арсенал математических моделей и приближений для описания свободной поверхности жидкого топлива весьма обширен, позволяя исследователям выбирать оптимальный подход в зависимости от конкретных условий и требуемой детализации, что значительно расширяет возможности для точного прогнозирования поведения топлива.

Эффект плескания (Sloshing): влияние на динамику и методы подавления

Внутрибаковая гидродинамика является одной из важнейших задач в проектировании и эксплуатации космических аппаратов. Изучение поведения свободной поверхности в различных условиях полёта становится критически важным для обеспечения стабильности и управляемости. Одним из наиболее значимых и потенциально опасных явлений в этой области является эффект плескания (sloshing).

Природа и проявления sloshing-эффекта

Sloshing – это динамическое явление, характеризующееся колебаниями свободной поверхности жидкости в частично заполненных резервуарах. Оно возникает под действием внешних возмущений, таких как маневры космического аппарата, вибрации или нештатные ситуации. Например, в морских танкерах плескание часто вызывается бортовой качкой при регулярном волнении. Однако в контексте космической техники, даже незначительные, казалось бы, силы, могут спровоцировать мощные колебания.

Влияние плескания многогранно и может быть крайне деструктивным:

• Целостность конструкции бака: Постоянные или интенсивные ударные нагрузки от плещущейся жидкости (так называемые slosh loads) могут вызывать усталостные повреждения, деформации стенок и внутренних конструкций бака, что в конечном итоге ставит под угрозу герметичность и структурную прочность. Эти нагрузки необходимо учитывать при проектировании, особенно для транспортных средств, таких как танкеры, где они могут значительно влиять на поперечную и продольную устойчивость.
• Динамическая устойчивость космического аппарата: Колебания топлива создают переменные силы и моменты инерции, которые воздействуют на корпус аппарата. Это может привести к нарушению его динамической устойчивости, изменению траектории, усложнению управления и даже потере контроля, особенно при резких маневрах.
• Проблемы с подачей топлива: Неконтролируемое плескание может привести к образованию газовых пузырей в топливной магистрали или к временному отрыву топлива от заборного устройства, что нарушит непрерывную подачу в двигатель и может вызвать его отключение, представляя реальную угрозу для выполнения миссии.

Особую важность проблема плескания приобретает в условиях микрогравитации. При значениях ускорения свободного падения от 10^-6 до 10^-4 g₀ (где g₀ = 9.81 м/с²), силы поверхностного натяжения, которые ��а Земле обычно ничтожны по сравнению с гравитацией, начинают доминировать. Это меняет характер плескания: вместо привычных волн, обусловленных гравитацией, наблюдаются капиллярные волны, а равновесная форма свободной поверхности становится криволинейной. Моделирование и подавление плескания в таких условиях требует учета этих капиллярных эффектов, что делает задачу более сложной.

Методы подавления плескания

Для минимизации неблагоприятных эффектов плескания разработаны и активно применяются различные конструктивные решения и методы. Главная цель — демпфирование колебаний жидкости и предотвращение её неконтролируемого перемещения.

К наиболее распространённым и эффективным методам относятся:

• Противоплескательные перегородки: Это внутренние элементы бака (перегородки, кольца, сетки), которые делят объем жидкости на более мелкие секции, препятствуя формированию крупных волн. Влияние этих перегородок на свободные колебания жидкости критически зависит от их положения установки. Оптимальное расположение, количество и геометрия перегородок тщательно рассчитываются и проектируются для каждого конкретного типа бака и режима эксплуатации, чтобы обеспечить максимальное демпфирование колебаний и предотвратить резонанс.
• Гасители колебаний: Специальные устройства, поглощающие энергию колебаний жидкости. Это могут быть плавающие элементы, эластичные мембраны или системы с демпфирующими свойствами.
• Пористые материалы или сетки: Размещение внутри бака пористых структур или мелкоячеистых сеток позволяет увеличить диссипацию энергии за счёт вязкого трения жидкости при её прохождении через эти элементы.
• Оптимизация формы бака: Изменение общей геометрии бака также может способствовать снижению амплитуды плескания. Например, более сложная, нецилиндрическая форма может нарушать резонансные условия и распределять энергию колебаний более эффективно.

