Модель Марковица: Глубокий анализ, математическая оптимизация и преодоление ограничений в формировании эффективного инвестиционного портфеля

Введение: Актуальность, цели и задачи исследования

В условиях перманентной рыночной волатильности и постоянно усложняющейся структуры финансовых инструментов, задача эффективного управления инвестиционным капиталом приобретает критическое значение. Успех инвестиционной деятельности напрямую зависит от способности инвестора или управляющего активами принимать решения, основанные на строгом анализе и математическом моделировании, а не на интуиции. Фундаментальной основой для такого анализа является Современная Портфельная Теория (Modern Portfolio Theory, MPT), разработанная Гарри Марковицем.

Актуальность исследования обусловлена тем, что, несмотря на появление множества более сложных и адаптированных к практике моделей, средне-дисперсионный подход Марковица остается краеугольным камнем финансовой экономики. Он дает единственно строгое определение диверсификации и эффективности портфеля, что является критически важным для построения надежной инвестиционной стратегии. Вместе с тем, классическая модель имеет ряд серьезных ограничений, особенно в контексте краткосрочного прогнозирования. Это требует не только понимания ее математического аппарата, но и анализа современных модификаций, которые позволяют преодолеть эти недостатки, следовательно, изучение MPT должно всегда включать обзор методов повышения ее устойчивости.

Цель данной работы — провести глубокий теоретический анализ и практическое моделирование оптимального инвестиционного портфеля на основе корреляционного алгоритма Марковица, а также изучить ключевые ограничения модели и пути их преодоления с помощью современных финансовых технологий.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Раскрыть теоретические допущения и математическую постановку задачи оптимизации по Марковицу.
2. Детализировать алгоритм расчета ключевых входных параметров: ожидаемой доходности, дисперсии и ковариационной матрицы.
3. Проанализировать процесс построения Границы эффективности (Efficient Frontier) и принципы выбора оптимального портфеля.
4. Выявить и критически оценить основные ограничения классической модели, включая проблему чувствительности к ошибкам входных данных.
5. Изучить и описать современные модификации, используемые для повышения устойчивости и практической применимости портфельной теории.

Структура работы построена на логическом переходе от фундаментальных теоретических основ к сложному математическому моделированию, критическому анализу и, наконец, обзору инновационных практических решений, что полностью соответствует требованиям к углубленному исследовательскому проекту.

Теоретические основы Современной Портфельной Теории (MPT)

Ключевой тезис: Представить эволюцию портфельной теории, начиная с основополагающей работы Г. Марковица (1952) и его Нобелевской премии (1990).

Современная Портфельная Теория (MPT) знаменует собой революционный переход от интуитивного выбора инвестиций к строгому математическому подходу. До публикации Гарри Марковицем в 1952 году в «Journal of Finance» статьи «Выбор портфеля» (Portfolio Selection) процесс инвестирования сводился к выбору отдельных «хороших» активов. Марковиц впервые предложил рассматривать не просто отдельные ценные бумаги, а портфель как единый объект анализа, определяемый его совокупными риском и доходностью, что позволило перевернуть традиционное понимание диверсификации.

Основная заслуга Марковица, за которую он позднее, в 1990 году, был удостоен Нобелевской премии по экономике, заключается в том, что он предложил теоретико-вероятностную формализацию понятий «доходность» (как ожидаемое значение) и «риск» (как стандартное отклонение доходности). Этот подход, известный как средне-дисперсионный анализ (*mean-variance analysis*), позволил перевести задачу выбора портфеля из области финансового искусства в область математической оптимизации.

