Анализ полезности при принятии решений в условиях риска и неопределенности: вклад Фридмена и Сэвиджа

В современной рыночной экономике, где динамичность изменений и неполнота информации являются неотъемлемыми атрибутами, способность эффективно управлять неопределенностью и риском становится ключевым фактором успеха как для отдельных экономических агентов, так и для целых систем. Ежедневно инвесторы принимают решения о вложении капитала, предприниматели запускают новые проекты, а потребители выбирают товары и услуги, сталкиваясь с многогранными последствиями своих действий. Именно поэтому изучение концепций риска и неопределенности, а также поведенческих моделей в этих условиях, приобретает особую актуальность.

Целью данной курсовой работы является систематизация теоретических и методологических аспектов неопределенности и риска в контексте рыночной экономики. Особое внимание будет уделено анализу полезности при принятии решений, фокусируясь на знаковых работах в этой области, в частности, на статье М. Фридмена и Л. Сэвиджа «Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающих риск». Мы рассмотрим, как развивались взгляды на риск и неопределенность, каковы основные теоретические подходы к поведению экономических агентов, и как классическая теория ожидаемой полезности получила свое развитие и осмысление в трудах фон Неймана и Моргенштерна, а затем была дополнена Фридменом и Сэвиджем для объяснения сложных эмпирических явлений. Работа также затронет современные методы измерения рисков, практические ограничения рассматриваемых моделей и альтернативные подходы к анализу полезности.

Структура работы выстроена таким образом, чтобы последовательно раскрыть заявленные темы: от базовых определений риска и неопределенности до сложнейших поведенческих моделей и их практического применения, позволяя читателю глубоко погрузиться в фундаментальные аспекты экономической науки. Это не просто академическое упражнение, но и ключ к пониманию того, как формируются решения в реальном мире, где будущее никогда не бывает полностью предсказуемым.

Понятия «Риск» и «Неопределенность» в рыночной экономике

В мире, где каждое экономическое решение сопряжено с будущими, не всегда предсказуемыми последствиями, понимание природы риска и неопределенности становится краеугольным камнем. Эти понятия, хотя и тесно связаны, имеют фундаментальные различия, которые определяют подходы к их анализу и управлению. Существенное разграничение между риском и неопределенностью впервые было предложено Фрэнком Найтом в начале XX века, и с тех пор оно является основой для многих экономических теорий.

Определение и сущность риска

Риск в рыночной экономике представляет собой экономическую ситуацию, в которой субъекту, принимающему решение, известны или могут быть определены количественные вероятности наступления различных исходов событий. Иными словами, это измеримая величина. Риск — это не просто возможность неблагоприятного исхода, но и потенциал для нулевых или даже положительных результатов, таких как прибыль или выгода.

Количественное измерение риска основывается на статистических показателях, которые позволяют оценить степень вариативности и предсказуемости результатов. Среди них:

• Среднее ожидаемое значение (математическое ожидание): Показывает средний результат, который можно ожидать от ряда событий, взвешенный по их вероятностям.
• Дисперсия ($\sigma^2$): Измеряет степень рассеивания возможных исходов вокруг среднего ожидаемого значения. Чем выше дисперсия, тем больше разброс результатов и, как правило, выше риск.
• Среднеквадратическое отклонение ($\sigma$): Является квадратным корнем из дисперсии и выражается в тех же единицах, что и исходные данные, что делает его более интуитивно понятным для оценки абсолютной величины колебаний.
• Коэффициент вариации ($CV$): Представляет собой отношение среднеквадратического отклонения к среднему ожидаемому значению ($CV = \sigma / E(X)$). Этот показатель позволяет сравнивать риски различных проектов или активов, независимо от их абсолютных размеров, так как он выражается в относительных единицах.

Вероятность наступления событий может быть определена двумя основными методами:

1. Объективный метод: Основан на частоте прошлых событий из статистических данных. Например, вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты составляет 0.5, поскольку из большого числа бросков примерно половина приходится на орла. Классическая формула вероятности $P(A) = m/n$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число исходов, является примером объективного подхода.
2. Субъективный метод: Применяется в случаях, когда статистические данные недостаточны или событие уникально и не повторяется. Вероятность определяется на основе мнений экспертов, суждений, личного опыта или интуиции. Этот метод часто используется для оценки рисков инновационных проектов или политических событий.

Определение и сущность неопределенности

В отличие от риска, неопределенность характеризуется неполнотой или недостоверностью информации о возможных событиях в будущем, при которой невозможно даже количественно определить вероятности их наступления. Это состояние, где факторы случайности настолько непредсказуемы, что их нельзя спрогнозировать даже в вероятностной реализации. Неопределенность — это фундаментальное свойство мира, обусловленное его неустойчивостью, изменчивостью и непредсказуемостью будущего.

Источники неопределенности разнообразны и могут быть классифицированы как:

• Внешние источники:
  • Нестабильность внешней среды: макроэкономические колебания, изменения в законодательстве, политическая нестабильность.
  • Финансовая нестабильность: валютные курсы, процентные ставки, инфляция.
  • Глобализация экономики: взаимосвязанность мировых рынков и внешние шоки, такие как кризис 2008 года или пандемия COVID-19 (так называемые «черные лебеди»).
• Внутренние источники:
  • Неопределенность целей и стратегий организации.
  • Недостаточная полнота, понятность, достоверность и надежность внутренней информации.
  • Сложность обработки и интерпретации имеющейся информации.

Среди типов неопределенности по среде проявления выделяют:

• Техническую (технологическую): Связана с непредсказуемостью результатов научно-технического прогресса.
• Социальную: Относится к изменениям в общественном мнении, демографии, трудовых отношениях.
• Природно-климатическую: Зависит от стихийных бедствий и погодных условий.
• Политическую и законодательно-правовую: Связана с изменениями в государственной политике, правовых нормах.
• Экологическую: Обусловлена воздействием на окружающую среду.
• Общеэкономическую: Включает циклические колебания экономики.
• Криминальную: Связана с преступностью.
• Человеческий фактор и демографическую: Относится к поведению людей, их квалификации, изменениям в структуре населения.

Роль асимметрии информации как фундаментальной причины неопределенности и риска. Асимметрия информации, когда одни участники рынка обладают большей или более качественной информацией, чем другие, является одной из ключевых причин возникновения как неопределенности, так и риска. Например, продавец подержанного автомобиля знает о его реальном состоянии гораздо больше, чем покупатель, что создает неопределенность для последнего и увеличивает риск покупки некачественного товара. И что из этого следует? Это означает, что для снижения неопределенности и минимизации рисков на рынке крайне важна прозрачность и доступность информации для всех участников, что может потребовать государственного регулирования или развития независимых рейтинговых агентств.

Риск как частный случай неопределенности. В широком смысле риск можно рассматривать как подмножество неопределенности. Это тот вид неопределенности, который поддается измерению и связан с возможностью возникновения как неблагоприятных, так и благоприятных последствий. Таким образом, любое рискованное решение находится в поле неопределенности, но не всякая неопределенность может быть охарактеризована как риск. Развитие рыночных отношений и экономическая свобода предприятий, с одной стороны, стимулируют рост, но с другой — усиливают неопределенность и предпринимательский риск, поскольку расширяют спектр возможных решений и их последствий.