Применение этих методов позволяет значительно снизить динамические нагрузки, улучшить устойчивость и управляемость космического аппарата, а также обеспечить надежную подачу топлива к двигателям в самых сложных условиях полёта. Достаточно ли инженеры учитывают эти аспекты при разработке новых поколений космических аппаратов?

Численные методы и программные комплексы для моделирования движения топлива

В условиях возрастающей сложности космических аппаратов и необходимости минимизации затрат на испытания, численное моделирование становится незаменимым инструментом для анализа поведения жидкого топлива в баках. Оно позволяет детально изучать сложные гидродинамические процессы, такие как плескание (sloshing) и агитация, без создания дорогостоящих физических прототипов.

Обзор численных подходов

Одним из наиболее распространённых и мощных подходов является использование программного обеспечения вычислительной гидродинамики (CFD). Эти комплексы применяют различные методы для дискретизации жидкостных доменов, среди которых метод конечных объемов (FVM) занимает центральное место.

• Метод конечных объемов (FVM): Этот метод основан на интегрировании уравнений сохранения (массы, импульса, энергии) по каждому элементарному объему (контрольному объему) расчетной сетки. FVM обладает свойством консервативности, что крайне важно для точного моделирования потоков, особенно когда речь идет о сохранении массы и импульса. Для моделирования слошинга с его сложными течениями и турбулентностью часто используются осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса (RANS). Эти уравнения позволяют учесть влияние турбулентности без необходимости напрямую разрешать все масштабы вихревых движений, что значительно снижает вычислительные затраты.
• Метод объема жидкости (Volume of Fluid — VOF): Для точного отслеживания и моделирования динамики свободной поверхности жидкости (границы между двумя несмешивающимися фазами, например, жидкостью и газом) широко применяется метод VOF. Он основан на введении специальной функции, которая определяет долю жидкости в каждом элементарном объеме. Таким образом, ячейки, содержащие значение функции между 0 и 1, представляют собой область свободной поверхности, позволяя точно отслеживать её эволюцию.
• Модифицированный метод Галеркина и метод конечных элементов (FEM): Эти методы являются мощными инструментами для решения задач, связанных с собственными частотами и формами колебаний капиллярной жидкости в сосудах сложной формы. Метод конечных элементов позволяет разбить сложную геометрию на множество простых элементов, в пределах которых решение аппроксимируется полиномами. Метод Галеркина используется для сведения дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений. Важно отметить, что, несмотря на развитие этих методов, разработаны только численные методы для определения формы свободной поверхности капиллярной жидкости в осесимметричных сосудах простой формы (цилиндр, сфера, эллипсоид), что подчеркивает сложность моделирования в более реалистичных условиях.

Применение программных комплексов

На мировом рынке существует множество коммерческих и свободно распространяемых программных комплексов для CFD-моделирования.

• OpenFOAM: Этот свободно распространяемый пакет является мощным инструментом для решения широкого круга задач вычислительной гидродинамики. Он активно используется для моделирования движения сжиженного газа и других вязких жидкостей, предоставляя пользователям гибкость и открытый исходный код для адаптации под специфические нужды.
• Отечественные разработки: В России также активно развиваются собственные программные комплексы, демонстрирующие высокую эффективность и конкурентоспособность:
  • АНСДИМАТ: Разработанный в 1993 году, этот программный комплекс стал стандартом в гидрогеологии РФ, но его базовые гидродинамические алгоритмы находят применение и в смежных областях, где требуется моделирование течений жидкостей.
  • РН-КИМ: Гидродинамический симулятор, разработанный «Роснефтью», с 2014 года применяется во всех научных институтах и нефтегазодобывающих предприятиях компании. Этот комплекс предназначен для гидродинамического моделирования залежей углеводородов, но его возможности в области сложного многофазного течения и моделирования вязких жидкостей делают его применимым и для задач внутрибаковой гидродинамики. Примечательно, что за 2023 год экономия от использования РН-КИМ составила более 500 млн рублей, что свидетельствует о его высокой экономической эффективности и точности.

