Анализ неопределенности и риска в рыночной экономике: Теория полезности М. Фридмана и Л. Сэвиджа

Современная рыночная экономика — это динамичная среда, где каждый день принимаются тысячи решений, от инвестиций транснациональных корпораций до выбора потребителями повседневных товаров. Однако эти решения редко принимаются в условиях полной определенности. Напротив, неопределенность и риск пронизывают каждый аспект экономической деятельности, формируя ландшафт возможностей и угроз, а потому понимание того, как экономические субъекты ориентируются в этом сложном мире, является одной из центральных задач экономической науки.

Актуальность проблемы принятия решений в условиях неопределенности и риска для современной рыночной экономики трудно переоценить. Финансовые кризисы, технологические прорывы, геополитические сдвиги — все это создает волатильность и требует от агентов способности оценивать вероятности и последствия, а также адаптировать свои стратегии. В этом контексте, теории, объясняющие выбор в условиях риска, приобретают особую ценность.

Настоящая работа ставит своей целью глубокое исследование концепций неопределенности и риска, с особым акцентом на теорию полезности, разработанную выдающимися экономистами Милтоном Фридманом и Леонардом Сэвиджем. Мы рассмотрим, как их модель, предложенная в середине XX века, помогает объяснить, казалось бы, противоречивые аспекты человеческого поведения – одновременное участие в страховании и азартных играх. Задачи работы включают: раскрытие сущности и различий между риском и неопределенностью; прослеживание эволюции экономических теорий принятия решений в условиях риска; детальный анализ модели Фридмана-Сэвиджа; изучение факторов, влияющих на форму функции полезности; критическую оценку эмпирических подтверждений и ограничений модели; а также сравнительный анализ с альтернативными подходами, в частности с теорией перспектив Канемана-Тверски. Структура исследования направлена на последовательное и исчерпывающее раскрытие этих аспектов, предоставляя комплексный аналитический материал для углубленного понимания данной проблематики.

Сущность экономического риска и неопределенности: Фундаментальные понятия и различия

В мире, где завтрашний день никогда не является точной копией сегодняшнего, категории риска и неопределенности выступают краеугольными камнями экономического анализа. Хотя эти термины часто используются взаимозаменяемо в обыденной речи, в экономической теории они имеют строгое и принципиальное различие, которое определил еще Фрэнк Найт в начале XX века, и понимание этой тонкой грани критически важно для построения адекватных моделей экономического поведения.

Определение и природа экономического риска

Экономический риск — это не просто возможность негативного исхода, а, скорее, вероятность отклонений от ожидаемого результата, которые могут быть как отрицательными (убытки, недополучение дохода), так и положительными (сверхприбыль, непредвиденные выгоды). Это возможность возникновения убытков или недополучения доходов по сравнению с прогнозируемым вариантом развития событий. Более широко, риск можно определить как возможность отклонения характеристик экономического состояния объекта от ожидаемых (альтернативных) значений. Таким образом, риск всегда сопряжен с измеряемой вероятностью.

Понятие риска базируется на трех одновременных условиях:

1. Наличие неопределенности.
2. Необходимость выбора альтернативы.
3. Возможность оценить вероятность осуществления выбираемых альтернатив.

Ключевой характеристикой риска является его измеряемость. Количественное измерение экономического риска может быть основано на различных методах, включая:

• Статистические методы: Используют данные о прошлых событиях для определения вероятностей и распределений. Например, расчет стандартного отклонения доходности актива для оценки его волатильности.
• Анализ чувствительности: Исследует, как изменения одного или нескольких входных параметров влияют на выходные параметры модели. Например, как изменение цены сырья повлияет на прибыль проекта.
• Анализ целесообразности затрат: Сравнивает потенциальные выгоды и затраты, связанные с принятием рискованного решения.
• Экспертная оценка: Применяется, когда статистические данные недостаточны или отсутствуют. Специалисты оценивают вероятности и последствия на основе своего опыта и знаний.
• Списки контроля (чек-листы): Позволяют систематизировать потенциальные риски и убедиться, что все значимые аспекты были учтены.
• Оценка рейтинга: Присвоение баллов или категорий различным рискам для их приоритизации.
• Метод аналогов: Применение опыта и данных из схожих проектов или ситуаций.

Например, при инвестировании в акции компании, риск заключается в вероятности снижения стоимости акций или получения меньших дивидендов, чем ожидалось. Эти вероятности могут быть оценены на основе исторических данных о котировках, финансовой отчетности компании и макроэкономических прогнозов.

Определение и природа экономической неопределенности

Экономическая неопределенность, в отличие от риска, означает ограниченность информации о вероятности наступления и возможных последствиях событий в будущем. Это неполное или неточное представление о значениях различных параметров, порождаемое, прежде всего, неполнотой или неточностью информации об условиях реализации решения, связанных с затратами и результатами. Неопределенность — это более широкое и фундаментальное свойство мира, характеризующееся неустойчивостью, изменчивостью и непредсказуемостью будущего.

Основными причинами неопределенности являются:

• Незнание: Отсутствие полной информации о состоянии внешней среды или будущих событиях.
• Случайность: События, которые невозможно предсказать с достаточной точностью из-за их стохастической природы.
• Противодействие: Действия других экономических агентов, чьи цели могут противоречить нашим, и чьи стратегии не всегда предсказуемы.

Кроме того, причинами экономической неопределенности могут выступать:

• Экономические события: Паника на финансовых рынках, шоки совокупного предложения (например, нефтяные шоки, неурожай, стихийные бедствия), которые резко меняют условия функционирования экономики.
• Политические события: Избирательные кампании, военные конфликты, изменения в законодательстве, торговые войны, способные существенно повлиять на экономическую конъюнктуру.
• Природные факторы: Климатические и погодные условия, стихийные бедствия, которые могут нарушить производственные циклы и цепочки поставок.
• Внешняя и внутренняя среда: Нестабильность глобальных рынков, изменения в предпочтениях потребителей, внутренние изменения в компании (например, смена руководства).
• Неполнота информации и недостаток знаний: Невозможность собрать всю необходимую информацию для принятия оптимального решения.
• Информационные и временные факторы: Устаревание информации, дефицит времени для ее обработки и анализа.
• Личностные качества лиц, принимающих решения: Субъективные предубеждения, уровень квалификации, склонность к риску или неприятие его.

Асимметрия информации, когда одна сторона сделки обладает большей или лучшей информацией, чем другая, также является фундаментальной причиной экономической неопределенности и риска, приводя к неоптимальному распределению товаров и ресурсов и значительным расходам.

