Экономико-математическое моделирование оптимизации суточного рациона кормления: От теории линейного программирования до детализированной зоотехнической формализации

Введение: Актуальность и роль экономико-математического моделирования в агропромышленном комплексе

В условиях современного высокоинтенсивного сельскохозяйственного производства, особенно в сфере животноводства, эффективное управление ресурсами становится ключевым фактором конкурентоспособности. Статистические данные и отраслевые отчеты единогласно указывают на то, что затраты на корма являются доминирующей статьей расходов, занимая, по разным оценкам, от 50% до 75% в структуре себестоимости продукции молочного скотоводства и откорма крупного рогатого скота. Неэффективное, несбалансированное или избыточно дорогое кормление напрямую ведет к снижению рентабельности предприятия. Именно этот критически высокий удельный вес затрат делает задачу оптимизации суточного рациона кормления не просто актуальной, а жизненно необходимой для устойчивого экономического развития агропромышленного комплекса (АПК).

Традиционные методы расчета, основанные на эмпирических таблицах и приближенных формулах, не способны обеспечить поиск действительно оптимального решения, учитывающего десятки переменных и строгих зоотехнических ограничений. Внедрение точных методов, таких как экономико-математическое моделирование (ЭММ), позволяет перейти к научно обоснованному управлению затратами, что и является главной предпосылкой для достижения максимальной производственной эффективности.

Целью данной работы является построение исчерпывающей и адекватной ЭММ оптимизации суточного рациона кормления сельскохозяйственных животных, базирующейся на методах линейного программирования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Определить теоретические основы ЭММ и его место в системе принятия управленческих решений.
2. Обосновать выбор метода линейного программирования (ЛП) для решения данной задачи.
3. Разработать детализированную математическую формализацию оптимизационной модели, включая современные зоотехнические требования.
4. Проанализировать потенциальный экономический эффект от внедрения результатов моделирования.

Структура данной работы отражает логический переход от абстрактных теоретических положений к конкретной математической формализации и практической экономической оценке.

Теоретико-методологические основы экономико-математического моделирования

Понятие и классификация экономико-математических моделей

Экономико-математическая модель (ЭММ) — это формализованное, математическое описание экономического объекта, процесса или явления, выполненное с целью их исследования, анализа и управления ими.

Модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления, переведенное на язык математических символов, уравнений и неравенств. Ключевым требованием к любой ЭММ является ее адекватность, то есть способность модели корректно отражать поведение реального объекта, а также ее эффективность — практическая применимость для выработки оптимальных управленческих решений. Если модель неадекватна, то даже самое точное математическое решение приведет к ошибочным экономическим выводам.

Классификация ЭММ чрезвычайно обширна, но для целей управления производством наиболее важны следующие критерии:

Критерий классификации	Типы моделей	Описание и применение
По степени агрегирования	Макроэкономические	Описывают экономику страны, региона или крупной отрасли (например, модель межотраслевого баланса).
	Микроэкономические	Отражают процессы на уровне отдельного предприятия, цеха или производственного участка (например, модель оптимизации рациона).
По содержанию и методу	Экономико-математические	Описывают функциональные, причинно-следственные связи (например, оптимизационные, балансовые модели).
	Эконометрические	Устанавливают корреляционные и стохастические зависимости между показателями, включая вероятностные факторы.
По характеру отражения времени	Статические	Описывают состояние объекта на определенный момент времени (наша задача оптимизации рациона).
	Динамические	Отражают развитие объекта во времени (например, модели прогнозирования).

Задача оптимизации суточного рациона является классической микроэкономической, статичной, экономико-математической моделью, нацеленной на выработку оптимального управленческого решения (структуры рациона).

Этапы разработки ЭММ в управлении производством и методы операционного исследования

Разработка любой адекватной ЭММ, предназначенной для управления производством, представляет собой строго структурированный итерационный процесс, состоящий из четырех ключевых этапов:

1. Выяснение экономической сущности задачи и определение системы переменных. На этом этапе проводится глубокий экономический анализ объекта (в нашем случае — потребности животного в питательных веществах и доступные корма). Определяются искомые переменные (объемы кормов, $x_i$) и параметры (цена $c_i$, питательность $a_{ij}$).
2. Анализ и формализация всех ограничений задачи. Происходит перевод реальных технологических, зоотехнических и ресурсных ограничений в систему математических неравенств и равенств. Этот этап критически важен для обеспечения адекватности модели.
3. Нахождение целевой функции и критерия ее оптимальности. Формулируется показатель, который необходимо оптимизировать (например, минимизировать общую стоимость рациона).
4. Математическая формализация исходных данных, выбор метода и поиск решения. Выбирается подходящий математический метод (например, линейное программирование) и осуществляется расчет с использованием вычислительных средств.