Эти программные комплексы позволяют не только получать красивые визуализации, но и выполнять точные расчеты траекторий движения частиц жидкости, эволюции начальных объемов, что крайне важно для прогнозирования поведения топлива в баке и оптимизации его конструкции.

Влияние конструктивных особенностей баков и эффективное осаждение топлива

Особенности конструкции топливных баков играют ключевую роль в поведении жидкого топлива в условиях космического полета. Взаимодействие формы бака, гравитационных и поверхностных сил определяет эффективность работы двигателей и управляемость аппарата.

Особенности топливных баков КА

В современных ракетах и космических аппаратах баки, как правило, лишь частично заполнены жидким топливом. Это создает сложную двухфазную систему, где взаимодействие жидкости и газа наддува становится критически важным.

Исторически, для топливных баков использовались относительно простые формы, такие как цилиндрические или сферические, что упрощало их моделирование. Однако в последнее время наблюдается тенденция к использованию топливных баков более сложной формы — например, в виде коаксиального цилиндра или тороидальные. Эти формы позволяют более эффективно использовать внутреннее пространство космического аппарата и оптимизировать массогабаритные характеристики. Однако поведение жидкости в таких баках, особенно с учетом капиллярного эффекта, исследовано пока недостаточно. Например, активные исследования поведения жидкости в тороидальных баках с учетом капиллярного эффекта проводятся только с 2022 года, что подтверждается публикациями в Вестнике Томского государственного университета. Сложность таких форм заключается в нелинейности эффектов и высокой чувствительности к малым возмущениям, что требует более совершенных моделей и вычислительных подходов.

В условиях свободного орбитального полёта поведение жидкого топлива и газа наддува в топливных баках летательных аппаратов определяет нормальное функционирование жидкостных ракетных двигателей (ЖРД). Под воздействием множества факторов, таких как остаточная микрогравитация, давление солнечного ветра и аэродинамическое сопротивление, топливо в баке может принимать произвольное положение.

Давление солнечного ветра, представляющее собой поток заряженных частиц, хоть и невелико, но постоянно действует на космический аппарат. Его величина может быть рассчитана по формуле P = 1.6726×10-6 × n × V2 нПа, где n — плотность частиц в см^-3, а V — скорость частиц в км/с. Скорость спокойного солнечного ветра составляет 300-500 км/с при плотности 10-15 см^-3. Несмотря на то, что давление солнечного ветра значительно уступает давлению солнечного света, оно, наряду с аэродинамическим сопротивлением на низких околоземных орбитах, может приводить к смещению топлива, вплоть до его скопления у верхнего днища бака. Это создаёт серьёзную проблему для запуска двигателя.

Методы обеспечения подачи топлива и осаждения

Для нормального функционирования ЖРД критически важно непрерывное поступление жидкого топлива в расходные магистрали баков без нарушения сплошности потока. В условиях невесомости это нетривиальная задача. Паузы между включениями маршевого двигателя в орбитальном полёте могут достигать нескольких часов, за которые топливо может распределиться по баку неоптимальным образом.