Классификация неопределенности и ее влияние на экономические системы

Для более глубокого анализа экономисты классифицируют неопределенность по различным типам, что позволяет лучше понять ее источники и последствия:

• Неопределенность среды (1-го рода): Связана с состоянием внешней среды, которая влияет на объект исследования. Например, изменения макроэкономических показателей, технологические сдвиги, природные катаклизмы.
• Неопределенность принятия решений (2-го рода): Обусловлена процессами выбора альтернатив и формулирования стратегий самими экономическими субъектами. Например, неопределенность в отношении эффективности новой маркетинговой кампании.
• Неопределенность последствий решений (3-го рода): Возникает из-за невозможности точно предсказать результаты принятых решений. Например, как поведет себя рынок после вывода нового продукта.
• Вариационная неопределенность (4-го рода): Связана с изменением параметров и условий функционирования организационно-экономической системы, или, иначе, «правил игры», а также формированием новых квазиусловий и изменением институциональных нормоимператив. Это могут быть изменения в законодательстве, регуляторной политике, появление новых конкурентов или технологий, которые меняют саму структуру рынка.

Неопределенность является серьезным барьером на пути к эффективному рынку. Она приводит к значительным расходам – затратам сил, средств, времени и энергии, а также к неоптимальному распределению товаров и ресурсов. В условиях высокой неопределенности инвестиции могут сокращаться, потребители становятся более осторожными, а инновации замедляются, поскольку оценка потенциальных выгод и потерь становится чрезвычайно сложной.

Разграничение риска и неопределенности по Ф. Найту

Ключевым моментом в понимании различий между риском и неопределенностью стало введение Фрэнком Хейнеманом Найтом этих терминов в его фундаментальной работе «Риск, неопределенность и прибыль» (Risk, Uncertainty and Profit), опубликованной в 1921 году. Найт предложил различать измеримую (риск) и неизмеримую (неопределенность) неопределенность.

Основная идея Найта заключается в следующем:

• Риск: Это ситуация, когда мы можем определить вероятности наступления различных исходов. Распределение результатов в группе известно или может быть оценено. Например, при игре в рулетку мы точно знаем вероятность выпадения красного или черного. Мы можем количественно оценить вероятность достижения предполагаемого результата, неудачи либо отклонения от цели.
• Неопределенность: Это ситуация, когда мы не можем оценить вероятности наступления исходов. Распределение результатов неизвестно, и такая возможность отсутствует. Например, никто не может точно предсказать, когда наступит следующий глобальный финансовый кризис или какая именно технология станет доминирующей через десять лет. Это то, что не поддается оценке.

Таким образом, риск — это оцененная любым способом вероятность, а неопределенность — это то, что не поддается оценке. Наличие неопределенности в деятельности экономических систем, безусловно, обусловливает возникновение рисков, но не всякая неопределенность может быть сведена к риску. Именно это фундаментальное различие лежит в основе многих теорий принятия решений, формируя различные подходы к анализу поведения экономических субъектов.

Эволюция экономических теорий принятия решений в условиях риска и неопределенности

Путь к современному пониманию принятия решений в условиях риска и неопределенности был долог и извилист, отмеченный интеллектуальными прорывами и парадоксами, которые подталкивали экономистов к переосмыслению базовых предположений о человеческом поведении. От простых предположений о максимизации денежного выигрыша до сложных аксиоматических систем, эволюция этих теорий отражает стремление экономической мысли к более точному и полному описанию реальности. Почему же столь долгое время потребовалось для признания нелинейности человеческих предпочтений?

Ранние подходы: Санкт-Петербургский парадокс и Д. Бернулли

История формального анализа выбора в условиях риска часто начинается с XVIII века, когда математик и экономист Даниил Бернулли столкнулся с так называемым Санкт-Петербургским парадоксом. Этот парадокс, впервые описанный в статье «Опыт новой теории измерения риска» (Specimen theoriae novae de mensura sortis), опубликованной в 1738 году, продемонстрировал явное несоответствие между ожидаемым денежным выигрышем и готовностью людей рисковать.

Представим следующую игру: подбрасывается монета до тех пор, пока не выпадет орел. Если орел выпадает на первом броске, игрок получает 2¹ = 2 дуката. Если на втором — 2² = 4 дуката, на третьем — 2³ = 8 дукатов и так далее. Теоретически, ожидаемый выигрыш (математическое ожидание) в этой игре бесконечен:

E = (1/2) * 2 + (1/4) * 4 + (1/8) * 8 + ... = 1 + 1 + 1 + ... = ∞

Однако практически никто не готов платить бесконечную сумму за участие в такой игре, и даже несколько десятков дукатов кажутся чрезмерной платой. Этот парадокс ярко высветил, что люди не всегда максимизируют ожидаемый денежный выигрыш.

Бернулли предложил гениальное решение: индивид руководствуется оптимизацией не ожидаемого выигрыша, а ожидаемой полезности (expected utility). Он предположил, что полезность денег не является линейной функцией от их количества. Напротив, он утверждал, что предельная полезность денег убывает по мере увеличения богатства. Иными словами, дополнительный дукат имеет гораздо большую ценность для бедного человека, чем для богатого. Если функция полезности имеет логарифмический вид, например, U(x) = ln(x) (или, в некоторых источниках, U(x) = x^α, где 0 < α < 1), то ожидаемая полезность игры становится конечной, и парадокс разрешается.

Понятие полезности, введенное Бернулли, и его утверждение об обратной зависимости между степенью удовлетворенности приращением богатства и объемом наличного богатства оказали весомое влияние на работы последующих экономистов, заложив основу для всей современной теории ожидаемой полезности.

Формирование современной теории ожидаемой полезности: Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн

Настоящий прорыв в развитии теории ожидаемой полезности произошел в середине XX века благодаря работам выдающихся математика Джона фон Неймана и экономиста Оскара Моргенштерна. В своей книге «Теория игр и экономическое поведение» (The Theory of Games and Economic Behavior), первое издание которой вышло в 1944 году, а второе, содержащее детальное описание теории ожидаемой полезности, в 1947 году, они представили аксиоматическую основу для этой концепции.

Идея фон Неймана и Моргенштерна заключалась в том, что любое решение, принимаемое индивидом в условиях неопределенности, продиктовано стремлением максимизировать ожидаемую полезность. Они показали, что если предпочтения индивида удовлетворяют нескольким рациональным аксиомам, то существует функция полезности, такая что индивид выбирает ту рисковую перспективу (лотерею), ожидаемая полезность которой максимальна.

Суть их подхода в том, что они смогли вывести численную полезность, ожидаемое значение которой максимизируется в выборе среди альтернатив, предполагающих риск. Эта концепция стала универсальным инструментом неоклассической микроэкономики для ситуаций неопределенности. В отличие от более ранних моделей, которые фокусировались преимущественно на денежных выигрышах, теория фон Неймана-Моргенштерна применима к исходам любого рода, где денежные выигрыши являются лишь частным случаем. Она обеспечила строгое математическое обоснование для использования ожидаемой полезности в анализе принятия решений, превратив ее из интуитивного понятия в полноценный аналитический инструмент.

