Статистическая обработка результатов прямых многократных измерений: Сравнительный анализ моделей погрешности (ГОСТ Р 8.736-2011) и неопределенности (GUM) на основе актуальной нормативной базы РФ

В мире, где точность и надежность данных становятся краеугольным камнем научно-технического прогресса, а инженерные решения напрямую зависят от качества измерений, проблема обеспечения единства измерений приобретает особую актуальность. От корректности метрологической обработки экспериментальных данных зависят не только экономическая эффективность производства и безопасность технических систем, но и достоверность научных открытий. В условиях постоянно ужесточающихся требований к качеству продукции и услуг, инженеру-исследователю жизненно необходимо владеть исчерпывающим арсеналом методов статистической обработки результатов прямых многократных измерений, уметь квалифицированно оценивать погрешности и неопределенности, а также ориентироваться в динамично меняющейся нормативно-правовой базе.

Данная работа ставит своей целью всесторонний анализ теоретических основ и практических алгоритмов статистической обработки результатов прямых многократных измерений. Мы сосредоточимся на двух ключевых методологических подходах: традиционной модели погрешности, регламентированной национальным стандартом ГОСТ Р 8.736-2011, и международной концепции неопределенности, изложенной в GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) и адаптированной в ГОСТ Р 54500.3-2011. Особое внимание будет уделено самой актуальной нормативно-правовой базе Российской Федерации, включая изменения в Федеральном законе "Об обеспечении единства измерений" от 08 августа 2024 года, что позволит представить максимально релевантный и современный взгляд на проблему. Структура работы последовательно проведет читателя от фундаментальных понятий и законодательных основ к детальным алгоритмам расчетов и практическому примеру, демонстрирующему как сходства, так и различия между двумя ведущими моделями оценивания точности измерений.

Нормативно-правовые и теоретические основы метрологии измерений

Метрология, как наука об измерениях, не может существовать в отрыве от четко регламентированных правил и определений, она является фундаментом для обеспечения единства измерений — состояния, при котором результаты измерений выражены в узаконенных единицах величин, а показатели точности измерений не выходят за установленные границы. Именно этот принцип позволяет сравнивать результаты, полученные в разных лабораториях, странах и в разное время, что критически важно для международной торговли, научных исследований и технологического развития, а игнорирование таких базовых положений может привести к катастрофическим последствиям в любой отрасли.

Правовое поле обеспечения единства измерений в Российской Федерации

Система обеспечения единства измерений в Российской Федерации — это сложный и постоянно развивающийся механизм, призванный гарантировать достоверность измерительных данных во всех сферах жизни. Его правовую основу формирует Федеральный закон от 26.06.2008 N 102-ФЗ «Об обеспечении единства измерений». Этот закон не просто устанавливает общие положения, но и определяет цели, принципы и сферу государственного регулирования в области метрологии.

Важно отметить, что законодательство в этой области не статично. Последняя действующая редакция Федерального закона N 102-ФЗ, содержащая существенные изменения, была принята 08 августа 2024 года (ФЗ N 232-ФЗ). Эти поправки направлены на совершенствование механизмов метрологического обеспечения, адаптацию к цифровым технологиям и гармонизацию с международными стандартами. Целями ФЗ № 102-ФЗ остаются неизменными: установление правовых основ обеспечения единства измерений, защита прав и законных интересов граждан, общества и государства от отрицательных последствий недостоверных результатов измерений, а также содействие развитию экономики страны и научно-техническому прогрессу. Актуальность этой нормативной базы подчеркивает необходимость постоянного мониторинга изменений и учета их в практической деятельности.

Помимо федерального закона, систему метрологической регламентации дополняют национальные стандарты, такие как ГОСТ Р 8.736-2011 «Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения». Этот стандарт является ключевым руководством для инженеров и метрологов, предоставляя детализированный алгоритм обработки результатов многократных измерений. Для понимания же международной практики и оценки неопределенности, в российскую нормативную базу интегрирован ГОСТ Р 54500.3-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 (GUM: 1995) «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения», который устанавливает требования к оцениванию и выражению неопределенности измерения в России, приближая отечественную практику к мировым стандартам.

Основные метрологические понятия: Измерение, погрешность, неопределенность

Прежде чем углубляться в математические модели и алгоритмы, необходимо четко определить базовые понятия, на которых строится вся метрология. Согласно РМГ 29-2013, метрология – это наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности. Это определение подчеркивает двойственную природу метрологии: как фундаментальную науку и как прикладную дисциплину, обеспечивающую точность.

Измерение – это процесс, заключающийся в сравнении путем физического эксперимента данной физической величины с некоторым ее значением, принятым за единицу измерения (РМГ 29-2013). Существуют два основных типа измерений:

• Прямое измерение – это такое измерение, при котором искомое значение величины получают непосредственно с помощью измерительного прибора. Примером может служить измерение длины детали штангенциркулем или температуры термометром. Здесь результат прямо считывается со шкалы или дисплея прибора.
• Косвенное измерение – это измерение, при котором искомое значение величины определяют на основании результатов прямых измерений других величин, связанных с искомой величиной известной зависимостью. Например, для измерения площади прямоугольника необходимо провести два прямых измерения его сторон (длины и ширины), а затем вычислить площадь по формуле.