Для решения этой проблемы применяются различные методы осаждения топлива и сепарации газовых включений:

1. Предпусковое ускорение: Один из простейших и наиболее распространённых способов — это создание небольшого инерционного ускорения перед запуском двигателя. Под действием этого ускорения топливо осаждается к заборному устройству бака, а газовые включения сепарируются. Величина предпускового ускорения обычно составляет небольшие значения, достаточные для инерционного перемещения топлива.
2. Программный сепарирующий разворот: Это более сложный, но очень эффективный метод, применяемый после длительного полёта в условиях невесомости. Космический аппарат целенаправленно вращается вокруг одной из своих осей, создавая небольшие центробежные ускорения. Эти ускорения способствуют осаждению топлива к периферии бака и отделению газовых включений от жидкой фазы. Использование такого маневра позволяет существенно снизить расход топлива двигательных установок стабилизации, ориентации и запуска маршевого двигателя, тем самым продлевая срок активного существования космического аппарата.
3. Создание продольного ускорения двигателями малой тяги: Для обеспечения повторного запуска маршевого двигателя, особенно после длительного периода невесомости, применяется метод создания продольного ускорения с помощью двигателей малой тяги. Эти двигатели генерируют ускорение порядка 10^-4 g₀ (0.000981 м/с²), необходимое для перемещения топлива к заборному устройству, успокоения его колебаний и сепарации газовых включений. Длительность такого маневра может варьироваться от нескольких десятков секунд до нескольких минут.

Все эти методы направлены на обеспечение стабильной и бесперебойной работы ЖРД, что является залогом успешного выполнения космической миссии. Продолжаются исследования собственных движений вращающихся топливных баков со сферической полостью, частично заполненной жидкостью, вытекающей через заборное устройство, для дальнейшей оптимизации систем подачи топлива.

Экспериментальные методы и валидация математических моделей

Создание точных математических и численных моделей движения жидкого топлива в баках космических аппаратов — лишь половина пути. Чтобы эти модели были надежными и применимыми на практике, они должны пройти строгую проверку и подтверждение, то есть верификацию и валидацию, посредством экспериментальных исследований. Без этого этапа любые теоретические предсказания остаются лишь гипотезами.

Методы верификации и валидации

Верификация относится к процессу подтверждения того, что численное решение корректно представляет математическую модель, то есть, что код реализован без ошибок и алгоритмы работают правильно. Валидация же — это процесс подтверждения того, что математическая модель адекватно описывает реальные физические процессы.

• Сопоставление с экспериментальными данными: Основой валидации является сравнение результатов численно-параметрических исследований с данными, полученными в ходе реальных экспериментов. Типичное расхождение между численными результатами и экспериментальными данными для подобных гидродинамических моделей часто составляет 5-15%, что считается приемлемым для верификации инженерных моделей. Если расхождение выходит за эти пределы, это указывает на необходимость доработки модели или численного метода.
• Расчетно-экспериментальный метод: Для оптимизации процесса разработки и снижения затрат применяется расчетно-экспериментальный метод. Этот подход совмещает экспериментальную отработку с численным моделированием, что позволяет значительно сократить объем дорогостоящих натурных испытаний. Например, применение такого метода позволяет сократить объем натурных испытаний на 20-30% и значительно ускорить процесс разработки и валидации топливных систем. Этот метод особенно ценен для определения потребного времени осаждения топлива.
• Валидация моделей турбулентности: В сложных течениях, таких как плескание, турбулентность играет значительную роль. Валидация моделей турбулентности, таких как SST k-ω и стандартная k-ε, позволяет дать качественную оценку кинетике течения во всей расчетной области. Опыт показывает, что модель SST k-ω обычно демонстрирует лучшее согласование с экспериментальными данными вблизи стенок и в областях с отрывом потока, тогда как стандартная k-ε модель хорошо работает для полностью развитых турбулентных течений. Типичная погрешность этих моделей по сравнению с экспериментом для интегральных характеристик составляет 5-10%. Это позволяет выбирать наиболее подходящую модель для конкретных условий и повышать точность прогнозов.
• Верификация программного обеспечения: Помимо валидации самих моделей, крайне важна верификация используемого программного обеспечения для моделирования слошинга. Это включает систематическое сравнение численно полученных результатов с экспериментальными данными, а также сопоставление с эталонными аналитическими решениями для простых случаев.