Данный процесс неразрывно связан с дисциплиной Операционное исследование (ОИ). ОИ — это прикладная математическая наука, которая предоставляет методы и модели (включая ЛП, сетевое планирование, теорию очередей) для решения сложных задач управления, особенно в условиях ограниченных ресурсов и необходимости выбора наилучшего варианта действий. Именно инструментарий Операционного исследования позволяет перейти от теоретической постановки задачи к нахождению единственного оптимального решения, что критически важно для получения реальной экономической выгоды.

Линейное программирование как ключевой аппарат решения оптимизационных задач в АПК

Общая и каноническая формы задачи линейного программирования

Выбор метода линейного программирования (ЛП) для задачи оптимизации рациона обусловлен тем, что как целевая функция (стоимость), так и все ограничения (питательность, объем) могут быть выражены линейными зависимостями.

Общая формулировка задачи линейного программирования (ЗЛП) заключается в нахождении вектора переменных $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$, который обеспечивает экстремум (минимум или максимум) линейной целевой функции $Z$:

Z(x) = Σⁿᵢ₌₁ cᵢxᵢ → extr

При условии соблюдения системы линейных ограничений:

Σⁿᵢ₌₁ aᵢⱼxᵢ (≤, =, ≥) bⱼ, для j = 1, 2, …, m

и ограничений неотрицательности:

xᵢ ≥ 0, для i = 1, 2, …, n

Где $c_i$ — коэффициенты целевой функции (в нашем случае, цены кормов), $a_{ij}$ — технологические коэффициенты (питательность кормов), $b_j$ — правые части ограничений (зоотехнические нормы). Для применения универсальных вычислительных алгоритмов, таких как симплекс-метод, ЗЛП необходимо привести к канонической форме, которая требует, чтобы все ограничения были представлены в виде строгих равенств, а все переменные были неотрицательны ($x_i \geq 0$).

Переход к канонической форме осуществляется путем добавления к левой части неравенств (≤) **дополнительных** (базисных) переменных $x_{n+j} \geq 0$ (переменных Slack) или вычитания из левой части неравенств (≥) **избыточных** переменных $x_{n+j} \geq 0$ (переменных Surplus). Эти переменные отражают неиспользованный запас ресурса или избыток питательного вещества.

Например, ограничение $\sum_{i=1}^{n} a_{ij} x_i \geq D_j$ (содержание питательного вещества не меньше нормы) в канонической форме примет вид:

Σⁿᵢ₌₁ aᵢⱼxᵢ - xₙ₊ⱼ = Dⱼ, xₙ₊ⱼ ≥ 0

Симплекс-метод и обоснование масштаба задачи

Симплекс-метод является наиболее универсальным и эффективным алгоритмом решения задач линейного программирования. Его основой является последовательный итерационный переход от одного базисного допустимого решения (вершины многогранника решений) к другому, при котором значение целевой функции улучшается. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное решение. Алгоритм Симплекс-метода, несмотря на его теоретическую простоту, при ручном расчете становится крайне трудоемким даже для небольших задач (например, с 5 переменными и 3 ограничениями).

Для реальной задачи оптимизации суточного рациона в крупном животноводческом хозяйстве наблюдается следующий масштаб:

• Число переменных (N): Количество видов кормов (сено, силос, жмых, концентраты, премиксы) легко достигает 10–15 и более.
• Число ограничений (M): Количество нормируемых питательных веществ (энергия, сухое вещество, протеин, клетчатка, кальций, фосфор, лизин, метионин, витамины и т.д.) составляет 20–30 и более.

Решение задачи с такими параметрами ($15 \times 30$) абсолютно невозможно без применения ЭВМ. Именно огромный масштаб и сложность взаимосвязей между переменными и ограничениями служат главным обоснованием необходимости использования экономико-математического моделирования и компьютерного поиска решения (например, с помощью надстроек в MS Excel или специализированных программ). Но не стоит ли задуматься, какие именно критические факторы мы упускаем, когда пытаемся решить эту комплексную задачу без точного математического аппарата?