Центральными понятиями в метрологии, описывающими качество измерений, являются погрешность и неопределенность. Хотя эти термины часто используются взаимозаменяемо в быту, в метрологии они имеют строго определенные различия.

Погрешность измерения – это разность между результатом измерения величины и действительным (опорным) значением величины (ГОСТ Р 8.736-2011/РМГ 29-2013). Погрешность является характеристикой отклонения полученного значения от истинного. Однако, истинное значение, как правило, неизвестно, поэтому погрешность – это теоретическая величина. На практике мы оцениваем границы погрешности или ее составляющие.

В отличие от погрешности, неопределенность измерения – это неотрицательный параметр, относящийся к результату измерения и характеризующий разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине (ГОСТ 34100.3-2017/РМГ 29-2013). Концепция неопределенности сдвигает акцент с абстрактного "истинного значения" на "доверительный интервал", в котором с определенной вероятностью находится истинное значение. Неопределенность признает, что любое измерение не является точечным значением, а скорее представляет собой распределение возможных значений. Этот подход более полно отражает современное понимание процесса измерения и его ограничений, становясь международным стандартом выражения качества измерений. Таким образом, если погрешность – это, по сути, ошибка или отклонение от идеала, то неопределенность – это параметр, характеризующий степень нашей осведомленности о возможном диапазоне значений измеряемой величины.

Классификация погрешностей и их математические модели

Для эффективной обработки результатов измерений критически важно понимать природу и классификацию погрешностей. В метрологии выделяют три основных вида погрешностей: систематические, случайные и грубые. Каждый из этих видов требует своего подхода к выявлению и учету.

Систематическая погрешность – это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью. Ее особенность в том, что она либо имеет постоянный знак и величину, либо изменяется по определенному закону. Это означает, что систематическую погрешность, в принципе, можно выявить и, при возможности, исключить или учесть путем введения поправок.

Источники систематических погрешностей многообразны:

• Инструментальная погрешность: Обусловлена несовершенством самих измерительных приборов. Это может быть неточность градуировки шкалы, неравномерность хода стрелки, износ деталей, изменение электрических параметров элементов схемы из-за старения или температурных колебаний. Например, линейка может быть изготовлена с небольшой ошибкой в делениях, что приведет к систематическому завышению или занижению всех измерений длины.
• Методическая погрешность: Возникает из-за несовершенства выбранного метода измерений. Примерами могут служить использование упрощенной математической модели для описания физического процесса, неточное значение используемой в расчетах физической константы, или пренебрежение влиянием второстепенных факторов (например, влиянием атмосферного давления на показания весов).
• Личная погрешность оператора: Связана с индивидуальными особенностями наблюдателя – например, неточность считывания показаний со шкалы (параллакс), замедленная реакция, влияние усталости.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью. В отличие от систематической, случайная погрешность не поддается полному исключению, но ее влияние можно минимизировать путем многократных измерений и статистической обработки. Случайные погрешности возникают из-за совокупности множества мелких, неконтролируемых факторов, таких как флуктуации температуры, вибрации, шумы в электронной аппаратуре, нестабильность напряжения питания, неточность установки детали и т.д. Эти погрешности приводят к рассеянию данных вокруг среднего значения, и их распределение часто описывается законами математической статистики, наиболее известным из которых является нормальное (гауссово) распределение.

Грубая погрешность (промах) – это погрешность измерения, существенно превышающая зависящие от объективных условий измерений значения систематической и случайной погрешностей. Промахи обычно возникают из-за ошибок оператора (неправильное считывание, запись), внезапных сбоев в работе прибора или непредвиденных внешних воздействий. Их главная опасность в том, что они могут значительно исказить окончательный результат, если не будут выявлены и исключены из серии измерений.

Отдельно стоит рассмотреть концепцию Неисключенной систематической погрешности (НСП) (Θ). Согласно ГОСТ Р 8.736-2011, это составляющая погрешности, обусловленная погрешностью оценивания систематической погрешности, на которую введена поправка, или систематической погрешностью, на которую поправка не введена. На практике, полностью исключить все систематические погрешности невозможно. Всегда остаются какие-то неучтенные или недостаточно точно учтенные составляющие. Именно эти остаточные систематические погрешности, которые не удалось устранить, и формируют НСП. Они учитываются при расчете общей погрешности результата измерения наравне со случайными составляющими.

Математические модели, описывающие эти погрешности, лежат в основе статистической обработки. Случайные погрешности моделируются с помощью законов распределения вероятностей (например, нормального), а систематические — как постоянные смещения или тренды. Понимание этих различий позволяет выбрать адекватные методы для анализа и повысить достоверность измерительных данных.

Алгоритм статистической обработки данных по модели погрешности (ГОСТ Р 8.736-2011)

После того как мы погрузились в мир нормативно-правовых основ и ключевых метрологических терминов, пришло время рассмотреть практическую сторону вопроса — детальный алгоритм обработки результатов прямых многократных измерений. Этот алгоритм, закрепленный в национальном стандарте ГОСТ Р 8.736-2011, представляет собой систематизированную последовательность действий, позволяющую получить наиболее достоверную оценку измеряемой величины и ее погрешности.