Базовые допущения средне-дисперсионного анализа

Для того чтобы задача оптимизации имела строгое математическое решение, модель Марковица опирается на ряд ключевых допущений, которые задают рамки рационального поведения инвестора и идеализированной рыночной среды:

1. Рациональность и неприятие риска. Инвестор является рациональным экономическим агентом, который стремится либо максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска, либо минимизировать риск при заданном уровне ожидаемой доходности. Он аверсивен к риску, то есть при равной ожидаемой доходности всегда выберет портфель с меньшим риском.
2. Оценка на один период. Все решения принимаются на один фиксированный период. Доходности и риски оцениваются на основе информации, доступной в начале периода, и предполагается, что эти параметры остаются стабильными до конца периода.
3. Оценка только по двум параметрам. Инвестор оценивает любой инвестиционный портфель исключительно на основе двух параметров: ожидаемой доходности и дисперсии (риска).
4. Идеальный рынок. Предполагается отсутствие транзакционных издержек, налогов, инфляции и ограничений на операции (например, возможность неограниченных коротких продаж).
5. Доступ к информации. Вся информация, необходимая для оценки активов, доступна инвестору, и он может ее эффективно использовать.

Понятия риска, доходности и диверсификации

В рамках MPT риск и доходность получают строгое количественное определение, что является ключевым для последующего моделирования.

Ожидаемая доходность ($E(R)$): Доходность актива или портфеля определяется как математическое ожидание его будущей доходности. При использовании исторических данных (для аппроксимации будущего) она рассчитывается как среднее арифметическое или среднее геометрическое исторических доходностей за выбранный период.

Риск ($\sigma$): Риск в модели Марковица отождествляется со стандартным отклонением (квадратным корнем из дисперсии) доходности. Этот показатель измеряет степень разброса фактических доходностей относительно ожидаемого значения. Чем выше стандартное отклонение, тем выше волатильность актива и, соответственно, риск.

Эффект диверсификации: Самый важный вывод MPT заключается в том, что риск портфеля — это не просто сумма рисков отдельных активов. Риск портфеля зависит от того, как доходности активов коррелируют друг с другом. Диверсификация — это процесс комбинирования активов таким образом, чтобы общий риск портфеля был ниже, чем средневзвешенный риск его составляющих. Этот эффект достигается при использовании активов с низкой или отрицательной ковариацией (или коэффициентом корреляции) между их доходностями. Чем меньше корреляция между активами, тем сильнее эффект диверсификации и, следовательно, ниже риск портфеля. Математический аппарат модели позволяет точно измерить этот эффект.

Математический аппарат модели Марковица: Расчет входных параметров

Ключевой тезис: Представить строгие формулы для расчета ключевых входных параметров, необходимых для практического моделирования.

Задача оптимизации портфеля требует точной оценки двух групп входных данных: ожидаемых доходностей отдельных активов (вектор $E(R)$) и их взаимосвязей (ковариационная матрица $\Sigma$).

Расчет ожидаемой доходности и риска активов

Для практического моделирования, в рамках курсовой работы, будущие ожидаемые доходности и риски обычно аппроксимируются на основе анализа исторических данных. Пусть $R_{i,t}$ — доходность актива $i$ в период $t$, а $T$ — общее число наблюдаемых периодов.

1. Ожидаемая доходность отдельного актива ($E(R_i)$)

В классической постановке Марковица, ожидаемая доходность $E(R_i)$ рассчитывается как среднее арифметическое исторических доходностей:

E(Ri) = R̄i = (1/T) Σt=1T Ri,t

2. Риск отдельного актива (стандартное отклонение, $\sigma_i$)

Риск актива $i$ рассчитывается как квадратный корень из дисперсии доходности. При использовании выборочных данных применяется формула с корректировкой на $(T-1)$ для несмещенной оценки:

σi = √((1/(T-1)) Σt=1T (Ri,t - R̄i)2)

Ковариационная матрица и риск портфеля

Ключом к модели Марковица является расчет риска портфеля, который учитывает взаимодействие активов через ковариацию.

3. Ковариация ($\sigma_{i,j}$)

Ковариация между доходностями активов $i$ и $j$ измеряет степень их совместного движения.

σi,j = (1/(T-1)) Σt=1T (Ri,t - R̄i) (Rj,t - R̄j)

Ковариация тесно связана с коэффициентом парной линейной корреляции ($\rho_{i,j}$), который нормализует ковариацию и лежит в диапазоне от -1 до +1:

σi,j = ρi,j · σi · σj

• $\rho_{i,j} = +1$ означает идеальную положительную корреляцию (активы движутся синхронно).
• $\rho_{i,j} = -1$ означает идеальную отрицательную корреляцию (активы движутся противонаправленно, обеспечивая максимальный эффект диверсификации).
• $\rho_{i,j} = 0$ означает отсутствие линейной связи.