Примеры экспериментальных исследований

История космических исследований богата примерами, демонстрирующими важность экспериментальной работы в условиях микрогравитации.

• Исследования на станции «Мир»: На орбитальной станции «Мир» проводились уникальные эксперименты по изучению околокритической жидкости в условиях реальной невесомости. Эти исследования включали анализ конвективных движений и влияния вибраций на процессы переноса в сверхкритической жидкости. Такие эксперименты, проводимые В. И. Полежаевым и его командой, позволили получить ценные данные о поведении жидкостей в условиях, максимально приближенных к реальному космическому полету, что крайне важно для валидации гидродинамических моделей и разработки новых подходов к управлению топливом.

Совокупность этих методов — от детального сопоставления с экспериментальными данными до использования расчетно-экспериментальных подходов и валидации специализированных моделей — обеспечивает необходимый уровень достоверности и надежности математических моделей, делая их ценным инструментом для проектирования и эксплуатации космических аппаратов, значительно снижая риски и затраты.

Выводы и перспективы дальнейших исследований

Проведенный комплексный гидродинамический анализ моделирования движения жидкого топлива в баках космических аппаратов позволил достичь поставленных целей курсовой работы. Мы детально рассмотрели фундаментальные физические принципы и математический аппарат, управляющие поведением жидкостей в условиях микрогравитации, включая уравнения Навье-Стокса и граничные условия. Особое внимание было уделено роли числа Бонда и поверхностного натяжения, которые кардинально меняют форму свободной поверхности в космическом пространстве.

Исследование охватило широкий спектр математических моделей, от идеализированных решений уравнения Эйлера до сложных моделей вязких и вязкоупругих жидкостей, а также линеаризованных приближений. Были представлены современные разработки, такие как трехмерная газодинамическая модель Р. Р. Загитова и Ю. В. Юлмухаметовой (2025 г.) и дискретные уравнения С. Г. Демышева (2005 г.), демонстрирующие непрерывное развитие теоретических подходов.

Глубоко проанализирован эффект плескания (sloshing), его разрушительное влияние н�� целостность конструкции бака и динамическую устойчивость космического аппарата, особенно в условиях микрогравитации. Предложены эффективные методы подавления, включая применение противоплескательных перегородок и оптимизацию формы бака.

Обзор численных методов и программных комплексов показал высокую степень развития вычислительной гидродинамики. Применение FVM, VOF, FEM и RANS-уравнений, а также использование отечественных комплексов АНСДИМАТ и РН-КИМ, подчеркивает технологическую зрелость в этой области. Отмечена значительная экономия, достигаемая благодаря численному моделированию.

Исследовано влияние конструктивных особенностей баков, включая современные сложные формы (тороидальные, коаксиальные цилиндры), и их взаимодействие с капиллярными эффектами. Детально рассмотрены методы обеспечения непрерывной подачи топлива, такие как предпусковое ускорение, программный сепарирующий разворот и создание продольного ускорения двигателями малой тяги.

Наконец, подчеркнута критическая важность экспериментальных методов и валидации моделей. Сопоставление численных результатов с экспериментальными данными, применение расчетно-экспериментальных методов и валидация моделей турбулентности (SST k-ω, k-ε) демонстрируют путь к созданию надежных и проверенных инженерных решений.

Несмотря на значительные достижения, в области моделирования движения жидкого топлива в баках КА остаются нерешенные проблемы и перспективные направления для дальнейших исследований. В частности, требуется дальнейшее углубленное изучение гидродинамики в баках сложной формы с учетом капиллярных эффектов, особенно в условиях длительного космического полёта и многократных включений двигателей. Недостаточно исследованы нестационарные режимы течения и взаимодействие жидкости с внутрибаковыми устройствами при переменных режимах микрогравитации.