Разработка детализированной экономико-математической модели оптимизации суточного рациона

Задача составления оптимального рациона кормления — это классическая задача минимизации затрат, при которой необходимо обеспечить минимальную стоимость рациона, полностью удовлетворяющего биологические и зоотехнические потребности животного.

Целевая функция и основные экономические переменные

Целевая функция модели представляет собой минимизацию суммарной стоимости суточного рациона.

Переменные модели:

• $x_i$: Искомое количество $i$-го вида корма в рационе (кг).
• $c_i$: Себестоимость (цена приобретения) 1 кг $i$-го вида корма (руб./кг).

Целевая функция (Z) — минимизация стоимости:

Z(x) = Σⁿᵢ₌₁ cᵢxᵢ → min

Где $n$ — общее количество видов кормов, доступных для включения в рацион.

Ограничения по питательным веществам (биологическая адекватность)

Основной блок ограничений обеспечивает биологическую полноценность рациона. Содержание каждого $j$-го питательного вещества в суммарном рационе должно быть не меньше (или в некоторых случаях, не больше) установленной зоотехнической нормы ($D_j$).

Биологические ограничения:

Σⁿᵢ₌₁ aᵢⱼxᵢ ≥ Dⱼ, для j = 1, 2, …, m

Где:

• $m$: Количество нормируемых питательных веществ (например, обменная энергия, сырой протеин, кальций).
• $a_{ij}$: Содержание $j$-го питательного вещества в 1 кг $i$-го вида корма.
• $D_j$: Суточная потребность животного в $j$-м питательном веществе (зоотехническая норма, зависящая от живой массы и продуктивности).

Для некоторых веществ, например, сырой клетчатки или некоторых минералов, могут быть установлены ограничения по максимуму, что выражается как: $\sum_{i=1}^{n} a_{ij} x_i \leq D^{\text{max}}_j$.

Учет лимитирующих аминокислот: Повышение адекватности модели

Современная зоотехническая наука требует, чтобы рационы для высокопродуктивных животных (например, молочных коров с удоем 8000–10000 кг молока в год) нормировались не только по общему протеину, но и по лимитирующим (незаменимым) аминокислотам. Их недостаток ограничивает синтез молочного белка, что напрямую влияет на продуктивность и качество молока. Ключевыми лимитирующими аминокислотами для крупного рогатого скота (КРС) являются Лизин и Метионин. Чтобы модель была адекватной, необходимо ввести ограничения, основанные на их процентном содержании относительно общего количества протеина или энергии в рационе. Ведь если мы игнорируем эти микроэлементы, мы можем получить дешевый рацион, который, тем не менее, не позволит животному реализовать свой генетический потенциал продуктивности, итоговый результат будет отрицательным.

Например, для обеспечения высокой продуктивности, нормативы устанавливают, что содержание Лизина должно составлять **6–8%**, а Метионина — **1–2%** от общего количества протеина в сухом веществе рациона.

Формализация ограничения по Лизину (L):

Σⁿᵢ₌₁ aᵢ,ₗ xᵢ ≥ αₗ ⋅ Σⁿᵢ₌₁ aᵢ,ₚ xᵢ

Где:

• $a_{i, \text{L}}$: Содержание Лизина в 1 кг $i$-го корма.
• $a_{i, \text{P}}$: Содержание протеина в 1 кг $i$-го корма.
• $\alpha_{\text{L}}$: Минимально допустимая доля Лизина относительно протеина (например, 0.06).

Это ограничение гарантирует, что даже при минимально допустимом уровне общего протеина, соотношение лимитирующих аминокислот будет соблюдено.

Структурные и зоотехнические ограничения

Помимо питательности, модель должна учитывать технологические и физиологические ограничения, связанные с процессом пищеварения животного. Это обязательные структурные ограничения, без которых рацион не будет практически применим.

1. Ограничения на минимальное/максимальное включение отдельных кормов:

Некоторые корма (например, премиксы, добавки) должны быть включены в строго определенном объеме, тогда как другие (например, грубые корма) не могут превышать определенную долю рациона.
xᵢᵐⁱⁿ ≤ xᵢ ≤ xᵢᵐᵃˣ

Где $x_i^{\text{min}}$ и $x_i^{\text{max}}$ — минимально и максимально допустимые границы включения $i$-го корма (кг).