4. Ожидаемая доходность портфеля ($E(R_p)$)

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из $n$ активов, является линейной функцией ожидаемых доходностей отдельных активов, взвешенных по их долям ($w_i$):

E(Rp) = Σi=1n wi E(Ri)

5. Риск портфеля (Дисперсия, $\sigma^2_p$)

Риск портфеля является нелинейной функцией весов и представляет собой ключевую формулу MPT, поскольку она включает все попарные ковариации:

σ²p = Σi=1n Σj=1n wi wj σi,j

Роль Ковариации: Если портфель состоит из трех активов (A, B, C), формула дисперсии будет включать 9 членов: три дисперсии (A-A, B-B, C-C) и шесть ковариаций (A-B, B-A, A-C, C-A, B-C, C-B). Именно наличие ковариационных членов позволяет достичь диверсификации, снижая общий риск портфеля ниже, чем риск его компонентов. Однако, как показывает практика, точность этих входных данных критически важна.

Сводная таблица ключевых параметров портфеля

Параметр	Формула	Экономический смысл
Доходность портфеля	Σ wi E(Ri)	Взвешенное среднее доходностей.
Риск портфеля	Σ Σ wi wj σi,j	Сумма всех дисперсий и ковариаций.
Ковариация	ρi,j σi σj	Измерение совместного движения активов.

Задача оптимизации и построение Границы эффективности (Efficient Frontier)

Ключевой тезис: Формализовать задачу Марковица как задачу квадратической оптимизации.

Задача Марковица сводится к поиску оптимальных весов ($w_i$) для $n$ активов, которые формируют портфель с наилучшим соотношением «риск/доходность». Это классическая задача математического программирования, а именно, задача квадратической оптимизации (Quadratic Programming, QP), поскольку целевая функция (дисперсия портфеля) является квадратичной, а ограничения (доходность и веса) — линейными.

Каноническая постановка оптимизационной задачи

Для построения Границы эффективности решается двойная задача:

1. Минимизация риска при заданном уровне доходности.
2. Максимизация доходности при заданном уровне риска.

Каноническая постановка для минимизации риска выглядит следующим образом:

Минимизировать: σ²p = Σi=1n Σj=1n wi wj σi,j

При ограничениях:

1. Требуемая доходность ($E^*$):

   Σi=1n wi E(Ri) = E*

2. Полная инвестиция (Сумма весов):

   Σi=1n wi = 1

3. Отсутствие коротких продаж (Long-only):

   wi ≥ 0 для всех i

Решая эту задачу многократно для различных значений требуемой доходности ($E^*$), от самого низкого до самого высокого, мы получаем множество оптимальных комбинаций весов, которые и формируют Границу эффективности.

Алгоритм построения и интерпретация Границы эффективности

Пространство всех возможных комбинаций активов (при условии $\sum w_i = 1$) называется Областью допустимых портфелей. На графике «Риск–Доходность» (где по оси X откладывается $\sigma_p$, а по оси Y — $E(R_p)$) эта область имеет форму гиперболы.

Граница эффективности (Efficient Frontier) — это верхняя, выпуклая ветвь этой гиперболы.

Любой портфель, лежащий ниже Границы эффективности, является субоптимальным (неэффективным), так как существует другой портфель на границе, который при том же риске ($\sigma_p$) обеспечивает более высокую ожидаемую доходность, или при той же доходности ($E(R_p)$) имеет меньший риск. Портфели, лежащие на Границе эффективности, являются эффективными, поскольку они представляют наилучший компромисс между риском и доходностью.

Портфель минимальной дисперсии (Minimum Variance Portfolio, MVP):

Это крайняя левая точка на Границе эффективности. MVP — это портфель, который имеет наименьший возможный риск среди всех портфелей, составленных из данных рисковых активов, независимо от требуемой доходности.