Важно отметить, что Джон фон Нейман также считается создателем теории стратегических игр, что подчеркивает его роль в развитии формальных методов анализа экономического поведения в условиях взаимодействия и неопределенности.

Аксиоматика теории ожидаемой полезности

Теория ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна строится на наборе аксиом, которые описывают рациональное поведение индивида при выборе между рисковыми перспективами (так называемыми «лотереями», представляющими собой произведения векторов исходов и вероятностей наступления каждого из них). Если предпочтения индивида удовлетворяют этим аксиомам, то его поведение может быть описано функцией полезности, максимизирующей ожидаемую полезность.

Основные аксиомы теории ожидаемой полезности:

1. Аксиома полноты (сравнимости): Для любых двух альтернативных рисковых перспектив (лотерей) A и B, индивид может определить, какая из них предпочтительнее (A ≻ B или B ≻ A) или они безразличны (A ~ B). То есть, индивид всегда может сравнить любые два исхода или лотереи.
2. Аксиома транзитивности (состоятельности): Если индивид предпочитает лотерею A лотерее B (A ≻ B), и лотерею B лотерее C (B ≻ C), то он также должен предпочитать лотерею A лотерее C (A ≻ C). Аналогично, если A ~ B и B ~ C, то A ~ C. Эта аксиома обеспечивает логическую последовательность предпочтений.
3. Аксиома непрерывности: Если лотерея A предпочтительнее B (A ≻ B), а B предпочтительнее C (B ≻ C), то существует такая вероятность p ∈ (0, 1), при которой индивид будет безразличен между лотереей B и лотереей, которая предлагает A с вероятностью p и C с вероятностью (1-p). То есть, B ~ [pA + (1-p)C]. Эта аксиома гарантирует, что незначительные изменения в вероятностях не вызывают резких скачков в предпочтениях.
4. Аксиома независимости (заменяемости): Если индивид безразличен между лотереями A и B (A ~ B), то он также безразличен между лотереями, которые получаются путем замены A на B в более сложной лотерее. То есть, если A ~ B, то для любой лотереи C и любой вероятности p ∈ (0, 1) должно быть: [pA + (1-p)C] ~ [pB + (1-p)C]. Эта аксиома подразумевает, что добавление общего элемента к двум лотереям не должно изменять относительные предпочтения между ними.

Соблюдение этих аксиом позволяет построить функцию полезности U(x), такую что ожидаемая полезность лотереи L = [p₁x₁, p₂x₂, …, p_nx_n] (где x_i — исходы, p_i — их вероятности) может быть рассчитана как:

E[U(L)] = Σi=1n piU(xi).

Индивид, действующий рационально, будет выбирать лотерею, которая максимизирует это значение. Теория ожидаемой полезности не только имеет нормативное применение (рекомендуя ориентироваться на вариант с максимальной ожидаемой полезностью), но и является более операциональной и поддается эмпирической проверке, чем гипотеза максимизации полезности в условиях определенности.

Теория полезности М. Фридмана и Л. Сэвиджа: Объяснение выбора в условиях риска

Теория ожидаемой полезности, разработанная фон Нейманом и Моргенштерном, стала мощным инструментом для анализа рационального выбора в условиях риска. Однако реальное экономическое поведение часто демонстрировало, казалось бы, противоречивые паттерны. Люди покупают страховые полисы, чтобы избежать потерь, но в то же время участвуют в лотереях и азартных играх, где шансы на выигрыш крайне малы. Именно это наблюдение стало отправной точкой для работы Милтона Фридмана и Леонарда Сэвиджа, которые в 1948 году предложили свою модель, чтобы разрешить этот парадокс.

Предпосылки и основные положения модели Фридмана-Сэвиджа

В своей знаменитой статье «The Utility Analysis of Choices Involving Risk» (1948 год) Фридман и Сэвидж предложили объяснение феномена, когда один и тот же индивид одновременно проявляет неприятие к риску (покупая страховку) и склонность к риску (участвуя в лотереях). Их центральная идея заключалась в том, что функция полезности индивида может иметь неоднозначную, немонотонную форму, которая отражает изменение отношения к риску в зависимости от уровня богатства.

Классическая теория ожидаемой полезности с вогнутой функцией полезности объясняет только неприятие риска. Вогнутая функция полезности означает, что предельная полезность богатства убывает, и индивид предпочтет гарантированный доход с тем же ожидаемым значением, что и рискованная лотерея. Однако такая функция не может объяснить, почему люди играют в азартные игры, где ожидаемый выигрыш часто отрицателен (то есть, ожидаемая полезность ниже, чем полезность гарантированной потери).

Фридман и Сэвидж предположили, что функция полезности может быть выпуклой на одних участках (где люди проявляют склонность к риску) и вогнутой на других (где они проявляют неприятие риска). Эта модель позволила разделить людей на два основных типа: склонных к риску (тех, кто участвует в лотереях, азартных играх, рискованных инвестициях) и испытывающих неприятие к риску (тех, кто покупает страховку).

Форма функции полезности по Фридману-Сэвиджу

Для объяснения одновременного существования страхования и азартных игр, Фридман и Сэвидж предложили, что функция полезности индивида не является строго вогнутой или строго выпуклой по всему диапазону богатства. Вместо этого, они предположили S-образную (или «перевернутую S-образную») форму функции полезности.

graph TD
    A[Уровень богатства (W)]
    B[Полезность (U(W))]

    subgraph U(W) - Функция полезности
        C{Неприятие риска} --- D{Склонность к риску} --- E{Неприятие риска}
    end

    style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style C fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style D fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style E fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;

    B --- A
    C --- B

• На участке низкого богатства (начальный уровень W₀): Функция полезности U(W) является вогнутой. Это означает, что предельная полезность богатства убывает, и индивид проявляет неприятие к риску. Именно на этом участке люди готовы платить за страховку, чтобы избежать больших потерь, которые могли бы существенно снизить их уровень благосостояния. Например, владелец дома с небольшим доходом охотно купит страховку от пожара.
• На участке среднего богатства (W₁ до W₂): Функция полезности U(W) становится выпуклой. В этой области предельная полезность богатства растет, и индивид проявляет склонность к риску. Это объясняет, почему люди с относительно средним уровнем дохода, стремясь к значительному увеличению своего богатства, участвуют в азартных играх или покупают лотерейные билеты, несмотря на неблагоприятные ожидаемые выигрыши. Риск небольших, но потенциально крупных выигрышей становится привлекательным.
• На участке высокого богатства (свыше W₂): Функция полезности снова становится вогнутой. Люди с очень большим богатством вновь начинают проявлять неприятие к риску, стараясь сохранить свое состояние и избегая неоправданных потерь.