Теоретические подходы к анализу поведения экономических агентов в условиях риска и неопределенности

Поведение экономических агентов в рыночной экономике неразрывно связано с принятием решений, которые, в свою очередь, направлены на максимизацию полезности. Однако эти решения почти всегда принимаются в условиях, где будущее не предопределено, что порождает риск и неопределенность. Развитие экономической мысли предлагает различные теоретические подходы к пониманию этого сложного процесса.

Ранние взгляды и неоклассическая школа

В начале XX века неоклассическая школа, представленная такими выдающимися экономистами, как Альфред Маршалл и Артур Пигу, заложила основы анализа предпринимательского риска. Их подход постулировал, что предприниматель, действуя в условиях неопределенности, руководствуется прежде всего размером ожидаемой прибыли и потенциальной величиной ее колебаний. То есть, чем выше ожидаемая прибыль, тем больше готовность принять на себя риск, но при этом учитывается и разброс возможных исходов. Это был один из первых шагов к осознанию того, что риск не просто существует, но и является фактором, который активно влияет на экономический выбор. Несмотря на то, что в рамках неоклассики понятия риска и неопределенности иногда рассматривались как тождественные, уже тогда закладывался фундамент для их дальнейшего разграничения.

Разграничение риска и неопределенности Фрэнком Найтом

Поворотным моментом в понимании рассматриваемых категорий стала работа американского экономиста Фрэнка Хайнемана Найта «Риск, неопределенность и прибыль», опубликованная в 1921 году. Найт внес принципиальное различие между «риском» и «неопределенностью», которое стало каноническим в экономической теории.

• Риск ($measurable \ uncertainty$) Найт определил как измеримую неопределенность, то есть ситуацию, когда вероятности возможных исходов могут быть объективно или субъективно оценены. Например, вероятность сбоя оборудования, основанная на статистике его работы, является риском. За управление такими рисками предприниматель может получить обычную прибыль.
• Неопределенность ($unmeasurable \ uncertainty$) же была охарактеризована как неизмеримая неопределенность, когда вероятности событий не могут быть определены ни на основе статистики, ни на основе экспертных оценок. Это, по Найту, истинная неопределенность, которая лежит в основе предпринимательской прибыли. Именно за принятие решений в условиях такой неопределенности, когда нет прошлых данных и невозможно предсказать будущее, предприниматель получает не обычную, а *чистую* (монопольную) прибыль. Концепция Найта подчеркнула, что предпринимательство по своей сути — это готовность брать на себя неизмеримую неопределенность.

Вклад Дж. М. Кейнса и «склонность к риску»

Работы Джона Мейнарда Кейнса дополнили неоклассическую теорию, введя понятие «склонности к риску». Кейнс признал, что помимо рациональной оценки ожидаемой прибыли и ее колебаний, на принятие рискованных решений влияют и психологические факторы. Индивид может получать удовлетворение непосредственно от самого факта принятия риска, что побуждает его к выбору более рискованных альтернатив в надежде на большую потенциальную прибыль. Этот подход стал предвестником поведенческой экономики, указывая на то, что экономические агенты не всегда действуют исключительно рационально в узком смысле, а их выбор может быть обусловлен эмоциональными и психологическими аспектами.

Критерии принятия решений в условиях неопределенности

Когда вероятности возможных вариантов обстановки неизвестны, экономические агенты вынуждены полагаться на различные критерии для выбора оптимальной стратегии. Выбор такого критерия зависит от множества факторов: характера задачи, целевых установок, имеющихся ограничений и, что немаловажно, от личной склонности к риску лица, принимающего решение.

Рассмотрим основные из этих критериев:

1. Критерий Вальда (Maximin): Этот критерий отражает пессимистичный подход. Лицо, принимающее решение (ЛПР), предполагает, что для каждой выбранной стратегии реализуется наихудший возможный исход. Затем выбирается та стратегия, которая максимизирует минимальный выигрыш (или минимизирует максимальный ущерб). Это стратегия «игры на выживание» — обезопасить себя от наихудшего сценария.
   

   Пример: Инвестор выбирает между тремя проектами. Если он применяет критерий Вальда, он для каждого проекта определяет наименьшую потенциальную прибыль и выбирает проект с самой высокой из этих минимальных прибылей.

2. Критерий Максимакса (Maximax): Противоположность критерию Вальда, отражающая оптимистичный подход. ЛПР предполагает, что для каждой выбранной стратегии реализуется наилучший возможный исход. Затем выбирается та стратегия, которая максимизирует максимальный возможный выигрыш. Этот критерий подходит для агентов, склонных к риску, стремящихся к максимально возможному успеху.
   

   Пример: Тот же инвестор, используя критерий Максимакса, для каждого проекта определяет наибольшую потенциальную прибыль и выбирает проект, обещающий наибольший выигрыш, игнорируя риски.

3. Критерий Сэвиджа (Minimax Regret): Этот критерий направлен на минимизацию максимальных «сожалений», то есть потерь недополученной выгоды. Сначала формируется матрица «сожалений», где каждый элемент показывает, насколько хуже оказался выбранный результат по сравнению с тем, который можно было бы получить, если бы ЛПР знал, какой исход наступит, и выбрал бы соответствующую оптимальную стратегию. Затем выбирается стратегия, которая минимизирует максимальное сожаление.
   

   Пример: Если инвестор выбрал проект А, а реализовался исход, при котором проект Б принес бы гораздо больше прибыли, то «сожаление» — это разница между потенциальной прибылью Б и фактической А. Критерий Сэвиджа помогает выбрать стратегию, которая делает эту разницу минимальной в худшем случае.

4. Критерий Лапласа (Principle of Insufficient Reason): Если нет оснований полагать, что одни варианты внешних условий более вероятны, чем другие, этот критерий предлагает считать все варианты равновероятными. Затем выбирается стратегия с максимальным средним ожидаемым результатом, рассчитанным как сумма произведений выигрышей на их равные вероятности.
   

   Пример: Если есть пять возможных состояний рынка, и ни одно из них не кажется более вероятным, каждому присваивается вероятность 0.2. Инвестор выбирает проект, средняя прибыль которого при таком допущении будет максимальной.

5. Критерий Гурвица: Этот критерий представляет собой компромисс между пессимизмом Вальда и оптимизмом Максимакса. Он использует коэффициент оптимизма ($\alpha$, где $0 \le \alpha \le 1$), который отражает степень веры ЛПР в благоприятные исходы. Ожидаемый результат каждой стратегии рассчитывается как:

   ВыигрышГурвица = α × (максимальный выигрыш) + (1 - α) × (минимальный выигрыш)

   Затем выбирается стратегия с наибольшим значением по Гурвицу. Если $\alpha = 1$, это соответствует критерию Максимакса; если $\alpha = 0$, критерию Вальда.

   Пример: Инвестор со средним уровнем оптимизма (например, $\alpha = 0.5$) взвешивает наилучший и наихудший исходы каждого проекта, а затем выбирает проект с наибольшим взвешенным значением.

Эти критерии показывают, насколько разнообразны могут быть подходы к принятию решений, когда информация неполна, и насколько сильно личные предпочтения и психологические особенности влияют на экономический выбор.