Будущие исследования могут быть сосредоточены на разработке более точных мультифизических моделей, способных учитывать тепломассообмен, фазовые переходы и химические реакции топлива в условиях космоса. Улучшение численных методов для высокопроизводительных вычислений, включая параллельные и распределенные архитектуры, позволит моделировать более сложные сценарии с высокой степенью детализации. Расширение экспериментальной базы, в том числе за счёт использования новых стендов для имитации микрогравитации и проведения экспериментов на орбите, необходимо для валидации моделей в условиях, максимально приближенных к реальному космическому полёту.

Вклад данной работы заключается в систематизации и углублении понимания внутрибаковой гидродинамики, что является фундаментом для повышения надежности и эффективности космических аппаратов будущего.

Список использованной литературы

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
2. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.
3. Уизем Г.Б. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
4. Stokes G. Mathematical and Physical Papers. vol. 1. Cambridge, 1880.
5. Жуковский Н.Е. О движение твердого тела, имеющего полость, наполненной однородной капельной жидкостью // Собрание сочинений Т.2 Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1949.
6. Колесников Н.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003.
7. Черноусько Ф.А. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968.
8. Алексеев А.В., Асланов В.С. Движение твердого тела с жидкостью малой вязкости // Известия Саратовского университета. 2007. Т.7, сер. Математика, механика, информатика. Вып.2. С. 44-48.
9. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965.
10. Франк А.М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физмаатлит, 2001.
11. Горелова К. В. Моделирование вынужденных колебаний свободной поверхности жидкости в баках космических летательных аппаратов. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-vynuzhdennyh-kolebaniy-svobodnoy-poverhnosti-zhidkosti-v-bakah-kosmicheskih-letatelnyh-apparatov (дата обращения: 25.10.2025).
12. Юй, Ц. Волновые движения жидкого топлива в тороидальных сосудах с учетом капиллярного эффекта // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 78. С. 151–165.
13. Полянин А. Д. Точные решения уравнений Навье–Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // EqWorld. URL: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/ns/ns-toc.htm (дата обращения: 25.10.2025).
14. Сапожников В. Б., Полянский А. Р., Корольков А. В. РАСЧЕТ МИНИМАЛЬНОГО ЗАПАСА ТОПЛИВА, НАХОДЯЩЕГОСЯ В КОНТАКТЕ С ВНУТРИБАКОВЫМ УСТРОЙСТВОМ, ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ РАБОТЫ ЖИДКОСТНОГО РАКЕТНОГО ДВИГАТЕЛЯ В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/raschet-minimalnogo-zapasa-topliva-nahodyaschegosyav-kontakte-s-vnutribakovym-ustroyistvom-dlya-obespecheniya-raboty-zhidkostnogo-raketnogo (дата обращения: 25.10.2025).
15. Лысенко В.В., Сапожников В.Б., Полянский А.Р. Задачи динамики космических конструкций с жидким топливом, вытекающим из сферических ёмкостей // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/zadachi-dinamiki-kosmicheskih-konstruktsiy-s-zhidkim-toplivom-vytekayuschim-iz-sfericheskih-emkostey (дата обращения: 25.10.2025).
16. Зыкова Н. В., Смирнов В. А., Тихомиров В. С. Численное моделирование слошинга в мембранном танке СПГ газовоза при бортовой качке на регулярном волнении. Российский морской регистр судоходства, 2017. URL: https://www.rs-class.org/upload/iblock/c38/c38d613e51111603504fb4f86644f12f.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