2. Ограничение по доле концентратов (КЛЮЧЕВОЕ СТРУКТУРНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ):

Критически важное ограничение для жвачных животных. Чрезмерное количество концентрированных кормов (зерно, комбикорма) в рационе приводит к резкому снижению pH рубца и развитию ацидоза, что влечет за собой снижение аппетита, падение продуктивности и болезни. Для высокопродуктивных молочных коров максимально допустимая доля концентрированных кормов в сухом веществе рациона, как правило, не должна превышать 40%.

Если $I_{\text{конц}}$ — множество индексов концентрированных кормов, а $a_{i, \text{СВ}}$ — содержание сухого вещества в $i$-м корме, то ограничение выглядит так:

Σᵢ∈ᵢꓚ xᵢ ⋅ aᵢ,ₛᵥ ≤ 0.40 ⋅ Σⁿᵢ₌₁ xᵢ ⋅ aᵢ,ₛᵥ

И, наконец, обязательные ограничения неотрицательности:

xᵢ ≥ 0, для i = 1, 2, …, n

Практическая реализация и оценка экономического эффекта от внедрения модели

Исходные данные и алгоритм компьютерного решения

Практическая реализация моделирования начинается со сбора и структурирования исходных данных, которые подразделяются на три группы:

Группа данных	Параметры	Источник
Экономические	Себестоимость каждого вида корма ($c_i$)	Бухгалтерские данные предприятия (закупочные цены, затраты на производство).
Биологические (Питательность)	Содержание питательных веществ ($a_{ij}$)	Справочники по питательности кормов, результаты лабораторного анализа кормов.
Зоотехнические (Нормы)	Суточная потребность животного ($D_j$)	Официальные зоотехнические нормы и стандарты кормления (например, для коровы с живой массой 650 кг и суточным удоем 30 л).

На основе этих данных формируется матрица ограничений $A = [a_{ij}]$, вектор цен $C = [c_i]$ и вектор норм $D = [D_j]$. Поиск оптимального решения $X_{\text{опт}}$ (вектора количеств кормов $x_i$) осуществляется с помощью компьютерных программ. В учебных целях часто используется надстройка «Поиск решения» (Solver) в MS Excel, которая основана на итерационных алгоритмах, эквивалентных Симплекс-методу или его модификациям.

Алгоритм решения в компьютерной среде:

1. Ввод исходных данных в табличную форму (питательность $a_{ij}$, цены $c_i$).
2. Создание ячеек для искомых переменных ($x_i$).
3. Формирование ячейки целевой функции $Z(x)$ (используя функцию СУММПРОИЗВ).
4. Формирование ячеек левых частей ограничений $\sum a_{ij} x_i$.
5. Запуск «Поиска решения», указание целевой функции (минимизация), изменяемых ячеек ($x_i$) и добавление всех ограничений (биологических, структурных и неотрицательности).
6. Получение оптимального плана рациона $X_{\text{опт}}$ и минимальной стоимости $Z_{\text{опт}}$.

Расчет и анализ экономического эффекта

Главный экономический результат внедрения оптимизационного моделирования — это снижение затрат на корма без ущерба для продуктивности и здоровья животных. Расчет экономического эффекта (E) проводится путем сопоставления стоимости фактически применяемого рациона ($Z_{\text{факт}}$) со стоимостью оптимального рациона ($Z_{\text{опт}}$), полученного в результате решения ЗЛП:

E = Zфакт - Zопт

Экономический эффект $E$ показывает абсолютную экономию средств на кормление одной головы в сутки (или в год). Если эффект положителен ($E > 0$), это означает, что модель позволила снизить расходы. Поскольку корма составляют **50–75%** себестоимости, даже небольшое процентное снижение стоимости рациона приводит к существенному росту рентабельности. Внедрение научно обоснованных и оптимизированных рационов, особенно с использованием технологий точного кормления, позволяет крупным предприятиям достичь экономии кормов на уровне **10–15%**.

Пример (Гипотетический расчет):

Предположим, фактический рацион на предприятии стоит 250 руб./гол. в сутки, а оптимальный рацион, рассчитанный с помощью ЭММ, стоит 215 руб./гол. в сутки. Экономический эффект составит: $E = 250 \text{ руб.} — 215 \text{ руб.} = 35 \text{ руб./гол. в сутки}$.

Если в стаде 1000 голов, годовая экономия составит: $35 \times 1000 \times 365 = 12 775 000$ рублей.

