Пример готовой курсовой работы по предмету: Высшая математика
Содержание
1. Линейные операторы и их матричное представление
1.1 Собственные значения и собственные векторы
1.2 Кратность
1.3 Треугольный вид
2. Каноническая форма линейного оператора
2.1 Нильпотентность
2.2 Жорданова форма
2.3 Минимальный многочлен
Заключение
Список используемой литературы
Выдержка из текста
Линейная алгебра и теория матриц давно вошли в число основных инструментов, используемых другими математическими дисциплинами; в то же время они сами являются плодотворной областью исследования. Результаты теории матриц, выходящие за рамки элементарного курса линейной алгебры, необходимы практически в любой области математики – будь то дифференциальные уравнения, теория вероятностей и статистика или теория оптимизации – и практически во всех ее приложениях – назовем хотя бы приложения к теоретической и прикладной экономике, инженерным дисциплинам или исследованию операций. В линейной алгебре изучаются объекты трех родов: матрицы, пространства и алгебраические формы. Теории этих объектов тесно связаны друг с другом. Большинство задач линейной алгебры допускает естественную формулировку в каждой из указанных трех теорий.
Матричная формулировка обычно наиболее удобна для вычислений. С другой стороны, в геометрии и механике большинство задач линейной алгебры возникает в виде задач об исследовании алгебраических форм. Тем не менее наиболее отчетливое понимание внутренних связей между различными задачами линейной алгебры достигается лишь при рассмотрении соответствующих линейных пространств, которые и являются поэтому главным объектом изучения линейной алгебры. Мы выбрали для изучения конечномерные пространства. Конечномерное пространство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства. Одной из важных тем в конечномерном векторном пространстве является различные преобразования и формы.
Актуальность: Канонический вид помогает изучить все многообразие исследуемого предмета. Издревле что бы изучить какое-либо сложное явление, его приводили к более простому виду. Конечномерный линейный оператор однозначно определяется своей матрицей в некотором базисе векторного пространства. Таким образом в n-мерном пространстве он задается всего лишь n^2 числами. Это позволяет подключить к изучению конечномерных операторов методы теории чисел, алгебры и анализа. С другой стороны, матрица оператора почти всегда существенно зависит от выбора базиса – как известно, при смене базиса она заменяется на подобную матрицу. При случайном выборе базиса матрица оператора может быть «сложной». Поэтому возникает задача приведения линейного преобразования к каноническому виду: требуется найти такой базис пространства , в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид.
Упрощение матрицы преобразования позволяет выяснить его структуру, представить в виде композиции простых преобразований. Например, если в некотором базисе матрица преобразования оказывается диагональной, то с геометрической точки зрения это преобразование сводится к гомотетиям вдоль каждого из направлений базисных векторов. Кроме того, приведение преобразований к каноническому виду позволяет сравнивать различные преобразования. Все преобразования, которые имеют одинаковый канонический вид, эквивалентны, так как обладают одинаковыми свойствами, так же каноническая форма позволяет классифицировать линейные операторы. Задача приведения матриц к удобной для работы форме возникает кроме алгебры во многих областях – в геометрии, анализе, теории дифференциальных уравнений. (см [1])
Цель: исследовать способ приведения линейного преобразования к каноническому виду.
Список использованной литературы
Список используемой литературы
1. Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson).
Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, -655 с.
2. Васильев А.В., Мазуров В.Д. Высшая алгебра: В 2ч.: Коспект лекций Новосибир. гос. ун-т. Новосибирск, 2013, ч.2. 143с.
3. Halmos P.R. Linear Algebra Problem Book ,MAA, 1996, -336с.
4. Канатников, А.Н. Линейная алгебра: Учебник для вузов / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко; Под ред. В.С. Зарубин. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — 336 c
5. Бубнов, В.А. Линейная алгебра: компьютерный практикум / В.А. Бубнов, Г.С. Толстова, О.Е. Клемешева. — М.: ЛБЗ, 2012. — 168 c.
6. Бурмистрова, Е.Б. Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учебник для студ. высш. учеб. заведений / Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов. — М.: ИЦ Академия, 2010. — 336 c.
7. Бурбаки Н. Алгебра. – М.: 1962. – 516 с.
8. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. – М.: 1960. – 171 с.
9. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре, изд.
2. Гостехиздат, 1956. – 384 с.
10. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. – М.: Мир, 1980. – 454 с.
11. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – М.: Наука, 1970. – 609 с.
12. Епихин, В.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Теория и решение задач: Учебное пособие / В.Е. Епихин, С.С. Граськин. — М.: КноРус, 2013. — 608 c.
13. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с
14. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Г.Д. Ким. — М.: Проспект, 2012. — 400 c.
15. Кожухов, И.Б. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х т.Т.
1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры: Учебное пособие для втузов / И.Б. Кожухов. — М.: Физматлит, 2009. — 288 c.
16. Кочетков, Е.С. Линейная алгебра: Учебное пособие / Е.С. Кочетков, А.В. Осокин. — М.: Форум, 2012. — 416 c.
17. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс: С контрольными работами: линейная алгебра; аналитическая геометрия; основы математического анализа; комплексные числа / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. — М.: Айрис-пресс, 2011. — 576 c.
18. Михалев, А.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие для студ. учреждений высш. проф. образования / А.А. Михалев, И.Х. Сабитов. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 256 c.
19. Рудык, Б.М. Линейная алгебра: Учебное пособие / Б.М. Рудык. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 318 c.
20. Просветов, Г.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Задачи и решения: Учебно-практическое пособие / Г.И. Просветов. — М.: Альфа-Пресс, 2009. — 208 c.
21. Скрыдлова, Е.В. Линейная алгебра: Учебное пособие / Е.В. Скрыдлова, О.О. Белова. — Рн/Д: Феникс, 2012. — 142 c.
22. Шевцов, Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие / Г.С. Шевцов. — М.: Магистр, НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 528 c.