Исключение грубых погрешностей в серии многократных наблюдений

Представьте себе, что вы провели серию из, скажем, десяти измерений одного и того же параметра. Девять результатов легли плотно, а один выбивается из общего ряда, словно заблудившийся путник. Это и есть потенциальный промах – грубая погрешность, способная существенно исказить среднее значение и оценку точности. Игнорировать такие аномалии нельзя. При многократных измерениях (особенно при n > 4) для объективного выявления и исключения грубых погрешностей (промахов) используются статистические критерии.

Процедура исключения основана на проверке статистической гипотезы: принадлежит ли сомнительный результат данному ряду измерений или он является выбросом. Один из наиболее распространенных и рекомендованных ГОСТ Р 8.736-2011 критериев для небольшого числа измерений (n < 20) — это Критерий Граббса.

Применение критерия Граббса осуществляется по следующей логике:

1. Предварительный расчет: Сначала необходимо вычислить среднее арифметическое значение (x̄) и среднее квадратическое отклонение (S) для всей серии измерений, включая сомнительный результат.
2. Выявление кандидата: Определяется наиболее "подозрительный" результат — тот, который имеет максимальное отклонение от среднего арифметического (либо наибольшее, либо наименьшее значение в ряду).
3. Расчет критерия: Расчетное значение критерия Граббса (G_расч), согласно ГОСТ Р 8.736-2011, вычисляется для наибольшего (X_max) или наименьшего (X_min) результата измерений по формуле:
   Gрасч = |Xmax/min - x̅| / S
   Где x̄ — среднее арифметическое значение, а S — среднее квадратическое отклонение серии результатов.
4. Сравнение с критическим значением: Полученное G_расч сравнивается с табличным критическим значением G_крит, которое находится в Приложении А ГОСТ Р 8.736-2011. G_крит зависит от числа измерений (n) и заданного уровня значимости (обычно 0,05 или 0,01, что соответствует доверительной вероятности 0,95 или 0,99).
5. Принятие решения: Если G_расч превышает табличное критическое значение G_крит, то сомнительный результат считается промахом и исключается из ряда. После исключения промаха все последующие расчеты (среднее значение, СКО) повторяются с обновленным массивом данных. Если G_расч меньше или равно G_крит, то нет оснований считать результат промахом, и он остается в серии.

Для большого числа измерений (n > 50) предпочтительными могут быть другие критерии, например, критерии хи-квадрат (Χ²) К. Пирсона или омега-квадрат (ω²) Мизеса—Смирнова, которые используются для проверки принадлежности результатов к нормальному распределению в целом, а не для выявления отдельного выброса.

Расчет оценки измеряемой величины и случайной погрешности

После того как ряд измерений очищен от грубых погрешностей, можно переходить к основной статистической обработке. Цель этого этапа — получить наиболее точную оценку измеряемой величины и количественно оценить влияние случайных факторов.

Алгоритм обработки результатов прямых многократных измерений (по ГОСТ Р 8.736-2011, раздел 4 и 5) включает следующие шаги:

1. Получение серии из n независимых результатов измерений: x₁, x₂, …, x_n. Важно, чтобы измерения были независимыми друг от друга, что означает, что результат одного измерения не должен влиять на последующие. Рекомендуется проводить не менее 4 измерений (n ≥ 4) для статистической обработки.
2. Исключение известных систематических погреш��остей: Если природа систематических погрешностей известна и их величину можно определить, то в результаты измерений x_i вводятся соответствующие поправки. Это позволяет приблизить измеренные значения к истинным.
3. Вычисление оценки измеряемой величины (среднего арифметического значения) x̄:
   Наилучшей оценкой истинного значения измеряемой величины при многократных измерениях в присутствии случайных погрешностей является среднее арифметическое значение серии.
   x̅ = (1/n) ⋅ ∑ni=1 xi
4. Повторная проверка на наличие грубых погрешностей (промахов): После корректировки систематических погрешностей (если таковые были) и вычисления нового среднего значения, целесообразно еще раз проверить ряд на промахи, используя критерий Граббса.
5. Вычисление оценки среднего квадратического отклонения (СКО) серии результатов S:
   СКО характеризует степень рассеяния отдельных результатов измерений относительно их среднего значения. Это мера случайной погрешности, присущей одному измерению.
   S = √(∑ni=1 (xi - x̅)2 / (n - 1))
   Знаменатель (n — 1) используется для несмещенной оценки СКО, что особенно важно для малых выборок.
6. Вычисление оценки среднего квадратического отклонения (СКО) среднего арифметического значения S_x̄:
   Это одна из важнейших характеристик, поскольку она описывает точность самого среднего значения x̄, которое мы принимаем за оценку измеряемой величины. Очевидно, что среднее значение из n измерений будет точнее, чем любое отдельное измерение.
   Sx̅ = S / √n
7. Определение доверительных границ случайной погрешности (доверительной случайной погрешности) Δ_случ:
   Поскольку случайная погрешность не может быть полностью исключена, мы определяем интервал, в котором она находится с заданной доверительной вероятностью P (обычно P = 0,95 или 0,99).
   Δслуч = tP,ν ⋅ Sx̅
   Здесь t_P,ν – это коэффициент Стьюдента, который зависит от выбранной доверительной вероятности P и числа степеней свободы ν = n — 1. Чем больше число измерений (и, соответственно, степеней свободы), тем меньше коэффициент Стьюдента и уже доверительный интервал. Коэффициенты Стьюдента табулированы и доступны в любом справочнике по математической статистике или приложении к ГОСТ Р 8.736-2011.
8. Оценивание неисключенной систематической погрешности (НСП) Θ_Σ: Этот этап будет подробно рассмотрен в следующей главе, так как он требует отдельного анализа.
9. Вычисление доверительных границ погрешности оценки измеряемой величины (суммарной погрешности) Δ: Это также будет предметом следующего раздела.
10. Запись окончательного результата измерения: X = x̄ ± Δ (при P), с указанием доверительной вероятности. При записи окончательного результата, согласно ГОСТ Р 8.736-2011 (п. 9.1), округление Δ проводят до одной или двух значащих цифр; x̄ округляют до того же разряда, что и Δ. Это правило обеспечивает корректное и единообразное представление результатов.