Теория ожидаемой полезности: развитие в работах фон Неймана и Моргенштерна

В основе рационального выбора в условиях неопределенности лежит фундаментальная концепция в экономической теории — теория ожидаемой полезности. Она позволяет не только систематизировать предпочтения экономических агентов, но и количественно оценить их, прокладывая мост от качественных суждений к математическим моделям.

Исторические предпосылки и «Санкт-Петербургский парадокс»

Идея о том, что решения принимаются не только на основе математического ожидания выигрыша, но и с учетом субъективной ценности этого выигрыша, уходит корнями в XVIII век. В 1713 году итальянский математик Николай Бернулли (двоюродный брат Даниила) сформулировал задачу, известную как «Санкт-Петербургский парадокс». Этот парадокс стал ярким вызовом для ранних теорий принятия решений, основанных исключительно на мате��атическом ожидании.

Суть парадокса: Представьте игру, в которой подбрасывается монета до тех пор, пока не выпадет орел. Если орел выпадает на первом броске, вы выигрываете 2 денежные единицы. Если на втором – 4, на третьем – 8, и так далее, выигрыш удваивается с каждым последующим броском. Математическое ожидание выигрыша в такой игре бесконечно:

E = (1/2)×2 + (1/4)×4 + (1/8)×8 + ... = 1 + 1 + 1 + ... = ∞

Однако, несмотря на бесконечное математическое ожидание, большинство людей готовы заплатить за участие в такой игре лишь небольшую фиксированную сумму (например, 20-30 денежных единиц). Это расхождение между объективным математическим ожиданием и субъективной оценкой ценности игры и есть «Санкт-Петербургский парадокс».

Разрешение парадокса было предложено в 1738 году Даниилом Бернулли (племянником Якоба) в его знаменитой работе «Опыт новой теории измерения риска». Он постулировал, что люди оценивают не сам выигрыш в абсолютном выражении, а его *полезность*, которая для большинства людей нелинейно зависит от богатства. Функция полезности, как правило, возрастает, но с убывающей скоростью (то есть является вогнутой), что означает, что прирост богатства приносит все меньший прирост полезности. Таким образом, хотя математическое ожидание выигрыша может быть бесконечным, ожидаемая полезность от этого выигрыша конечна и значительно меньше, чем его номинальная стоимость, из-за убывающей предельной полезности денег.

Важно отметить вклад Якоба Бернулли (1655-1705), который в своем посмертно опубликованном трактате «Искусство предположений» (1713 год) не только сформулировал закон больших чисел, но и развил идеи о вероятности и математическом ожидании, что послужило основой для дальнейших исследований в области теории полезности.

Формализация теории ожидаемой полезности Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном

Революционным шагом в развитии теории ожидаемой полезности стало издание в 1944 году книги Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение». Они не просто вернулись к концепции полезности, но и дали ей строгую аксиоматическую основу, сделав понятие полезности «операциональным» и пригодным для количественной оценки. Их подход позволил сконструировать функцию полезности для каждого индивида, если его предпочтения удовлетворяют ряду аксиом рационального выбора.

Ключевые аксиомы фон Неймана-Моргенштерна:

1. Аксиома полноты (сравнимости): Для любых двух лотерей (рискованных альтернатив) А и В индивид способен выразить свое предпочтение: либо А предпочтительнее В ($A \succ B$), либо В предпочтительнее А ($B \succ A$), либо индивид безразличен между ними ($A \sim B$). Это означает, что индивид всегда может сравнить любые две альтернативы.
2. Аксиома транзитивности: Если индивид предпочитает лотерею А лотерее В ($A \succ B$), а лотерею В лотерее С ($B \succ C$), то он также должен предпочитать А С ($A \succ C$). Это аксиома логичности и последовательности предпочтений.
3. Аксиома непрерывности (замещения): Если индивид предпочитает А В, а В С ($A \succeq B \succeq C$), то существует такая вероятность $p$ ($0 < p < 1$), при которой индивид будет безразличен между получением лотереи В наверняка и участием в составной лотерее, где он получит А с вероятностью $p$ и С с вероятностью $(1-p)$. Эта аксиома позволяет сравнивать лотереи с определенными исходами.
4. Аксиома независимости (взаимозаменяемости): Если индивид предпочитает А В, то он будет предпочитать составную лотерею, включающую А и С, составной лотерее, включающей В и С, с той же вероятностью для С. То есть, если к двум лотереям добавить одинаковый «компонент» с одинаковой вероятностью, это не должно изменить относительное предпочтение между исходными лотереями.

При соблюдении этих аксиом существует функция полезности $U$, которая приписывает числовое значение $U(X)$ каждому исходу $X$, таким образом, что индивид максимизирует свою ожидаемую полезность.

Формула ожидаемой полезности:

Ожидаемая полезность ($EU$) альтернативы А, которая может привести к различным исходам $O_i$ с соответствующими вероятностями $P(i)$ и полезностями $U(O_i)$, рассчитывается как:

EU(A) = Σi P(i) × U(Oi)

Здесь:

• $EU(A)$ — ожидаемая полезность альтернативы A.
• $P(i)$ — вероятность наступления исхода i.
• $U(O_i)$ — полезность исхода i.

Эта формула позволяет сравнить различные рискованные альтернативы, выбирая ту, которая обещает наибольшую ожидаемую полезность, а не просто наибольшее математическое ожидание выигрыша.

Функция полезности и отношение к риску

Форма функции полезности индивида является ключевым индикатором его отношения к риску:

• Нейтральность к риску: Если функция полезности линейна ($U(X) = aX + b$), это означает, что прирост полезности пропорционален приросту богатства. Индивид, нейтральный к риску, безразличен между получением ожидаемого выигрыша наверняка и участием в лотерее с тем же ожидаемым выигрышем. Он максимизирует математическое ожидание.
• Неприятие риска (риск-аверсия): Если функция полезности вогнута ($U»(X) < 0$), это означает, что предельная полезность денег убывает. Индивид, несклонный к риску, предпочитает получить ожидаемый выигрыш наверняка, нежели участвовать в лотерее с тем же ожидаемым выигрышем. Большинство людей проявляют неприятие риска в отношении крупных сумм.
• Склонность к риску (риск-любие): Если функция полезности выпукла ($U»(X) > 0$), это означает, что предельная полезность денег возрастает. Индивид, склонный к риску, предпочитает участвовать в лотерее с тем же ожидаемым выигрышем, нежели получить этот выигрыш наверняка. Такое поведение часто наблюдается в азартных играх, где люди готовы рискнуть небольшой суммой ради шанса на большой выигрыш.

Теория фон Неймана-Моргенштерна вдохнула новую жизнь в концепцию кардинальной полезности, сделав ее измеримой и применимой для анализа выбора в условиях риска. Однако, как показали дальнейшие исследования, даже эта мощная теория не смогла объяснить все эмпирические наблюдения, что привело к ее дальнейшему развитию.

Модель анализа полезности М. Фридмена и Л. Сэвиджа

В середине XX века, несмотря на значительные успехи теории ожидаемой полезности фон Неймана и Моргенштерна, оставались некоторые эмпирические наблюдения, которые не укладывались в ее строгие рамки. Именно эти «аномалии» привлекли внимание Милтона Фридмена и Леонарда Сэвиджа, которые в своей знаковой статье «Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающих риск» (1948 г.) предложили усовершенствованную модель функции полезности.