Математическое представление:

Хотя Фридман и Сэвидж не предложили конкретной универсальной аналитической формы для такой функции, концептуально она может быть представлена как кусочно-определенная функция или функция, меняющая свою выпуклость. Например, это может быть комбинация степенных и логарифмических функций, или более сложные полиномиальные выражения. Важно, что U»(W) (вторая производная полезности по богатству) меняет свой знак:

• Если U»(W) < 0, функция вогнутая (неприятие риска).
• Если U»(W) > 0, функция выпуклая (склонность к риску).
• Если U»(W) = 0, функция линейная (нейтральность к риску).

Модель предполагает, что для индивида существует некоторая «точка перегиба» или «область дохода», где его отношение к риску меняется. Это объясняет, почему один и тот же человек может покупать страховку (неприятие риска) и играть в лотерею (склонность к риску), если страховка защищает от больших потерь, ведущих к низкому уровню богатства, а лотерея предлагает шанс на значительное увеличение богатства со среднего уровня. В чем же заключается практическая ценность такого понимания?

Практическое применение: Страхование, инвестиции и азартные игры через призму Фридмана-Сэвиджа

Модель Фридмана-Сэвиджа предлагает мощный объяснительный каркас для ряда экономических явлений:

• Страхование: Люди с относительно низким или средним уровнем богатства, стремящиеся избежать катастрофических потерь (например, от пожара, болезни, угона автомобиля), готовы платить страховые премии, даже если ожидаемая стоимость страхования для них отрицательна (то есть, они платят больше, чем ожидают получить в виде выплат). Это объясняется вогнутостью функции полезности на участке низкого богатства, где потеря значительной части имущества вызывает несоразмерно большое падение полезности. Страхование стабилизирует их благосостояние, предотвращая падение в «зону глубокого неприятия риска».
• Инвестиции: Модель помогает объяснить, почему некоторые индивиды выбирают относительно консервативные инвестиционные стратегии (например, облигации, депозиты), в то время как другие предпочитают более рискованные активы (акции, венчурные инвестиции).
  • Неприятие риска: Инвесторы, находящиеся на вогнутом участке функции полезности, будут избегать высокорисковых инвестиций, предпочитая стабильность и сохранение капитала.
  • Склонность к риску: Инвесторы, находящиеся на выпуклом участке (например, начинающие предприниматели или молодые специалисты с относительно небольшим стартовым капиталом, но с высокими амбициями), могут быть готовы рисковать значительными суммами в надежде на экспоненциальный рост.
  • Фридман и Сэвидж предположили, что по мере роста богатства люди могут переходить от склонности к риску к неприятию риска.
• Азартные игры: Участие в лотереях и казино, где ожидаемый выигрыш, как правило, отрицателен, является прямым проявлением склонности к риску. Модель Фридмана-Сэвиджа объясняет это выпуклостью функции полезности на среднем участке богатства. Люди готовы рисковать небольшой суммой, чтобы получить шанс на очень крупный выигрыш, который может существенно изменить их жизнь, переместив их на гораздо более высокий уровень полезности. При этом, поскольку сумма ставки относительно невелика по сравнению с их текущим богатством, потеря этой суммы не вызывает такого же сильного падения полезности, как крупная потеря в зоне неприятия риска.

Разграничение: Теория полезности Фридмана-Сэвиджа vs. Критерий Сэвиджа

Важно провести четкое разграничение между теорией полезности Фридмана-Сэвиджа и так называемым Критерием Сэвиджа (также известным как критерий минимаксного сожаления). Несмотря на то, что оба концепта связаны с именем Леонарда Сэвиджа и принятием решений, они относятся к разным аспектам анализа.

Теория полезности Фридмана-Сэвиджа (разработанная М. Фридманом и Л. Сэвиджем в 1948 году) — это модель поведения в условиях риска, то есть когда вероятности исходов известны. Она объясняет, почему индивиды могут одновременно страховаться и участвовать в азартных играх, предлагая S-образную форму функции полезности, которая меняет свою выпуклость в зависимости от уровня богатства. Центральной идеей является максимизация ожидаемой полезности, где полезность зависит от итогового уровня богатства.

Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного сожаления) — это подход к принятию решений в условиях неопределенности, то есть когда вероятности исходов неизвестны. Этот критерий, предложенный Леонардом Сэвиджем независимо от работы с Фридманом, фокусируется на минимизации максимального «сожаления» (regret), которое может возникнуть после того, как исход станет известен. Сожаление определяется как разница между лучшим возможным исходом, который мог бы быть достигнут, если бы решение было принято с полным знанием будущего, и фактически полученным исходом.

Пример Критерия Сэвиджа:
Представим, что инвестор выбирает между тремя стратегиями (S₁, S₂, S₃) при трех возможных состояниях экономики (E₁, E₂, E₃), с неизвестными вероятностями. Матрица выигрышей (прибыли):

Состояние экономики	E1	E2	E3
Стратегия S1	100	50	20
Стратегия S2	80	90	10
Стратегия S3	60	70	40

Чтобы применить Критерий Сэвиджа, сначала нужно построить матрицу сожалений:

1. Для каждого состояния экономики найти максимальный выигрыш.
   • E₁: max = 100 (при S₁)
   • E₂: max = 90 (при S₂)
   • E₃: max = 40 (при S₃)
2. Вычесть каждый выигрыш из максимального выигрыша для соответствующего состояния, чтобы получить сожаление.

Матрица сожалений:

Состояние экономики	E1 (max=100)	E2 (max=90)	E3 (max=40)	Максимальное сожаление
Стратегия S1	100-100=0	90-50=40	40-20=20	40
Стратегия S2	100-80=20	90-90=0	40-10=30	30
Стратегия S3	100-60=40	90-70=20	40-40=0	40

Затем выбирается стратегия с минимальным максимальным сожалением. В данном случае это Стратегия S₂, с максимальным сожалением в 30.

Таким образом, если теория полезности Фридмана-Сэвиджа фокусируется на полезности итогового богатства и максимизации ожидаемой полезности при известных вероятностях, то Критерий Сэвиджа направлен на минимизацию потенциального сожаления при неизвестных вероятностях, представляя собой абсолютно иной подход к решению задач в условиях неопределенности.

Факторы, определяющие форму функции полезности индивида, и отношение к риску

Форма функции полезности индивида является не просто математической абстракцией, а отражением его глубинных предпочтений и психологии в отношении богатства и риска. Она не статична и может изменяться под воздействием различных факторов, таких как уровень начального богатства, ожидаемый доход, а также психологические и поведенческие особенности. Понимание этих факторов критически важно для анализа экономического поведения.