Таким образом, последовательное выполнение этих шагов позволяет не только получить наиболее вероятное значение измеряемой величины, но и дать количественную оценку его надежности, что является ключевым для любой инженерной или научной задачи.

Комплексная оценка точности: Сравнительный анализ моделей погрешности и неопределенности

Современная метрология находится на перекрестке двух мощных методологий оценки точности: традиционной модели погрешности, исторически доминировавшей в отечественной практике, и относительно новой, но всемирно признанной концепции неопределенности. Несмотря на различия в терминологии и подходе, эти модели стремятся к одной цели — дать полную и достоверную картину качества результата измерения. В этой главе мы не только углубимся в методы расчета суммарной погрешности, но и проведем компаративный анализ, демонстрируя математическую связь между двумя подходами.

Оценивание суммарной (предельной) погрешности Δ

Когда речь идет о комплексной оценке точности, необходимо учесть все источники ошибок. Суммарная погрешность Δ оценки измеряемой величины является итоговой характеристикой, которая включает в себя как случайную, так и неисключенную систематическую составляющие. Эти два вида погрешностей имеют разную природу, но их совместное влияние формирует общую неопределенность результата.

При наличии случайной (Δ_случ) и неисключенной систематической (Θ_Σ) погрешностей, которые считаются независимыми, суммарная (предельная) погрешность Δ определяется как квадратичная сумма составляющих. Это правило сложения дисперсий основано на предположении, что случайные и систематические составляющие являются независимыми случайными величинами, а их вклады в общую погрешность складываются по принципу Пифагора:

Δ = √((Δслуч)2 + (ΘΣ)2)

Ключевым моментом здесь является корректное оценивание неисключенной систематической погрешности (НСП) Θ_Σ. Она может складываться из нескольких источников (например, погрешность измерительного прибора, погрешность метода, погрешность калибровочных эталонов). Правила суммирования границ отдельных составляющих НСП зависят от их числа:

• При числе составляющих НСП m < 3: В этом случае, когда источников систематических погрешностей мало, предел НСП Θ_Σ определяется прямым суммированием границ отдельных составляющих Θ_i:
  ΘΣ = ∑mi=1 |Θi| (согласно ГОСТ Р 8.736-2011, п. 8.2).
  Это консервативный подход, который предполагает наихудший сценарий, когда все систематические погрешности складываются в одном направлении.
• При числе составляющих НСП m ≥ 3: Когда источников систематических погрешностей три или более, их границы Θ_i обычно суммируются по принципу корня квадратного из суммы квадратов. Это связано с тем, что при большом количестве случайных по знаку, но систематических по природе составляющих, вероятность их одновременного суммирования в одном направлении уменьшается.
  ΘΣ = √(∑mi=1 Θi2)
  Для m ≥ 3 и равномерном распределении допускается использовать формулу Θ_Σ(P) = k ⋅ √(∑^m_i=1 Θ_i²), где коэффициент k ≈ 1.1 для P=0,95. Это происходит из-за того, что композиция равномерных распределений стремится к нормальному, и коэффициент 1.1 учитывает этот переход.

Концепция неопределенности (GUM) и ее применение в России (ГОСТ Р 54500.3-2011)

Наряду с традиционным подходом к погрешностям, в мировой метрологической практике все большее распространение получает концепция неопределенности, изложенная в "Руководстве по выражению неопределенности измерения" (GUM – Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement). В России эта концепция адаптирована в ГОСТ Р 54500.3-2011. GUM предлагает более универсальный и математически строгий подход к оценке качества измерений, фокусируясь на "разбросе значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине".

Основное отличие GUM — классификация методов оценивания неопределенности, а не самих ее источников:

• Оценка по типу А (u_A): Оценивается путем статистического анализа ряда наблюдений. Это означает, что u_A напрямую связана со случайной составляющей, которая проявляется в рассеянии результатов многократных измерений. По сути, стандартная неопределенность типа А эквивалентна среднему квадратическому отклонению среднего арифметического значения (S_x̄), которое мы рассчитывали по ГОСТ Р 8.736-2011.
  Таким образом, u_A = S_x̄.
• Оценка по типу В (u_B): Оценивается другими методами, не связанными со статистическим анализом серии наблюдений. Для этого используется априорная информация, например:
  • Паспортные данные измерительных приборов (пределы допускаемой погрешности).
  • Данные калибровочных сертификатов.
  • Опыт экспертов или общие знания о свойствах материалов.
  • Информация из других источников (справочники, научные публикации).