Предпосылки и цели исследования Фридмена-Сэвиджа

Фридмен и Сэвидж стремились объяснить явление, которое было трудно интерпретировать в рамках классической теории ожидаемой полезности: одновременное участие индивидов в азартных играх (покупка лотерейных билетов, ставки в казино), что свидетельствует о склонности к риску, и в то же время покупка страховых полисов, что является проявлением неприятия риска.

Если бы функция полезности была строго вогнутой (как это предполагается для риск-аверсных индивидов), то человек никогда бы не участвовал в лотереях с отрицательным математическим ожиданием выигрыша, поскольку ожидаемая полезность от такого участия была бы ниже полезности от сохранения денег. Аналогично, если бы функция была строго выпуклой (для риск-любивых), то человек не покупал бы страховку, так как ожидаемая полезность от отсутствия страховки была бы выше.

Фридмен и Сэвидж предположили, что функция полезности индивида не является монотонно вогнутой или выпуклой на всем диапазоне его богатства, а скорее имеет более сложную форму, отражающую изменчивость отношения к риску в зависимости от текущего финансового положения. Какой важный нюанс здесь упускается? Они, по сути, признали, что человеческое отношение к риску не является статичным и абсолютным, а носит контекстуальный характер, зависящий от конкретного финансового положения и потенциальных изменений в нём, что стало предвестником более сложных поведенческих моделей.

Развитие концепции функции полезности

Милтон Фридмен и Леонард Сэвидж предложили, что функция полезности может иметь сегменты, демонстрирующие разное отношение к риску. Их модель предполагает, что функция полезности является:

1. Вогнутой для низких и высоких уровней богатства, что отражает неприятие риска.
2. Выпуклой для средних уровней богатства, что отражает склонность к риску.

Такая S-образная или, точнее, двухсегментная функция полезности (с одной вогнутой и одной выпуклой частью) позволяет объяснить наблюдаемые поведенческие паттерны.

Графическое представление модели Фридмена-Сэвиджа:

Представим график, где по горизонтальной оси отложен уровень богатства ($W$), а по вертикальной — полезность ($U$).

graph TD
    A[Уровень богатства] --> B{Полезность}
    B --> C[U(W) - Функция полезности]

    subgraph График функции полезности Фридмена-Сэвиджа
        direction LR
        W0(Начальное богатство) --- W1(Низкое богатство)
        W1 -- Вогнутый участок (неприятие риска) --> W2(Среднее богатство)
        W2 -- Выпуклый участок (склонность к риску) --> W3(Высокое богатство)
        W3 -- Вогнутый участок (неприятие риска) --> Wn(Очень высокое богатство)
    end

    style W1 fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style W2 fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style W3 fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style W0 fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style Wn fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;

    classDef concave fill:#ADD8E6,stroke:#000,stroke-dasharray: 5 5;
    classDef convex fill:#90EE90,stroke:#000,stroke-dasharray: 5 5;
    class W1,W2,W3,Wn,W0 curve;

    C --> |Если богатство низкое| Вогнутый участок
    C --> |Если богатство среднее| Выпуклый участок
    C --> |Если богатство высокое| Вогнутый участок

    style Вогнутый участок fill:#ADD8E6,stroke:#333,stroke-width:2px, rx:5px, ry:5px;
    style Выпуклый участок fill:#90EE90,stroke:#333,stroke-width:2px, rx:5px, ry:5px;

    linkStyle 1 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;
    linkStyle 2 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;
    linkStyle 3 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;
    linkStyle 4 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;
    linkStyle 5 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;
    linkStyle 6 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;
    linkStyle 7 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;

• Вогнутый участок (неприятие риска): При низком уровне богатства (например, когда человек беспокоится о базовых потребностях) или при очень высоком уровне богатства (когда дальнейший прирост денег приносит мало дополнительной полезности), функция полезности вогнута. Это объясняет, почему люди покупают страховку, чтобы избежать больших потерь, даже если премия выше ожидаемого ущерба.
• Выпуклый участок (склонность к риску): При среднем уровне богатства, когда человек уже обеспечил себе базовые потребности, но еще не достиг очень высокого уровня достатка, функция полезности может быть выпуклой. Это объясняет, почему люди готовы рисковать небольшой частью своего богатства (например, покупая лотерейный билет) ради шанса на значительный выигрыш, который перевел бы их на качественно новый уровень достатка.

Такая функция полезности имеет точки перегиба, где отношение к риску меняется. Например, индивид может быть риск-аверсным в отношении своего текущего богатства, но риск-любящим в отношении небольшой суммы, которую он может потерять в лотерее, если потенциальный выигрыш достаточно велик, чтобы перевести его на следующий «уровень» богатства, где функция полезности снова становится вогнутой.

Основные выводы и значение модели

Модель Фридмена-Сэвиджа имеет огромное значение, поскольку она:

1. Объясняет сосуществование склонности к риску и неприятия риска: Это была одна из первых моделей, которая смогла логически объяснить, почему один и тот же индивид может одновременно покупать лотерейные билеты и страховые полисы, не противореча принципам рационального выбора. Это противоречие было «слепой зоной» для более простых моделей ожидаемой полезности.
2. Указывает на динамическое отношение к риску: Модель показала, что отношение индивида к риску не является фиксированным свойством, а зависит от его текущего уровня богатства. Человек может быть риск-аверсным в одном контексте и риск-любящим в другом, в зависимости от того, как изменение богатства влияет на его общую полезность.
3. Послужила мостом к поведенческой экономике: Хотя модель Фридмена-Сэвиджа оставалась в рамках неоклассической парадигмы, она открыла дверь для дальнейших исследований, которые впоследствии легли в основу поведенческой экономики. Она показала, что для объяснения реального экономического поведения требуется более сложная функция полезности, учитывающая контекст и психологические аспекты.

Вклад Фридмена и Сэвиджа заключался в том, что они предложили более гибкую и реалистичную концепцию функции полезности, которая позволила объяснить сложные эмпирические феномены, остававшиеся загадкой для предшествующих теорий. Их работа подчеркнула, что анализ полезности должен учитывать не только абсолютные значения богатства, но и то, как его изменение воспринимается индивидом с точки зрения его текущего благосостояния.

Методы измерения и оценки экономических рисков и неопределенности

Эффективное управление в условиях рыночной экономики невозможно без систематической оценки и измерения рисков и неопределенности. Разработаны различные методы, которые можно разделить на количественные и качественные, каждый из которых имеет свои преимущества и область применения.

Количественные методы оценки риска

Количественные методы направлены на численное выражение риска, что позволяет проводить более точный анализ и принимать обоснованные решения.

1. Статистические методы: Основываются на анализе статистических данных о прошлых событиях.
   • Дисперсия ($\sigma^2$) и стандартное (среднеквадратическое) отклонение ($\sigma$): Как уже упоминалось, эти показатели измеряют разброс возможных результатов относительно среднего ожидаемого значения. Чем выше значения дисперсии и стандартного отклонения, тем выше уровень риска.
     

