Содержание
Введение 3
Постановка задачи 6
1 Методы комбинаторной топологии 9
2 Методы дифференциальной топологии 15
3 Самоорганизующиеся многообразия 21
Заключение 23
Список литературы 24
Выдержка из текста
Компьютерное моделирование базируется на вычислительных экспериментах с математическими моделями и применяется для анализа и сравнения различных технических решений при проектировании реальных объектов.
Атлас или топология является понятием дифференциальной геометрии, которое дает возможность вводить на многообразии дополнительные структуры (например, гладкую или комплексную).
Начало развитию топологии положили работы Римана, который при изучении многозначных аналитических функций комплексной переменной предложил рассматривать их не на плоскости, а на двумерных поверхностях, где такие многозначные функции превращаются в однозначные функции. В этом случае двумерная поверхность – это самостоятельный объект, который определяется внутренним образом. При таком подходе двумерная поверхность образуется в результате склейки налегающих друг на друга областей плоскости.
Затем Риман ввел понятие многомерного многообразия, то есть многообразия размерности , которое получается в результате склейки налегающих друг на друга областей пространства . Дальнейшие исследования в этой области продолжили ученые Бетти и Пуанкаре.
Для осуществления компьютерного моделирования нас интересуют только непрерывные отображения многообразий, то есть важно знать лишь строение открытых подмножеств многообразия со сложной топологической формой. Таким образом, было введено понятие топологического пространства как множества с выделенной системой открытых подмножеств, которые обладают определенными свойствами.
В общем случае атлас включает в себя отдельные карты, описывающие различные области многообразия. В том случае, когда в виде многообразия со сложной топологической структурой считается поверхность земного шара, то слова карта и атлас принимают свои обычные значения.
Пусть К – это числовое поле, Х – топологическое пространство, а карта является парой (U, f), где U – это открытое множество в Х, а f – это гомеоморфизм из U в открытое множество Кn.
Криволинейные координаты вводятся в U при помощи локальной карты, при этом точке сопоставляется набор чисел .
В том случае, когда области определения двух карт и пересекаются , то между множествами и существуют взаимно обратные отображения (гомеоморфизмы), которые называются функциями сличения или отображением склейки:
:
:
Таким образом, атлас представляет собой множество карт, которые согласованны между собой , причем образует покрытие пространства Х. А – это некоторое множество индексов.
Следует отметить, что атлас называется гладким (класса Сk) или аналитическим, если функции замены координат являются гладкими для всех карт.
В программировании под понятием атлас понимают набор определенных данных. Например, в компьютерной графике используются текстурные атласы, которые содержат набор под-изображений, причем каждое из этих под-изображений является текстурой моделируемого двумерного или трехмерного объекта. Такие под-текстуры накладываются на моделируемый объект при помощи UV-преобразования, а координаты в атласе указывают, на какую часть изображения должна быть наложена заданная текстура.
В состав атласов могут входить как одинаковые по размеру под-изображения, так и разные. Атласы, как правило, создаются при помощи специальных программ-генераторов.
UV-преобразование представляет собой построение развертки модели на основе соответствия между координатами на поверхности трехмерного объекта (X, Y, Z) и координатами на текстуре (U, V). В современных компьютерных программах UV-преобразование в пределах одного треугольника реализуется как аффинное, то есть задаются координаты U и V для каждой вершины каждого из треугольников.
Простейшим объектом с топологической точки зрения является граф, который представляет собой одномерный комплекс.
Одной из основных задач топологии является классификация непрерывных отображений одного топологического пространства в другое, причем на эти пространства могут быть наложены определенные ограничения, а классификация осуществляется с точностью до указанной степени эквивалентности.
Идея моделирования данных с помощью многообразий возникла давно. Наиболее известная, давняя и очень практичная ее реализация для данных без пробелов – это классический метод главных компонент. Он состоит в том, что данные моделируются с помощью их ортогональных проекций на «главные компоненты» – собственные векторы корреляционной матрицы, которым соответствуют наибольшие собственные значения. Другая алгебраическая интерпретация метода главных компонент – сингулярное разложение таблицы данных. Как правило, для достаточно точного представления данных требуется сравнительно немного главных компонент и размерность сокращается иногда в десятки раз.