Типы отношения к риску: Неприятие, нейтральность и склонность к риску

Функция полезности U(W) (где W — богатство) является ключевым инструментом для графического и математического описания отношения индивида к риску. Различают три основных типа отношения к риску:

1. Неприятие риска (Risk Aversion):
   • Графическое представление: Функция полезности является вогнутой (выпуклой вверх). Это означает, что каждая дополнительная единица богатства приносит меньший прирост полезности, чем предыдущая (убывающая предельная полезность богатства).
   • Математически: U»(W) < 0 (вторая производная полезности по богатству отрицательна).
   • Поведение: Индивид с неприятием риска предпочтет гарантированный доход (или лотерею с гарантированным исходом) рискованной лотерее с тем же ожидаемым денежным значением. Он будет готов заплатить премию (например, страховую премию), чтобы избежать риска.
   • Пример: Человек с вогнутой функцией полезности предпочтет получить 1000 рублей гарантированно, нежели участвовать в лотерее, где с вероятностью 0.5 он получит 0 рублей, а с вероятностью 0.5 — 2000 рублей (ожидаемый выигрыш также 1000 рублей).
2. Нейтральность к риску (Risk Neutrality):
   • Графическое представление: Функция полезности является линейной. Предельная полезность богатства постоянна.
   • Математически: U»(W) = 0 (вторая производная полезности по богатству равна нулю).
   • Поведение: Индивид, нейтральный к риску, безразличен между гарантированным доходом и рискованной лотереей с тем же ожидаемым денежным значением. Он максимизирует ожидаемый денежный выигрыш.
   • Пример: Такой человек будет безразличен между 1000 рублями гарантированно и лотереей с ожидаемым выигрышем 1000 рублей.
3. Склонность к риску (Risk Seeking/Risk Loving):
   • Графическое представление: Функция полезности является выпуклой (вогнутой вверх). Это означает, что каждая дополнительная единица богатства приносит больший прирост полезности, чем предыдущая (растущая предельная полезность богатства).
   • Математически: U»(W) > 0 (вторая производная полезности по богатству положительна).
   • Поведение: Индивид со склонностью к риску предпочтет рискованную лотерею гарантированному доходу с тем же ожидаемым денежным значением. Он готов платить за возможность рисковать.
   • Пример: Человек со склонностью к риску предпочтет лотерею с ожидаемым выигрышем 1000 рублей гарантированной выплате в 1000 рублей.

Влияние богатства и дохода на функцию полезности

Уровень начального богатства индивида и его ожидаемый доход являются критически важными факторами, которые могут изменять форму функции полезности и, как следствие, его отношение к риску.

• Начальное богатство: Как показала модель Фридмана-Сэвиджа, отношение к риску не является абсолютным и может меняться в зависимости от текущего уровня богатства.
  • Низкое богатство: Индивиды с небольшим начальным богатством часто проявляют сильное неприятие к риску, особенно когда речь идет о значительных потерях, которые могут поставить под угрозу их базовые потребности. В этой зоне их функция полезности, как правило, вогнута.
  • Среднее богатство: По мере увеличения богатства, индивиды могут стать более склонными к риску, особенно если есть возможность значительно улучшить свое финансовое положение. В этой зоне функция полезности может стать выпуклой, объясняя участие в азартных играх.
  • Высокое богатство: Очень богатые люди, достигнув определенного уровня достатка, могут вновь проявлять неприятие к риску, стремясь сохранить свое накопленное состояние и избегая неоправданных потерь. Здесь функция полезности снова становится вогнутой.
• Ожидаемый доход: Ожидания относительно будущего дохода также влияют на восприятие риска.
  • Высокий ожидаемый доход: Если индивид ожидает значительного увеличения дохода в будущем, он может быть более склонен к риску в настоящем, так как потенциальные потери будут казаться менее значительными на фоне будущего роста благосостояния.
  • Низкий или нестабильный ожидаемый доход: Напротив, при низких или нестабильных ожиданиях дохода индивиды могут проявлять большее неприятие к риску, стремясь сохранить текущие ресурсы.

Таким образом, функция полезности не является неизменной характеристикой личности, а скорее динамически адаптируется к финансовому положению и перспективам индивида, что делает ее форму более сложной и контекстуально зависимой.

Психологические и поведенческие факторы

Помимо объективных финансовых условий, на форму функции полезности и отношение к риску влияют многочисленные психологические и поведенческие факторы, которые часто выходят за рамки классической рациональной модели.

• Когнитивные искажения: Люди подвержены систематическим ошибкам в суждениях, которые могут влиять на их восприятие вероятностей и последствий. Например:
  • Эвристика доступности: Люди переоценивают вероятность событий, которые легко приходят на ум (например, из-за недавних новостей), и недооценивают другие, более распространенные риски.
  • Эвристика репрезентативности: Люди судят о вероятности события на основе того, насколько оно похоже на типичный образец, игнорируя базовые вероятности.
  • Искажение подтверждения: Люди склонны искать и интерпретировать информацию, которая подтверждает их существующие убеждения, игнорируя противоречащие данные.
  • Эффект фрейминга (формулировки): Способ представления информации (как выигрыш или как потеря) может существенно влиять на принятие решений, даже если объективное содержание остается тем же.
• Эффект точки отсчета (Reference Point): Как будет показано в теории перспектив, восприятие выигрышей и потерь относительно определенной точки отсчета (например, текущего уровня богатства или ожидаемого результата) играет гораздо большую роль, чем абсолютные значения. Это означает, что полезность изменения богатства (например, выигрыша или потери) оценивается иначе, чем полезность конечного состояния богатства.
• Неприятие потерь (Loss Aversion): Это мощный поведенческий феномен, при котором люди ощущают боль от потерь примерно в 2.5 раза сильнее, чем удовольствие от эквивалентных выигрышей. Это приводит к тому, что индивиды часто нацелены не на максимизацию выгоды, а на избегание потерь, что может приводить к консервативным решениям даже в ситуациях, когда принятие риска было бы рациональным.
• Переоценка и недооценка вероятностей: Люди склонны переоценивать вероятность маловероятных событий (например, выигрыша в лотерею) и недооценивать вероятность более частых, но менее драматичных событий. Это может приводить к иррациональному участию в азартных играх или, наоборот, к недостаточному страхованию от обычных рисков.
• Эмоции и стресс: Влияние эмоций, таких как страх, жадность, эйфория, на принятие решений в условиях риска сложно переоценить. В стрессовых ситуациях или под давлением эмоций люди часто отступают от рациональных моделей поведения.

Все эти факторы демонстрируют, что функция полезности индивида является сложным, многомерным конструктом, который формируется под воздействием как объективных экономических условий, так и глубоких психологических механизмов. Это делает анализ экономического поведения в условиях риска и неопределенности одной из самых увлекательных и сложных областей современной экономической науки.

Эмпирические подтверждения и ограничения модели Фридмана-Сэвиджа в современном экономическом анализе

Модель Фридмана-Сэвиджа, предложенная в 1948 году, стала важным шагом в развитии теории ожидаемой полезности, предложив элегантное объяснение, казалось бы, противоречивого поведения людей в отношении риска. Однако, как и любая экономическая модель, она имеет свои сильные стороны, подтвержденные эмпирически, и ограничения, которые стимулировали дальнейшее развитие поведенческой экономики.