Выбор оптимального портфеля:

Выбор конкретного портфеля на Границе эффективности зависит от индивидуальных предпочтений инвестора. Эти предпочтения описываются кривыми безразличия (Indifference Curves). Оптимальным для конкретного инвестора является тот портфель, который лежит в точке касания Границы эффективности с самой высокой из его кривых безразличия. Эта точка отражает максимальную полезность (Utility) для инвестора, балансируя его склонность к риску и стремление к доходности. Какую именно точку на Границе эффективности выберет инвестор, если он максимально не склонен к риску?

Критический анализ: Практические ограничения и проблема чувствительности входных данных

Ключевой тезис: Раскрыть основные практические причины, по которым классическая модель не используется в чистом виде, с акцентом на академическую критику.

Несмотря на свою теоретическую элегантность, классическая модель Марковица столкнулась с серьезными проблемами при попытке ее прямого применения на реальном финансовом рынке, особенно при работе с большим числом активов (более 10–15).

Проблема нестабильности и прогнозирования ожидаемой доходности

Основная слабость MPT заключается в ее высокой зависимости от качества входных данных. В классической постановке $E(R)$ аппроксимируется историческими данными. Однако фундаментальная проблема заключается в том, что историческая доходность является крайне слабым прогностическим фактором будущей доходности.

Финансовые рынки не являются стационарными процессами. Изменения в макроэкономической политике, корпоративных стратегиях и настроениях инвесторов могут резко изменить будущие доходности, делая исторические оценки устаревшими. Это приводит к тому, что оптимальные веса, рассчитанные по историческим данным, часто оказываются неадекватными для будущих периодов, поскольку инвестор оптимизирует портфель для прошлого, а не для будущего.

Чувствительность к ошибкам входных данных: Количественный аспект

Критический недостаток модели — ее экстремальная чувствительность к малейшим ошибкам в оценке входных параметров. В 1993 году в своем исследовании Вадим Чопра и Уоррен Зиемба (Chopra and Ziemba) продемонстрировали этот эффект количественно.

Количественный вывод: Исследования показали, что ошибки в оценке ожидаемой доходности влияют на состав оптимального портфеля примерно в десять раз сильнее, чем ошибки в оценке ковариации.

Последствия:

1. Нестабильность весов: Небольшие изменения в ожидаемой доходности могут привести к радикальным сдвигам в оптимальных весах, заставляя инвестора концентрировать капитал всего в нескольких активах, что противоречит самой идее диверсификации.
2. Эффект «Garbage In, Garbage Out»: Поскольку ковариационная матрица обычно более стабильна во времени, чем доходность, именно неточность прогноза $E(R)$ делает классический портфель Марковица непрактичным.

Введение безрискового актива и Капитальная линия рынка (CML)

Важнейшая модификация MPT была предложена Джеймсом Тобином, который ввел в анализ безрисковый актив (например, краткосрочные государственные облигации или депозиты). Это позволило инвесторам комбинировать рисковый портфель с безрисковым активом, что существенно упростило выбор.

Капитальная линия рынка (Capital Market Line, CML):

На графике «Риск–Доходность» CML — это прямая, проведенная от точки безрисковой доходности ($R_f$) к точке касания Границы эффективности. Эта точка касания, называемая Портфелем касания (Tangency Portfolio), или Рыночным портфелем в контексте CAPM, является единственным эффективным портфелем рисковых активов, который должен выбрать любой рациональный инвестор.

Принцип разделения (Separation Theorem):

Модификация Тобина показала, что задача выбора портфеля может быть разделена на два этапа:

1. Технический выбор: Определение единого оптимального портфеля рисковых активов (Портфеля касания).
2. Личный выбор: Определение соотношения между Портфелем касания и безрисковым активом, исходя из индивидуальной склонности к риску.

Современные модификации и альтернативные модели

Ключевой тезис: Представить два ключевых современных подхода к преодолению недостатков классической модели Марковица, которые используются в инвестиционной практике и сложных расчетах.