Компьютерное моделирование многообразий со сложной топологической структурой – это инструмент, обеспечивающий переход от исследования линейных математических моделей систем, для которых достаточно хорошо разработаны методы исследования, к исследованию сложных и нелинейных математических моделей систем, анализ которых намного сложнее. Поскольку процессы, происходящие в окружающем мире, являются нелинейными и стохастичными, то компьютерное моделирование многообразий со сложной топологической структурой является актуальной задачей на сегодняшний день.
Список использованной литературы
1. Горбань А.Н., Дунин-Барковский В.Л., Миркес Е.М. Нейро-информатика. – Новосибирск: Наука, 1998.
2. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2001. — 960 с.
3. Прасолов В.В. «Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии». – М., МЦНМО, 2004. – 352 с.
4. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. / Учеб. пособие. – М.: Изд-во Триумф, 2003. – 320 с.
5. Щербатов И.А. Управление сложными слабоформализуемыми многокомпонентными системами: Моногр. / Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2015.-288 с.
6. Агалаков Ю.Г., Бернштейн А.В. Сокращение размерности данных в задачах имитационного моделирования // Информационные технологии и вычислительные системы. – 2012. – № 3. – С. 3-17.
7. Архангельский А.А. Применение в системах связи классификаторов на основе нейронных сетей // Сборник: Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании. ІІ Международная научно-техническая и научно-методическая конференция. – 2013. – С. 46 49.
8. Белов М.П., Золотов О.И. Применение генетических алгоритмов в инфокоммуникационных системах // Сборник: «Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании». ІІІ Международная научно-техническая и научно-методическая конференция. – 2014. – С. 397-401.
9. Бурнаев Е.В., Бернштейн А.В. Методы консолидации разноточных данных // Труды 8-й международной конференции «Интеллектуализация обработки информации», 2010. – С. 220-223.
10. Варшанина Т.П., Плисенко О.А. Интегрированная цифровая модель «Электронная Земля»: региональный аспект // Системы и средства информатики. – 2008. – Т. 18. — № 3. – С. 135-161.
11. Галанин А.В. Алгоритмы и программный комплекс для топологического анализа компьютерных моделей // Естественные и математические науки в современном мире: сборник статей по материалам XV Международной научно-практической конференции. – Нижний Новгород, 2014.
12. Горбань А.Н., Макаров С.В., Россиев А.А. Заполнение пробелов в данных при помощи линейного и нелинейного факторного анализа, мозаичной регрессии и формул Карлемана // Всеросс. научно-техн. конф. Нейроинформатика-99. Сборник научных трудов. В 3 частях. Ч.1. – М.: МИФИ. 1999. — С. 25-31.
13. Григоровский Б.К. онтология моделей математической физики // Вестник СамГУПС. – 2013. — № 1 (19). – С. 76-81.
14. Козлова О.А. Выделение контуров изображений в задаче технического зрения // Сборник: «Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании». ІІІ Международная научно-техническая и научно-методическая конференция. – 2014. – С. 478-481.
15. Кулешов А.П. Технология быстрого вычисления характеристик сложных технических объектов // Информационные технологии. – 2006. – Вып. 3. – С. 4-11.
16. Полянская А.В. Использование компьютерных визуальных моделей в профессиональной подготовке будущих экологов // Universum: психология и образование. – 2015. — № 11-12 (20). – С. 1.
17. Россиев А.А. FAMaster – программный продукт для моделирования неполных данных и заполнения пробелов в них // Нейроинформатика и ее приложения: Тезисы докладов VI Всероссийского семинара. – Красноярск: КГТУ, 1998. – С. 155.
18. Фролкова А.К., Фролкова А.В., Криштоп Е.А. Анализ бинодальных многообразий четырехкомпонентных систем // Теоретические основы химической технологии. – 2014. – Т. 48. — № 4. – С. 451.
19. Википедия [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Атлас_(топология) – проверено 10.06.2016.
20. Шарафутдинов В.А. Гладкие многообразия [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://math.nsc.ru/LBRT/d6/chair/documents/Sharafutdinov/Sharafutdinov_Riemannian_Geometry_Chapter_2.pdf — проверено 12.06.2016.