     Пример: У нас есть два инвестиционных проекта A и B.
     Проект A: Возможные прибыли: 10% ($P=0.5$), 20% ($P=0.5$). Ожидаемая прибыль $E(A) = 0.5 \times 10\% + 0.5 \times 20\% = 15\%$.
     Дисперсия $\sigma^2(A) = 0.5 \times (10-15)^2 + 0.5 \times (20-15)^2 = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$.
     Стандартное отклонение $\sigma(A) = \sqrt{25} = 5\%$.
     Проект B: Возможные прибыли: 5% ($P=0.5$), 25% ($P=0.5$). Ожидаемая прибыль $E(B) = 0.5 \times 5\% + 0.5 \times 25\% = 15\%$.
     Дисперсия $\sigma^2(B) = 0.5 \times (5-15)^2 + 0.5 \times (25-15)^2 = 0.5 \times 100 + 0.5 \times 100 = 100$.
     Стандартное отклонение $\sigma(B) = \sqrt{100} = 10\%$.
     Оба проекта имеют одинаковую ожидаемую прибыль, но проект B имеет более высокое стандартное отклонение (10% против 5%), что указывает на его более высокий риск.

   • Коэффициент вариации ($CV$): Позволяет сравнивать риски проектов с разным масштабом ожидаемых доходов. $CV = \sigma / E(X)$. Чем выше $CV$, тем выше риск на единицу ожидаемого дохода.
     

     Пример: Для проекта A: $CV(A) = 5\% / 15\% \approx 0.33$. Для проекта B: $CV(B) = 10\% / 15\% \approx 0.67$. Проект B более рискован по отношению к своей ожидаемой прибыли.

   • Регрессионный и корреляционный анализ: Используется для выявления зависимостей между различными переменными и оценки, как изменение одной переменной влияет на другие (например, как изменение процентной ставки влияет на доходы компании).
2. Сценарный анализ: Предполагает разработку нескольких возможных сценариев развития событий (оптимистичного, пессимистичного, наиболее вероятного) и оценку последствий каждого из них. Для каждого сценария рассчитываются ключевые финансовые показатели (например, $NPV$, $IRR$), что позволяет увидеть диапазон возможных результатов и оценить риск.
   

   Пример: Для инвестиционного проекта могут быть рассчитаны $NPV$ при трех сценариях: благоприятном (рост рынка 10%), базовом (рост 5%) и неблагоприятном (падение рынка 2%).

3. Имитационное моделирование (метод Монте-Карло): Это мощный инструмент для оценки рисков, особенно когда анализируемая система имеет множество случайных переменных с известными распределениями вероятностей. Модель многократно прогоняется с использованием случайных значений для входных параметров, что позволяет получить распределение возможных результатов.
   

   Пример: При оценке рентабельности нового продукта, имитационное моделирование может варьировать такие параметры, как объем продаж, цена сырья, затраты на маркетинг (каждый с заданным распределением вероятностей), чтобы получить распределение возможных прибылей. Это помогает понять не только ожидаемую прибыль, но и вероятность убытков или очень высоких прибылей.

Качественные методы оценки риска

Качественные методы ориентированы на идентификацию, описание и ранжирование рисков без точного численного измерения, но с целью выявления наиболее значимых угроз.

1. Экспертные оценки: Применяются, когда статистические данные отсутствуют или недостаточны. Группа экспертов, обладающих глубокими знаниями в определенной области, высказывает свои суждения о вероятности событий и их последствиях.
   

   Пример: Оценка политических рисков при выходе на новый зарубежный рынок.

2. Метод Дельфи: Это структурированный метод экспертных оценок, направленный на достижение консенсуса. Эксперты анонимно отвечают на вопросы, их ответы агрегируются, и результаты представляются им для повторного рассмотрения. Этот процесс повторяется несколько раз, чтобы снизить влияние группового давления и получить более объективную оценку.
   

   Пример: Прогнозирование вероятности появления прорывных технологий и их влияния на отрасль.

3. SWOT-анализ рисков: Расширенная версия традиционного SWOT-анализа, где помимо сильных и слабых сторон, возможностей и угроз, анализируются также риски, связанные с каждым из этих аспектов. Помогает систематизировать информацию и выявить ключевые уязвимости.
   

   Пример: Анализ рисков, связанных с недостаточной квалификацией персонала (слабая сторона) или с изменением законодательства (угроза).

4. Построение карт рисков (матрица риск-вероятность): Визуальный инструмент, который позволяет отобразить риски на двухмерной матрице, где по одной оси откладывается вероятность наступления события, а по другой — величина его последствий (влияния). Риски обычно делятся на категории (низкий, средний, высокий), что позволяет приоритизировать их и сосредоточить усилия на наиболее значимых.
   

   Пример:

   Вероятность / Влияние	Низкое (1)	Среднее (2)	Высокое (3)
   Низкая (1)	Низкий	Низкий	Средний
   Средняя (2)	Низкий	Средний	Высокий
   Высокая (3)	Средний	Высокий	Критический

   Такая карта помогает быстро оценить, какие риски требуют немедленного внимания.

Использование комбинации этих методов позволяет получить наиболее полное представление о профиле риска, что критически важно для принятия обоснованных управленческих решений в условиях динамичной рыночной среды.

Практическое применение и ограничения модели Фридмена-Сэвиджа и теории ожидаемой полезности

Теория ожидаемой полезности, разработанная фон Нейманом и Моргенштерном, и ее усовершенствованная версия от Фридмена и Сэвиджа, заложили основу для понимания рационального выбора в условиях риска. Эти модели нашли широкое применение в различных областях экономики, но также столкнулись с рядом ограничений и критических замечаний, особенно в свете развития поведенческой экономики.

Применение в финансовой экономике и страховании

1. Инвестиционный анализ и формирование портфелей ценных бумаг:
   • Принятие инвестиционных решений: Инвесторы используют концепцию ожидаемой полезности для выбора между различными инвестиционными активами, учитывая их ожидаемую доходность и риск. Например, инвестор с вогнутой функцией полезности (неприятием риска) будет предпочитать менее рискованные активы, даже если их ожидаемая доходность ниже, чем у более рискованных.
   • Оптимизация портфеля: Теория Марковица, основанная на концепции ожидаемой полезности, предлагает подход к формированию оптимального портфеля активов, который максимизирует ожидаемую полезность инвестора при заданном уровне риска или минимизирует риск при заданной ожидаемой доходности. Функция полезности помогает определить оптимальное соотношение риск/доходность для каждого инвестора.
2. Страхование:
   • Обоснование спроса на страхование: Модель ожидаемой полезности объясняет, почему индивиды, проявляющие неприятие риска (имеющие вогнутую функцию полезности), готовы платить страховые премии, которые превышают математическое ожидание их потенциальных убытков. Покупка страховки снижает неопределенность и стабилизирует уровень богатства, что приносит им большую ожидаемую полезность.
   • Определение страховых тарифов: Страховые компании используют принципы теории ожидаемой полезности и статистики для расчета вероятностей наступления страховых случаев и определения адекватных премий, обеспечивающих их прибыльность.
3. Принятие решений в бизнесе:
   • Управление проектами: Компании используют анализ ожидаемой полезности для оценки рискованных проектов, например, при запуске нового продукта или расширении производства. Они оценивают вероятности различных исходов (успех, умеренный успех, неудача) и их влияние на финансовое состояние компании.
   • Стратегическое планирование: Высшее руководство учитывает отношение к риску при формировании корпоративной стратегии, выбирая между более консервативными и агрессивными путями развития.