Понимание ограничений классической модели привело к разработке более устойчивых и более простых с точки зрения вычислений альтернатив.

Модель Блэка-Литтермана (Black-Litterman)

Модель Блэка-Литтермана, разработанная Фишером Блэком и Робертом Литтерманом в начале 1990-х годов в Goldman Sachs, является, пожалуй, наиболее популярным инструментом оптимизации портфеля в крупной инвестиционной практике. Она нацелена на преодоление высокой чувствительности к ошибкам в прогнозе доходности.

Принципиальное отличие:

Классический Марковиц требует прогноза $E(R)$ «с нуля». Модель Блэка-Литтермана начинается с распределения активов, основанного на предположении о рыночном равновесии (Market Equilibrium).

1. Отправная точка – Равновесие: Модель использует равновесные ожидаемые доходности, которые соответствуют текущей рыночной капитализации активов (обратная оптимизация). Эти равновесные доходности являются стабильными и объективными.
2. Инкорпорирование субъективных взглядов: Инвестор или аналитик может затем ввести свои субъективные взгляды (Views) на будущую доходность отдельных активов (например, что Актив А вырастет на 5% больше рынка, или что Актив В будет опережать Актив С).
3. Взвешенная комбинация: Модель Блэка-Литтермана рассчитывает новый, устойчивый вектор ожидаемой доходности, который является взвешенной комбинацией (Bayesian-смешением) равновесной доходности и субъективных прогнозов.

Преимущество: Полученный оптимальный портфель не только включает ценную инсайдерскую информацию инвестора, но и остается значительно более устойчивым и диверсифицированным, чем портфель, рассчитанный исключительно на основе исторической статистики или наивных прогнозов.

MAD-модель: Упрощение задачи оптимизации

Еще одна важная линия развития портфельной теории была направлена на упрощение вычислительной части, которая становилась проблемой при работе с сотнями активов. В 1991 году Хирофуми Конно и Хироаки Ямазаки предложили модель, основанную на Среднем Абсолютном Отклонении (Mean Absolute Deviation, MAD).

Замена меры риска:

Вместо дисперсии ($\sigma^2$), которая является квадратичной функцией, MAD-модель использует среднее абсолютное отклонение в качестве меры риска.

MAD = (1/T) Σt=1T |Rp,t - E(Rp)|

Ключевое вычислительное преимущество:

Замена среднеквадратического отклонения на среднее абсолютное отклонение позволяет преобразовать задачу квадратического программирования (QP), которая требует сложных алгоритмов и большого вычислительного времени, в гораздо более простую для решения задачу линейного программирования (LP). Решение задач линейного программирования является вычислительно быстрым и устойчивым, что делает MAD-модель привлекательной для крупных институциональных инвесторов, которым необходимо оптимизировать портфели, содержащие тысячи активов.

Заключение и практическая дорожная карта

Модель Марковица (MPT) — это бесспорный теоретический фундамент современной финансовой экономики, который навсегда изменил подход к инвестированию, заменив интуицию математической строгостью. Ее главное достижение — формализация диверсификации через ковариацию и выделение Границы эффективности.

Однако, как показал критический анализ, классическая модель в чистом виде не может быть эффективно применена на практике, главным образом из-за экстремальной чувствительности оптимальных весов к неточным прогнозам ожидаемой доходности.

Для решения реальных инвестиционных задач необходимы модификации:

1. Теоретический минимум: Модель Тобина, вводящая безрисковый актив и Капитальную линию рынка, дает рациональную основу для выбора единственного оптимального портфеля рисковых активов.
2. Практический максимум: Модель Блэка-Литтермана обеспечивает устойчивость портфеля, совмещая рыночное равновесие с субъективными, экспертными взглядами инвестора.
3. Вычислительная эффективность: MAD-модель предлагает упрощенный математический аппарат, позволяя решать задачу оптимизации с помощью линейного программирования.