Такой значительный экономический эффект подтверждает высокую практическую ценность экономико-математического моделирования и операционного исследования в управлении сельскохозяйственным производством.

Заключение

Экономико-математическое моделирование, базирующееся на методах линейного программирования, является незаменимым инструментом для повышения эффективности сельскохозяйственного производства, в частности, в решении задачи оптимизации суточного рациона кормления.

Проведенный теоретический анализ и детализированная формализация задачи показали:

1. Подтверждение применимости ЛП: Задача минимизации затрат на кормление при соблюдении зоотехнических норм идеально соответствует структуре задачи линейного программирования. Масштаб реальной задачи (10–15 переменных и 20–30 ограничений) делает применение компьютерного ЭММ, основанного на Симплекс-методе, единственно возможным способом нахождения истинно оптимального решения.
2. Значимость детализированной зоотехнической формализации: Для обеспечения адекватности модели в условиях высокопродуктивного животноводства критически важно включать не только общие показатели (энергия, протеин), но и современные, высокоуровневые ограничения. В частности, учет **лимитирующих аминокислот** (Лизин и Метионин) и строгих **структурных ограничений** (например, максимальная доля концентратов) повышает биологическую адекватность модели и предотвращает негативные последствия для здоровья животных.
3. Достижимость существенного экономического эффекта: Практическое внедрение результатов оптимизационного моделирования позволяет предприятиям достичь существенного снижения себестоимости продукции. За счет устранения перерасхода и несбалансированности кормов, экономия может составлять **10–15%** от общего кормового бюджета, что является ключевым фактором повышения общей рентабельности животноводства.

Таким образом, экономико-математическое моделирование выступает не просто как теоретический аппарат, а как мощный практический инструмент, способный трансформировать процесс принятия решений в АПК, переводя его на научно обоснованную и экономически оптимальную основу.