  Оценка по типу В соответствует неисключенным систематическим погрешностям (НСП).

  Если граница погрешности Θ_i задана (например, ±1% от диапазона прибора), и отсутствует информация о законе распределения, часто принимается равномерное (прямоугольное) распределение. В этом случае стандартная неопределенность u_B,i вычисляется как:
  uB,i = Θi / √3
  Это происходит потому, что для равномерного распределения в интервале [ -a, a ] дисперсия равна a²/3, а стандартное отклонение (неопределенность) соответственно a/√3.
  Если имеется несколько таких источников, их стандартные неопределенности u_B,i суммируются квадратично для получения суммарной u_B:
  uB = √(∑mi=1 uB,i2)

Соотношение и конвергенция подходов: Погрешность vs. Неопределенность

Наиболее интересным и важным аспектом является понимание того, как эти две методологии — погрешность и неопределенность — соотносятся друг с другом. На первый взгляд они кажутся разными, но на самом деле они конвергируют, предоставляя эквивалентные оценки точности, если применять их корректно.

Математическая связь:

1. Случайная составляющая: Как уже было отмечено, стандартная неопределенность типа А (u_A) математически эквивалентна среднему квадратическому отклонению среднего арифметического значения (S_x̄).
   S_x̄ ↔ u_A
2. Систематическая составляющая: Неисключенная систематическая погрешность (НСП) Θ_Σ в модели погрешности имеет прямое соответствие с оценкой неопределенности типа В (u_B) в модели GUM. Принимая равномерное распределение для НСП, мы можем установить следующую связь:
   Θ_Σ ↔ u_B ⋅ √3
   Это означает, что граница НСП Θ_Σ численно равна u_B, умноженной на √3, при условии, что систематическая погрешность распределена равномерно.

После получения стандартных неопределенностей типа А и В, вычисляется Суммарная стандартная неопределенность (u_c). Если входные величины некоррелированы (что является частым и обоснованным допущением для большинства прямых измерений), u_c определяется как корень квадратный из суммы квадратов стандартных неопределенностей:

uc = √(uA2 + uB2)

Финальным шагом в рамках GUM является расчет Расширенной неопределенности (U). Расширенная неопределенность — это интервал, в пределах которого с заданным уровнем доверия (обычно P = 0,95 или 0,99) находится большая часть распределения значений измеряемой величины. Она получается путем умножения суммарной стандартной неопределенности на коэффициент охвата (k):

U = k ⋅ uc

Выбор коэффициента охвата k зависит от требуемого уровня доверия и от закона распределения суммарной неопределенности. Часто, при предположении о нормальном распределении и уровне доверия P ≈ 0,95, принимают k=2. Однако для малых выборок и ненормального распределения, k может быть получен из распределения Стьюдента, аналогично коэффициенту t_P,ν в модели погрешности.

Таким образом, обе модели, при правильном применении, приводят к сопоставимым результатам, выражая точность измерения через интервал, в котором находится истинное значение. Модель погрешности фокусируется на разделении ошибок по их природе (случайные, систематические), а модель неопределенности — на методах их оценивания (статистический анализ vs. априорные данные). Понимание этой взаимосвязи позволяет инженерам и метрологам свободно переключаться между национальными и международными стандартами, обеспечивая единство и сопоставимость измерительных данных на глобальном уровне.

Практический кейс: Обработка результатов многократного измерения

Теоретические концепции и нормативные требования обретают полный смысл только при их применении на практике. В этой главе мы продемонстрируем пошаговую обработку результатов прямых многократных измерений, используя конкретный числовой пример. Этот кейс позволит не только закрепить изученный материал, но и наглядно сравнить подходы, предлагаемые ГОСТ Р 8.736-2011 (модель погрешности) и ГОСТ Р 54500.3-2011 (концепция неопределенности).

Исходные данные и постановка задачи

Предположим, инженер проводит серию прямых многократных измерений электрического сопротивления резистора (R) с использованием цифрового мультиметра. Получена следующая серия из n=10 независимых результатов измерений в Омах (Ом):

Серия измерений R (Ом):
99.8, 100.2, 99.7, 100.5, 99.9, 100.1, 99.6, 100.3, 99.5, 100.4

Дополнительные условия:

• Доверительная вероятность P = 0,95.
• Известны следующие неисключенные систематические погрешности (НСП):
  • Погрешность мультиметра (инструментальная): Θ₁ = ±0.1 Ом
  • Погрешность подключения (контактное сопротивление): Θ₂ = ±0.05 Ом

Задача:

1. Обработать результаты измерений по алгоритму ГОСТ Р 8.736-2011, включая проверку на промахи и расчет суммарной погрешности Δ.
2. Оценить неопределенность измерений по концепции GUM (ГОСТ Р 54500.3-2011), рассчитав расширенную неопределенность U.
3. Корректно оформить окончательный результат.

Пошаговый расчет по алгоритму ГОСТ Р 8.736-2011

Приступаем к обработке данных согласно последовательности, определенной национальным стандартом.