Таким образом, для успешного формирования расчетно-аналитической части курсовой работы (или исследовательского проекта) по теме оптимального портфеля рекомендуется следующий пошаговый алгоритм:

Пошаговый алгоритм для исследовательского проекта по MPT

Этап	Задача	Инструмент/Метод	Результат
I. Сбор и подготовка данных	Получение исторических котировок (за 3–5 лет).	Базы данных бирж, Bloomberg/Refinitiv.	Временные ряды доходностей $R_{i,t}$.
II. Расчет входных параметров	Оценка $E(R)$, $\sigma$, и $\Sigma$.	Статистический анализ, формулы MPT.	Вектор ожидаемых доходностей и Ковариационная матрица.
III. Моделирование Границы эффективности	Построение множества допустимых портфелей.	Квадратическое программирование (Solver в Excel, библиотеки Python).	График гиперболы и Граница эффективности.
IV. Выделение ключевых точек	Определение MVP и Tangency Portfolio (если вводится $R_f$).	Математическая оптимизация.	Веса портфеля минимальной дисперсии и Точки касания.
V. Сравнительный анализ	Сопоставление оптимального портфеля Марковица с рыночным индексом.	Оценка коэффициента Шарпа, Трейнера.	Вывод о превосходстве или недостатках смоделированного портфеля.
VI. Анализ чувствительности (УИП)	Проверка, как небольшие изменения $E(R)$ влияют на веса.	Перерасчет модели с варьируемыми $E(R)$.	Демонстрация нестабильности классической модели.

Использование MPT в качестве теоретической основы, дополненное критическим анализом ее недостатков и обзором современных модификаций, позволяет создать исчерпывающую, глубокую и актуальную работу, отвечающую самым высоким академическим требованиям.