Список использованной литературы

1. Агальцов, В.П., Волдайская, И.В. Математические методы в программировании: Учебник. М.: ИД ФОРУМ, 2013. 240 c.
2. Балдин, К.В., Башлыков, В.Н., Рукосуев, А.В. Математические методы и модели в экономике: Учебник. М.: Флинта, МПСИ, 2012. 328 c.
3. Белолипецкий, А.А. Экономико-математические методы: Учебник для студ. высш. учеб. заведений. М.: ИЦ Академия, 2010. 368 c.
4. Бродецкий, Г.Л. Экономико-математические методы и модели в логистике: потоки событий и систем обслуживания: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования. М.: ИЦ Академия, 2011. 272 c.
5. Бродецкий, Г.Л. Экономико-математические методы и модели в логистике: процедуры оптимизации: Учебник для студентов учреждений высшего профессионального образования. М.: ИЦ Академия, 2012. 288 c.
6. Гармаш, А.Н., Орлова, И.В. Математические методы в управлении: Учебное пособие. М.: Вузовский учебник, НИЦ ИНФРА-М, 2013. 272 c.
7. Грицюк, С.Н., Мирзоев, Е.В., Лысенко, В.В. Математические методы и модели в экономике: Учебник. Ростов н/Д: Феникс, 2007. 348 c.
8. Гупал, В.М. Математические методы анализа и распознавания генетической информации: Монография. М.: ИЦ РИОР, НИЦ ИНФРА-М, 2012. 154 c.
9. Гуц, А.К., Фролова, Ю.В. Математические методы в социологии. М.: ЛИБРОКОМ, URSS, 2012. 210 c.
10. Ермолаев-Томин, О.Ю. Математические методы в психологии: Учебник для бакалавров. М.: Юрайт, 2013. 511 c.
11. Курбатов, В.И., Угольницкий, Г.А. Математические методы социальных технологий: Учебное пособие. М.: Вуз. книга, 2011. 256 c.
12. Маркин, Ю.П. Математические методы и модели в экономике: Учебное пособие. М.: Высш. шк., 2007. 422 c.
13. Наследов, А.Д. Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных: Учебное пособие. СПб.: Речь, 2012. 392 c.
14. Орлова, И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. М.: Вузовский учебник, НИЦ ИНФРА-М, 2013. 389 c.
15. Орлова, И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебник для бакалавров. М.: Юрайт, 2013. 328 c.
16. Партыка, Т.Л., Попов, И.И. Математические методы: Учебник. М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. 464 c.
17. Кушнер, М.С. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие. Минск: БНТУ, 2020. URL: https://e-lib.bntu.by/file/kushner_emm_2020.pdf (дата обращения: 31.10.2025).
18. Нормы и рационы кормления коров. URL: https://gcagro.by/sovety-po-menedzhmentu/normy-i-raciony-kormleniya-korov (дата обращения: 31.10.2025).
19. Решение задачи расчета сбалансированного рациона кормления КРС методом линейного программирования. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/reshenie-zadachi-rascheta-sbalansirovannogo-ratsiona-kormleniya-krs-metodom-lineynogo-programmirovaniya (дата обращения: 31.10.2025).
20. Экономико-математическая модель оптимизации, Постановка задачи — Оптимизация суточного рациона кормления в стойловый период СПК «Единство». URL: https://studbooks.net/1458998/ekonomika/ekonomiko_matematicheskaya_model_optimizatsii_postanovka_zadachi (дата обращения: 31.10.2025).
21. Решение симплекс методом задачи ЛП: пример и алгоритм. URL: https://kpfu.ru/portal/docs/F1481105943/lek.4.pdf (дата обращения: 31.10.2025).
22. Каноническая задача линейного программирования. URL: https://cyclowiki.org/wiki/Каноническая_задача_линейного_программирования (дата обращения: 31.10.2025).
23. Задача о составлении оптимального рациона (на минимизацию). URL: https://studfile.net/preview/4412030/page:19/ (дата обращения: 31.10.2025).
24. Каноническая форма ЗЛП. URL: https://semestr.ru/red/lzlp.php (дата обращения: 31.10.2025).
25. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Основы и примеры. URL: https://matburo.ru/tv_sub.php?p=sm (дата обращения: 31.10.2025).
26. Математическая модель балансирования рационов кормления. URL: https://rep.bsatu.by/handle/doc/316 (дата обращения: 31.10.2025).
27. Экономико-математическое моделирование. URL: https://www.booksite.ru/fulltext/ekono_model/index.htm (дата обращения: 31.10.2025).
28. Понятие и классификация экономико-математических моделей. URL: https://studfile.net/preview/4412030/page:6/ (дата обращения: 31.10.2025).
29. Линейное программирование: Симплекс-метод и двойственность. URL: https://dep_vpm.pnzgu.ru/files/dep_vpm.pnzgu.ru/lin_prog_bolotnikova.pdf (дата обращения: 31.10.2025).
30. Составление рациона для кормления коров. URL: https://cap.ru/home/1359/info/krs/soctavlenie-racona.htm (дата обращения: 31.10.2025).
31. Применение оптимизационных алгоритмов в решении задач комбикормового рациона кормления животных. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-optimizatsionnyh-algoritmov-v-reshenii-zadach-kombikormovogo-ratsiona-kormleniya-zhivotnyh (дата обращения: 31.10.2025).
32. Методические рекомендации практической работы по теме «Составление рациона для дойных коров. URL: https://bgt-borskoe.ru/attachments/article/195/Metodicheskie-rekomendatsii-po-vypolneniyu-prakticheskoy-raboty-po-teme-Sostavlenie-ratsiona-dlya-doynykh-korov.pdf (дата обращения: 31.10.2025).
33. Организация полноценного кормления дойного стада с продуктивностью 7-10 тысяч кг молока в год. URL: https://feedconsult.ru/blog/organizatsiya-polnotsennogo-kormleniya-doynogo-stada-s-produktivnostyu-7-10-tysyach-kg-moloka-v-god (дата обращения: 31.10.2025).
34. Как составить рацион для коров. URL: https://schaumann.ru/uspech-v-chlevu/krs/kak-sostavit-racion-dlya-korov (дата обращения: 31.10.2025).
35. Экономико-математическая задача по оптимизации рационов кормления контрольная 2010 по экономико-математическому моделированию. URL: https://www.docsity.com/ru/ekonomiko-matematicheskaya-zadacha-po-optimizatsii-ratsonov-kormleniya-kontrolnaya-2010-po-ekonomiko-matematicheskomu-modelirovaniyu/1446845/ (дата обращения: 31.10.2025).
36. Оптимизация рациона кормления как фактор повышения эффективности производства мяса КРС. URL: https://jpra-kazniiapk.kz/storage/30/2020/n2_2020/12-2020.pdf (дата обращения: 31.10.2025).