Ограничения и критические замечания

Несмотря на свою фундаментальность и широкое применение, теория ожидаемой полезности и, в частности, модель Фридмена-Сэвиджа, не лишены недостатков и подвергались критике:

1. Поведенческие аномалии: Теория ожидаемой полезности предполагает рациональное поведение, но эмпирические исследования часто выявляют отклонения от этого идеала:
   • Парадокс АЛЛЕ (Allais Paradox): В 1953 году Морис Алле продемонстрировал, что в определенных ситуациях люди нарушают аксиому независимости фон Неймана-Моргенштерна. В условиях, когда выигрыши высоки, люди часто выбирают вариант с гарантированным, хоть и меньшим выигрышем, вместо варианта с большей ожидаемой полезностью, но меньшей вероятностью. Этот парадокс показал, что люди могут демонстрировать склонность к риску в одних условиях и неприятие риска в других, что не всегда объясняется простой S-образной функцией полезности Фридмена-Сэвиджа.
   • Эффект фрейминга (Framing Effect): То, как представлена проблема выбора (позитивная или негативная формулировка), может влиять на решение, даже если по сути варианты идентичны. Например, люди склонны рисковать больше, чтобы избежать потерь, чем рисковать ради получения выгоды. Теория ожидаемой полезности не учитывает эту зависимость от представления.
   • Эффект богатства (Endowment Effect): Люди часто оценивают объект, которым они уже владеют, выше, чем точно такой же объект, которым они не владеют. Это противоречит предположению о том, что полезность зависит только от конечного состояния богатства.
2. Сложность определения функции полезности: На практике чрезвычайно трудно эмпирически построить точную функцию полезности для каждого индивида или организации. Она может меняться со временем, в зависимости от контекста, настроения и других факторов.
3. Игнорирование психологических аспектов: Хотя модель Фридмена-Сэвиджа сделала шаг в сторону учета изменчивого отношения к риску, она по-прежнему оперирует абстрактной функцией полезности и не углубляется в психологические механизмы, лежащие в основе принятия решений. Она не объясняет, *почему* в определенных ситуациях возникает склонность к риску или неприятие.
4. Статические предпосылки: Теория ожидаемой полезности, как и модель Фридмена-Сэвиджа, часто рассматривает выбор как статический акт, не учитывая процесс обучения, адаптации или изменения предпочтений во времени.

Эти ограничения привели к появлению новых теоретических подходов, которые стремились учесть поведенческие аномалии и психологические аспекты, обогатив тем самым понимание принятия решений в условиях риска и неопределенности.

Альтернативные подходы к анализу полезности в условиях риска и неопределенности

Критический анализ теории ожидаемой полезности и модели Фридмена-Сэвиджа, особенно в контексте выявленных поведенческих аномалий, стимулировал развитие новых теоретических подходов. Эти подходы, часто относящиеся к сфере поведенческой экономики, стремятся предложить более реалистичные модели человеческого выбора, учитывающие психологические особенности индивидов.

Теория перспектив (Prospect Theory) Даниэля Канемана и Амоса Тверски

Одной из самых влиятельных альтернативных теорий стала Теория перспектив (Prospect Theory), разработанная психологами Даниэлем Канеманом и Амосом Тверски в 1979 году. За эту работу Канеман (Тверски, к сожалению, умер раньше) в 2002 году получил Нобелевскую премию по экономике. Теория перспектив значительно отошла от классических предпосылок рациональности и предложила модель, которая лучше объясняет многие эмпирические наблюдения.

Ключевые положения Теории перспектив:

1. Опорная точка (Reference Point) и оценка изменений, а не абсолютных уровней богатства: В отличие от теории ожидаемой полезности, где полезность оценивается по абсолютному уровню богатства, теория перспектив утверждает, что люди оценивают исходы как *прирост* или *потери* относительно некоторой опорной точки. Эта опорная точка обычно соответствует текущему состоянию богатства или ожиданиям индивида.
2. S-образная функция ценности (Value Function): Функция ценности (вместо функции полезности) Канемана и Тверски имеет S-образную форму, которая симметрична относительно опорной точки и обладает следующими свойствами:
   • Вогнутость в области выигрышей: Это означает, что для выигрышей предельная ценность убывает. Например, разница в ценности между 100 и 200 долларами кажется больше, чем между 1100 и 1200 долларами. Это отражает неприятие риска в области выигрышей.
   • Выпуклость в области потерь: Это означает, что для потерь предельная ценность также убывает (хотя она отрицательна). Например, разница в ценности между потерей 100 и 200 долларов кажется больше, чем между потерей 1100 и 1200 долларов. Это отражает склонность к риску в области потерь, то есть люди готовы рисковать больше, чтобы избежать дальнейших потерь.
   • Асимметрия потерь и выигрышей (Loss Aversion): Функция ценности круче в области потерь, чем в области выигрышей. Это ключевое свойство, известное как «неприятие потерь»: психологическая боль от потери определенной суммы денег значительно сильнее, чем удовольствие от получения такой же суммы.

   Графическое представление функции ценности:

   graph TD
       A[Прирост/Потери] --> B{Ценность}
       B --> C[V(x) - Функция ценности]
   
       subgraph График S-образной функции ценности
           direction LR
           LossArea(Потери) -- Выпуклый участок (склонность к риску) --> ReferencePoint(Опорная точка: 0)
           ReferencePoint -- Вогнутый участок (неприятие риска) --> GainArea(Выигрыши)
       end
   
       style LossArea fill:#FFC0CB,stroke:#000,stroke-width:2px, rx:5px, ry:5px;
       style GainArea fill:#ADD8E6,stroke:#000,stroke-width:2px, rx:5px, ry:5px;
       style ReferencePoint fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
   
       C --> |Относительно опорной точки| LossArea
       C --> |Относительно опорной точки| GainArea
   
       linkStyle 1 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;
       linkStyle 2 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;
       linkStyle 3 stroke:#333,stroke-width:2px,fill:none;
   

3. Весовые функции вероятностей (Probability Weighting Function): В отличие от теории ожидаемой полезности, которая использует объективные вероятности, теория перспектив утверждает, что люди субъективно искажают вероятности.
   • Малые вероятности переоцениваются (например, люди придают чрезмерное значение очень низким шансам на огромный выигрыш в лотерее).
   • Высокие вероятности недооцениваются (например, люди игнорируют очень высокие, но не 100%-ные шансы на небольшую потерю).

   Эта функция объясняет, почему люди одновременно участвуют в лотереях (переоценка малых вероятностей большого выигрыша) и покупают страховку (переоценка малых вероятностей катастрофических потерь). И что из этого следует? Это означает, что для эффективного убеждения людей в необходимости принятия определенных решений (будь то инвестиции, страхование или здравоохранение) необходимо учитывать не только объективные вероятности, но и то, как эти вероятности и потенциальные исходы воспринимаются и эмоционально окрашиваются.