Эмпирические доказательства и их интерпретация

Несмотря на абстрактность S-образной функции полезности, предложенной Фридманом и Сэвиджем, многие эмпирические наблюдения подтверждают ее объяснительную силу, особенно в контексте одновременного существования страхования и азартных игр:

• Распространенность страхования: Миллионы людей по всему миру покупают различные виды страховок – от медицинских и автомобильных до страхования жизни и имущества. Это явно демонстрирует неприятие риска, особенно в отношении значительных потенциальных потерь, которые могли бы существенно снизить уровень их благосостояния. Это соответствует вогнутым участкам функции полезности Фридмана-Сэвиджа.
• Участие в азартных играх и лотереях: В то же время, индустрия азартных игр и лотерей процветает, привлекая огромное количество участников, которые готовы рисковать небольшими суммами ради шанса на крупный выигрыш, несмотря на то, что ожидаемый выигрыш для них отрицателен. Это соответствует выпуклым участкам функции полезности, где люди проявляют склонность к риску в надежде на резкое увеличение богатства.
• Инвестиционное поведение: Наблюдения за поведением инвесторов также часто подтверждают модель. Например, люди с умеренным капиталом могут вкладывать небольшую часть в высокорисковые стартапы или криптовалюты, надеясь на значительную прибыль (склонность к риску), при этом основную часть своих сбережений держат в консервативных инструментах (неприятие риска). Богатые инвесторы, хотя и могут инвестировать в рискованные активы, часто делают это в диверсифицированных портфелях, стремясь в первую очередь сохранить капитал.

Интерпретация этих доказательств заключается в том, что отношение к риску не является фиксированной чертой личности, а зависит от контекста и, что особенно важно, от текущего уровня богатства. Индивид может быть несклонным к риску в отношении больших потерь, но склонным к риску в отношении шанса на большой выигрыш, если это не угрожает его базовому благосостоянию.

Ограничения классической теории ожидаемой полезности

Несмотря на свой вклад, модель Фридмана-Сэвиджа, как часть более широкой классической теории ожидаемой полезности, имеет ряд существенных ограничений, которые были выявлены в ходе дальнейших эмпирических исследований и привели к появлению альтернативных теорий:

1. Зависимость от абсолютного богатства: Модель Фридмана-Сэвиджа, как и вся классическая теория ожидаемой полезности, предполагает, что полезность зависит от абсолютного уровня богатства. Однако поведенческие эксперименты показали, что люди часто оценивают результаты относительно некоторой точки отсчета (например, текущего богатства или ожидаемого результата), а не абсолютного его значения. Это означает, что полезность воспринимается как функция от изменения богатства (выигрыша или потери), а не от его конечного уровня.
2. Неспособность объяснить все поведенческие аномалии: Хотя модель объясняет феномен страхования и азартных игр, она не может полностью объяснить другие наблюдаемые поведенческие аномалии, такие как эффект фрейминга, эффект владения, или то, как люди переоценивают маловероятные события и недооценивают вероятные.
3. Идеализация рациональности: Классическая теория ожидаемой полезности исходит из предпосылки о полной рациональности индивида, который способен точно оценивать вероятности и максимизировать ожидаемую полезность. В реальности же люди подвержены когнитивным искажениям, эвристикам и влиянию эмоций, что отклоняет их поведение от предписанной рациональной модели.
4. Сложность эмпирической оценки функции полезности: Точное определение S-образной функции полезности для каждого индивида на практике крайне сложно. Ее форма может быть сильно индивидуализирована и зависеть от множества неявных факторов.
5. Аксиома независимости (Independence Axiom): Эта аксиома, лежащая в основе теории ожидаемой полезности, часто нарушается в экспериментах. Например, эффект Айсберга (Allais Paradox) демонстрирует, что люди могут выбирать между лотереями таким образом, что это нарушает аксиому независимости, предпочитая определенные выигрыши рискованным, даже если ожидаемая полезность последних выше.

Эти ограничения послужили мощным стимулом для развития новой области — поведенческой экономики, которая стремится интегрировать идеи из психологии в экономический анализ, предлагая более реалистичные модели человеческого поведения. Одним из наиболее значимых результатов этого направления стала теория перспектив Даниэля Канемана и Амоса Тверски.

Альтернативные теории принятия решений в условиях риска и неопределенности: Теория перспектив Канемана-Тверски

Развитие экономической мысли редко бывает линейным. Ограничения и парадоксы классических теорий часто порождают новые направления исследований, стремящиеся более полно и реалистично описать сложность человеческого поведения. Именно так, в ответ на ряд эмпирически выявленных несоответствий, возникла теория перспектив (Prospect Theory), разработанная Даниэлем Канеманом и Амосом Тверски. Эта теория, ставшая краеугольным камнем поведенческой экономики, предложила радикально иной взгляд на принятие решений в условиях риска.

Основные положения теории перспектив

Д. Канеман и А. Тверски представили теорию перспектив в своей знаковой статье «Теория перспектив: анализ решений в условиях риска» (Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk), опубликованной в 1979 году. В дальнейшем теория была доработана и представлена в статье «Усовершенствования теории перспектив: кумулятивное представление неопределенности» (Advances in Prospect Theory : Cumulative Representation of Uncertainty) в 1992 году. Она является дескриптивной теорией, призванной описывать, как люди действительно принимают решения, а не как они должны это делать (как в нормативных теориях, таких как теория ожидаемой полезности).

Теория перспектив основана на нескольких ключевых идеях:

1. Процесс редактирования и оценки: Индивиды сначала выполняют процесс редактирования (framing), преобразуя проблему принятия решения в совокупность простых перспектив. На этом этапе происходит упрощение задачи, категоризация исходов и определение точки отсчета. Затем они оценивают (evaluation) эти перспективы.
2. Эффект точки отсчета (Reference Point): В отличие от теории ожидаемой полезности, где полезность зависит от абсолютного уровня богатства, теория перспектив утверждает, что наше отношение к деньгам определяется не просто суммой, а тем, с чем мы эту сумму сравниваем. Восприятие результата как выигрыша или потери зависит от выбранной точки отсчета (например, текущего богатства, ожидаемого результата, или даже исторически наилучшего/худшего результата).
3. Неприятие потерь (Loss Aversion): Один из самых мощных эффектов. Люди по-разному оценивают выгоды и потери, причем потери воспринимаются примерно в 2.5 раза сильнее, чем выгоды эквивалентного размера. Это означает, что боль от потери 1000 рублей ощущается гораздо острее, чем удовольствие от выигрыша тех же 1000 рублей. Следствием этого является то, что люди часто нацелены не на максимизацию выгоды, а на избегание потерь.
4. Убывающая чувствительность: Как к выигрышам, так и к потерям. Чем больше человек уже выиграл, тем меньше ощущается дополнительный выигрыш. Аналогично, чем больше теряется, тем меньше ощущаются дополнительные потерянные деньги. Это приводит к S-образной функции ценности, которая выпукла для потерь и вогнута для выигрышей, и асимметрична относительно точки отсчета.
5. Искаженное восприятие вероятностей (Probability Weighting): Люди склонны ошибаться при оценке вероятности, систематически искажая их. Они:
   • Переоценивают маловероятные события: Придают слишком большое значение очень редким, но потенциально крупным выигрышам (например, в лотерее) или очень редким, но катастрофическим потерям.
   • Недооценивают вероятные события: Придают недостаточное значение событиям со средней или высокой вероятностью.