1. Исходные данные:
   n = 10
   x_i = [99.8, 100.2, 99.7, 100.5, 99.9, 100.1, 99.6, 100.3, 99.5, 100.4]
2. Вычисление среднего арифметического значения x̄:
   x̅ = (99.8 + 100.2 + 99.7 + 100.5 + 99.9 + 100.1 + 99.6 + 100.3 + 99.5 + 100.4) / 10 = 1000 / 10 = 100.00 Ом
3. Проверка на наличие грубых погрешностей (промахов) с использованием критерия Граббса.
   Для этого сначала рассчитаем СКО серии S:
   ∑(x_i — x̄)² = (99.8-100)² + (100.2-100)² + … + (100.4-100)²
   = (-0.2)² + (0.2)² + (-0.3)² + (0.5)² + (-0.1)² + (0.1)² + (-0.4)² + (0.3)² + (-0.5)² + (0.4)²
   = 0.04 + 0.04 + 0.09 + 0.25 + 0.01 + 0.01 + 0.16 + 0.09 + 0.25 + 0.16 = 1.30
   S = √(1.30 / (10 - 1)) = √(1.30 / 9) = √0.1444 ≈ 0.3800 Ом

   Теперь применим критерий Граббса.
   Максимальное отклонение от x̄ = 100.00:
   X_max = 100.5 (отклонение 0.5)
   X_min = 99.5 (отклонение -0.5)
   В обоих случаях абсолютное отклонение равно 0.5. Выберем, например, X_max.
   Gрасч = |100.5 - 100.00| / 0.3800 = 0.5 / 0.3800 ≈ 1.316

   Для n=10 и P=0.95 (уровень значимости α = 0.05), критическое значение G_крит из Приложения А ГОСТ Р 8.736-2011 равно 2.17.
   Поскольку G_расч (1.316) < G_крит (2.17), нет оснований для исключения промахов. Ряд данных остается без изменений.

4. Вычисление оценки среднего квадратического отклонения (СКО) среднего арифметического значения S_x̄:
   Sx̅ = S / √n = 0.3800 / √10 = 0.3800 / 3.1623 ≈ 0.1202 Ом
5. Определение доверительных границ случайной погрешности Δ_случ:
   Для P = 0.95 и ν = n — 1 = 10 — 1 = 9 степеней свободы, коэффициент Стьюдента t_P,ν = t_0.95,9 ≈ 2.262 (из таблиц).
   Δслуч = tP,ν ⋅ Sx̅ = 2.262 ⋅ 0.1202 ≈ 0.2719 Ом
6. Оценивание неисключенной систематической погрешности (НСП) Θ_Σ:
   Имеем две составляющие НСП: Θ₁ = ±0.1 Ом и Θ₂ = ±0.05 Ом.
   Число составляющих m = 2, что меньше 3. Поэтому используем прямое суммирование:
   ΘΣ = |Θ1| + |Θ2| = 0.1 + 0.05 = 0.15 Ом
7. Вычисление доверительных границ погрешности (суммарной погрешности) Δ:
   Δ = √((Δслуч)2 + (ΘΣ)2) = √((0.2719)2 + (0.15)2)
Δ = √(0.0739 + 0.0225) = √0.0964 ≈ 0.3105 Ом

Сравнительный расчет по модели неопределенности (GUM)

Теперь проведем аналогичные расчеты, используя концепцию неопределенности GUM/ГОСТ Р 54500.3-2011.

1. Оценка стандартной неопределенности по типу А (u_A):
   u_A = S_x̄ ≈ 0.1202 Ом. (Мы уже рассчитали S_x̄ на предыдущем этапе).
2. Оценка стандартной неопределенности по типу В (u_B) для каждой составляющей:
   Предполагаем равномерное распределение для Θ₁ и Θ₂.
   • Для Θ₁ = ±0.1 Ом: uB,1 = Θ1 / √3 = 0.1 / √3 ≈ 0.1 / 1.732 ≈ 0.0577 Ом
   • Для Θ₂ = ±0.05 Ом: uB,2 = Θ2 / √3 = 0.05 / √3 ≈ 0.05 / 1.732 ≈ 0.0289 Ом

   Суммарная стандартная неопределенность типа В:

   uB = √(uB,12 + uB,22) = √(0.05772 + 0.02892)
uB = √(0.00333 + 0.000835) = √0.004165 ≈ 0.0645 Ом

   Примечание о конвергенции: Если бы мы суммировали u_B с использованием Θ_Σ = 0.15 Ом напрямую (для m < 3), это было бы менее корректно с точки зрения GUM, где суммируются стандартные неопределенности. Однако, если бы мы имели дело с большим числом источников НСП (m ≥ 3) и использовали бы формулу Θ_Σ = √(∑Θ_i²), то u_B была бы просто Θ_Σ / √3.
   Давайте проверим: Θ_Σ (квадратичное суммирование) = √(Θ₁² + Θ₂²) = √(0.1² + 0.05²) = √(0.01 + 0.0025) = √0.0125 ≈ 0.1118 Ом.
   Если принять Θ_Σ ≈ 0.1118 Ом, тогда u_B = 0.1118 / √3 ≈ 0.0645 Ом. Это показывает, что при переходе от НСП к u_B важно согласовывать метод суммирования НСП с принципами GUM (т.е., если НСП складывается квадратично, то и u_B из нее получается делением на √3 от этого квадратичного суммирования). В нашем случае, поскольку m < 3, по ГОСТ Р 8.736-2011 мы суммируем Θ_i линейно, а по GUM мы преобразуем каждую Θ_i в u_B,i и суммируем квадратично.