Отличия от теории ожидаемой полезности и модели Фридмена-Сэвиджа:

• Опорная точка против абсолютного богатства: Ключевое отличие в том, что теория перспектив фокусируется на изменениях относительно опорной точки, а не на абсолютном уровне богатства, как это было в классической теории и у Фридмена-Сэвиджа.
• Функция ценности против функции полезности: Хотя функция полезности Фридмена-Сэвиджа также имеет S-образную форму (но с перегибами, обусловленными изменением уровня богатства), S-образная функция ценности Канемана-Тверски центрирована на опорной точке и характеризуется неприятием потерь, чего нет в модели Фридмена-Сэвиджа.
• Субъективные веса вероятностей: Теория перспектив вводит искажение восприятия вероятностей, что является принципиальным отличием от использования объективных вероятностей в теории ожидаемой полезности.

Теория перспектив объяснила многие парадоксы и аномалии, с которыми сталкивалась классическая теория, и стала одной из фундаментальных основ поведенческой экономики.

Другие поведенческие теории

Помимо теории перспектив, существует ряд других поведенческих моделей, которые развивают или дополняют понимание принятия решений в условиях риска и неопределенности:

1. Теория сожаления (Regret Theory): Эта теория предполагает, что индивиды не только оценивают ожидаемую полезность, но и предвидят возможное сожаление, которое они испытают, если их выбор окажется неоптимальным. Люди стремятся минимизировать ожидаемое сожаление, что может влиять на их решения, даже если это противоречит максимизации ожидаемой полезности.
2. Теория осторожной полезности (Prudence Theory): Эта теория, развитая после классических подходов, вводит концепцию «осторожности» ($prudence$) как склонности к сбережениям или менее рискованным инвестициям в условиях неопределенности. Она предполагает, что третья производная функции полезности положительна, что означает не только убывание предельной полезности, но и убывание темпа убывания предельной полезности. Это объясняет, почему люди склонны проявлять избыточную осторожность при увеличении неопределенности.
3. Теория двойного процесса (Dual Process Theory): Предполагает, что люди принимают решения, используя две основные системы мышления:
   • Система 1 (интуитивная, быстрая): Автоматическая, эмоциональная, быстро реагирующая.
   • Система 2 (аналитическая, медленная): Рациональная, логическая, требующая усилий.

   В условиях риска и неопределенности часто активируются обе системы, и их взаимодействие может приводить к решениям, которые кажутся «нерациональными» с точки зрения классических моделей.

Эти альтернативные подходы значительно расширили наше понимание человеческого поведения в условиях риска, показав, что рациональность — это сложный конструкт, который подвержен влиянию когнитивных искажений, эмоций и контекста.

Заключение

Изучение неопределенности и риска в рыночной экономике является фундаментальной задачей для понимания процессов принятия решений. Данная курсовая работа систематизировала ключевые теоретические и методологические аспекты этих явлений, проследив их эволюцию от ранних неоклассических взглядов до современных поведенческих моделей.

Мы начали с четкого разграничения понятий «риск» как измеримой неопределенности и «неопределенности» как неизмеримой, подчеркнув роль асимметрии информации в их возникновении. Было показано, как эти концепции формировались в трудах классиков, таких как Маршалл и Пигу, и получили принципиальное развитие в работах Фрэнка Найта, который связал предпринимательскую прибыль с истинной, неизмеримой неопределенностью. Вклад Дж.М. Кейнса дополнил этот анализ, указав на роль «склонности к риску» и психологических факторов.

Центральное место в нашем исследовании заняла теория ожидаемой полезности, возникшая как ответ на «Санкт-Петербургский парадокс» и формализованная Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном. Их аксиоматический подход позволил количественно оценить полезность и объяснить рациональный выбор в условиях риска через максимизацию ожидаемой полезности. Мы подробно рассмотрели, как форма функции полезности отражает отношение индивида к риску – неприятие (вогнутая), нейтральность (линейная) или склонность (выпуклая).

Особое внимание было уделено модели анализа полезности М. Фридмена и Л. Сэвиджа. Их работа стала важным шагом в объяснении эмпирических парадоксов, таких как одновременное участие в лотереях и страховании. Предложив двухсегментную функцию полезности с вогнутыми и выпуклыми участками, они продемонстрировали, что отношение к риску может меняться в зависимости от текущего уровня богатства, что значительно расширило объяснительную силу теории.

В работе также был представлен обзор основных количественных (статистические методы, сценарный анализ, имитационное моделирование) и качественных (экспертные оценки, метод Дельфи, карты рисков) методов измерения и оценки экономических рисков, подчеркивая их практическую значимость в современной экономике.

Анализ практического применения теории ожидаемой полезности в финансовой экономике, страховании и управлении проектами выявил ее неоспоримую ценность. Однако, были детально рассмотрены и ее ограничения, включая поведенческие аномалии, такие как парадокс Алле, эффект фрейминга и неприятие потерь. Именно эти ограничения привели к развитию альтернативных подходов, среди которых выделяется Теория перспектив Даниэля Канемана и Амоса Тверски. Эта теория, с ее концепцией опорной точки, S-образной функцией ценности и весовыми функциями вероятностей, предложила более реалистичное описание человеческого выбора, учитывающее психологические искажения.

В заключение, комплексное понимание риска, неопределенности и теории полезности является краеугольным камнем для принятия эффективных экономических решений на всех уровнях – от индивидуального до государственного. Несмотря на эволюцию и появление новых теорий, базовые принципы, заложенные в классических работах, остаются актуальными. Дальнейшие исследования в данной области могут быть направлены на более глубокое интегрирование нейробиологических данных в экономические модели, изучение влияния коллективных решений и сетевых эффектов на восприятие риска, а также разработку более совершенных инструментов для управления «неизмеримой» неопределенностью в условиях постоянно меняющегося мира. Разве не это является главной задачей для экономистов, стремящихся к созданию более устойчивых и предсказуемых систем?