Это приводит к нелинейной весовой функции вероятности, где малые вероятности «раздуваются», а средние и высокие «сжимаются».

В целом, теория перспектив разграничивает понятия «выгодность/полезность» (как в классических теориях) и «ценность» (value) — субъективную меру привлекательности результата, которая зависит от точки отсчета и проявляется в S-образной функции ценности.

Сравнительный анализ теории перспектив и модели Фридмана-Сэвиджа

Хотя и модель Фридмана-Сэвиджа, и теория перспектив пытаются объяснить поведение в условиях риска, их подходы фундаментально различаются.

Характеристика	Модель Фридмана-Сэвиджа	Теория перспектив Канемана-Тверски
Основа	Теория ожидаемой полезности (нормативная/дескриптивная)	Поведенческая экономика (дескриптивная)
Что оценивается	Полезность абсолютного уровня богатства	Ценность выигрышей/потерь относительно точки отсчета
Форма функции	S-образная функция полезности (меняет выпуклость)	S-образная функция ценности (вогнута для выигрышей, выпукла для потерь)
Отношение к потерям	Не учитывает неприятие потерь как отдельный феномен	Неприятие потерь: потери воспринимаются сильнее выигрышей
Восприятие вероятностей	Рациональное, объективное	Искаженное: переоценка маловероятных, недооценка вероятных
Основное объяснение	Одновременное страхование и азартные игры на основе уровня богатства	Отклонения от рациональности, эффект фрейминга, неприятие потерь
Аксиомы	Строгое соблюдение аксиом рациональности	Нарушение аксиом рациональности (например, аксиомы независимости)
Фокус	Конечное состояние богатства	Изменение богатства

Ключевые различия:

• Точка отсчета: Главное отличие состоит в том, что теория перспектив вводит понятие точки отсчета, делая ценность исхода зависимой от того, воспринимается ли он как выигрыш или потеря относительно этой точки. Модель Фридмана-Сэвиджа, напротив, оперирует абсолютным уровнем богатства.
• Неприятие потерь: Теория перспектив эмпирически выявила и задокументировала феномен неприятия потерь как центральный элемент человеческого поведения, чего нет в модели Фридмана-Сэвиджа.
• Искажение вероятностей: Теория перспектив включает в себя нелинейное восприятие вероятностей, объясняющее, почему люди переоценивают маловероятные шансы (например, лотереи) и недооценивают более высокие (например, риски редких заболеваний). Модель Фридмана-Сэвиджа предполагает объективное восприятие вероятностей.
• Дескриптивный vs. Нормативный: Теория перспектив является дескриптивной (описывает, как люди действуют), тогда как модель Фридмана-Сэвиджа, оставаясь в рамках теории ожидаемой полезности, имеет как нормативный, так и дескриптивный аспекты, но ее дескриптивная сила оказалась недостаточной для объяснения всех аномалий.

Приложения теории перспектив в экономическом анализе

Теория перспектив оказала огромное влияние на различные области экономического анализа, предоставляя более реалистичное объяснение поведения людей:

• Финансы и инвестиции: Объясняет такие явления, как «эффект диспозиции» (Disposition Effect), когда инвесторы склонны слишком рано продавать выигрышные акции и слишком долго держать убыточные. Неприятие потерь также объясняет, почему инвесторы часто несут значительные риски, чтобы избежать фиксации убытков.
• Маркетинг и потребительское поведение: Принципы теории перспектив используются для формулирования ценовых стратегий, представления продуктов (например, «безрисковая пробная версия» снижает воспринимаемые потери) и воздействия на решения о покупке. Например, скидки могут быть представлены как «экономия», а не «упущенная выгода».
• Страхование: Объясняет, почему люди готовы платить высокие премии за страховку от маловероятных, но катастрофических событий (переоценка маловероятных событий), и почему они могут не страховаться от более вероятных, но менее драматичных рисков.
• Трудовая экономика: Влияние неприятия потерь на принятие решений о смене работы, переговорах о зарплате и мотивации сотрудников.
• Государственная политика: Разработка более эффективных стимулов и регулирований, учитывающих поведенческие особенности граждан. Например, использование «поведенческих подталкиваний» (nudges) для поощрения сбережений или здорового образа жизни.

Теория перспектив стала мощным дополнением к классическим моделям, предлагая глубокое понимание человеческой иррациональности и ее систематических проявлений. Она не отменяет полностью вклад Фридмана-Сэвиджа, но дополняет его, расширяя аналитический аппарат для работы с реальностью, где психология играет не менее важную роль, чем чисто экономическая рациональность.

Заключение

Путь от интуитивного понимания непредсказуемости до создания сложных аналитических моделей, объясняющих человеческий выбор в условиях неопределенности и риска, представляет собой одну из самых увлекательных глав в истории экономической мысли. Мы начали с разграничения фундаментальных понятий риска и неопределенности, подчеркнув, что, хотя они тесно связаны, ключевое различие, предложенное Фрэнком Найтом, заключается в измеряемости вероятностей. Риск — это измеримая неопределенность, тогда как истинная неопределенность лишена такой возможности, и ее причины многообразны: от незнания и случайности до глобальных экономических и политических шоков.

Исторический обзор показал, как экономическая теория эволюционировала, пытаясь осмыслить это сложное явление. От Санкт-Петербургского парадокса и проницательной идеи Даниила Бернулли о максимизации ожидаемой полезности, а не ожидаемого денежного выигрыша, до аксиоматического построения теории ожидаемой полезности Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном. Их работы заложили строгий математический фундамент для анализа рационального выбора в условиях риска, определив основные аксиомы, такие как полнота, транзитивность и независимость.

Особое внимание было уделено теории полезности Милтона Фридмана и Леонарда Сэвиджа, которая стала центральным фокусом нашего исследования. Их модель, разработанная в 1948 году, предложила элегантное объяснение, казалось бы, противоречивого поведения экономических субъектов – одновременного участия в страховании (неприятие риска) и азартных играх (склонность к риску). Ключом к их теории стала S-образная форма функции полезности, которая является вогнутой при низком и высоком уровнях богатства (демонстрируя неприятие риска) и выпуклой на среднем участке (показывая склонность к риску). Эта модель эффективно применилась для анализа поведения на рынках страхования, в инвестициях и сфере азартных игр. Важно было также четко разграничить эту модель от Критерия Сэвиджа, который является инструментом для принятия решений в условиях полной неопределенности, а не риска.