   3. Вычисление суммарной стандартной неопределенности u_c:
      uc = √(uA2 + uB2) = √(0.12022 + 0.06452)
uc = √(0.01445 + 0.00416) = √0.01861 ≈ 0.1364 Ом
   4. Расчет расширенной неопределенности U:
      Для P = 0.95, обычно принимают коэффициент охвата k = 2 (если суммарное распределение близко к нормальному).
      U = k ⋅ uc = 2 ⋅ 0.1364 ≈ 0.2728 Ом

   Сравнение Δ и U: Мы получили Δ ≈ 0.3105 Ом и U ≈ 0.2728 Ом. Различие связано с методом суммирования НСП (линейное для Θ_Σ в ГОСТ) и использованием разных коэффициентов (t_P,ν против k=2). Если бы НСП суммировалась квадратично, и t_P,ν было бы близко к 2, результаты были бы еще ближе.

   Корректное оформление окончательного результата измерений

   Согласно ГОСТ Р 8.736-2011 (п. 9.1), округление Δ (или U) проводят до одной или двух значащих цифр. Оценка измеряемой величины (x̄) округляется до того же разряда, что и Δ (или U).

   Результат по модели погрешности (ГОСТ):
   Δ = 0.3105 Ом. Округляем до двух значащих цифр: 0.31 Ом.
   x̄ = 100.00 Ом. Округляем до сотых: 100.00 Ом.
   Окончательный результат: R = (100.00 ± 0.31) Ом при P = 0.95.

   Результат по модели неопределенности (GUM):
   U = 0.2728 Ом. Округляем до двух значащих цифр: 0.27 Ом.
   x̄ = 100.00 Ом. Округляем до сотых: 100.00 Ом.
   Окончательный результат: R = (100.00 ± 0.27) Ом с расширенной неопределенностью при коэффициенте охвата k=2.

   Вывод по кейсу:
   Как видно из примера, оба подхода дают сопоставимые результаты, хотя и не идентичные из-за различных правил суммирования НСП и использования разных коэффициентов (Стьюдента против коэффициента охвата). Модель погрешности (ГОСТ) в данном случае дала чуть более консервативную (большую) оценку интервала, что объясняется прямым суммированием НСП. Модель неопределенности (GUM) предлагает более унифицированный подход к объединению различных источников неопределенности. Важно, чтобы при представлении результатов всегда четко указывался используемый подход, а также все параметры, такие как доверительная вероятность или коэффициент охвата.

   Заключение

   Путешествие по миру статистической обработки результатов прямых многократных измерений, от законодательных основ до практических расчетов, выявило не только сложность, но и удивительную стройность метрологической науки. Мы убедились, что обеспечение единства измерений — это не просто бюрократическая процедура, а краеугольный камень достоверности данных, жизненно важный для инженерии, науки и экономики.

   Ключевым выводом работы является подтверждение необходимости глубокого понимания как традиционной модели погрешности, регламентированной ГОСТ Р 8.736-2011, так и современной концепции неопределенности (GUM), адаптированной в ГОСТ Р 54500.3-2011. При этом было особо подчеркнуто, что эффективность применения этих методов напрямую зависит от использования актуальной нормативно-правовой базы РФ, включая последние изменения в Федеральном законе N 102-ФЗ от 08 августа 2024 года. Игнорирование этих обновлений может привести к невалидным или устаревшим результатам.

   Мы детально рассмотрели классификацию погрешностей, их математические модели, а также пошаговые алгоритмы обработки данных. Отдельное внимание было уделено процедуре выявления и исключения грубых погрешностей с помощью критерия Граббса, а также тонкостям расчета среднего арифметического, СКО и доверительных интервалов.

   Наиболее ценным, на наш взгляд, является комплексный, двухчастный анализ, проведенный в Главе 3 и Главе 4. Мы не только раскрыли суть оценок неопределенности по типу А (u_A) и типу В (u_B), но и четко показали их математическую связь с составляющими погрешности (Δ_случ и Θ_Σ). Наглядный практический кейс продемонстрировал, как одни и те же исходные данные обрабатываются по двум методологиям, приводя к сопоставимым результатам и раскрывая нюансы каждого подхода. Это позволяет инженерам и метрологам не только следовать национальным стандартам, но и быть готовыми к работе в международной измерительной среде.

   В заключение следует отметить, что данная работа заложила прочный фундамент для дальнейших исследований. Перспективы развития метрологии лежат в области автоматизации обработки данных, внедрения новых алгоритмов машинного обучения для выявления аномалий, а также в углубленном анализе косвенных измерений и комплексных измерительных систем, где задача оценки неопределенности становится еще более многогранной. Понимание изложенных принципов является необходимым условием для каждого специалиста, чья деятельность связана с получением и анализом измерительной информации.