Список использованной литературы

1. Акимов В.А., Порфирьев Б.Н., Радаев Н.Н. Методический аппарат оценки и прогноза стратегических рисков // Управление риском. 2008.
2. Бережная Е.В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2009. 368 с.
3. Владимиров В.А., Измалков В.И., Измалков А.В. Оценка и управление техногенной безопасностью. М., 2008. 184 с.
4. Воробьев Ю.Л. Национальная безопасность и управление стратегическими рисками в России // Управление риском. 2008.
5. Надежность. Экономический и политический риск: Учебное пособие для вузов / Под ред. М.И.Фалеева. М., 2007. 368 с.
6. Орлов А. И. Теория принятия решений: учебник. М.: Экзамен, 2006. 573 с.
7. Основы анализа и управления риском в политической и экономической сферах: Учебное пособие для ВУЗов МЧС России / Под ред. Ю.Л.Воробьева). М., 2007. 458 с.
8. Савчук В. П. Финансовый менеджмент: практическая энциклопедия. К.: Издательский дом «Максимум», 2005. 401 с.
9. Финансовые риски: теоретическое понятие и практическая классификация // Корпоративное управление и стратегический менеджмент. 2006.
10. Фридман М., Сэвидж Л. Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающих риск // Вехи экономической мысли. Т. 1. Теория потребительского поведения и спроса. СПб., 1999. 771 с.
11. Шапкин А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. 3-е изд. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2004. 544 с.
12. Отличительные особенности понятий «Неопределенность», «Риск» Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес» // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/otlichitelnye-osobennosti-ponyatiy-neopredelennost-risk (дата обращения: 21.10.2025).
13. Что такое риск — оценка и факторы, методы и виды рисков, управление рисками // Fincult.info. URL: https://fincult.info/glossary/chto-takoe-risk/ (дата обращения: 21.10.2025).
14. Риск: определение, виды, оценка и управление в экономике // Investicii.guru. URL: https://investicii.guru/articles/risk-opredelenie-vidy-ocenka-i-upravlenie-v-ekonomike.html (дата обращения: 21.10.2025).
15. Глава 3. Неопределённость в современной рыночной экономике // Economy-lib.com. URL: https://economy-lib.com/glava-3-neopredelyonnost-v-sovremennoy-rynochnoy-ekonomike#31-harakteristika-neopredelyonnosti (дата обращения: 21.10.2025).
16. Теория ожидаемой полезности // Нейрологика. URL: https://neurologic.ru/teoriya-ozhidaemoj-poleznosti/ (дата обращения: 21.10.2025).
17. 6. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ РИСКИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ // Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/17237887/page:14/ (дата обращения: 21.10.2025).
18. Теория ожидаемой полезности по Джону фон Нейману // VIKENT.RU. URL: https://vikent.ru/enc/3295/ (дата обращения: 21.10.2025).
19. Аксиомы Неймана-Моргенштерна // Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/4462283/page:6/ (дата обращения: 21.10.2025).
20. Тема 2. Теория ожидаемой полезности.doc // Seconom.ru. URL: https://seconom.ru/teoriya-ozhidaemoy-poleznosti/ (дата обращения: 21.10.2025).
21. Теория ожидаемой полезности по Джону фон Нейману // Studopedia.ru. URL: https://studopedia.ru/8_143781_teoriya-ojidaemoy-poleznosti-po-djonu-fon-neymanu.html (дата обращения: 21.10.2025).
22. Теория ожидаемой полезности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес» // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/teoriya-ozhidaemoy-poleznosti (дата обращения: 21.10.2025).
23. Теория ожидаемой полезности // Проблемы науки. URL: https://science-problems.ru/teoriya-ozhidaemoj-poleznosti.html (дата обращения: 21.10.2025).
24. ИСТОЧНИКИ И ВИДЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В СОВРЕМЕННОЙ ЭКОНОМИКЕ // Электронная библиотека БГУ. URL: https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/223783/1/69-72.pdf (дата обращения: 21.10.2025).
25. Понятие неопределенности экономических систем и подходы к ее оценке Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес» // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ponyatie-neopredelennosti-ekonomicheskih-sistem-i-podhody-k-ee-otsenke (дата обращения: 21.10.2025).
26. Принятие решений в условиях риска и неопределённости — 6 основных методик // MBschool.ru. URL: https://mbschool.ru/articles/prinyatie-resheniy-v-usloviyah-riska-i-neopredelennosti/ (дата обращения: 21.10.2025).
27. Экономическая теория риска: современные подходы // Inesnet.ru. URL: http://www.inesnet.ru/magazine/mag_archive/full_664.htm (дата обращения: 21.10.2025).
28. 5.3. Методы выбора управленческих решений в условиях риска // Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/5753907/page:21/ (дата обращения: 21.10.2025).
29. Анализ взаимосвязи понятий «Риск» и «Неопределенность» Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес» // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/analiz-vzaimosvyazi-ponyatiy-risk-i-neopredelennost (дата обращения: 21.10.2025).
30. 6 методов принятия решений в условиях неопределенности // Журнал «Генеральный Директор». URL: https://www.gd.ru/articles/10636-metody-prinyatiya-resheniy-v-usloviyah-neopredelennosti (дата обращения: 21.10.2025).
31. Риск в структуре экономического поведения Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес» // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/risk-v-strukture-ekonomicheskogo-povedeniya (дата обращения: 21.10.2025).
32. К вопросу о поведении экономических субъектов в условиях риска и неопределенности // Elibrary.ru. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=38167882 (дата обращения: 21.10.2025).
33. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И РИСКИ В РАЗВИТИИ ЭКОНОМИКИ // Студенческий научный форум. URL: https://scienceforum.ru/2012/article/2012003734 (дата обращения: 21.10.2025).
34. ВЗАИМОСВЯЗЬ ПОНЯТИЙ «РИСК» И «НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ» // Путь в науку. Экономические науки — Вестник Полоцкого государственного университета. URL: https://elib.psu.by/bitstream/123456789/22026/1/Kashevich%20O.A.%202022.pdf (дата обращения: 21.10.2025).
35. Неопределенность и риск в рыночной экономике, Неопределенность как характерная черта рыночного процесса. Понятие асимметричной информации // Ozlib.com. URL: https://ozlib.com/830219/ekonomicheskaya_teoriya/neopredelennost_risk_rynochnoy_ekonomike_neopredelennost_harakternaya_cherta_rynochnogo_protsessa_ponyat (дата обращения: 21.10.2025).
36. Малова Т.А. д.э.н., профессор кафедры экономической теории Финансового университета при Правительстве РФ. URL: https://www.fa.ru/chair/et/science/Documents/malova_article.pdf (дата обращения: 21.10.2025).
37. МОДЕЛЬ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ: РАЗНОВИДНОСТИ, ПОДХОДЫ, РЕЗУЛЬТАТЫ И ПРЕ // HSE.ru. URL: https://www.hse.ru/data/2011/05/27/1210870959/2007-06.pdf (дата обращения: 21.10.2025).
38. Взаимосвязь риска и неопределенности: постановка проблемы // Экономические науки. URL: http://economy.lib.csu.ru/download/economic_sciences_2009_1.pdf (дата обращения: 21.10.2025).
39. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ «НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ» // Путь в науку. Экономические науки — Вестник Полоцкого государственного университета. URL: https://elib.psu.by/bitstream/123456789/22026/1/Kashevich%20O.A.%202022.pdf (дата обращения: 21.10.2025).
40. ВЗАИМОСВЯЗЬ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ И РИСКОВ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ // Международный журнал экспериментального образования (научный журнал). URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=4972 (дата обращения: 21.10.2025).
41. Аксиомы рациональности фон~Неймана—Моргенштерна и неравенства в анализе // Pdmi.ras.ru. URL: https://www.pdmi.ras.ru/~osipov/axioms.pdf (дата обращения: 21.10.2025).
42. 10.22. Теория и сущность экономической неопределенности и минимизации риска // Аудит и финансовый анализ. URL: https://auditfin.com/journ/AF_2008_02_02_01.pdf (дата обращения: 21.10.2025).
43. Принятие решений в условиях риска и неопределённости: правила и методы для принятия управленческих решений // Яндекс Практикум. URL: https://practicum.yandex.ru/blog/kak-prinimat-resheniya-v-usloviyah-neopredelennosti/ (дата обращения: 21.10.2025).
44. Эволюция теории риска Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес» // КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/evolyutsiya-teorii-riska (дата обращения: 21.10.2025).
45. Функция полезности фон Неймана – Моргенштерна // Studme.org. URL: https://studme.org/193202/ekonomika/funktsiya_poleznosti_neymana_morgensterna (дата обращения: 21.10.2025).
46. Диссертация на тему «Неопределенность и риск в системе экономических отношений» // DisserCat. URL: https://www.dissercat.com/content/neopredelennost-i-risk-v-sisteme-ekonomicheskikh-otnoshenii (дата обращения: 21.10.2025).