17. Тупицын Николай Николаевич. АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТИ ОСАЖДЕНИЯ ЖИДКОГО ТОПЛИВА В БАКАХ КОСМИЧЕСКОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ПОСЛЕ ПОЛЁТА В НЕВЕСОМОСТИ С ПОМОЩЬЮ СЕПАРИРУЮЩЕГО РАЗВОРОТА ОРБИТАЛЬНОГО БЛОКА // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/analiz-vozmozhnosti-osazhdeniya-zhidkogo-topliva-v-bakah-kosmicheskoy-dvigatelnoy-ustanovki-posle-polyota-v-nevesomosti-s-pomoschyu-separiruyuschego-razvorota-orbitalnogo-bloka (дата обращения: 25.10.2025).
18. Сапожников В. Б., Полянский А. Р., Корольков А. В. РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ОСАЖДЕНИЯ ТОПЛИВА В БАКАХ ЖРД. Index Copernicus, 2017. URL: https://ru.icm.edu.pl/wp-content/uploads/2017/02/Sapozhnikov-et-al.-2017.-Расчетно-экспериментальный-метод-исследования-осаждения-топлива.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
19. Гидромеханика реальной невесомости // ELiS ПГНИУ. URL: https://elis.psu.ru/node/1484 (дата обращения: 25.10.2025).
20. Афанасьев Д. Г., Головин Д. А., Гусаров В. А. Гидродинамическая верификация и валидация численных методов расчета течения в камере сгорания газотурбинного двигателя // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/gidrodinamicheskaya-verifikatsiya-i-validatsiya-chislennyh-metodov-rascheta-techeniya-v-kamere-sgoraniya-gazoturbinnogo-dvigatelya (дата обращения: 25.10.2025).
21. Звягин А.С., Соловьев А.Н., Яковлева И.Л. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ ФОЙГТА* // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2015. № 2. С. 36-41.
22. Демышев Сергей Германович. Конечно-разностная аппроксимация уравнения потенциальной завихренности для стратифицированной несжимаемой жидкости и пример его использования при расчете циркуляции Черного моря. Часть I. Дифференциально-разностное уравнение потенциальной завихренности идеальной жидкости // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/konechno-raznostnaya-approksimatsiya-uravneniya-potentsialnoy-zavihrennosti-dlya-stratificirovannoy-neszhimaemoy-zhidkosti-i-primer-ego-ispolzovaniya-pri-raschete-tsirkulyatsii-chernogo-morya-chast-i-differentsialno-raznostnoe-uravnenie-potentsialnoy-zavihrennosti-idealnoy-zhidkosti (дата обращения: 25.10.2025).
23. Ларионов В.М., Филипов С.Е. Введение в гидродинамику. Казанский федеральный университет, 2010. URL: https://kpfu.ru/docs/F968370129/vvedenie_v_gidrodinamiku.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
24. Губайдуллин Д. А. Лекции по гидродинамике. Казанский федеральный университет. URL: https://kpfu.ru/portal/docs/F1484501230/gidrodinamika.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
25. Колесниченко В. И., Шарифулин А. Н. Введение в механику несжимаемой жидкости. Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 2019. URL: https://pstu.ru/files/2422/KolesnichenkoSharifulin_Vvedenie_v_mehaniku_neszhimaemoy_zhidkosti.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
26. Введение в гидродинамику : учебное пособие для студентов, обучающихся. Уральский федеральный университет, 2023. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/119029/1/978-5-7996-3729-2_2023.pdf (дата обращения: 25.10.2025).
27. Загитов Р. Р., Юлмухаметова Ю. В. Гидродинамика идеальной несжимаемой жидкости с линейным полем скоростей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2025. Т. 29, № 1. С. 37–54.
28. ГОСТ 34601—2019. АВТОМОБИЛЬНЫЕ ТРАНСПОРТНЫЕ СРЕДСТВА, РАБОТАЮЩИЕ НА СЖИЖЕННОМ ПРИРОДНОМ ГАЗЕ (СПГ). Топливные баки. Технические требования и методы испытаний. Стандартинформ, 2019. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200171228 (дата обращения: 25.10.2025).
29. Hosain M.I., Kolahi H.A., Močilán M. Analysis and Reduction of the Sloshing Phenomena Due To Sudden Movement of Spray Mixture Tanker // Journal of Applied Fluid Mechanics, 2022. Vol. 15, No. 2. pp. 399-413.