   Список использованной литературы

   1. РМГ 29-2013 ГСИ. Метрология. Основные термины и определения [Электронный ресурс]. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200105740 (дата обращения: 07.10.2025).
   2. ГОСТ Р 8.736-2011 Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения (с Поправкой) [Электронный ресурс]. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200088998 (дата обращения: 07.10.2025).
   3. Федеральный закон «Об обеспечении единства измерений» от 26.06.2008 N 102-ФЗ (последняя редакция) [Электронный ресурс]. URL: https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_77934/ (дата обращения: 07.10.2025).
   4. ГОСТ Р 54500.3-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения [Электронный ресурс]. URL: https://rts-tender.ru/gost/gost-r-54500-3-2011 (дата обращения: 07.10.2025).
   5. Примеры расчета неопределенности измерений — Profilab.by — Профилаб [Электронный ресурс]. URL: https://profilab.by/articles/uncertainty_calculation_examples (дата обращения: 07.10.2025).
   6. СМ. Выражение и оценивание неопределенности результатов измерения РИ — Национальный центр аккредитации [Электронный ресурс]. URL: https://nca.kz/metod-materialy/rekomendatsii-po-vnutrennim-protseduram/sm-vyrazhenie-i-otsenivanie-neopredelennosti-rezultatov-izmereniy-ri-03-07-13 (дата обращения: 07.10.2025).
   7. Наиболее общие подходы к метрологической обработке результатов многократных измерений [Электронный ресурс]. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/naibolee-obschie-podhody-k-metrologicheskoy-obrabotke-rezultatov-mnogokratnyh-izmereniy (дата обращения: 07.10.2025).
   8. РАСЧЁТ ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 1.1. Описание работы 1.2. Основные п. [Электронный ресурс]. URL: https://gumrf.ru/upload/doc_metod/metrolog/rgr_1_3.pdf (дата обращения: 07.10.2025).
   9. Выявление промахов — Метрология и технические измерения — Bstudy [Электронный ресурс]. URL: https://bstudy.net/603310/tehnika/vyyavlenie_promahov (дата обращения: 07.10.2025).
   10. Погрешность измерений. Классификация — Справочник метролога [Электронный ресурс]. URL: https://metrologu.ru/pogreshnost_izmereniy_klassifikatsiya (дата обращения: 07.10.2025).

   С этим материалом также изучают

   Октябрьская революция 1917 года в России как результат реализации стратегии и тактики большевиков: ход, результаты и значения для судеб России

   ... в России как результат реализации стратегии и тактики большевиков: ход, результаты и значения для судеб России ОглавлениеВведение ... ред. А.Н. Сахарова. М., 2001.3.История России. Учебник для высших учебных заведений. М., 1997.4.Левандовский А.А., ...

   Стандарт организации измерений: структура, содержание и пример оформления для студенческих работ

   Подробное руководство по созданию раздела о стандарте измерений для курсовой. Рассматриваем структуру документа, настройку нутромера и оценку неопределенности.

   Измерения и обработка результатов в психологическом исследовании

   ... измерений и способов статистической обработки получаемых при этом результатов. Однако следует иметь в виду, что знакомство с материалом данного раздела не может заменить студенту систематического ...

   Международные бухгалтерские стандарты и их значение для совершенствования бухгалтерского учета

   ... и их значение для совершенствования бухгалтерского ... измерения, в которых они возникали. В дальнейшем появилась «простая бухгалтерия», представлявшая собой систему сплошного и систематического ... 3.2 Результаты внедрения МСФО ... том, что современная ... это ...

   Объект психологии: Историко-методологический анализ и прикладное значение для профессиональной деятельности юриста

   Историко-методологический анализ объекта психологии и его прикладное значение в работе юриста: от допросов до переговоров. Углубитесь в понимание человеческого фактора в праве.

   «Брут» Цицерона: Деконструкция риторического наследия и значение для античной и современной мысли

   Глубокий анализ трактата "Брут" Цицерона: его место в истории риторики, концепция идеального оратора, влияние на европейскую мысль и актуальность сегодня.

   Лекарственные растения семейства Астровых, имеющие практическое значение для медицины и фармации

   ... результаты анкетирования. Цель. Исследование лекарственных растений семейства Астровых, имеющих практическое значение для ... литературы БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. ГОСТ 24027. 2-80 Сырье ... с искусственно созданной структурой, что определяет возможность их ...

   Анализ финансового состояния и его значение для управления корпорацией на примере ЗАО «ДСК «Блок»

   ... состояния и его значение для повышения эффективности ... более точно оценить неопределенность ситуации с ... финансовой устойчивости2.3 Анализ результатов финансово-хозяйственной ... работы определяется тем, что научные и ... связи с этим существенно возрастает ...

   ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ КУРСОВАЯ РАБОТА Тема: Измерение счастья – значение для менеджмента

   ... лет, не менее 30. Измерение счастья: значение для менеджмента 20 1. ... это», как «это» понимать, как к «этому» относиться: «это» в данном случае объект исследования) Действие Результат ... по выбранной теме. Это значит, что словесная формулировка задачи ...

   Международное измерение глобальных экологических проблем — комплексный анализ для исследователей

   Научный доклад, представляющий системный анализ ключевых экологических проблем современности в контексте международных отношений. Рассматриваются их влияние на мировую политику и безопасность, а также раскрываются основные подходы и методы их научного изучения.