Мы также исследовали факторы, определяющие форму функции полезности индивида, включая типы отношения к риску (неприятие, нейтральность, склонность), влияние начального богатства и ожидаемого дохода, а также значимость психологических и поведенческих факторов. Эти аспекты подчеркивают, что функция полезности не является статичной, а динамически адаптируется к условиям и индивидуальным особенностям.

Однако, как и любая модель, подход Фридмана-Сэвиджа и шире – классическая теория ожидаемой полезности – имеет свои ограничения. Эмпирические исследования, особенно в рамках поведенческой экономики, выявили систематические отклонения от предписанной рациональности, такие как эффект Айсберга, зависимость от точки отсчета и неприятие потерь. Эти недостатки привели к появлению альтернативных теорий, наиболее значимой из которых является теория перспектив Даниэля Канемана и Амоса Тверски. Теория перспектив, со своим акцентом на точке отсчета, неприятии потерь, убывающей чувствительности и искаженном восприятии вероятностей, предложила более реалистичное дескриптивное описание человеческого выбора, объясняя многие поведенческие аномалии, которые классические модели не могли учесть.

В заключение, исследование неопределенности и риска в рыночной экономике демонстрирует сложную и многогранную картину. Теория полезности Фридмана-Сэвиджа внесла неоценимый вклад в наше понимание того, как люди принимают решения в условиях риска, особенно объясняя кажущиеся парадоксы поведения. Однако для полного и всестороннего анализа современного экономического поведения необходим комплексный подход, учитывающий как нормативные теории (такие как теория ожидаемой полезности), так и дескриптивные поведенческие модели (например, теория перспектив). Это позволяет не только понять, как люди должны действовать, но и почему они действительно поступают так, а не иначе.

Направления дальнейших исследований могут включать более глубокий анализ нейробиологических основ принятия решений в условиях риска, интеграцию социокультурных факторов в модели полезности, а также разработку новых гибридных моделей, способных объединить прогностическую силу классических подходов с реалистичностью поведенческой экономики.

Список использованной литературы

1. Бернулли Д. Опыт новой теории измерения жребия. В кн.: Теория потребительского поведения и спроса / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 1993. 348 с.
2. Нуреев Р.М. Курс микроэкономики: учебник для вузов. Норма, 2006. 512 с.
3. Фридман М., Сэвидж Л. Дж. Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающий риск // Теория потребительского поведения и спроса / Под ред. В.М. Гальперина. СПб., 1993. 298 с.
4. РИСК В ЭКОНОМИКЕ: ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/risk-v-ekonomike-podhody-k-opredeleniyu (дата обращения: 07.11.2025).
5. Применение концепции неопределенности в экономической теории. Сущностный подход. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-kontseptsii-neopredelennosti-v-ekonomicheskoy-teorii-suschnostnyy-podhod (дата обращения: 07.11.2025).
6. Экономическая теория риска: современные подходы. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ekonomicheskaya-teoriya-riska-sovremennye-podhody (дата обращения: 07.11.2025).
7. Микроэкономика Лекция 3 — Высшая школа экономики. URL: https://www.hse.ru/data/2017/04/04/1162624523/Микроэкономика_Лекция_3.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
8. Отличительные особенности понятий «Неопределенность», «Риск». URL: https://cyberleninka.ru/article/n/otlichitelnye-osobennosti-ponyatiy-neopredelennost-risk (дата обращения: 07.11.2025).
9. Научная электронная библиотека Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания. URL: https://www.monographies.ru/ru/book/section?id=10287 (дата обращения: 07.11.2025).
10. Метод фон Неймана-Моргенштерна. URL: https://matematicus.ru/teoriya-igr/metod-fon-nejmana-morgensterna/ (дата обращения: 07.11.2025).
11. Неопределенность как значимый фактор экономических отношений. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/neopredelennost-kak-znachimy-faktor-ekonomicheskih-otnosheniy (дата обращения: 07.11.2025).
12. ФЕНОМЕН НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ И КОНЦЕПЦИЯХ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/fenomen-neopredelennosti-v-ekonomicheskih-teoriyah-i-kontseptsiyah1 (дата обращения: 07.11.2025).
13. Тонкая грань между риском и неопределенностью. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/tonkaya-gran-mezhdu-riskom-i-neopredelennostyu (дата обращения: 07.11.2025).
14. Теория ожидаемой полезности. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/teoriya-ozhidaemoy-poleznosti (дата обращения: 07.11.2025).
15. Понятие экономического риска предприятия и сущность риск-менеджмента. URL: https://www.studmed.ru/view/ponyatiya-ekonomicheskogo-riska-predpriyatiya-i-sushchnost-risk-menedzhmenta_5c14d9b43ed.html (дата обращения: 07.11.2025).
16. Экономические риски и неопределенность. URL: https://studfile.net/preview/4488347/page:14/ (дата обращения: 07.11.2025).
17. Функции полезности и их виды. URL: https://studfile.net/preview/4488347/page:14/ (дата обращения: 07.11.2025).
18. Теория ожидаемой полезности. Функции полезности и вероятности — Экономические риски: причины возникновения и способы снижения. URL: https://studfile.net/preview/10390141/page:4/ (дата обращения: 07.11.2025).
19. История развития теории принятия решений. URL: https://studfile.net/preview/10390141/page:4/ (дата обращения: 07.11.2025).
20. Малова Т.А. д.э.н., профессор кафедры экономической теории Финансового университета. URL: https://www.fa.ru/org/div/micro/news/Documents/11.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
21. Экономическая неопределенность. Риски, страхование, экономическая безопасность. URL: https://studfile.net/preview/7161868/page:13/ (дата обращения: 07.11.2025).
22. Глава 12. Экономика информации, неопределенности и риска — Кубанский государственный университет. URL: https://textarchive.ru/c-1246197-p2.html (дата обращения: 07.11.2025).
23. Тема 13. Теория ожидаемой полезности. URL: https://studfile.net/preview/1628189/page:2/ (дата обращения: 07.11.2025).
24. Глава 7. Теория ожидаемой полезности. URL: https://studfile.net/preview/10390141/page:4/ (дата обращения: 07.11.2025).
25. ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ И УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/teoriya-prinyatiya-resheniy-i-upravlenie-riskami (дата обращения: 07.11.2025).
26. Теории перспектив Канемана — Тверски. URL: https://medium.com/@dmitry.podluzhny/теории-перспектив-канемана-тверски-21f45607b36f (дата обращения: 07.11.2025).
27. Теория ожидаемой полезности по Джону фон Нейману. URL: https://vikent.ru/enc/3295/ (дата обращения: 07.11.2025).