Список использованной литературы

1. Абрамов A.B. Идеальная модель фондового рынка России на среднесрочную перспективу (до 2015 года). М.: НАУФОР, 2007. 176 с.
2. Вартанова Э.Р., Тинякова В.И. Формирование портфелей ценных бумаг на неоднородных рынках // Вопросы современной науки и практики, 2009, №2(16). С. 171-179.
3. Виленский П. Л., Лившиц В. Н., Смоляк С. А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика. М.: Дело, 2008. 1104 с.
4. Войтюк А. Сам себе инвестор-6. Успешные стратегии от известных инвесторов // Время жить: Альфа-банк. 2010. № 6(23). С. 24-26.
5. Галанов В.А. Рынок ценных бумаг. 2-е изд. М.: Финансы и статистика, 2006. 448 с.
6. Головины М. Ю. Перспективы совместно развития инфраструктуры фондовых рынков в странах ЕВРАЗЭС // Евразийская экономическая интеграция. 2009. № 1. С. 41-48.
7. Гуров В., Морозов И., Трубицын В., Понизовский Б. Трейдинг моими глазами. М.: Вгосо СДО, 2010. 216 с.
8. Давние В.В., Хабибулин Д.А. Формирование инвестиционных портфелей на основе имитационно-эконометрических моделей // Современная экономика: проблемы и решений. Воронеж, 2010. №6.
9. Интервью с Робертом Лукасом-младшим // О чём думают экономисты. Беседы с нобелевскими лауреатами / под ред. П. Самуэльсона и У. Барнетта. М.: Юнайтед Пресс, 2009. С. 98-108.
10. Колемаев В. А. и др. Математические методы и модели исследования операций: Учебник для вузов / Под ред. В. А. Колемаева. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. 592 с.
11. Крыловецкий А. Л. Моделирование инвестиционных процессов на фондовых рынках: дис. … канд. экон. наук: 08.00.05. М., 2010. 140 с.
12. Линканен Э. Возмущения на денежных и фондовых рынках // Вестник Моск. ун-та. Сер. 6: Экономика. 2009. № 1. 41 с.
13. Миркин Я.М. Риски финансового кризиса в России: факторы, сценарии и политика противодействия: национальный доклад. М.: Финакадемия, 2008. 138 с.
14. Мошенский С.З. Рынок ценных бумаг: трансформационные процессы. М.: Экономика, 2010. 240 с.
15. Натенберг Ш. Опционы. Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли. М.: Альпина Паблишер, 2011. 546 с.
16. Петров В. С. Теория и практика инвестиционного анализа фондовых активов. М: Маркет ДС, 2008. 480 с.
17. Письма Баффета: полный путеводитель. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2012. 208 с.
18. Торжевский К. А. Методы и модели анализа и прогнозирования развивающихся фондовых рынков: дис. … канд. экон. наук: 08.00.13. М., 2009. 249 с.
19. Уоррен Баффет Лучший инвестор мира (первая авторизованная биография). М.: Манн, Иванов и Фербер, 2011. 800 с.
20. Уренцов О. В. Статистические свойства фондовых индексов и гипотеза эффективного рынка: дис. … канд. экон. наук: 08.00.13. М., 2009. 128 с.
21. Факторы инвестиционной активности. Глава из книги «Системный мониторинг: Глобальное и региональное развитие». М.: ЛиброкомДЛЖ, 2010. С. 259-292.
22. Фатыхов А. Н. Институциональное регулирование фондового рынка как экономической системы: дис. … канд. экон. наук: 08.00.05. Саратов, 2010.
23. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.: Дело, 2008. 400 с.
24. Шарп У. Ф., Гордон Дж. А., Бэйли Дж. В. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 2007.
25. Шведова А. А. Перспективы интеграции российского рынка ценных бумаг в мировой фондовый рынок: дис. … канд. экон. наук: 08.00.14. М., 2009. 210 с.
26. Недостатки модели оптимального портфеля г. Марковица в условиях краткосрочных инвестиций // Экономика и предпринимательство. 2017. № 9 (86). URL: https://meps.econ.vsu.ru/download/2017/9/2017-9-8.pdf (дата обращения: 30.10.2025).
27. Модель Марковица: математические аспекты и компьютерная реализация. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/model-markovitsa-matematicheskie-aspekty-i-kompyuternaya-realizatsiya (дата обращения: 30.10.2025).
28. Построение границы Марковица методом кусочно-нелинейной аппроксимации. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/postroenie-granitsy-markovitsa-metodom-kusochno-nelineynoy-approksimatsii (дата обращения: 30.10.2025).
29. Математика для экономистов: учебное пособие (УрФУ). 2016. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/43708/1/978-5-7996-2009-4_2016.pdf (дата обращения: 30.10.2025).
30. ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ. URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mko&paperid=38&option_lang=rus (дата обращения: 30.10.2025).
31. Портфельная теория Блэка-Литтермана // Финам. 22.09.2023. URL: https://www.finam.ru/publications/item/portfelnaya-teoriya-bleka-littermana-20230922-120950/ (дата обращения: 30.10.2025).
32. Модель Блэка-Литтермана // Финансовый анализ. URL: https://www.1fin.ru/?id=1460 (дата обращения: 30.10.2025).
33. Оптимальный портфель Марковица: что с ним не так и можно ли это исправить // БКС Экспресс. URL: https://bcs-express.ru/novosti-i-analitika/optimal-nyi-portfel-markovitsa-chto-s-nim-ne-tak-i-mozhno-li-eto-ispravit (дата обращения: 30.10.2025).
34. Как распределить активы в портфеле: математическая модель Блэка—Литтермана // БКС Экспресс. URL: https://bcs-express.ru/novosti-i-analitika/kak-raspredelit-aktivy-v-portfele-matematicheskaia-model-bleka-littermana (дата обращения: 30.10.2025).
35. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ. 2014. URL: https://www.bsu.by/upload/2014/10/dop_mat_2.pdf (дата обращения: 30.10.2025).
36. Кратко про теорию портфеля и разработку моделей распределения портфеля. URL: https://ndfl.guru/investitsii/kratko-pro-teoriyu-portfelya-i-razrabotku-modeley-raspredeleniya-portfelya (дата обращения: 30.10.2025).
37. Допущения модели Марковица. URL: http://smolreu.ru/sites/default/files/u1322/uchebniki/investitsionnyy_analiz.pdf (дата обращения: 30.10.2025).